위너 필터를 사용합니다. 번호판 흐릿한 이미지 복원 결과

최소 오차 분산 기준에 따라 계산할 때 문제의 또 다른 공식은 자동 제어 시스템의 매개변수의 최적 구조와 값을 찾는 것에 대한 문제가 제기된다는 것입니다. 이는 평균근의 이론적 최소값을 얻는 것을 보장합니다. - 유용한 신호(영향 지정) 및 간섭의 주어진 확률적 특성에 대한 제곱 오차. 예를 들어 연속 시스템 또는 이산 시스템에 대한 폐루프 시스템의 주파수 전달 함수를 찾으면 이 문제가 해결됩니다. (그림 4.1). 전달 함수는 전달 함수와 연관될 수 있으며, 전달 함수는 함수와 연관될 수 있습니다. 문제는 개방 영역의 변형 문제 범주에 속합니다. 즉, 시스템의 위상 좌표와 제어 동작에 대한 제한이 없습니다. .

이러한 문제를 해결하기 위해서는 유용한 입력 신호(기준 신호)와 시스템 입력에서의 잡음(또는 시스템 입력으로 변환된 잡음)의 통계적 특성에 대한 지식이 필요하다. 주어진 특성을 가진 실제 요소(민감한 요소, 증폭기, 액추에이터 등)를 의무적으로 사용한다는 의미에서 사전에 제어 시스템에 제한이 적용되지 않는 것으로 가정됩니다.

N. Wiener 문제의 최적성 기준을 적어 보겠습니다. 유용한 신호와 간섭이 추가로 혼합되어 시스템 입력에 도달하는 경우(그림 4.1)

이는 수학적 기대치가 0이고 알려진 고정 확률 함수입니다.

상관 함수를 사용하려면 폐쇄 루프 시스템의 주파수 전달 함수 또는 입력 신호의 필요한 선형 변환을 수행하는 물리적으로 실현 가능한 해당 가중치 함수를 찾아야 합니다.

여기서 는 주어진 선형 연산자이고 최소 오류 분산을 제공합니다(4.4).

그렇다면 이는 최적의 평활화, 즉 유용한 신호와 잡음의 추가 혼합으로부터 신호를 분리하는 문제가 될 것입니다. 노이즈가 0인 경우 평활화 문제에 대한 솔루션은 다음과 같은 간단한 형식을 갖습니다.

쌀. 4.1. 최적의 위너 필터

최적의 통계적 예측 문제에서 리드타임은 어디에 있습니까? 간섭이 없더라도 해결책은 중요하지 않습니다. 잡음이 있는 경우 신호 미분 문제에서 주어진 선형 연산자는 다음과 같은 형식을 갖습니다. 그러나 구하는 도함수의 차수는 어디에 있습니까?

최적의 전달 함수를 찾은 후 설계자는 자신이 가지고 있고 제어 시스템을 구축해야 하는 요소를 사용하여 이를 구현해야 합니다. 대부분의 실제 사례에서 최적의 전달 함수를 정확하게 재현하는 것은 불가능하기 때문에 매개변수가 최적의 시스템과 어느 정도 일치하는 준최적 또는 차선 시스템을 사용해야 합니다.

최적 선형 추정의 개념은 적응 필터를 고려할 때 기본입니다. 적응 필터링 프로세스에는 1) 원하는 필터 출력을 추정하고 2) 위 목표를 달성하는 데 필요한 필터 가중치를 추정하는 두 가지 추정 단계가 포함됩니다. 적응 필터링의 경우 입력 신호의 특성을 미리 알 수 없기 때문에 두 단계 중 두 번째 단계가 필요합니다.

가장 널리 사용되는 적응형 필터 구조 유형은 유한 임펄스 응답(FIR) 아키텍처를 사용하는 유형입니다. 이러한 필터는 Wiener-Hopf 방정식에 의해 주어진 솔루션과 함께 최적의 비재귀 추정기를 사용하여 솔루션으로 수렴해야 합니다.

FIR 및 IIR 추정기의 합성은 비용 함수의 정의에 크게 좌우되며, 이에 따라 추정 품질은 추정기의 출력 신호와 추정할 실제 매개변수 간의 차이로 특징지어집니다.

여기 전자(엔)– 추정 오류; x(n)추정이 필요하고 결정론적일 수 있는 확률 변수이며, 우리의 평가 시스템을 사용하여 추정한 것입니다.

저것들. x(n)– 입력 신호 시퀀스의 선형 함수 와이(엔)필터 가중치 세트 h(n). 관찰된 신호 시퀀스 와이(엔)일반적인 형태에서는 원래의 시퀀스로 표현될 수 있습니다. x(n), 적응형 백색 잡음에 의해 왜곡됨 v(n)분산 σ v 2:

. (5.26)

최적 추정을 위해 가장 일반적으로 사용되는 방법은 최소제곱법(LSM)입니다. 평균 제곱근 오차는 다음과 같이 정의됩니다.

최소 제곱 기준을 사용하여 최적의 추정치를 얻기 위해 추정기의 가중치 계수에 비해 최소화됩니다. 설명된 비용 함수 이상의 기능이 사용될 수 있다는 점에 유의해야 합니다. 대체 함수는 오류의 절대 크기와 비선형 임계값 함수입니다. 이 오류 기능은 허용 가능한 오류 범위가 있을 때(즉, 지정된 허용 가능한 오류가 있는 경우) 사용됩니다. 최소 평균 제곱 기준을 사용하는 경우 작은 오류는 큰 오류보다 덜 기여합니다(모든 오류에 동일한 가중치를 부여하는 오류 기준의 절대 크기와 반대).

