균일 연속 함수
함수가 어떤 간격(금지되거나 개방됨)에서 연속적이라면, 이는 우리가 이미 알고 있듯이 사전에 결정된 e> 0에 대해 이 간격의 임의 지점에 대해 g> 0이 존재하여 부등식으로부터
x 0 - x< д
불평등이 따른다
에프(엑스 0) - 에프(엑스)<
따라서 점 x만이 이 구간에도 포함됩니다.
따라서 q는 e에 따라 달라지는 것이 분명합니다. 또한 간격의 다른 지점과 동일한 경우 숫자 q도 다를 수 있습니다. d는 e뿐만 아니라 x0에도 의존합니다. 그러면 간격의 서로 다른 지점에 대한 d 값 중 동시에 d 값이 가장 작다는 사실이 근본적으로 중요하므로 그러한 것은 없습니다. 첫 번째 경우, 주어진 e > 0에 대해 구간의 모든 점에 공통인 값 q를 찾을 수 있으며, 그런 다음 고려 중인 구간의 함수가 균일 연속이라고 말합니다.
정의. 함수는 첫째로 이 간격의 모든 지점에서 정의되고 둘째로 다음 조건이 참인 경우 주어진 간격에서 균일하게 연속적이라고 합니다. 모든 임의의 작은 e> 0에 대해 그러한 e>를 연관시킬 수 있습니다. 0, 불평등 x 2 - x 1< д следует неравенство f(x 2) - f(x 1) < , причем х 1 и х 2 - два значения х, взятые в котором угодно месте промежутка.
함수의 균일 연속성의 정의는 함수가 어떤 구간에서 균일하게 연속되고 이 구간의 모든 지점에서 연속이라는 것을 의미합니다. pivinterval (0, 1]에 대한 함수의 예에서 볼 수 있듯이 반대 진술이 항상 참인 것은 아닙니다.
칸토어의 정리(함수의 균일한 연속성에 관한). 함수가 세그먼트 [a, b]에서 연속이면 이 세그먼트에서는 균일하게 연속됩니다.
증거. 임의의 작은 숫자 e > 0을 가정합니다. 세그먼트 [a, b]를 유한 개수 m개의 부분으로 나누어서 (a, b]에 대한 주어진 연속 함수의 진동이 획득된 각 부분에 대해 세그먼트
[a, c 1 ], [c 1 , c 2 ], [c 2 , c 3 ],…….., [c i , c i+1 ], …., [a, b],
미만이었습니다. 유한한 수의 부분 세그먼트가 있으므로 길이는 유한하므로 그 중에서 가장 작은 것이 있으며 이를 d로 표시합니다. 이제 세그먼트 [a, b]에서 두 점 x 1과 x 2를 취합니다. 그래서 그들 사이의 거리가 더 작아질 것입니다:
x 2 - x 1< д (95)
이러한 두 지점은 동일한 전용 세그먼트에 있거나 인접한 전용 세그먼트에 있을 수 있습니다. 첫 번째 경우
에프(x 2) - 에프(x 1)< , (96)
두 번째 경우에 인접한 개인 세그먼트의 공통 끝을 c i로 표시하면 다음을 얻습니다.
f(x 2) - f(x 1) =|f(x 2) - f(i 포함)+ f(i 포함) - f(x 1)|?,
에프(x 2) - 에프(x 1)< (97)
따라서 첫 번째 경우에는 불평등(96)이 불평등(95)에서 나오고, 두 번째 경우에는 불평등(97)이 불평등(95)에서 나옵니다. 정리가 입증되었습니다.
(이 속성은 세그먼트에만 적용되며 간격 및 절반 간격에는 적용되지 않습니다.)
함수는 구간 (0, a)에서는 연속이지만 그 구간에서는 균일하게 연속되지 않습니다. f(x 1) - f(x 2)>와 같은 값 x 1 및 x 2가 있는 숫자 >0이 있습니다. - x 1과 x 2가 0에 가까우면 어떤 숫자든 가능합니다.
논평
균일한 연속성의 정의에서 δ의 선택은 ε에 따라 다르지만 엑스 1 ,엑스 2 .
