솔루션이 포함된 Oof 온라인 계산기. 루트가 있는 함수의 도메인입니다. 기능 범위에 대한 추가 제한사항

05.05.2019

먼저 찾는 방법을 알아볼까요? 함수합의 정의 영역. 그러한 함수는 합계를 구성하는 모든 함수가 의미가 있는 변수의 모든 값에 대해 의미가 있음이 분명합니다. 그러므로 다음 진술의 타당성에 대해서는 의심의 여지가 없습니다.

함수 f가 n 함수 f 1, f 2, …, f n의 합인 경우, 즉 함수 f는 공식 y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x)으로 제공됩니다. ), 함수 f의 정의 영역은 함수 f 1, f 2, ..., f n의 정의 영역의 교차점입니다. 이것을 로 쓰자.

마지막 항목과 유사한 항목을 계속 사용하는 데 동의하겠습니다. 이는 중괄호 안에 작성되거나 모든 조건의 동시 충족을 의미합니다. 이는 편리하고 시스템의 의미와 매우 자연스럽게 공감합니다.

예.

함수 y=x 7 +x+5+tgx가 주어지며, 우리는 함수의 정의 영역을 찾아야 합니다.

해결책.

함수 f는 f 1 - 지수 7의 거듭제곱 함수, f 2 - 지수 1의 거듭제곱 함수, f 3 - 상수 함수 및 f 4 - 접선 함수의 네 가지 함수의 합으로 표시됩니다.

기본 기본 함수의 정의 영역 표를 살펴보면 D(f 1)=(−무한대, +무한), D(f 2)=(−무한대, +무한), D(f 3)= (-무한대, +무한대), 탄젠트 정의 영역은 숫자를 제외한 모든 실수의 집합입니다. .

함수 f의 정의 영역은 함수 f 1, f 2, f 3 및 f 4의 정의 영역의 교차점입니다. 이것은 숫자를 제외한 모든 실수의 집합이라는 것이 매우 분명합니다. .

답변:

제외한 모든 실수의 집합 .

찾기로 넘어 갑시다 함수 곱의 정의 영역. 이 경우에도 유사한 규칙이 적용됩니다.

함수 f가 n 함수 f 1, f 2, ..., f n의 곱인 경우, 즉 함수 f는 다음 공식으로 제공됩니다. y=f1(x)f2(x)…fn(x), 함수 f의 정의 영역은 함수 f 1, f 2, ..., f n의 정의 영역의 교차점입니다. 그래서, .

이는 표시된 영역에 모든 제품 기능이 정의되어 있으므로 이해할 수 있습니다. 따라서 기능 f 자체가 정의됩니다.

예.

Y=3·arctgx·lnx .

해결책.

함수를 정의하는 공식의 우변의 구조는 f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x)로 간주될 수 있습니다. 여기서 f 1은 상수 함수이고, f 2는 아크탄젠트 함수이며, f 3은 e를 밑으로 하는 로그 함수입니다.

우리는 D(f 1)=(−무한대, +무한) , D(f 2)=(−무한대, +무한) 그리고 D(f 3)=(0, +무한) 을 알고 있습니다. 그 다음에 .

답변:

함수 y=3·arctgx·lnx의 정의 영역은 모든 실수 양수의 집합입니다.

C는 실수인 공식 y=C·f(x)로 주어진 함수 정의 영역을 찾는 데 별도로 집중하겠습니다. 이 함수의 정의 영역과 함수 f의 정의 영역이 일치한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 실제로 함수 y=C·f(x)는 상수 함수와 함수 f의 곱입니다. 상수 함수의 정의역은 모든 실수의 집합이고, 함수 f의 정의역은 D(f) 입니다. 그러면 함수 y=C f(x)의 정의 영역은 다음과 같습니다. , 이것이 표시되어야 하는 것입니다.

따라서 함수 y=f(x)와 y=C·f(x)(여기서 C는 실수임)의 정의 영역이 일치합니다. 예를 들어 근의 정의역은 이며, D(f)는 f 2 (x)가 함수 f 1의 정의역에 포함되는 함수 f 2의 정의역에서 모든 x의 집합이라는 것이 분명해집니다.

따라서, 복잡한 함수의 정의 영역 y=f 1 (f 2 (x))는 두 세트의 교집합입니다: x∈D(f 2)인 모든 x의 집합과 f 2 (x)∈D(f인 모든 x의 집합 1) . 즉, 우리가 채택한 표기법에서 (이것은 본질적으로 불평등의 시스템입니다).

