სხვადასხვა რიგის მატრიცების გამრავლება. ძირითადი მოქმედებები მატრიცებზე (მიმატება, გამრავლება, ტრანსპოზიცია) და მათი თვისებები
ეს სახელმძღვანელო დაგეხმარებათ გაიგოთ როგორ შეასრულოთ ოპერაციები მატრიცებით: მატრიცების შეკრება (გამოკლება), მატრიცის ტრანსპოზიცია, მატრიცების გამრავლება, შებრუნებული მატრიცის პოვნა. ყველა მასალა წარმოდგენილია მარტივი და ხელმისაწვდომი ფორმით, მოყვანილია შესაბამისი მაგალითები, ასე რომ, მოუმზადებელ ადამიანსაც კი შეუძლია ისწავლოს მატრიცებით მოქმედებების შესრულება. თვითმონიტორინგისა და თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ ჩამოტვირთოთ მატრიცის კალკულატორი უფასოდ >>>.
ვეცდები მინიმუმამდე დავიყვანო თეორიული გამოთვლები ზოგან შესაძლებელია ახსნა-განმარტებები „თითებზე“ და არამეცნიერული ტერმინების გამოყენება. მყარი თეორიის მოყვარულებო, გთხოვთ ნუ ჩაერთვებით კრიტიკაში, ჩვენი ამოცანაა ისწავლეთ მატრიცებით ოპერაციების შესრულება.
SUPER FAST მომზადებისთვის თემაზე (ვინ არის „ცეცხლი“) არის ინტენსიური pdf კურსი მატრიცა, განმსაზღვრელი და ტესტი!
მატრიცა ზოგიერთის მართკუთხა ცხრილია ელემენტები. როგორც ელემენტებიგანვიხილავთ რიცხვებს, ანუ რიცხვობრივ მატრიცებს. ელემენტიარის ტერმინი. მიზანშეწონილია დაიმახსოვროთ ტერმინი, ის ხშირად გამოჩნდება, შემთხვევითი არ არის, რომ ხაზგასმით გამოვიყენე თამამი შრიფტი.
Დანიშნულება:მატრიცები ჩვეულებრივ აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით
მაგალითი:განვიხილოთ ორი-სამი მატრიცა:
ეს მატრიცა შედგება ექვსისგან ელემენტები:
მატრიცის შიგნით ყველა რიცხვი (ელემენტი) თავისთავად არსებობს, ანუ რაიმე გამოკლების საკითხი არ დგას: 
ეს უბრალოდ რიცხვების ცხრილი (კომპლექტია)!
ჩვენც შევთანხმდებით არ გადააწყოთნომრები, თუ სხვაგვარად არ არის მითითებული განმარტებებში. თითოეულ ნომერს აქვს თავისი მდებარეობა და მისი არევა შეუძლებელია!
განსახილველ მატრიცას აქვს ორი სტრიქონი: 
და სამი სვეტი: 
სტანდარტი: როდესაც ვსაუბრობთ მატრიცის ზომებზე, მაშინ პირველადმიუთითეთ რიგების რაოდენობა და მხოლოდ ამის შემდეგ სვეტების რაოდენობა. ჩვენ ახლახან დავშალეთ მატრიცა ორ-სამზე.
თუ მატრიცის სტრიქონების და სვეტების რაოდენობა იგივეა, მაშინ მატრიცა ე.წ. კვადრატი, Მაგალითად: 
- სამ-სამ მატრიცა.
თუ მატრიცას აქვს ერთი სვეტი ან ერთი მწკრივი, მაშინ ასეთ მატრიცებსაც უწოდებენ ვექტორები.
ფაქტობრივად, ჩვენ ვიცნობთ მატრიცის ცნებას სკოლიდან, მაგალითად, წერტილი „x“ და „y“: . არსებითად, წერტილის კოორდინატები იწერება ერთი-ორ მატრიცაში. სხვათა შორის, აქ არის მაგალითი იმისა, თუ რატომ აქვს მნიშვნელობა რიცხვების თანმიმდევრობას: და არის ორი სრულიად განსხვავებული წერტილი თვითმფრინავზე.
ახლა გადავიდეთ სწავლაზე ოპერაციები მატრიცებით:
1) იმოქმედეთ პირველი. მატრიციდან მინუსის ამოღება (მატრიცაში მინუსის შეყვანა).
დავუბრუნდეთ ჩვენს მატრიცას 
. როგორც ალბათ შენიშნეთ, ამ მატრიცაში ძალიან ბევრი უარყოფითი რიცხვია. ეს ძალიან მოუხერხებელია მატრიცით სხვადასხვა მოქმედებების შესრულების თვალსაზრისით, მოუხერხებელია ამდენი მინუსის დაწერა და ის უბრალოდ მახინჯად გამოიყურება დიზაინში.
გადავიტანოთ მინუსი მატრიცის გარეთ მატრიცის თითოეული ელემენტის ნიშნის შეცვლით:
ნულზე, როგორც გესმით, ნიშანი არ იცვლება აფრიკაშიც.
საპირისპირო მაგალითი: 
. მახინჯი ჩანს.
მოდით შევიტანოთ მინუსი მატრიცაში მატრიცის თითოეული ელემენტის ნიშნის შეცვლით:
ისე, ბევრად უფრო ლამაზი აღმოჩნდა. და რაც მთავარია, მატრიცით ნებისმიერი მოქმედების შესრულება უფრო ადვილი იქნება. რადგან არსებობს ასეთი მათემატიკური ხალხური ნიშანი: რაც უფრო მეტი მინუსია, მით მეტია დაბნეულობა და შეცდომები.
2) მოქმედება მეორე. მატრიცის გამრავლება რიცხვზე.
მაგალითი:
ეს მარტივია, იმისათვის, რომ მატრიცა გავამრავლოთ რიცხვზე, გჭირდებათ ყოველიმატრიცის ელემენტი გამრავლებული მოცემულ რიცხვზე. ამ შემთხვევაში - სამი.
კიდევ ერთი სასარგებლო მაგალითი:
- მატრიცის გამრავლება წილადზე
ჯერ ვნახოთ რა უნდა გავაკეთოთ ᲐᲠ ᲐᲠᲘᲡ ᲡᲐᲭᲘᲠᲝᲔᲑᲐ:
არ არის საჭირო მატრიცაში წილადის შეყვანა, ჯერ ერთი, ეს მხოლოდ ართულებს მატრიცის შემდგომ მოქმედებებს და მეორეც, ართულებს მასწავლებელს ამოხსნის შემოწმებას (განსაკუთრებით თუ; 
- დავალების საბოლოო პასუხი).
Და განსაკუთრებით, ᲐᲠ ᲐᲠᲘᲡ ᲡᲐᲭᲘᲠᲝᲔᲑᲐგაყავით მატრიცის თითოეული ელემენტი მინუს შვიდზე:
სტატიიდან მათემატიკა დუიმებისთვის ან სად უნდა დაიწყოს, გვახსოვს, რომ უმაღლეს მათემატიკაში ყოველმხრივ ცდილობენ თავი აარიდონ ათწილადის წილადებს მძიმეებით.
ერთადერთი ის არის სასურველიარა უნდა გავაკეთოთ ამ მაგალითში არის მატრიცას მინუსის დამატება:
მაგრამ თუ მხოლოდ ყველამატრიცის ელემენტები იყოფა 7-ზე უკვალოდ, მაშინ შესაძლებელი იქნებოდა (და აუცილებელიც!) გაყოფა.
მაგალითი:
ამ შემთხვევაში შეგიძლიათ საჭიროაგავამრავლოთ მატრიცის ყველა ელემენტი -ზე, რადგან ყველა მატრიცის რიცხვი იყოფა 2-ზე უკვალოდ.
