საპოვნელად გამოიყენება ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდი. პირობითი ოპტიმიზაცია. ლაგრანგის გამრავლების მეთოდი. ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდი ორი ცვლადის ფუნქციისთვის
ლაგრანგის გამრავლების მეთოდი.
ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდი არის ერთ-ერთი მეთოდი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გადაჭრათ პრობლემების გარეშე ხაზოვანი პროგრამირება.
არაწრფივი პროგრამირება არის განყოფილება მათემატიკური პროგრამირება, ექსტრემალური ამოცანების ამოხსნის მეთოდების შესწავლა არაწრფივი ობიექტური ფუნქციით და არაწრფივი შეზღუდვებით განსაზღვრული შესაძლებელი ამონახსნების რეგიონით. ეკონომიკაში ეს შეესაბამება იმ ფაქტს, რომ შედეგები (ეფექტურობა) იზრდება ან მცირდება არაპროპორციულად ცვლილებებს რესურსების გამოყენების მასშტაბში (ან, რაც იგივეა, წარმოების მასშტაბში): მაგალითად, წარმოების ხარჯების დაყოფის გამო. საწარმოები ცვლადი და ნახევრად ფიქსირებული; საქონელზე მოთხოვნის გაჯერების გამო, როდესაც ყოველი მომდევნო ერთეული უფრო რთული გასაყიდია, ვიდრე წინა და ა.შ.
არაწრფივი პროგრამირების პრობლემა დასმულია, როგორც გარკვეული ობიექტური ფუნქციის ოპტიმუმის პოვნის პრობლემა
F(x 1,…x n), ფ (x) → მაქს
როდესაც პირობები დაკმაყოფილებულია
g j (x 1,…x n)≥0, გ (x) ≤ ბ , x ≥ 0
სად x-მოთხოვნილი ცვლადების ვექტორი;
ფ (x) -ობიექტური ფუნქცია;
გ (x) - შეზღუდვის ფუნქცია (უწყვეტად დიფერენცირებადი);
ბ - შეზღუდვის მუდმივების ვექტორი.
არაწრფივი პროგრამირების პრობლემის გადაწყვეტა (გლობალური მაქსიმუმი ან მინიმალური) შეიძლება მიეკუთვნებოდეს დასაშვები ნაკრების ზღვარს ან შიგთავსს.
წრფივი პროგრამირების პრობლემისგან განსხვავებით, არაწრფივი პროგრამირების ამოცანებში ოპტიმალური სულაც არ დევს შეზღუდვებით განსაზღვრული რეგიონის საზღვარზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამოცანაა შეარჩიოს ცვლადების ისეთი არაუარყოფითი მნიშვნელობები, რომლებიც ექვემდებარება შეზღუდვების სისტემას უტოლობების სახით, რომლის მიხედვითაც მიიღწევა მოცემული ფუნქციის მაქსიმალური (ან მინიმალური). ამ შემთხვევაში არ არის მითითებული არც ობიექტური ფუნქციის და არც უტოლობების ფორმები. შეიძლება იყოს სხვადასხვა შემთხვევები: ობიექტური ფუნქცია არაწრფივია, ხოლო შეზღუდვები წრფივი; ობიექტური ფუნქცია წრფივია, ხოლო შეზღუდვები (ერთი მათგანი მაინც) არაწრფივი; ობიექტური ფუნქციაც და შეზღუდვებიც არაწრფივია.
არაწრფივი პროგრამირების პრობლემა გვხვდება საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებში, ინჟინერიაში, ეკონომიკაში, მათემატიკაში, ბიზნეს ურთიერთობებში და მთავრობაში.
არაწრფივი პროგრამირება, მაგალითად, დაკავშირებულია ძირითადთან ეკონომიკური ამოცანა. ამრიგად, შეზღუდული რესურსების გამოყოფის პრობლემაში, ან ეფექტურობა, ან, თუ მომხმარებლის შესწავლა ხდება, მოხმარება მაქსიმიზებულია იმ შეზღუდვების არსებობისას, რომლებიც გამოხატავს რესურსების დეფიციტის პირობებს. ასეთ ზოგად ფორმულირებაში პრობლემის მათემატიკური ფორმულირება შეიძლება შეუძლებელი იყოს, მაგრამ კონკრეტულ აპლიკაციებში ყველა ფუნქციის რაოდენობრივი ფორმა შეიძლება პირდაპირ განისაზღვროს. მაგალითად, სამრეწველო საწარმო აწარმოებს პლასტმასის პროდუქტებს. წარმოების ეფექტურობა აქ იზომება მოგებით, ხოლო შეზღუდვები ინტერპრეტირებულია, როგორც ხელმისაწვდომი შრომა, წარმოების სივრცე, აღჭურვილობის პროდუქტიულობა და ა.შ.
ხარჯ-ეფექტურობის მეთოდი ასევე ჯდება არაწრფივი პროგრამირების სქემაში. ეს მეთოდი შეიქმნა მთავრობაში გადაწყვეტილების მიღებისას გამოსაყენებლად. ზოგადი ფუნქციაეფექტურობა არის კეთილდღეობა. აქ წარმოიქმნება პროგრამირების ორი არაწრფივი პრობლემა: პირველი არის ეფექტის მაქსიმიზაცია შეზღუდული ხარჯებით, მეორე არის ხარჯების მინიმიზაცია, იმ პირობით, რომ ეფექტი გარკვეულზე მაღალია. მინიმალური დონე. ეს პრობლემა, როგორც წესი, კარგად არის მოდელირებული არაწრფივი პროგრამირების გამოყენებით.