쌀. 5.9. 일반화된 비재귀 필터 또는 추정기.

비재귀적 추정기에서 추정치는 x(n)유한 선형 다항식으로 정의됩니다. 와이(엔):

, (5.28)

어디 h k는 그림 1에 표시된 비재귀 FIR 필터 구조의 개별 가중치입니다. 5.9. 식 (5.28)은 행렬-벡터 표기법으로 다시 작성할 수 있습니다.

그리고 ,

위첨자 T는 행렬 전치를 나타냅니다. 그러면 제곱평균제곱근 오류 함수는 다음과 같은 형식을 취합니다.

이 표현식은 단일 최소값을 갖는 표준 제곱 오차 표면을 설명합니다. 제공에 의한 차별화(5.30)

. (5.31)

그리고 (5.31)이 0이라고 가정하면,

(5.32)

가중치 벡터와 신호 벡터가 다음과 같다고 가정합니다. 예(n)상관관계가 없으므로 우리는 다음과 같은 결과를 얻습니다.

(5.33)에 포함된 수학적 기대의 항은 다음과 같이 정의될 수 있습니다.

피= E(x(n)Y(n))– 입력 신호와 추정된 매개변수 사이의 상호 상관관계;

R= E(Y(n)Y T(n))– 입력 신호 시퀀스의 자기상관 행렬.

그러면 (5.33)은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

P T =H T opt R. (5.34)

방정식 (5.34)는 잘 알려진 Wiener-Hopf 방정식으로, H에 대한 최적(최소 제곱) Wiener 해를 제공합니다.

여기서는 이전 단락에서 논의된 문제의 특별한 경우를 고려하고 이를 Wiener 필터라고 부릅니다. 단순화를 위해 우리는 연속 사례만 연구하도록 제한합니다. 이 섹션에 제시된 모든 계산은 칼만-위너 필터의 일반 이론의 특별한 경우입니다. Kalmam 필터 알고리즘을 기반으로 한 계산 방법은 일반적으로 여기서 설명하는 방법보다 실제 구현에 더 가깝습니다. 반면에, 실질적으로 중요한 많은 추정 문제는 적어도 충분한 근사를 사용하여 고정적인 것으로 분류될 수 있으며, 이 섹션에 제시되고 일반 칼만 이론 이전에 개발된 방법은 이미 수많은 실제 문제에서 성공적인 적용을 발견했습니다.

1949년에 Wiener의 작품 "정적 시간 순서의 외삽, 보간 및 평활화"가 출판되었습니다. 그 출판은 그 결과가 새롭고 더 많은 관심을 불러일으켰을 뿐만 아니라 (더 중요한 것은) 그 당시 널리 사용되었던 이론, 특히 주파수 필터 이론의 수준으로 특정 문제를 제기했기 때문에 중요한 이정표였습니다. . 불행히도, 주요 결과가 "주파수 언어"로 공식화되었다는 사실로 인해 비정상 문제에 직접적으로 일반화될 수 없었습니다. 비정상 문제는 일반적인 형태, 즉 Wiener-Hopf 방정식으로 공식화되었지만 Bouton, Zade 및 Ragazini의 연구를 제외하고는 실제적인 결과가 거의 얻어지지 않았습니다. 칼만 필터 알고리즘이 개발될 때까지 일반적인 Non-Stationary 경우의 계산상의 어려움은 극복되지 않았습니다.

고정 칼만 필터.일반 상태 추정 문제의 고정 버전에서는 다음 세 가지 조건을 충족해야 합니다.

1. 보고 및 관찰 모델은 시간이 지나도 변하지 않습니다. 즉, 상수 계수를 갖는 방정식으로 설명됩니다.

, (7.152)

상수 계수의 행렬은 어디에 있습니까?

2. 입력 노이즈와 측정 노이즈는 적어도 넓은 의미에서는 고정적입니다.

여기서 및 는 상수 계수의 행렬입니다. 또한 와 는 평균이 0인 상관관계가 없는 백색잡음으로 가정됩니다.

3. 관찰 간격은 에서 시작됩니다. 분명히 이 조건은 실제로는 결코 만족될 수 없습니다. 그러나 관측이 시작되는 순간은 과거에 충분히 멀리 떨어져 있어 모든 전환 과정이 끝날 때까지의 시간이 있기 때문에 이 가정은 공정하다고 간주될 수 있습니다.

이 세 가지 가정이 충족되면 문제의 조건을 변경하지 않고도 시간 척도의 유한한 이동이 허용된다는 의미에서 추정 문제는 더 이상 시간 기준점의 선택에 의존하지 않습니다. 따라서 칼만 필터의 이득은 두 유한 시간 사이에서 변경될 이유가 없기 때문에 유한 시간 동안 일정해야 합니다. 더욱이, 무작위 과정과 그에 따른 과정은 고정되어 있으므로 , 분산 방정식(7.105)은 다음과 같이 작성됩니다.

이 경우 상수 칼만 이득은 다음과 같이 정의됩니다.

. (7.156)

마지막으로 여과 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

고정된 경우 분산 방정식은 축퇴 행렬 Riccati 방정식으로 변합니다.