შენიშვნა: უმაღლესი სკოლის მათემატიკის თეორიაში არ არსებობს ცნება "გაყოფა". იმის ნაცვლად, რომ თქვათ "ეს გაყოფილი მასზე", ყოველთვის შეგიძლიათ თქვათ "ეს გამრავლებული წილადზე". ანუ გაყოფა გამრავლების განსაკუთრებული შემთხვევაა.
3) მოქმედება მესამე. მატრიცის ტრანსპოზირება.
მატრიცის გადასატანად, თქვენ უნდა ჩაწეროთ მისი რიგები ტრანსპონირებული მატრიცის სვეტებში.
მაგალითი:
მატრიცას ტრანსპოზირება
აქ არის მხოლოდ ერთი სტრიქონი და, წესის მიხედვით, უნდა ჩაიწეროს სვეტში:
- ტრანსპონირებული მატრიცა.
ტრანსპონირებული მატრიცა, როგორც წესი, მითითებულია ზემოწერით ან მარტივი ასოებით ზედა მარჯვნივ.
ნაბიჯ ნაბიჯ მაგალითი:
მატრიცას ტრანსპოზირება 
პირველ რიგში, პირველ სტრიქონს პირველ სვეტში ვწერთ:
შემდეგ ჩვენ მეორე სტრიქონს მეორე სვეტში ვწერთ: 
და ბოლოს, ჩვენ გადავიწერთ მესამე რიგს მესამე სვეტში:
მზადაა. უხეშად რომ ვთქვათ, ტრანსპოზირება ნიშნავს მატრიცის თავის მხარეს მოქცევას.
4) მოქმედება მეოთხე. მატრიცების ჯამი (განსხვავება)..
მატრიცების ჯამი მარტივი ოპერაციაა.
ყველა მატრიცის დაკეცვა არ შეიძლება. მატრიცების შეკრების (გამოკლების) შესასრულებლად აუცილებელია, რომ ისინი იყოს იგივე ზომის.
მაგალითად, თუ მოცემულია ორი-ორ მატრიცა, მაშინ მისი დამატება შესაძლებელია მხოლოდ ორი-ორ მატრიცით და არა სხვა! 
მაგალითი:
დაამატეთ მატრიცები 
და 
მატრიცების დასამატებლად საჭიროა მათი შესაბამისი ელემენტების დამატება:
მატრიცების განსხვავებისთვის წესი მსგავსია, აუცილებელია შესაბამისი ელემენტების სხვაობის პოვნა.
მაგალითი:
იპოვნეთ მატრიცის განსხვავება 
, 
როგორ გადაჭრით ეს მაგალითი უფრო მარტივად, რომ არ დაიბნეთ? ამისათვის მიზანშეწონილია მოიცილოთ ზედმეტი მინუსები, დაამატეთ მინუსი მატრიცაში:
შენიშვნა: უმაღლესი სკოლის მათემატიკის თეორიაში არ არსებობს ცნება „გამოკლება“. იმის ნაცვლად, რომ თქვათ „გამოაკლეთ ამას“, ყოველთვის შეგიძლიათ თქვათ „დაამატე უარყოფითი რიცხვი ამას“. ანუ გამოკლება შეკრების განსაკუთრებული შემთხვევაა.
5) მოქმედება მეხუთე. მატრიცული გამრავლება.
რა მატრიცები შეიძლება გამრავლდეს?
იმისათვის, რომ მატრიცა გამრავლდეს მატრიცზე, აუცილებელია ისე, რომ მატრიცის სვეტების რაოდენობა უდრის მატრიცის რიგების რაოდენობას.
მაგალითი:
შესაძლებელია თუ არა მატრიცის მატრიცზე გამრავლება?
ეს ნიშნავს, რომ მატრიცის მონაცემები შეიძლება გამრავლდეს.
მაგრამ თუ მატრიცები გადანაწილებულია, მაშინ, ამ შემთხვევაში, გამრავლება აღარ არის შესაძლებელი!
ამიტომ გამრავლება შეუძლებელია:
არც ისე იშვიათია ტრიუკით ამოცანების შეხვედრები, როცა მოსწავლეს სთხოვენ მატრიცების გამრავლებას, რომელთა გამრავლება აშკარად შეუძლებელია.
უნდა აღინიშნოს, რომ ზოგიერთ შემთხვევაში შესაძლებელია მატრიცების გამრავლება ორივე გზით.
მაგალითად, მატრიცებისთვის და შესაძლებელია გამრავლებაც და გამრავლებაც
მატრიცის დამატება:
მატრიცების გამოკლება და დამატებაამცირებს მათ ელემენტებზე შესაბამის ოპერაციებს. მატრიცის დამატების ოპერაციაშევიდა მხოლოდ მატრიცებიიგივე ზომა, ანუ ამისთვის მატრიცები, რომელშიც მწკრივების და სვეტების რაოდენობა შესაბამისად ტოლია. მატრიცების ჯამი A და B ეწოდება მატრიცა C, რომლის ელემენტებიც შესაბამისი ელემენტების ჯამის ტოლია. C = A + B c ij = a ij + b ij განსაზღვრულია ანალოგიურად მატრიცის განსხვავება.
მატრიცის გამრავლება რიცხვზე:
მატრიცის გამრავლების (გაყოფის) ოპერაციანებისმიერი ზომის თვითნებური რიცხვით მცირდება თითოეული ელემენტის გამრავლება (გაყოფა). მატრიცებიამ ნომრისთვის. მატრიცული პროდუქტიდა რიცხვი k ეწოდება მატრიცა B, ისეთი, რომ
b ij = k × a ij . B = k × A b ij = k × a ij . მატრიცა- A = (-1) × A ეწოდება საპირისპირო მატრიცაა.
მატრიცების დამატებისა და მატრიცის რიცხვზე გამრავლების თვისებები:
მატრიცის დამატების ოპერაციებიდა მატრიცის გამრავლებარიცხვზე აქვს შემდეგი თვისებები: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5. 1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , სადაც A, B და C არის მატრიცები, α და β რიცხვები.
მატრიცის გამრავლება (მატრიცული ნამრავლი):
ორი მატრიცის გამრავლების ოპერაციაშეიტანება მხოლოდ იმ შემთხვევისთვის, როდესაც პირველის სვეტების რაოდენობა მატრიცებიუდრის წამის ხაზების რაოდენობას მატრიცები. მატრიცული პროდუქტიდა m×n ჩართულია მატრიცა n×p-ში, ე.წ მატრიცა m×p-ით ისეთი, რომ ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a × b nk-ში, ანუ იპოვება i-ე რიგის ელემენტების ნამრავლების ჯამი. მატრიცებიდა j-ე სვეტის შესაბამის ელემენტებს მატრიცები B. თუ მატრიცები A და B არის იგივე ზომის კვადრატები, მაშინ AB და BA პროდუქტები ყოველთვის არსებობს. ადვილია იმის ჩვენება, რომ A × E = E × A = A, სადაც A არის კვადრატი მატრიცა, E - ერთეული მატრიცაიგივე ზომა.
მატრიცის გამრავლების თვისებები:
მატრიცული გამრავლებაარა კომუტაციური, ე.ი. AB ≠ BA მაშინაც კი, თუ ორივე პროდუქტი განსაზღვრულია. თუმცა, თუ რომელიმესთვის მატრიცებიურთიერთობა AB=BA დაკმაყოფილებულია, მაშინ ასეთი მატრიცებიკომუტაციური ეწოდება. ყველაზე ტიპიური მაგალითია ერთი მატრიცა, რომელიც მოგზაურობს ნებისმიერ სხვასთან მატრიცაიგივე ზომა. მხოლოდ ოთხკუთხედები შეიძლება იყოს ცვალებადი მატრიცებიიმავე რიგის. A × E = E × A = A
მატრიცული გამრავლებააქვს შემდეგი თვისებები: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;
2. მე-2 და მე-3 რიგის განმსაზღვრელი. დეტერმინანტების თვისებები.