속성
- 세트에서 균일하게 연속되는 기능 중, 계속됩니다. 일반적으로 말하면 그 반대는 사실이 아닙니다. 예를 들어, 함수
정의의 전체 영역에 걸쳐 연속적이지만 src="/pictures/wiki/files/98/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png" border="0">에 대해 다음과 같이 임의로 작은 길이의 세그먼트를 지정할 수 있으므로 균일하게 연속적이지는 않습니다. 함수 값의 끝 부분에서 다른 예: 함수 값보다 더 다를 것입니다.
는 수직선 전체에서 연속이지만 균일하게 연속되지는 않습니다.
src="/pictures/wiki/files/98/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png" border="0">에 대해 함수 값의 차이가 발생하도록 임의로 작은 길이의 세그먼트를 선택할 수 있습니다. 에프(엑스) = 엑스 2 세그먼트의 끝 부분에는 특히 세그먼트에서 함수 값의 차이가 더 많이 발생하는 경향이 있습니다.
또한보십시오
위키미디어 재단. 2010.
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다른 사전에 "균등 연속 함수"가 무엇인지 확인하십시오.
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다저조파 기능- 플루리서브하모닉 함수(Plurisubharmononic function)는 복소공간 영역에서 복소변수의 실수값 함수로, 다음 조건을 만족합니다... Wikipedia
$$\forall\varepsilon>0\ \ \exists\delta(x_0,\varepsilon)>0:\ \forall인 경우 $%f(x)$% 함수는 $%x_0$% 점에서 연속이라고 합니다. x: |x -x_0|<\delta =>|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.$$ На словах это означает, что в точках $%x$% близких к $%x_0$% значения функции $%f(x)$% будет близко к $%f(x_0)$%.
그리고 정규 연속성과 다른 점은 무엇인가요?>
일반적인(점별) 연속성은 함수의 로컬 속성입니다. 이는 특정 지점에서 수행된다는 것을 의미합니다. 함수의 연속성에 대한 정의는 정확히 한 지점에서 제공됩니다. 더욱이 우리는 한 점뿐만 아니라 일부 집합에서도 연속인 함수가 있다는 것을 알고 있습니다(예를 들어 $%f(x)=\sin x$%는 $%\mathbb(R )$%에서 연속입니다. ). 이것은 연속성의 지역적 특성을 취소하지 않습니다. 즉, 단순히 $%\sin x$% 각 개별 지점 $%\mathbb(R)$%에서 연속성을 확인하면 함수가 이를 충족한다는 의미입니다. 이 특정 시점에. $%\mathbb(R)$% 집합의 각 점 $%x_0$%에서 $%x_0$% 점에서 $%\sin x$% 함수의 연속성에 대한 조건이 만족되므로 함수는 다음과 같습니다. 이 세트에서는 연속이라고 합니다. 또한, 각 개별 지점에서 함수의 연속성을 연구할 때 $%\varepsilon$%가 주어졌을 때 이 지점에 대해 $%\delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%를 사용했습니다. 즉, 집합의 서로 다른 지점(일반적으로 말하면)에 대해 서로 다른 델타가 얻어집니다. 따라서 델타와 관련하여 "연속"되는 함수의 속성에는 불균일성이 있습니다. 대략적으로 말하면 $%x_1$% 지점에서 함수는 하나의 델타로 연속이고 $%x_2$% 지점에서 - 다른 델타와 함께.
δ>0을 이해하는 방법, 함수가 연속이면 모든 엡실론에 대해 델타가 있어야 합니다.>
당신은 올바르게 지적했습니다 만약에함수가 연속적이면 모든 엡실론에 대해 델타가 있습니다. 그러나 실제로 상황은 종종 다음과 같습니다. 함수(예: $%y=3+x$%)와 포인트(예: $%x_0=2$%)가 제공됩니다. 문제는 $%f$% 함수가 $%x_0$% 지점에서 연속이냐는 것입니다. 알아내는 방법? 가장 기본적인 방법은 한 점에서 함수의 연속성 정의를 만족하는지 확인하는 것입니다. 즉, 나는 당신에게 다른 엡실론($%\varepsilon=1,\space\varepsilon=1/2,\space\varepsilon=1/100$% 등)을 제공할 것이며 당신은 나에게 그러한 델타를 선택하게 될 것입니다. 이 엡실론과 x점은 0이므로 정의가 충족됩니다. 내가 모든 양수 엡실론을 나열한 후(쉽지는 않지만 여전히) 각 엡실론에 대해 그러한 델타를 찾은 것으로 밝혀지면 이 시점의 함수가 연속적이라는 데 동의할 것입니다. 어떤 시점에서 정의가 충족되는 델타를 찾을 수 없는 엡실론(예: $%\varepsilon=1/1000$%)을 말하면 이 시점에서 함수는 연속일 수 없습니다( 연속성의 정의를 만족하지 않습니다).
