컴퓨터 메모리 셀은 다음으로 구성됩니다. 그래픽 형태의 RAM의 논리적 구조. RAM의 작동 구조와 원리
4 – 기본 이론 대기열.
정의 1. 물리적 시스템이 있게 해주세요에스, 이는 시간이 지남에 따라 상태를 변경하고(한 상태에서 다른 상태로 전달) 이전에 알려지지 않은 무작위 방식으로 변경됩니다. 그런 다음 시스템에서 다음과 같이 말할 것입니다.에스무작위 프로세스가 발생합니다.
"물리적 시스템"이란 기술 장치, 기업, 살아있는 유기체 등 무엇이든 이해할 수 있습니다.
예. 에스 – 때때로 고장이 나거나 교체되거나 복원되는 여러 구성 요소로 구성된 기술 장치입니다. 시스템에서 발생하는 프로세스는 무작위입니다. 일반적으로 생각해 보면 무작위 프로세스보다 "비랜덤" 프로세스의 예를 드는 것이 더 어렵습니다. 시계가 똑딱거리는 과정까지도 - 전형적인 예정확하고 엄격하게 검증된 작업(“시계처럼 작동”)은 무작위로 변경(앞으로 이동, 뒤처짐, 중지)될 수 있습니다.
정의 2. 시스템에서 발생하는 무작위 프로세스를 Markovian이라고 합니다.티 0 미래 프로세스의 확률적 특성은 프로세스의 상태에만 의존합니다. 이 순간 티 0 시스템이 언제, 어떻게 이 상태에 이르렀는지에 의존하지 마십시오.
그 순간에 있게 해주세요티 0 시스템이 특정 상태에 있습니다에스 0 . 우리는 외부와 현재의 과정을 관찰합니다.티 0 우리는 시스템의 상태를 알고 있습니다에스 0 그리고 그 과정의 전체 배경, 그 동안 일어난 모든 일들티< 티 0 . 물론이죠. 미래에 관심이 있는 사람:티> 티 0 . 우리는 그것을 예측할 수 있습니까? 정확히는 - 아니오. 우리의 프로세스는 무작위이므로 예측할 수 없습니다. 그러나 우리는 미래에 프로세스의 몇 가지 확률적 특성을 발견할 수 있습니다. 예를 들어, 일정 시간이 지나면티체계 에스수있을 것입니다에스 1 또는 상태를 저장에스 0 등.
프로세스가 Markovian인 경우 시스템의 현재 상태만 고려하여 예측이 가능합니다.에스 0 그리고 그것의 "선사시대"(시스템의 행동티< 티 0 ). 국가 그 자체에스 0 물론 과거에 따라 다르지만 일단 달성되면 과거는 잊힐 수 있습니다. 저것들. 마르코프 과정에서 “미래는 현재를 통해서만 과거에 달려 있다.”
예. 체계 에스– 때때로 우주 입자에 부딪히는 가이거 계수기; 특정 시점의 시스템 상태티카운터 판독(주어진 순간까지 도착한 입자의 수)을 특징으로 합니다. 그 순간에 보자티 0 카운터 쇼에스 0 . 현재 확률은티> 티 0 카운터에는 하나 또는 다른 개수의 입자가 표시됩니다.에스 1 (이하 에스 1 )에 따라 달라집니다 에스 0 , 그러나 입자가 그 순간 이전에 도착한 정확한 순간에 의존하지 않습니다.티 0 .
실제로는 정확히 마코비안은 아니지만 대략적으로 마코비안으로 간주될 수 있는 프로세스를 자주 접하게 됩니다. 예를 들어,에스 - 공중전에 참여하는 항공기 그룹. 시스템 상태는 "빨간색" 항공기의 수가 특징입니다.엑스그리고 "파란색" - 와이, 어느 시점에서 보존됩니다(격추되지 않음). 그 순간티 0 우리는 파티의 수를 알고 있습니다엑스 0 그리고 와이 0 . 우리는 어느 시점에서 일어날 확률에 관심이 있습니다.티 0 + 티수적 우위는 "빨간색"쪽에 있습니다. 이 확률은 무엇에 달려 있습니까? 우선, 특정 순간에 시스템이 어떤 상태에 있는지에 따라 다릅니다.티 0 , 그리고 격추 된 사람들이 언제, 어떤 순서로 특정 시점까지 죽었는지에 관한 것이 아닙니다.티 0 항공기.
본질적으로, "미래"가 의존하는 "과거"의 모든 매개변수가 "현재"로 이전되는 경우 모든 프로세스는 마르코비안으로 간주될 수 있습니다. 예를 들어 우리 얘기 중이야누군가의 일에 대해 기술 장치; 어느 시점에서티 0 그것은 여전히 작동하고 있으며 우리는 그것이 한동안 작동할 가능성에 관심이 있습니다.티. 현재 "시스템이 제대로 작동하고 있다"고 단순히 생각한다면 프로세스는 분명히 마코비안이 아닙니다.티,에 따라 달라집니다 일반적인 경우, 이미 작동한 기간과 마지막 수리 시기를 알려줍니다. 이 두 매개변수(총 작동 시간 및 수리 이후 시간)가 모두 현재 시스템 상태에 포함되어 있는 경우. 그러면 이 프로세스는 Markovian으로 간주될 수 있습니다.
정의 3. 가능한 상태가 다음과 같은 경우 프로세스는 이산 상태를 갖는다고 합니다.에스 1 , 에스 2 ,... 미리 나열(번호 다시 매기기)할 수 있으며 상태에서 상태로의 시스템 전환은 거의 즉각적으로 "점프"하여 발생합니다.
정의 4. 상태에서 상태로의 가능한 전환 순간이 미리 고정되어 있지 않고 원칙적으로 언제든지 전환이 발생할 수 있는 경우 불확실하고 무작위인 경우 프로세스를 연속 시간 프로세스라고 합니다.
우리는 불연속적인 상태를 갖는 프로세스만을 고려할 것입니다.
예. 기술 장치에스두 개의 노드로 구성됩니다. 각각은 임의의 순간에 실패(실패)할 수 있으며, 그 후 장치 수리가 즉시 시작되고 알 수 없는 임의 시간 동안 계속됩니다.
| 그림 4.1 |
가능한 시스템 상태:
에스 0 – 두 장치 모두 작동 가능합니다.
에스 1 – 첫 번째 장치는 수리 중이고 두 번째 장치는 작동 중입니다.
에스 2 – 두 번째 장치가 수리 중이고 첫 번째 장치가 작동 중입니다.
에스 3 – 두 장치 모두 수리 중입니다.
에서 가리키는 화살표에스 0 V 에스 1 첫 번째 노드가 실패하는 순간 등을 의미합니다. 그림의 상태에서 화살표가 없습니다.에스 0 상태에서 에스 3 , 두 장치가 동시에 고장날 확률은 0이 되는 경향이 있기 때문입니다.
정의 5. 이벤트 스트림은 임의의 순간에 차례로 이어지는 동질적인 이벤트의 시퀀스입니다(예: 컴퓨터의 오류 스트림, 전화 교환기의 통화 스트림).
가장 중요한 특징사건의 흐름은 그 강도이다엘– 단위 시간당 평균 이벤트 수입니다. 흐름 강도는 일정할 수 있습니다(엘= const) 및 시간에 따른 변수입니다. 예를 들어, 거리를 따라 이동하는 자동차의 흐름은 밤보다 낮에 더 강렬하며, 하루 14~15시간 동안 자동차의 흐름은 일정하다고 볼 수 있습니다.
정의 6. 사건이 특정하고 동일한 시간 간격으로 연속되는 경우 사건의 흐름을 규칙적이라고 합니다.
정의 7. 확률적 특성이 시간에 의존하지 않는 경우 사건의 흐름을 고정적이라고 합니다. 특히 강도는엘정상유량은 일정해야 합니다. 이는 단위 시간당 나타나는 실제 이벤트 수가 일정하다는 것을 의미하지 않습니다. 아니요, 흐름에는 필연적으로(규칙적이지 않은 경우) 임의의 응축과 희박이 있습니다. 정지 흐름의 경우 이러한 응축과 희박 현상이 규칙적인 성격을 띠지 않는 것이 중요합니다. 길이 1의 한 부분에 더 많은 현상이 발생할 수 있고 다른 부분에는 더 많은 현상이 발생할 수 있습니다. 적은 이벤트, 그러나 단위 시간당 평균 사건 수는 일정하며 시간에 의존하지 않습니다.
예를 들어, 13~14시간 사이에 교환국에 도착하는 통화 흐름입니다. 거의 고정되어 있지만 낮 동안의 동일한 흐름은 더 이상 고정되어 있지 않습니다.
정의 8. 두 기간이 겹치지 않는 경우 이벤트의 흐름을 후유증 없는 흐름이라고 합니다.티 1 그리고 티 2 그 중 하나에 해당하는 이벤트 수는 다른 하나에 해당하는 이벤트 수에 의존하지 않습니다. 본질적으로 이는 흐름을 형성하는 사건이 특정 순간에 서로 독립적으로 나타나는 것을 의미하며, 각각은 고유한 이유에 의해 발생합니다.
예를 들어, 지하철에 진입하는 승객의 흐름은 사실상 후유증이 없습니다. 그러나 구매한 상품을 가지고 카운터를 떠나는 구매자의 흐름은 이미 후유증을 가지고 있습니다(개별 구매자 간의 시간 간격이 최소 시간각각에 대한 서비스).
정의 9. 이벤트가 한 번에 그룹으로 표시되지 않고 하나씩 나타나는 경우 이벤트 스트림을 일반이라고 합니다.
예를 들어, 고객이 치과의사에게 가는 흐름은 일반적으로 평범합니다. 역에 접근하는 기차의 흐름은 평범하지만 자동차의 흐름은 유별나다.
정의 10.
이벤트 스트림이 세 가지 속성(정지성, 보통성, 후유증 없음)을 동시에 가지며 입력 스트림 자체가 포아송의 법칙( 
).
설명을 위해 무작위 과정, 이산 상태를 갖는 시스템에서 발생에스 1 , 에스 2 , ..., Sn종종 상태 확률을 사용합니다.피 1 ( 티),..., 피엔( 티) , 어디 피케이( 티) - 그 순간에 일어날 확률티시스템이 상태에 있습니다SK. 확률 피케이( 티) 조건을 충족: .
이산 상태와 연속 시간을 갖는 시스템에서 발생하는 프로세스가 마코비안이라면 상태 확률은 다음과 같습니다.피 1 ( 티), ..., 피엔( 티) 선형 시스템을 만드는 것이 가능합니다 미분 방정식. 이러한 방정식을 작성할 때 상태에서 상태로 이어지는 각 화살표 반대편에 시스템을 화살표를 따라 이동시키는 이벤트 흐름의 강도가 표시되는 시스템 상태 그래프를 사용하는 것이 편리합니다 (그림 4.2) :
|
그림 4.2 엘ij– 상태에서 시스템을 이동시키는 이벤트 흐름의 강도나는상태에서 슈. 생성 규칙 상태 확률을 찾기 위한 선형 미분 방정식 시스템. 각 상태에 대해 자체 방정식이 작성됩니다. 각 방정식의 왼쪽에는 도함수가 있고, 오른쪽에는 주어진 상태와 직접적으로 연관된 화살표 수만큼 많은 항이 있습니다. 화살표가 가리키는 경우 이 상태이면 용어에 "+" 기호가 있고, 그렇지 않으면 "-" 기호가 있습니다. 각 항은 주어진 화살표를 따라 시스템을 이동시키는 사건 흐름의 강도에 화살표가 나타나는 상태의 확률을 곱한 것과 같습니다. 저것. 우리의 경우 선형 미분 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
|
이러한 시스템을 통합하기 위한 초기 조건은 초기 시스템의 상태를 반영합니다. 예를 들어 시스템의 경우티=0 가능했다SK, 저것 . 이러한 방정식은 분석적으로 풀 수 있지만 방정식의 수가 2개(때로는 3개)를 초과하지 않는 경우에만 편리합니다. 방정식이 더 많은 경우에는 수치해석법을 사용합니다.
에서의 상태 확률은 어떻게 될까요? 있을 것인가?피 1
(
티), ...,
피엔(
티)
한계를 위해 노력하시나요? 이러한 한계가 존재하고 시스템의 초기 상태에 의존하지 않는 경우 이를 최종 상태 확률이라고 합니다. 
.
피 나는– 시스템이 머무르는 평균 상대 시간나-번째 조건.
최종 확률을 찾는 방법은 무엇입니까? 왜냐하면 모든 것이피 나는= const이면 각 방정식의 왼쪽에 있는 도함수는 0과 같습니다. 저것. 우리는 선형 시스템을 갖고 있어요 대수 방정식. 이 시스템의 단일 방정식은 자유 항을 가지지 않으므로 시스템은 축퇴됩니다(즉, 모든 변수가 하나로 표현됩니다). 이를 방지하려면 정규화 조건()을 사용해야 하며, 이 경우 모든 방정식이 폐기될 수 있습니다.
대기열 시스템의 분류
서비스 장치의 수에 따라 QS 시스템은 단일 채널과 다중 채널로 구분됩니다. 다중 채널 QS는 여러 장치로 구성되며 각 장치는 요청을 처리할 수 있습니다.
QS 시스템도 대기가 없는 시스템과 대기가 있는 시스템으로 구분됩니다. 첫째, 요청이 도착할 때 이 요청 서비스를 즉시 시작할 수 있는 채널이 하나도 없으면 요청이 대기열을 떠납니다. 후자는 제한이 없고 대기열 길이에 제한이 있는 시스템으로 나뉩니다.