მატრიცის განმსაზღვრელიმეორე შეკვეთა, ან განმსაზღვრელიმეორე რიგი არის რიცხვი, რომელიც გამოითვლება ფორმულით:
მატრიცის განმსაზღვრელიმესამე რიგის, ან განმსაზღვრელიმესამე რიგი არის რიცხვი, რომელიც გამოითვლება ფორმულით:
ეს რიცხვი წარმოადგენს ალგებრულ ჯამს, რომელიც შედგება ექვსი წევრისაგან. თითოეული ტერმინი შეიცავს ზუსტად ერთ ელემენტს თითოეული მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან მატრიცები. თითოეული ტერმინი შედგება სამი ფაქტორის პროდუქტისგან.
ნიშნები რომელ წევრებთან ერთად მატრიცის განმსაზღვრელიშედის ფორმულაში მატრიცის დეტერმინანტის პოვნამესამე რიგის დადგენა შესაძლებელია მოცემული სქემის გამოყენებით, რომელსაც ეწოდება სამკუთხედების წესი ან სარრუსის წესი. პირველი სამი წევრი აღებულია პლუს ნიშნით და განისაზღვრება მარცხენა ფიგურიდან, ხოლო შემდეგი სამი წევრი აღებულია მინუს ნიშნით და განისაზღვრება მარჯვენა ფიგურიდან.
განსაზღვრეთ მოსაძებნი ტერმინების რაოდენობა მატრიცის განმსაზღვრელი, ალგებრულ ჯამში შეგიძლიათ გამოთვალოთ ფაქტორიალი: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6
მატრიცის დეტერმინანტების თვისებები
მატრიცის დეტერმინანტების თვისებები:
ქონება #1:
მატრიცის განმსაზღვრელიარ შეიცვლება, თუ მისი სტრიქონები ჩანაცვლდება სვეტებით, თითოეული მწკრივი სვეტით იმავე ნომრით და პირიქით (ტრანსპოზიცია). |ა| = |A| თ
შედეგი:
სვეტები და რიგები მატრიცის განმსაზღვრელითანაბარია, შესაბამისად, სტრიქონების თანდაყოლილი თვისებები ასევე შესრულებულია სვეტებისთვის.
ქონება #2:
2 მწკრივის ან სვეტის გადაწყობისას მატრიცის განმსაზღვრელიშეცვლის ნიშანს საპირისპიროზე, შეინარჩუნებს აბსოლუტურ მნიშვნელობას, ე.ი.
ქონება #3:
მატრიცის განმსაზღვრელიორი იდენტური მწკრივის მქონე ნულის ტოლია.
ქონება #4:
ნებისმიერი სერიის ელემენტების საერთო ფაქტორი მატრიცის განმსაზღვრელიშეიძლება ჩაითვალოს ნიშნად განმსაზღვრელი.
დასკვნა No3 და No4 ქონებისგან:
თუ გარკვეული სერიის ყველა ელემენტი (სტრიქონი ან სვეტი) პროპორციულია პარალელური სერიის შესაბამისი ელემენტების, მაშინ ასეთი მატრიცის განმსაზღვრელინულის ტოლი.
ქონება #5:
მატრიცის განმსაზღვრელინულის ტოლია, მაშინ მატრიცის განმსაზღვრელინულის ტოლი.
ქონება #6:
თუ მწკრივის ან სვეტის ყველა ელემენტი განმსაზღვრელიწარმოდგენილია როგორც 2 წევრის ჯამი, მაშინ განმსაზღვრელი მატრიცებიშეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 2-ის ჯამი განმსაზღვრელიფორმულის მიხედვით:
ქონება #7:
თუ რომელიმე მწკრივს (ან სვეტს) განმსაზღვრელიდაამატეთ სხვა რიგის (ან სვეტის) შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული იმავე რიცხვით, შემდეგ მატრიცის განმსაზღვრელიარ შეცვლის მის ღირებულებას.
გამოთვლებისთვის თვისებების გამოყენების მაგალითი მატრიცის განმსაზღვრელი:
ჩვენ თანმიმდევრულად „გამოვრიცხავთ“ უცნობებს. ამისათვის ჩვენ დავტოვებთ სისტემის პირველ განტოლებას უცვლელად და გარდაქმნით მეორე და მესამეს:
1) მეორე განტოლებას ვუმატებთ პირველს, გავამრავლებთ -2-ზე და მივიღებთ -3 ფორმას x 2 –2x 3 = –2;
2) მესამე განტოლებას ვუმატებთ პირველს, გავამრავლებთ -4-ზე და მივიღებთ -3 ფორმას x 2 – 4x 3 = 2.
შედეგად უცნობი მეორე და მესამე განტოლებიდან გამოირიცხება x 1 და სისტემა მიიღებს ფორმას
სისტემის მეორე და მესამე განტოლებებს ვამრავლებთ –1-ზე, მივიღებთ
კოეფიციენტი 1 პირველ განტოლებაში პირველი უცნობისთვის X 1 ჰქვია წამყვანი ელემენტიაღმოფხვრის პირველი ნაბიჯი.
მეორე საფეხურზე პირველი და მეორე განტოლებები უცვლელი რჩება და ცვლადის აღმოფხვრის იგივე მეთოდი გამოიყენება მესამე განტოლებაზე. x 2 . წამყვანი ელემენტიმეორე საფეხურის არის კოეფიციენტი 3. მესამე განტოლებას ვამატებთ მეორეს, გავამრავლებთ –1-ზე, შემდეგ სისტემა გარდაიქმნება ფორმაში.
 | (1.2) |
სისტემის (1.1) შემცირების პროცესს (1.2) ფორმამდე ეწოდება პირდაპირი მეთოდის პროგრესიგაუსი.
(1.2) სისტემის ამოხსნის პროცედურას ე.წ საპირისპიროდ.ბოლო განტოლებიდან ვიღებთ X 3 = –2. ამ მნიშვნელობის მეორე განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ X 2 = 2. ამის შემდეგ, პირველი განტოლება იძლევა X 1 = 1. ამდენად, არის სისტემის ამოხსნა (1.1).
მატრიცის კონცეფცია
განვიხილოთ რაოდენობები შედის სისტემაში (1.1). ცხრა რიცხვითი კოეფიციენტის ერთობლიობა, რომელიც ჩნდება განტოლებებში უცნობის წინ, ქმნის რიცხვთა ცხრილს ე.წ. მატრიცა:
| ა= . | (1.3) |
ცხრილის ნომრებს ეძახიან ელემენტებიმატრიცები. ელემენტების ფორმა რიგები და სვეტებიმატრიცები. ჩამოყალიბებულია რიგების რაოდენობა და სვეტების რაოდენობა განზომილებამატრიცები. მატრიცა ააქვს განზომილება 3'3 ("სამი სამზე"), პირველი რიცხვი მიუთითებს რიგების რაოდენობაზე, ხოლო მეორე - სვეტების რაოდენობაზე. მატრიცას ხშირად აღნიშნავენ მისი განზომილების A (3' 3) მითითებით. მატრიცაში რიგებისა და სვეტების რაოდენობის გამო აიგივე, მატრიცა ეწოდება კვადრატი.კვადრატულ მატრიცაში მწკრივების (და სვეტების) რაოდენობას მისი ეწოდება წესით, Ამიტომაც ა- მატრიცა მესამე შეკვეთა.