არაწრფივი პროგრამირების პრობლემის გადაჭრის შედეგები გამოსადეგია მთავრობის გადაწყვეტილებების მიღებისას. შედეგად მიღებული გამოსავალი, რა თქმა უნდა, რეკომენდირებულია, ამიტომ საბოლოო გადაწყვეტილების მიღებამდე აუცილებელია განიხილოს არაწრფივი პროგრამირების პრობლემის ვარაუდები და სიზუსტე.
არაწრფივი ამოცანები კომპლექსურია; ამისათვის პირობითად ვარაუდობენ, რომ კონკრეტულ სფეროში ობიექტური ფუნქცია იზრდება ან მცირდება დამოუკიდებელი ცვლადების ცვლილების პროპორციულად. ამ მიდგომას ეწოდება ცალმხრივი წრფივი მიახლოების მეთოდი, თუმცა იგი გამოიყენება მხოლოდ ზოგიერთ ტიპზე არაწრფივი ამოცანები.
არაწრფივი ამოცანები გარკვეულ პირობებში წყდება ლაგრანგის ფუნქციის გამოყენებით: მისი პოვნა უნაგირის წერტილი, ამით პრობლემის გადაწყვეტის პოვნა. გამოთვლით ალგორითმებს შორის N. p. დიდი ადგილიიკავებენ გრადიენტურ მეთოდებს. არაწრფივი ამოცანების უნივერსალური მეთოდი არ არსებობს და, როგორც ჩანს, შეიძლება არ იყოს, რადგან ისინი უკიდურესად მრავალფეროვანია. განსაკუთრებით რთულია მულტიექსტრემალური პრობლემების გადაჭრა.
ერთ-ერთი მეთოდი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ არაწრფივი პროგრამირების პრობლემა განტოლებათა სისტემის ამოხსნამდე, არის განუსაზღვრელი მამრავლების ლაგრანგის მეთოდი.
ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდის გამოყენებით, ჩვენ არსებითად ვადგენთ აუცილებელი პირობები, რაც საშუალებას იძლევა ოპტიმალური პუნქტების იდენტიფიცირება ოპტიმიზაციის პრობლემებში შეზღუდვებით თანასწორობის სახით. ამ შემთხვევაში შეზღუდვების პრობლემა გარდაიქმნება ეკვივალენტურ პრობლემად უპირობო ოპტიმიზაცია, რომელიც მოიცავს რამდენიმე უცნობ პარამეტრს, რომელსაც ლაგრანგის მულტიპლიკატორებს უწოდებენ.
ლაგრანჟის მულტიპლიკატორის მეთოდი შედგება პირობითი ექსტრემის პრობლემების შემცირებაზე დამხმარე ფუნქციის უპირობო კიდურზე - ე.წ. ლაგრანგის ფუნქციები.
ფუნქციის უკიდურესობის პრობლემისთვის ვ(x 1, x 2,..., x n) პირობებში (შეზღუდვის განტოლებები) φ მე(x 1, x 2, ..., x n) = 0, მე= 1, 2,..., მ, ლაგრანჟის ფუნქციას აქვს ფორმა
L(x 1, x 2… x n, λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)
მამრავლები λ 1 , λ 2 , ..., λmდაურეკა ლაგრანგის მულტიპლიკატორები.
თუ ღირებულებები x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λmგანტოლებების ამონახსნების არსი, რომელიც განსაზღვრავს ლაგრანგის ფუნქციის სტაციონალურ წერტილებს, კერძოდ, დიფერენცირებადი ფუნქციებისთვის არის განტოლებათა სისტემის ამონახსნები.
მაშინ, საკმაოდ ზოგადი დაშვებებით, x 1, x 2, ..., x n იძლევა f ფუნქციის უკიდურესობას.
განვიხილოთ n ცვლადის ფუნქციის მინიმიზაციის პრობლემა, რომელიც ექვემდებარება ერთ შეზღუდვას თანასწორობის სახით:
მინიმუმამდე f(x 1, x 2… x n) (1)
შეზღუდვების ქვეშ h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)
ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდის შესაბამისად, ეს პრობლემა გარდაიქმნება შემდეგ შეუზღუდავ ოპტიმიზაციის პრობლემად:
მინიმიზაცია L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)
სადაც ფუნქცია L(x;λ) ეწოდება ლაგრანგის ფუნქციას,
λ არის უცნობი მუდმივი, რომელსაც ლაგრანგის მულტიპლიკატორი ეწოდება. არ არსებობს მოთხოვნები λ-ის ნიშანზე.
დაუშვით დააყენეთ მნიშვნელობაλ=λ 0 L(x,λ) ფუნქციის უპირობო მინიმუმი x-სთან მიმართებაში მიიღწევა x=x 0 წერტილში და x 0 აკმაყოფილებს h 1 (x 0)=0 განტოლებას. შემდეგ, როგორც ადვილი შესამჩნევია, x 0 ამცირებს (1) (2) გათვალისწინებით, რადგან x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის დამაკმაყოფილებელია (2), h 1 (x)=0 და L(x,λ)=წთ. f(x).
რა თქმა უნდა, აუცილებელია λ=λ 0 მნიშვნელობის შერჩევა ისე, რომ უპირობო მინიმალური წერტილის x 0 კოორდინატმა დააკმაყოფილოს თანასწორობა (2). ეს შეიძლება გაკეთდეს, თუ λ ცვლადად განვიხილავთ, იპოვით ფუნქციის (3) უპირობო მინიმუმს λ ფუნქციის სახით და შემდეგ აირჩევთ λ-ის მნიშვნელობას, რომელზედაც დაკმაყოფილებულია ტოლობა (2). მოდი ეს კონკრეტული მაგალითით ავხსნათ.
