>> ექსტრემა

ფუნქციის ექსტრემალური

ექსტრემის განმარტება

ფუნქცია y = f(x) ეწოდება იზრდება (მცირდება) გარკვეულ ინტერვალში, თუ x 1-ისთვის< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).

თუ დიფერენცირებადი ფუნქცია y = f (x) იზრდება (მცირდება) ინტერვალზე, მაშინ მისი წარმოებული ამ ინტერვალზე f " (x)> 0

(ვ"(x)< 0).

Წერტილი x ო დაურეკა ადგილობრივი მაქსიმალური წერტილი (მინიმალური) ფუნქცია f (x) თუ არის წერტილის მეზობლობა x o, ყველა წერტილისთვის, რომლის უტოლობა f (x) მართალია≤ f (x o ) (f (x)≥ f (x o )).

მაქსიმალური და მინიმალური ქულები ეწოდება ექსტრემალური წერტილებიდა ფუნქციის მნიშვნელობები ამ წერტილებში არის მისი უკიდურესობები.

ექსტრემალური წერტილები

აუცილებელი პირობებიექსტრემალური . თუ წერტილი x ო არის f (x) ფუნქციის უკიდურესი წერტილი, შემდეგ ან f " (x o ) = 0, ან ვ(x o ) არ არსებობს. ასეთ წერტილებს ე.წ კრიტიკული,და თავად ფუნქცია განისაზღვრება კრიტიკულ წერტილში. ფუნქციის უკიდურესობა უნდა ვეძებოთ მის კრიტიკულ წერტილებს შორის.

პირველი საკმარისი პირობა. დაე x ო - კრიტიკული წერტილი. თუ ვ" (x ) წერტილის გავლისას x ო ცვლის პლუს ნიშანს მინუსზე, შემდეგ წერტილში x oფუნქციას აქვს მაქსიმუმი, წინააღმდეგ შემთხვევაში აქვს მინიმუმი. თუ კრიტიკულ წერტილში გავლისას წარმოებული არ იცვლის ნიშანს, მაშინ წერტილში x ო არ არის უკიდურესი.

მეორე საკმარისი პირობა. აქვს ფუნქცია f(x).
ვ" (x ) წერტილის სიახლოვეს x ო ხოლო მეორე წარმოებული თავად წერტილში x o. თუ ვ"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x oარის f (x) ფუნქციის ლოკალური მინიმალური (მაქსიმალური) წერტილი. თუ =0, მაშინ თქვენ უნდა გამოიყენოთ პირველი საკმარისი პირობა ან ჩართოთ უფრო მაღალი პირობა.

სეგმენტზე ფუნქცია y = f (x) შეუძლია მიაღწიოს თავის მინიმალურ ან მაქსიმალურ მნიშვნელობას კრიტიკულ წერტილებში ან სეგმენტის ბოლოებში.

მაგალითი 3.22.

გამოსავალი.იმიტომ რომ ვ " (

ფუნქციის ექსტრემის პოვნის პრობლემები

მაგალითი 3.23. ა

გამოსავალი. xდა წ წ
0 ≤ x≤
> 0 და როდის x >a /4 ს " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение ფუნქციები კვ. ერთეულები).

მაგალითი 3.24. p ≈

გამოსავალი.გვ გვ
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

მაგალითი 3.22.იპოვეთ f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ფუნქციის უკიდურესი.

გამოსავალი.იმიტომ რომ ვ " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x -2) (x - 3), შემდეგ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები x 1 = 2 და x 2 = 3. ექსტრემა შეიძლება იყოს მხოლოდ ამ წერტილებში. ვინაიდან x 1 = 2 წერტილში გავლისას წარმოებული ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე, მაშინ ამ ეტაპზე ფუნქციას აქვს მაქსიმუმი. x 2 = 3 წერტილში გავლისას წარმოებული ცვლის თავის ნიშანს მინუსდან პლუსზე, ამიტომ x 2 = 3 წერტილში ფუნქციას აქვს მინიმალური. ფუნქციების მნიშვნელობების გამოთვლა წერტილებში
x 1 = 2 და x 2 = 3, ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის უკიდურესობას: მაქსიმალური f (2) = 14 და მინიმალური f (3) = 13.

მაგალითი 3.23.აუცილებელია ქვის კედელთან სწორკუთხა უბნის აგება ისე, რომ იგი სამი მხრიდან იყოს შემოღობილი მავთულის ბადით, ხოლო მეოთხე მხარე კედელთან იყოს. ამისათვის არსებობს ახაზოვანი მეტრი mesh. რა თანაფარდობით ექნება საიტს ყველაზე დიდი ფართობი?