QS는 또한 우선순위가 있는 시스템과 없는 시스템으로 구분됩니다. 차례로 우선 순위가 있는 시스템은 중단이 있는 QS와 중단되지 않는 QS로 구분됩니다.
무제한 대기열을 갖춘 단일 채널 QS
그림 4.3
확률을 구해보자피케이:
주를 위해 에스 0
: 
, 여기에서 ;
주를 위해 에스 1
N:
, 결과 값을 다음으로 대체합니다.피 1
: 
. 비슷하게, .
개연성 피 0 정규화 조건에서 다음을 찾습니다.
, 
– 기하학적 진행,아르 자형<1
수렴한다. 
– 신청이 없을 확률.
– 장치가 요청을 처리하는 중일 확률.아르 자형= 엘/ 중– 단일 채널 QS의 부하 측정.
현재 순간에는 0, 1, 2, ...가 있을 수 있습니다.케이, ... 확률이 있는 주문피 0 , 피 1 피 2 , ... 응용 프로그램 수에 대한 수학적 기대:
고려해 보면 
, 우리는 다음을 얻습니다:
평균 대기열 길이는 시스템의 평균 애플리케이션 수와 서비스 중인 평균 애플리케이션 수의 차이와 같습니다. 
.
리틀의 공식
|
그림 4.4 |
Little의 첫 번째 공식을 사용하면 QS의 응답 시간(애플리케이션이 시스템에 남아 있는 시간)을 결정할 수 있습니다.
허락하다 엑스(
티)
– 특정 시점까지 QS가 접수한 신청서 수티,
와이(
티)
– 이전에 CMO를 떠난 사람들티 . 두 기능 모두 무작위이며 요청 도착 및 출발 순간에 한 단계씩 증가합니다. 그런 다음 한 번에 시스템의 응용 프로그램 수티다음과 같이 정의할 수 있습니다. 
. 아주 오랜 시간을 생각해 보세요.티
시스템의 평균 애플리케이션 수를 계산합니다.
.
적분은 함수로 둘러싸인 계단 모양의 면적과 같습니다.엑스(
티)
그리고 와이(
티)
, 이 합은 너비가 1이고 길이가 체류 시간과 같은 직사각형으로 구성됩니다.나- 시스템의 번째 응용 프로그램입니다. 해당 금액은 기간 동안 시스템에 접수된 모든 신청서에 적용됩니다.티. 우변을 곱하고 다음으로 나눕니다.엘: .
티엘– 시간이 지남에 따라 접수된 평균 지원서 수티. 모든 시간의 합을 나누기나는평균 애플리케이션 수를 통해 애플리케이션이 시스템에 남아 있는 평균 시간을 구합니다. 
.
똑같은 방법으로 애플리케이션이 대기열에서 소비하는 평균 시간을 얻을 수 있습니다.
무제한 대기열을 갖춘 다중 채널 QS
그림 4.5
확률을 구해보자피케이:
주를 위해 에스 0
: ;
주용 에스 1 – Sn: ;
을 위한 Sn +1 : ; ...
을 위한 Sn+s-1: ;
을 위한 Sn+s: .
처음 n부터 우리가 얻는 +1 방정식: 
마지막 방정식에서 우리는 다음과 같이 표현합니다. 
두 번째 값으로 대체: , 
. 그 다음에 
.
비유를 계속하면 다음과 같습니다. 
.
이제 찾아보자 피 0
, 결과 표현식을 정규화 조건()으로 대체: 
. 여기에서 
.
QS 성과 지표
– QS에서 요구사항이 손실될 확률. 특히 군사 문제를 연구할 때 자주 사용됩니다. 예를 들어, 물체의 대공 방어 효율성을 평가할 때 공중 표적이 물체를 돌파할 확률을 특징으로 합니다. 손실이 있는 QS와 관련하여 모든 요구 사항을 서비스하느라 바쁠 확률과 같습니다.N시스템 장치. 대부분 이 확률은 다음과 같이 표시됩니다.피엔또는 피열려 있는.
– 시스템이 수요를 처리하느라 바쁜 확률케이장치는 다음과 같습니다. 피케이.
– 평균 점유 장치 수: 
서비스 시스템의 부하 정도를 나타냅니다.
– 유지 관리가 필요 없는 평균 장치 수: 
.
– 장치 가동 중지 시간 비율: .
– 장비점유율 : .
– 평균 대기열 길이: 
,
피케이- 시스템에 포함된 확률케이요구 사항.
– 서비스 중인 평균 애플리케이션 수: 
.
– 서비스 시작을 기다리는 대기열의 애플리케이션 수가 특정 수보다 클 확률중: 
. 이 지표는 대기 시간이 제한되어 있을 때 요구 사항을 적용할 가능성을 평가할 때 특히 필요합니다.
나열된 기준 외에도 QS의 효율성을 평가할 때 비용 지표를 사용할 수 있습니다.
큐~에 대한– 시스템의 각 요구사항을 서비스하는 비용
큐시원한– 단위 시간당 대기열에 있는 유휴 응용 프로그램과 관련된 손실 비용
큐~에– 신청 시스템 종료와 관련된 손실;
qk– 단위 시간당 각 장치를 작동하는 비용
qk등– 단위 시간당 가동 중지 시간 비용케이시스템의 번째 장치입니다.
경제 지표를 기반으로 최적의 QS 매개변수를 선택할 때 시스템 손실의 비용 함수를 사용할 수 있습니다(대기 중인 QS의 경우).티– 시간 간격.
실패한 QS의 경우: .
혼합의 경우: .
CMO의 경제적 효율성 기준: 
, 와 함께– 각 애플리케이션을 서비스할 때 얻을 수 있는 경제적 효과.
폐쇄형 큐잉 시스템
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|
예. C1, C2, C3 – 기계; NC – 중앙 저장소;비 - 조작자. 운반 트롤리(조작기)는 사용한 부품을 기계에서 보관 장치로 운반하여 그곳에 배치하고, 새 부품(공작물)을 집어 기계로 운반한 후 클램핑을 위해 작업 위치에 놓습니다. 하역 및 적재에 필요한 전체 기간 동안 기계는 유휴 상태입니다. 시간티시간공작물의 변경은 서비스 시간입니다.
기계 유지 관리의 강도는 다음과 같이 정의됩니다. - 기계 유지 관리의 평균 시간은 다음과 같이 계산됩니다. 
, 어디N– 신청 수. 기계가 서비스 요청을 제출하는 속도는 (기계가 부품을 처리하는 데 걸리는 평균 시간)로 정의됩니다.
단일 그립 매니퓰레이터를 갖춘 기계 시스템은 내부 구성이 있는 대기 시스템입니다. FIFO : 서비스에 대한 기계의 각 요청이 충족됩니다. 조작기가 사용 중인 경우 요청은 대기열에 추가되고 기계는 조작기가 사용 가능해질 때까지 기다립니다. 이 프로세스는 Markovian 프로세스입니다. 특정 시점에 무작위로 서비스 요청 발행티 0 이전 애플리케이션에 의존하지 않습니다. 이전 기간의 프로세스 과정에서. 신청서 실행 기간은 다양할 수 있으며 제출된 신청서 수에 의존하지 않는 무작위 변수입니다. 전체 프로세스는 특정 시점 이전에 발생한 일에 의존하지 않습니다.티 0 .
공작 기계 시스템에서 서비스 요청 수는 0, 1, 2, ...이 될 수 있습니다.중, 어디 중– 총 기계 수. 그러면 다음 상태가 가능합니다.
에스 0 – 모든 기계가 작동 중이고 조작기가 서 있습니다.
에스 1 – 하나를 제외한 모든 기계가 작동 중이고, 조작기가 공작물 변경 요청을 받은 기계를 정비하고 있습니다.
에스 2 - 일하다 중-2 한 기계에서는 공작물이 교환되고 있고 다른 기계는 기다리고 있습니다.
에스 3 - 일하다 중-2 기계, 한 기계는 조작기에 의해 서비스되고, 두 기계는 줄을 서서 기다리고 있습니다.
SM– 모든 기계가 서 있고, 하나는 조작기에 의해 서비스되고, 나머지는 주문 실행을 위해 줄을 서서 기다리고 있습니다.
그림 4.6.
상태로의 전환 확률SK가능한 상태 중 하나에서에스 1 , 에스 2 , ... SM서비스 요청의 무작위 수신에 따라 달라지며 다음과 같이 계산됩니다.
피 0 모든 기계가 작동할 확률이다.
조작기는 다음의 시스템 상태에서 작동합니다.에스 1 ~ 전에 SM . 그러면 이를 로드할 확률은 다음과 같습니다.
대기열에 있는 컴퓨터의 수는 상태와 관련이 있습니다.에스 2
, –
SM, 한 대의 기계가 서비스되는 동안 및 (케이 -1) – 기다리고 있습니다. 그러면 대기열에 있는 평균 머신 수는 다음과 같습니다. 
.
단일 시스템의 가동 중지 시간 비율(다중 시스템 유지 관리 중 대기로 인해): 
.
기계 한 대의 평균 사용:
몬테카를로 방법을 적용하여 문제를 해결하고,
큐잉 이론과 관련된
동질적인 사건의 흐름을 기술하기 위해서는 시간의 순간분배의 법칙을 아는 것만으로도 충분하다. 티 1 , 티 2 , ..., ㅋㅋㅋ, ..., 이벤트가 도착하는 곳입니다.
추가 고려의 편의를 위해 수량을 사용하는 것이 좋습니다.티 1 , 티 2 , ..., 무작위 변수로 이동지 1 , 지 2 , ..., 지중, ... , 하도록 하다:
무작위 변수지케이연속적인 순간 사이의 시간 간격의 길이입니다.ㅋㅋㅋ.
랜덤 변수 세트지나공동 분포 함수가 정의된 경우 주어진 것으로 간주됩니다. 일반적으로 연속확률변수만 고려됩니다.지케이따라서 해당 밀도 함수가 자주 사용됩니다.에프( 지 1 , 지 2 ,..., zk) .
일반적으로 QS 이론은 후유증이 없는 동종 사건의 흐름을 고려합니다.지케이독립적인. 그렇기 때문에 . 기능내가( 나는) ~에 나>1 대표하다 조건부 함수밀도는 간격의 초기 순간에 제공됩니다.지케이 ( 나>1) 신청서가 접수되었습니다. 이에 비해 함수는에프 1 ( 지 1 ) 밀도의 무조건적인 함수이기 때문입니다. 초기에 애플리케이션의 표시 여부에 관해 어떠한 가정도 하지 않습니다.
시간이 지나도 확률 체계가 변하지 않는 소위 고정 흐름(즉, 발생 확률)이 널리 사용됩니다.케이일정 기간 동안 신청 (티 0 , 티 0 + 티)에 의존하지 않습니다 티 0 , 그러나 다음에만 의존합니다.티 그리고 케이). 여파가 없는 정지 흐름의 경우 다음 관계가 유지됩니다.
내가 어디 – 고정 유동 밀도.
시스템에 수신된 신청서는 무료 회선만 차지할 수 있습니다. 라인이 점유되는 순서에 관해 다양한 가정을 할 수 있습니다.
a) 줄은 번호 순서대로 연결됩니다. 낮은 번호의 무료 회선이 있는 경우 더 높은 번호의 회선은 애플리케이션 서비스에 참여할 수 없습니다.
b) 라인은 선착순으로 참여합니다. 비워진 라인은 대기열에 들어가고 이전에 비워진 라인이 모두 사용될 때까지 요청 서비스를 시작하지 않습니다.
c) 라인은 주어진 확률에 따라 무작위 순서로 할당됩니다. 다음 신청서 접수 당시에 다음 사항이 있는 경우N성.자유 라인의 경우 가장 간단한 경우 특정 라인을 점유할 확률은 다음과 같습니다. 더 많은 어려운 경우확률
라인 번호, 릴리스 시점 및 기타 매개변수에 따라 달라지는 것으로 간주됩니다.
시스템에 신청 대기열이 형성되는 경우 서비스 신청 수락 순서와 관련하여 유사한 가정을 할 수 있습니다.
a) 서비스 신청은 선착순으로 접수됩니다. 해제된 회선은 다른 회선보다 먼저 시스템에 입력된 요청을 처리하기 시작합니다.
b) 거절을 받는 데 필요한 최소 시간에 따라 서비스 신청이 승인됩니다. 해제된 회선은 가능한 가장 짧은 시간 내에 거부될 수 있는 요청 서비스를 시작합니다.
c) 서비스 신청은 지정된 확률에 따라 무작위 순서로 승인됩니다. 해당 라인이 출시되는 시점에중대기열에 요청이 있는 경우 가장 간단한 경우 특정 서비스 요청을 선택할 확률은 다음과 같습니다.큐=1/ 중. 더 복잡한 경우에는 확률이큐 1 , 큐 2 ,..., qm신청서가 시스템에 남아 있는 시간, 거절을 받기까지 남은 시간 및 기타 매개변수에 따라 달라지는 것으로 간주됩니다.
· 시리즈를 해결하려면 응용 문제그러한 점을 고려할 필요가 있는 것으로 밝혀졌습니다. 중요한 요소, 서비스 시스템 요소의 신뢰성. 신뢰성의 관점에서 특정 시간의 각 라인은 서비스 가능하거나 결함이 있을 수 있다고 가정합니다. 라인 신뢰성은 무고장 작동 가능성에 의해 결정됩니다.아르 자형= 아르 자형( 티) , 시간의 함수로 지정됩니다. 또한 신뢰성이 불완전하여 고장난 라인을 가동(수리)하는데 시간이 소요된다고 가정하겠습니다.티피. 크기 티피우리는 그것을 주어진 분포법칙에 따른 확률변수로 간주할 것입니다.
