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일반직업교육부

소치 주립 관광대학교

그리고 리조트 사업

교육학 연구소

수학 학부

일반수학과

대학원 과정

푸리에 급수와 그 응용

수리 물리학에서.

완료자: 5학년 학생

정규 교육 서명

전문 010100

"수학"

Kasperova N.S.

학생번호 95471

과학지도자: 부교수, 후보자.

기술 서명 과학

포진 P.A.

소치, 2000년

1. 소개.

2. 컨셉 푸리에 급수.

2.1. 푸리에 급수 계수 결정.

2.2. 주기 함수의 적분.

3. 푸리에 급수의 수렴 징후.

3.1. 푸리에 급수의 함수 확장 예.

4. 주기 함수의 푸리에 급수 확장에 대한 참고 사항

5. 짝수 및 홀수 함수에 대한 푸리에 급수.

6. 주기 2를 갖는 함수에 대한 푸리에 급수 엘 .

7. 비주기 함수의 푸리에 급수 확장.

소개.

Jean Baptiste Joseph Fourier - 프랑스 수학자, 파리 과학 아카데미 회원(1817).

대수학과 관련된 푸리에의 첫 번째 작품. 이미 1796년 강의에서 그는 실근의 수에 관한 정리를 제시했습니다. 대수 방정식이 국경 사이에 놓여 있으며(1820년 출판) 그의 이름을 따서 명명되었습니다. 완벽한 솔루션대수 방정식의 실수근 수는 1829년 J.S.F. 폭행으로. 1818년 푸리에는 프랑스 수학자 J.R. Murailem. 방정식을 풀기 위한 수치적 방법에 대한 푸리에의 연구 결과는 1831년 사후에 출판된 "정한 방정식 분석"입니다.

푸리에의 주요 연구 분야는 수리 물리학이었습니다. 1807년과 1811년에 그는 파리 과학 아카데미에 열 전파 이론에 대한 첫 번째 발견을 발표했습니다. 입체, 그리고 1822년에 출판됨 유명한 작품이후 수학사에서 중요한 역할을 한 “열의 분석 이론”. 이것 - 수학적 이론열 전도성. 방법의 보편성으로 인해 이 책은 모든 것의 원천이 되었다. 현대적인 방법수학 물리학. 이 연구에서 푸리에가 도출한 미분 방정식열전도율과 가장 발전된 아이디어 일반 개요 D. Bernoulli는 이전에 D. Bernoulli가 특정 경계 조건 하에서 열 방정식을 풀기 위해 변수를 분리하는 방법(푸리에 방법)을 개발했으며, 이를 여러 가지 특수한 경우(입방체, 원통 등)에 적용했습니다. 이 방법은 삼각 푸리에 급수에 의한 함수 표현을 기반으로 합니다.

푸리에 급수는 이제 경계값 문제를 해결하기 위한 편미분 방정식 이론에서 잘 개발된 도구가 되었습니다.

1. 푸리에 급수의 개념.(p. 94, Uvarenkov)

푸리에 급수는 수리 물리학, 탄성 이론, 전기 공학, 특히 그 분야에서 중요한 역할을 합니다. 특별한 경우– 삼각 푸리에 급수.

삼각함수 계열은 다음 형식의 계열입니다.

또는 상징적으로:

(1)

여기서 Ω, a 0, a 1, …, an n, …, b 0, b 1, …, b n, …은 상수(Ω>0)입니다.

물리학의 일부 문제는 역사적으로 끈 진동 문제(18세기), 열전도 현상의 규칙성 문제 등과 같은 급수에 대한 연구로 이어졌습니다. 응용 분야에서는 삼각 급수를 고려합니다. , 주로 대표 업무와 관련이 있음 이 운동의, 방정식 y = f(χ)로 설명됩니다.

가장 단순한 것의 합으로 고조파 진동, 종종 무기한으로 복용 큰 숫자, 즉, (1) 형식의 계열의 합입니다.

따라서 우리는 다음 문제에 도달합니다. 주어진 구간에서 주어진 함수 f(x)에 대해 이 구간에서 이 함수로 수렴하는 계열(1)이 존재하는지 확인하는 것입니다. 이것이 가능하다면, 그들은 이 간격에서 함수 f(x)가 다음으로 확장된다고 말합니다. 삼각함수 시리즈.

계열 (1)은 함수의 주기성으로 인해 x 0 지점에서 수렴합니다.

(n=1,2,..), 이는 형식의 모든 점(m은 임의의 정수)에서 수렴하는 것으로 판명될 것이며, 따라서 그 합 S(x)는 다음과 같습니다(수열의 수렴 영역에서). ) 주기 함수: 만약 S n ( x) – n 번째 부분이 계열의 합은 다음과 같습니다.

따라서

, 즉 S(x 0 +T)=S(x 0)입니다. 따라서 일부 함수 f(x)를 일련의 형식 (1)로 확장하는 것에 대해 말하면 f(x)를 주기 함수라고 가정합니다.

2. 푸리에 공식을 사용한 계열 계수 결정.

주기 2π를 갖는 주기 함수 f(x)를 간격 (-π, π)에서 주어진 함수로 수렴하는 삼각 급수로 표현되도록 합니다. 즉, 이 급수의 합입니다.

. (2)

이 등식의 좌변에 있는 함수의 적분은 이 급수 항의 적분의 합과 같다고 가정해 보겠습니다. 주어진 삼각함수 계열의 계수로 구성된 수열이 절대적으로 수렴한다고 가정하면, 즉 양수 계열이 수렴한다고 가정하면 이는 사실이 됩니다.