몇 가지 예시 솔루션을 살펴보겠습니다. 자세한 과정은 이 글의 범위를 벗어나므로 자세히 설명하지 않겠습니다.

예.

함수 y=lnx 2 의 정의 영역을 구합니다.

해결책.

원래 함수는 y=f 1 (f 2 (x))로 표현될 수 있습니다. 여기서 f 1은 밑이 e인 로그이고, f 2는 지수 2인 거듭제곱 함수입니다.

주요 기본 함수 정의의 알려진 영역으로 전환하면 D(f 1)=(0, +) 및 D(f 2)=(−, +)이 있습니다.

그 다음에

그래서 우리는 우리가 필요로 하는 함수의 정의 영역을 찾았습니다. 그것은 0을 제외한 모든 실수의 집합입니다.

답변:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

예.

함수의 영역은 무엇입니까 ?

해결책.

이 함수는 복잡합니다. y=f 1 (f 2 (x))로 간주할 수 있습니다. 여기서 f 1은 지수가 있는 거듭제곱 함수이고 f 2는 아크사인 함수이므로 정의 영역을 찾아야 합니다.

우리가 알고 있는 내용을 살펴보겠습니다: D(f 1)=(0, +) 및 D(f 2)=[−1, 1] . x∈D(f 2) 및 f 2 (x)∈D(f 1)과 같은 x 값 세트의 교차점을 찾는 것이 남아 있습니다.

arcsinx>0이 되도록 하려면 arcsine 함수의 속성을 기억하십시오. 아크사인은 [−1, 1] 정의 영역 전체에 걸쳐 증가하고 x=0에서 0이 됩니다. 따라서 간격 (0, 1]의 모든 x에 대해 arcsinx>0입니다.

시스템으로 돌아가 보겠습니다.

따라서 함수 정의에 필요한 영역은 절반 구간(0, 1]입니다.

답변:

(0, 1] .

이제 일반 형식 y=f 1 (f 2 (...f n (x))))의 복잡한 함수로 넘어가겠습니다. 이 경우 함수 f의 정의 영역은 다음과 같이 구됩니다. .

예.

함수의 영역 찾기 .

해결책.

주어진 복소 함수는 y=f 1 (f 2 (f 3 (x)))로 작성할 수 있습니다. 여기서 f 1 – sin, f 2 – 4차 근 함수, f 3 – log입니다.

우리는 D(f 1)=(−무한대, +무한) , D(f 2)= 이라는 것을 알고 있습니다.

이 모든 것은 ODZ를 갖는 것이 얼마나 중요한지 보여줍니다.

실시예 3

ODZ 표현식 찾기 x 3 + 2 x y − 4 .

해결책

어떤 숫자든 세제곱할 수 있습니다. 이 표현식에는 분수가 없으므로 x와 y의 값은 무엇이든 될 수 있습니다. 즉, ODZ는 임의의 숫자입니다.

답변: x 및 y – 모든 값.

실시예 4

수식 1 3 - x + 1 0의 ODZ를 구합니다.

해결책

분모가 0인 분수가 하나 있다는 것을 알 수 있습니다. 이는 x 값에 대해 0으로 나누는 것을 의미합니다. 이는 이 표현이 정의되지 않은 것으로 간주된다는, 즉 추가 책임이 없다고 결론을 내릴 수 있음을 의미합니다.

답변: ∅ .

실시예 5

주어진 표현식 x + 2 · y + 3 - 5 · x의 ODZ를 구합니다.

해결책

제곱근이 있다는 것은 이 표현식이 0보다 크거나 같아야 함을 의미합니다. 부정적이면 의미가 없습니다. 이는 x + 2 · y + 3 ≥ 0 형식의 부등식을 작성해야 함을 의미합니다. 즉, 이것이 허용 가능한 값의 원하는 범위입니다.

답변: x와 y의 집합. 여기서 x + 2 y + 3 ≥ 0입니다.

실시예 6

1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) 형식의 ODZ 표현식을 결정합니다.

해결책

조건에 따라 분수가 있으므로 분모는 0과 같아서는 안됩니다. 우리는 x + 1 - 1 ≠ 0을 얻습니다. 근호 표현은 0보다 크거나 같을 때, 즉 x + 1 ≥ 0일 때 항상 의미가 있습니다. 로그가 있기 때문에 그 표현은 엄격하게 양수여야 합니다. 즉, x 2 + 3 > 0이어야 합니다. 로그의 밑도 양수 값이어야 하며 1과 달라야 합니다. 그런 다음 x + 8 > 0 및 x + 8 ≠ 1 조건을 추가합니다. 원하는 ODZ는 다음과 같은 형식을 취합니다.

x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1

즉, 변수가 하나인 불평등 시스템이라고 합니다. 솔루션은 다음과 같은 ODZ 표기법으로 이어집니다.