გამოსავალი.მოდით აღვნიშნოთ პლატფორმის გვერდები xდა წ. საიტის ფართობი არის S = xy. დაე წ- ეს არის კედლის მიმდებარე მხარის სიგრძე. შემდეგ, პირობით, ტოლობა 2x + y = a უნდა დაკმაყოფილდეს. ამიტომ y = a - 2x და S = x (a - 2x), სადაც
0 ≤ x≤ a /2 (ფართის სიგრძე და სიგანე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი). S " = a - 4x, a - 4x = 0 x = a/4-ზე, საიდანაც
y = a - 2 × a/4 =a/2. Იმიტომ რომ x = a /4 არის ერთადერთი კრიტიკული წერტილი, შევამოწმოთ, იცვლება თუ არა წარმოებულის ნიშანი ამ წერტილში გავლისას. x a /4 S"-ზე> 0 და როდის x >a /4 ს " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение ფუნქციები S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2/8 (კვ. ერთეულები). ვინაიდან S არის უწყვეტი და მისი მნიშვნელობები ბოლოებზე S(0) და S(a /2) ნულის ტოლია, მაშინ ნაპოვნი მნიშვნელობა იქნება ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა. ამრიგად, საიტის ყველაზე ხელსაყრელი ასპექტის თანაფარდობა პრობლემის მოცემულ პირობებში არის y = 2x.

მაგალითი 3.24.საჭიროა V=16 ტევადობის დახურული ცილინდრული ავზის დამზადება p ≈ 50 მ 3. როგორი უნდა იყოს ავზის ზომები (რადიუსი R და სიმაღლე H) ისე, რომ მის დასამზადებლად გამოყენებული იქნას ყველაზე მცირე მასალა?

გამოსავალი.ცილინდრის მთლიანი ზედაპირის ფართობი არის S = 2გვ R(R+H). ჩვენ ვიცით ცილინდრის მოცულობა V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2. ასე რომ, S(R) = 2გვ (R 2 +16/R). ჩვენ ვპოულობთ ამ ფუნქციის წარმოებულს:
S"(R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2). S" (R) = 0 R 3 = 8-ზე, შესაბამისად,
R = 2, H = 16/4 = 4.

ფუნქციის უკიდურესი წერტილი არის წერტილი ფუნქციის დომენი, რომელშიც ფუნქციის მნიშვნელობა იღებს მინიმუმს ან მაქსიმალური ღირებულება. ფუნქციის მნიშვნელობებს ამ წერტილებში ეწოდება ფუნქციის უკიდურესი (მინიმალური და მაქსიმალური)..

განმარტება. Წერტილი x1 ფუნქციის დომენი ვ(x) ეწოდება ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი , თუ ფუნქციის მნიშვნელობა ამ მომენტში მეტია ფუნქციის მნიშვნელობებზე საკმარისად ახლოს მდებარე წერტილებში, რომლებიც მდებარეობს მის მარჯვნივ და მარცხნივ (ანუ უტოლობა მოქმედებს ვ(x0 ) > ვ(x 0 + Δ x) x1 მაქსიმუმ.

განმარტება. Წერტილი x2 ფუნქციის დომენი ვ(x) ეწოდება ფუნქციის მინიმალური წერტილი, თუ ფუნქციის მნიშვნელობა ამ მომენტში ნაკლებია ფუნქციის მნიშვნელობებზე საკმარისად ახლოს მდებარე წერტილებში, რომლებიც მდებარეობს მის მარჯვნივ და მარცხნივ (ანუ უტოლობა მოქმედებს ვ(x0 ) < ვ(x 0 + Δ x) ). ამ შემთხვევაში ჩვენ ვამბობთ, რომ ფუნქციას აქვს წერტილი x2 მინიმალური.

ვთქვათ წერტილი x1 - ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი ვ(x) . შემდეგ ინტერვალში მდე x1 ფუნქცია იზრდებაასე რომ, ფუნქციის წარმოებული არის ნულზე მეტი ( ვ "(x) > 0 ), ხოლო შემდეგ ინტერვალში x1 ფუნქცია მცირდება, შესაბამისად, ფუნქციის წარმოებულინულზე ნაკლები ( ვ "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

მოდით ასევე ვივარაუდოთ, რომ წერტილი x2 - ფუნქციის მინიმალური წერტილი ვ(x) . შემდეგ ინტერვალში მდე x2 ფუნქცია მცირდება და ფუნქციის წარმოებული არის ნულზე ნაკლები ( ვ "(x) < 0 ), а в интервале после x2 ფუნქცია იზრდება და ფუნქციის წარმოებული არის ნულზე მეტი ( ვ "(x) > 0). ამ შემთხვევაშიც წერტილში x2 ფუნქციის წარმოებული არის ნული ან არ არსებობს.

ფერმას თეორემა (ფუნქციის უკიდურესობის არსებობის აუცილებელი ნიშანი). თუ წერტილი x0 - ფუნქციის უკიდურესი წერტილი ვ(x), მაშინ ამ მომენტში ფუნქციის წარმოებული ტოლია ნულის ( ვ "(x) = 0 ) ან არ არსებობს.

განმარტება. წერტილები, რომლებშიც ფუნქციის წარმოებული არის ნული ან არ არსებობს, ეწოდება კრიტიკული წერტილები .

მაგალითი 1.განვიხილოთ ფუნქცია.

წერტილში x= 0 ფუნქციის წარმოებული არის ნული, შესაბამისად წერტილი x= 0 არის კრიტიკული წერტილი. თუმცა, როგორც ჩანს ფუნქციის გრაფიკიდან, ის იზრდება განსაზღვრების მთელ დომენში, ამიტომ წერტილი x= 0 არ არის ამ ფუნქციის უკიდურესი წერტილი.