(3)

계열 (1)은 주요화 가능하며 구간 (-π, π)에서 항별로 적분될 수 있습니다. 평등(2)의 양면을 통합해 보겠습니다.

.

오른쪽에 나타나는 각 적분을 개별적으로 평가해 보겠습니다.

, , .

따라서,

, 어디 . (4)

푸리에 계수 추정.(부그로프)

정리 1. 주기 2π의 함수 f(x)가 연속 도함수 f( s) (x) 주문 s, 전체 실수 축의 부등식을 충족합니다.

│ │ (s) (x)│≤ M s ; (5)

그런 다음 함수의 푸리에 계수 ƒ 불평등을 만족시키다

(6)

증거. 부품별로 통합하고 다음 사항을 고려합니다.

θ(-π) = θ(π), 우리는

통합 오른쪽(7) 일관되게, 도함수 θ, …, θ(s-1)이 연속적이며 다음을 취한다는 점을 고려합니다. 동일한 값점 t = -π 및 t = π와 추정값(5)에서 첫 번째 추정값(6)을 얻습니다.

두 번째 추정치(6)도 비슷한 방식으로 구해집니다.

정리 2. 푸리에 계수 f(x)에 대해 다음 부등식이 성립합니다.

(8)

증거. 우리는

주기가 2π인 주기 함수의 푸리에 계열.

푸리에 급수를 사용하면 주기 함수를 구성 요소로 분해하여 연구할 수 있습니다. 교류크랭크 메커니즘의 응력, 변위, 속도 및 가속도 및 음파- 이것들은 전형적이다 실제 사례엔지니어링 계산에 주기 함수를 적용합니다.

푸리에 급수 확장은 다음과 같은 가정에 기초합니다. 실질적인 의미간격 -π ≤x≤ π의 함수는 수렴 삼각 급수의 형태로 표현될 수 있습니다(해당 항으로 구성된 부분합의 수열이 수렴하는 경우 급수는 수렴하는 것으로 간주됩니다).

sinx와 cosx의 합을 통한 표준(=보통) 표기법

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

여기서 a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,..는 실수 상수입니다. 즉,

여기서 -π에서 π까지의 범위에 대해 푸리에 급수의 계수는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

계수 a o , an 및 bn 을 호출합니다. 푸리에 계수, 찾을 수 있으면 계열 (1)이 호출됩니다. 푸리에 옆에,함수 f(x)에 해당합니다. 급수 (1)의 경우 (a 1 cosx+b 1 sinx) 항을 첫 번째 또는 기본 고조파,

시리즈를 작성하는 또 다른 방법은 acosx+bsinx=csin(x+α) 관계를 사용하는 것입니다.

f(x)=a o +c 1 죄(x+α 1)+c 2 죄(2x+α 2)+...+c n 죄(nx+α n)

a o가 상수인 경우 c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(an 2 +b n 2) 1/2는 다양한 구성 요소의 진폭이며 a n =arctg an과 같습니다. /b n.

계열 (1)의 경우 항 (a 1 cosx+b 1 sinx) 또는 c 1 sin(x+α 1)을 첫 번째 또는 기본 고조파,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) 또는 c 2 sin(2x+α 2)가 호출됩니다. 두 번째 고조파등등.

정확한 표현을 위해 복잡한 신호일반적으로 무한한 수의 회원이 필요합니다. 그러나 많은 경우 실질적인 문제처음 몇 개의 용어만 고려하는 것으로 충분합니다.

주기가 2π인 비주기 함수의 푸리에 급수.

비주기적 기능의 확장.

함수 f(x)가 비주기적이라면 x의 모든 값에 대해 푸리에 급수로 확장할 수 없다는 의미입니다. 그러나 너비 2π의 모든 범위에 대한 함수를 나타내는 푸리에 급수를 정의하는 것이 가능합니다.

비주기 함수가 주어지면 특정 범위 내에서 f(x)의 값을 선택하고 그 범위 밖에서 2π 간격으로 반복함으로써 새로운 함수를 구성할 수 있습니다. 왜냐하면 새로운 기능는 2π 주기로 주기적이므로 모든 x 값에 대해 푸리에 급수로 확장될 수 있습니다. 예를 들어, 함수 f(x)=x는 주기적이지 않습니다. 그러나 o에서 2π까지의 구간에서 푸리에 급수로 확장해야 하는 경우 이 구간 밖에서 주기가 2π인 주기 함수가 구성됩니다(아래 그림 참조).

f(x)=x와 같은 비주기 함수의 경우 푸리에 급수의 합은 주어진 범위의 모든 점에서 f(x) 값과 동일하지만 점에 대해서는 f(x)와 같지 않습니다. 범위 밖에 있습니다. 2π 범위에서 비주기 함수의 푸리에 계열을 찾으려면 동일한 푸리에 계수 공식이 사용됩니다.

짝수 및 홀수 기능.

그들은 함수 y=f(x)라고 말합니다. 심지어, x의 모든 값에 대해 f(-x)=f(x)인 경우. 짝수 함수의 그래프는 항상 y축을 중심으로 대칭입니다(즉, 거울상입니다). 짝수 함수의 두 가지 예: y=x2 및 y=cosx.

그들은 함수 y=f(x)라고 말합니다. 이상한, x의 모든 값에 대해 f(-x)=-f(x)인 경우. 홀수 함수의 그래프는 항상 원점을 기준으로 대칭입니다.

많은 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.

코사인의 푸리에 급수 전개.

주기가 2π인 짝수 주기 함수 f(x)의 푸리에 급수는 코사인 항만 포함하며(즉, 사인 항은 없음) 상수 항을 포함할 수 있습니다. 따라서,

푸리에 급수의 계수는 어디에 있습니까?

주기가 2π인 홀수 주기 함수 f(x)의 푸리에 급수에는 사인이 있는 항만 포함됩니다(즉, 코사인이 있는 항은 포함되지 않습니다).

따라서,

푸리에 급수의 계수는 어디에 있습니까?

반주기의 푸리에 시리즈.

함수가 0에서 2π가 아니라 0에서 π까지의 범위에 대해 정의된 경우 사인 또는 코사인에서만 계열로 확장할 수 있습니다. 결과 푸리에 급수는 다음과 같습니다. 반주기에서 푸리에 근처.

분해를 원하시면 코사인에 의한 반주기 푸리에함수 f(x)가 0에서 π 사이의 범위에 있는 경우 짝수 주기 함수를 구성해야 합니다. 그림에서. 아래는 x=0에서 x=π까지의 구간을 기반으로 구축된 함수 f(x)=x입니다. 왜냐하면 균일한 기능 f(x) 축에 대해 대칭인 선 AB를 그림과 같이 그립니다. 아래에. 고려된 간격 외부에서 결과 삼각형 모양이 2π 주기로 주기적이라고 가정하면 최종 그래프는 다음과 같습니다. 그림에서. 아래에. 이전과 마찬가지로 코사인에서 푸리에 확장을 구해야 하므로 푸리에 계수 a o 및 an n을 계산합니다.

당신이 얻을 필요가있는 경우 사인의 푸리에 반주기 확장 0에서 π 사이의 함수 f(x)를 사용하려면 홀수 주기 함수를 구성해야 합니다. 그림에서. 다음은 x=0에서 x=π까지의 구간을 기반으로 구축된 함수 f(x)=x입니다. 홀수 함수는 원점을 기준으로 대칭이므로 그림 3과 같이 선 CD를 구성합니다. 고려된 간격 외부에서 결과 톱니파 신호가 2π 주기로 주기적이라고 가정하면 최종 그래프는 그림 1에 표시된 형태를 갖습니다. 이전과 마찬가지로 사인으로 반주기의 푸리에 확장을 구해야 하므로 푸리에 계수를 계산합니다. 비

임의의 간격에 대한 푸리에 시리즈.

주기 L을 사용한 주기 함수의 확장

주기 함수 f(x)는 x가 L만큼 증가함에 따라 반복됩니다. 즉, 에프(엑스+엘)=에프(엑스). 이전에 고려한 주기가 2π인 함수에서 주기가 L인 함수로 전환하는 것은 매우 간단합니다. 변수 변경을 사용하여 수행할 수 있기 때문입니다.

-L/2≤x≤L/2 범위에서 함수 f(x)의 푸리에 급수를 찾기 위해 함수 f(x)가 u에 대해 2π의 주기를 갖도록 새 변수 u를 도입합니다. u=2πx/L이면 u=-π에 대해 x=-L/2이고 u=π에 대해 x=L/2입니다. 또한 f(x)=f(Lu/2π)=F(u)로 둡니다. 푸리에 급수 F(u)는 다음 형식을 갖습니다.

(적분 한계는 길이 L의 간격(예: 0에서 L까지)으로 대체될 수 있습니다.)

간격 L≠2π에 지정된 함수에 대한 반주기의 푸리에 급수.

u=πх/L 치환의 경우 x=0에서 x=L까지의 구간은 u=0에서 u=π까지의 구간에 해당합니다. 결과적으로 함수는 코사인 또는 사인에서만 계열로 확장될 수 있습니다. V 반주기의 푸리에 급수.

0에서 L까지의 범위에서 코사인 전개는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

함수를 구성요소로 분해합니다. 교류 및 전압, 변위, 크랭크 메커니즘의 속도 및 가속도와 음파는 엔지니어링 계산에서 주기 함수를 사용하는 전형적인 실제 예입니다.

푸리에 급수 전개는 -π ≤x≤ π 구간에서 실제적으로 중요한 모든 함수가 수렴 삼각 급수 형태로 표현될 수 있다는 가정에 기초합니다(부분합의 수열이 해당 항으로 구성된 경우 급수는 수렴하는 것으로 간주됩니다). 수렴):

sinx와 cosx의 합을 통한 표준(=보통) 표기법

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

여기서 a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,..는 실수 상수입니다. 즉,

여기서 -π에서 π까지의 범위에 대해 푸리에 급수의 계수는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

계수 a o , an 및 bn 을 호출합니다. 푸리에 계수, 찾을 수 있으면 계열 (1)이 호출됩니다. 푸리에 옆에,함수 f(x)에 해당합니다. 급수 (1)의 경우 (a 1 cosx+b 1 sinx) 항을 첫 번째 또는 기본 고조파,

시리즈를 작성하는 또 다른 방법은 acosx+bsinx=csin(x+α) 관계를 사용하는 것입니다.

f(x)=a o +c 1 죄(x+α 1)+c 2 죄(2x+α 2)+...+c n 죄(nx+α n)

a o가 상수인 경우 c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(an 2 +b n 2) 1/2는 다양한 구성 요소의 진폭이며 a n =arctg an과 같습니다. /b n.

계열 (1)의 경우 항 (a 1 cosx+b 1 sinx) 또는 c 1 sin(x+α 1)을 첫 번째 또는 기본 고조파,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) 또는 c 2 sin(2x+α 2)가 호출됩니다. 두 번째 고조파등등.

복잡한 신호를 정확하게 표현하려면 일반적으로 무한한 수의 항이 필요합니다. 그러나 많은 실제 문제에서는 처음 몇 가지 항만 고려하는 것으로 충분합니다.

주기가 2π인 비주기 함수의 푸리에 급수.

비주기 함수를 푸리에 급수로 확장합니다.

함수 f(x)가 비주기적이라면 x의 모든 값에 대해 푸리에 급수로 확장할 수 없다는 의미입니다. 그러나 너비 2π의 모든 범위에 대한 함수를 나타내는 푸리에 급수를 정의하는 것이 가능합니다.

비주기 함수가 주어지면 특정 범위 내에서 f(x)의 값을 선택하고 그 범위 밖에서 2π 간격으로 반복함으로써 새로운 함수를 구성할 수 있습니다. 새로운 함수는 주기가 2π인 주기 함수이므로 모든 x 값에 대해 푸리에 급수로 확장될 수 있습니다. 예를 들어, 함수 f(x)=x는 주기적이지 않습니다. 그러나 o에서 2π까지의 구간에서 푸리에 급수로 확장해야 하는 경우 이 구간 밖에서 주기가 2π인 주기 함수가 구성됩니다(아래 그림 참조).

f(x)=x와 같은 비주기 함수의 경우 푸리에 급수의 합은 주어진 범위의 모든 점에서 f(x) 값과 동일하지만 점에 대해서는 f(x)와 같지 않습니다. 범위 밖에 있습니다. 2π 범위에서 비주기 함수의 푸리에 계열을 찾으려면 동일한 푸리에 계수 공식이 사용됩니다.

짝수 및 홀수 기능.

그들은 함수 y=f(x)라고 말합니다. 심지어, x의 모든 값에 대해 f(-x)=f(x)인 경우. 짝수 함수의 그래프는 항상 y축을 중심으로 대칭입니다(즉, 거울상입니다). 짝수 함수의 두 가지 예: y=x2 및 y=cosx.

그들은 함수 y=f(x)라고 말합니다. 이상한, x의 모든 값에 대해 f(-x)=-f(x)인 경우. 홀수 함수의 그래프는 항상 원점을 기준으로 대칭입니다.

많은 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.

코사인의 푸리에 급수 전개.

주기가 2π인 짝수 주기 함수 f(x)의 푸리에 급수는 코사인 항만 포함하며(즉, 사인 항은 없음) 상수 항을 포함할 수 있습니다. 따라서,

푸리에 급수의 계수는 어디에 있습니까?

주기가 2π인 홀수 주기 함수 f(x)의 푸리에 급수에는 사인이 있는 항만 포함됩니다(즉, 코사인이 있는 항은 포함되지 않습니다).

따라서,

푸리에 급수의 계수는 어디에 있습니까?

반주기의 푸리에 시리즈.

함수가 0에서 2π가 아니라 0에서 π까지의 범위에 대해 정의된 경우 사인 또는 코사인에서만 계열로 확장할 수 있습니다. 결과 푸리에 급수는 다음과 같습니다. 반주기에서 푸리에 근처.

분해를 원하시면 코사인에 의한 반주기 푸리에함수 f(x)가 0에서 π 사이의 범위에 있는 경우 짝수 주기 함수를 구성해야 합니다. 그림에서. 다음은 x=0에서 x=π까지의 구간을 기반으로 구축된 함수 f(x)=x입니다. 짝수 함수는 f(x) 축에 대해 대칭이므로 그림 3과 같이 선 AB를 그립니다. 아래에. 고려된 간격 외부에서 결과 삼각형 모양이 2π 주기로 주기적이라고 가정하면 최종 그래프는 다음과 같습니다. 그림에서. 아래에. 이전과 마찬가지로 코사인에서 푸리에 확장을 구해야 하므로 푸리에 계수 a o 및 an n을 계산합니다.

0에서 π 사이의 함수 f(x)를 얻으려면 홀수 주기 함수를 생성해야 합니다. 그림에서. 다음은 x=0에서 x=π까지의 구간을 기반으로 구축된 함수 f(x)=x입니다. 홀수 함수는 원점을 기준으로 대칭이므로 그림 3과 같이 선 CD를 구성합니다. 고려된 간격 외부에서 결과 톱니파 신호가 2π 주기로 주기적이라고 가정하면 최종 그래프는 그림 1에 표시된 형태를 갖습니다. 이전과 마찬가지로 사인으로 반주기의 푸리에 확장을 구해야 하므로 푸리에 계수를 계산합니다. 비

임의의 간격에 대한 푸리에 시리즈.

주기 L을 사용한 주기 함수의 확장

주기 함수 f(x)는 x가 L만큼 증가함에 따라 반복됩니다. 즉, 에프(엑스+엘)=에프(엑스). 이전에 고려한 주기가 2π인 함수에서 주기가 L인 함수로 전환하는 것은 매우 간단합니다. 변수 변경을 사용하여 수행할 수 있기 때문입니다.

-L/2≤x≤L/2 범위에서 함수 f(x)의 푸리에 급수를 찾기 위해 함수 f(x)가 u에 대해 2π의 주기를 갖도록 새 변수 u를 도입합니다. u=2πx/L이면 u=-π에 대해 x=-L/2이고 u=π에 대해 x=L/2입니다. 또한 f(x)=f(Lu/2π)=F(u)로 둡니다. 푸리에 급수 F(u)는 다음 형식을 갖습니다.

푸리에 급수의 계수는 어디에 있습니까?

그러나 위 공식은 x에 종속되는 경우가 더 많습니다. u=2πx/L이므로 du=(2π/L)dx를 의미하며 적분 한계는 -π에서 π가 아닌 -L/2에서 L/2까지입니다. 결과적으로, x 의존성에 대한 푸리에 급수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

여기서 -L/2부터 L/2까지의 범위는 푸리에 급수의 계수입니다.

(적분 한계는 길이 L의 간격(예: 0에서 L까지)으로 대체될 수 있습니다.)

간격 L≠2π에 지정된 함수에 대한 반주기의 푸리에 급수.

u=πх/L 치환의 경우 x=0에서 x=L까지의 구간은 u=0에서 u=π까지의 구간에 해당합니다. 결과적으로, 함수는 코사인 또는 사인에서만 계열로 확장될 수 있습니다. V 반주기의 푸리에 급수.

0에서 L까지의 범위에서 코사인 전개는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

주기가 2π인 주기 함수의 푸리에 계열.

푸리에 급수를 사용하면 주기 함수를 구성 요소로 분해하여 연구할 수 있습니다. 교류 및 전압, 변위, 크랭크 메커니즘의 속도 및 가속도와 음파는 엔지니어링 계산에서 주기 함수를 사용하는 전형적인 실제 예입니다.

푸리에 급수 전개는 -π ≤x≤ π 구간에서 실제적으로 중요한 모든 함수가 수렴 삼각 급수 형태로 표현될 수 있다는 가정에 기초합니다(부분합의 수열이 해당 항으로 구성된 경우 급수는 수렴하는 것으로 간주됩니다). 수렴):

sinx와 cosx의 합을 통한 표준(=보통) 표기법

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

여기서 a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,..는 실수 상수입니다. 즉,

여기서 -π에서 π까지의 범위에 대해 푸리에 급수의 계수는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

계수 a o , an 및 bn 을 호출합니다. 푸리에 계수, 찾을 수 있으면 계열 (1)이 호출됩니다. 푸리에 옆에,함수 f(x)에 해당합니다. 급수 (1)의 경우 (a 1 cosx+b 1 sinx) 항을 첫 번째 또는 기본 고조파,

시리즈를 작성하는 또 다른 방법은 acosx+bsinx=csin(x+α) 관계를 사용하는 것입니다.

f(x)=a o +c 1 죄(x+α 1)+c 2 죄(2x+α 2)+...+c n 죄(nx+α n)

a o가 상수인 경우 c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(an 2 +b n 2) 1/2는 다양한 구성 요소의 진폭이며 a n =arctg an과 같습니다. /b n.

계열 (1)의 경우 항 (a 1 cosx+b 1 sinx) 또는 c 1 sin(x+α 1)을 첫 번째 또는 기본 고조파,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) 또는 c 2 sin(2x+α 2)가 호출됩니다. 두 번째 고조파등등.

복잡한 신호를 정확하게 표현하려면 일반적으로 무한한 수의 항이 필요합니다. 그러나 많은 실제 문제에서는 처음 몇 가지 항만 고려하는 것으로 충분합니다.

주기가 2π인 비주기 함수의 푸리에 급수.

비주기적 기능의 확장.

함수 f(x)가 비주기적이라면 x의 모든 값에 대해 푸리에 급수로 확장할 수 없다는 의미입니다. 그러나 너비 2π의 모든 범위에 대한 함수를 나타내는 푸리에 급수를 정의하는 것이 가능합니다.

비주기 함수가 주어지면 특정 범위 내에서 f(x)의 값을 선택하고 그 범위 밖에서 2π 간격으로 반복함으로써 새로운 함수를 구성할 수 있습니다. 새로운 함수는 주기가 2π인 주기 함수이므로 모든 x 값에 대해 푸리에 급수로 확장될 수 있습니다. 예를 들어, 함수 f(x)=x는 주기적이지 않습니다. 그러나 o에서 2π까지의 구간에서 푸리에 급수로 확장해야 하는 경우 이 구간 밖에서 주기가 2π인 주기 함수가 구성됩니다(아래 그림 참조).

f(x)=x와 같은 비주기 함수의 경우 푸리에 급수의 합은 주어진 범위의 모든 점에서 f(x) 값과 동일하지만 점에 대해서는 f(x)와 같지 않습니다. 범위 밖에 있습니다. 2π 범위에서 비주기 함수의 푸리에 계열을 찾으려면 동일한 푸리에 계수 공식이 사용됩니다.

짝수 및 홀수 기능.

그들은 함수 y=f(x)라고 말합니다. 심지어, x의 모든 값에 대해 f(-x)=f(x)인 경우. 짝수 함수의 그래프는 항상 y축을 중심으로 대칭입니다(즉, 거울상입니다). 짝수 함수의 두 가지 예: y=x2 및 y=cosx.

그들은 함수 y=f(x)라고 말합니다. 이상한, x의 모든 값에 대해 f(-x)=-f(x)인 경우. 홀수 함수의 그래프는 항상 원점을 기준으로 대칭입니다.

많은 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.

코사인의 푸리에 급수 전개.

주기가 2π인 짝수 주기 함수 f(x)의 푸리에 급수는 코사인 항만 포함하며(즉, 사인 항은 없음) 상수 항을 포함할 수 있습니다. 따라서,

푸리에 급수의 계수는 어디에 있습니까?

주기가 2π인 홀수 주기 함수 f(x)의 푸리에 급수에는 사인이 있는 항만 포함됩니다(즉, 코사인이 있는 항은 포함되지 않습니다).

따라서,

푸리에 급수의 계수는 어디에 있습니까?