მინიმიზაცია f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0
შეზღუდვის ქვეშ h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0
შესაბამისი შეუზღუდავი ოპტიმიზაციის პრობლემა იწერება შემდეგნაირად:
მინიმალური L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)
გამოსავალი. გრადიენტის L-ის ორი კომპონენტის ნულთან გათანაბრებით, მივიღებთ
→ x 1 0 =λ
→ x 2 0 =λ/2
იმისათვის, რომ შევამოწმოთ, შეესაბამება თუ არა სტაციონარული წერტილი x° მინიმუმს, ჩვენ ვიანგარიშებთ L(x;u) ფუნქციის ჰესიანური მატრიცის ელემენტებს, განიხილება x-ის ფუნქციად,
რაც პოზიტიური გარკვეული გამოდის.
ეს ნიშნავს, რომ L(x,u) არის x-ის ამოზნექილი ფუნქცია. შესაბამისად, კოორდინატები x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 განსაზღვრავს გლობალურ მინიმალურ წერტილს. ოპტიმალური ღირებულებაλ გვხვდება x 1 0 და x 2 0 მნიშვნელობების ჩანაცვლებით განტოლებაში 2x 1 + x 2 =2, საიდანაც 2λ+λ/2=2 ან λ 0 =4/5. ამრიგად, პირობითი მინიმუმი მიიღწევა x 1 0 =4/5 და x 2 0 =2/5 და უდრის min f(x) = 4/5.
მაგალითიდან ამოცანის ამოხსნისას განვიხილეთ L(x;λ) ორი x 1 და x 2 ცვლადის ფუნქციად და, გარდა ამისა, ვივარაუდეთ, რომ λ პარამეტრის მნიშვნელობა ისე იყო არჩეული, რომ შეზღუდვა დაკმაყოფილებულიყო. თუ სისტემის ამოხსნა
J=1,2,3,…,n
λ ვერ მიიღება აშკარა ფუნქციების სახით, შემდეგ x და λ მნიშვნელობები გვხვდება შემდეგი სისტემის ამოხსნით, რომელიც შედგება n+1 განტოლებისგან n+1 უცნობით:
J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0
ყველას მოსაძებნად შესაძლო გადაწყვეტილებებიამ სისტემას შეუძლია გამოიყენოს რიცხვითი ძიების მეთოდები (მაგალითად, ნიუტონის მეთოდი). თითოეული ამონახსნისთვის () უნდა გამოვთვალოთ L ფუნქციის ჰესიანური მატრიცის ელემენტები, განხილული x-ის ფუნქციად და გავარკვიოთ, არის თუ არა ეს მატრიცა დადებითი განსაზღვრული (ადგილობრივი მინიმალური) თუ უარყოფითი განსაზღვრული (ადგილობრივი მაქსიმუმი). ).
ლაგრანჟის მულტიპლიკატორის მეთოდი შეიძლება გავრცელდეს იმ შემთხვევაში, როდესაც პრობლემას აქვს რამდენიმე შეზღუდვა თანასწორობის სახით. განვიხილოთ ზოგადი პრობლემა, რომელიც მოითხოვს
მინიმიზაცია f(x)
შეზღუდვებით h k =0, k=1, 2, ..., K.
Lagrange ფუნქცია იღებს შემდეგი ხედი:
აქ λ 1 , λ 2 , ..., λk-ლაგრანჟის მულტიპლიკატორები, ე.ი. უცნობი პარამეტრები, რომელთა მნიშვნელობები უნდა განისაზღვროს. L-ის ნაწილობრივი წარმოებულების x-ის მიმართ ნულის ტოლფასი მივიღებთ შემდეგი სისტემა n განტოლება n უცნობით:
თუ ძნელია ზემოაღნიშნული სისტემის ამოხსნის პოვნა λ ვექტორის ფუნქციების სახით, მაშინ შეგიძლიათ გააფართოვოთ სისტემა თანასწორობის სახით შეზღუდვების ჩათვლით.
გაფართოებული სისტემის ამონახსნი, რომელიც შედგება n + K განტოლებისგან n + K უცნობიებით, განსაზღვრავს L ფუნქციის სტაციონარულ წერტილს. შემდეგ ხორციელდება მინიმალური ან მაქსიმუმის შემოწმების პროცედურა, რომელიც ხორციელდება გაანგარიშების საფუძველზე. L ფუნქციის ჰესიანური მატრიცის ელემენტები, განიხილება x-ის ფუნქციად, ისევე, როგორც გაკეთდა ერთი შეზღუდვის ამოცანის შემთხვევაში. ზოგიერთი პრობლემისთვის n+K განტოლებათა გაფართოებულ სისტემას n+K უცნობით შეიძლება არ ჰქონდეს ამონახსნები და ლაგრანგის გამრავლების მეთოდი გამოუყენებელი აღმოჩნდეს. თუმცა უნდა აღინიშნოს, რომ მსგავსი ამოცანები პრაქტიკაში საკმაოდ იშვიათია.
განვიხილოთ განსაკუთრებული შემთხვევა საერთო დავალებაარაწრფივი პროგრამირება, თუ ვივარაუდებთ, რომ შეზღუდვების სისტემა შეიცავს მხოლოდ განტოლებებს, არ არსებობს პირობები ცვლადების არანეგატიურობისთვის და და - ფუნქციები უწყვეტია მათ ნაწილობრივ წარმოებულებთან ერთად. მაშასადამე, განტოლებათა სისტემის ამოხსნით (7) ვიღებთ ყველა წერტილს, სადაც ფუნქციას (6) შეიძლება ჰქონდეს უკიდურესი მნიშვნელობები.
ალგორითმი ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდისთვის
1. შეადგინეთ ლაგრანგის ფუნქცია.
2. იპოვეთ ლაგრანჟის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები x J ,λ i ცვლადებთან მიმართებაში და გაუტოლეთ ნულს.