ამრიგად, პირობები, რომ ფუნქციის წარმოებული ტოლია ნულის ტოლია ან არ არსებობს, არის უკიდურესობისთვის აუცილებელი პირობა, მაგრამ არა საკმარისი, რადგან შეიძლება მოყვანილი იყოს ფუნქციების სხვა მაგალითები, რომლებისთვისაც ეს პირობები დაკმაყოფილებულია, მაგრამ ფუნქცია არ აქვს ექსტრემუმი შესაბამის წერტილში. Ამიტომაც საკმარისი მტკიცებულება უნდა იყოს, რაც საშუალებას გვაძლევს განვსაჯოთ, არის თუ არა ექსტრემუმი კონკრეტულ კრიტიკულ წერტილში და როგორია ის - მაქსიმალური თუ მინიმალური.

თეორემა (ფუნქციის ექსტრემის არსებობის პირველი საკმარისი ნიშანი).Კრიტიკული წერტილი x0 ვ(x) თუ ამ წერტილში გავლისას ფუნქციის წარმოებული ცვლის ნიშანს, ხოლო თუ ნიშანი „პლუს“-დან „მინუსზე“ იცვლება, მაშინ ეს არის მაქსიმალური წერტილი, ხოლო თუ „მინუს“-დან „პლუს“, მაშინ ეს არის მინიმალური ქულა.

თუ წერტილთან ახლოს x0 , მისგან მარცხნივ და მარჯვნივ წარმოებული ინარჩუნებს თავის ნიშანს, ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია ან მხოლოდ მცირდება ან მხოლოდ იზრდება წერტილის გარკვეულ სამეზობლოში. x0 . ამ შემთხვევაში, წერტილში x0 არ არის უკიდურესი.

Ისე, ფუნქციის უკიდურესი წერტილების დასადგენად, თქვენ უნდა გააკეთოთ შემდეგი :

1. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.
2. გაატოლეთ წარმოებული ნულთან და დაადგინეთ კრიტიკული წერტილები.
3. გონებრივად ან ქაღალდზე მონიშნეთ რიცხვითი წრფეზე კრიტიკული წერტილები და მიღებულ ინტერვალებში განსაზღვრეთ ფუნქციის წარმოებულის ნიშნები. თუ წარმოებულის ნიშანი იცვლება „პლუს“-დან „მინუსში“, მაშინ კრიტიკული წერტილი არის მაქსიმალური წერტილი, ხოლო თუ „მინუსიდან“ „პლუს“, მაშინ მინიმალური წერტილი.
4. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა უკიდურეს წერტილებში.

მაგალითი 2.იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა .

გამოსავალი. ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული:

მოდით გავატოლოთ წარმოებული ნულთან, რათა ვიპოვოთ კრიტიკული წერტილები:

.

ვინაიდან "x"-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის მნიშვნელი არ არის ნულის ტოლი, შემდეგ მრიცხველს ვატოლებთ ნულს:

მივიღე ერთი კრიტიკული წერტილი x= 3. მოდით განვსაზღვროთ წარმოებულის ნიშანი ამ წერტილით შემოსაზღვრულ ინტერვალებში:

მინუს უსასრულობიდან 3-მდე დიაპაზონში - მინუს ნიშანი, ანუ ფუნქცია მცირდება,

3-დან პლუს უსასრულობამდე ინტერვალში არის პლუსის ნიშანი, ანუ ფუნქცია იზრდება.

ანუ პერიოდი x= 3 არის მინიმალური წერტილი.

ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობა მინიმალურ წერტილში:

ამრიგად, ფუნქციის უკიდურესი წერტილი არის ნაპოვნი: (3; 0) და ეს არის მინიმალური წერტილი.

თეორემა (ფუნქციის ექსტრემის არსებობის მეორე საკმარისი ნიშანი).Კრიტიკული წერტილი x0 არის ფუნქციის უკიდურესი წერტილი ვ(x) თუ ამ მომენტში ფუნქციის მეორე წარმოებული არ არის ნულის ტოლი ( ვ ""(x) ≠ 0 ), და თუ მეორე წარმოებული მეტია ნულზე ( ვ ""(x) > 0 ), მაშინ მაქსიმალური წერტილი და თუ მეორე წარმოებული არის ნულზე ნაკლები ( ვ ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

შენიშვნა 1. თუ წერტილში x0 თუ პირველი და მეორე წარმოებული ქრება, მაშინ ამ ეტაპზე შეუძლებელია ექსტრემის არსებობის მსჯელობა მეორე საკმარისი კრიტერიუმის საფუძველზე. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გამოიყენოთ პირველი საკმარისი კრიტერიუმი ფუნქციის ექსტრემისთვის.

შენიშვნა 2. ფუნქციის უკიდურესობის მეორე საკმარისი კრიტერიუმი არ გამოიყენება მაშინაც კი, როდესაც პირველი წარმოებული არ არსებობს სტაციონარულ წერტილში (მაშინ არ არსებობს არც მეორე წარმოებული). ამ შემთხვევაში, თქვენ ასევე უნდა გამოიყენოთ ფუნქციის უკიდურესობის პირველი საკმარისი ნიშანი.

