컴퓨터 세대 테이블의 비교 특성. 컴퓨터 세대. 컴퓨터 과학의 기초. 작업의 순차적 실행

16~18세기 초부터 수학자들은 함수를 집중적으로 연구하기 시작했고, 그 덕분에 우리 삶의 많은 부분이 바뀌었습니다. 컴퓨터 기술이 지식이 없다면 그것은 단순히 존재하지 않을 것입니다. 복잡한 문제, 선형 방정식 및 함수를 해결하기 위해 다양한 개념, 정리 및 해결 기술이 만들어졌습니다. 이러한 보편적이고 합리적인 해결 방법 및 기법 중 하나 선형 방정식그리고 그들의 시스템은 가우스 방법이 되었습니다. 행렬, 순위, 행렬식 - 복잡한 연산을 사용하지 않고도 모든 것을 계산할 수 있습니다.

SLAU란 무엇인가요?

수학에는 선형 시스템인 SLAE라는 개념이 있습니다. 대수 방정식. 그녀는 어떤가요? 이것은 일반적으로 x, y, z 또는 x 1, x 2 ... x n 또는 기타 기호로 표시되는 필요한 n 미지 수량을 포함하는 m 방정식 세트입니다. 가우스 방법으로 해결 이 시스템- 알려지지 않은 모든 미지수를 찾는 것을 의미합니다. 시스템에 동일한 수의 미지수와 방정식이 있는 경우 이를 n차 시스템이라고 합니다.

SLAE 해결을 위한 가장 널리 사용되는 방법

안에 교육 기관중등교육을 받는 학생들은 이러한 시스템을 해결하기 위한 다양한 방법을 연구합니다. 대부분의 경우 이는 두 개의 미지수로 구성된 간단한 방정식이므로 기존 방식이에 대한 답을 찾는 데는 많은 시간이 걸리지 않습니다. 이는 하나의 방정식에서 다른 방정식을 도출하여 원래 방정식에 대입하는 대체 방법과 유사할 수 있습니다. 또는 용어별로 뺄셈과 덧셈을 하는 방법입니다. 그러나 가우스 방법은 가장 쉽고 보편적인 방법으로 간주됩니다. 이를 통해 미지수가 얼마든지 있는 방정식을 풀 수 있습니다. 이 특정 기술이 합리적인 것으로 간주되는 이유는 무엇입니까? 간단 해. 행렬 방법의 좋은 점은 불필요한 기호를 미지수로 여러 번 다시 작성할 필요가 없다는 것입니다. 산술 연산계수에 대해 - 신뢰할 수 있는 결과를 얻습니다.

SLAE는 실제로 어디에 사용되나요?

SLAE의 해는 함수 그래프에서 선의 교차점입니다. 첨단 컴퓨터 시대에 게임 및 기타 프로그램 개발과 밀접하게 관련된 사람들은 이러한 시스템을 해결하는 방법, 시스템이 나타내는 내용 및 결과 결과의 정확성을 확인하는 방법을 알아야 합니다. 대부분의 경우 프로그래머는 선형 방정식 시스템을 포함하는 특수 선형 대수 계산기 프로그램을 개발합니다. 가우스 방법을 사용하면 모든 것을 계산할 수 있습니다. 기존 솔루션. 다른 단순화된 공식과 기술도 사용됩니다.

SLAU 호환성 기준

이러한 시스템은 호환되는 경우에만 해결할 수 있습니다. 명확성을 위해 SLAE를 Ax=b 형식으로 표현하겠습니다. rang(A)가 rang(A,b)와 같으면 해가 있습니다. 이 경우 (A,b)는 행렬 A를 자유 항으로 다시 작성하여 얻을 수 있는 확장된 형태의 행렬입니다. 가우스 방법을 사용하여 선형 방정식을 푸는 것은 매우 쉬운 것으로 나타났습니다.

아마도 일부 기호는 완전히 명확하지 않을 수 있으므로 예를 들어 모든 것을 고려해야 합니다. 다음과 같은 시스템이 있다고 가정해 보겠습니다. x+y=1; 2x-3y=6. 이는 2개의 미지수가 있는 2개의 방정식으로만 구성됩니다. 시스템은 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 동일한 경우에만 솔루션을 갖게 됩니다. 순위란 무엇입니까? 이 번호 독립선시스템. 우리의 경우 행렬의 순위는 2입니다. 행렬 A는 미지수 근처에 위치한 계수로 구성되며 "=" 기호 뒤에 있는 계수도 확장 행렬에 맞습니다.