3. ვხსნით განტოლებათა სისტემას (7), ვპოულობთ წერტილებს, რომლებშიც ამოცანის ობიექტურ ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს უკიდურესი.
4. ექსტრემისთვის საეჭვო წერტილებს შორის ვპოულობთ მათ, რომლებზეც მიიღწევა ექსტრემუმი და გამოვთვალოთ ფუნქციის (6) მნიშვნელობები ამ წერტილებში.
მაგალითი.
საწყისი მონაცემები:საწარმოო გეგმის მიხედვით, კომპანიას 180 პროდუქტის წარმოება სჭირდება. ამ პროდუქტების დამზადება შესაძლებელია ორი ტექნოლოგიური გზით. x 1 პროდუქციის 1 მეთოდით წარმოებისას, ხარჯებია 4x 1 +x 1 2 რუბლი, ხოლო x 2 პროდუქტის წარმოებისას მე-2 მეთოდით, ეს არის 8x 2 +x 2 2 რუბლი. განსაზღვრეთ რამდენი პროდუქტი უნდა იყოს წარმოებული თითოეული მეთოდის გამოყენებით, რათა წარმოების ხარჯები მინიმალური იყოს.
მოცემული პრობლემის ობიექტურ ფუნქციას აქვს ფორმა
® წთპირობებში x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0.
1. შეადგინეთ ლაგრანგის ფუნქცია
.
2.
ჩვენ ვიანგარიშებთ ნაწილობრივ წარმოებულებს x 1, x 2, λ მიმართ და ვატოლებთ მათ ნულს: 
3.
მიღებული განტოლებათა სისტემის ამოხსნით ვპოულობთ x 1 =91,x 2 =89
4. ობიექტურ ფუნქციაში x 2 =180-x 1 ჩანაცვლების შემდეგ ვიღებთ ერთი ცვლადის ფუნქციას, კერძოდ f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1). ) 2
ჩვენ ვიანგარიშებთ ან 4x 1 -364=0,
საიდანაც გვაქვს x 1 * =91, x 2 * =89.
პასუხი: პირველი მეთოდით წარმოებული პროდუქციის რაოდენობაა x 1 =91, მეორე მეთოდით x 2 =89, ხოლო ობიექტური ფუნქციის ღირებულება უდრის 17,278 რუბლს.
გამრავლების მეთოდილაგრანჟი(ინგლისურ ლიტერატურაში „ლაგრანგის მეთოდი განუსაზღვრელი მულტიპლიკატორების შესახებ“) ˗ ეს არის ამოხსნის რიცხვითი მეთოდი ოპტიმიზაციის პრობლემები, რომელიც საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ ობიექტური ფუნქციის "პირობითი" ექსტრემი (მინიმალური ან მაქსიმალური მნიშვნელობა)
მის ცვლადებზე მითითებული შეზღუდვების არსებობისას თანასწორობის სახით (ანუ განსაზღვრულია დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი)
˗ ეს არის ფუნქციის არგუმენტის მნიშვნელობები (კონტროლირებადი პარამეტრები) რეალურ დომენზე, სადაც ფუნქციის მნიშვნელობა მიდრეკილია უკიდურესობისკენ. სახელწოდების „პირობითი“ ექსტრემის გამოყენება განპირობებულია იმით, რომ ცვლადები ექვემდებარება დამატებითი პირობა, რომელიც ზღუდავს მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონს ფუნქციის ექსტრემის ძიებისას.
ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდი საშუალებას იძლევა ძიების პრობლემა პირობითი ექსტრემუმიგადაიყვანეთ ობიექტური ფუნქცია დასაშვები მნიშვნელობების სიმრავლეზე ფუნქციის უპირობო ოპტიმიზაციის პრობლემად.
ფუნქციების შემთხვევაში 
და 
არის უწყვეტი მათ ნაწილობრივ წარმოებულებთან ერთად, მაშინ არის ისეთი ცვლადები λ, რომლებიც ერთდროულად არ არიან ნულის ტოლი, რომლებშიც დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობა:
ამრიგად, ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდის შესაბამისად, დასაშვები მნიშვნელობების სიმრავლეზე ობიექტური ფუნქციის უკიდურესობის საპოვნელად, მე ვადგენ Lagrange ფუნქციას L(x, λ), რომელიც შემდგომ ოპტიმიზებულია:
სადაც λ ˗ არის დამატებითი ცვლადების ვექტორი ე.წ განუსაზღვრელი ფაქტორებილაგრანჟი.
ამრიგად, f(x) ფუნქციის პირობითი კიდურების პოვნის პრობლემა შემცირდა ძიების პრობლემამდე. უპირობო ექსტრემუმიფუნქციები L(x, λ).
და 
ლაგრანგის ფუნქციის უკიდურესობის აუცილებელი პირობა მოცემულია განტოლებათა სისტემით (სისტემა შედგება "n + m" განტოლებისგან):
განტოლებათა ამ სისტემის ამოხსნა საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ ფუნქციის (X) არგუმენტები, რომლებშიც L(x, λ) ფუნქციის მნიშვნელობა, ისევე როგორც სამიზნე ფუნქციის f(x) მნიშვნელობა შეესაბამება უკიდურესობას.
ლაგრანგის მულტიპლიკატორების სიდიდე (λ) არის პრაქტიკული ინტერესი, თუ შეზღუდვები წარმოდგენილია განტოლებაში თავისუფალი წევრის სახით (მუდმივი). ამ შემთხვევაში განტოლების სისტემაში მუდმივის მნიშვნელობის შეცვლით შეგვიძლია განვიხილოთ ობიექტური ფუნქციის შემდგომი (გადიდება/შემცირება) მნიშვნელობა. ამრიგად, ლაგრანგის მულტიპლიკატორი ახასიათებს ობიექტური ფუნქციის მაქსიმუმის ცვლილების სიჩქარეს, როდესაც იცვლება შემზღუდველი მუდმივი.