ფუნქციის ექსტრემის ლოკალური ბუნება

ზემოაღნიშნული განმარტებებიდან გამომდინარეობს, რომ ფუნქციის ექსტრემუმი აქვს ადგილობრივი ხასიათი- ეს არის ფუნქციის ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობა უახლოეს მნიშვნელობებთან შედარებით.

ვთქვათ, თქვენ უყურებთ თქვენს შემოსავალს ერთი წლის განმავლობაში. თუ მაისში გამოიმუშავეთ 45,000 რუბლი, ხოლო აპრილში 42,000 რუბლი და ივნისში 39,000 რუბლი, მაშინ მაისის შემოსავალი არის შემოსავლის ფუნქციის მაქსიმუმი ახლომდებარე მნიშვნელობებთან შედარებით. მაგრამ ოქტომბერში თქვენ გამოიმუშავეთ 71,000 რუბლი, სექტემბერში 75,000 რუბლი და ნოემბერში 74,000 რუბლი, ასე რომ, ოქტომბრის შემოსავალი არის შემოსავლის ფუნქციის მინიმალური ოდენობა ახლომდებარე მნიშვნელობებთან შედარებით. და მარტივად ხედავთ, რომ აპრილ-მაის-ივნისის მნიშვნელობებს შორის მაქსიმალური ნაკლებია სექტემბერ-ოქტომბერ-ნოემბრის მინიმალურზე.

ზოგადად რომ ვთქვათ, ინტერვალზე ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს რამდენიმე ექსტრემა და შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ ფუნქციის ზოგიერთი მინიმუმი აღემატება ნებისმიერ მაქსიმუმს. ასე რომ, ზემოთ მოცემულ ფიგურაში ნაჩვენები ფუნქციისთვის, .

ანუ, არ უნდა ვიფიქროთ, რომ ფუნქციის მაქსიმუმი და მინიმალური არის, შესაბამისად, მისი უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები მთელ განხილულ სეგმენტზე. მაქსიმალურ წერტილში ფუნქციას აქვს უდიდესი მნიშვნელობა მხოლოდ იმ მნიშვნელობებთან შედარებით, რომლებიც მას აქვს ყველა წერტილში საკმარისად ახლოს მაქსიმალურ წერტილთან, ხოლო მინიმალურ წერტილში მას აქვს ყველაზე მცირე მნიშვნელობა მხოლოდ ამ მნიშვნელობებთან შედარებით. რომ მას აქვს ყველა წერტილში საკმარისად ახლოს მინიმალურ წერტილთან.

მაშასადამე, ჩვენ შეგვიძლია განვმარტოთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილების ზემოაღნიშნული კონცეფცია და მინიმალურ წერტილებს ვუწოდოთ ლოკალური მინიმალური ქულები, ხოლო მაქსიმალური წერტილები ადგილობრივი მაქსიმალური წერტილები.

ჩვენ ერთად ვეძებთ ფუნქციის უკიდურესობას

მაგალითი 3.

ამოხსნა: ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტია მთელ რიცხვთა წრფეზე. მისი წარმოებული ასევე არსებობს მთელი რიცხვითი ხაზი. ამიტომ შიგნით ამ შემთხვევაშიკრიტიკული წერტილებია მხოლოდ ის, სადაც, ე.ი. , საიდან და . კრიტიკული წერტილები და ფუნქციის განსაზღვრის მთელი დომენის დაყოფა ერთფეროვნების სამ ინტერვალად: . მოდით ავირჩიოთ თითოეული მათგანიდან ერთი საკონტროლო წერტილიდა იპოვნეთ წარმოებულის ნიშანი ამ ეტაპზე.

ინტერვალისთვის საკონტროლო წერტილი შეიძლება იყოს: პოვნა. ინტერვალში წერტილის აღებით, ჩვენ ვიღებთ, ხოლო პუნქტის აღება ინტერვალში, გვაქვს. ასე რომ, ინტერვალებში და , და ინტერვალში . ექსტრემისთვის პირველი საკმარისი კრიტერიუმის მიხედვით, წერტილში არ არის უკიდურესი (რადგან წარმოებული ინარჩუნებს თავის ნიშანს ინტერვალში), ხოლო იმ წერტილში ფუნქციას აქვს მინიმალური (რადგან წარმოებული ცვლის ნიშანს მინუსდან პლუსზე გადასვლისას. ამ წერტილიდან). მოდი ვიპოვოთ შესაბამისი მნიშვნელობებიფუნქციები: , ა. ინტერვალში ფუნქცია მცირდება, რადგან ამ ინტერვალში , ხოლო ინტერვალში ის იზრდება, რადგან ამ ინტერვალში .

გრაფიკის აგების გასარკვევად ვპოულობთ მის გადაკვეთის წერტილებს კოორდინატთა ღერძებთან. როდესაც მივიღებთ განტოლებას, რომლის ფესვები არის და, ანუ, ფუნქციის გრაფიკის ორი წერტილი (0; 0) და (4; 0) გვხვდება. ყველა მიღებული ინფორმაციის გამოყენებით ვაშენებთ გრაფიკს (იხ. მაგალითის დასაწყისი).

მაგალითი 4.იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა და შექმენით მისი გრაფიკი.

ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის მთელი რიცხვითი წრფე, გარდა წერტილისა, ე.ი. .