답변: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

변화를 주도할 때 DPD를 고려하는 것이 왜 중요한가요?

신원 변환 중에는 ODZ를 찾는 것이 중요합니다. ODZ의 존재가 발생하지 않는 경우가 있습니다. 주어진 표현식에 해가 있는지 여부를 이해하려면 원래 표현식 변수의 VA와 결과 표현식의 VA를 비교해야 합니다.

신원 변환:

DL에 영향을 미치지 않을 수 있습니다.
DZ의 확장이나 추가로 이어질 수 있습니다.
DZ를 좁힐 수 있습니다.

예를 살펴보겠습니다.

실시예 7

x 2 + x + 3 · x 형식의 표현식이 있는 경우 해당 ODZ는 전체 정의 영역에 걸쳐 정의됩니다. 비슷한 용어를 가져와 표현을 단순화해도 ODZ는 변하지 않습니다.

실시예 8

x + 3 x − 3 x 표현식의 예를 취하면 상황이 달라집니다. 분수 표현이 있습니다. 그리고 우리는 0으로 나누는 것이 용납되지 않는다는 것을 알고 있습니다. 그러면 ODZ의 형식은 (− , 0) ∪ (0, + ) 입니다. 0은 해가 아니므로 괄호로 추가함을 알 수 있습니다.

급진적인 표현이 있는 예를 생각해 봅시다.

실시예 9

x - 1 · x - 3이 있는 경우 부등식 (x − 1) · (x − 3) ≥ 0으로 작성해야 하므로 ODZ에 주의해야 합니다. 간격 방법으로 해결하는 것이 가능하며, 그러면 ODZ가 (− , 1 ] ∪ [ 3 , + ) 형식을 취한다는 것을 알 수 있습니다. x - 1 · x - 3을 변환하고 근의 속성을 적용하면 ODZ가 보완될 수 있고 모든 것이 x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ 형식의 부등식 시스템 형태로 작성될 수 있음을 알 수 있습니다. 0. 이를 풀면 [ 3 , + ) 이라는 것을 알 수 있습니다. 이는 ODZ가 다음과 같이 완전히 작성되었음을 의미합니다: (− , 1 ] ∪ [ 3 , + ).

DZ를 좁히는 변환은 피해야 합니다.

실시예 10

x = - 1일 때 x - 1 · x - 3이라는 표현의 예를 생각해 봅시다. 대입하면 - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 가 됩니다. 이 표현식을 변환하여 x - 1 · x - 3 형식으로 가져오면 계산할 때 2 - 1 · 2 - 3이라는 표현이 의미가 없다는 것을 알게 됩니다. 왜냐하면 근호 표현은 음수가 아니기 때문입니다.

ODZ가 변경되지 않는 동일한 변환을 준수해야 합니다.

이를 확장하는 예제가 있는 경우 DL에 추가해야 합니다.

실시예 11

x x 3 + x 형식의 분수 예를 살펴보겠습니다. x로 취소하면 1 x 2 + 1이 됩니다. 그런 다음 ODZ가 확장되어 (− 0 0) ∪ (0 , + )이 됩니다. 또한 계산할 때 이미 두 번째 단순화된 분수를 사용하여 작업하고 있습니다.

로그가 있으면 상황이 약간 다릅니다.

실시예 12

ln x + ln (x + 3) 형태의 표현이 있으면 로그의 성질에 따라 ln (x · (x + 3))으로 대체됩니다. 이것으로부터 우리는 ODZ가 (0 , + )에서 (− , − 3) ∪ (0 , + ) 까지임을 알 수 있습니다. 따라서 ODZ ln (x · (x + 3))을 결정하려면 ODZ, 즉 (0, + ) 세트에 대한 계산을 수행해야 합니다.

문제를 풀 때에는 항상 조건이 제시하는 표현의 구조와 유형에 주의를 기울일 필요가 있습니다. 정의 영역을 올바르게 찾으면 결과는 긍정적입니다.

텍스트에 오류가 있으면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르세요.