방정식 (7.155)을 풀기 위해 자주 사용되는 방법 중 하나 (보통 디지털 컴퓨터 사용)는 행렬과를 구성하는 계수의 해당 상수 값을 사용하여 비정상 분산 방정식 (7.105)을 푸는 것입니다. 결과 솔루션이 일정한 정상 상태 값에 도달할 때까지 현재 시간에 대한 초기 조건의 임의의 음이 아닌 명확한 행렬입니다. 이 최종 값은 방정식(7.155)에 대한 원하는 해로 사용됩니다. 여기서 대수 방정식은 미분 방정식으로 변환됩니다. 왜냐하면 디지털(또는 아날로그) 컴퓨터에서 미분 방정식을 푸는 알고리즘은 일반적으로 비선형 대수 방정식을 푸는 알고리즘보다 더 효율적이기 때문입니다. 방정식 (7.155)에 대한 해를 찾는 데 사용할 수 있는 또 다른 접근 방식은 예를 들어 기울기 방법과 같은 디지털 컴퓨터에서 검색 절차를 구현하는 것과 관련됩니다.

예제 7.7.시스템에 최소 오류 분산을 제공하는 고정 필터를 정의해 보겠습니다.

이 예에 대한 퇴화된 Riccati 방정식(7.155)은 다음과 같이 작성됩니다.

이 모든 행렬을 곱하면 다음 세 가지 방정식을 얻습니다.

마지막 방정식의 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다. 이 방정식의 양의 근을 해로 선택하면 각각 과 를 얻습니다. 양의 확실성을 얻으려면 and에 대해 양의 값을 선택해야 합니다. 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다.

.

따라서, 우리는 필요에 따라 축퇴 리카티 방정식의 실수 양의 정부근을 발견했습니다.

칼만 필터의 일정한 이득을 찾으려면 찾은 행렬을 방정식 (7.156)에 대체하면 충분합니다. 결과적으로 우리는

.

그림에서. 7.9, Wiener 필터의 "표준" 구현을 보여줍니다. 종종 발생하는 것처럼 상태 추정에만 관심이 있는 경우 그림 1의 블록 다이어그램에 따라 구현된 필터를 사용할 수 있습니다. 7.9b, 7.9c. 이러한 필터는 그림 1에 표시된 필터보다 간단할 수 있습니다. 7.9a. 그러나 필터의 블록 다이어그램은 그림 1에 나와 있습니다. 7.9a는 일반적으로 관계 에 의해 관련되지 않는 추정값과 를 동시에 생성합니다. 이제 그림 1에 표시된 필터 구현의 기초가 되는 위너 필터 방정식을 푸는 고전적인 형태를 고려해 보십시오. 7.9, b, 7.9, c.

쌀. 7.9. 예제 7.7에서 논의된 필터의 블록 다이어그램

위너 필터.이상에서는 문제의 정상성과 관련된 추가 가정을 도입하여 일반화된 칼만 필터링 알고리즘을 단순화할 수 있도록 하여 정상 추정 문제를 해결한 결과를 얻었습니다. 특히, 칼만 필터는 고정(stationary)되는 것으로 나타났다. 이제 고정 추정 문제를 Wiener의 원래 작업과 매우 유사한 다른 형태로 정식화해 보겠습니다. 전달 함수 및 스펙트럼 밀도와 같은 개념을 사용하여 "주파수 언어"로 문제를 공식화해 보겠습니다. 언뜻 보면 칼만 문제와 위너 문제 사이에는 약간의 연관성만 있는 것처럼 보일 수 있습니다. 그러나 칼만 필터의 형태로 얻은 솔루션이 계산적 관점에서 더 선호되기는 하지만 이 두 문제는 동일하다는 사실이 아래에 나와 있습니다. 문제는 그림 7.10에 표시된 블록 다이어그램의 형태로 표현될 수 있습니다. 신호는 부가적인 잡음에 의해 왜곡되고, 상호

쌀. 7.10. 다차원 Wiener 필터링 문제의 표현.

평균이 0이고 스펙트럼 밀도가 . 관찰 상수 매개변수와 전달 함수를 사용하여 선형 필터를 통과했습니다. 필터 출력의 신호는 로 지정됩니다. 임무는 신호에 이상적인 연산자를 적용하여 얻은 원래 신호의 추정치인 최소 분산이라는 의미에서 출력이 가장 좋은 필터를 선택하는 것입니다. 종종 이상적인 연산자는 동일한(단위) 연산자로 이해되므로 왜곡되지 않은 신호를 나타냅니다. 즉, 최소 RMS(Root Mean Square Error)를 제공하는 필터 전달 함수를 선택해야 합니다.

어디 .

Parseval의 정리에 따르면 제곱 평균 오차는 오차 스펙트럼 밀도 행렬로 표현될 수 있습니다.

. (7.159)

평균 제곱 오차를 복소 주파수 영역에서 주어진 오차의 스펙트럼 밀도의 적분으로 정의하는 이 표현식을 사용하면 스펙트럼 밀도로만 작동하는 주파수 영역에서 필터 방정식을 유도할 수 있습니다. 이 주파수 접근 방식을 사용하면 계산을 크게 단순화할 수 있지만 분명히 그 적용은 고정된 문제에만 제한됩니다.

§ 3.5에서 논의된 방법으로 찾을 수 있는 스펙트럼 오류 밀도는 다음과 같습니다.

이 식을 방정식 (7.159)에 대입하면 다음을 얻습니다.

과제는 평균 제곱 오차를 최소화하는 행렬 전달 함수를 선택하는 것입니다. 이 문제를 해결하려면 어떻게 해야 할지 상상해 봅시다.

. (7.162)

최적의 전달 함수는 어디에 있으며, 는 임의의 행렬 전달 함수입니다. - 스칼라 수량. 최적 필터의 전달 함수는 다음 방정식을 풀어 구합니다.

임의로 .

이 방법을 사용하여 공식화된 추정 문제를 해결해 보겠습니다. 우리가 가정한다면 , 제곱평균제곱근 오차는 다음과 같이 표현됩니다.

여기서 우리는 두 가지 주장을 소개하고 MSE가 및 에 모두 의존한다는 점을 강조했습니다. 방정식 (7.163)은 이제 다음과 같이 작성됩니다.