განტოლებების მარჯვენა მხარეები ასევე ქმნიან რიცხვთა ცხრილს, ე.ი. მატრიცა:
ამ მატრიცის თითოეული მწკრივი იქმნება ერთი ელემენტით, ასე რომ ბ(3' 1) ეწოდება მატრიცა-სვეტიმისი განზომილებაა 3'1. უცნობის სიმრავლე ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სვეტის მატრიცის სახით:
კვადრატული მატრიცის გამრავლება სვეტის მატრიცზე
მატრიცებით შეგიძლიათ შეასრულოთ სხვადასხვა ოპერაციები, რომლებზეც დეტალურად იქნება განხილული. აქ ჩვენ მხოლოდ გავაანალიზებთ კვადრატული მატრიცის სვეტის მატრიცზე გამრავლების წესს. მიერ განმარტება, მატრიცის გამრავლების შედეგი ა(3' 3) თითო სვეტზე IN(3' 1) არის სვეტი დ(3' 1), რომლის ელემენტები უდრის მატრიცის მწკრივების ელემენტების ნამრავლების ჯამს ასვეტის ელემენტებზე IN:
2)მეორესვეტის ელემენტი დელემენტების ნამრავლების ჯამის ტოლია მეორემატრიცის რიგები ასვეტის ელემენტებზე IN:
ზემოაღნიშნული ფორმულებიდან ირკვევა, რომ მატრიცის გამრავლება სვეტზე INშესაძლებელია მხოლოდ მატრიცის სვეტების რაოდენობის შემთხვევაში ასვეტის ელემენტების რაოდენობის ტოლი IN.
მოდით შევხედოთ მატრიცის გამრავლების კიდევ ორ რიცხვით მაგალითს (3 ´3) თითო სვეტზე (3 ´1):
მაგალითი 1.1
AB = 
.
მაგალითი 1.2
AB= 
.
ასე რომ, წინა გაკვეთილზე გადავხედეთ მატრიცების შეკრებისა და გამოკლების წესებს. ეს ისეთი მარტივი ოპერაციებია, რომ სტუდენტების უმეტესობას ესმის მათ სიტყვასიტყვით მაშინვე.
თუმცა, ადრე გიხარია. უფასო თამაში დასრულდა - გადავიდეთ გამრავლებაზე. მაშინვე გაფრთხილებთ: ორი მატრიცის გამრავლება სულაც არ არის უჯრედებში რიცხვების გამრავლება იგივე კოორდინატებით, როგორც თქვენ ფიქრობთ. აქ ყველაფერი ბევრად უფრო სახალისოა. და ჩვენ უნდა დავიწყოთ წინასწარი განმარტებებით.
შესაბამისი მატრიცები
მატრიცის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მახასიათებელი მისი ზომაა. ამაზე უკვე ასჯერ ვილაპარაკეთ: $A=\left[ m\ჯერ n \right]$-ის დაწერა ნიშნავს, რომ მატრიცას აქვს ზუსტად $m$ რიგები და $n$ სვეტები. ჩვენ ასევე უკვე განვიხილეთ, თუ როგორ არ ავურიოთ რიგები სვეტებთან. ახლა სხვა რამეა მნიშვნელოვანი.
განმარტება. $A=\left[ m\ჯერ n \right]$ და $B=\left[n\ჯერ k \right]$ ფორმის მატრიცები, რომლებშიც პირველ მატრიცაში სვეტების რაოდენობა ემთხვევა რიგების რაოდენობას. მეორეში, ეწოდება თანმიმდევრული.
კიდევ ერთხელ: პირველ მატრიცაში სვეტების რაოდენობა უდრის მეორეში მწკრივების რაოდენობას! აქედან ჩვენ ვიღებთ ორ დასკვნას ერთდროულად:
- ჩვენთვის მნიშვნელოვანია მატრიცების თანმიმდევრობა. მაგალითად, მატრიცები $A=\left[ 3\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$ და $B=\left[ 2\ჯერ 5 \მარჯვნივ]$ თანმიმდევრულია (2 სვეტი პირველ მატრიცაში და 2 სტრიქონი მეორეში) , მაგრამ პირიქით — მატრიცები $B=\left[ 2\ჯერ 5 \მარჯვნივ]$ და $A=\left[ 3\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$ აღარ არის თანმიმდევრული (პირველ მატრიცაში 5 სვეტი არ არის 3 მწკრივი მეორეში).
- თანმიმდევრულობა მარტივად შეიძლება შემოწმდეს ყველა განზომილების ერთმანეთის მიყოლებით ჩაწერით. წინა აბზაცის მაგალითის გამოყენებით: „3 2 2 5“ - შუაში არის იდენტური რიცხვები, ამიტომ მატრიცები თანმიმდევრულია. მაგრამ "2 5 3 2" არ არის თანმიმდევრული, რადგან შუაში სხვადასხვა რიცხვია.
გარდა ამისა, როგორც ჩანს, კაპიტანი აშკარად მიანიშნებს, რომ $\left[n\ჯერ n\right]$ იგივე ზომის კვადრატული მატრიცები ყოველთვის თანმიმდევრულია.
მათემატიკაში, როდესაც ობიექტების ჩამოთვლის თანმიმდევრობა მნიშვნელოვანია (მაგალითად, ზემოთ განხილულ განმარტებაში მნიშვნელოვანია მატრიცების რიგი), ხშირად ვსაუბრობთ დალაგებულ წყვილებზე. ჩვენ მათ სკოლაში შევხვდით: ვფიქრობ, უაზროა, რომ $\left(1;0 \right)$ და $\left(0;1 \right)$ კოორდინატები სიბრტყის სხვადასხვა წერტილებს განსაზღვრავენ.
ასე რომ: კოორდინატები ასევე დალაგებულია წყვილები, რომლებიც შედგება რიცხვებისგან. მაგრამ არაფერი გიშლის ხელს მატრიცებისგან ასეთი წყვილის გაკეთებაში. შემდეგ შეგვიძლია ვთქვათ: ”მატრიცების მოწესრიგებული წყვილი $\left(A;B \right)$ თანმიმდევრულია, თუ სვეტების რაოდენობა პირველ მატრიცაში იგივეა, რაც მეორეში მწკრივების რაოდენობა.”
აბა, მერე რა?
გამრავლების განმარტება
განვიხილოთ ორი თანმიმდევრული მატრიცა: $A=\left[m\ჯერ n \right]$ და $B=\left[n\ჯერ k \მარჯვნივ]$. და ჩვენ განვსაზღვრავთ გამრავლების ოპერაციას მათთვის.
განმარტება. ორი შესატყვისი მატრიცის ნამრავლი $A=\left[m\ჯერ n \right]$ და $B=\left[n\ჯერ k \მარჯვნივ]$ არის ახალი მატრიცა $C=\left[m\ჯერ k \ right] $, რომლის ელემენტები გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით:
\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((გ)_(i;j))=(a)_(i;1))\cdot ((ბ)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((ბ)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((ბ)_(t;j))) \ბოლო(გასწორება)\]
ასეთი პროდუქტი აღინიშნება სტანდარტული გზით: $C=A\cdot B$.
მათ, ვინც პირველად ხედავს ამ განმარტებას, მაშინვე უჩნდებათ ორი შეკითხვა:
- რა სასტიკი თამაშია ეს?
- რატომ არის ასე რთული?
კარგად, პირველ რიგში. დავიწყოთ პირველი კითხვით. რას ნიშნავს ყველა ეს მაჩვენებელი? და როგორ არ დაუშვათ შეცდომები რეალურ მატრიცებთან მუშაობისას?
უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ გრძელი ხაზი $((c)_(i;j))$-ის გამოსათვლელად (ინდექსებს შორის სპეციალურად დავაყენე მძიმით, რომ არ დაბნეულიყო, მაგრამ მათი ჩასმა არ არის საჭირო. ზოგადი - მე თვითონ დავიღალე განმარტებაში ფორმულის აკრეფით) სინამდვილეში მარტივი წესით მოდის:
- აიღეთ $i$th მწკრივი პირველ მატრიცაში;
- აიღეთ $j$th სვეტი მეორე მატრიცაში;
- ვიღებთ რიცხვების ორ თანმიმდევრობას. ჩვენ ვამრავლებთ ამ მიმდევრობის ელემენტებს იმავე რიცხვებით და შემდეგ ვამატებთ მიღებულ პროდუქტებს.