SLAE를 행렬 형식으로 표현할 수 있는 이유는 무엇입니까?

입증된 Kronecker-Capelli 정리에 따른 호환성 기준을 기반으로 선형 대수 방정식 시스템을 행렬 형식으로 표현할 수 있습니다. 가우스 캐스케이드 방법을 사용하면 행렬을 풀고 전체 시스템에 대해 신뢰할 수 있는 단일 답을 얻을 수 있습니다. 일반 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 동일하지만 미지수의 수보다 작으면 시스템의 답변 수는 무한합니다.

매트릭스 변환

행렬 풀이를 진행하기 전에 해당 요소에 대해 어떤 작업을 수행할 수 있는지 알아야 합니다. 몇 가지 기본 변환이 있습니다.

• 시스템을 다시 작성 매트릭스 뷰이를 해결함으로써 계열의 모든 요소에 동일한 계수를 곱할 수 있습니다.
• 행렬을 표준 형식으로 변환하려면 두 개의 평행 행을 교환하면 됩니다. 표준 형식은 주대각선을 따라 위치한 모든 행렬 요소가 1이 되고 나머지 요소는 0이 됨을 의미합니다.
• 행렬의 평행 행에 해당하는 요소를 서로 추가할 수 있습니다.

조던-가우스 방법

가우시안 방법을 사용하여 선형 동종 및 비균질 방정식 시스템을 푸는 본질은 미지수를 점차적으로 제거하는 것입니다. 두 개의 미지수가 있는 두 개의 방정식 시스템이 있다고 가정해 보겠습니다. 이를 찾으려면 시스템의 호환성을 확인해야 합니다. 방정식은 가우스 방법으로 매우 간단하게 해결됩니다. 각각의 미지수 근처에 위치한 계수를 행렬 형태로 적어 둘 필요가 있습니다. 시스템을 풀려면 확장 행렬을 작성해야 합니다. 방정식 중 하나에 더 적은 수의 미지수가 포함되어 있으면 누락된 요소 대신 "0"을 입력해야 합니다. 알려진 모든 변환 방법은 곱셈, 숫자로 나누기, 계열의 해당 요소를 서로 추가하는 등 행렬에 적용됩니다. 각 행에서 하나의 변수를 값 "1"로 남겨두고 나머지는 0으로 줄여야 한다는 것이 밝혀졌습니다. 보다 정확한 이해를 위해서는 가우스 방법을 예시와 함께 고려할 필요가 있다.

2x2 시스템을 해결하는 간단한 예

우선, 2개의 미지수가 있는 간단한 대수 방정식 시스템을 살펴보겠습니다.

이를 확장 행렬로 다시 작성해 보겠습니다.

이 선형 방정식 시스템을 풀려면 두 가지 작업만 필요합니다. 우리는 매트릭스를 다음과 같이 줄여야 합니다. 정식 형식, 주대각선을 따라 단위가 있습니다. 따라서 행렬 형식에서 시스템으로 다시 전환하면 방정식 1x+0y=b1 및 0x+1y=b2를 얻습니다. 여기서 b1과 b2는 풀이 과정의 결과 답입니다.

1. 확장 행렬을 풀 때 첫 번째 작업은 다음과 같습니다. 두 번째 방정식에서 미지수를 제거하려면 첫 번째 행에 -7을 곱하고 해당 요소를 두 번째 행에 추가해야 합니다.
2. 가우스 방법을 사용하여 방정식을 풀려면 행렬을 표준 형식으로 줄이는 것이 포함되므로 첫 번째 방정식에 대해 동일한 작업을 수행하고 두 번째 변수를 제거해야 합니다. 이를 위해 첫 번째 줄에서 두 번째 줄을 빼고 필요한 답인 SLAE 솔루션을 얻습니다. 또는 그림에 표시된 대로 두 번째 행에 -1의 인수를 곱하고 두 번째 행의 요소를 첫 번째 행에 추가합니다. 그것은 동일합니다.

보시다시피, 우리 시스템은 Jordan-Gauss 방법으로 해결되었습니다. 다시 작성해 보겠습니다. 필수 양식: x=-5, y=7.

3x3 SLAE 솔루션의 예

좀 더 복잡한 선형 방정식 시스템이 있다고 가정해 보겠습니다. 가우스 방법을 사용하면 가장 혼란스러워 보이는 시스템에 대해서도 답을 계산할 수 있습니다. 따라서 계산 방법론을 더 자세히 알아보기 위해 다음 단계로 넘어갈 수 있습니다. 복잡한 예세 가지 미지수로.