조건 |x−x0|<δ может не выполняться, и значит, функция не является непрерывной?>
귀하의 이 인용문에서는 균일한 연속성을 일반적인 연속성으로 대체했습니다(먼저 처리해야 할 것 같습니다). 함수를 불연속(연속이 아님)으로 인식하려면 다음이 필요합니다. 연속성의 정의(메시지 시작 부분에 있음)이 실행되지 않았습니다. 그리고 이 정의의 일부만이 아니라 전체입니다. 이 경우 정의하는 대신 실행해야 합니다. 논리적 부정. 부정을 구성하기 위한 니모닉 규칙은 다음과 같습니다. 모든 한정사 “exists”(아이콘 $%\exists$%) 및 “for any”(아이콘 $%\forall$%)를 반대되는 수량사(즉, $%\exists$%는 $ %\forall$%로 바꿔야 하고, $%\forall$%는 $%\exists$%로 바꿔야 합니다. 또한 마지막 부등식의 부호를 반대 기호로 변경해야 합니다(이 경우 $%|f(x)-f(x_0)|<$% заменить на $%|f(x)-f(x_0)|\geqslant \varepsilon$%). Получим следующее:
$%f(x)$% 함수는 $$\exists\varepsilon>0:\forall\delta>0\space\exists x: |x인 경우 $%x_0$% 지점에서 불연속적(즉, 연속적이지 않음)입니다. -x_0|<\delta\space \& |f(x)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon.$$
이것으로부터 우리는 연속성 부족에 대한 기준(조건 $%|x-x_0|<\delta$% не выполняется, значит функция не является непрерывной) не имеет ничего общего с отрицанием определения непрерывности, которое мы только что построили. Также отметим, что при смене кванторов $%\forall$% и $%\exists$% на противоположные меняется природа того выражения, которое стоит под квантором. Скажем, в определении непрерывности мы имели $%\exists \delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%, а в отрицании определения непрерывности $%\forall \delta$%. То есть дельта в первом случае является функцией эпсилон и точки икс нулевое, а во втором является произвольным числом. Если задуматься, то это абсолютно логично - в первом случае мы для заданных наперёд $%x_0$% и $%\varepsilon$% подбираем $%\delta(x_0,\varepsilon)$%, а во втором случае дельта может быть абсолютно любым и ни от чего не зависит. Аналогично, в определении непрерывности мы имеем $%\forall x$%, а в его отрицании $%\exists x=x(\varepsilon, \delta)$%.
이를 더 잘 이해하려면 이 주제에 대한 몇 가지 기본 예를 독립적으로 분석하는 것이 유용합니다(예를 들어 $%x_0$% 지점에서 연속성에 대한 매우 간단한 함수를 검사하고 거기에서 연속이면 $%를 명시적으로 나타냅니다). \delta (x_0,\varepsilon)$%, 그리고 불연속적인 경우에는 부정이 수행되는 $%\varepsilon$%를 표시합니다. 등). 연속성의 정의와 그 부정(일반적으로, 특히 $%\varepsilon$%-$%\delta$% 언어)에 익숙해지면 균일 연속성으로의 전환이 훨씬 쉬워집니다. 그리고 물론 분석 교과서에서 연속성과 균일한 연속성에 대해 읽어야 합니다. 제공하신 링크에는 시험에 대한 박차를 더 연상시키는 일부 자료가 포함되어 있으며, 균일한 연속성을 한 줄로 설명합니다. 이 형식으로 수학에서 이것(및 다른 개념)을 어떻게 마스터할 수 있는지는 나에게 완전히 불분명합니다.
추신 우리는 이 답변이 방법론적 성격을 띠기 때문에 다른 참가자들에게 이 답변을 확인하도록 요청합니다(제가 모든 것을 올바르게 진술했는지 확인하기 위해).