ეს პროცესი ადვილად გასაგებია სურათიდან:
ორი მატრიცის გამრავლების სქემა კიდევ ერთხელ: პირველ მატრიცაში ვაფიქსირებთ $i$ მწკრივს, მეორე მატრიცაში $j$ სვეტს, ვამრავლებთ ელემენტებს იმავე რიცხვებით და შემდეგ ვამატებთ მიღებულ პროდუქტებს - მივიღებთ $((c)_(ij))$ . და ასე შემდეგ ყველა $1\le i\le m$ და $1\le j\le k$. იმათ. ასეთი "გარყვნილების" $m\ჯერ k$ იქნება მთლიანობაში.
ფაქტობრივად, ჩვენ უკვე შევხვდით მატრიცულ გამრავლებას სასკოლო სასწავლო გეგმაში, მხოლოდ ძალიან შემცირებული ფორმით. მიეცით ვექტორები:
\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \მარჯვნივ); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \მარჯვნივ). \\ \ბოლო (გასწორება)\]
მაშინ მათი სკალარული ნამრავლი იქნება ზუსტად წყვილი პროდუქტების ჯამი:
\[\overrightarrow(a)\ჯერ \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y) )_(ბ))+((ზ)_(ა))\cdot ((ზ)_(ბ))\]
ძირითადად, როცა ხეები უფრო მწვანე იყო და ცა უფრო ნათელი, ჩვენ უბრალოდ ვამრავლებდით მწკრივის ვექტორს $\overrightarrow(a)$ სვეტის ვექტორზე $\overrightarrow(b)$.
დღეს არაფერი შეცვლილა. უბრალოდ, ახლა უფრო მეტია ამ მწკრივის და სვეტის ვექტორები.
მაგრამ საკმარისი თეორია! მოდით შევხედოთ რეალურ მაგალითებს. და დავიწყოთ უმარტივესი შემთხვევით - კვადრატული მატრიცებით.
კვადრატული მატრიცის გამრავლება
დავალება 1. გააკეთეთ გამრავლება:
\[\ მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(რ)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]\]
გამოსავალი. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს ორი მატრიცა: $A=\მარცხნივ[2\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$ და $B=\მარცხნივ[2\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$. ნათელია, რომ ისინი თანმიმდევრულია (იგივე ზომის კვადრატული მატრიცები ყოველთვის თანმიმდევრულია). ამიტომ ვასრულებთ გამრავლებას:
\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \ დასაწყისი(მასივი)(*(35)(რ)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \მარჯვნივ)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ დასასრული(მასივი)\მარჯვნივ]. \ბოლო (გასწორება)\]
Სულ ეს არის!
პასუხი: $\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]$.
დავალება 2. გააკეთეთ გამრავლება:
\[\ მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \left[ \დაწყება(მატრიცა)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\]
გამოსავალი. ისევ თანმიმდევრული მატრიცები, ამიტომ ჩვენ ვასრულებთ შემდეგ მოქმედებებს:\[\]
\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა)(*(35)( ) რ)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(რ)) 1\cdot 9+3\cdot \ მარცხენა(-3 \მარჯვნივ) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \მარჯვნივ) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \მარჯვნივ) \\\ბოლო(მატრიცა) \right]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ ] . \ბოლო (გასწორება)\]
როგორც ხედავთ, შედეგი არის ნულებით სავსე მატრიცა
პასუხი: $\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]$.
ზემოთ მოყვანილი მაგალითებიდან აშკარაა, რომ მატრიცული გამრავლება არც ისე რთული ოპერაციაა. მინიმუმ 2-ზე 2 კვადრატული მატრიცებისთვის.
გამოთვლების პროცესში ჩვენ შევადგინეთ შუალედური მატრიცა, სადაც პირდაპირ აღვწერეთ რომელი რიცხვები შედის კონკრეტულ უჯრედში. ეს არის ზუსტად ის, რაც უნდა გააკეთოთ რეალური პრობლემების გადაჭრისას.
მატრიცული პროდუქტის ძირითადი თვისებები
Მოკლედ. მატრიცის გამრავლება:
- არაკომუტაციური: $A\cdot B\ne B\cdot A$ ზოგად შემთხვევაში. რა თქმა უნდა, არის სპეციალური მატრიცები, რომლებისთვისაც ტოლია $A\cdot B=B\cdot A$ (მაგალითად, თუ $B=E$ არის პირადობის მატრიცა), მაგრამ უმეტეს შემთხვევაში ეს არ მუშაობს. ;
- ასოციაციურად: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. აქ არ არის ვარიანტები: მიმდებარე მატრიცები შეიძლება გამრავლდეს ისე, რომ არ იფიქროთ იმაზე, თუ რა არის ამ ორი მატრიცის მარცხნივ და მარჯვნივ.
- დისტრიბუციულად: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ და $\left(A+B \მარჯვნივ)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (პროდუქტის არაკომუტატიურობის გამო, აუცილებელია ცალ-ცალკე მიუთითოთ მარჯვენა და მარცხენა განაწილება.
ახლა კი - ყველაფერი იგივეა, მაგრამ უფრო დეტალურად.
მატრიცული გამრავლება მრავალი თვალსაზრისით ჰგავს კლასიკურ რიცხვთა გამრავლებას. მაგრამ არის განსხვავებები, რომელთაგან ყველაზე მნიშვნელოვანია ის მატრიცული გამრავლება, ზოგადად, არაკომუტაციურია.
მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ მატრიცებს ამოცანის 1-დან. ჩვენ უკვე ვიცით მათი პირდაპირი პროდუქტი:
\[\ მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(რ)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]=\ მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\]
მაგრამ თუ მატრიცებს გავცვლით, სრულიად განსხვავებულ შედეგს მივიღებთ:
\[\ მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(რ)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ=\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\ბოლო (მატრიცა )\მარჯვნივ]\]
გამოდის, რომ $A\cdot B\ne B\cdot A$. გარდა ამისა, გამრავლების ოპერაცია განისაზღვრება მხოლოდ თანმიმდევრული მატრიცებისთვის $A=\left[m\ჯერ n \right]$ და $B=\left[n\ჯერ k \right]$, მაგრამ არავის აქვს გარანტია, რომ ისინი დარჩება თანმიმდევრული, თუ ისინი შეიცვლება. მაგალითად, მატრიცები $\left[ 2\ჯერ 3 \მარჯვნივ]$ და $\left[ 3\ჯერ 5 \მარჯვნივ]$ საკმაოდ თანმიმდევრულია მითითებული თანმიმდევრობით, მაგრამ იგივე მატრიცები $\left[ 3\ჯერ 5 \right] $ და $\left[ 2\ჯერ 3 \მარჯვნივ]$ დაწერილი საპირისპირო თანმიმდევრობით აღარ არის თანმიმდევრული. სამწუხაროა. :(
მოცემული ზომის $n$ კვადრატულ მატრიცებს შორის ყოველთვის იქნება ისეთები, რომლებიც ერთსა და იმავე შედეგს იძლევა როგორც პირდაპირი, ისე საპირისპირო თანმიმდევრობით გამრავლებისას. როგორ აღვწეროთ ყველა ასეთი მატრიცა (და რამდენია ზოგადად) ცალკე გაკვეთილის თემაა. ამაზე დღეს არ ვისაუბრებთ :)
თუმცა, მატრიცული გამრავლება ასოციაციურია:
\[\ მარცხენა (A\cdot B \მარჯვნივ)\cdot C=A\cdot \მარცხნივ(B\cdot C \მარჯვნივ)\]
ამიტომ, როცა საჭიროა რამდენიმე მატრიცის ზედიზედ გამრავლება, სულაც არ არის საჭირო ამის გაკეთება დაუყოვნებლივ: სავსებით შესაძლებელია, რომ ზოგიერთმა მიმდებარე მატრიცამ, გამრავლებისას, საინტერესო შედეგი გამოიღოს. მაგალითად, ნულოვანი მატრიცა, როგორც ზემოთ განხილულ პრობლემა 2-ში.