반주기의 푸리에 시리즈.

함수가 0에서 2π가 아니라 0에서 π까지의 범위에 대해 정의된 경우 사인 또는 코사인에서만 계열로 확장할 수 있습니다. 결과 푸리에 급수는 다음과 같습니다. 반주기에서 푸리에 근처.

분해를 원하시면 코사인에 의한 반주기 푸리에함수 f(x)가 0에서 π 사이의 범위에 있는 경우 짝수 주기 함수를 구성해야 합니다. 그림에서. 다음은 x=0에서 x=π까지의 구간을 기반으로 구축된 함수 f(x)=x입니다. 짝수 함수는 f(x) 축에 대해 대칭이므로 그림 3과 같이 선 AB를 그립니다. 아래에. 고려된 간격 외부에서 결과 삼각형 모양이 2π 주기로 주기적이라고 가정하면 최종 그래프는 다음과 같습니다. 그림에서. 아래에. 이전과 마찬가지로 코사인에서 푸리에 확장을 구해야 하므로 푸리에 계수 a o 및 an n을 계산합니다.

당신이 얻을 필요가있는 경우 사인의 푸리에 반주기 확장 0에서 π 사이의 함수 f(x)를 사용하려면 홀수 주기 함수를 구성해야 합니다. 그림에서. 다음은 x=0에서 x=π까지의 구간을 기반으로 구축된 함수 f(x)=x입니다. 홀수 함수는 원점을 기준으로 대칭이므로 그림 3과 같이 선 CD를 구성합니다. 고려된 간격 외부에서 결과 톱니파 신호가 2π 주기로 주기적이라고 가정하면 최종 그래프는 그림 1에 표시된 형태를 갖습니다. 이전과 마찬가지로 사인으로 반주기의 푸리에 확장을 구해야 하므로 푸리에 계수를 계산합니다. 비

임의의 간격에 대한 푸리에 시리즈.

주기 L을 사용한 주기 함수의 확장

주기 함수 f(x)는 x가 L만큼 증가함에 따라 반복됩니다. 즉, 에프(엑스+엘)=에프(엑스). 이전에 고려한 주기가 2π인 함수에서 주기가 L인 함수로 전환하는 것은 매우 간단합니다. 변수 변경을 사용하여 수행할 수 있기 때문입니다.

-L/2≤x≤L/2 범위에서 함수 f(x)의 푸리에 급수를 찾기 위해 함수 f(x)가 u에 대해 2π의 주기를 갖도록 새 변수 u를 도입합니다. u=2πx/L이면 u=-π에 대해 x=-L/2이고 u=π에 대해 x=L/2입니다. 또한 f(x)=f(Lu/2π)=F(u)로 둡니다. 푸리에 급수 F(u)는 다음 형식을 갖습니다.

(적분 한계는 길이 L의 간격(예: 0에서 L까지)으로 대체될 수 있습니다.)

간격 L≠2π에 지정된 함수에 대한 반주기의 푸리에 급수.

u=πх/L 치환의 경우 x=0에서 x=L까지의 구간은 u=0에서 u=π까지의 구간에 해당합니다. 결과적으로 함수는 코사인 또는 사인에서만 계열로 확장될 수 있습니다. V 반주기의 푸리에 급수.

0에서 L까지의 범위에서 코사인 전개는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

푸리에 급수는 특정 주기를 갖는 임의의 함수를 급수 형태로 표현한 것입니다. 안에 일반적인 견해 이 결정직교 기반으로 요소를 분해하는 것을 말합니다. 함수를 푸리에 급수로 확장하는 것은 적분, 미분, 인수 및 컨볼루션에 의한 표현 이동 중에 이러한 변환의 특성으로 인해 다양한 문제를 해결하는 매우 강력한 도구입니다.

고등 수학과 프랑스 과학자 푸리에의 작품에 익숙하지 않은 사람은 이러한 "시리즈"가 무엇인지, 무엇이 필요한지 이해하지 못할 가능성이 높습니다. 그 동안에 이 변환우리 삶의 일부가 되었습니다. 이는 수학자뿐만 아니라 물리학자, 화학자, 의사, 천문학자, 지진학자, 해양학자 등 많은 사람들이 사용합니다. 또한 시대를 앞선 발견을 한 위대한 프랑스 과학자의 작품을 자세히 살펴보겠습니다.

인간과 푸리에 변환

푸리에 계열은 분석 및 기타 방법과 함께 사람이 소리를 들을 때마다 발생하는 방법 중 하나입니다. 우리의 귀는 자동 모드기본 입자를 탄성 매체로 변환합니다(스펙트럼에 따라). 연속된 값톤의 볼륨 레벨 다른 높이. 다음으로, 뇌는 이 데이터를 우리에게 친숙한 소리로 바꿉니다. 이 모든 것은 우리의 욕망이나 의식 없이 저절로 발생하지만 이러한 과정을 이해하려면 고등 수학을 연구하는 데 몇 년이 걸릴 것입니다.

푸리에 변환에 대한 추가 정보

푸리에 변환은 분석적, 수치적 및 기타 방법을 사용하여 수행할 수 있습니다. 푸리에 급수는 바다의 조수와 광파에서 태양(및 기타 천체) 활동의 주기에 이르기까지 모든 진동 과정을 분해하는 수치적 방법을 나타냅니다. 이러한 수학적 기술을 사용하면 모든 진동 프로세스를 최소에서 최대로 그리고 그 반대로 이동하는 일련의 정현파 구성 요소로 나타내는 함수를 분석할 수 있습니다. 푸리에 변환은 특정 주파수에 해당하는 정현파의 위상과 진폭을 설명하는 함수입니다. 이 프로세스는 매우 많은 문제를 해결하는 데 사용될 수 있습니다. 복잡한 방정식, 열, 빛 또는 영향으로 발생하는 동적 프로세스를 설명합니다. 전기 에너지. 또한 푸리에 계열을 사용하면 복잡한 진동 신호에서 상수 성분을 분리할 수 있으므로 의학, 화학, 천문학에서 얻은 실험 관찰을 정확하게 해석할 수 있습니다.

역사적 참고자료

이 이론의 창시자는 프랑스 수학자 장 바티스트 조제프 푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)입니다. 이 변화는 이후 그의 이름을 따서 명명되었습니다. 처음에 과학자는 자신의 방법을 사용하여 열전도도 메커니즘, 즉 고체의 열 확산을 연구하고 설명했습니다. 푸리에는 초기의 불규칙 분포가 단순한 정현파로 분해될 수 있으며, 각각은 고유한 온도 최소값과 최대값은 물론 자체 위상을 갖게 될 것이라고 제안했습니다. 이 경우 각 구성 요소는 최소값에서 최대값까지 측정되며 그 반대도 됩니다. 수학 함수곡선의 상하 피크와 각 고조파의 위상을 나타내는 를 온도 분포 표현의 푸리에 변환이라고 불렀습니다. 이론의 저자가 모였습니다. 일반 기능유통이 어렵다. 수학적 설명, 매우 편리한 코사인 및 사인 계열로 변환하여 함께 원래 분포를 제공합니다.

변혁의 원리와 동시대인의 견해

과학자의 동시대 사람들(19세기 초의 주요 수학자)은 이 이론을 받아들이지 않았습니다. 주된 반대는 직선이나 불연속 곡선을 설명하는 불연속 함수가 연속적인 정현파 표현의 합으로 표현될 수 있다는 푸리에의 주장이었습니다. 예를 들어 헤비사이드(Heaviside) 단계를 생각해 보세요. 해당 값은 불연속점 왼쪽에서 0이고 오른쪽에서 1입니다. 이 기능회로가 닫힐 때 시간 변수에 대한 전류의 의존성을 설명합니다. 당시 이론의 동시대 사람들은 한 번도 만난 적이 없었습니다. 비슷한 상황, 불연속적인 표현이 연속적인 표현의 조합으로 설명되는 경우, 정상적인 기능, 지수, 사인, 선형 또는 2차와 같은 것입니다.

푸리에의 이론에 대해 프랑스 수학자들을 혼란스럽게 한 것은 무엇입니까?

결국, 수학자의 주장이 옳았다면, 무한 삼각 푸리에 급수를 합함으로써 유사한 단계가 많더라도 단계 표현의 정확한 표현을 얻을 수 있습니다. 19세기 초에는 그러한 진술이 터무니없는 것처럼 보였습니다. 그러나 모든 의심에도 불구하고 많은 수학자들은 이 현상에 대한 연구 범위를 열전도율 연구 이상으로 확대했습니다. 그러나 대부분의 과학자들은 다음과 같은 질문으로 계속 괴로워했습니다. “정현파 급수의 합이 다음으로 수렴할 수 있습니까? 정확한 값불연속 기능?

푸리에 급수의 수렴: 예

수렴의 문제는 무한한 수열의 합이 필요할 때마다 발생합니다. 이 현상을 이해하려면 다음을 고려하십시오. 전형적인 예. 이후의 각 단계가 이전 단계의 절반 크기라면 과연 벽에 도달할 수 있을까요? 목표로부터 2미터 떨어져 있다고 가정해 보겠습니다. 첫 번째 단계에서는 중간 지점으로 이동하고 다음 단계에서는 3/4 지점으로 이동하며 5번째 단계 이후에는 거의 97%의 경로를 이동하게 됩니다. 그러나 아무리 많은 단계를 밟아도 엄격한 수학적 의미에서 의도한 목표를 달성할 수는 없습니다. 수치 계산을 사용하면 결국 원하는 만큼 가까워지는 것이 가능하다는 것이 입증될 수 있습니다. 지정된 거리. 이 증명은 2분의 1, 4분의 1 등의 합이 1이 되는 경향이 있음을 입증하는 것과 같습니다.

융합의 문제: 재림, 혹은 켈빈 경의 장치

자꾸 이 질문 19세기 말에 그들은 푸리에 급수를 사용하여 썰물과 조수의 강도를 예측하려고 시도했습니다. 이때 켈빈 경은 발명된 장치, 이는 아날로그이다. 컴퓨팅 장치, 이를 통해 군대 및 상선 선원들이 이러한 자연 현상을 추적할 수 있었습니다. 이 메커니즘일년 내내 특정 항구에서 주의 깊게 측정된 조수 높이 및 해당 시점 테이블에서 위상 및 진폭 세트를 결정합니다. 각 매개변수는 조수 표현의 정현파 성분이었으며 정규 성분 중 하나였습니다. 측정값은 Lord Kelvin의 계산 도구에 입력되어 다음 해의 시간 함수로 물의 높이를 예측하는 곡선을 합성했습니다. 곧 세계의 모든 항구에 대해 유사한 곡선이 그려졌습니다.

불연속적인 기능으로 인해 프로세스가 중단되면 어떻게 되나요?

당시에는 해일 예측 장비가 있다는 것이 명백해 보였습니다. 큰 금액계정 요소는 다음을 계산할 수 있습니다. 많은 수의위상과 진폭을 분석하여 보다 정확한 예측을 제공합니다. 그러나 합성되어야 할 조석 표현이 급격한 점프를 포함하는, 즉 불연속적인 경우에는 이러한 패턴이 관찰되지 않는 것으로 밝혀졌다. 시간 순간 테이블의 데이터가 장치에 입력되면 여러 푸리에 계수가 계산됩니다. 발견된 계수에 따라 정현파 성분 덕분에 원래 기능이 복원됩니다. 원본 표현과 재구성된 표현 사이의 불일치는 어느 지점에서나 측정될 수 있습니다. 반복적인 계산과 비교를 수행하면 그 값이 분명해집니다. 가장 큰 실수감소하지 않습니다. 그러나 불연속점에 해당하는 영역에 국한되어 있으며 다른 지점에서는 0이 되는 경향이 있습니다. 이 결과는 1899년 예일대학교의 조슈아 윌라드 깁스(Joshua Willard Gibbs)에 의해 이론적으로 확인되었습니다.

푸리에 급수의 융합과 수학 전반의 발전

푸리에 분석은 특정 간격에 걸쳐 무한한 수의 스파이크를 포함하는 표현식에는 적용할 수 없습니다. 일반적으로 푸리에 급수는 원래의 함수를 실수의 결과로 표현하면 물리적 차원, 항상 수렴합니다. 융합 문제 이 과정특정 함수 클래스는 수학의 새로운 분야, 예를 들어 일반화 함수 이론의 출현으로 이어졌습니다. 그녀는 L. Schwartz, J. Mikusinski 및 J. Temple과 같은 이름과 관련이 있습니다. 이 이론의 틀 내에서 명확하고 정확한 이론적 기초 Dirac delta 함수(한 점의 극미한 이웃에 집중된 단일 영역의 영역을 설명함) 및 Heaviside "단계"와 같은 표현으로 사용됩니다. 이 연구 덕분에 푸리에 급수는 점 전하, 점 질량, 자기 쌍극자 및 빔의 집중 하중과 같은 직관적인 개념과 관련된 방정식 및 문제를 해결하는 데 적용 가능해졌습니다.

푸리에 방법

푸리에 급수는 간섭 원리에 따라 확장으로 시작됩니다. 복잡한 모양더 간단한 것까지. 예를 들어, 열 흐름의 변화는 불규칙한 모양의 단열재로 만들어진 다양한 장애물을 통과하거나 지구 표면의 변화(지진, 천체 궤도의 변화)를 통과함으로써 설명됩니다. 행성의. 일반적으로 간단한 고전 시스템을 설명하는 방정식은 각 개별 파동에 대해 쉽게 풀 수 있습니다. 푸리에는 다음을 보여주었다. 간단한 솔루션더 복잡한 문제에 대한 해결책을 얻기 위해 합산될 수도 있습니다. 수학적인 용어로 푸리에 급수는 표현을 코사인과 사인의 고조파의 합으로 표현하는 기술입니다. 그렇기 때문에 이 분석조화 분석이라고도 합니다.

푸리에 급수 - "컴퓨터 시대" 이전의 이상적인 기술

생성 전 컴퓨터 장비푸리에 기술은 우리 세계의 파동 특성을 다룰 때 과학자들의 무기고에서 최고의 무기였습니다. 복잡한 형태의 푸리에 급수는 다음을 풀 수 있을 뿐만 아니라 간단한 작업, 이는 뉴턴의 역학 법칙뿐만 아니라 기본 방정식을 직접 적용할 수도 있습니다. 19세기 뉴턴 과학의 대부분의 발견은 푸리에의 기술에 의해서만 가능해졌습니다.

오늘의 푸리에 급수

컴퓨터의 발달로 푸리에 변환이 질적인 수준으로 올라갔습니다. 새로운 레벨. 이 기술은 과학 기술의 거의 모든 분야에서 확고하게 자리 잡았습니다. 디지털 오디오와 비디오가 그 예입니다. 그 구현은 19세기 초 프랑스 수학자에 의해 개발된 이론 덕분에 가능해졌습니다. 이처럼 복잡한 형태의 푸리에 급수는 우주공간 연구에 획기적인 발전을 가져올 수 있게 되었다. 또한 반도체 재료 및 플라즈마 물리학, 마이크로파 음향학, 해양학, 레이더 및 지진학 연구에도 영향을 미쳤습니다.

삼각 푸리에 급수

수학에서 푸리에 급수는 임의를 표현하는 방법입니다. 복잡한 기능더 간단한 것들의 합. 안에 일반적인 경우그러한 표현의 수는 무한할 수 있습니다. 또한 계산 시 해당 숫자를 더 많이 고려할수록 최종 결과가 더 정확해집니다. 원생동물로 가장 많이 사용됨 삼각함수코사인 또는 사인. 이 경우 푸리에 급수를 삼각함수(trigonometric)라고 하며, 이러한 표현의 해를 조화 확장(harmonic Expansion)이라고 합니다. 이 방법은 수학에서 중요한 역할을 합니다. 우선, 삼각함수 계열은 함수를 묘사하고 연구하는 수단을 제공하며 이는 이론의 주요 장치입니다. 또한 수리 물리학의 여러 문제를 해결할 수 있습니다. 마지막으로, 이 이론은 수학 과학의 매우 중요한 여러 분야(적분 이론, 주기 함수 이론)의 발전에 기여했습니다. 또한, 발전의 출발점이 되기도 했습니다. 다음 기능실수 변수이며 조화 분석의 기초를 마련했습니다.