შესწავლის შესამცირებლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ის ფაქტი, რომ ეს ფუნქცია თანაბარია, ვინაიდან . აქედან გამომდინარე, მისი გრაფიკი სიმეტრიულია ღერძის მიმართ ოიდა კვლევა შეიძლება ჩატარდეს მხოლოდ ინტერვალით.

წარმოებულის პოვნა და ფუნქციის კრიტიკული წერტილები:

1) ;

2) ,

მაგრამ ფუნქცია განიცდის შეწყვეტას ამ ეტაპზე, ამიტომ ის არ შეიძლება იყოს ექსტრემალური წერტილი.

ამრიგად, მოცემულ ფუნქციას აქვს ორი კრიტიკული წერტილი: და . ფუნქციის პარიტეტის გათვალისწინებით, ჩვენ შევამოწმებთ მხოლოდ წერტილს ექსტრემის მეორე საკმარისი კრიტერიუმის გამოყენებით. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ მეორე წარმოებულს და განსაზღვრეთ მისი ნიშანი: მივიღებთ . ვინაიდან და , ეს არის ფუნქციის მინიმალური წერტილი და .

ფუნქციის გრაფიკის უფრო სრულყოფილი სურათის მისაღებად, მოდით გავარკვიოთ მისი ქცევა განსაზღვრების დომენის საზღვრებში:

(აქ სიმბოლო მიუთითებს სურვილზე xმარჯვნიდან ნულამდე და xრჩება დადებითი; ანალოგიურად ნიშნავს მისწრაფებას xმარცხნიდან ნულამდე და xრჩება უარყოფითი). ამრიგად, თუ, მაშინ. შემდეგი, ჩვენ ვიპოვით

,

იმათ. თუ , მაშინ .

ფუნქციის გრაფიკს არ აქვს ღერძებთან გადაკვეთის წერტილები. სურათი არის მაგალითის დასაწყისში.

ჩვენ ერთად ვაგრძელებთ ფუნქციის ექსტრემების ძიებას

მაგალითი 8.იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა.

გამოსავალი. მოდი ვიპოვოთ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი. ვინაიდან უთანასწორობა უნდა დაკმაყოფილდეს, ვიღებთ.

ვიპოვოთ ფუნქციის პირველი წარმოებული:

მოდი ვიპოვოთ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები.

განმარტება 1. M(x 0 ; y 0) წერტილს ეწოდება z = f(x; y) ფუნქციის მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილი, თუ არის M წერტილის ისეთი სამეზობლო, რომ ამ სამეზობლოდან ყველა წერტილისთვის (x; y) მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:

f(x 0 ; y 0)  f(x; y), .

თეორემა 1 (ექსტრემის არსებობის აუცილებელი პირობა) . თუ დიფერენცირებადი ფუნქცია z = f(x; y) აღწევს უკიდურესობას M(x 0 ; y 0) წერტილში, მაშინ მისი პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ამ წერტილში ნულის ტოლია, ე.ი.
;

წერტილები, რომლებშიც ნაწილობრივი წარმოებულები ნულის ტოლია, ეწოდება სტაციონარულიან კრიტიკული წერტილები.

თეორემა 2 (საკმარისი პირობა ექსტრემის არსებობისთვის)

მოდით ფუნქცია z = f(x; y):

ა) განსაზღვრულია წერტილის გარკვეულ მიმდებარედ (x 0 ; y 0), რომელშიც
და
;

ბ) აქვს ამ ეტაპზე მეორე რიგის უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები

;

მაშინ, თუ  = AC  B 2 > 0, მაშინ (x 0 ; y 0) ფუნქციას z = f(x; y) აქვს უკიდურესი და თუ A.< 0 (или С < 0) – максимум, если А >0 (ან C > 0) – მინიმალური. შემთხვევაში  = AC  B 2< 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если  = AC  B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

მაგალითი 1.იპოვეთ z = x 2 + xy + y 2  3x  6y ფუნქციის უკიდურესი.

გამოსავალი. ვიპოვოთ პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები:

გამოვიყენოთ ექსტრემის არსებობისთვის აუცილებელი პირობა:

განტოლებათა სისტემის ამოხსნით ვპოულობთ სტაციონარული წერტილების x და y კოორდინატებს: x = 0; y = 3, ანუ M(0; 3).

გამოვთვალოთ მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები და ვიპოვოთ მათი მნიშვნელობები M წერტილში.

A =
= 2; C =
= 2;

B =
.

შევადგინოთ დისკრიმინანტი  = AC  B 2 = 2  2  1 > 0, A = 2 > 0. ამიტომ M(0; 3) წერტილში მოცემულ ფუნქციას აქვს მინიმალური. ფუნქციის მნიშვნელობა ამ ეტაპზე არის z min = 9.