მიღებული ფუნქციის ექსტრემის ბუნების დასადგენად რამდენიმე გზა არსებობს:
პირველი მეთოდი: მოდით იყოს უკიდურესი წერტილის კოორდინატები და - შესაბამისი ღირებულებასამიზნე ფუნქცია. აღებულია წერტილის მიახლოებული წერტილი და გამოითვლება ობიექტური ფუნქციის მნიშვნელობა:
თუ 
, მაშინ არის მაქსიმუმი წერტილში.
თუ 
, მაშინ წერტილი არის მინიმუმი.
მეორე მეთოდი: საკმარისი პირობა, საიდანაც შეიძლება განისაზღვროს ექსტრემის ბუნება, არის ლაგრანგის ფუნქციის მეორე დიფერენციალური ნიშანი. ლაგრანგის ფუნქციის მეორე დიფერენციალი განისაზღვრება შემდეგნაირად:
თუ შიგნით მოცემული წერტილი 
მინიმალური, თუ 
, მაშინ ობიექტურ ფუნქციას f(x) აქვს პირობითი მაქსიმუმ.
მესამე მეთოდი: ასევე, ფუნქციის ექსტრემუმის ბუნება შეიძლება განისაზღვროს ლაგრანგის ფუნქციის ჰესიანის გათვალისწინებით. ჰესიანური მატრიცა არის სიმეტრიული კვადრატული მატრიცაფუნქციის მეორე ნაწილობრივი წარმოებულები იმ წერტილში, სადაც მატრიცის ელემენტები სიმეტრიულია მთავარი დიაგონალის მიმართ.
ექსტრემის ტიპის დასადგენად (ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური), შეგიძლიათ გამოიყენოთ სილვესტერის წესი:
1. იმისათვის, რომ ლაგრანგის ფუნქციის მეორე დიფერენციალი იყოს დადებითი ნიშნით 
აუცილებელია, რომ ფუნქციის კუთხური მინორები იყოს დადებითი. ასეთ პირობებში, ფუნქციას ამ ეტაპზე აქვს მინიმუმი.
2. იმისათვის, რომ ლაგრანგის ფუნქციის მეორე დიფერენციალი იყოს უარყოფითი ნიშნით 
, აუცილებელია, რომ ფუნქციის კუთხური მინორები მონაცვლეობდნენ, ხოლო მატრიცის პირველი ელემენტი უნდა იყოს უარყოფითიsv. ასეთ პირობებში ფუნქციას ამ ეტაპზე აქვს მაქსიმუმი.
კუთხური მინორის მიხედვით ვგულისხმობთ მინორს, რომელიც მდებარეობს ორიგინალური მატრიცის პირველ k სტრიქონებსა და k სვეტებში.
საფუძვლები პრაქტიკული მნიშვნელობალაგრანგის მეთოდი არის ის, რომ ის საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ პირობითი ოპტიმიზაციისგან უპირობო ოპტიმიზაციაზე და, შესაბამისად, გააფართოვოთ არსენალი. ხელმისაწვდომი მეთოდებიპრობლემის გადაჭრა. თუმცა, განტოლებათა სისტემის ამოხსნის პრობლემა, რომელიც იშლება ამ მეთოდით, ვ ზოგადი შემთხვევაარ არის უფრო მარტივი ვიდრე ექსტრემის პოვნის თავდაპირველი პრობლემა. ასეთ მეთოდებს ირიბი ეწოდება. მათი გამოყენება აიხსნება ექსტრემალური პრობლემის გადაწყვეტის ანალიტიკური ფორმით მოპოვების აუცილებლობით (მაგალითად, გარკვეული თეორიული გამოთვლებისთვის). კონკრეტული ამოხსნისას პრაქტიკული პრობლემებიჩვეულებრივ გამოიყენება პირდაპირი მეთოდები, რომლებიც ეფუძნება ოპტიმიზირებული ფუნქციების გამოთვლისა და შედარების განმეორებით პროცესებს.
გაანგარიშების მეთოდი
1 ნაბიჯი: ჩვენ განვსაზღვრავთ ლაგრანგის ფუნქციას მოცემული ობიექტური ფუნქციიდან და შეზღუდვების სისტემიდან:
წინ
სტატიაში თქვენი კომენტარის დასამატებლად გთხოვთ დარეგისტრირდეთ საიტზე.
|
ლაგრანგის მეთოდი─ არის შეზღუდული ოპტიმიზაციის პრობლემის გადაჭრის მეთოდი, რომელშიც შეზღუდვები, ჩაწერილი იმპლიციტური ფუნქციების სახით, გაერთიანებულია ობიექტურ ფუნქციასთან ახალი განტოლების სახით, ე.წ. ლაგრანგიანი.
განვიხილოთ ზოგადი არაწრფივი პროგრამირების პრობლემის განსაკუთრებული შემთხვევა:
მოცემულია არაწრფივი განტოლებათა სისტემა (1):
(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),
იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი (ან უდიდესი) მნიშვნელობა (2)
(2) f (x1,x2,…,xn),
თუ არ არსებობს პირობები, რომ ცვლადები იყოს არაუარყოფითი და f(x1,x2,…,xn) და gi(x1,x2,…,xn) არის ფუნქციები, რომლებიც უწყვეტია მათ ნაწილობრივ წარმოებულებთან ერთად.
ამ პრობლემის გადაჭრის მოსაძებნად შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი მეთოდი: 1. შეიყვანეთ ცვლადების ნაკრები λ1, λ2,..., λm, რომელსაც უწოდებენ ლაგრანგის მულტიპლიკატორებს, შეადგინეთ ლაგრანგის ფუნქცია (3)
(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.