(7.165)

스펙트럼 밀도 행렬의 대칭 특성과 항등식을 사용하면 이면 방정식 (7.165)은 다음과 같은 형식으로 작성될 수 있습니다.

방정식 (7.166)은 다음과 같은 경우 임의적으로 만족됩니다.

이 솔루션은 일반적으로 복소 변수의 오른쪽 절반 평면에 극점을 갖기 때문에 물리적으로 실현 불가능한 Wiener 필터에 해당합니다. 오른쪽 반 평면에 극이 있다는 것은 시스템의 불안정성을 의미하는 것이 아니라 시스템의 물리적 불가능성을 의미한다는 점을 상기시켜 드립니다. 이러한 시스템에서는 응답이 영향보다 앞서기 때문입니다.

하기 위해 는 허용 가능한 해를 나타내고 물리적으로 실현 가능해야 합니다. 즉, 복소 변수 의 왼쪽 절반 평면에 모든 극점을 가져야 합니다. 에 대한 이 제한을 사용하여 방정식 (7.166)을 만족하고 물리적으로 실현 가능한 를 선택할 수 있습니다.

스펙트럼 밀도 행렬이 는 다음 형식의 인수분해를 허용하는 스펙트럼입니다.

여기서 는 복소 변수의 왼쪽 절반 평면에 모두 0과 극점을 갖는 행렬입니다. 이 조건이 충족되면 역행렬도 복소 변수의 오른쪽 절반 평면에서 분석 함수가 되는 것을 보장합니다. 찾기 절차는 일반적으로 상당히 복잡한 알고리즘을 사용하여 수치적으로만 완료할 수 있는 어려운 계산 문제입니다. 이제 방정식 (7.166)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

상상해보자 두 가지 용어의 형태로

여기서 왼쪽 반 평면에 극을 갖는 모든 항과 - 오른쪽 반 평면에 극을 갖는 모든 항을 결합합니다.

양의 시간에 존재하는 필터 응답 부분의 라플라스 변환으로도 간주될 수 있는 행렬 을 필터의 물리적으로 실현 가능한 부분이라고 부르며 다음과 같이 표시합니다. . 이 경우 필터의 총 임펄스 응답은 식 (7.170)의 우변 값에 대한 라플라스 변환으로 정의됩니다.

방정식 (7.170)을 (7.169)에 대체하면 필요한 최적 조건은 다음과 같은 형식으로 작성됩니다.

그러나 여기서 두 번째 적분은 0과 같습니다. 왜냐하면 모든 극점은 오른쪽 반 평면에 누워 있습니다. 적분 윤곽선이 왼쪽에서 끝나고 윤곽선 내부에 극점이 없으면 적분 값은 0이므로 방정식 (7.171)은 다음 형식을 취합니다.

. (7.172)

따라서 최적의 물리적으로 실현 가능한 필터는 전달 함수를 갖습니다.

, (7.173)

이는 초기 수량으로도 표현될 수 있습니다.

따라서 우리는 Wiener 행렬 필터의 형태로 다차원 정상 추정 문제에 대한 최종 솔루션을 얻었습니다. 다변량 고정 추정 문제에 대한 솔루션인 Wiener 행렬 필터는 Darlington, Young, Thomas 및 Davis가 얻었습니다. 그러나 이 결과는 행렬 형태로 주어진 스펙트럼을 인수분해해야 하는 필요성과 관련된 다소 어려운 계산 문제로 인해 엔지니어링 실무에서 폭넓게 적용되지 않았습니다. 이 연구는 행렬 Riccati 방정식 풀이를 기반으로 하는 스펙트럼 분해를 위한 계산 절차를 제공하지만 칼만 필터링 알고리즘의 광범위한 사용으로 인해 Wiener 행렬 필터를 지지하는 많은 사람들이 대체되었습니다.

신호와 잡음이 상관되지 않는 경우 최적의 필터는 전달 함수를 갖습니다.

. (7.177)

1차원적인 경우

마지막으로 신호와 추가 잡음이 상관되지 않은 경우 최적 선형 필터의 전달 함수는 다음과 같습니다.

예제 7.8.간단한 1차원 문제를 생각해 봅시다. 신호의 스펙트럼 밀도는 다음과 같습니다. . 잡음은 스펙트럼 밀도가 있는 흰색이며 신호와 잡음은 상관 관계가 없습니다. 신호를 평가할 필요가 있습니다. 이 경우

스펙트럼 분해는 수행하기 쉽고 그 결과 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

; .

원점에 위치한 두 개의 극은 분리되어 그 중 하나는 오른쪽 절반 평면에 할당되고 다른 하나는 왼쪽 절반 평면에 할당되었습니다. 방정식 (7.179)을 사용하여 다음을 얻습니다.

.

이 표현의 분자를 살펴보겠습니다. 기본 분수로의 분해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

.

이 함수는 1차 거듭제곱에 포함되어 있기 때문에 중요하지 않으며, 우리는 왼쪽 절반 평면에만 극점을 갖는 기본 분수로 분해하는 부분에만 관심이 있습니다. 분자에 있기 때문에 이 함수는 복소 변수의 오른쪽 절반 평면에만 근을 가져야 합니다. 그러므로 우리는 얻는다

.

최적 필터의 전달 함수

.

오차 분산의 최소값은 공식 (7.159)의 표현식을 대체하고 윤곽선을 따라 후속 통합하여 계산됩니다. 작업의 이 부분은 형식의 적분이라는 사실로 인해 크게 촉진됩니다.