იპოვნეთ ფუნქციების უკიდურესობა

322. z = x 2 + y 2 + xy  4x  5y 323. z = y 3  x 3  3xy

324. z = x 2  2xy + 4y 3 325. z =
 y 2  x + 6y

326. z = x y (1  x  y) 327. z = 2xy  4x  2y

328. z = e  x/2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3  6xy + 1

330. z = 3x 2 y  x 3  y 4 331. z = 3x + 6y  x 2  xy + y 2

ორი ცვლადის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები დახურულ დომენში

რათა იპოვონ უდიდესიდა სულ მცირეფუნქციის მნიშვნელობები დახურულ რეგიონში, თქვენ უნდა:

1) იპოვნეთ მოცემულ არეალში მდებარე კრიტიკული წერტილები და გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები ამ წერტილებში;

2) იპოვნეთ კრიტიკული წერტილები რეგიონის საზღვარზე და გამოთვალეთ მათზე ფუნქციების უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები;

3) ყველა ნაპოვნი მნიშვნელობიდან აირჩიეთ ყველაზე დიდი და პატარა.

მაგალითი 2.იპოვეთ z = ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები
წრეში x 2 + y 2  1.

გამოსავალი. ვიპოვოთ განსახილველი რეგიონის შიგნით მდებარე კრიტიკული წერტილების კოორდინატები, რისთვისაც გამოვთვლით z ფუნქციის პირველი რიგის ნაწილობრივ წარმოებულებს და ვატოლებთ ნულს.

საიდანაც x = 0, y = 0 და, შესაბამისად, M(0; 0) არის კრიტიკული წერტილი.

გამოვთვალოთ z ფუნქციის მნიშვნელობა M(0; 0) წერტილში: z(0; 0) = 2.

ვიპოვოთ რეგიონის საზღვარზე კრიტიკული წერტილები - x 2 + y 2 = 1 განტოლებით განსაზღვრული წრე. y 2 = 1 - x 2 ფუნქციით z = z(x; y) ჩანაცვლებით მივიღებთ ფუნქციას. ერთი ცვლადის

z =
;

სადაც x[1; 1].

წარმოებულის გამოთვლისას
და თუ გავუტოლებთ მას ნულს, მივიღებთ კრიტიკულ წერტილებს რეგიონის საზღვარზე x 1 = 0, x 2 = x 3 =

ვიპოვოთ z(x) = ფუნქციის მნიშვნელობა
კრიტიკულ წერტილებზე და სეგმენტის ბოლოებზე [1; 1]: z(0) = ;
=;
; z(1) = ; z(1) =

მოდით ავირჩიოთ ყველაზე დიდი და პატარა z ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის წრის შიგნით და საზღვარზე მდებარე კრიტიკულ წერტილებში.

ასე რომ, z max. = z(0; 0) = 2

გაკვეთილი თემაზე: "ფუნქციების უკიდურესი წერტილების პოვნა. მაგალითები"

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, მიმოხილვები, სურვილები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

ინსტრუქციები და ტრენაჟორები Integral ონლაინ მაღაზიაში 10 კლასისთვის 1C-დან
პრობლემების გადაჭრა გეომეტრიაში. ინტერაქტიული სამშენებლო ამოცანები 7-10 კლასებისთვის
პროგრამული გარემო "1C: მათემატიკური კონსტრუქტორი 6.1"

რას შევისწავლით:
1. შესავალი.
2. მინიმალური და მაქსიმალური ქულები.

4. როგორ გამოვთვალოთ ექსტრემა?
5. მაგალითები.

Extrema ფუნქციის შესავალი

ბიჭებო, მოდით გადავხედოთ გარკვეული ფუნქციის გრაფიკს:

ყურადღება მიაქციეთ, რომ ჩვენი y=f (x) ფუნქციის ქცევა დიდწილად განისაზღვრება ორი წერტილით x1 და x2. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ფუნქციის გრაფიკს ამ წერტილებში და მის გარშემო. x2 წერტილამდე ფუნქცია იზრდება, x2 წერტილში არის ფლექსია და ამ წერტილის შემდეგ დაუყოვნებლივ ფუნქცია მცირდება x1 წერტილამდე. x1 წერტილში ფუნქცია ისევ იხრება და ამის შემდეგ ისევ იზრდება. ამ დროისთვის ჩვენ მოვუწოდებთ წერტილებს x1 და x2 inflection points. მოდით დავხატოთ ტანგენტები ამ წერტილებზე:

ჩვენს წერტილებში ტანგენტები პარალელურია x-ღერძისა, რაც ნიშნავს, რომ ტანგენსის დახრილობა ნულის ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენი ფუნქციის წარმოებული ამ წერტილებში ნულის ტოლია.

მოდით შევხედოთ ამ ფუნქციის გრაფიკს:

x2 და x1 წერტილებზე ტანგენსი ხაზების დახატვა შეუძლებელია. ეს ნიშნავს, რომ წარმოებული არ არსებობს ამ წერტილებში. ახლა კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ჩვენს წერტილებს ორ გრაფიკზე. წერტილი x2 არის წერტილი, სადაც ფუნქცია აღწევს თავის უდიდეს მნიშვნელობას ზოგიერთ რეგიონში ( x2 წერტილის მახლობლად). წერტილი x1 არის წერტილი, სადაც ფუნქცია აღწევს უმცირეს მნიშვნელობას რომელიმე რეგიონში ( x1 წერტილთან ახლოს).

მინიმალური და მაქსიმალური ქულები

განმარტება: x= x0 წერტილს ეწოდება y=f(x) ფუნქციის მინიმალური წერტილი, თუ არის x0 წერტილის სამეზობლო, რომელშიც მოქმედებს უტოლობა: f(x) ≥ f(x0).