2. იპოვეთ ლაგრანჟის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები xi და λi ცვლადებთან მიმართებაში და გაუტოლეთ ნულს.
3. განტოლებათა სისტემის ამოხსნით, იპოვეთ ის წერტილები, რომლებშიც ამოცანის ობიექტურ ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს ექსტრემუმი.
4. იმ წერტილებს შორის, რომლებიც საეჭვოა და არა ექსტრემი, იპოვეთ ის, რომლებზეც მიღწეულია ექსტრემუმი და გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები ამ წერტილებში. .
4. შეადარეთ f ფუნქციის მიღებული მნიშვნელობები და აირჩიეთ საუკეთესო.
საწარმოო გეგმის მიხედვით, კომპანიას 180 პროდუქტის წარმოება სჭირდება. ამ პროდუქტების დამზადება შესაძლებელია ორი ტექნოლოგიური გზით. X1 პროდუქციის წარმოებისას I მეთოდით, ხარჯებია 4*x1+x1^2 რუბლი, ხოლო x2 პროდუქციის II მეთოდით წარმოებისას არის 8*x2+x2^2 რუბლი. განსაზღვრეთ რამდენი პროდუქტი უნდა იყოს წარმოებული თითოეული მეთოდის გამოყენებით, ისე რომ წარმოების მთლიანი ღირებულება მინიმალური იყოს.
ამოხსნა: პრობლემის მათემატიკური ფორმულირება არის განსაზღვრა ყველაზე დაბალი ღირებულებაორი ცვლადის ფუნქციები:
f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, მოწოდებული x1 +x2 = 180.
მოდით შევადგინოთ ლაგრანგის ფუნქცია:
F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).
გამოვთვალოთ მისი ნაწილობრივი წარმოებულები x1, x2, λ-ის მიმართ და გავუტოლოთ 0-ს:
გადავიტანოთ λ პირველი ორი განტოლების მარჯვენა მხარეს და გავატოლოთ მათი მარცხენა მხარეები, მივიღებთ 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, ანუ x1 − x2 = 2.
ბოლო განტოლების ამოხსნით x1 + x2 = 180 განტოლებასთან ერთად ვპოულობთ x1 = 91, x2 = 89, ანუ მივიღეთ ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს პირობებს:
ვიპოვოთ ობიექტური ფუნქციის f მნიშვნელობა ცვლადების ამ მნიშვნელობებისთვის:
F(x1, x2) = 17278
ეს წერტილი საეჭვოა უკიდურესი წერტილისთვის. მეორე ნაწილობრივი წარმოებულების გამოყენებით შეგვიძლია ვაჩვენოთ, რომ (91.89) წერტილში f ფუნქციას აქვს მინიმალური.
an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)
შედგება თვითნებური მუდმივების ck ჩანაცვლებაში ზოგად ამოხსნაში
z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...
Cnzn(t)
შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლება
an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0
on დამხმარე ფუნქციები ck(t), რომლის წარმოებულები აკმაყოფილებს წრფივ ალგებრულ სისტემას
სისტემის (1) განმსაზღვრელი არის z1,z2,...,zn ფუნქციების ვრონსკი, რომელიც უზრუნველყოფს მის უნიკალურ ამოხსნადობას .
თუ არის ანტიწარმოებულები, მიღებული ინტეგრაციის მუდმივების ფიქსირებული მნიშვნელობებით, მაშინ ფუნქცია
არის საწყისი წრფივი არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი. ამგვარად, არაჰომოგენური განტოლების ინტეგრაცია შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნის არსებობისას მცირდება კვადრატებამდე.
ლაგრანგის მეთოდი (თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდი)
არაჰომოგენური განტოლების ზოგადი ამოხსნის მიღების მეთოდი, ჰომოგენური განტოლების ზოგადი ამოხსნის ცოდნა კონკრეტული ამონახსნის გარეშე.
n-ე რიგის წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებისთვის
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,
სადაც y = y(x) - უცნობი ფუნქცია, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) - ცნობილი, უწყვეტი, ჭეშმარიტი: 1) არსებობს n წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნები განტოლების y1(x), y2 (x) , ..., yn(x); 2) c1, c2, ..., cn მუდმივების ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, ფუნქცია y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) არის განტოლების ამოხსნა; 3) ნებისმიერი საწყისი მნიშვნელობებისთვის x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 არის მნიშვნელობები c*1, c*n, ..., c*n ისეთი, რომ გამოსავალი y *(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) აკმაყოფილებს საწყის პირობებს y*(x0)=y0, (y*)"( x0) x = x0 =y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.
გამოთქმა y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) ე.წ. ზოგადი გადაწყვეტილება n-ე რიგის წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლება.
n-ე რიგის y1(x), y2(x), ..., yn(x) წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების n წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნების სიმრავლეს ეწოდება განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა.
მუდმივი კოეფიციენტებით წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებისთვის არსებობს ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის აგების მარტივი ალგორითმი. ჩვენ ვეძებთ განტოლების ამოხსნას y(x) = exp(lx) სახით: exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, ანუ რიცხვი l არის დამახასიათებელი განტოლების ფესვი ln + a1ln-1 +. .. + an-1l + an = 0. დამახასიათებელი განტოლების მარცხენა მხარეს ეწოდება წრფივი დიფერენციალური განტოლების დამახასიათებელი პოლინომი: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. ამრიგად, n-ე რიგის წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნის პრობლემა მცირდება ალგებრული განტოლების ამოხსნამდე.
თუ დამახასიათებელ განტოლებას აქვს n განსხვავებული რეალური ფესვი l1№ l2 № ... № ln, მაშინ ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა შედგება ფუნქციებისაგან y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx) და ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნებია: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).
ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა და ზოგადი ამოხსნა მარტივი რეალური ფესვების შემთხვევისთვის.
თუ დამახასიათებელი განტოლების რომელიმე რეალური ფესვი მეორდება r-ჯერ (r-მრავალჯერადი ფესვი), მაშინ ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემაში არის მისი შესაბამისი r ფუნქციები; თუ lk=lk+1 = ... = lk+r-1, მაშინ განტოლების ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა მოიცავს r ფუნქციებს: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx). ), yk +2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+r-1(x) =xr-1 exp(lnx).
მაგალითი 2. ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა და ზოგადი ამოხსნა მრავალი რეალური ფესვის შემთხვევისთვის.
თუ დამახასიათებელ განტოლებას რთული ფესვები აქვს, მაშინ მარტივი (1 სიმრავლით) რთული ფესვების ყოველი წყვილი lk,k+1=ak ± ibk ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემაში შეესაბამება ფუნქციების წყვილს yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).
მაგალითი 4. ხსნარების ფუნდამენტური სისტემა და ზოგადი ამოხსნა მარტივი რთული ფესვების შემთხვევაში. წარმოსახვითი ფესვები.
თუ ფესვთა კომპლექსურ წყვილს აქვს r სიმრავლე, მაშინ ასეთი წყვილი lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემაში შეესაბამება ფუნქციებს exp(akx)cos( bkx), exp(akx)sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).
მაგალითი 5. ხსნარების ფუნდამენტური სისტემა და ზოგადი ამოხსნა მრავალი რთული ფესვის შემთხვევაში.
ამრიგად, მუდმივი კოეფიციენტებით წრფივი ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნის მოსაძებნად საჭიროა: ჩაწეროთ დამახასიათებელი განტოლება; იპოვეთ დამახასიათებელი განტოლების ყველა ფესვი l1, l2, ... , ln; ჩამოწერეთ ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა y1(x), y2(x), ..., yn(x); ჩაწერეთ ზოგადი ამოხსნის გამოხატულება y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x). კოშის პრობლემის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა შეცვალოთ გამოხატულება ზოგადი ამონახსნებისთვის საწყის პირობებში და დაადგინოთ მუდმივების მნიშვნელობები c1,..., cn, რომლებიც არის ამონახსნები წრფივი სისტემისთვის. ალგებრული განტოლებები c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0 ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1
n-ე რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებისთვის
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),
სადაც y = y(x) უცნობი ფუნქციაა, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) ცნობილია, უწყვეტი, მოქმედებს: 1 ) თუ y1(x) და y2(x) არის არაერთგვაროვანი განტოლების ორი ამონახსნები, მაშინ ფუნქცია y(x) = y1(x) - y2(x) არის შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნი; 2) თუ y1(x) არის არაჰომოგენური განტოლების ამონახსნი, ხოლო y2(x) არის შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნი, მაშინ ფუნქცია y(x) = y1(x) + y2(x) არის გამოსავალი არაჰომოგენური განტოლება; 3) თუ y1(x), y2(x), ..., yn(x) არის ერთგვაროვანი განტოლების n წრფივად დამოუკიდებელი ამონახსნები და ych(x) არის არაერთგვაროვანი განტოლების თვითნებური ამონახსნები, მაშინ ნებისმიერი საწყისი მნიშვნელობებისთვის x0, y0, y0 ,1, ..., y0,n-1 არის მნიშვნელობები c*1, c*n, ..., c*n ისეთი, რომ გამოსავალი y*(x)=c *1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + yч(x) აკმაყოფილებს x = x0 საწყის პირობებს y*(x0)=y0, (y*) )"(x0)=y0,1, . ..,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.
გამოსახულებას y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x) ეწოდება n-ე რიგის წრფივი არაერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები.
იპოვონ არაჰომოგენური კონკრეტული გადაწყვეტილებები დიფერენციალური განტოლებებიფორმის მარჯვენა გვერდებით მუდმივი კოეფიციენტებით: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), სადაც Pk(x), Qm(x) არის პოლინომები. k და m ხარისხის შესაბამისად, არსებობს კონკრეტული ამოხსნის ასაგებად მარტივი ალგორითმი, რომელსაც ეწოდება შერჩევის მეთოდი.
შერჩევის მეთოდი, ან მეთოდი გაურკვეველი კოეფიციენტები, არის შემდეგი. განტოლების საჭირო ამონახსნი იწერება სახით: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, სადაც Pr(x), Qr(x ) არის პოლინომები r = max(k, m) უცნობი კოეფიციენტებით pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. xs ფაქტორს რეზონანსული ფაქტორი ეწოდება. რეზონანსი ხდება იმ შემთხვევებში, როდესაც დამახასიათებელი განტოლების ფესვებს შორის არის ფესვი l =a ± ib სიმრავლის s. იმათ. თუ შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების დამახასიათებელი განტოლების ფესვებს შორის არის ისეთი, რომ მისი რეალური ნაწილიემთხვევა კოეფიციენტს მაჩვენებლის მაჩვენებელში, ხოლო წარმოსახვითი ემთხვევა კოეფიციენტს არგუმენტში ტრიგონომეტრიული ფუნქციაგანტოლების მარჯვენა მხარეს და ამ ფესვის სიმრავლე არის s, მაშინ საჭირო ნაწილობრივი ამონახსნი შეიცავს რეზონანსულ ფაქტორს xs. თუ ასეთი დამთხვევა არ არის (s=0), მაშინ არ არსებობს რეზონანსული ფაქტორი.
გამოთქმის ჩანაცვლება კონკრეტული ამოხსნისთვის მარცხენა მხარეგანტოლება, ვიღებთ იმავე ფორმის განზოგადებულ მრავალწევრს, როგორც განტოლების მარჯვენა მხარეს მდებარე მრავალწევრი, რომლის კოეფიციენტები უცნობია.
ორი განზოგადებული პოლინომი ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) იგივე ხარისხების t ფორმის ფაქტორების კოეფიციენტები ტოლია. ასეთი ფაქტორების კოეფიციენტების გათანაბრებისას ვიღებთ 2(r+1) წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემას 2(r+1) უცნობისთვის. შეიძლება აჩვენოს, რომ ასეთი სისტემა თანმიმდევრულია და აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.
პირობითი ექსტრემის განსაზღვრის მეთოდი იწყება დამხმარე ლაგრანგის ფუნქციის აგებით, რომელიც შესაძლებელი გადაწყვეტილებების რეგიონში აღწევს მაქსიმუმს ცვლადების იგივე მნიშვნელობებისთვის. x 1 , x 2 , ..., x ნ , რომელიც იგივეა რაც ობიექტური ფუნქცია ზ . მოგვარდეს ფუნქციის პირობითი ექსტრემის განსაზღვრის პრობლემა z = f(X) შეზღუდვების ქვეშ φ მე ( x 1 , x 2 , ..., x ნ ) = 0, მე = 1, 2, ..., მ , მ < ნ
მოდით შევადგინოთ ფუნქცია
რომელსაც ე.წ ლაგრანგის ფუნქცია. X , - მუდმივი ფაქტორები ( ლაგრანგის მულტიპლიკატორები). გაითვალისწინეთ, რომ ლაგრანგის მულტიპლიკატორებს შეიძლება მიენიჭოთ ეკონომიკური მნიშვნელობა. თუ f(x 1 , x 2 , ..., x ნ ) - შემოსავალი გეგმის შესაბამისად X = (x 1 , x 2 , ..., x ნ ) და ფუნქცია φ მე (x 1 , x 2 , ..., x ნ ) - ამ გეგმის შესაბამისი მე-მე რესურსის ხარჯები, მაშინ X , არის მე-ე რესურსის ფასი (შეფასება), რომელიც ახასიათებს ობიექტური ფუნქციის უკიდურესი მნიშვნელობის ცვლილებას, რომელიც დამოკიდებულია მე-ე რესურსის ზომის ცვლილებაზე (ზღვრული შეფასება). L(X) - ფუნქცია n+m ცვლადები (x 1 , x 2 , ..., x ნ , λ 1 , λ 2 , ..., λ ნ ) . ამ ფუნქციის სტაციონარული წერტილების განსაზღვრა განტოლებათა სისტემის ამოხსნას იწვევს
|
|
ამის დანახვა ადვილია
. ამრიგად, ფუნქციის პირობითი ექსტრემის პოვნის ამოცანა z = f(X)
ამცირებს ფუნქციის ლოკალური ექსტრემის პოვნას L(X)
. თუ აღმოჩენილია სტაციონარული წერტილი, მაშინ უმარტივეს შემთხვევებში ექსტრემის არსებობის საკითხი წყდება ექსტრემისთვის საკმარისი პირობების საფუძველზე - მეორე დიფერენციალური ნიშნის შესწავლა. დ
2
L(X)
სტაციონარულ წერტილში, იმ პირობით, რომ ცვლადი იზრდება Δx
მე
- დაკავშირებულია ურთიერთობებით
|
|
მიღებული დაწყვილების განტოლებების დიფერენცირებით.
არაწრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ორ უცნობში Solution Finder ინსტრუმენტის გამოყენებით
პარამეტრები გამოსავლის პოვნასაშუალებას გაძლევთ იპოვოთ გამოსავალი არაწრფივი განტოლებების სისტემისთვის ორი უცნობით:
სად 
- ცვლადების არაწრფივი ფუნქცია x
და
წ
,
- თვითნებური მუდმივი.
ცნობილია, რომ წყვილი ( x , წ ) არის ამონახსნი განტოლებათა სისტემის (10) თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს არის ამონახვა შემდეგი განტოლებისა ორი უცნობით:
თანმეორეს მხრივ, სისტემის გამოსავალი (10) არის ორი მრუდის გადაკვეთის წერტილები: ვ ] (x, წ) = C და ვ 2 (x, y) = C 2 თვითმფრინავში XOი.
ეს იწვევს სისტემის ფესვების პოვნის მეთოდს. არაწრფივი განტოლებები:
განსაზღვრეთ (მინიმუმ დაახლოებით) განტოლებათა სისტემის (10) ან განტოლების (11) ამონახსნის არსებობის ინტერვალი. აქ აუცილებელია გავითვალისწინოთ სისტემაში შემავალი განტოლებების ტიპი, მათი თითოეული განტოლების განსაზღვრის სფერო და ა.შ. ზოგჯერ გამოიყენება ამონახსნის საწყისი მიახლოების შერჩევა;
ჩამოაყალიბეთ (11) განტოლების ამონახსნი x და y ცვლადებისთვის შერჩეულ ინტერვალზე, ან შექმენით ფუნქციების გრაფიკები ვ 1 (x, წ) = C და ვ 2 (x,y) = C 2 (სისტემა (10)).
განტოლებათა სისტემის სავარაუდო ფესვების ლოკალიზაცია - იპოვნეთ რამდენიმე მინიმალური მნიშვნელობა ცხრილიდან, რომელიც ასახავს განტოლების ფესვებს (11), ან განსაზღვრეთ სისტემაში შემავალი მრუდების გადაკვეთის წერტილები (10).
4. იპოვეთ (10) განტოლებათა სისტემის ფესვები დანამატის გამოყენებით გამოსავლის პოვნა.