რეალურ პრობლემებში, ყველაზე ხშირად ჩვენ უნდა გავამრავლოთ $\left[n\ჯერ n \მარჯვნივ]$ ზომის კვადრატული მატრიცები. ყველა ასეთი მატრიცების სიმრავლე აღინიშნება $((M)^(n))$-ით (ანუ, ჩანაწერები $A=\left[n\ჯერ n \მარჯვნივ]$ და \ იგივეს ნიშნავს) და ეს იქნება აუცილებლად შეიცავდეს $E$ მატრიცას, რომელსაც იდენტობის მატრიცას უწოდებენ.
განმარტება. $n$ ზომის იდენტურობის მატრიცა არის $E$ მატრიცა ისეთი, რომ ნებისმიერი კვადრატული მატრიცისთვის $A=\left[n\ჯერ n \right]$ თანასწორობა მოქმედებს:
ასეთი მატრიცა ყოველთვის ერთნაირად გამოიყურება: მის მთავარ დიაგონალზე არის ერთეულები და ყველა სხვა უჯრედში ნულები.
\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \მარცხნივ(A+B \მარჯვნივ)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \ბოლო (გასწორება)\]
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ თქვენ გჭირდებათ ერთი მატრიცის გამრავლება ორი სხვას ჯამზე, შეგიძლიათ გაამრავლოთ ის თითოეულ ამ „სხვა ორზე“ და შემდეგ დაამატოთ შედეგები. პრაქტიკაში, როგორც წესი, გვიწევს საპირისპირო ოპერაციის შესრულება: ჩვენ ვამჩნევთ იგივე მატრიცას, ამოვიღებთ მას ფრჩხილებიდან, ვასრულებთ შეკრებას და ამით ვამარტივებთ ჩვენს ცხოვრებას.
შენიშვნა: განაწილების აღსაწერად ორი ფორმულა უნდა დაგვეწერა: სად არის ჯამი მეორე ფაქტორში და სად არის ჯამი პირველში. ეს ხდება ზუსტად იმიტომ, რომ მატრიცული გამრავლება არაკომუტაციურია (და საერთოდ, არაკომუტაციური ალგებრაში არის ბევრი სახალისო რამ, რაც არც კი მახსენდება ჩვეულებრივ ციფრებთან მუშაობისას). და თუ, მაგალითად, ეს თვისება გამოცდაზე დაგჭირდებათ, მაშინ აუცილებლად დაწერეთ ორივე ფორმულა, წინააღმდეგ შემთხვევაში მასწავლებელი შეიძლება ცოტათი გაბრაზდეს.
კარგი, ეს ყველაფერი იყო ზღაპრები კვადრატულ მატრიცებზე. რაც შეეხება მართკუთხას?
მართკუთხა მატრიცების შემთხვევა
მაგრამ არაფერი - ყველაფერი იგივეა, რაც კვადრატულებთან.
დავალება 3. გააკეთეთ გამრავლება:
\[\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (მატრიცა) \ დასაწყისი (მატრიცა) 5 \\ 2 \\ 3 \\\ ბოლოს (მატრიცა) & \ დასაწყისი (მატრიცა) 4 \\ 5 \\ 1 \\\ დასასრული (მატრიცა) \ \\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\]
გამოსავალი. გვაქვს ორი მატრიცა: $A=\მარცხნივ[ 3\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$ და $B=\მარცხნივ[2\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$. მოდით ჩამოვწეროთ რიცხვები, რომლებიც მიუთითებს ზომებზე ზედიზედ:
როგორც ხედავთ, ცენტრალური ორი რიცხვი ერთმანეთს ემთხვევა. ეს ნიშნავს, რომ მატრიცები თანმიმდევრულია და შეიძლება გამრავლდეს. უფრო მეტიც, გამოსავალზე ვიღებთ მატრიცას $C=\left[3\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$:
\[\ დასაწყისი (გასწორება) & \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) \დაწყება(მატრიცა) 5 \\ 2 \\ 3 \\\ბოლო (მატრიცა) & \ დასაწყისი (მატრიცა) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(მატრიცა) \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\ბოლო (მაივი) \right]=\left[ \begin(მაივი)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \მარჯვნივ)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \მარჯვნივ)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end (მასივი) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]. \ბოლო (გასწორება)\]
ყველაფერი ნათელია: საბოლოო მატრიცას აქვს 3 სტრიქონი და 2 სვეტი. საკმაოდ $=\მარცხნივ[ 3\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$.
პასუხი: $\ მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(რ)) \ დასაწყისი(მასივი)(*(35)(რ)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\ბოლო(მასივი) & \ დასაწყისი (მატრიცა) 41 \\ 30 \\ 19 \\\ბოლო (მატრიცა) \\\ ბოლოს (მატრიცა) \მარჯვნივ]$.
ახლა მოდით შევხედოთ ერთ-ერთ საუკეთესო სასწავლო ამოცანას მათთვის, ვინც ახლახან იწყებს მუშაობას მატრიცებთან. მასში საჭიროა არა მხოლოდ ორი ტაბლეტის გამრავლება, არამედ ჯერ განსაზღვრა: დასაშვებია თუ არა ასეთი გამრავლება?
ამოცანა 4. იპოვეთ მატრიცების ყველა შესაძლო წყვილი ნამრავლი:
\\]; $B=\left[ \begin(მატრიცა) \begin(მატრიცა) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end (მატრიცა) & \begin(მატრიცა) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\ბოლო(მატრიცა) \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end (მატრიცა) \მარჯვნივ]$.
გამოსავალი. პირველ რიგში, მოდით დავწეროთ მატრიცების ზომები:
\;\ B=\მარცხნივ[4\ჯერ 2 \მარჯვნივ];\ C=\მარცხნივ[2\ჯერ 2 \მარჯვნივ]\]
ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ $A$ მატრიცა შეიძლება მხოლოდ $B$ მატრიცასთან შეჯერდეს, ვინაიდან $A$-ის სვეტების რაოდენობა არის 4 და მხოლოდ $B$-ს აქვს მწკრივების ეს რაოდენობა. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ პროდუქტი:
\\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]=\ მარცხენა[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\]
მკითხველს ვთავაზობ, შუალედური საფეხურები დამოუკიდებლად დაასრულოს. მე მხოლოდ აღვნიშნავ, რომ უმჯობესია წინასწარ განვსაზღვროთ მიღებული მატრიცის ზომა, თუნდაც რაიმე გამოთვლამდე:
\\cdot \მარცხნივ[4\ჯერ 2 \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[2\ჯერ 2 \მარჯვნივ]\]
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ უბრალოდ ვხსნით „ტრანზიტის“ კოეფიციენტებს, რომლებიც უზრუნველყოფდნენ მატრიცების თანმიმდევრულობას.