განმარტება: x=x0 წერტილს ეწოდება y=f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი, თუ არის x0 წერტილის სამეზობლო, რომელშიც მოქმედებს უტოლობა: f(x) ≤ f(x0).

ბიჭებო, რა არის სამეზობლო?

განმარტება: წერტილის სამეზობლო არის წერტილების ერთობლიობა, რომელიც შეიცავს ჩვენს წერტილს და მასთან ახლოს.

ჩვენ თვითონ შეგვიძლია დავაყენოთ სამეზობლო. მაგალითად, x=2 წერტილისთვის შეგვიძლია განვსაზღვროთ სამეზობლო 1 და 3 წერტილების სახით.

დავუბრუნდეთ ჩვენს გრაფიკებს, შევხედოთ x2 წერტილს, ის უფრო დიდია, ვიდრე ყველა სხვა წერტილი გარკვეული სამეზობლოდან, მაშინ, განსაზღვრებით, ეს არის მაქსიმალური წერტილი. ახლა მოდით შევხედოთ x1 წერტილს, ის უფრო მცირეა, ვიდრე ყველა სხვა წერტილი გარკვეული სამეზობლოდან, მაშინ განსაზღვრებით ეს არის მინიმალური წერტილი.

ბიჭებო, შემოვიღოთ აღნიშვნა:

Y min - მინიმალური ქულა,
y max - მაქსიმალური ქულა.

Მნიშვნელოვანი!ბიჭებო, ნუ აურიეთ მაქსიმალურ და მინიმალურ ქულებს ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობა. ყველაზე ნაკლებად და უმაღლესი ღირებულებაიძებნება განმარტების მთელ დომენში მოცემული ფუნქცია, და მინიმალური და მაქსიმალური ქულები გარკვეულ სამეზობლოში.

ფუნქციის უკიდურესობა

მინიმალური და მაქსიმალური ქულებისთვის არის საერთო ტერმინი - ექსტრემალური ქულები.

ექსტრემუმი (ლათ. extremum – უკიდურესი) – ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობა მოცემულ სიმრავლეზე. წერტილს, სადაც მიღწეულია ექსტრემუმი, ეწოდება ექსტრემალური წერტილი.

შესაბამისად, თუ მიღწეულია მინიმუმი, უკიდურეს წერტილს ეწოდება მინიმალური წერტილი, ხოლო თუ მაქსიმუმი მიღწეულია, მას უწოდებენ მაქსიმალურ წერტილს.

როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის უკიდურესობა?

დავუბრუნდეთ ჩვენს სქემებს. ჩვენს წერტილებში წარმოებული ან ქრება (პირველ გრაფიკზე) ან არ არსებობს (მეორე გრაფიკზე).

მაშინ შეგვიძლია გავაკეთოთ მნიშვნელოვანი განცხადება: თუ y= f(x) ფუნქციას აქვს უკიდურესი x=x0 წერტილში, მაშინ ამ დროს ფუნქციის წარმოებული ან ნულია, ან არ არსებობს.

წერტილები, რომლებშიც წარმოებული უდრის ნულს, ეწოდება სტაციონარული.

წერტილებს, რომლებშიც ფუნქციის წარმოებული არ არსებობს, ეწოდება კრიტიკული.

როგორ გამოვთვალოთ უკიდურესობები?

ბიჭებო, მოდით დავუბრუნდეთ ფუნქციის პირველ გრაფიკს:

ამ გრაფიკის გაანალიზებისას ვთქვით: x2 წერტილამდე ფუნქცია იზრდება, x2 წერტილში ხდება ფლექსია და ამ წერტილის შემდეგ ფუნქცია მცირდება x1 წერტილამდე. x1 წერტილში ფუნქცია ისევ იხრება და ამის შემდეგ ფუნქცია კვლავ იზრდება.

ასეთი მსჯელობის საფუძველზე შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ექსტრემალური წერტილების ფუნქცია ცვლის მონოტონურობის ხასიათს და, შესაბამისად, წარმოებული ფუნქცია ცვლის ნიშანს. შეგახსენებთ: თუ ფუნქცია მცირდება, მაშინ წარმოებული არის ნულზე ნაკლები ან ტოლი, ხოლო თუ ფუნქცია იზრდება, მაშინ წარმოებული მეტია ან ტოლია ნულის.

შევაჯამოთ მიღებული ცოდნა შემდეგი დებულებით:

თეორემა: საკმარისი პირობა უკიდურესობისთვის: ფუნქცია y=f(x) იყოს უწყვეტი X ინტერვალზე და ჰქონდეს სტაციონარული ან კრიტიკული წერტილი x= x0 ინტერვალის შიგნით. შემდეგ:

• თუ ამ წერტილს აქვს სამეზობლო, რომელშიც f’(x)>0 მოქმედებს x x0, მაშინ x0 წერტილი არის y= f(x) ფუნქციის მინიმალური წერტილი.
• თუ ამ წერტილს აქვს სამეზობლო, რომელშიც f'(x) მოქმედებს x 0 და x> x0, თუ ამ წერტილს აქვს სამეზობლო, რომელშიც x0 წერტილიდან მარცხნივ და მარჯვნივ, წარმოებულის ნიშნები ერთნაირია. , მაშინ x0 წერტილში არ არის უკიდურესი.