서비스 중에 회선이 실패한 응용 프로그램의 운명에 관해 다양한 가정을 할 수 있습니다. 응용 프로그램이 거부됩니다. 응용 프로그램은 시스템에 남아 있습니다( 총 시간시스템에 더 이상 머물지 마십시오.티N) 순서대로 서비스를 신청하는 사람으로서; 응용 프로그램이 대기열에 들어가고 일반적으로 서비스됩니다.
큐잉 문제에 적용되는 통계적 테스트 방법의 본질은 다음과 같다. 알고리즘은 동종 이벤트의 주어진 흐름을 무작위로 구현하고 서비스 시스템의 기능 프로세스를 "모델링"하는 것이 가능한 도움으로 구성됩니다. 이러한 알고리즘은 고정된 문제 조건에서 무작위 서비스 프로세스의 구현을 반복적으로 재현하는 데 사용됩니다. 프로세스 상태에 대해 얻은 정보는 서비스 품질의 지표인 평가를 위해 통계 처리됩니다.
통계 테스트 방법을 사용하면 점근 공식과 비교하여 요청 흐름 특성 및 서비스 시스템 매개변수에 대한 서비스 품질의 의존성을 보다 완벽하게 연구할 수 있습니다.
이는 두 가지 상황으로 인해 달성됩니다. 첫째, 통계적 검정 방법을 사용하여 큐잉 이론의 문제를 해결할 때 일반적으로 분석 방법을 사용하여 수행할 수 있는 것보다 프로세스에 대한 더 광범위한 정보를 사용할 수 있습니다.
한편, 점근식으로 구한 서비스 품질 지표의 값은 엄밀히 말하면 프로세스 시작 시점으로부터 충분히 떨어진 시점을 의미한다. 실제로 프로세스 시작에 가까운 순간, 고정 체제가 아직 도착하지 않은 경우 일반적인 경우 서비스 품질 지표의 값은 점근 값과 크게 다릅니다. 통계 테스트 방법을 사용하면 과도 상태를 충분히 자세히 연구할 수 있습니다.
많은 응용 문제의 경우 분석 공식이 유효한 가정이 너무 제한적인 것으로 나타났습니다. 통계 테스트를 사용하여 문제를 해결할 때 일부 가정은 크게 약화될 수 있습니다.
우선, 이는 다단계 서비스에 적용됩니다(즉, 순차적으로 작동하는 여러 개의 일반적으로 균일하지 않은 단위로 구성된 서비스 시스템이 고려됩니다).
문제의 또 다른 중요한 일반화는 서비스를 위해 도착하는 요청 흐름의 성격에 대한 가정입니다. 거의 임의적인 분포 법칙을 사용하여 동질적인 이벤트의 흐름을 고려하는 것이 가능합니다. 마지막 상황은 다음 두 가지 이유로 중요한 것으로 나타났습니다. 첫째, 실제 애플리케이션 흐름은 어떤 경우에는 가장 단순한 애플리케이션 흐름과 현저히 다릅니다. 두 번째 이유를 설명하기 위해, 애플리케이션의 원래 흐름이 가장 간단한 흐름에 의해 상당히 정확하게 근사화되었다고 가정해 보겠습니다. 동시에 첫 번째 단계에서 제공되는 애플리케이션의 흐름은 엄밀히 말하면 더 이상 가장 단순하지 않습니다. 첫 번째 단계의 출력인 흐름은 두 번째 단계의 단위 서비스 요청에 대한 입력 흐름이 되기 때문에 가장 간단하지 않은 서비스 흐름 문제에 다시 직면하게 됩니다.
· 시뮬레이션하는 알고리즘의 구조
애플리케이션 서비스 프로세스
다음을 갖는 단상 QS 시스템을 고려해 보겠습니다.N무작위로 요청을 받는 라인나는. 신청서 접수 당시 무료 회선이 있는 경우(그 번호N성.), 신청서는 그 중 하나를 잠시 동안 사용합니다티피. 그렇지 않으면 애플리케이션은 다음까지 시스템에 남아 있습니다.테네시서비스를 기다리는 동안 t에서티 대기 시간에 따라 일부 회선이 비어 있을 수 있습니다(해당 번호).중), 이 경우 애플리케이션 서비스가 가능합니다. 만약 그 시간 이전에테네시어떤 라인도 해제되지 않습니다 (중=0 ), 신청이 거부됩니다.
시스템의 신뢰도가 충분하지 않아 요청을 처리하는 회선이 실패하고 요청이 거부되며 일정 시간이 지나면 회선이 복구될 수 있다고 가정합니다.티 펨 가동에 들어간다.
요청에 대한 서비스 품질을 연구하기 위해 제공됩니다.N * 간격 내 시스템 기능 프로세스의 다중 모델링 (0, 티) . 모델링 프로세스 동안 조사된 구현 수는 다음과 같이 표시됩니다.N.
연산:
1. 순간이 결정된다나는시스템에서 다음 애플리케이션 수신.
2. 만일 나는< 티을 선택하면 3단계로 이동하고, 그렇지 않으면 11단계로 이동합니다.
3. 수신된 요청을 처리할 수 있는지 확인:N성.>0 , 그런 다음 4단계로 이동하고, 그렇지 않으면 12단계로 이동합니다. (신청 접수 시간의 값나는와 비교하다 티OSV모든 라인에 대해, 즉 무료 회선이 공개됩니다.)
4. 만약 N성.>1 을 선택한 다음 5단계로 이동하고, 그렇지 않으면 6단계로 이동합니다.
5. 무료 회선 번호는 특별한 규칙에 따라 선택됩니다.
6. 선택한 라인이 할당됩니다.
7. 확인: 신뢰성이 부족하여 서비스가 중단되는 것은 아닌가? 그렇다면 8단계로 이동하고, 그렇지 않으면 10단계로 이동합니다.
8. 타이밍티렘단선 수리 (티렘특정 유통법이 있습니다).
9. N열려 있는= N열려 있는+1 . 1단계로 이동합니다.
10. 바쁜 시간 결정티시간요청을 처리하기 위해 할당된 라인(특정 임의의 값특정 유통법 적용) 및 라인 릴리스 시간:티OSV= 나는+ 티시간. 다음 신청(1단계)으로 이동합니다.
11. 확인: 만약N< N * , 저것 N= N+1 1단계로 이동하고, 그렇지 않으면 실험 결과를 처리하고 종료합니다.
12. 결정:
시간 테네시시스템에 애플리케이션을 유지합니다.
B) 무료 채널 수중~ 동안 테네시.
13. 만일 중>0 을 선택하면 14단계로 이동하고, 그렇지 않으면 9단계로 이동합니다.
14. 만일 중>1 , 그런 다음 15단계로 이동하고, 그렇지 않으면 6단계로 이동합니다.
15. 허용된 규칙에 따라 특정 라인을 선택하고 6단계로 이동합니다.
(큐잉 이론)
1. 큐잉 이론의 요소
고객 서비스를 통해 수익을 창출하는 많은 경제 조직 및 시스템은 집계를 사용하여 상당히 정확하게 설명할 수 있습니다. 수학적 방법큐잉 이론(QST)이라고 불리는 모델이 있습니다. TMO의 주요 측면을 고려해 봅시다.
1.1 큐잉 모델의 구성요소와 분류
큐잉 시스템(QS)은 무작위로 서비스 요청을 수신하는 시스템이며, 수신된 요청은 시스템에서 사용 가능한 서비스 채널을 사용하여 서비스됩니다.
큐잉 프로세스를 모델링하는 관점에서 서비스에 대한 애플리케이션(요구사항) 큐가 형성되는 상황은 다음과 같이 발생합니다. 서비스 제공 시스템에 도달한 요청은 이전에 수신된 다른 요청의 대기열에 합류합니다. 서비스 채널은 서비스를 시작하기 위해 대기열에 있는 요청 중에서 요청을 선택합니다. 다음 요청 서비스 절차를 완료한 후 서비스 채널은 대기 블록에 요청이 있는 경우 다음 요청 서비스를 시작합니다.
이러한 종류의 큐잉 시스템의 작동 주기는 서비스 시스템의 전체 작동 기간 동안 여러 번 반복됩니다. 이전 요청 서비스가 완료된 후 다음 요청 서비스로의 시스템 전환은 무작위 시간에 즉각적으로 발생한다고 가정합니다.
대기열 시스템의 예는 다음과 같습니다.
· 가게들;
· 수리점;
· 우체국;
· 게시물 유지자동차, 자동차 수리소;
· 개인용 컴퓨터특정 문제를 해결하기 위해 들어오는 응용 프로그램이나 요구 사항을 서비스합니다.
· 감사 회사;
· 기업의 현재 보고를 접수하고 확인하는 데 관여하는 세무 조사 부서;
· 전화교환등.
모든 유형의 대기열 시스템의 주요 구성 요소는 다음과 같습니다.
· 들어오는 요구 사항이나 서비스 요청의 입력 흐름;
대기열 규율;
· 서비스 메커니즘.
입력 요구 사항 흐름. 입력 흐름을 설명하려면 서비스 요청을 받는 순간의 순서를 결정하고 각 후속 도착 시 해당 요청의 수를 표시하는 확률론적 법칙을 지정해야 합니다. 이 경우 원칙적으로 '요구사항 접수 시점의 확률적 분포'라는 개념으로 운영됩니다. 개인 및 그룹 요구 사항 모두 여기에서 수신할 수 있습니다(요구 사항은 그룹별로 시스템에 수신됩니다). 후자의 경우 일반적으로 병렬 그룹 서비스를 갖춘 대기열 시스템에 대해 이야기합니다.
대기열 규칙은 대기열 시스템의 중요한 구성 요소입니다. 서비스 시스템의 입력에 도달하는 요구 사항이 대기열에서 서비스 절차로 연결되는 원리를 정의합니다. 가장 일반적으로 사용되는 큐잉 규칙은 다음과 같이 정의됩니다. 다음 규칙:
선착순입니다.
가장 늦게 도착하고 가장 먼저 음식을 받습니다.
응용 프로그램의 무작위 선택;
우선순위 기준에 따른 애플리케이션 선택
서비스 도착 대기 시간 제한(대기열이 있음) 제한된 시간이는 "허용되는 대기열 길이" 개념과 관련된 서비스를 기다리는 중입니다.
서비스 메커니즘은 서비스 절차 자체의 특성과 서비스 시스템의 구조에 따라 결정됩니다. 서비스 절차의 특징에는 서비스 절차의 기간과 각 절차의 결과로 충족되는 요구 사항의 수가 포함됩니다. 을 위한 분석적 설명서비스 절차의 특성상 "서비스 요구 사항에 대한 시간의 확률적 분포"라는 개념으로 작동합니다.
애플리케이션을 서비스하는 데 필요한 시간은 애플리케이션 자체의 성격이나 클라이언트의 요구 사항, 서비스 시스템의 상태 및 기능에 따라 달라집니다. 어떤 경우에는 특정 제한된 시간 간격 후에 서비스 장치가 떠날 확률도 고려해야 합니다.
서비스 시스템의 구조는 서비스 채널(메커니즘, 장치 등)의 수와 상대적 위치에 따라 결정됩니다. 우선, 서비스 시스템은 하나 이상의 서비스 채널을 가질 수 있지만 여러 개를 가질 수 있다는 점을 강조해야 합니다. 이러한 유형의 시스템은 여러 요구 사항을 동시에 처리할 수 있습니다. 이 경우 모든 서비스 채널은 동일한 서비스를 제공하므로 병렬 서비스가 발생한다고 주장할 수 있습니다.
서비스 시스템은 각 서비스 요구사항이 통과해야 하는 여러 유형의 서비스 채널로 구성될 수 있습니다. 즉, 서비스 시스템에서는 요구사항 서비스 절차가 순차적으로 구현됩니다. 서비스 메커니즘은 나가는(제공되는) 요청 흐름의 특성을 결정합니다.
서비스 시스템의 주요 구성 요소를 고려하면 다음과 같이 말할 수 있습니다. 기능성모든 대기열 시스템은 다음과 같은 주요 요소에 의해 결정됩니다.
· 서비스 요청을 받은 순간의 확률적 분포(단일 또는 그룹);
· 서비스 지속 시간의 확률적 분포;
· 서비스 시스템 구성(병렬, 순차 또는 병렬-순차 서비스)
· 서비스 채널의 수와 생산성;
· 대기열 규율;
· 요구사항 소스의 힘.
해결되는 문제의 성격에 따라 대기열 시스템 기능의 효율성에 대한 주요 기준은 다음과 같습니다.
· 들어오는 애플리케이션에 대한 즉각적인 서비스 가능성;
· 수신 애플리케이션 서비스를 거부할 확률;
· 상대적인 것과 절대적인 것 처리량시스템;
· 서비스가 거부된 애플리케이션의 평균 비율;
· 대기열의 평균 대기 시간;
평균 대기열 길이;
· 평균 수입단위 시간당 시스템 기능 등
큐잉 이론의 주제는 큐잉 시스템의 기능성과 그 기능의 효율성을 결정하는 요소 사이의 관계를 확립하는 것입니다. 대부분의 경우 큐잉 시스템을 설명하는 모든 매개변수는 확률 변수 또는 함수이므로 이러한 시스템은 확률론적 시스템에 속합니다.
큐잉 시스템에서 발생하는 프로세스의 성격에 관계없이 QS에는 두 가지 주요 유형이 있습니다.
모든 채널이 사용 중일 때 시스템에 진입하는 애플리케이션이 거부되고 즉시 대기열을 떠나는 거부가 있는 시스템.
모든 서비스 채널이 사용 중일 때 도착하는 요청을 대기열에 배치하고 채널 중 하나가 사용 가능해질 때까지 기다리는 대기(큐잉) 기능이 있는 시스템입니다.
대기가 있는 대기열 시스템은 제한 대기 시스템과 무제한 대기 시스템으로 구분됩니다.
제한된 대기 시스템은 다음을 제한할 수 있습니다.
대기열 길이
대기열 시간.
무제한 대기 시스템에서 대기열에 있는 애플리케이션은 무제한 시간 동안 서비스를 기다립니다. 당신 차례가 될 때까지.
모든 대기열 시스템은 서비스 채널 수로 구별됩니다.
단일 채널 시스템;
다중채널 시스템.
주어진 QS 분류는 조건부입니다. 실제로 대부분의 대기열 시스템은 혼합 시스템으로 작동합니다. 예를 들어 요청은 특정 시점까지 서비스가 시작되기를 기다렸다가 그 이후에는 시스템이 장애가 있는 시스템으로 작동하기 시작합니다.
큐잉 시스템의 특징을 살펴보자.
1.2. 오류가 있는 단일 채널 QS
확률론적 입력 흐름과 서비스 절차를 갖춘 가장 간단한 단일 채널 모델은 요청 수신 간격과 서비스 기간 모두의 지수 분포를 특징으로 하는 모델입니다. 이 경우 요청 수신 간 간격의 분포 밀도는 λ가 시스템에 대한 요청 수신 강도(단위 시간당 시스템에 입력되는 평균 요청 수)인 형식을 갖습니다.
서비스 기간 분포 밀도:
서비스 강도는 어디에 있고, tob는 한 고객에게 서비스를 제공하는 평균 시간입니다.
시스템이 실패하더라도 작동하도록 하십시오. 시스템의 절대 및 상대 처리량을 확인할 수 있습니다. 상대 처리량은 들어오는 모든 요청에 대해 처리된 요청의 비율과 동일하며 다음 공식으로 계산됩니다. 이 값은 서비스 채널이 무료일 확률 P0와 동일하다.
절대 처리량(A)은 대기열 시스템이 단위 시간당 처리할 수 있는 평균 요청 수입니다. 요청 서비스를 거부할 확률은 "서비스 채널 사용 중" 상태의 확률과 같습니다. 
이 값 ROTK는 제출된 신청서 중 처리되지 않은 신청서의 평균 비율로 해석될 수 있습니다.
예. 실패한 단일 채널 QS가 하나의 게시물을 나타냅니다. 일일 유지 관리세차용. 신청서(우편이 점유된 시간에 도착하는 자동차)는 서비스가 거부됩니다. 차량 유량 λ 1.0(시간당 차량). 평균 서비스 기간은 tob=1.8시간입니다.
정상 상태에서 한계값을 결정하는 것이 필요합니다.
a) 상대 용량 q;
b) 절대 용량 A;
c) Rotk의 실패 확률;
QS의 실제 처리량을 공칭 처리량과 비교하십시오. 이는 각 차량이 정확히 1.8시간 동안 서비스를 받고 차량이 중단 없이 차례로 뒤따르는 경우입니다.
서비스 흐름의 강도를 결정해 보겠습니다. 
상대 처리량을 계산해 보겠습니다. 
q 값은 정상 상태에서 시스템이 포스트에 도착하는 차량의 약 35%에 서비스를 제공한다는 것을 의미합니다.
다음 공식을 사용하여 절대 처리량을 결정합니다. A=λ×q=1×0.356=0.356.
이는 시스템이 시간당 평균 0.356대의 차량 서비스를 수행할 수 있음을 의미합니다.
실패 확률:
로크=1-q=1-0.356=0.644.
이는 EO Post에 도착하는 차량의 약 65%가 서비스가 거부된다는 것을 의미합니다.
시스템의 공칭 처리량을 결정해 보겠습니다.
Anom= (시간당 차량 수). Anom은 요청 흐름의 무작위 특성과 서비스 시간을 고려하여 계산된 실제 처리량보다 몇 배 더 큰 것으로 나타났습니다.
1.3. 대기 및 제한된 대기열이 있는 단일 채널 QS
이제 대기가 있는 단일 채널 QS를 고려해 보겠습니다.
대기열 시스템에는 하나의 채널이 있습니다. 들어오는 서비스 요청 흐름의 강도는 λ입니다. 서비스 흐름의 강도는 μ입니다(즉, 평균적으로 지속적으로 바쁜 채널μ 제공 요청을 발행합니다). 서비스 기간은 지수 분포 법칙을 따르는 무작위 변수입니다. 채널이 사용 중일 때 수신된 요청은 대기열에 추가되어 서비스를 기다립니다.
대기열이 제한된 시스템을 고려해보세요. 서비스 시스템의 입력에 아무리 많은 수요가 도착하더라도 이 시스템(큐 + 서비스 중인 클라이언트)는 N-요구사항(애플리케이션) 이상을 수용할 수 없으며, 그 중 하나는 서비스되고 있으며 (N-1) 대기 중인 클라이언트는 다른 곳에서 서비스를 받아야 하며 해당 애플리케이션은 손실됩니다. . 마지막으로 소스 생성 서비스 요청에는 무제한(무한히 큰) 용량이 있습니다.
Pn을 시스템에 n개의 애플리케이션이 있을 확률로 표시하겠습니다. 이 값은 다음 공식으로 계산됩니다.
감소된 흐름 강도는 다음과 같습니다. 그러면 서비스 채널이 무료이고 시스템에 단일 클라이언트가 없을 확률은 다음과 같습니다.
이를 고려하여 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
대기 및 제한된 큐 길이가 (N-1)인 단일 채널 QS의 특성을 정의해 보겠습니다.
· 애플리케이션 서비스 거부 확률: Ptk=РN= 
· 상대적인 시스템 용량: 
절대 처리량:
시스템의 평균 애플리케이션 수:
애플리케이션이 시스템에 머무르는 평균 시간:
대기열에 있는 클라이언트(응용 프로그램)의 평균 체류 기간:
대기열에 있는 평균 애플리케이션(클라이언트) 수(대기열 길이):
대기가 있는 단일 채널 QS의 예를 고려해 보겠습니다.
예. 특수 진단 포스트는 단일 채널 QS입니다. 진단 대기 차량의 주차장 수는 제한되어 있으며 3개, 즉 (N-1)=3개입니다. 모든 주차장이 꽉 차 있는 경우, 즉 이미 3대의 차량이 대기열에 있는 경우, 진단을 위해 도착하는 다음 차량은 서비스 대기열에 배치되지 않습니다. 진단을 위해 도착하는 자동차의 흐름은 λ=0.85(시간당 자동차)의 강도를 갖습니다. 차량 진단 시간은 지수법칙에 따라 분포되며 평균 = 1.05시간입니다.
고정 모드에서 작동하는 진단 스테이션의 확률적 특성을 결정하는 것이 필요합니다.
차량 서비스 흐름의 강도:
교통 흐름의 감소된 강도는 강도 λ와 μ의 비율로 정의됩니다. 
시스템에서 n개의 애플리케이션을 찾을 확률을 계산해 보겠습니다.
P1=r∙P0=0.893∙0.248=0.221;
P2=r2∙P0=0.8932∙0.248=0.198;
P3=r3∙P0=0.8933∙0.248=0.177;
P4=r4∙P0=0.8934∙0.248=0.158.
자동차 서비스 실패 확률:
로크=P4=r4∙P0≒0.158.
진단 스테이션의 상대적 처리량:
q=1–Ptk=1-0.158=0.842.
진단 스테이션의 절대 처리량
A=λ∙q=0.85∙0.842=0.716(시간당 차량).
서비스를 받고 대기열에 있는 평균 차량 수(예: 대기열 시스템):
자동차가 시스템에 머무르는 평균 시간:
요청이 서비스 대기열에 머무르는 평균 시간:
Wq=Ws-1/μ=2.473-1/0.952=1.423시간.
대기열에 있는 평균 애플리케이션 수(대기열 길이):
Lq=λ∙(1-PN)∙Wq=0.85∙(1-0.158)∙1.423=1.02.
진단 포스트가 평균 15.8%의 경우(Rotk = 0.158)에서 자동차를 감지하지 못하기 때문에 고려된 진단 포스트의 작업은 만족스러운 것으로 간주될 수 있습니다.
1.4. 대기 및 무제한 대기열이 포함된 단일 채널 QS
이제 대기 블록의 용량에 대한 제한(즉, N → ) 없이 대기하는 단일 채널 QS를 고려해 보겠습니다. QS의 나머지 작동 조건은 변경되지 않습니다.
이러한 시스템의 안정적인 솔루션은 λ인 경우에만 존재합니다.<μ, то есть заявки должны обслуживаться с большей скоростью, чем поступают, в противном случае очередь может разрастись до бесконечности.
시스템에 n개의 애플리케이션이 있을 확률은 다음 공식으로 계산됩니다.
Pn=(1-r)rn, n=0,1,2,...,
여기서 r = λ/μ<1.
대기열 길이에 대한 제한이 없는 대기 기능이 있는 단일 채널 QS의 특성은 다음과 같습니다.
시스템 내 서비스에 대한 평균 클라이언트 수(요청): 
클라이언트가 시스템에 머무르는 평균 기간:
서비스 대기열에 있는 평균 클라이언트 수:
고객이 대기열에서 보내는 평균 시간:
예. 진단 포스트의 기능에 대해 이야기하는 이전 예에서 논의한 상황을 기억하십시오. 문제의 진단 포스트에 서비스를 위해 도착하는 차량을 위한 주차 공간을 무제한으로 허용하십시오. 대기열 길이는 제한되지 않습니다.
다음 확률적 특성의 최종 값을 결정해야 합니다.
시스템 상태의 확률(진단 스테이션)
시스템 내 평균 차량 수(서비스 중 및 대기 중)
차량이 시스템에 머무르는 평균 기간
(서비스 중 및 대기 중)
서비스를 위해 대기 중인 평균 차량 수;
자동차가 줄을 서 있는 평균 시간.
해결책. 서비스 흐름 매개변수와 감소된 차량 흐름 강도 ρ는 이전 예에서 정의됩니다.
μ=0.952; ρ=0.893.
공식을 사용하여 시스템의 극한 확률을 계산해 보겠습니다.
P0=1-r=1-0.893=0.107;
P1=(1-r)·r=(1-0.893)·0.893=0.096;
P2=(1-r)·r2=(1-0.893)·0.8932=0.085;
P3=(1-r)·r3=(1-0.893)·0.8933=0.076;
P4=(1-r)·r4=(1-0.893)·0.8934=0.068;
P5=(1-r)·r5=(1-0.893)·0.8935=0.061 등
P0는 진단 포스트가 강제로 비활성화(유휴)되는 시간 비율을 결정한다는 점에 유의해야 합니다. 이 예에서는 P0 = 0.107이므로 10.7%입니다.
시스템 내 평균 차량 수(서비스 중 및 대기 중):
단위
클라이언트가 시스템에 머무르는 평균 기간:
서비스 대기 중인 평균 차량 수:
자동차가 줄을 서서 보내는 평균 시간:
수신된 모든 요청은 조만간 처리되므로 시스템의 상대적 처리량은 1과 같습니다.
절대 처리량:
A=λ∙q=0.85∙1=0.85.
자동차 진단을 수행하는 회사는 대기열 길이 제한이 제거되면 진단소를 방문할 고객 수에 주로 관심이 있다는 점에 유의해야 합니다.
이전 예에서와 같이 원래 버전에서 도착하는 자동차의 주차 공간 수가 3개였다고 가정해 보겠습니다. 진단소에 도착한 자동차가 대기열에 합류할 기회가 없는 상황의 빈도 m:
이 예에서는 N=3+1=4 및 r=0.893입니다.
m=λ∙P0∙ r4=0.85∙0.248∙0.8934=0.134대/시간.
진단 스테이션의 12시간 작동 모드를 사용하면 이는 진단 스테이션이 교대(일)당 평균 12∙0.134=1.6 차량을 잃게 된다는 사실과 동일합니다.
대기열 길이에 대한 제한을 제거하면 이 예에서 진단 포스트에서 교대당(12시간 작업) 평균 1.6대의 차량으로 서비스 클라이언트 수를 늘릴 수 있습니다. 진단소에 도착하는 차량의 주차면적을 확대하는 결정은 이들 차량의 주차공간이 3개밖에 없을 때 고객 손실로 인한 경제적 피해를 평가한 것을 바탕으로 이루어져야 한다는 것은 분명합니다.
1.5. 오류가 있는 다중 채널 QS
대부분의 경우 실제로 큐잉 시스템은 다중 채널입니다. 즉, 여러 요청이 병렬로 처리될 수 있으므로 서비스 채널 수가 n>1인 모델은 의심의 여지가 없습니다. 관심.
이 모델에서 설명하는 큐잉 프로세스는 입력 흐름 λ의 강도를 특징으로 하는 반면, n개 이하의 클라이언트(애플리케이션)를 병렬로 처리할 수 있습니다. 하나의 요청을 처리하는 평균 기간은 1/μ입니다. 하나 또는 다른 서비스 채널의 작동 모드는 시스템의 다른 서비스 채널의 작동 모드에 영향을 미치지 않으며 각 채널의 서비스 절차 기간은 지수 분포 법칙에 따라 무작위 변수입니다. 병렬 연결된 서비스 채널을 사용하는 궁극적인 목표는 n개의 클라이언트를 동시에 서비스함으로써 (단일 채널 시스템에 비해) 요청 서비스 속도를 높이는 것입니다.
시스템의 고정 솔루션은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
,어디 
,
확률을 계산하는 공식을 Erlang 공식이라고 합니다.
고정 모드에서 오류가 발생한 다중 채널 QS 기능의 확률적 특성을 결정해 보겠습니다.
실패 확률:
모든 채널이 바쁜 시간에 도착하면 신청이 거부되기 때문입니다. Rotk 값은 들어오는 흐름 서비스의 완전성을 나타냅니다.
애플리케이션이 서비스에 대해 승인될 확률(시스템의 상대적 처리량이라고도 함)은 Rotk를 다음 중 하나에 추가합니다. 
절대 처리량
서비스()가 점유하는 평균 채널 수는 다음과 같습니다.
이 값은 QS의 로딩 정도를 나타냅니다.
예. n채널 QS를 들어오는 문제를 해결하기 위해 3대(n=3)의 상호 교환 가능한 PC를 갖춘 컴퓨터 센터(CC)로 만듭니다. 컴퓨터 센터에 도착하는 작업의 흐름은 시간당 λ=1 작업의 강도를 갖습니다. 평균 서비스 기간 tob=1.8시간.
다음 값을 계산해야 합니다.
점유된 CC 채널 수의 확률
애플리케이션 서비스 거부 확률
CC의 상대적 용량
CC의 절대 처리량
컴퓨터 센터의 평균 점유 PC 수입니다.
컴퓨터 센터의 처리량을 2배로 늘리려면 몇 대의 추가 PC를 구입해야 하는지 결정합니다.
서비스 흐름 매개변수 μ를 정의해 보겠습니다. 
Erlang 공식을 사용하여 상태의 제한 확률을 찾습니다.
애플리케이션 서비스 거부 확률
전산센터의 상대적 수용능력
CC의 절대 용량:
평균 점유 채널 수 – PC
따라서 QS의 정상 작동 모드에서는 평균적으로 3대 중 1.5대의 컴퓨터가 사용되고 나머지 1.5대는 유휴 상태가 됩니다. 센터가 평균 18%의 사례(P3 = 0.180)에서 요청을 서비스하지 않기 때문에 고려 중인 CC의 작업은 거의 만족스럽지 않다고 간주할 수 없습니다. 주어진 λ와 μ에 대한 컴퓨터 센터의 용량은 PC 수를 늘려야만 증가할 수 있다는 것은 명백합니다.
CC에서 수신되는 서비스되지 않은 애플리케이션의 수를 10배로 줄이기 위해 PC를 얼마나 사용해야 하는지 결정해 보겠습니다. 문제 해결 실패 확률이 0.0180을 초과하지 않도록 합니다. 이를 위해 실패 확률 공식을 사용합니다.
다음 테이블을 만들어 보겠습니다.
| N | |||||
| P0 | 0,357 | 0,226 | 0,186 | 0,172 | 0,167 |
| 로크 | 0,673 | 0,367 | 0,18 | 0,075 | 0,026 |
테이블 데이터를 분석하면, 주어진 λ 및 μ 값에 대한 컴퓨터 채널 수를 6개의 PC 장치로 확장하면 n = 6의 확률로 문제 해결 요청에 대한 만족도가 99.22% 보장된다는 점에 유의해야 합니다. 서비스 거부(Rotk)는 0.0078입니다.
6.6. 대기 기능이 있는 다중 채널 QS
대기 기능이 있는 다중 채널 대기열 시스템을 고려해 보겠습니다. 큐잉 프로세스는 다음과 같은 특징이 있습니다. 입력 및 출력 흐름의 강도는 각각 λ 및 μ이며, 최대 C 클라이언트가 병렬로 서비스를 제공할 수 있습니다. 즉, 시스템에는 C 서비스 채널이 있습니다. 한 고객의 평균 서비스 기간은 입니다.
시스템에 n개의 애플리케이션이 있을 확률(C는 서비스 중이고 나머지는 대기열에서 대기 중)은 다음과 같습니다. 
,어디 
다음 조건이 충족되면 솔루션이 유효합니다.
대기 및 무제한 대기열이 있는 다중 채널 QS의 고정 모드에서 작동하는 나머지 확률적 특성은 다음 공식에 의해 결정됩니다.
서비스를 받기 위해 대기 중인 평균 고객 수
;
시스템의 평균 클라이언트 수(서비스 요청 및 대기열)
대기열에 있는 클라이언트(서비스 요청)의 평균 체류 기간
클라이언트가 시스템에 머무르는 평균 기간
대기가 포함된 다중 채널 대기열 시스템의 예를 고려해 보겠습니다.
예. 3개의 기둥(채널)을 갖춘 공장의 기계 작업장은 소형 기계 수리를 수행합니다. 작업장에 도착하는 결함이 있는 메커니즘의 흐름은 포아송(Poisson)이고 하루에 λ = 2.5 메커니즘의 강도를 가지며, 한 메커니즘의 평균 수리 시간은 지수 법칙에 따라 분포되며 tob = 0.5일과 같습니다. 공장에 다른 작업장이 없으므로 작업장 앞의 메커니즘 대기열이 거의 무제한으로 늘어날 수 있다고 가정해 보겠습니다.
시스템의 확률적 특성에 대해 다음과 같은 제한값을 계산해야 합니다.
시스템 상태의 확률
서비스 대기열에 있는 평균 응용 프로그램 수입니다.
시스템의 평균 애플리케이션 수
애플리케이션이 대기열에 머무르는 평균 시간입니다.
애플리케이션이 시스템에 머무르는 평균 기간입니다.
서비스 흐름 매개변수를 정의해 보겠습니다.
애플리케이션 흐름의 강도 감소
ρ=λ/μ=2.5/2.0=1.25,
이 경우 λ/μ ∙с=2.5/2∙3=0.41<1.
λ/μ∙s 이후<1, то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы.
시스템 상태의 확률을 계산해 보겠습니다.
워크숍에 대기열이 없을 확률
Rotk≒Р0+Р1+Р2+Р3≒0.279+0.394+0.218+0.091=0.937.
서비스 대기열에 있는 평균 애플리케이션 수 시스템의 평균 애플리케이션 수
Ls=Lq+ =0.111+1.25=1.361.
기계가 서비스를 받기 위해 대기열에 머무는 평균 시간 
날
작업장(시스템)에서 메커니즘의 평균 체류 기간
날.
우리는 큐잉 시스템(QS)이라고 불리는 독특한 시스템의 운영을 매일 처리해야 합니다. 이러한 SMO의 예로는 전화 교환, 수리 서비스, 매표소, 안내 데스크, 상점, 약국, 미용실 등이 있습니다. 일반적으로 말해서 임의의 순간에.
각 QS는 특정 수의 서비스 단위(또는 "장치")로 구성됩니다. 서비스 채널. 채널은 통신 회선, 엘리베이터, 판매원, 계산원 등이 될 수 있습니다.
요청 흐름의 서비스 시간은 일반적으로 임의의 일정 기간 동안 지속되며 그 이후에는 채널이 해제되고 다음 요청을 수신할 준비가 됩니다. 요청 흐름과 서비스 시간의 무작위 특성으로 인해 특정 기간 동안 QS 입구에 대기열이 생성되고 다른 기간에는 QS가 저부하로 작업하게 됩니다.
따라서 QS의 작동 프로세스는 개별 상태와 연속 시간을 갖는 무작위 프로세스입니다. QS 상태는 새로운 요청이 도착하거나 서비스가 종료되는 순간(클라이언트 도착 - 클라이언트 왼쪽) 갑자기 변경됩니다.
큐잉 이론(QST)의 주제는 QS의 주어진 운영 조건(요청 흐름의 성격, 채널 수 및 생산성, 서비스 규율)을 QS의 성과 지표와 연결하는 수학적 모델을 구축하는 것입니다. .
다양한 특성을 지표로 사용할 수 있습니다. 단위 시간당 제공되는 평균 애플리케이션 수; 사용 중인 채널의 평균 수; 서비스 실패 확률.
다음 예를 고려하십시오.
여러 직원(서비스 채널)이 있는 약국에 대해 이야기해 보겠습니다. 약물을 찾는 고객은 수요의 흐름을 창출합니다. 구매자가 값비싼 약을 사려고 약국에 갔으나 약이 없다고 상상해 보십시오.
줄을 서고 싶은 시간이나 욕구. 그가 서비스를받지 못할 확률을 계산할 수 있어야합니다. 결국 대다수의 고객이 구매하지 않고 떠나면 약국을 유지할 가치가 거의 없습니다. 각 직원의 업무량을 아는 것도 유용합니다. 이는 약국의 수익성을 나타냅니다. 잠재 고객 수와 서비스 시간은 무작위이므로 문제 해결이 간단하지 않습니다.
이 예에서 서비스가 즉시 시작되지 않으면 고객이 떠나야 하는 조건은 다소 인위적인 것처럼 보입니다. 대부분의 고객은 기다릴 수 있습니다. 그러나 약국 대신 자동 전화 교환(자동 전화 교환)을 고려하고 전화 통화 시간을 서비스로 간주하면 위의 조건이 충족됩니다.
QS 모델(작업장, 약국, 자동 전화 교환, 집안의 엘리베이터 등)의 실제 내용을 추상화하면 QS는 다음 구성 요소를 지정하여 설명할 수 있습니다(그림 9.1).
1. 요구사항의 유입 흐름.
2. 대기열 규율.
3.서비스 메커니즘.
4. 요구사항의 유출 흐름.
쌀. 9.1.큐잉 이론 모델
일부 시스템에는 "큐"가 없습니다.
QS는 여러 특성에 따라 클래스로 구분됩니다(예: QS). 실패로(전화 통신에서와 마찬가지로) 및 QS 대기열로.실제로 큐가 있는 QMS는 더 일반적이고 더 큰 의미를 갖습니다. QMO가 때때로 "큐잉 이론"이라고 불리는 것은 아무것도 아닙니다. 큐가 있는 QS에서는 큐의 길이 및/또는 대기 시간이 제한될 수도 있고 제한되지 않을 수도 있습니다. 서비스는 다음과 같습니다 우선 사항 또는 그것이 없으면 선착순이거나 무작위입니다.
우선순위는 다음과 같습니다. 순수한또는 상대적인.
CMO는 다음과 같습니다. 열려 있는그리고 닫은.첫 번째로 요청 흐름은 QS 자체의 상태(점유된 채널 수)에 의존하지 않습니다.
두 번째 - 상황에 따라 다릅니다. 예를 들어 작업자 한 명이 기계 그룹을 설정하는 경우가 있습니다. 여기에서 기계의 "요구" 강도는 이미 결함이 있는 기계의 수에 따라 달라집니다.
SMO의 분류는 위의 품종에만 국한되지 않습니다.
QS의 구성요소로 돌아가서 좀 더 자세히 살펴보겠습니다. 들어오는 흐름 요구 사항은 TMO의 가장 중요한 개념 중 하나입니다.
수요의 흐름서비스 시스템에 입력되는 서비스 요청 세트입니다. 그는 될 수 있습니다정기적인또는 확률론적(즉, 무작위). 첫 번째 경우 요구 사항은 동일한 시간 간격으로 서로 따르고 두 번째 경우 요구 사항 발생 순간은 무작위 변수입니다.
요구사항 흐름의 중요한 특징은 강함
- 단위 시간당 시스템에 들어오는 평균 요청 수입니다. 규칙적인 흐름의 경우 
일반적으로 집중적으로
ity는 일정하거나 의존적일 수 있습니다. 티.예를 들어, 밤에는 교통 흐름이 낮만큼 활발하지 않습니다.
들어오는 스트림이 호출됩니다. 변화 없는, 특정 기간 내에 특정 수의 요구를 받을 확률이 다음에 따라 달라지는 경우 오직이 간격의 길이에서.
특히, 정지유동의 강도는 일정해야 합니다. 평균동일한 길이의 간격에는 동일한 수의 수요가 있어야 합니다.
많은 실제 수요 흐름은 적어도 제한된 기간 동안 정상성의 특성을 갖습니다(자동 전화 교환기의 부하는 하루 동안 변경되지만 예를 들어 1시에서 2시 사이에는 변경되지 않음).
요구사항의 흐름을 흐름이라고 합니다. 후유증 없이,
두 개의 겹치지 않는 기간인 경우 
요구 사항 수
해당 기간 동안 시스템에 수신된 요청 수는 해당 간격 동안 수신된 요청 수에 따라 달라지지 않습니다.
즉, 과거는 현재에 영향을 미치지 않습니다! 본질적으로 이는 흐름을 형성하는 요구 사항이 특정 시점에 서로 독립적으로 나타나는 것을 의미합니다(예: 지하철에 진입하는 승객의 흐름).
확률 변수가 해당 구간의 수요 수를 나타냅니다.
스트림이 호출됩니다. 평범한,만약에
그것을주의해라
어디
일반적인 흐름에서는 단기간에 두 개 이상의 요구사항이 나타나는 것이 거의 불가능합니다. 약국으로의 고객 흐름은 일반적으로 평범합니다.
요구사항의 흐름을 가장 간단하고,고정되어 있고 평범하며 후유증이 없는 경우. 이러한 유형의 흐름은 실제로 자주 발생합니다. "가장 단순한"이라는 용어는 이러한 흐름에 대한 간단한 수학적 설명을 의미합니다.
가장 간단한 흐름의 경우 시간 간격의 요청 수는 다음과 같습니다. 티매개변수(섹션 7.2.1 참조)를 사용하여 푸아송의 법칙에 따라 분포됩니다. 즉,
정상성과 여파의 부재는 명백하며, 평범성(즉, 조건 (9.1))은 동등성에서 비롯됩니다.
이는 L'Hopital의 법칙을 사용하여 확인할 수 있습니다.
여기서 매개변수 X는 흐름 강도를 나타냅니다. 정말,
가장 간단한 흐름이라고도 합니다. 고정식 포아송.
예시 1.한 명의 작업자가 기계를 설정하는 것을 고려해 봅시다. 모든 기계는 거의 동일한 상태에 있다고 가정합니다(후자는 고정된 고장 흐름을 보장합니다). 하나의 기계가 고장날 확률은 작습니다(2개, 3개 등의 경우 더욱 그렇습니다). 이는 평범함을 의미합니다. 또한 기계가 많고 평균 수리 시간이 짧다면 고장의 흐름에 따른 후유증이 없다고 가정할 수 있다. 즉, 가장 간단합니다.
해결책.강도를 높이자 
고장/시간 공식 (9.2)에 따르면
~에 
그리고 티=1 확률을 구해보자 케이한 시간 안에 고장
테이블을 만들어 봅시다. 9.1.표 9.1
TMO의 다음 중요한 개념은 서비스 시간.
이는 서비스 시스템의 각 개별 채널 기능의 특성이며 해당 채널의 처리량을 반영합니다. 서비스 시간은 무작위 변수입니다.
단순화를 위해 일반적인 유통법이 적용되는 유사한 서비스 장치로 구성된 시스템을 고려해 보겠습니다. 이 경우, 이 분포 법칙은 서비스 시간 분포 함수를 사용하여 지수 함수라고 가정합니다(공식(7.19) 참조).
매개변수(들어오는 흐름 매개변수와 유사)는 서비스 강도를 결정합니다. 값은 평균 서비스 시간입니다. 티하나의 응용 프로그램:
지수 법칙은 이론적 연구와 많은 응용 분야 모두에서 매우 중요합니다. 가장 중요한 속성은 이러한 서비스 시간 분배 법칙에 따라 남은 서비스 시간은 서비스가 이미 지속된 기간에 좌우되지 않는다는 것입니다.
다음으로, 장애가 발생한 i채널 대기열 시스템에 대해 간략하게 설명합니다. 이것은 "고전적인" TMT 문제로, 전화 통신의 실제 요구에서 발생했으며 20세기 초 덴마크 수학자 Erlang에 의해 해결되었습니다. 작업은 다음과 같습니다.
사용 가능 나강도 X의 가장 간단한 요청 흐름을 수신하는 채널입니다. 다음 요청이 도착하는 순간에 사용 가능한 머신이 하나 이상 있으면 머신 중 하나가 즉시
천천히 서비스를 시작합니다. 그렇지 않으면 신청서가 거부되고 시스템에서 나가게 됩니다.
모든 채널은 서로 독립적으로 작동하며 수신 스트림과도 독립적으로 작동합니다.
각 요청의 서비스 시간은 매개변수(즉, 평균 서비스 시간)을 사용하여 지수법칙((9.3) 참조)에 따라 분포됩니다. 
). 고정(안정) 모드, 즉 작동 시간이 무제한으로 증가하는 QS의 작동 효율성 특성을 찾는 것이 필요합니다. 보다 구체적으로 우리는 다음에 관심이 있습니다:
. ㅏ- 절대 처리량, 즉 단위 시간당 제공되는 평균 애플리케이션 수
상대 처리량 또는 시스템에서 제공하는 수신 애플리케이션의 평균 점유율입니다.
. R 열림 - 거절 확률 또는 신청이 QS 서비스를 제공하지 못하게 될 가능성;
사용 중인 채널의 평균 수
. 
- 정확히 점유될 확률 케이채널, 특히 피 0- 시스템 다운타임 가능성;
. 
- 채널 점유율(%);
. 
- 채널 다운타임 비율
백분율(%)로 표시됩니다. 나타내자
수량 a는 일반적으로 "애플리케이션 흐름의 감소된 강도"라고 하며 그 의미는 하나의 애플리케이션을 서비스하는 평균 시간 동안 도착하는 평균 애플리케이션 수를 의미합니다. 이 표기법을 사용하면 확률은 다음과 같습니다. 피 0그 모든 것 나 QS 채널은 무료이며 다음 공식으로 표현됩니다.
그리고 확률은 
처럼 보인다
확률에 대한 공식 (9.6), (9.7) Rk호출된다 얼랭 공식
- TMO 창립자를 기리기 위해. 그들의 도움으로 우리는 관심 있는 QS의 나머지 특성을 계산할 수 있습니다. 응 확률은 
실제로, 신청서가 거절되기 위해서는 모든 사항이 필요합니다. 나채널이 바빴습니다. 그래서,
여기에서 상대적 처리량, 즉 요청이 처리될 확률을 찾습니다.
우리는 애플리케이션 흐름의 강도에 다음을 곱하여 절대 처리량을 얻습니다. 큐:
공식 (9.6)과 (9.7)을 고려한 수학적 기대의 정의에 따라 점유된 채널의 평균 수는 다음과 같습니다.
실패할 확률을 알고 있으니 참고하세요 
서비스 중
시스템 나서비스 채널((9.8) 참조), 시스템에 대한 유사한 확률 
쉽게 검증 가능한 등식을 사용하여 채널을 계산할 수 있습니다.
고려된 이론을 사용하여 두 가지 예를 들어 보겠습니다. 예시 2. 5개의 통신 회선을 갖춘 전화 교환이 있다고 가정합니다. PBX에 도착하는 통화 흐름은 강도가 가장 단순하다고 가정됩니다. 
통화 시간은 평균 통화 시간 = 2분인 지수 법칙에 따라 분포됩니다. 또한 요청 수신 시 5개 회선이 모두 통화 중인 경우 요청이 거부되는 것으로 가정됩니다. 정상상태에서 QS 효율의 주요 특성을 계산하는 것이 필요합니다.
여기에서 우리는 PBX에서 평균 5개 회선 중 2개 회선이 사용되고 있으며 각 회선의 로드율은 39%에 불과하며 100개 중 약 4개의 통화가 손실된다는 결론을 내립니다. 따라서 PBX는 매우 효율적으로 작동하지 않으며 그럴 가능성이 높습니다. 총 라인 수를 줄이고(또는) 애플리케이션 흐름의 강도를 높입니다.
예시 3.다음 예는 약국 효율성 문제로 다시 돌아갑니다. 직원이 3명인 약국을 하나 만들어 보겠습니다. 통계조사에 따르면 약국을 방문하는 시간당 평균 고객 수는 24명이며, 고객 1인당 평균 서비스 시간은 5분 정도 소요되는 것으로 나타났다. 귀하가 서비스를 받지 못할 확률(모든 창문이 점유된 경우 고객이 떠난다고 가정)과 판매자가 작업으로 얼마나 바쁜지 알아봅시다.
해결책.우리는 클라이언트가 간단한 흐름을 형성한다고 가정하고(약국이 바쁜 장소에 있으면 경험적으로 정당화될 수 있음) Erlang 공식을 사용하여 해결합니다.
영업사원 한 명을 해고할 수 있고 심지어 해고해야 하는 것처럼 보입니다. 그러나 수행된 계산에서는 이를 확인하지 않습니다. 실제로, 공식 (9.12)을 사용하여 우리는 다음을 찾습니다.
따라서 나머지 두 판매자 각각의 작업량은 약간 증가하지만(영업일 기준 0.53에서 1/2.1.2 = 0.6일) 현재 상황에서 약국의 "효율성 요소"는 0.79에서 0.6으로 감소합니다. , 잠재 고객의 60%((1 - 0.4). 100%)에게만 서비스가 제공되며, 이전에 판매자가 3명인 경우와 같이 79%가 아닙니다.
실제로 운영을 연구할 때 유사한 문제를 해결하기 위해 반복적으로 사용하도록 설계된 시스템을 다루어야 하는 경우가 많습니다. 이 경우 발생하는 프로세스를 서비스 프로세스라고 하며, 시스템을 큐잉 시스템이라고 합니다. 이러한 시스템의 예로는 수리점, 전화 시스템, 컴퓨터 시스템, 상점 등이 있습니다.
각 대기열 시스템은 장치를 포함한 특정 수의 서비스 단위로 구성됩니다.
주문, 포인트, 스테이션을 서비스 채널이라고 합니다. 채널은 판매자, 미용사, 컴퓨터, POS(Point of Sale), 통신 회선 등이 될 수 있습니다. 대기열 시스템은 채널 수에 따라 단일 채널(1개 채널)과 다중 채널(여러 채널)로 구분됩니다.
애플리케이션은 일반적으로 큐 시스템에 불규칙적으로 들어가지만 무작위로 소위 무작위 애플리케이션 흐름(요구사항)을 형성합니다. 애플리케이션 서비스도 임의의 시간 동안 계속됩니다. 응용 프로그램 및 서비스 시간의 무작위 흐름으로 인해 대기열 시스템의 로드가 고르지 않게 됩니다. 어떤 기간에는 매우 많은 수의 응용 프로그램이 누적되고 다른 기간에는 시스템이 불완전한 로드로 작동하거나 유휴 상태가 됩니다. 정보에 입각한 관리 결정을 내려 이러한 프로세스를 최대한 최적화하고 규제하기 위해 대기열 이론이 사용됩니다.
큐잉 이론- 다수의 동질적인 기본 연산으로 구성된 대량 연산의 통계적 패턴을 연구하는 이론입니다. 특히 여기에는 컨베이어 벨트에서 유사한 부품 편집, 도구 발행, 기계 수리, 전화 교환 운영, 매장 고객 서비스, 매표소, 미용실 고객 서비스, 기계 및 장비 유지 관리 등이 포함됩니다.
서비스 이론의 동의어는 대기열 이론이다. 기본 작업에 대한 요청이 임의의 시간에 도착하거나 임의의 기간 동안 서비스되는 대기열 시스템에서 대기열의 출현은 필요악입니다. 서비스 채널(수리 직원, 영업사원, 전화 교환원 등)이 많기 때문에 시스템은 채널의 장기적인 다운타임으로 인해 손실을 입습니다. 서비스 채널 수가 적을 경우 시스템 손실로 인해 대기열이 누적됩니다.
대기열 이론의 임무는 기본 작업에 대한 요청 입력 흐름의 통계적 패턴과 서비스 요청 기간을 연구하고 다양한 대기열 규칙에 대한 서비스 시스템의 품질(처리량 결정)을 평가하는 것입니다. 대기열은 대기열 길이 제한 및 무제한, 대기 시간 제한 등 다양한 방식으로 구성될 수 있습니다.
큐잉 이론의 주제는 큐잉 시스템의 주어진 작동 조건(채널 수, 성능, 흐름의 성격, 요청 등)을 해당 시스템의 능력을 설명하는 성능 지표와 연결하는 수학적 모델을 구축하는 것입니다. 요청의 흐름에 대처하기 위해.
사건의 흐름은 임의의 순간에 연속적으로 이어지는 일련의 동질적인 사건으로 이해됩니다(예: 전화 교환기의 통화 흐름, 컴퓨터 오류의 흐름, 고객의 흐름 등).
흐름은 강도() - 이벤트 발생 빈도 또는 단위 시간당 대기열 시스템에 들어가는 평균 이벤트 수로 특징지어집니다.
다음은 대기열 시스템의 성과 지표로 사용될 수 있습니다.
대기열에 있는 평균 응용 프로그램 수입니다.
서비스 평균 대기시간
기다리지 않고 서비스를 거부할 가능성
대기열에 있는 신청 수가 특정 값을 초과할 확률 등
대기열 시스템은 대기(대기열) 및 거부의 두 가지 주요 유형(클래스)으로 나뉩니다. 대기가 있는 큐잉 시스템에서는 채널이 바쁠 때 수신된 요청이 전송되지 않고 서비스를 위해 큐잉됩니다.
거절이 있는 시스템에서는 모든 채널이 바쁜 시간에 도착한 애플리케이션이 거절을 받고 추가 서비스 프로세스에 참여하지 않고 시스템을 떠납니다. (예: 모든 채널이 바쁜 시간에 전화 통화를 위한 애플리케이션이 수신됨) 거부하고 서비스 시스템을 떠남).
다음은 오류가 발생한 대기열 시스템에 대한 성능 지표로 사용됩니다.
1. 절대 처리량(A) - 단위 시간당 제공되는 평균 애플리케이션 수를 표시하는 지표입니다. 공식으로 계산됩니다.
애플리케이션 흐름의 강도는 어디에 있습니까?
서비스 흐름 강도.
이 경우 서비스 흐름의 강도는 평균 서비스 시간()의 역수입니다.
2. 상대 처리량(Q) - 시스템에서 수신하고 서비스하는 요청의 평균 점유율을 나타내는 지표입니다. 공식으로 계산
3. 거부 확률(P from) - 애플리케이션이 대기 시스템을 서비스되지 않은 상태로 남겨둘 확률을 나타내는 값입니다. 해당 서비스가 거부되는 애플리케이션의 비율을 표시합니다.
4. 평균 점유 채널 수()(다채널 시스템의 경우). 이 지표는 다음과 같이 계산됩니다.
채널 부하 강도도 결정됩니다. p(또는 응용 프로그램 흐름 강도가 제공됨)는 한 응용 프로그램의 평균 서비스가 수신한 평균 응용 프로그램 수를 나타내는 지표입니다. 공식으로 계산됩니다.
확률을 제한하는 다중 채널 큐잉 시스템에서는 A.K를 기념하여 Erlang 공식이라고 하는 제한 상태 확률 공식이 사용됩니다. Erlang(19세기 말 - 20세기 초) - 덴마크 엔지니어, 수학자, 대기열 이론의 창시자.
대기열 시스템의 실패 확률은 시스템의 모든 n개 채널이 사용 중일 최대 확률입니다. 즉, 다음과 같습니다.
;
, ..., ...,.
상대 처리량 - 요청이 처리될 확률은 다음에 의해 결정됩니다.
.
절대 처리량은 다음과 같이 계산됩니다.
대기열 시스템 분류에서는 서비스 규율이 중요합니다. 수신된 요청 중에서 요청을 선택하는 절차와 무료 채널 간에 요청을 배포하는 절차를 결정합니다. 이 기능을 기반으로 애플리케이션의 서비스를 우선순위 원칙에 따라 수신된 순서(처음부터)로 구성하거나 반대로 마지막에 도착한 애플리케이션을 서비스로 처리할 수 있습니다. 우선순위(가장 중요한 애플리케이션이 먼저 서비스됨)
예. 콜센터의 전화 통화 신청은 시간당 80건의 신청 강도와 평균 전화 통화 기간으로 접수됩니다.
1. 하나의 전화번호로 대기시스템(콜센터)의 성과지표를 결정한다.
2. 최적 조건을 고려하면 전화 지점의 최적 전화번호 수를 결정합니다.
평균적으로 100개의 지원서 중 최소 80개의 협상 지원자가 있습니다.
1. 서비스 흐름의 강도를 계산합니다.
.
2. 대기열 시스템의 상대적 용량을 결정해 보겠습니다.
.
이는 접수된 신청서의 평균 20%만이 만족되고 서비스가 제공된다는 것을 의미합니다. 즉, 협상은 전화를 통해 수행됩니다.
3. 서비스 거부 확률()은 다음과 같습니다.
.
따라서 평균적으로 협상을 위해 제출된 신청서의 80%가 서비스가 거부됩니다.
4. 대기열 시스템의 절대 용량 - 전화 지점은 다음과 같습니다.
.
따라서 시간당 평균 16개의 협상 요청이 처리됩니다.
이를 통해 전화번호가 하나만 있으면 콜센터가 요청 흐름에 잘 대처하지 못한다는 결론을 내릴 수 있습니다.
작업의 두 번째 작업(전화 교환기에서 최적의 번호 수 결정)을 수행하려면 먼저 채널 부하 강도를 분석해야 합니다.
5. 채널 부하 강도를 계산합니다.
.
즉, 평균 전화 통화 중 평균 4건의 협상 요청이 접수됩니다.
6. 시스템의 특성(콜 포인트)을 파악하고 최적의 번호 수를 선택하려면 채널 수(전화 번호) n = 2,3,4, ...를 점진적으로 늘려 기존 대기열을 변형해야 합니다. 단일 채널에서 다중 채널로의 시스템. 그러면 상대 처리량은 다음과 같습니다.
;
;
뒤에;. 
절대 처리량은 다음과 같습니다.
마찬가지로 3, 4, 5, 6 서비스 채널(전화번호)에 대한 대기열 시스템의 주요 특성을 계산하고 이를 표에 요약합니다. 13.5.
표 13.5. 전화번호에 따른 콜센터의 상담요청 처리 주요 특징
따라서 최적 조건에 따르면 Q 3 = 0.8이므로 전화 교환소에는 3개의 전화번호를 설치해야 한다(이 경우 Q = 0.80). 즉, 시간당 평균 64개의 요청이 처리되며(A=64), 평균 점유 개수(채널)는
.
경영 결정을 내리는 데 있어서 게임 이론이 매우 중요함에도 불구하고 그것은 보편적이지 않습니다. 적용의 주요 제한 사항 중 하나는 이 게임이 효율성의 특성으로 승리에 대한 단일 지표를 가지고 있다는 것입니다. 그러나 실제로 대부분의 경제 문제를 해결할 때 몇 가지 성과 지표가 발생합니다. 또한 경제학에서는 일반적으로 파트너의 이익이 본질적으로 적대적이지 않은 상황이 발생합니다. 분석가는 특정 경제 현상 및 프로세스를 연구하기 위한 방법을 선택할 때 이러한 기능을 고려해야 합니다.
소개
무작위 프로세스 이론(무작위 함수)은 개발 역학에서 무작위 현상의 패턴을 연구하는 수학 과학의 한 분야입니다.
현재 대기열 이론, 수학적 측면의 개발은 물론 군사, 의료, 운송, 무역, 항공 등 다양한 응용 분야에 직접적으로 관련된 많은 양의 문헌이 등장했습니다.
큐잉 이론은 확률 이론과 수학적 통계를 기반으로 합니다. 큐잉 이론의 초기 발전은 덴마크 과학자 A.K. Erlang(1878-1929), 전화 교환기 설계 및 운영 분야의 작업.
대기열 이론은 예를 들어 소비자 서비스 기업에서 동종 이벤트가 여러 번 반복되는 생산, 서비스 및 관리 시스템의 프로세스 분석을 다루는 응용 수학 분야입니다. 정보를 수신, 처리 및 전송하는 시스템에서; 자동 생산 라인 등. 이 이론의 발전에 큰 공헌은 러시아 수학자 A.Ya에 의해 이루어졌습니다. 킨친, B.V. 그네덴코, A.N. 콜모고로프, E.S. Wentzelet al.
대기열 이론의 주제는 이러한 프로세스를 관리하는 최선의 방법을 찾기 위해 요청 흐름의 성격, 서비스 채널 수, 개별 채널의 성능 및 효과적인 서비스 간의 종속성을 설정하는 것입니다. 큐잉 이론의 문제는 최적화 성격을 가지며 궁극적으로 서비스 대기, 서비스를 위한 시간 및 자원 손실, 서비스 채널 다운타임으로 인한 총 비용을 최소화하는 시스템 옵션을 결정하는 경제적 측면을 포함합니다.
상업 활동에서는 큐잉 이론을 적용해도 아직 원하는 분포를 찾지 못했습니다.
이는 주로 작업 설정의 어려움, 상업 활동 내용에 대한 깊은 이해의 필요성, 상업 활동에서 관리 결정의 결과에 대한 다양한 옵션을 계산할 수 있는 신뢰할 수 있고 정확한 도구 때문입니다.
1. 랜덤 프로세스의 정의 및 특성
랜덤 프로세스 X(t)는 인수 t의 모든 값에 대해 해당 값이 랜덤 변수인 프로세스입니다.
즉, 무작위 프로세스는 테스트 결과 사전에 알려지지 않은 특정 형태를 취할 수 있는 기능입니다. 고정된 t = to의 경우 X(to)는 일반 확률 변수입니다. 즉, 시간 t®에서의 무작위 과정의 단면.
랜덤 프로세스 X(t, w)의 구현은 랜덤 프로세스 X(t)가 (고정 w에 대해) 테스트 결과로 바뀌는 비랜덤 함수 x(t)입니다. 랜덤 프로세스 X(t)가 취하는 특정 형태, 그 궤적.
따라서 확률과정 X(t,w)는 확률변수와 함수의 특징을 결합한 것이다. 인수 t의 값을 고정하면 랜덤 프로세스가 일반 랜덤 변수로 변하고, w를 고정하면 각 테스트의 결과로 일반 비랜덤 함수로 변합니다.
확률 변수와 마찬가지로 확률 과정도 수치적 특성으로 설명할 수 있습니다.
랜덤 프로세스 X(t)의 수학적 기대값은 비랜덤 함수입니다. 엑스 (t), 이는 변수 t의 임의의 값에 대해 랜덤 프로세스 X(t)의 해당 단면에 대한 수학적 기대값과 같습니다. 즉 도끼 (t) = M.
랜덤 프로세스 X(t)의 분산은 비랜덤 함수입니다. 디 엑스 (t), 변수 t의 임의의 값에 대해, 랜덤 프로세스 X(t)의 해당 섹션의 분산과 동일합니다. 즉 Dx (t) = D.
표준 편차 랜덤 프로세스 X(t)는 분산의 제곱근의 산술 값입니다. 즉,
무작위 프로세스의 수학적 기대는 가능한 모든 구현의 평균 궤적을 특징으로 하며, 분산 또는 표준 편차는 평균 궤적에 대한 구현의 분산을 특징으로 합니다.
랜덤 프로세스 X(t)의 상관 함수는 비랜덤 함수입니다.
두 개의 변수 t1과 t 2, 각 변수 쌍 t1 및 t2에 대해 해당 섹션 X(t1) 및 X(t의 공분산과 같습니다. 2) 무작위 프로세스.
랜덤 프로세스 X(t)의 정규화된 상관 함수는 다음과 같습니다.
무작위 프로세스는 발생하는 시스템의 상태가 원활하게 또는 갑자기 변경되는지 여부, 이러한 상태 집합이 유한(가산) 또는 무한인지 등에 따라 분류될 수 있습니다. 랜덤 프로세스 중에서 특별한 위치는 Markov 랜덤 프로세스에 속합니다. 하지만 먼저 큐잉 이론의 기본 개념을 알아 보겠습니다.
2. 기본 개념 큐잉 이론
실제로 유사한 문제를 해결할 때 재사용이 가능하도록 설계된 시스템을 자주 접하게 됩니다. 발생하는 프로세스를 서비스 프로세스라고 하며 시스템을 큐잉 시스템(QS)이라고 합니다. 이러한 시스템의 예로는 전화 시스템, 수리점, 컴퓨터 단지, 매표소, 상점, 미용실 등이 있습니다.
각 QS는 특정 수의 서비스 단위(기기, 장치, 포인트, 스테이션)로 구성되며, 이를 서비스 채널이라고 부릅니다. 채널은 통신 회선, 작업 지점, 컴퓨터, 판매자 등이 될 수 있습니다. QS 시스템은 채널 수에 따라 단일 채널과 다중 채널로 구분됩니다.
신청서는 일반적으로 QS에 의해 정기적으로 접수되지 않고 무작위로 접수되어 소위 무작위 신청서 흐름(요구 사항)을 형성합니다. 일반적으로 요청 서비스는 임의의 시간 동안 계속됩니다. 애플리케이션 흐름과 서비스 시간의 무작위적 특성으로 인해 QS가 불균일하게 로드된다는 사실이 발생합니다. 어떤 기간에는 매우 많은 수의 애플리케이션이 누적되고(대기열에 들어가거나 QS가 서비스되지 않은 상태로 남음) 다른 기간에는 QS는 저부하 또는 유휴 상태에서 작동합니다.
큐잉 이론의 주제는 QS의 주어진 작동 조건(채널 수, 생산성, 요청 흐름의 성격 등)을 QS의 성능 지표와 연결하여 그 능력을 설명하는 수학적 모델을 구축하는 것입니다. 요청의 흐름에 대처하기 위해.
다음은 QS의 효율성을 나타내는 지표로 사용됩니다. 단위 시간당 서비스되는 평균 애플리케이션 수 대기열에 있는 평균 응용 프로그램 수; 서비스 평균 대기 시간; 기다리지 않고 서비스를 거부할 가능성; 대기열에 있는 애플리케이션 수가 특정 값을 초과할 확률 등
QS는 실패가 있는 QS와 대기(큐)가 있는 QS라는 두 가지 주요 유형(클래스)으로 나뉩니다. 거절이 있는 QS에서는 모든 채널이 바쁜 시간에 수신된 신청이 거절을 받고 QS를 떠나 추가 서비스 프로세스에 참여하지 않습니다(예: 모든 채널이 바쁜 시간에 전화 대화를 요청하는 경우) 바쁘고, 거절을 받고 QS가 제공되지 않은 상태로 남습니다). 대기 중인 QS에서는 모든 채널이 바쁜 시간에 도착한 요청이 떠나지 않고 서비스 대기 상태가 됩니다.
대기 중인 대기열은 대기열 구성 방식에 따라 대기열 길이가 제한되거나 무제한인 경우, 대기 시간이 제한된 경우 등 다양한 유형으로 나뉩니다.
3. 마르코프 랜덤 프로세스의 개념
QS 프로세스는 무작위 프로세스입니다.
가능한 상태 S1, S2, S3...을 미리 나열할 수 있고 상태에서 상태로의 시스템 전환이 즉시(점프에서) 발생하는 경우 프로세스를 이산 상태 프로세스라고 합니다. 시스템이 상태에서 상태로 전환할 수 있는 순간이 미리 고정되어 있지 않고 무작위인 경우 프로세스를 연속 시간 프로세스라고 합니다.
QS 작업 프로세스는 이산 상태와 연속 시간을 갖는 무작위 프로세스입니다. 이는 일부 이벤트(예: 새 요청 도착, 서비스 종료 등)가 발생할 때 임의의 순간에 QS 상태가 갑자기 변경된다는 것을 의미합니다.
QS 작업의 수학적 분석은 이 작업의 프로세스가 Markovian인 경우 상당히 단순화됩니다. 어떤 순간에 미래 프로세스의 확률적 특성이 주어진 순간의 상태에만 의존하고 시스템이 언제 어떻게 발생했는지에 의존하지 않는 경우 무작위 프로세스를 마르코프 또는 후유증이 없는 무작위 프로세스라고 합니다. 이 상태.
Markov 프로세스의 예: 시스템 S는 택시 미터입니다. t 순간의 시스템 상태는 현재까지 자동차가 이동한 킬로미터(10분의 1킬로미터) 수로 특징지어집니다. 카운터에 현재 So를 표시하도록 합니다. 순간 t > 카운터에 이 숫자 또는 저 숫자(보다 정확하게는 해당 루블 수)가 표시될 확률 S1은 So에 따라 다르지만 카운터 판독값이 이전에 변경된 시점에 의존하지 않습니다. 순간.
많은 프로세스가 대략적으로 Markovian으로 간주될 수 있습니다. 예를 들어, 체스를 두는 과정; 시스템 S는 체스 말 그룹입니다. 시스템 상태는 현재 보드에 남아 있는 적 조각의 수로 특징지어집니다. t > 물질적 이점이 있는 순간에 상대방 중 한 사람의 편이 될 확률은 주로 시스템이 현재 상태에 있는 상태에 따라 달라지며, 조각이 언제, 어떤 순서로 사라지는지에 달려 있지 않습니다. 순간까지 탑승하세요.
어떤 경우에는 고려 중인 프로세스의 선사시대를 무시하고 마르코프 모델을 사용하여 이를 연구할 수 있습니다.
이산 상태의 무작위 프로세스를 분석할 때 소위 상태 그래프라는 기하학적 체계를 사용하는 것이 편리합니다. 일반적으로 시스템의 상태는 직사각형(원)으로 표시되며 상태에서 상태로의 가능한 전환은 화살표(방향이 지정된 호)로 표시됩니다. 연결 상태.
QS에 흐르는 이산 상태와 연속 시간을 갖는 마르코프 랜덤 프로세스에 대한 수학적 설명을 위해 확률 이론의 중요한 개념 중 하나인 사건 흐름의 개념을 알게 됩니다.
. 이벤트 스트림
사건의 흐름은 임의의 순간에 연속적으로 이어지는 일련의 동질적인 사건으로 이해됩니다(예: 전화 교환기의 통화 흐름, 컴퓨터 오류의 흐름, 고객의 흐름 등).
흐름은 강도 X(이벤트 발생 빈도 또는 단위 시간당 QS에 들어가는 평균 이벤트 수)로 특징 지어집니다.
사건이 일정한 시간 간격으로 서로 뒤따르면 사건의 흐름을 규칙적이라고 합니다. 예를 들어, 조립 공장 조립 라인의 제품 흐름(일정한 속도)은 규칙적입니다.
확률적 특성이 시간에 의존하지 않는 경우 사건의 흐름을 고정적이라고 합니다. 특히, 고정 흐름의 강도는 일정한 값입니다. 예를 들어, 도시 도로의 자동차 흐름은 낮 동안 고정되지 않지만 이 흐름은 하루 중 특정 시간, 예를 들어 다음과 같은 시간에는 고정된 것으로 간주될 수 있습니다. 출퇴근 시간. 이 경우 단위 시간당(예: 매 분) 실제 통과하는 자동차 수는 크게 다를 수 있지만 평균 수는 일정하며 시간에 의존하지 않습니다.
겹치지 않는 두 기간 T1과 T2에 대해 둘 중 하나에 해당하는 이벤트 수가 다른 기간에 해당하는 이벤트 수에 의존하지 않는 경우 이벤트의 흐름을 후유증 없는 흐름이라고 합니다. 예를 들어, 지하철에 진입하는 승객의 흐름은 사실상 후유증이 없습니다. 그리고 예를 들어, 구매를 하고 카운터를 떠나는 고객의 흐름은 이미 여파가 있습니다(개별 고객 간의 시간 간격이 각 고객의 최소 서비스 시간보다 작을 수 없기 때문에).
확률이 다음과 같은 경우 사건의 흐름을 보통이라고 합니다. 작은(기본) 시간 간격에서 두 개 이상의 사건이 발생하는 것은 비교하여 무시할 수 있습니다. 와 함께하나의 사건이 발생할 확률. 즉, 이벤트가 그룹으로 나타나지 않고 단독으로 나타나는 경우 이벤트의 흐름은 일반적인 것입니다. 예를 들어, 역에 접근하는 기차의 흐름은 평범하지만 자동차의 흐름은 평범하지 않습니다.
이벤트 스트림이 호출됩니다. 가장 단순한(또는 고정식 푸아송), 동시에 정지되고 평범하며 후유증이 없는 경우. "가장 단순한"이라는 이름은 가장 단순한 흐름을 가진 QS가 가장 간단한 수학적 설명을 갖는다는 사실로 설명됩니다. 일반 흐름은 여파가 있기 때문에 가장 단순하지 않습니다. 이러한 흐름에서 이벤트가 발생하는 순간은 엄격하게 고정되어 있습니다.
극한으로서 가장 단순한 흐름은 확률 이론에서와 같이 자연스럽게 무작위 프로세스 이론에서 발생합니다. 정규 분포는 무작위 변수의 합에 대한 극한으로 얻어집니다. 충분히 큰 수 n의 독립 변수를 부과(중첩)하여 , 고정 및 일반 흐름(강도 Аi(i=1.2…п)에서 서로 비교할 수 있음) 결과는 들어오는 흐름의 강도의 합과 동일한 강도 X를 갖는 가장 단순한 흐름입니다. 즉:
이항분배법칙:
매개변수 포함
이항 분포는 모수를 사용하여 포아송 분포를 따르는 경향이 있습니다.
확률변수의 수학적 기대값은 분산과 동일합니다.
특히, 시간 t(t = 0) 동안 아무 사건도 발생하지 않을 확률은 다음과 같습니다.
확률 밀도 또는 분포 함수로 제공되는 분포는 지수적입니다. 따라서 가장 단순한 흐름의 인접한 두 임의 이벤트 사이의 시간 간격은 지수 분포를 가지며, 이에 대한 수학적 기대치는 랜덤 변수의 표준 편차와 같습니다.
흐름 강도에 따라 그 반대도 마찬가지입니다.
지수 분포의 가장 중요한 속성(지수 분포에만 내재됨)은 다음과 같습니다. 지수 법칙에 따라 분포된 기간이 이미 일정 시간 t 동안 지속된 경우 이는 분포 법칙에 어떤 식으로든 영향을 미치지 않습니다. 구간의 나머지 부분(T - t): 전체 구간 T의 분포 법칙과 동일합니다.
즉, 지수 분포를 갖는 흐름의 연속된 두 인접 이벤트 사이의 시간 간격 T의 경우 이 간격이 얼마나 오래 지속되었는지에 대한 정보는 나머지 부분의 분포 법칙에 영향을 미치지 않습니다. 지수 법칙의 이러한 속성은 본질적으로 가장 단순한 흐름의 주요 속성인 "후유증 없음"에 대한 또 다른 공식입니다.
강도가 있는 가장 단순한 흐름의 경우 기본(작은) 시간 간격 At에서 적어도 하나의 흐름 이벤트가 발생할 확률은 다음과 같습니다.
(At의 거듭제곱 확장의 처음 두 항만으로 함수를 대체하여 얻은 이 대략적인 공식은 At가 작을수록 더 정확합니다.)
5. 콜모고로프 방정식. 상태의 확률 제한
해당 프로세스 상태 그래프가 그림 1에 나와 있습니다. 작업에. 우리는 상태 Si에서 Sj로의 시스템의 모든 전환이 강도가 있는 단순한 이벤트 스트림의 영향을 받아 발생한다고 가정합니다. (나 , j = 0, 1, 2,3); 따라서 시스템이 S0 상태에서 S0 상태로 전환됩니다. S1은 첫 번째 노드의 고장 흐름의 영향으로 발생하고, S0 상태에서 S1 상태로의 역전이는 첫 번째 노드의 '수리 완료' 흐름 등의 영향으로 발생합니다.
화살표로 표시된 강도를 갖는 시스템 상태 그래프를 레이블이라고 합니다(위 그림 참조). 고려 중인 시스템 S에는 네 가지 가능한 상태가 있습니다. , S1 S2, S3. i번째 상태의 확률은 t 순간에 시스템이 Si 상태에 있을 확률 pi(t)입니다. 분명히, 어떤 순간 t 동안 모든 상태의 확률의 합은 1과 같습니다:
시간 t의 시스템을 고려하고 작은 간격 At를 설정하여 시간 t+At의 시스템이 S0 상태에 있을 확률 po(t + At)를 구해 보겠습니다. 이것은 다양한 방법으로 달성됩니다.
1.확률이 po(t)인 순간 t의 시스템은 S0 상태에 있었지만 시간 At 동안 상태를 떠나지 않았습니다.
강도가 있는 가장 간단한 전체 흐름을 사용하여 시스템을 이 상태에서 벗어날 수 있습니다(문제는 그림의 그래프 참조). , 거의 같은 확률로
그리고 시스템이 S0 상태를 떠나지 않을 확률은 다음과 같습니다. . 확률 곱셈 정리에 따르면 시스템이 S0 상태에 있고 At 시간 동안 시스템을 떠나지 않을 확률은 동일합니다.
확률이 p1(t)(또는 p2(t))인 순간 t의 시스템은 상태 S1 또는 S2에 있었고 시간 At 동안 상태로 전환되었습니다.
흐름 강도 시스템은 다음과 같은 확률로 상태가 됩니다. . 이 방법에 따르면 시스템이 상태에 있을 확률은 다음과 같습니다. )
확률 덧셈 정리를 적용하면 다음을 얻습니다.
At에서 한계까지 통과 0(대략적인 평등 정확해짐), 방정식의 왼쪽에서 도함수를 얻습니다. (간단하게 표시하자):
1차 미분 방정식이 얻어집니다. 즉, 미지의 함수 자체와 1차 도함수를 모두 포함하는 방정식입니다.
시스템 S의 다른 상태에 대해서도 비슷하게 추론하면 상태 확률에 대한 콜모고로프 미분 방정식 시스템을 얻을 수 있습니다.
Kolmogorov 방정식을 구성하는 규칙을 공식화해 보겠습니다. 각각의 왼쪽에는 i번째 상태 확률의 미분 값이 있습니다. 오른쪽에는 해당 이벤트 흐름의 강도에서 시스템을 주어진 상태에서 벗어나게 하는 모든 흐름의 총 강도를 뺀 모든 상태(화살표가 주어진 상태로 이동하는)의 확률을 곱한 값의 합이 있습니다. 상태에 주어진(i번째 상태)의 확률을 곱합니다.
위의 시스템에는 총 방정식 수보다 독립 방정식이 하나 적습니다. 따라서 시스템을 풀려면 방정식을 추가해야 합니다.
일반적으로 미분 방정식을 푸는 특징은 소위 초기 조건, 이 경우 초기 순간 t = 0에서 시스템 상태의 확률을 설정해야 한다는 것입니다. 따라서 예를 들어 다음과 같습니다. 초기 순간에 두 컨트롤이 모두 작동하고 시스템이 So 상태인 경우 방정식 시스템을 풀려면 다음과 같이 하십시오. 초기 조건에서
Kolmogorov의 방정식을 사용하면 상태의 모든 확률을 시간 함수로 찾을 수 있습니다. 특히 흥미로운 것은 시스템 확률 p입니다. 나 (t) 제한 고정 모드에서, 즉 ~에 , 이는 상태의 제한(최종) 확률이라고 합니다.
무작위 프로세스 이론에서는 시스템의 상태 수가 유한하고 각 상태에서 (유한한 수의 단계로) 다른 상태로 이동할 수 있는 경우 제한 확률이 존재한다는 것이 입증되었습니다.
상태 Si의 제한 확률은 명확한 의미를 갖습니다. 이는 시스템이 이 상태에 남아 있는 평균 상대 시간을 나타냅니다. 예를 들어, 상태의 한계 확률이 So, 즉 p0=0.5, 이는 평균적으로 시스템이 S0 상태에 있는 시간의 절반을 의미합니다.
제한 확률은 일정하고 Kolmogorov 방정식의 도함수를 0 값으로 대체하므로 고정 체제를 설명하는 선형 대수 방정식 시스템을 얻습니다.
죽음과 번식의 과정
큐잉 이론에서는 특별한 종류의 무작위 프로세스가 널리 퍼져 있습니다. 죽음과 번식의 과정.이 이름은 여러 가지 생물학적 문제와 관련이 있으며, 이 과정은 생물학적 인구 수의 변화에 대한 수학적 모델 역할을 합니다.
시스템 S의 순서화된 상태 세트를 고려하십시오. 0, S1, S2,…, Sk. 전환은 모든 상태에서 인접한 숫자가 있는 상태로만 수행될 수 있습니다. Sk-1 상태에서 상태 또는 Sk+11 상태로의 전환이 가능합니다. .
이러한 방정식(Kolmogorov의 방정식)을 구성하는 규칙에 따라 다음을 얻습니다. 상태 S0에 대해
결론
이 초록은 무작위 대기열 프로세스 이론의 시스템 요소, 즉 무작위 프로세스, 서비스, 서비스 시스템, 대기열 시스템으로 이어지는 개념을 보여줍니다.
참고자료
무작위 질량 Markovian Kolmogorov
1. N.Sh. Kremer “확률 이론 및 수학적 통계” Unity, 모스크바, 2003.
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