რა სხვა ვარიანტებია შესაძლებელი? რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ იპოვოთ $B\cdot A$, რადგან $B=\left[4\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$, $A=\მარცხნივ[2\ჯერ 4 \მარჯვნივ]$, ასე რომ შეკვეთილი წყვილი $\ მარცხენა(B ;A \right)$ თანმიმდევრულია და პროდუქტის განზომილება იქნება:
\\cdot \მარცხნივ[ 2\ჯერ 4 \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[4\ჯერ 4 \მარჯვნივ]\]
მოკლედ, გამომავალი იქნება $\left[ 4\ჯერ 4 \მარჯვნივ]$ მატრიცა, რომლის კოეფიციენტები ადვილად გამოითვლება:
\\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]=\ მარცხენა[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\]
ცხადია, ჩვენ ასევე შეგვიძლია შევთანხმდეთ $C\cdot A$ და $B\cdot C$ - და ეს არის ის. ამიტომ, ჩვენ უბრალოდ ვწერთ შედეგად პროდუქტებს:
Ადვილი იყო.:)
პასუხი: $AB=\left[ \begin(მასივი)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(მაივი) \right]$; $BA=\left[ \begin(მასივი)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]$; $CA=\left[ \begin(მასივი)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(მაივი) \მარჯვნივ]$; $BC=\left[ \begin(მასივი)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end (მასივი) \მარჯვნივ]$.
ზოგადად, გირჩევთ ამ ამოცანის შესრულებას თავად. და კიდევ ერთი მსგავსი დავალება, რომელიც არის საშინაო დავალება. ეს ერთი შეხედვით მარტივი აზრები დაგეხმარებათ ივარჯიშოთ მატრიცის გამრავლების ყველა საკვანძო საფეხურზე.
მაგრამ ამბავი ამით არ მთავრდება. გადავიდეთ გამრავლების განსაკუთრებულ შემთხვევებზე :)
მწკრივის ვექტორები და სვეტების ვექტორები
ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული მატრიცული ოპერაცია არის გამრავლება მატრიცით, რომელსაც აქვს ერთი მწკრივი ან ერთი სვეტი.
განმარტება. სვეტის ვექტორი არის $\left[m\ჯერ 1 \მარჯვნივ]$ ზომის მატრიცა, ე.ი. შედგება რამდენიმე მწკრივისაგან და მხოლოდ ერთი სვეტისაგან.
მწკრივის ვექტორი არის $\left[ 1\ჯერ n \მარჯვნივ]$ ზომის მატრიცა, ე.ი. შედგება ერთი რიგისა და რამდენიმე სვეტისგან.
სინამდვილეში, ჩვენ უკვე შევხვდით ამ ობიექტებს. მაგალითად, ჩვეულებრივი სამგანზომილებიანი ვექტორი $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ სტერეომეტრიიდან სხვა არაფერია, თუ არა მწკრივის ვექტორი. თეორიული თვალსაზრისით, სტრიქონებსა და სვეტებს შორის განსხვავება თითქმის არ არის. თქვენ მხოლოდ სიფრთხილე გმართებთ გარემომცველი მულტიპლიკატორის მატრიცებთან კოორდინაციისას.
დავალება 5. გააკეთეთ გამრავლება:
\[\მარცხენა[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ] \cdot \left[ \begin(მასივი)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\]
გამოსავალი. აქ გვაქვს შესატყვისი მატრიცების ნამრავლი: $\left[3\ჯერ 3 \right]\cdot \left[3\ჯერ 1 \right]=\მარცხნივ[3\ჯერ 1 \მარჯვნივ]$. მოდი ვიპოვოთ ეს ნაჭერი:
\[\მარცხენა[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ] \cdot \left[ \begin(მაივი)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end (მაივი) \right]=\ მარცხენა[ \begin(მაივი)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \მარჯვნივ)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \მარჯვნივ) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end (მასივი) \right]=\left[ \begin(მასივი)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]\]
პასუხი: $\left[ \begin(მაივი)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(მაივი) \მარჯვნივ]$.
დავალება 6. გააკეთეთ გამრავლება:
\[\ მარცხენა[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]\]
გამოსავალი. ისევ ყველაფერი შეთანხმებულია: $\მარცხნივ[ 1\ჯერ 3 \მარჯვნივ]\cdot \left[ 3\ჯერ 3 \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[ 1\ჯერ 3 \მარჯვნივ]$. ჩვენ ვითვლით პროდუქტს:
\[\ მარცხენა[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35) (რ)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)( ) რ))5 & -19 & 5 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\]
პასუხი: $\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 5 & -19 & 5 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]$.
როგორც ხედავთ, როდესაც ჩვენ ვამრავლებთ მწკრივის ვექტორს და სვეტის ვექტორს კვადრატულ მატრიცზე, გამომავალი ყოველთვის იძლევა იმავე ზომის მწკრივს ან სვეტს. ამ ფაქტს მრავალი გამოყენება აქვს - წრფივი განტოლებების ამოხსნიდან ყველა სახის კოორდინატთა გარდაქმნამდე (რომელიც საბოლოოდ ასევე მოდის განტოლებათა სისტემებამდე, მაგრამ მოდი სამწუხარო რამეებზე არ ვისაუბროთ).
მგონი აქ ყველაფერი აშკარა იყო. გადავიდეთ დღევანდელი გაკვეთილის ბოლო ნაწილზე.
მატრიცის ექსპონენტაცია
ყველა გამრავლების ოპერაციებს შორის განსაკუთრებული ყურადღება იმსახურებს გაძლიერებას - ეს არის მაშინ, როდესაც ჩვენ ვამრავლებთ ერთსა და იმავე ობიექტს თავისთავად რამდენჯერმე. მატრიცები არ არის გამონაკლისი;
ასეთი სამუშაოები ყოველთვის შეთანხმებულია:
\\cdot \left[n\ჯერ n \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[n\ჯერ n \მარჯვნივ]\]
და ისინი მითითებულია ზუსტად ისე, როგორც ჩვეულებრივი ხარისხები:
\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \ბოლო (გასწორება)\]
ერთი შეხედვით ყველაფერი მარტივია. ვნახოთ, როგორ გამოიყურება ეს პრაქტიკაში:
დავალება 7. აწიეთ მატრიცა მითითებულ სიმძლავრემდე:
$((\ მარცხენა[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))$
გამოსავალი. კარგი, ავაშენოთ. ჯერ გავასწოროთ კვადრატში:
\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(2))=\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხენა[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ] \ბოლო(გასწორება)\]
\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))=((\მარცხნივ[ \დაწყება (მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო( მატრიცა) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(რ)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა)(*(35)(რ)) 1 & 3 \\ 0 და 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ] \ბოლო(გასწორება)\]
Სულ ეს არის.:)
პასუხი: $\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]$.
ამოცანა 8. აწიეთ მატრიცა მითითებულ სიმძლავრემდე:
\[((\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(10))\]
გამოსავალი. უბრალოდ არ იტირო იმაზე, რომ "დიპლომი ძალიან დიდია", "სამყარო არ არის სამართლიანი" და "მასწავლებლებმა მთლიანად დაკარგეს ნაპირები". სინამდვილეში ადვილია:
\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\ მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(10))=((\მარცხნივ[ \დაწყება (მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))\cdot ((\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ დასასრული(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))\cdot ((\მარცხნივ[\დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))\ cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ(\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ)\cdot \მარცხნივ(\მარცხნივ[ \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ ] \მარჯვნივ)= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 და 6 \\ 0 & 1 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ] \ბოლო (გასწორება)\ ]
გაითვალისწინეთ, რომ მეორე სტრიქონში გამოვიყენეთ გამრავლების ასოციაციურობა. სინამდვილეში, ჩვენ ვიყენებდით მას წინა ამოცანაში, მაგრამ ეს იყო ნაგულისხმევი.
პასუხი: $\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]$.
როგორც ხედავთ, არაფერია რთული მატრიცის სიმძლავრემდე აყვანაში. ბოლო მაგალითი შეიძლება შეჯამდეს:
\[((\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(n))=\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\ ბოლოს (მასივი) \მარჯვნივ]\]
ეს ფაქტი ადვილი დასამტკიცებელია მათემატიკური ინდუქციის ან პირდაპირი გამრავლების გზით. თუმცა, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი ასეთი შაბლონების დაჭერა ძალაზე ამაღლებისას. ამიტომ, ფრთხილად იყავით: ხშირად რამდენიმე მატრიცის "შემთხვევით" გამრავლება უფრო ადვილი და სწრაფია, ვიდრე რაიმე სახის შაბლონების ძებნა.