이전 예에서와 같이 확장된 행렬 형태로 시스템을 다시 작성하고 표준 형식으로 가져오기 시작합니다.

이 시스템을 해결하려면 이전 예제보다 훨씬 더 많은 작업을 수행해야 합니다.

1. 먼저 첫 번째 열을 하나의 단위 요소로 만들고 나머지는 0으로 만들어야 합니다. 이렇게 하려면 첫 번째 방정식에 -1을 곱하고 두 번째 방정식을 추가합니다. 첫 번째 줄은 원래 형식으로 다시 작성하고 두 번째 줄은 수정된 형식으로 다시 작성한다는 점을 기억하는 것이 중요합니다.
2. 다음으로, 세 번째 방정식에서 동일한 첫 번째 미지수를 제거합니다. 이렇게 하려면 첫 번째 행의 요소에 -2를 곱하고 이를 세 번째 행에 추가합니다. 이제 첫 번째와 두 번째 줄은 원래 형식으로 다시 작성되고 세 번째 줄은 변경 사항으로 다시 작성됩니다. 결과에서 볼 수 있듯이, 우리는 행렬의 주대각선 시작 부분에서 첫 번째 것을 얻었고 나머지 0은 얻었습니다. 몇 가지 단계를 더 거치면 가우스 방법에 의한 방정식 시스템이 안정적으로 풀릴 것입니다.
3. 이제 행의 다른 요소에 대한 작업을 수행해야 합니다. 세 번째와 네 번째 작업은 하나로 결합될 수 있습니다. 대각선의 마이너스 선을 제거하려면 두 번째와 세 번째 선을 -1로 나누어야 합니다. 우리는 이미 세 번째 줄을 필요한 형식으로 가져왔습니다.
4. 다음으로 두 번째 줄을 정식 형식으로 가져옵니다. 이를 위해 세 번째 행의 요소에 -3을 곱하고 이를 행렬의 두 번째 행에 추가합니다. 결과를 보면 두 번째 줄도 우리가 원하는 형태로 축소된 것이 분명합니다. 몇 가지 작업을 더 수행하고 첫 번째 줄에서 미지수의 계수를 제거하는 작업이 남아 있습니다.
5. 행의 두 번째 요소에서 0을 만들려면 세 번째 행에 -3을 곱하고 이를 첫 번째 행에 더해야 합니다.
6. 다음 결정적인 단계는 첫 번째 줄에 추가하는 것입니다. 필요한 요소두 번째 행. 이런 식으로 우리는 행렬의 표준 형식과 그에 따른 답을 얻습니다.

보시다시피 가우스 방법을 사용하여 방정식을 푸는 것은 매우 간단합니다.

4x4 방정식 시스템을 푸는 예

좀 더 복잡한 시스템방정식은 다음을 사용하여 가우스 방법으로 풀 수 있습니다. 컴퓨터 프로그램. 기존에 운전해야합니다 빈 셀미지수에 대한 계수를 계산하면 프로그램 자체가 필요한 결과를 단계별로 계산하여 각 작업을 자세히 설명합니다.

아래에서 묘사 되어진 단계별 지시이 예에 대한 솔루션입니다.

첫 번째 단계에서는 미지수에 대한 자유 계수와 숫자가 빈 셀에 입력됩니다. 따라서 우리는 수동으로 작성한 것과 동일한 확장 행렬을 얻습니다.

그리고 확장된 행렬을 표준 형식으로 만들기 위해 필요한 모든 산술 연산이 수행됩니다. 연립방정식의 답이 항상 정수는 아니라는 점을 이해하는 것이 필요합니다. 때때로 해결책은 분수에서 나올 수 있습니다.

솔루션의 정확성 확인

Jordan-Gauss 방법은 결과의 정확성을 확인하는 방법을 제공합니다. 계수가 올바르게 계산되었는지 확인하려면 결과를 원래 방정식 시스템에 대체하면 됩니다. 왼쪽방정식은 일치해야 합니다 오른쪽, 등호 뒤에 위치합니다. 답변이 일치하지 않으면 시스템을 다시 계산하거나 대체 또는 용어별 뺄셈 및 덧셈과 같이 알려진 SLAE를 해결하는 다른 방법을 시스템에 적용해야 합니다. 결국 수학은 과학이다. 엄청난 양다양한 해결 방법. 하지만 기억하세요. 어떤 해결 방법을 사용하든 결과는 항상 동일해야 합니다.

가우스 방법: SLAE를 풀 때 가장 흔히 발생하는 오류

선형 방정식 시스템을 풀 때 계수가 행렬 형식으로 잘못 전달되는 등의 오류가 가장 자주 발생합니다. 방정식 중 하나에서 일부 미지수가 누락된 시스템이 있으며, 데이터를 확장 행렬로 전송할 때 손실될 수 있습니다. 따라서 이 시스템을 해결할 때 결과가 실제 결과와 일치하지 않을 수 있습니다.

또 다른 큰 실수는 최종 결과를 잘못 작성하는 것일 수 있습니다. 첫 번째 계수는 시스템에서 알 수 없는 첫 번째 계수에 해당하고 두 번째 계수는 두 번째 계수에 해당한다는 것을 명확하게 이해해야 합니다.

가우스 방법은 선형 방정식의 해를 자세히 설명합니다. 덕분에 제작도 쉽네요 필요한 작업그리고 올바른 결과를 찾으세요. 게다가 이 보편적인 치료법복잡한 방정식에 대한 신뢰할 수 있는 답을 찾으려면 아마도 이것이 SLAE를 해결할 때 자주 사용되는 이유일 것입니다.

가우스 방법을 사용하여 선형 방정식 시스템을 푼다.우리가 시스템에 대한 해결책을 찾아야 한다고 가정하자. N선형 방정식 N알 수 없는 변수
주 행렬의 행렬식은 0과 다릅니다.

가우스 방법의 본질알 수 없는 변수를 순차적으로 제거하는 것으로 구성됩니다. 먼저 제거합니다. x 1두 번째부터 시작하여 시스템의 모든 방정식에서 더 이상 제외됩니다. x 2모든 방정식에서 세 번째 방정식부터 시작하여 알 수 없는 변수만 마지막 방정식에 남을 때까지 계속됩니다. xn. 미지의 변수를 순차적으로 제거하기 위해 시스템 방정식을 변환하는 과정을 호출합니다. 직접 가우스 방법. 가우스 방법의 전진을 완료한 후 마지막 방정식에서 우리는 다음을 찾습니다. xn, 우리가 계산하는 두 번째 방정식의 이 값을 사용하여 xn-1, 등등, 우리가 찾은 첫 번째 방정식에서 x 1. 계의 마지막 방정식에서 첫 번째 방정식으로 이동할 때 미지수를 계산하는 과정을 소위 가우스 방법의 반대.

알려지지 않은 변수를 제거하는 알고리즘을 간략하게 설명하겠습니다.

우리는 항상 시스템의 방정식을 재배열함으로써 이를 달성할 수 있기 때문에 이라고 가정합니다. 알 수 없는 변수 제거 x 1두 번째부터 시작하여 시스템의 모든 방정식에서. 이를 위해 시스템의 두 번째 방정식에 를 곱한 첫 번째 방정식을 세 번째 방정식에 추가하고 를 곱한 첫 번째 방정식을 추가합니다. n번째방정식에 첫 번째 방정식을 곱한 값을 추가합니다. 이러한 변환 후의 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

어디서 그리고 .

다음과 같이 표현하면 같은 결과에 도달할 것입니다. x 1시스템의 첫 번째 방정식에서 다른 미지의 변수를 통해 결과 표현식이 다른 모든 방정식에 대체되었습니다. 그래서 변수는 x 1두 번째부터 모든 방정식에서 제외됩니다.

다음으로 비슷한 방식으로 진행하지만 그림에 표시된 결과 시스템의 일부만 사용합니다.

이를 위해 시스템의 세 번째 방정식에 를 곱한 두 번째 방정식을 네 번째 방정식에 추가하고 두 번째 방정식에 를 곱한 식을 추가합니다. n번째방정식에 두 번째 방정식을 곱한 값을 추가합니다. 이러한 변환 후의 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

어디서 그리고 . 그래서 변수는 x 2세 번째부터 시작하는 모든 방정식에서 제외됩니다.

다음으로 우리는 알려지지 않은 것을 제거하는 작업을 진행합니다. x 3, 이 경우 그림에 표시된 시스템 부분과 유사하게 작동합니다.

따라서 우리는 시스템이 다음 형식을 취할 때까지 가우스 방법의 직접적인 진행을 계속합니다.

이 순간부터 우리는 가우스 방법의 반대 작업을 시작합니다. xn마지막 방정식에서 얻은 값을 사용하여 xn우리는 찾는다 xn-1두 번째 방정식 등으로부터 우리는 다음을 찾습니다. x 1첫 번째 방정식에서.

예.

선형 방정식 시스템 풀기 가우스 방법.

가우스 방법의 정의 및 설명

선형 방정식 시스템을 풀기 위한 가우스 변환 방법(방정식 또는 행렬에서 알 수 없는 변수를 순차적으로 제거하는 방법이라고도 함)은 대수 방정식 시스템(SLAE)을 풀기 위한 고전적인 방법입니다. 이 고전적인 방법은 다음과 같은 문제를 해결하는 데에도 사용됩니다. 역행렬그리고 행렬의 순위를 결정하는 단계를 포함합니다.

가우스 방법을 사용한 변환은 선형 대수 방정식 시스템에 작은(기본) 순차적 변경을 수행하여 원래와 동일한 새로운 삼각 방정식 시스템을 형성하여 위에서 아래로 변수를 제거하는 것으로 구성됩니다. 하나.

정의 1

솔루션의 이 부분은 전체 프로세스가 위에서 아래로 수행되므로 순방향 가우스 솔루션이라고 합니다.

원래 방정식 시스템을 삼각형 시스템으로 줄이면 시스템의 모든 변수가 아래에서 위로 발견됩니다(즉, 발견된 첫 번째 변수는 정확하게 시스템 또는 행렬의 마지막 행에 위치합니다). 솔루션의 이 부분은 가우스 솔루션의 역함수로도 알려져 있습니다. 그의 알고리즘은 다음과 같습니다. 먼저 방정식 시스템이나 행렬의 맨 아래에 가장 가까운 변수를 계산한 다음 결과 값을 더 높은 값으로 대체하여 다른 변수를 찾는 식입니다.

가우시안 방법 알고리즘에 대한 설명

가우스 방법을 사용하는 방정식 시스템의 일반적인 솔루션에 대한 일련의 작업은 SLAE를 기반으로 매트릭스에 앞으로 및 뒤로 스트로크를 교대로 적용하는 것으로 구성됩니다. 초기 방정식 시스템의 형식은 다음과 같습니다.

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(건)$

가우스 방법을 사용하여 SLAE를 풀려면 원래 방정식 시스템을 행렬 형식으로 작성해야 합니다.

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

행렬 $A$를 주행렬이라고 하며, 순서대로 작성된 변수의 계수를 나타내고, $b$를 자유항의 열이라고 합니다. 자유항 열이 있는 막대를 통해 작성된 행렬 $A$를 확장 행렬이라고 합니다.

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

이제 방정식 시스템(또는 이것이 더 편리하기 때문에 행렬)에 대한 기본 변환을 사용하여 다음 형식으로 가져와야 합니다.

$\begin(사례) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(건수)$ (1)

방정식(1)의 변환된 시스템의 계수에서 얻은 행렬을 단계 행렬이라고 합니다. 이는 일반적으로 단계 행렬의 모습입니다.

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(배열)$

이러한 행렬의 특징은 다음과 같은 속성 집합입니다.

1. 모든 0 라인은 0이 아닌 라인 뒤에 옵니다.
2. 숫자가 $k$인 행렬의 일부 행이 0이 아닌 경우 동일한 행렬의 이전 행은 숫자가 $k$인 이 행보다 0이 적습니다.

단계 행렬을 얻은 후에는 결과 변수를 나머지 방정식(끝부터 시작)에 대입하고 변수의 나머지 값을 구해야 합니다.

가우스 방법을 사용할 때 기본 규칙 및 허용되는 변환

이 방법을 사용하여 행렬이나 연립방정식을 단순화할 때는 다음 중 하나만 사용해야 합니다. 기본 변환.

이러한 변환은 의미를 변경하지 않고 행렬이나 방정식 시스템에 적용할 수 있는 연산으로 간주됩니다.

• 여러 줄을 재배치하고,
• 행렬의 한 행에서 다른 행을 더하거나 빼는 것,
• 문자열을 0이 아닌 상수로 곱하거나 나누는 것,
• 시스템을 계산하고 단순화하는 과정에서 얻은 0으로만 구성된 선을 삭제해야 합니다.
• 또한 추가 계산에 더 적합하고 편리한 계수가 있는 유일한 시스템을 선택하여 불필요한 비례선을 제거해야 합니다.

모든 기본 변환은 되돌릴 수 있습니다.

단순 가우스 변환 방법을 사용하여 선형 방정식을 풀 때 발생하는 세 가지 주요 사례 분석

시스템을 풀기 위해 가우스 방법을 사용할 때 발생하는 세 가지 경우가 있습니다.

1. 시스템이 일관성이 없을 때, 즉 해결책이 없을 때
2. 연립방정식에는 해와 고유한 해, 그리고 양이 있습니다. 0이 아닌 문자열행렬의 열은 서로 동일합니다.
3. 시스템에는 특정 수량 또는 세트가 있습니다. 가능한 해결책, 행 수가 열 수보다 적습니다.

일관되지 않은 시스템을 사용한 솔루션의 결과

이 옵션의 경우 가우스 방법을 사용하여 행렬 방정식을 풀 때 등식을 충족할 수 없는 직선을 얻는 것이 일반적입니다. 따라서 적어도 하나의 잘못된 동일성이 발생하면 결과 및 소스 시스템포함된 다른 방정식에 관계없이 해가 없습니다. 불일치 행렬의 예:

$\begin(배열)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(배열)$

마지막 줄에서 불가능한 평등이 나타났습니다: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

해가 하나만 있는 연립방정식

이러한 시스템은 단계 행렬로 축소되고 0이 있는 행을 제거한 후 기본 행렬에서 동일한 수의 행과 열을 갖습니다. 여기 가장 간단한 예그러한 시스템:

$\begin(케이스) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(케이스)$

이를 행렬 형태로 작성해 보겠습니다.

$\begin(배열)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(배열)$

두 번째 줄의 첫 번째 셀을 0으로 만들려면 다음을 곱하세요. 윗줄$-2$로 행렬의 맨 아래 줄에서 빼고 맨 위 줄은 원래 형태로 남겨 두십시오. 결과적으로 다음과 같은 결과가 나타납니다.

$\begin(배열)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(배열)$

이 예는 시스템으로 작성할 수 있습니다.

$\begin(케이스) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(케이스)$

더 낮은 방정식으로부터 다음과 같습니다 다음 값$x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. 이 값을 상위 방정식 $x_1 – 3 \frac(1)(3)$에 대입하면 $x_1 = 1 \frac(2)(3)$이 됩니다.

가능한 많은 솔루션을 갖춘 시스템

이 시스템은 양이 적은 것이 특징입니다. 중요한 라인그 안에 있는 열의 수보다 (메인 행렬의 행이 고려됩니다).

이러한 시스템의 변수는 기본과 무료의 두 가지 유형으로 나뉩니다. 이러한 시스템을 변환할 경우, 그 안에 포함된 주요 변수는 "=" 기호까지 왼쪽 영역에 남겨두고, 나머지 변수는 다음 영역으로 옮겨야 합니다. 오른쪽평등.

이러한 시스템에는 특정 기능만 있습니다. 공동의 결정.

정리해보자 다음 시스템방정식:

$\begin(건수) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(건수)$

이를 행렬 형태로 작성해 보겠습니다.

$\begin(배열)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(배열)$

우리의 임무는 시스템에 대한 일반적인 솔루션을 찾는 것입니다. 이 행렬의 경우 기본 변수는 $y_1$ 및 $y_3$입니다($y_1$의 경우 - 먼저 나오므로 $y_3$의 경우 - 0 뒤에 위치함).

기본 변수로 행의 첫 번째 변수와 0이 아닌 변수를 정확하게 선택합니다.

나머지 변수는 free라고 하며 이를 통해 기본 변수를 표현해야 합니다.

소위 역방향 스트로크를 사용하여 시스템을 아래에서 위로 분석합니다. 이를 위해 먼저 시스템의 맨 아래 라인에서 $y_3$을 표현합니다.

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

이제 표현된 $y_3$를 시스템 $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$의 상위 방정식으로 대체합니다: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

$y_1$을 자유 변수 $y_2$ 및 $y_4$로 표현합니다.

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

솔루션이 준비되었습니다.

실시예 1

가우스 방법을 사용하여 슬러프를 해결합니다. 예. 가우스 방법을 사용하여 3x3 행렬로 제공되는 선형 방정식 시스템을 푸는 예

$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(cases)$

확장된 행렬의 형태로 시스템을 작성해 보겠습니다.

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

이제 편의성과 실용성을 위해 행렬을 변환해야 합니다. 상단 모서리마지막 열은 $1$였습니다.

이렇게 하려면 첫 번째 줄에 중간에 $-1$을 곱한 줄을 추가하고 중간 줄 자체를 그대로 작성해야 합니다.

$\begin(배열)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(배열)$

$\begin(배열)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(배열) $

맨 위 줄과 마지막 줄에 $-1$을 곱하고 마지막 줄과 중간 줄도 바꿉니다.

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(배열)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(배열)$

그리고 마지막 줄을 $3$로 나눕니다.

$\begin(배열)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(배열)$

우리는 원래 방정식과 동등한 다음 방정식 시스템을 얻습니다.

$\begin(케이스) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(케이스)$

상위 방정식에서 $x_1$을 표현합니다.

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

실시예 2

가우시안 방법을 사용하여 4x4 행렬을 사용하여 정의된 시스템을 해결하는 예

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(배열)$.

처음에는 왼쪽 상단에 $1$을 얻기 위해 맨 위 줄을 바꿉니다.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(배열)$.

이제 윗줄에 $-2$를 곱하고 두 번째와 세 번째를 더하세요. 4번째 줄에 $-3$를 곱한 첫 번째 줄을 추가합니다.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(배열)$

이제 3번 줄에 2번 줄에 $4$를 곱한 값을 추가하고, 4번 줄에 2번 줄에 $-1$을 곱한 값을 추가합니다.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(배열)$

2번째 줄에 $-1$을 곱하고, 4번째 줄을 $3$로 나누어 3번째 줄을 바꿉니다.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(배열)$

이제 마지막 줄에 $-5$를 곱한 두 번째 줄을 추가합니다.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(배열)$

우리는 결과 방정식 시스템을 해결합니다.

$\begin(케이스) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(케이스)$

개발 평가를 위해 일반적으로 인정되는 방법론에 따라 컴퓨터 기술 1세대는 진공관 컴퓨터로 간주되었고, 2세대는 트랜지스터 컴퓨터, 3세대는 진공관 컴퓨터로 간주되었습니다. 집적 회로아, 네 번째는 마이크로 프로세서를 사용하는 것입니다.

1세대 컴퓨터(1948~1958)진공 전기 램프를 기반으로 만들어졌으며 기계는 기계 코드를 사용하여 리모콘과 천공 카드로 제어되었습니다. 이 컴퓨터는 방 전체를 차지하는 여러 개의 대형 금속 캐비닛에 보관되었습니다.

원소 기초이 세대의 자동차는 진공관- 다이오드와 삼극관. 기계는 상대적으로 간단한 과학적, 기술적 문제를 해결하기 위해 만들어졌습니다. 이 세대의 컴퓨터에는 MESM, BESM-1, M-1, M-2, M-Z, "Strela", Minsk-1, Ural-1, Ural-2, Ural-3, M-20, " Setun", BESM-2, "Hrazdan"(그림 2.1).

1세대 컴퓨터는 크기가 상당히 크고, 전력 소모도 많았으며, 신뢰성도 낮고 소프트웨어도 취약했습니다. 성능은 초당 2~3천 작업, 용량을 초과하지 않았습니다. 랜덤 액세스 메모리– 2kb 또는 2048 기계어(1kb = 1024) 48개의 이진 문자 길이입니다.

2세대 컴퓨터(1959~1967) 60년대에 등장했다. XX세기. 컴퓨터 요소는 반도체 트랜지스터를 기반으로 만들어졌습니다(그림 2.2, 2.3). 이 기계는 어셈블리 언어로 된 프로그램의 통제하에 정보를 처리했습니다. 데이터와 프로그램은 천공카드와 천공테이프를 통해 입력되었습니다.

이 세대 기계의 기본 기반은 반도체 장치였습니다. 기계는 노동 집약적인 다양한 과학 및 기술 문제를 해결하고 제어하기 위해 고안되었습니다. 기술 프로세스생산 중. 반도체 소자의 모습 전자 회로 RAM 용량, 컴퓨터의 안정성 및 속도가 크게 향상되었습니다. 크기, 무게, 전력 소비가 감소했습니다. 2세대 기계의 출현과 함께 주로 소프트웨어의 발전으로 인해 전자 컴퓨터 기술의 사용 범위가 크게 확대되었습니다.

3세대 컴퓨터(1968~1973).컴퓨터의 기본 기반은 하나의 플레이트에 수백 또는 수천 개의 트랜지스터를 포함하는 소형 집적 회로(MIC)입니다. 이 기계의 작동은 영숫자 터미널로 제어되었습니다. 제어에 사용되는 언어 높은 레벨그리고 어셈블러. 데이터와 프로그램은 터미널과 천공 카드, 천공 테이프를 통해 입력되었습니다. 이 기계는 다음과 같은 분야에서 널리 사용되도록 고안되었습니다. 다양한 분야과학 및 기술(계산, 생산 관리, 물체 이동 등). 집적회로 덕분에 컴퓨터의 기술적, 작동적 특성을 크게 향상시키고 가격을 대폭 낮출 수 있었습니다. 하드웨어. 예를 들어, 3세대 시스템은 2세대 시스템에 비해 더 많은 양의 RAM, 향상된 성능, 신뢰성 향상, 소비전력, 점유 면적, 무게가 감소했습니다.

4세대 컴퓨터(1974~1982).컴퓨터의 기본 기반은 대형 집적 회로(LSI)입니다. 최대 저명한 대표자 4세대컴퓨터 - 개인용 컴퓨터(PC). 사용자와의 커뮤니케이션은 컬러를 통해 이루어졌습니다. 그래픽 디스플레이고급 언어를 사용합니다.

이 기계는 과학, 생산, 관리, 의료, 서비스 및 일상 생활에서 노동 생산성을 획기적으로 높이기 위해 고안되었습니다. 높은 온도통합으로 인해 레이아웃 밀도가 증가했습니다. 전자 장비, 신뢰성이 향상되어 컴퓨터 속도가 향상되고 비용이 절감되었습니다. 이 모든 것이 다음에 큰 영향을 미칩니다. 논리적 구조(아키텍처) 컴퓨터 및 해당 소프트웨어. 특히 기계 구조와 소프트웨어 간의 연결이 더욱 긴밀해집니다. 운영 체제(OS) (또는 모니터) - 사람의 개입 없이 기계의 지속적인 작동을 구성하는 일련의 프로그램

5세대 컴퓨터(1990~현재)칩의 논리 요소의 엄청난 밀도로 구별되는 초대형 집적 회로(VLSI)를 기반으로 만들어졌습니다.

6. 조직 컴퓨터 시스템

프로세서

그림에서. 2.1은 구조를 보여줍니다. 일반 컴퓨터버스 조직과 함께. 중앙처리장치는 컴퓨터의 두뇌이다. 그 역할은 주 메모리에 있는 프로그램을 실행하는 것입니다. 메모리에서 명령을 호출하고 해당 유형을 결정한 다음 명령을 차례로 실행합니다. 구성 요소는 주소, 데이터 및 제어 신호가 전송되는 병렬로 연결된 와이어 세트인 버스로 연결됩니다. 버스는 외부(프로세서와 메모리 및 I/O 장치 연결) 버스일 수도 있고 내부 버스일 수도 있습니다.

쌀. 2.1. 중앙 프로세서 1개와 입력/출력 장치 2개가 있는 컴퓨터 다이어그램

프로세서는 여러 부분으로 구성됩니다. 제어 장치는 메모리에서 명령을 호출하고 해당 유형을 결정하는 역할을 담당합니다. 산술 논리 장치는 산술 연산(덧셈 등)을 수행하고 논리 연산(예: 논리 AND)

내부에 중앙 프로세서중간 결과와 일부 제어 명령을 저장하기 위한 메모리가 있습니다. 이 메모리는 여러 개의 레지스터로 구성되며, 각 레지스터는 다음을 수행합니다. 특정 기능. 일반적으로 모든 레지스터의 크기는 동일합니다. 각 레지스터에는 레지스터 크기에 따라 제한되는 하나의 숫자가 포함됩니다. 레지스터는 CPU 내부에 위치하므로 매우 빠르게 읽고 쓰여집니다.

가장 중요한 레지스터는 다음에 실행할 명령을 나타내는 프로그램 카운터입니다. "프로그램 카운터"라는 이름은 아무것도 계산하지 않기 때문에 오해의 소지가 있지만 이 용어는 모든 곳에서 사용됩니다1. 실행되는 명령이 포함된 명령 레지스터도 있습니다. 이 순간팀. 대부분의 컴퓨터에는 다른 레지스터가 있으며 그 중 일부는 다기능이고 다른 일부는 특정 기능만 수행합니다.

7. 소프트웨어. 메인 메모리.

모든 장치에 저장된 전체 프로그램 세트 장기 기억컴퓨터, 그것을 구성하다 소프트웨어(에 의해).

시스템 소프트웨어;
- 응용 소프트웨어;
- 도구 소프트웨어.