. (7.180)

. (7.181)

모든 값에 대해 표로 작성되었습니다. 적분 값이 각각 동일한 경우:

(7.182)

그러나 표현식을 테이블 적분으로 줄이려면 번거로운 대수 변환을 수행해야 하는 경우가 많습니다. 신호와 잡음이 상관관계가 없다면,

이 표현식에 포함된 각 항을 개별적으로 분석하면 적분을 표 형식으로 줄이는 데 필요한 인수분해가 스펙트럼 밀도와 를 인수분해함으로써 쉽게 수행된다는 것을 알 수 있습니다. 이는 이미 인수분해된 형식으로 제공되는 경우가 많습니다.

이 방법의 유용한 특성은 제곱 평균 오차를 신호 성분과 잡음 성분으로 즉시 분리할 수 있다는 것입니다. 이러한 구성 요소를 각각 및 로 지정하면 다음을 얻습니다.

. (7.186)

예제 7.9.위에 제시된 방법을 사용하여 예제 7.8에서 합성된 최적 필터의 평균 제곱 오차의 최소값을 결정해 보겠습니다. 신호와 잡음은 상관 관계가 없으므로 단순화된 방정식(7.184) - (7.186)을 사용합니다. 제곱평균제곱근 오차는 다음과 같이 주어진다.

이 표현식은 매개변수와 함께 테이블 적분(7.182)을 직접 사용하고 계산할 수 있는 형식으로 작성되었습니다. 결과적으로 우리는

.

식(7.186)에 따르면, 평균 제곱 오차의 잡음 성분은

.

이 경우 매개변수와 함께 테이블 적분을 사용합니다. 결과적으로 우리는

마지막으로 총 평균 제곱 오차를 찾습니다.

관심 있는 독자는 문헌에서 기본 이론의 여러 일반화를 포함하여 Wiener 필터에 대한 보다 완전한 연구를 찾을 수 있습니다(예: , , ). 위너 필터의 이산형 버전은 에서 자세히 연구됩니다.

고정 칼만 필터와 위너 필터 간의 관계.이 섹션의 이전 단락에서는 고정 추정 문제를 해결하기 위한 두 가지 다른 방법을 조사했습니다. 고정 칼만 필터의 방정식, 즉 일반화된 칼만 필터의 축퇴 형태는 시간 영역에서 도출되었으며 상태 변수로 표현되었습니다. 반면, 위너 필터 방정식은 주파수 영역에서 도출되었으며 주파수 응답으로 표현되었습니다. 두 경우 모두 방정식의 유도는 변분법의 직접적인 사용을 기반으로 했습니다. 자세히 살펴보면 이 두 가지 접근 방식에는 공통점이 거의 없어 보일 수 있습니다. 그러나 이는 사실이 아니며 두 접근 방식 사이에는 밀접한 연관성이 있습니다.

칼만 필터와 위너 필터에 대해 공식화된 문제의 주요 차이점은 메시지 모델이 지정되는 방식입니다. 칼만 필터를 고려하면 메시지 모델은 1차 벡터 미분방정식(7.151)으로 주어지고, 연관된 관찰 모델은 식(7.152)으로 주어진다. Wiener 필터를 고려할 때 메시지 모델은 신호 스펙트럼 밀도 측면에서 지정됩니다. Kalman 필터를 고려할 때 사용된 메시지 모델과 관련된 프로세스의 스펙트럼 밀도를 다음과 같이 찾을 수 있으므로 이 두 가지 접근 방식은 동일하다는 것이 분명합니다.

같은 방식으로 메시지의 스펙트럼 밀도가 주어지면 주어진 스펙트럼 밀도를 갖는 프로세스를 형성하는 관련 1차 벡터 미분 방정식을 항상 결정할 수 있습니다. 특히 스칼라 관찰의 경우 두 가지 요소로 분해될 수 있습니다. , 여기서 왼쪽 절반 평면에 모든 극점과 영점이 있고, a는 오른쪽 절반 평면에 모든 극점과 0이 있습니다. 형식으로 작성하면

(7.188)

그런 다음 [참조. (7.151) 및 (7.152)]

; ; (7.189)

.

고정 칼만 필터와 위너 필터의 등가성을 확립하기 위해 칼만 문제 공식화에서 메시지 모델과 관찰 모델을 선택하고 위너 접근 방식을 사용할 때 필요한 등가 스펙트럼 표현을 찾습니다. 그런 다음 이 두 가지 추정 문제를 해결하고 얻은 결과를 비교합니다.

Kalman 방법을 사용하여 문제를 해결할 때 의사소통 및 관찰 모델이 다음 방정식으로 제공된다고 가정합니다.

. (7.191)

여기서 및 는 평균과 공분산이 0인 백색 잡음입니다. .

방정식 (7.190)으로 설명되는 시스템이 점근적으로 안정적이고 제어 가능하다고 가정해 보겠습니다. 위너 문제 공식화에서 신호의 등가 스펙트럼 밀도는 다음과 같이 정의됩니다.

분해 행렬은 어디에 있습니까?

, (7.193)

잡음의 스펙트럼 밀도는 다음과 같습니다.

행렬은 양의 정부호로 가정되어 표현이 행렬을 고려하도록 허용한 다음 방정식 (7.200)이 형식을 취합니다. 특별한 행렬 항등식을 사용하여 우리는 얻습니다. 필터는 다음 형식으로 작성할 수 있습니다.

일반적으로 칼만 알고리즘은 컴퓨터 계산, 특히 관찰이 벡터인 다차원 고정 문제나 고차 방정식을 풀 때 컴퓨터 계산에 더 적합하다는 사실 때문에 Wiener 알고리즘보다 계산상 이점이 있습니다. 고정되지 않은 문제. 반면, 스펙트럼의 인수분해를 일반적인 형태로 수행할 수 있는 문제가 많이 있으며, 이를 통해 결과 솔루션의 본질을 더 깊이 파고들 수 있습니다. Wiener 방법은 또한 비백색잡음 관찰, 이상적인 예측 및 지연 작업의 사례를 검사할 수 있으며 포화 및 제한된 시스템 대역폭과 관련된 제약 조건도 고려할 수 있습니다. 그러나 최적의 필터를 찾은 후에도 필요한 주파수 응답을 얻으려면 물리적으로 실현 가능한 부분을 결정해야 하며 이것이 항상 간단한 작업은 아닙니다.

필터 최적 조건. Kolmogorov-Wiener 필터는 입력 신호의 합에 포함된 유용한 신호 s(t)의 알려진 모양을 사용하여 입력 신호 x(t)에서 출력 신호 z(t)를 생성하기 위한 최적의 필터입니다. 소음. 지정된 신호 형태 z(t)의 필터 출력에서 ​​신호 y(t)의 표준 편차는 최적화 기준으로 사용됩니다. 개방형 가중합의 컨벌루션 방정식 (12.2.1)을 식 (12.2.2")에 대입하고, 데이터 배열의 모든 지점에 대한 출력 신호 z(k)의 주어진 모양:

유용한 신호의 형태를 재현하는 특별한 경우에, 함수 s(k)는 함수 z(k)로 취해진다. 식(12.3.1)의 최소값은 최적 필터의 계수 h(n)의 값을 결정합니다. 해당 값을 찾기 위해 식 (12.3.1)을 필터 계수로 차별화하고 결과 방정식을 0과 동일시합니다. 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다:

어디 - 입력 신호의 상관 함수, - 신호 z(k)와 x(k)의 상호 상관 함수. 여기에서:

h n R(m-n) = B(m), n = m = 0,1,2, ... , M. (12.3.2)

간략한 기호 표기법:

h(n) ③ R(m-n) = B(m). (12.3.3)

다시 말해서, 최적 필터의 응답 함수와 입력 신호의 자기상관 함수의 컨벌루션은 출력 신호와 입력 신호의 상호상관 함수와 동일해야 합니다.

선형 필터 방정식 시스템. 식 (12.3.2)은 선형 방정식 시스템으로 작성할 수 있습니다. 필터 계수의 좌표 m의 고정 값에 대한 왼쪽과 오른쪽의 한 줄 평등입니다. 출력 신호를 위상 편이시키지 않는 대칭 필터를 계산할 때 필터는 해당 값의 절반만 사용하여 계산할 수 있습니다.

m=0: h o R(0)+ h 1 R(1)+ h 2 R(2)+ h 3 R(3)+ ...+ h M R(M) = B(0), (12.3.3 ")

m=1: h o R(1)+ h 1 R(0)+ h 2 R(1)+ h 3 R(2)+ ...+ h M R(M-1) = B(1),

m=2: h o R(2)+ h 1 R(1)+ h 2 R(0)+ h 3 R(1)+ ...+ h M R(M-2) = B(2),

..............................................................................................................

m=M: h o R(M)+ h 1 R(M-1)+ h 2 R(M-2)+ .... + h M R(0) = B(M).

hi의 값에 대해 이 방정식 시스템을 풀면 원하는 필터 연산자가 제공됩니다.

인과(단방향) 필터를 계산할 때 출력 신호 z(t)는 상호 상관 함수 B(m)의 중요한 부분이 완전히 위치하도록 좌표 축을 따라 오른쪽으로 이동하여 지정되어야 합니다. 방정식 시스템의 오른쪽(12.3.3").

R(m) = Rs(m)+Rq(m), 여기서 Rs는 신호 자기상관 함수이고, Rq는 잡음 자기상관 함수이며, B(m) = Bzs(m)+Bzq입니다. (m), 여기서 B zs는 신호 z(k)와 s(k)의 상호 상관 함수이고, B zq는 신호 z(k)와 간섭 q(k)의 상호 상관 함수입니다. 이 표현식을 (12.3.3)으로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

h(n) ③ = Bzs(m)+Bzq(m). (12.3.4)

필터 주파수 응답 식 (12.3.4)의 왼쪽과 오른쪽을 푸리에 변환하여 구합니다.

H(w) = Wzs(w)+Wzq(w),

H(w) = / , (12.3.5)

여기서 W s (w) ó R s (m) 및 W q (w) ó R q (m)은 신호 및 간섭의 에너지 스펙트럼(전력 밀도)이고, W zs (w) ó B zs (m)은 다음과 같습니다. 상호 에너지 스펙트럼 입력 및 출력 신호, W zq (w) ó B zq (m) - 출력 신호 및 간섭의 상호 에너지 스펙트럼.

지구물리학적 실제에서는 일반적으로 유용한 신호의 통계적 독립성이 있으며 결과적으로 신호 z(k)는 B zq = 0이고 필터는 다음과 같이 호출됩니다. 노이즈 스무딩에 최적주어진 출력 신호 형태에 대해:

H(w) = Wzs(w) / , (12.3.6)

필터(12.3.6)는 전체 신호 간격에 걸쳐 신호 전력 대 잡음 전력의 비율을 최대화하지만 각 개별 지점에서는 그렇지 않다는 점에서 최적입니다.

일반적으로 표현식(12.3.5-12.3.6)에는 항상 솔루션이 있습니다. 그러나 이것이 필터가 주어진 출력 신호 형태를 생성할 수 있다는 의미는 아닙니다. 순전히 실용적인 고려 사항에서 주어진 신호 z(t)의 스펙트럼이 유용한 신호 s(t) 스펙트럼의 상당 부분보다 크면 필터 연산자는 필요한 높은 값을 생성하려고 시도할 것이라고 즉시 가정할 수 있습니다. 유용한 신호 스펙트럼의 중요하지 않은 주파수에서 주어진 신호의 주파수를 얻으려면 이러한 주파수에서 엄청난 계수 증폭이 필요할 수 있으며 이는 잡음의 주파수 구성 요소에도 영향을 미칩니다. 이러한 작업의 결과는 예측할 수 없습니다. 이러한 실질적인 고려 사항은 선형 필터의 입력 및 출력 신호의 모든 주파수 관계로 확장될 수 있습니다. 즉, 출력 신호 스펙트럼의 중요한 고조파는 입력 신호 스펙트럼의 중요한 고조파로부터 형성되어야 합니다.

주어진 신호 형태 z(k)가 유용한 신호 s(k)의 형태와 일치하면 B(m) = B ss = R s이고 필터는 호출됩니다. 유용한 신호 재생 필터:

H(w) = Ws(w) / , (12.3.7)

표현식(12.3.6-12.3.7)은 필터 전달 함수 형성의 물리적 의미를 매우 명확하게 보여줍니다. 신호를 재생할 때 입력 신호와 출력 신호 W zs(상호 전력 밀도)의 주파수 상호 상관 함수는 주파수 자기 상관 함수 Ws(신호 전력 밀도)를 반복합니다. 통계적 잡음 전력 밀도 Wq는 신호 형태에 따라 스펙트럼 범위의 모든 주파수 간격을 차지할 수 있는 신호 전력 밀도 Ws와 달리 주파수 범위에 걸쳐 균일하게 분포됩니다. 신호 재생 필터의 주파수 전달 함수는 Ws(w)/비로 구성됩니다. 주신호 에너지가 집중된 주파수에서는 Ws(w)>>Wq(w)와 H(w)×1(적어도 0.5 이상)이 일어난다. Ws(w)의 값이 Wq보다 작아지면 필터 투과 계수는 0.5보다 작아지고 신호의 주파수 성분이 없는 모든 주파수에서 한계 H(w)=0이 됩니다.

필터 출력에서 ​​임의의 신호 z(t)를 생성할 때 유사한 프로세스가 발생합니다. 이 경우에만 입력 신호의 주파수에서 입력 신호와 출력 신호의 상호 전력 주파수는 다음과 같이 설정됩니다. 신호 z(t)의 형성에 필요한 절연 및 증폭, 계수는 이러한 주파수가 1보다 훨씬 클 수 있으며 잡음을 억제할 수 있을 뿐만 아니라 주 신호의 주파수도 억제할 수 있습니다. 신호 z(t)에서.

따라서 최적의 필터는 신호의 스펙트럼 구성 특성을 고려하고 복잡한 전달 함수를 생성하여 스펙트럼 범위의 모든 주파수에서 최대 잡음 억제를 통해 스펙트럼의 모든 범위에서 유용한 신호 주파수를 분리할 수 있습니다. 유용한 신호를 포함하고 이득 억제 경계는 지정된 잡음 수준에 따라 자동으로 설정됩니다.

노이즈 파워를 설정합니다. 노이즈 함수 Wq(w)를 지정할 때는 주의해야 합니다. 잡음이 완전히 불확실한 경우 최소한 분산 s 2 를 추정하고 해당 값(2Wq(w) dw = s 2)에 대한 적절한 정규화를 통해 전체 주파수 범위로 확장해야 합니다. 백색소음이라고 생각해보세요. 등록된 구현에서 유용한 신호의 알려진 기능을 고려하면, 구현의 분산과 유용한 신호의 기능 간의 차이로부터 첫 번째 근사값으로 잡음 분산 값을 추정할 수 있습니다. 예를 들어 웨이블릿 변환을 사용하여 입력 신호에서 별도의 노이즈 배열로 노이즈를 추출할 수도 있습니다. 그러나 함수 Wq(w)를 계산하기 위해 추출된 노이즈를 직접 사용하는 것은 노이즈가 고정적이고 에르고딕한 경우 충분히 대표적인 구현에 대해서만 허용됩니다. 그렇지 않으면 함수 Wq(w)는 등록된 신호 구현의 노이즈 분포만 표시하므로 필터는 이 구현에만 최적이 되며, 이는 다른 구현에 대한 최적성을 보장하지 않습니다. 그러나 단일 등록 신호 구현을 처리하는 경우 이러한 방법은 완전히 허용될 뿐만 아니라 출력 신호의 정확도를 크게 높일 수도 있습니다.

필터 효율성. 식(12.3.5-12.3.7)에서 최대 잡음 억제로 유용한 신호의 왜곡을 최소화한다는 관점에서 Kolmogorov-Wiener 필터가 더 효과적일수록 필터의 신호 대 잡음비가 높아집니다. 입력. 한계 내에서 Wq(w)<>W s (w) H(w) Þ 0이고 신호가 크게 왜곡되지만 다른 필터는 더 나은 결과를 제공할 수 없습니다.

예.최적의 신호 재생 필터 계산. Mathcad 환경에서 수행되었습니다.

입력 신호의 모양은 알려진 것으로 간주되며 가우스에 가깝습니다. 신호와 상관되지 않은 전체 주파수 범위에 걸쳐 균일한 전력 분포를 갖는 통계적 잡음(백색 잡음)이 입력 신호에 중첩되고 Wzq 함수는 0으로 간주됩니다. 필터 매개변수와 신호 매개변수 간의 관계를 시각적으로 보기 위해 두 가지 버전으로 신호 모델을 정의합니다.

K:= 1000 k:= 0 .. K A:= 50

s1 k:= A·exp[-0.0005·(k-500) 2 ] s2 k:= A·exp[-0.00003·(k-500) 2 ] Ü 정보 신호

Q:= 30 q k:= rnd(Q) – Q/2 x1 k:= s1 k + q k x2 k:= s2 k + q k Ü 입력 신호

쌀. 12.3.1. 모델 신호.

출력 신호와 동일한 기능 s1 및 s2를 설정합니다. 고속 푸리에 변환을 사용하여 신호 스펙트럼을 계산하고 전력 밀도 스펙트럼을 생성합니다.

S1:= CFFT(s1) S2:= CFFT(s2) Q:= CFFT(q) Ü 신호 스펙트럼

Ü 전력 스펙트럼

Ds1:= var(s1) Ds2:= var(s2) Dx1:= var(x1) Dx2:= var(x2) Dq:= var(q) Ü 분산

Ds1 = 124.308 Ds2 = 310.264 Dx1 = 202.865 Dx2 = 386.78 Dq = 79.038 Ü 정보

평균(Wq) = 0.079 Wq1:= (Dx1 – Ds1)/(K+1) Wq1 = 0.078 Ü 정보

Wq2:= (Dx2 – Ds2)/(K+1) Wq2 = 0.076 Ü 정보

Wq k:= Wq1 Ü 상수 분포로 대체

신호를 재생하기 위해 Wzs 기능 계산이 필요하지 않습니다. Wzs = Ws. Wq 계산은 정보 제공의 목적으로만 사용됩니다.

최적 필터의 전달 함수(그림 12.3.2 참조):

쌀. 12.3.2. 최적 필터의 전달 함수

정규화된 신호 스펙트럼 모듈과 비교

그림 12.3.2에서 다음과 같이 주 에너지가 스펙트럼의 저주파 부분에 집중되는 평활 단조 함수의 경우 최적 필터의 전달 함수는 기본적으로 차단 주파수를 자동으로 조정하는 저주파 평활 필터입니다. 입력 신호의 주요 주파수로의 전송. 필터 연산자는 역 푸리에 변환으로 얻을 수 있습니다.

h1:= ICFFT(H1)/(K+1) h2:= ICFFT(H2)/(K+!) Ü 역푸리에 변환

쌀. 12.3.3. 필터의 임펄스 응답.

필터 연산자는 원칙적으로 무한합니다. 이 경우 FFT를 사용할 때 최대 샘플 수는 K/2 = 500입니다. 연산자 크기 절단은 가중치 함수를 사용하는 표준 방법을 사용하여 수행할 수 있습니다(계산에서 연산자는 1로 정규화되고 가중치 함수는 정규화되지 않습니다). 사용된).

N1:= 160 n1:= 0 .. N1 N2 ;= 500 n2:= 0 .. N2 Ü 연산자의 크기 및 번호

hm1:= h1 0 + 2 h1 n 1 hm1=0.988 h1:= h1/hm1 Ü 정규화

hm2:= h2 0 + 2 h2 n 2 hm2=1.001 h2:= h2/hm2 Ü 정규화

Ü 컨볼루션

쌀. 12.3.4. 최적의 필터 효과를 확인합니다.

간섭 분산 이득 계수 Þ Kd:= (h 0) 2 + 2·h n Kd1=0.021 Kd2= 0.0066

신호 재생의 표준 편차:

e1= 1.238 e2 = 0.701

필터 연산자의 동작을 확인하는 방법은 그림 1에 나와 있습니다. 12.3.4.

최적의 필터는 스펙트럼 구성이 다소 복잡한 신호에서 노이즈를 제거할 때 특히 효과적입니다. 최적의 필터는 신호 스펙트럼의 구성을 고려하고 신호의 기본 주파수 범위 내를 포함하여 최대 노이즈 억제를 제공합니다. 이는 그림에서 명확하게 볼 수 있습니다. 12.3.5 직사각형 신호에 가까운 신호의 경우, 그 스펙트럼은 주요 저주파 부분 외에도 측면 진동을 감쇠시킵니다. 필터 계산은 실시예 1에 제공된 방법에 따라 수행되었습니다.

쌀. 12.3.5. 복잡한 스펙트럼 구성을 가진 신호를 최적으로 필터링합니다.

쌀. 12.3.6. 무선 펄스의 최적 필터링.

그림에서. 12.3.6은 최적의 필터를 사용하여 무선 펄스를 필터링하는 예를 보여줍니다. 무선 펄스 스펙트럼의 주요 피크는 반송파 주파수 영역에 위치하고 측파대는 변조 신호(이 경우 직사각형 펄스)의 모양에 따라 결정됩니다. 신호 크기와 필터 전달 함수의 그래프에서 신호 스펙트럼의 측파대 모양을 고려하여 최적의 필터가 대역통과 필터로 전환된 것을 확인할 수 있습니다.

예측 및 지연 필터. 방정식 (12.3.3)의 오른쪽에서 원하는 신호가 kDt만큼 이동하여 입력 신호로 설정되면 B(m) = R(m+k)이며 방정식은 다음 형식을 취합니다.

h(n) ③ R(m-n) = R(m+k). (12.3.8)

k > 0인 경우 필터를 예측 필터라고 하며 이전 값에서 신호의 미래 값을 계산합니다. k에서< 0 фильтр является фильтром запаздывания. Реализация фильтра заключается в решении соответствующих систем линейных уравнений для каждого заданного значения k. Фильтр может использоваться для интерполяции геофизических полей, в том числе в наперед заданные точки, а также для восстановления утраченных данных.