ზოგადად, ნუ ეძებთ უფრო მაღალ მნიშვნელობას, სადაც არ არის. დასასრულს, განვიხილოთ უფრო დიდი მატრიცის სიძლიერე - $\მარცხნივ[3\ჯერ 3 \მარჯვნივ]$.
ამოცანა 9. აწიეთ მატრიცა მითითებულ სიმძლავრემდე:
\[((\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))\]
გამოსავალი. მოდი ნუ ვეძებთ შაბლონებს. ჩვენ ვმუშაობთ წინ:
\[((\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))=(( \left[ \begin(მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(2))\cdot \ მარცხნივ[ \დაწყება (მატრიცა)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ ბოლოს (მატრიცა) \\ მარჯვენა]\]
პირველ რიგში, მოდით გავამრავლოთ ეს მატრიცა:
\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ])^( 2))=\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ ბოლოს (მასივი) \მარჯვნივ] \ბოლო (გასწორება)\]
ახლა მოდით კუბური გავხადოთ:
\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ])^( 3))=\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ] \cdot \left[ \დაწყება(მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ]= \\ & =\ მარცხნივ[ \დაწყება( მასივი)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\ ბოლოს (მასივი) \მარჯვნივ] \ბოლო (გასწორება)\]
Სულ ეს არის. პრობლემა მოგვარებულია.
პასუხი: $\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ]$.
როგორც ხედავთ, გამოთვლების მოცულობა უფრო დიდი გახდა, მაგრამ მნიშვნელობა საერთოდ არ შეცვლილა.
ამით მთავრდება გაკვეთილი. შემდეგ ჯერზე განვიხილავთ საპირისპირო ოპერაციას: არსებული პროდუქტის გამოყენებით ვეძებთ ორიგინალურ ფაქტორებს.
როგორც უკვე მიხვდით, ჩვენ ვისაუბრებთ შებრუნებულ მატრიცაზე და მის პოვნის მეთოდებზე.
მატრიცების ძირითადი აპლიკაციები დაკავშირებულია ოპერაციასთან გამრავლება.
მოცემულია ორი მატრიცა:
A – ზომა mn
B – ზომა n 
კ
იმიტომ რომ A მატრიცაში მწკრივის სიგრძე ემთხვევა B მატრიცაში სვეტის სიმაღლეს, შეგიძლიათ განსაზღვროთ მატრიცა C=AB, რომელსაც ექნება ზომები m. 
კ. ელემენტი 
მატრიცა C, რომელიც მდებარეობს თვითნებურ i-ე მწკრივში (i=1,...,m) და თვითნებურ j-ე სვეტში (j=1,...,k), განსაზღვრებით, ტოლია სკალარული ნამრავლის. ორი ვექტორიდან 
A მატრიცის :i-ე მწკრივი და B მატრიცის j-ე სვეტი:
Თვისებები:
როგორ განისაზღვრება A მატრიცის λ რიცხვზე გამრავლების ოპერაცია?
A-ს და λ რიცხვის ნამრავლი არის მატრიცა, რომელშიც თითოეული ელემენტი ტოლია A და λ-ის შესაბამისი ელემენტის ნამრავლის. დასკვნა: ყველა მატრიცის ელემენტის საერთო ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას მატრიცის ნიშნიდან.
13. შებრუნებული მატრიცის განმარტება და მისი თვისებები.
განმარტება. თუ არსებობს იგივე რიგის კვადრატული მატრიცები X და A, რომლებიც აკმაყოფილებენ პირობას:
სადაც E არის იგივე რიგის იდენტურობის მატრიცა, როგორც A მატრიცა, მაშინ X მატრიცას უწოდებენ საპირისპირო A მატრიცამდე და აღინიშნება A -1-ით.
შებრუნებული მატრიცების თვისებები
მოდით აღვნიშნოთ ინვერსიული მატრიცების შემდეგი თვისებები:
1) (A -1) -1 = A;
2) (AB) -1 = B -1 A -1
3) (A T) -1 = (A -1) T.
1. თუ შებრუნებული მატრიცა არსებობს, მაშინ ის უნიკალურია.
2. ყველა არანულოვან კვადრატულ მატრიცას არ აქვს ინვერსიული.
14. მიეცით დეტერმინანტების ძირითადი თვისებები.შეამოწმეთ ქონების მოქმედების ვადა |AB|=|A|*|B| მატრიცებისთვის
A= 
და B= 
დეტერმინანტების თვისებები:
1. თუ დეტერმინანტის რომელიმე მწკრივი შედგება ნულებისაგან, მაშინ თავად განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.
2. ორი მწკრივის გადაწყობისას განმსაზღვრელი მრავლდება -1-ზე.
3. ორი იდენტური მწკრივის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.
4. ნებისმიერი მწკრივის ელემენტების საერთო კოეფიციენტი შეიძლება ამოღებულ იქნას განმსაზღვრელი ნიშნიდან.
5. თუ A განმსაზღვრელი გარკვეული მწკრივის ელემენტები წარმოდგენილია ორი წევრის ჯამის სახით, მაშინ თავად განმსაზღვრელი უდრის ორი განმსაზღვრელი B და D ჯამის. B განმსაზღვრელში მითითებული წრფე შედგება პირველი წევრისაგან დ-ში - მეორე ვადების. B და D განმსაზღვრელთა დარჩენილი ხაზები იგივეა, რაც A-ში.
6. განმსაზღვრელი მნიშვნელობა არ შეიცვლება, თუ რომელიმე სტრიქონს დაემატება სხვა სტრიქონი, გამრავლებული ნებისმიერ რიცხვზე.
7. ნებისმიერი მწკრივის ელემენტების ნამრავლების ჯამი სხვა მწკრივის შესაბამისი ელემენტების ალგებრული ავსებით უდრის 0-ს.
8. A მატრიცის განმსაზღვრელი ტოლია ტრანსპონირებული მატრიცის A m განმსაზღვრელი, ე.ი. გადატანისას განმსაზღვრელი არ იცვლება.
15. განსაზღვრეთ რთული რიცხვის მოდული და არგუმენტი. დაწერეთ რიცხვები √3+ ტრიგონომეტრიული ფორმითმე, -1+ მე.
ყოველი რთული რიცხვი z=a+ib შეიძლება ასოცირდეს ვექტორთან (a,b)€R 2. ამ ვექტორის სიგრძე √a 2 + b 2-ის ტოლია ე.წ. რთული რიცხვის მოდული z და აღინიშნება |z|-ით. კუთხე φ მოცემულ ვექტორსა და Ox ღერძის დადებით მიმართულებას შორის ეწოდება რთული რიცხვის არგუმენტი z და აღინიშნება arg z-ით.
ნებისმიერი რთული რიცხვი z≠0 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც z=|z|(cosφ +isinφ).
რთული რიცხვის ჩაწერის ამ ფორმას ტრიგონომეტრიული ეწოდება.
√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6);
1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).
თითოეულ კომპლექსურ რიცხვს Z = a + ib შეიძლება მიენიჭოს ვექტორი (a; b), რომელიც ეკუთვნის R^2. ამ ვექტორის სიგრძე, ტოლია KB a^2 + b^2-დან, ეწოდება რთული რიცხვის მოდული და აღინიშნება Z მოდულით. კუთხეს ამ ვექტორსა და Ox ღერძის დადებით მიმართულებას შორის ეწოდება. რთული რიცხვის არგუმენტი (აღნიშნავს arg Z-ით).