ტაკერ კუნის პირობები გეომეტრიულ ფორმაში. კუნ-ტაკერის თეორემის ფორმულირება და დადასტურება. სუსტი პირობები

არსებობს სამი ძირითადი კოორდინატთა სისტემა, რომელიც გამოიყენება გეომეტრიაში, თეორიულ მექანიკაში და ფიზიკის სხვა ფილიალებში: დეკარტიული, პოლარული და სფერული. ამ კოორდინატულ სისტემებში მთელ წერტილს სამი კოორდინატი აქვს. 2 პუნქტის კოორდინატების ცოდნით, შეგიძლიათ განსაზღვროთ მანძილი ამ ორ წერტილს შორის.

დაგჭირდებათ

• სეგმენტის ბოლოების დეკარტიული, პოლარული და სფერული კოორდინატები

ინსტრუქციები

1. პირველ რიგში, განიხილეთ მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა. ამ კოორდინატულ სისტემაში სივრცეში წერტილის მდებარეობა განისაზღვრება კოორდინატები x, y და z. რადიუსის ვექტორი შედგენილია საწყისიდან წერტილამდე. ამ რადიუსის ვექტორის პროგნოზები კოორდინატთა ღერძებზე იქნება კოორდინატებიამ პუნქტით ახლა გქონდეთ ორი ქულა კოორდინატები x1,y1,z1 და x2,y2 და z2 შესაბამისად. ანიშნეთ r1 და r2-ით, შესაბამისად, პირველი და მე-2 წერტილების რადიუსის ვექტორები. როგორც ჩანს, მანძილი ამ ორ წერტილს შორის იქნება r = r1-r2 ვექტორის მოდულის ტოლი, სადაც (r1-r2) არის ვექტორის სხვაობა. y1-y2, z1-z2. მაშინ r ვექტორის სიდიდე ან მანძილი ორ წერტილს შორის იქნება ტოლი: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2 )).

2. ახლა განვიხილოთ პოლარული კოორდინატთა სისტემა, რომელშიც წერტილის კოორდინატი მიიღება რადიალური კოორდინატი r (რადიუსის ვექტორი XY სიბრტყეში), კუთხური კოორდინატი? (კუთხე r ვექტორსა და X ღერძს შორის) და z კოორდინატი, დეკარტის სისტემაში z კოორდინატის მსგავსი წერტილის პოლარული კოორდინატები შეიძლება გადაკეთდეს დეკარტის კოორდინატებად შემდეგნაირად: x = r*cos? , y = r*sin?, z = z. შემდეგ მანძილი ორ წერტილს შორის კოორდინატები r1, ?1 ,z1 და r2, ?2, z2 ტოლი იქნება R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin ?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin? 2) +((z1-z2)^2))

3. ახლა შეხედეთ სფერულ კოორდინატთა სისტემას. მასში წერტილის მდებარეობა სამით არის მითითებული კოორდინატებირ, ? და?. r – მანძილი საწყისიდან წერტილამდე, ? და? - აზიმუთალური და ზენიტის კუთხე, შესაბამისად. კუთხე? პოლარული კოორდინატთა სისტემაში იგივე აღნიშვნის მქონე კუთხის მსგავსი, არა? არის კუთხე r რადიუსის ვექტორსა და Z ღერძს შორის, 0-ით<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с კოორდინატები r1, ?1, ?1 და r2, ?2 და ?2 ტოლი იქნება R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin ?1 )^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))

ვიდეო თემაზე

სიგრძე, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, მითითებულია მოდულის ნიშნით.

თუ სიბრტყის ორი წერტილი მოცემულია და , მაშინ სეგმენტის სიგრძე შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით

თუ სივრცეში ორი წერტილია მოცემული, მაშინ სეგმენტის სიგრძე შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით

Შენიშვნა: ფორმულები სწორი დარჩება, თუ შეიცვლება შესაბამისი კოორდინატები: და , მაგრამ პირველი ვარიანტი უფრო სტანდარტულია

მაგალითი 3

გამოსავალი:შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

პასუხი:

სიცხადისთვის გავაკეთებ ნახატს

ხაზის სეგმენტი - ეს არ არის ვექტორიდა, რა თქმა უნდა, ვერსად გადაიტანთ. გარდა ამისა, თუ დახაზავთ მასშტაბებს: 1 ერთეული. = 1 სმ (რვეულის ორი უჯრედი), შემდეგ მიღებული პასუხი შეიძლება შემოწმდეს ჩვეულებრივი მმართველით სეგმენტის სიგრძის პირდაპირ გაზომვით.