정의
기능와이 = 에프 (엑스)법칙(규칙, 매핑)이라고 하며, 이에 따르면 집합 X의 각 요소 x는 집합 Y의 단 하나의 요소 y와 연관됩니다.

집합 X라고 불린다. 함수의 영역.
요소 집합 y ∈ 와이세트 X에 사전 이미지가 있는 를 이라고 합니다. 함수 값 세트(또는 값의 범위).

도메인함수는 때때로 호출됩니다. 정의 세트또는 많은 작업기능.

요소 x ∈ 엑스~라고 불리는 함수 인수또는 독립 변수.
요소 y ∈ 와이~라고 불리는 함수값또는 종속변수.

매핑 f 자체가 호출됩니다. 기능의 특징.

특성 f에는 두 요소와 정의 집합의 두 요소가 동일한 값을 갖는 경우 , 그러면 이라는 속성이 있습니다.

특성을 나타내는 기호는 기능값 요소의 기호와 동일할 수 있다. 즉, 다음과 같이 작성할 수 있습니다. y는 함수 값 집합의 요소이고 요소 x가 요소 y와 연관되는 규칙이라는 점을 기억할 가치가 있습니다.

함수 자체를 계산하는 과정은 세 단계로 구성됩니다. 첫 번째 단계에서는 집합 X에서 요소 x를 선택합니다. 다음으로, 규칙을 사용하여 요소 x는 집합 Y의 요소와 연관됩니다. 세 번째 단계에서는 이 요소가 변수 y에 할당됩니다.

함수의 비공개 값인수의 선택된(특정) 값이 주어지면 함수의 값을 호출합니다.

함수 f의 그래프쌍의 집합이라고 합니다.

복잡한 기능

정의
기능을 부여하고 부여하십시오. 또한 함수 f의 정의 영역에는 함수 g의 값 집합이 포함됩니다. 그런 다음 함수 g 정의 영역의 각 요소 t는 요소 x에 해당하고 이 x는 y에 해당합니다. 이 서신은 복잡한 기능: .

복잡한 함수라고도 합니다. 기능의 구성 또는 중첩때로는 다음과 같이 표시됩니다.

수학적 분석에서는 함수의 특성이 하나의 문자나 기호로 표시되면 동일한 대응을 지정하는 것으로 일반적으로 받아들여집니다. 그러나 다른 분야에서는 특성은 동일하지만 인수가 다른 매핑을 다른 것으로 간주하는 또 다른 표기 방법이 있습니다. 즉, 매핑이 다른 것으로 간주됩니다. 물리학의 예를 들어 보겠습니다. 좌표에 대한 운동량의 의존성을 고려한다고 가정 해 봅시다. 그리고 시간에 대한 좌표의 의존성을 갖도록 하겠습니다. 그렇다면 시간에 대한 충동의 의존성은 복잡한 기능입니다. 다만, 간략하게 다음과 같이 지정한다. 이 접근 방식을 사용하면 및 기능이 다릅니다. 동일한 인수 값이 주어지면 서로 다른 값을 제공할 수 있습니다. 이 표기법은 수학에서는 허용되지 않습니다. 감소가 필요한 경우 새로운 특성을 도입해야 합니다. 예를 들어 . 그러면 과 가 서로 다른 기능임을 분명히 알 수 있습니다.

유효한 기능

함수의 영역과 그 값의 집합은 임의의 집합이 될 수 있습니다.
예를 들어, 숫자 시퀀스는 도메인이 자연수 집합이고 값 집합이 실수 또는 복소수인 함수입니다.
외적도 함수입니다. 두 벡터에 대해 벡터 값은 하나만 있기 때문입니다. 여기서 정의 영역은 가능한 모든 벡터 쌍의 집합입니다. 값 집합은 모든 벡터의 집합입니다.
부울 표현식은 함수입니다. 정의 영역은 실수 집합(또는 "0" 요소와의 비교 연산이 정의된 집합)입니다. 값 세트는 "true"와 "false"라는 두 가지 요소로 구성됩니다.

수치 함수는 수학적 분석에서 중요한 역할을 합니다.

숫자 함수값이 실수 또는 복소수인 함수입니다.

실제 또는 실제 함수값이 실수인 함수입니다.

최대 및 최소

실수에는 비교 연산이 있습니다. 따라서 실제 함수의 값 집합은 제한될 수 있으며 가장 큰 값과 가장 작은 값을 가질 수 있습니다.

실제 함수가 호출됩니다. 위에서부터(아래에서) 제한됨, 불평등이 모든 사람에게 적용되는 숫자 M이 있는 경우:
.

숫자 함수가 호출됩니다. 제한된, 모든 사람에 대해 다음과 같은 숫자 M이 있는 경우:
.

최대 M(최소 m)함수 f, 일부 집합 X에서 함수의 값은 해당 인수의 특정 값에 대해 호출됩니다.
.

상단 가장자리또는 정확한 상한위에 제한된 실제 함수는 위에서 값의 범위를 제한하는 가장 작은 숫자입니다. 즉, 이것은 모든 사람과 누구에게나 함수 값이 s′: 를 초과하는 인수가 있는 숫자 s입니다.
함수의 상한은 다음과 같이 표시될 수 있습니다.
.

상한 함수의 상한

하단 가장자리또는 정확한 하한아래로부터 제한된 실수 함수는 아래로부터 값의 범위를 제한하는 가장 큰 숫자입니다. 즉, 이것은 모든 사람과 누구에게나 함수 값이 i′:보다 작은 인수가 있는 숫자 i입니다.
함수의 극한은 다음과 같이 표시될 수 있습니다:
.

하한 함수의 극한무한대의 지점이다.

따라서 비어 있지 않은 집합 X의 모든 실수 함수에는 상한과 하한이 있습니다. 그러나 모든 기능에 최대값과 최소값이 있는 것은 아닙니다.

예를 들어, 열린 간격에 정의된 함수를 생각해 보십시오.
이 간격에서는 위에서부터 값으로 제한됩니다. 1 아래 - 값 0 :
모든 .
이 함수에는 상한과 하한이 있습니다.
.
그러나 최대값과 최소값은 없습니다.

세그먼트에서 동일한 함수를 고려하면 이 세트에서는 위와 아래의 경계가 있고 상한과 하한이 있으며 최대값과 최소값이 있습니다.
모든 ;
;
.

단조함수

함수 증가 및 감소의 정의
함수를 실수 X의 집합에 대해 정의하겠습니다. 함수가 호출됩니다. 엄격하게 증가하다 (엄격히 감소하다)
.
함수가 호출됩니다. 감소하지 않음(증가하지 않음), 다음과 같은 부등식이 성립하는 경우:
.

단조 함수의 정의
함수가 호출됩니다. 단조로운, 감소하지 않거나 증가하지 않는 경우.

다중값 함수

다중값 함수의 예입니다. 가지가 다른 색상으로 표시됩니다. 각 분기는 함수입니다.

함수 정의에서 다음과 같이 정의 영역의 각 요소 x는 값 집합의 하나의 요소와만 연관됩니다. 그러나 요소 x에 여러 개 또는 무한한 수의 이미지가 있는 매핑이 있습니다.

예를 들어 다음 함수를 고려해보세요. 아크사인: . 이는 함수의 역함수이다 공동다음 방정식으로 결정됩니다.
(1) .
구간에 속하는 독립 변수 x의 주어진 값에 대해 이 방정식은 무한히 많은 y 값으로 충족됩니다(그림 참조).

방정식 (1)의 해에 제한을 가해 보겠습니다. 허락하다
(2) .
이 조건에서 주어진 값은 방정식 (1)에 대한 단 하나의 해에 해당합니다. 즉, 조건 (2)에서 식 (1)로 정의된 대응관계는 함수이다.

조건 (2) 대신 다음 형식의 다른 조건을 부과할 수 있습니다.
(2.n) ,
여기서 n은 정수입니다. 결과적으로 n의 각 값에 대해 다른 함수와 다른 고유한 함수를 얻게 됩니다. 유사한 기능이 많이 있습니다. 다중값 함수. 그리고 조건 (2.n) 하에서 (1)로부터 결정된 함수는 다음과 같습니다. 다중값 함수의 분기.

이는 특정 세트에 정의된 기능 세트입니다.

다중값 함수 분기다중값 함수에 포함된 함수 중 하나입니다.

단일 값 함수기능이다.

참고자료:
O.I. Besov. 수학적 분석에 대한 강의. 1부. 모스크바, 2004년.
L.D. Kudryavtsev. 수학적 분석 과정. 1권. 모스크바, 2003.
센티미터. 니콜스키. 수학적 분석 과정. 1권. 모스크바, 1983년.

수학에는 상당히 적은 수의 기본 함수가 있으며 그 범위는 제한되어 있습니다. 다른 모든 "복잡한" 기능은 단지 이들의 조합 및 조합일 뿐입니다.