პრობლემების გადასაჭრელად, გახსოვდეთ ეს წესები: თუ წარმოებულების ნიშნები განისაზღვრება, მაშინ:

კვლევის ალგორითმი უწყვეტი ფუნქცია y= f(x) ერთფეროვნებისა და ექსტრემისთვის:

• იპოვეთ y-ის წარმოებული.
• იპოვეთ სტაციონარული წერტილები (წარმოებული არის ნული) და კრიტიკული წერტილები (წარმოებული არ არსებობს).
• მონიშნეთ სტაციონარული და კრიტიკული წერტილები რიცხვთა წრფეზე და განსაზღვრეთ წარმოებულის ნიშნები მიღებულ ინტერვალებზე.
• ზემოაღნიშნული განცხადებებიდან გამომდინარე, გამოიტანეთ დასკვნა ექსტრემალური წერტილების ბუნების შესახებ.

უკიდურესი წერტილების პოვნის მაგალითები

1) იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილები და დაადგინეთ მათი ბუნება: y= 7+ 12*x - x 3

ამოხსნა: ჩვენი ფუნქცია უწყვეტია, შემდეგ გამოვიყენებთ ჩვენს ალგორითმს:
ა) y"= 12 - 3x 2,
ბ) y"= 0, x= ±2-ზე,

წერტილი x= -2 არის ფუნქციის მინიმალური წერტილი, წერტილი x= 2 არის ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი.
პასუხი: x= -2 არის ფუნქციის მინიმალური წერტილი, x= 2 არის ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი.

2) იპოვნეთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილები და დაადგინეთ მათი ბუნება.

გამოსავალი: ჩვენი ფუნქცია უწყვეტია. მოდით გამოვიყენოთ ჩვენი ალგორითმი:
ა) ბ) x= 2 წერტილში წარმოებული არ არსებობს, რადგან ნულზე ვერ გაყოფ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი: , ამ ეტაპზე ექსტრემი არ არის, რადგან წერტილის სამეზობლო არ არის განსაზღვრული. ვიპოვოთ მნიშვნელობა, რომლის წარმოებული ტოლია ნულის: გ) მონიშნეთ სტაციონარული წერტილები რიცხვით წრფეზე და დაადგინეთ წარმოებულის ნიშნები: დ) შეხედეთ ჩვენს ფიგურას, რომელიც გვიჩვენებს ექსტრემის განსაზღვრის წესებს.
წერტილი x= 3 არის ფუნქციის მინიმალური წერტილი.
პასუხი: x= 3 არის ფუნქციის მინიმალური წერტილი.

3) იპოვეთ y= x - 2cos(x) ფუნქციის უკიდურესი წერტილები და დაადგინეთ მათი ბუნება, -π ≤ x ≤ π.

ამოხსნა: ჩვენი ფუნქცია უწყვეტია, მოდით გამოვიყენოთ ჩვენი ალგორითმი:
ა) y"= 1 + 2sin(x),
ბ) იპოვეთ მნიშვნელობები, რომლებშიც წარმოებული ტოლია ნულის: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
რადგან -π ≤ x ≤ π, შემდეგ: x= -π/6, -5π/6,
გ) მონიშნეთ სტაციონარული წერტილები რიცხვთა წრფეზე და დაადგინეთ წარმოებულის ნიშნები: დ) შეხედეთ ჩვენს ფიგურას, რომელიც გვიჩვენებს ექსტრემის განსაზღვრის წესებს.
წერტილი x= -5π/6 არის ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი.
წერტილი x= -π/6 არის ფუნქციის მინიმალური წერტილი.
პასუხი: x= -5π/6 არის ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი, x= -π/6 არის ფუნქციის მინიმალური წერტილი.

4) იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილები და დაადგინეთ მათი ბუნება:

ამოხსნა: ჩვენს ფუნქციას აქვს უწყვეტობა მხოლოდ ერთ წერტილში x= 0. გამოვიყენოთ ალგორითმი:
ა)
ბ) იპოვეთ მნიშვნელობები, რომლებშიც წარმოებული ტოლია ნულის: y"= 0 x= ±2-ზე,
გ) მონიშნეთ სტაციონარული წერტილები რიცხვთა წრფეზე და დაადგინეთ წარმოებულის ნიშნები:
დ) შეხედეთ ჩვენს ფიგურას, რომელიც გვიჩვენებს ექსტრემის განსაზღვრის წესებს.
წერტილი x= -2 არის ფუნქციის მინიმალური წერტილი.
წერტილი x= 2 არის ფუნქციის მინიმალური წერტილი.
x=0 წერტილში ფუნქცია არ არსებობს.
პასუხი: x= ±2 - ფუნქციის მინიმალური ქულები.

დამოუკიდებლად გადასაჭრელი პრობლემები

ა) იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილები და დაადგინეთ მათი ბუნება: y= 5x 3 - 15x - 5.
ბ) იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილები და დაადგინეთ მათი ბუნება:
გ) იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილები და დაადგინეთ მათი ბუნება: y= 2sin(x) - x π ≤ x ≤ 3π-სთვის.
დ) იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილები და დაადგინეთ მათი ბუნება: