복잡한 함수의 적분 표. 역도함수

학교 대수학 과정에는 통합과 차별화가 포함됩니다. 이 자료를 연구하려면 필요한 것 도함수와 적분표. 사용법을 이해하려면 기본 용어를 정의해야 합니다.

유도체 f(x) – 그래프의 임의 지점에서 역도함수 F(x)의 변화 강도 특성입니다. 이는 함수와 해당 인수의 증분(0이 되는 경향)의 제한 비율을 나타냅니다. 함수의 임의의 점에서 유한 도함수가 있으면 미분 가능합니다. 도함수를 계산하는 것이 미분입니다.

완전한∫는 그래프의 특정 부분의 면적의 크기를 나타내는 미분의 역수입니다. 통합 과정은 역도함수를 찾는 것입니다.

동일한 함수에 여러 가지 역도함수가 있을 수 있습니다. 예를 들어 x^2입니다. 이에 대한 주요 역도함수는 x^3/3입니다. x^3/3+1. 마지막 숫자는 문자 C로 표시되며 공식은 다음과 같습니다.

C가 임의의 값을 나타내는 경우 적분은 무한정이고, 구체적이면 정적분입니다.

미분 함수 표 및 일체형 테이블복잡한 수학적 작업을 빠르고 정확하게 처리하는 데 도움이 될 것입니다. 가장 일반적으로 사용되는 의미가 포함되어 있어 학생들이 외울 필요가 없습니다. 많은 수의방식

미분 함수 표

에게 필요한 재료항상 가까이에 있으므로 파생 공식 표를 다운로드할 수 있습니다. . 여기에는 기본 파생 상품을 계산하는 공식이 포함되어 있습니다. 기본 기능:

• 삼각법;
• 로그;
• 차분한;
• 지수.

그 밖에도 특별한 혜택이 있습니다 복잡한 함수의 도함수 표. 또한 함수의 곱, 합계 및 몫에 대한 공식도 포함되어 있습니다.

부정 및 정적분 표

통합 작업을 빠르고 정확하게 완료하려면 다음을 수행하십시오. 적분표 다운로드, 가장 많이 사용되는 수식이 모두 포함되어 있습니다. 두 개의 열로 구성됩니다. 첫 번째 열에는 다음이 포함됩니다. 수학 공식, 두 번째는 서면 설명입니다.

테이블에는 다음이 포함됩니다. 기본 적분다음 기능:

• 합리적인;
• 지수;
• 로그;
• 비합리적인;
• 삼각법;
• 쌍곡선.

또한, 부정적분 표를 다운로드할 수도 있습니다.

적분 및 미분 표가 포함된 치트 시트

많은 교사들은 학생들에게 복잡한 공식을 외우도록 요구합니다. 암기하는 가장 쉬운 방법은 꾸준한 연습이며, 필요한 자료가 준비되어 있는지 확인하려면 인쇄해야 합니다.

파생 테이블이 포함된 치트 시트적분은 필요한 모든 공식을 빨리 기억하고 시험에 성공적으로 합격하는 데 도움이 될 것입니다. 작고 사용하기 쉽게 만들려면 일반 시트의 절반인 A5 형식을 선택해야 합니다.

이 페이지에서는 다음을 확인할 수 있습니다.

1. 실제로, 역도함수 표는 다음에서 다운로드할 수 있습니다. PDF 형식인쇄하고;

2. 이 테이블을 사용하는 방법에 대한 비디오;

3. 다양한 교과서와 테스트를 통해 역도함수를 계산하는 다양한 예.

비디오 자체에서 우리는 함수의 역도함수를 계산해야 하는 많은 문제를 분석할 것입니다. 종종 매우 복잡하지만 가장 중요한 것은 거듭제곱 함수가 아니라는 것입니다. 위에서 제안한 표에 요약된 모든 함수는 파생어처럼 암기해야 합니다. 그것들 없이는 적분에 대한 추가 연구와 실제 문제를 해결하기 위한 적용이 불가능합니다.

오늘 우리는 계속해서 기본 요소를 연구하고 조금 더 복잡한 주제로 넘어갑니다. 지난번에 우리가 거듭제곱 함수와 약간 더 복잡한 구성의 역도함수만 살펴보았다면 오늘은 삼각법 등을 살펴보겠습니다.

지난 강의에서 말했듯이, 역도함수는 파생상품과 달리 표준 규칙을 사용하여 "즉시" 해결되지 않습니다. 더욱이 나쁜 소식은 파생 상품과 달리 역 파생 상품이 전혀 고려되지 않을 수도 있다는 것입니다. 절대적으로 쓴다면 무작위 함수그리고 우리는 그 도함수를 찾으려고 노력합니다. 그러면 매우 높은 확률로 성공할 것이지만 이 경우 역도함수는 거의 계산되지 않습니다. 그러나 또한 있다 좋은 소식: 기본 함수라고 하는 상당히 큰 함수 클래스가 있으며, 그 역도함수는 계산하기가 매우 쉽습니다. 그리고 모든 종류의 테스트, 독립적인 테스트 및 시험에 제공되는 다른 모든 복잡한 구조는 실제로 덧셈, 뺄셈 및 기타 간단한 동작을 통해 이러한 기본 기능으로 구성됩니다. 이러한 함수의 프로토타입은 오랫동안 계산되어 특수 테이블로 컴파일되었습니다. 오늘 우리가 작업할 것은 바로 이러한 함수와 테이블입니다.

하지만 항상 그렇듯이 반복부터 시작하겠습니다. 역도함수가 무엇인지, 왜 무한히 많은지, 어떻게 정의하는지 기억해 봅시다. 일반적인 형태. 이를 위해 저는 두 가지 간단한 문제를 골랐습니다.

쉬운 예 풀기

예 1

$\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ 및 일반적으로 $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$는 함수의 필수 역도함수가 삼각법과 관련되어 있음을 즉시 암시합니다. 그리고 실제로 표를 보면 $\frac(1)(1+((x)^(2)))$는 $\text(arctg)x$에 불과하다는 것을 알 수 있습니다. 그럼 적어 보겠습니다.

찾으려면 다음 사항을 적어야 합니다.

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

예 2

여기에도 우리 얘기 중이야영형 삼각함수. 표를 보면 실제로 다음과 같은 일이 발생합니다.

전체 역도함수 중에서 지정된 지점을 통과하는 역도함수를 찾아야 합니다.

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

마지막으로 적어 보겠습니다.

그렇게 간단합니다. 유일한 문제는 역도함수를 계산하기 위해 간단한 기능, 당신은 역도함수 표를 배워야 합니다. 하지만 미분표를 공부한 후에는 이것이 문제가 되지 않을 것이라고 생각합니다.

지수 함수가 포함된 문제 풀기

우선 다음 수식을 작성해 보겠습니다.

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

이 모든 것이 실제로 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.

예 1

괄호의 내용을 보면 역도함수 표에는 $((e)^(x))$가 정사각형에 있다는 표현이 없으므로 이 정사각형을 확장해야 함을 알 수 있습니다. 이를 위해 축약된 곱셈 공식을 사용합니다.

각 용어에 대한 역도함수를 찾아보겠습니다.

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \오른쪽))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

이제 모든 용어를 하나의 표현식으로 모아서 일반적인 역도함수를 구해 보겠습니다.

예 2

이번에는 차수가 더 크기 때문에 축약된 곱셈 공식이 상당히 복잡해집니다. 이제 대괄호를 열어 보겠습니다.

이제 이 구성에서 공식의 역도함수를 구해 보겠습니다.

보시다시피, 지수 함수의 역도함수에는 복잡하거나 초자연적인 것이 없습니다. 모두 표를 통해 계산되지만 주의 깊은 학생들은 아마도 역도함수 $((e)^(2x))$가 $((a)보다 단순히 $((e)^(x))$에 훨씬 더 가깝다는 것을 알아차릴 것입니다. )^(x ))$. 그렇다면 역도함수 $((e)^(x))$를 알고 $((e)^(2x))$를 찾는 것을 허용하는 좀 더 특별한 규칙이 있을까요? 예, 그런 규칙이 있습니다. 또한 이는 역도함수 표 작업에 필수적인 부분입니다. 이제 방금 예제로 작업했던 것과 동일한 표현식을 사용하여 분석하겠습니다.

역도함수 표 작업 규칙

함수를 다시 작성해 보겠습니다.

이전 사례에서는 다음 공식을 사용하여 해결했습니다.

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

하지만 이제 조금 다르게 해보겠습니다. $((e)^(x))\to ((e)^(x))$가 무엇인지 기억해 봅시다. 내가 이미 말했듯이, 도함수 $((e)^(x))$는 $((e)^(x))$에 불과하므로 그 역도함수는 동일한 $((e) ^와 같습니다. (x))$. 하지만 문제는 $((e)^(2x))$ 및 $((e)^(-2x))$가 있다는 것입니다. 이제 $((e)^(2x))$의 미분을 찾아보겠습니다.

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \프라임 ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

우리의 구성을 다시 작성해 봅시다:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\소수 ))\]

이는 역도함수 $((e)^(2x))$를 찾을 때 다음을 얻는다는 것을 의미합니다.

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

보시다시피 이전과 동일한 결과를 얻었지만 $((a)^(x))$를 찾는 데 공식을 사용하지 않았습니다. 이제 이것은 어리석은 것처럼 보일 수 있습니다. 표준 공식이 있는데 왜 계산을 복잡하게 합니까? 그러나 약간 더 복잡한 표현에서는 이 기술이 매우 효과적이라는 것을 알 수 있습니다. 파생 상품을 사용하여 역 파생 상품을 찾습니다.

준비운동으로 비슷한 방식으로 $((e)^(2x))$의 역도함수를 찾아보겠습니다.

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\소수 ))\]

계산할 때 우리의 구성은 다음과 같이 작성됩니다.

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

우리는 똑같은 결과를 얻었지만 다른 길을 택했습니다. 지금은 조금 더 복잡해 보이는 이 경로가 앞으로는 더 복잡한 역도함수를 계산하고 테이블을 사용하는 데 더 효과적인 것으로 판명될 것입니다.

메모! 이것은 매우 중요한 점: 역도함수는 파생상품과 마찬가지로 집합으로 간주될 수 있습니다. 다양한 방법으로. 그러나 모든 계산과 계산이 동일하면 답은 동일합니다. 우리는 $((e)^(-2x))$의 예를 통해 이것을 보았습니다. 한편으로는 정의를 사용하고 다른 한편으로는 변환을 사용하여 계산하여 이 역도함수를 "완전히" 계산했습니다. 우리는 $ ((e)^(-2x))$가 $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$로 표시될 수 있다는 것을 기억하고 나서야 다음을 사용했습니다. $( (a)^(x))$ 함수에 대한 역도함수입니다. 그러나 모든 변환 후에 결과는 예상대로 동일했습니다.

이제 우리는 이 모든 것을 이해했으므로 더 중요한 것으로 넘어갈 때입니다. 이제 우리는 두 가지 간단한 구성을 분석할 것입니다. 그러나 이를 해결할 때 사용될 기술은 더 강력하고 유용한 도구, 테이블에서 인접한 역도함수 사이의 단순한 "실행"이 아닙니다.

문제 해결: 함수의 역도함수 찾기

예 1

분자에 있는 양을 세 가지 분수로 나누어 보겠습니다.

이는 상당히 자연스럽고 이해하기 쉬운 전환입니다. 대부분의 학생들은 이에 대해 문제가 없습니다. 표현식을 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.

이제 다음 공식을 기억해 봅시다.

우리의 경우 다음을 얻게 됩니다:

이러한 3층짜리 분수를 모두 제거하려면 다음을 수행하는 것이 좋습니다.

예 2

이전 분수와 달리 분모는 곱이 아니라 합계입니다. 이 경우 더 이상 분수를 여러 개의 간단한 분수의 합으로 나눌 수는 없지만 분자에 분모와 거의 동일한 표현식이 포함되어 있는지 확인해야 합니다. 안에 이 경우이 작업을 수행하는 것은 매우 간단합니다.

수학 용어로 "0 더하기"라고 불리는 이 표기법을 사용하면 분수를 다시 두 부분으로 나눌 수 있습니다.

이제 우리가 찾고 있던 것을 찾아봅시다:

그게 모든 계산입니다. 이전 문제보다 훨씬 복잡해졌음에도 불구하고 계산량은 훨씬 적은 것으로 나타났습니다.

솔루션의 뉘앙스

그리고 이것이 표 형식의 역도함수 작업의 주요 어려움이 있는 곳이며, 이는 두 번째 작업에서 특히 두드러집니다. 사실은 표를 통해 쉽게 계산할 수 있는 일부 요소를 선택하려면 우리가 찾고 있는 것이 정확히 무엇인지 알아야 하며, 이러한 요소를 검색하는 과정에서 전체 역도함수 계산이 구성됩니다.

즉, 역도함수 표를 암기하는 것만으로는 충분하지 않습니다. 아직 존재하지 않지만 이 문제의 작성자와 편집자가 의미하는 바를 볼 수 있어야 합니다. 이것이 바로 많은 수학자, 교사, 교수들이 "역도함수나 통합을 취하는 것이 무엇인가? 그것은 단지 도구인가, 아니면 실제 예술인가?"라고 끊임없이 논쟁하는 이유입니다. 사실, 내 개인적인 견해로는 통합은 전혀 예술이 아닙니다. 거기에는 숭고한 것이 없으며 단지 연습이고 더 많은 연습일 뿐입니다. 그리고 연습을 위해 세 가지 더 심각한 예를 풀어보겠습니다.

실제로는 통합적으로 훈련한다

과제 1번

다음 수식을 작성해 보겠습니다.

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

다음을 작성해 보겠습니다.

문제 2번

다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.

총 역도함수는 다음과 같습니다.

작업 번호 3

이 작업의 어려움은, 이전 기능위에는 변수 $x$가 전혀 없습니다. 즉, 적어도 아래에 있는 것과 유사한 것을 얻기 위해 무엇을 더하거나 빼야 할지 명확하지 않습니다. 그러나 실제로 이 표현은 이전 구성의 어떤 표현보다 훨씬 간단하다고 간주됩니다. 이 기능다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

이제 질문할 수 있습니다. 왜 이 함수들이 동일한가요? 점검 해보자:

다시 작성해 보겠습니다.

표현을 조금 변형해 보겠습니다.

그리고 제가 이 모든 것을 학생들에게 설명할 때 거의 항상 같은 문제가 발생합니다. 첫 번째 기능을 사용하면 모든 것이 다소 명확하고 두 번째 기능을 사용하면 운이나 연습을 통해 알아낼 수도 있지만 어떤 종류의 대안 의식을 사용합니까? 세 번째 예를 해결하려면 필요합니까? 사실, 겁먹지 마세요. 마지막 역도함수를 계산할 때 사용한 기술은 "함수를 가장 간단한 것으로 분해"라고 하며 이는 매우 심각한 기술이므로 이에 대해 별도의 비디오 강의에서 다룰 것입니다.

그 동안 나는 방금 연구한 것, 즉 지수 함수로 돌아가서 그 내용의 문제를 다소 복잡하게 만들 것을 제안합니다.

역도함수 지수 함수를 해결하기 위한 더 복잡한 문제

과제 1번

다음 사항에 유의하세요.

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

이 표현식의 역도함수를 찾으려면 표준 공식인 $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$를 사용하면 됩니다.

우리의 경우 역도함수는 다음과 같습니다.

물론, 우리가 방금 해결한 디자인에 비하면 이 디자인은 더 단순해 보입니다.

문제 2번

다시 말하지만, 이 함수가 두 개의 개별 용어, 즉 두 개의 개별 분수로 쉽게 나눌 수 있다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 다시 작성해 보겠습니다.

위에서 설명한 공식을 사용하여 이러한 각 용어의 역도함수를 찾는 것이 남아 있습니다.

거듭제곱 함수에 비해 지수 함수가 명백히 더 복잡함에도 불구하고 전체 계산량과 계산은 훨씬 더 간단한 것으로 나타났습니다.

물론, 지식이 풍부한 학생들에게는 방금 논의한 내용(특히 이전에 논의한 내용을 배경으로)이 초보적인 표현처럼 보일 수 있습니다. 하지만 오늘의 비디오 강의를 위해 이 두 가지 작업을 선택할 때 저는 여러분에게 또 다른 복잡하고 정교한 기술을 알려주려는 목표를 설정하지 않았습니다. 제가 여러분에게 보여주고 싶었던 것은 여러분이 사용하는 것을 두려워하지 말라는 것뿐입니다. 표준 기술원래 함수를 변환하기 위한 대수학.

"비밀" 기술 사용

결론적으로 한 가지 더 이야기하고 싶습니다. 흥미로운 기술, 한편으로는 오늘 우리가 주로 논의한 것 이상이지만 다른 한편으로는 첫째로 전혀 복잡하지 않습니다. 초보 학생도 마스터할 수 있으며, 둘째, 모든 종류의 테스트와 테스트에서 자주 발견됩니다. 독립적 인 일, 즉. 이에 대한 지식은 역도함수 표에 대한 지식 외에도 매우 유용할 것입니다.

과제 1번

분명히, 우리는 거듭제곱 함수와 매우 유사한 것을 가지고 있습니다. 이 경우 어떻게 해야 합니까? 생각해 봅시다. $x-5$는 $x$와 별로 다르지 않습니다. 단지 $-5$를 추가했을 뿐입니다. 다음과 같이 작성해보자:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\프라임 ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

$((\left(x-5 \right))^(5))$의 미분을 구해 봅시다:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

이는 다음을 의미합니다.

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ 오른쪽))^(\프라임 ))\]

표에는 그러한 값이 없으므로 이제 표준 역도함수 공식을 사용하여 이 공식을 직접 도출했습니다. 전력 함수. 답변을 다음과 같이 작성해 보겠습니다.

문제 2번

첫 번째 해법을 보는 많은 학생들은 모든 것이 매우 간단하다고 생각할 수 있습니다. 즉, 거듭제곱 함수의 $x$를 선형 표현식으로 바꾸면 모든 것이 제자리에 들어갈 것입니다. 불행히도 모든 것이 그렇게 간단하지는 않습니다. 이제 우리는 이것을 보게 될 것입니다.

첫 번째 표현과 유사하게 다음과 같이 작성합니다.

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

파생 상품으로 돌아가서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\프라임 ))\]

이는 즉시 다음과 같습니다.

솔루션의 뉘앙스

참고: 지난번에 본질적으로 변경된 사항이 없으면 두 번째 경우에는 $-10$ 대신 $-30$가 나타났습니다. $-10$와 $-30$의 차이점은 무엇인가요? 분명히 $-3$ 정도입니다. 질문: 그것은 어디에서 왔는가? 자세히 보면 미분계산 결과로 취해진 것을 알 수 있다. 복잡한 기능— $x$에 있던 계수는 아래 역도함수에 나타납니다. 이것은 매우 중요한 규칙, 처음에는 오늘의 비디오 튜토리얼에서 전혀 논의할 계획이 없었지만, 이것이 없으면 표 형식의 역도함수 제시가 불완전할 것입니다.

그럼 다시 해보자. 주요 전원 기능을 살펴보겠습니다.

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

이제 $x$ 대신 $kx+b$ 표현식으로 대체해 보겠습니다. 그러면 무슨 일이 일어날까요? 우리는 다음을 찾아야 합니다:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \오른쪽)\cdot k)\]

우리는 어떤 근거로 이것을 주장하는가? 매우 간단합니다. 위에 쓰여진 구성의 파생물을 찾아봅시다:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \프라임 ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

원래 있던 표현과 똑같네요. 따라서 이 공식도 맞는데, 역도함수 표를 보충하는데 활용하거나, 단순히 표 전체를 외워두는 것이 더 좋습니다.

“비밀: 기술:

• 방금 살펴본 두 함수는 실제로 차수를 확장하여 표에 표시된 역도함수로 축소될 수 있지만, 4차에 어느 정도 대처할 수 있다면 9차도 고려하지 않을 것입니다. 감히 공개했습니다.
• 우리가 권한을 확장한다면, 우리는 그런 양의 계산을 얻게 될 것입니다. 간단한 작업부적절하게 많은 시간이 걸릴 것입니다.
• 이것이 바로 선형 표현식이 포함된 문제를 "무작위"로 해결할 필요가 없는 이유입니다. 내부에 $kx+b$ 표현식이 있다는 것만으로 표의 것과 다른 역도함수를 발견하자마자 위에 작성된 공식을 즉시 기억하고 이를 표의 역도함수로 대체하면 모든 것이 훨씬 더 좋아질 것입니다. 더 빠르고 쉽게.

당연히 이 기술의 복잡성과 심각성으로 인해 향후 비디오 강의에서 여러 번 고려하게 될 것이지만 오늘은 그게 전부입니다. 이 수업이 역도함수와 적분법을 이해하려는 학생들에게 큰 도움이 되기를 바랍니다.

이전 자료에서는 파생 상품을 찾는 문제가 고려되었으며 그 다양한 응용: 그래프에 대한 접선의 각도 계수 계산, 최적화 문제 해결, 단조성과 극값에 대한 함수 연구. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

그림 1.

함수 $s(t)$로 표현되는 이전에 알려진 이동 경로를 따른 미분을 사용하여 순간 속도 $v(t)$를 찾는 문제도 고려되었습니다.

그림 2.

역 문제는 $v(t)$ 지점의 속도를 알고 $t$ 시점이 통과하는 경로 $s(t)$를 찾아야 하는 경우에도 매우 일반적입니다. 기억해 보면 순간 속도 $v(t)$는 경로 함수 $s(t)$: $v(t)=s'(t)$의 미분으로 구됩니다. 이는 역 문제를 해결하려면, 즉 경로를 계산하려면 미분이 속도 함수와 같은 함수를 찾아야 함을 의미합니다. 그러나 우리는 경로의 파생물이 속도, 즉 $s'(t) = v(t)$라는 것을 알고 있습니다. 속도는 가속 시간과 같습니다: $v=at$. 그것을 결정하는 것은 어렵지 않습니다. 필수 기능경로는 다음과 같습니다: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. 그러나 이것이 완전한 해결책은 아닙니다. 완벽한 솔루션$s(t)= \frac(at^2)(2)+C$ 형식을 갖습니다. 여기서 $C$는 상수입니다. 왜 그런지에 대해서는 더 자세히 논의할 것입니다. 지금은 찾은 해의 정확성을 확인해 보겠습니다. $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$.

속도를 기준으로 경로를 찾는 것이 중요하다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 물리적 의미역도함수.

결과 함수 $s(t)$를 $v(t)$ 함수의 역도함수라고 합니다. 꽤 흥미롭고 특이한 이름이지 않나요? 본질을 설명하는 많은 의미를 담고 있습니다. 이 개념그리고 그 이해로 이어진다. 여기에는 "first"와 "image"라는 두 단어가 포함되어 있는 것을 알 수 있습니다. 그들은 스스로 말합니다. 즉, 이것은 우리가 가지고 있는 도함수에 대한 초기 함수입니다. 그리고 이 도함수를 사용하여 우리는 처음에 있었던 함수인 "첫 번째", "첫 번째 이미지", 즉 역도함수를 찾고 있습니다. 때로는 원시 함수 또는 역도함수라고도 합니다.

우리가 이미 알고 있듯이 도함수를 찾는 과정을 미분이라고 합니다. 그리고 역도함수를 찾는 과정을 적분이라고 합니다. 통합 작업은 차별화 작업의 반대입니다. 그 반대도 마찬가지입니다.

정의.특정 구간의 $f(x)$ 함수에 대한 역도함수는 함수 $F(x)$이며, 그 도함수는 지정된 구간의 모든 $x$에 대해 이 함수 $f(x)$와 같습니다: $F' (x)=f(x)$.

누군가는 질문을 할 수 있습니다: 처음에 $s(t)$ 및 $v(t)$에 대해 이야기했다면 $F(x)$ 및 $f(x)$는 정의에서 어디에서 왔습니까? 사실 $s(t)$ 및 $v(t)$는 이 경우 특정 의미를 갖는 함수 지정의 특수한 경우입니다. 즉, 이들은 각각 시간의 함수이고 속도의 함수입니다. $t$ 변수와 동일합니다. 이는 시간을 나타냅니다. 그리고 $f$와 $x$는 각각 함수와 변수의 일반적인 지정의 전통적인 변형입니다. 지불할 가치가 있는 특별한 관심역도함수 $F(x)$를 지정합니다. 우선 $F$는 자본입니다. 파생상품이 지정됨 대문자로. 둘째, 문자는 $F$와 $f$로 동일합니다. 즉, $g(x)$ 함수의 경우 역도함수는 $G(x)$로 표시되고 $z(x)$의 경우 $Z(x)$로 표시됩니다. 표기법에 관계없이 역도함수를 찾는 규칙은 항상 동일합니다.

몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예시 1.$F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ 함수가 $f(x)=\cos5x$ 함수의 역도함수임을 증명하세요.

이를 증명하기 위해 정의 또는 $F'(x)=f(x)$라는 사실을 사용하고 $F(x)$ 함수의 파생어를 찾습니다. $F'(x)=( \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. 따라서 $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$는 $f(x)=\cos5x$의 역도함수입니다. Q.E.D.

예시 2.다음 역도함수에 해당하는 함수를 찾으세요. a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.

필요한 함수를 찾으려면 해당 파생물을 계산해 보겠습니다.
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.

예시 3.$f(x)=0$에 대한 역도함수는 무엇입니까?
정의를 사용해 봅시다. 어떤 함수가 $0$와 같은 도함수를 가질 수 있는지 생각해 봅시다. 도함수 표를 떠올려 보면 모든 상수가 그러한 도함수를 갖는다는 것을 알 수 있습니다. 우리가 찾고 있는 역도함수는 $F(x)= C$입니다.

결과 솔루션은 기하학적으로나 물리적으로 설명될 수 있습니다. 기하학적으로 이는 $y=F(x)$ 그래프의 접선이 이 그래프의 각 점에서 수평이므로 $Ox$ 축과 일치한다는 것을 의미합니다. 물리적으로 이것은 속도를 갖는 지점이 있다는 사실로 설명됩니다. 0과 같음, 제자리에 남아 있습니다. 즉, 통과한 경로가 변경되지 않습니다. 이를 바탕으로 다음 정리를 공식화할 수 있습니다.

정리. (기능의 불변성의 표시). 어떤 간격 $F'(x) = 0$이면 이 간격의 함수 $F(x)$는 일정합니다.

예시 4.어떤 함수가 a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$;의 역도함수인지 확인합니다. b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, 여기서 $a$는 숫자입니다.
역도함수의 정의를 사용하여 이 작업을 해결하려면 원본에 있는 데이터의 도함수를 계산해야 한다는 결론을 내립니다. 다양한 기능. 계산할 때 상수, 즉 모든 숫자의 미분은 0과 같다는 것을 기억하십시오.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.

우리는 무엇을 봅니까? 여러 다른 함수는 동일한 함수의 기본 요소입니다. 이는 모든 함수가 무한히 많은 역도함수를 가지며 $F(x) + C$ 형식을 갖는다는 것을 의미합니다. 여기서 $C$는 임의의 상수입니다. 즉, 통합 작업은 차별화 작업과 달리 다중 값을 갖습니다. 이를 바탕으로 역도함수(antiderivatives)의 주요 특성을 설명하는 정리를 공식화해 보겠습니다.

정리. (항파생제의 주요 특성). $F_1$ 및 $F_2$ 함수를 역도함수 함수어떤 간격으로 $f(x)$. 그런 다음 이 간격의 모든 값에 대해 $F_2=F_1+C$, 여기서 $C$는 상수입니다.

무한한 수의 역도함수가 존재한다는 사실은 기하학적으로 해석될 수 있습니다. $Oy$ 축을 따라 평행 이동을 사용하면 $f(x)$에 대한 두 가지 역도함수 그래프를 서로 얻을 수 있습니다. 이것이 역도함수의 기하학적 의미입니다.

상수 $C$를 선택하면 역도함수 그래프가 특정 지점을 통과하도록 보장할 수 있다는 사실에 주의하는 것이 매우 중요합니다.

그림 3.

실시예 5.그래프가 $(3; 1)$ 점을 통과하는 함수 $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$에 대한 역도함수를 구합니다.
먼저 $f(x)$에 대한 모든 역도함수를 찾아보겠습니다: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
다음으로, 그래프 $y=\frac(x^3)(9)+x + C$가 점 $(3; 1)$을 통과하는 숫자 C를 찾습니다. 이를 위해 점의 좌표를 그래프 방정식으로 대체하고 $C$에 대해 해결합니다.
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
우리는 역도함수 $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$에 해당하는 그래프 $y=\frac(x^3)(9)+x-5$를 얻었습니다.

역도함수 표

역도함수를 찾는 공식 표는 파생물을 찾는 공식을 사용하여 작성할 수 있습니다.

역도함수 표

기능	항파생제
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\in R$	$ax+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\디스플레이스타일\frac(1)(x)$	$\ln|x|+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tg x+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\디스플레이스타일 \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\디스플레이스타일 \frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arcctg x+C$

다음과 같은 방법으로 표의 정확성을 확인할 수 있습니다. 오른쪽 열에 있는 각 역도함수 세트에 대해 파생물을 찾으면 왼쪽 열에 해당 함수가 생성됩니다.

역도함수를 찾는 몇 가지 규칙

아시다시피 많은 기능에는 더 많은 기능이 있습니다. 복잡한 모습, 역도함수 표에 표시된 것보다는 이 표에 있는 함수의 합과 곱의 임의 조합을 나타낼 수 있습니다. 그리고 여기서 질문이 생깁니다: 그러한 함수의 역도함수를 계산하는 방법. 예를 들어, 표에서 우리는 역도함수 $x^3$, $\sin x$ 및 $10$를 계산하는 방법을 알고 있습니다. 예를 들어 역도함수 $x^3-10\sin x$를 어떻게 계산할 수 있나요? 앞으로는 $\frac(x^4)(4)+10\cos x$와 동일하다는 점에 주목할 가치가 있습니다.
1. $F(x)$가 $f(x)$에 대해 역도함수인 경우, $g(x)$에 대해 $G(x)$가 $f(x)+g(x)$에 대해 역도함수는 다음과 같습니다. $F(x)+G(x)$와 같습니다.
2. $F(x)$가 $f(x)$에 대한 역도함수이고 $a$가 상수이면 $af(x)$의 역도함수는 $aF(x)$입니다.
3. $f(x)$에 대한 역도함수는 $F(x)$이고 $a$ 및 $b$는 상수이며 $\frac(1)(a) F(ax+b)$는 역도함수입니다. $f(ax+b)$의 경우.
획득된 규칙을 사용하여 역도함수 표를 확장할 수 있습니다.

기능	항파생제
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

실시예 5.다음에 대한 역도함수 찾기:

a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\디스플레이스타일\sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.