დიახ, გამოსავალი მოკლეა, მაგრამ მასში კიდევ რამდენიმე მნიშვნელოვანი პუნქტია, რომლის გარკვევაც მსურს:

პირველ რიგში, პასუხში ვსვამთ განზომილებას: „ერთეულები“. მდგომარეობა არ ამბობს რა არის, მილიმეტრები, სანტიმეტრი, მეტრი ან კილომეტრი. აქედან გამომდინარე, მათემატიკურად სწორი გამოსავალი იქნება ზოგადი ფორმულირება: "ერთეულები" - შემოკლებით "ერთეულები".

მეორეც, გავიმეოროთ სასკოლო მასალა, რომელიც სასარგებლოა არა მხოლოდ განხილული ამოცანისთვის:

ყურადღება მიაქციე მნიშვნელოვანი ტექნიკა – მულტიპლიკატორის ამოღება ფესვის ქვეშ. გამოთვლების შედეგად გვაქვს შედეგი და კარგი მათემატიკური სტილი გულისხმობს ფაქტორის ამოღებას ფესვის ქვეშ (თუ შესაძლებელია). უფრო დეტალურად, პროცესი ასე გამოიყურება: . რა თქმა უნდა, პასუხის ისე დატოვება, როგორც არის, შეცდომა არ იქნება - მაგრამ, რა თქმა უნდა, ეს იქნება მასწავლებლის ნაკლოვანება და წონიანი არგუმენტი.

აქ არის სხვა გავრცელებული შემთხვევები:

ხშირად ფესვი წარმოქმნის საკმაოდ დიდ რაოდენობას, მაგალითად. რა უნდა გააკეთოს ასეთ შემთხვევებში? კალკულატორის გამოყენებით ვამოწმებთ იყო თუ არა რიცხვი 4-ზე. დიახ, იგი მთლიანად იყოფა, ასე რომ: . ან იქნებ რიცხვი ისევ 4-ზე გაიყოს? . ამრიგად: . რიცხვის ბოლო ციფრი კენტია, ამიტომ მესამედ 4-ზე გაყოფა აშკარად არ იმუშავებს. შევეცადოთ გავყოთ ცხრაზე: . Როგორც შედეგი:
მზადაა.

დასკვნა:თუ ფესვის ქვეშ მივიღებთ რიცხვს, რომლის ამოღებაც შეუძლებელია მთლიანობაში, მაშინ ვცდილობთ ამოიღოთ ფაქტორი ფესვის ქვეშ - კალკულატორის გამოყენებით ვამოწმებთ იყო თუ არა რიცხვი: 4, 9, 16, 25, 36, 49 და ა.შ.

სხვადასხვა პრობლემების გადაჭრისას, ფესვები ხშირად ხვდებათ ძირიდან, რათა თავიდან აიცილოთ უფრო დაბალი კლასი და ზედმეტი პრობლემები თქვენი გადაწყვეტილებების მასწავლებლის კომენტარების საფუძველზე.

ასევე გავიმეოროთ კვადრატული ფესვები და სხვა ძალა:

ძალებთან მოქმედების წესები ზოგადი ფორმით გვხვდება სასკოლო ალგებრის სახელმძღვანელოში, მაგრამ ვფიქრობ, მოცემული მაგალითებიდან ყველაფერი ან თითქმის ყველაფერი უკვე გასაგებია.

ამოცანა სივრცეში სეგმენტის დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 4

ქულები და მოცემულია. იპოვეთ სეგმენტის სიგრძე.

გამოსავალი და პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

ქვემოთ მოყვანილი სტატია განიხილავს სეგმენტის შუა კოორდინატების პოვნის საკითხებს, თუ მისი უკიდურესი წერტილების კოორდინატები ხელმისაწვდომია, როგორც საწყისი მონაცემები. მაგრამ სანამ საკითხის შესწავლას დავიწყებთ, მოდით შემოვიტანოთ რამდენიმე განმარტება.

Yandex.RTB R-A-339285-1 განმარტება 1

ხაზის სეგმენტი- ორი თვითნებური წერტილის დამაკავშირებელი სწორი ხაზი, რომელსაც ეწოდება სეგმენტის ბოლოები. მაგალითად, ეს იყოს A და B წერტილები და, შესაბამისად, A B სეგმენტი.

თუ A B სეგმენტი A და B წერტილებიდან ორივე მიმართულებით გაგრძელდება, მივიღებთ A B სწორ ხაზს. მაშინ A B სეგმენტი არის მიღებული სწორი ხაზის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია A და B წერტილებით. A B სეგმენტი აერთიანებს A და B წერტილებს, რომლებიც მისი ბოლოებია, ასევე შორის მდებარე წერტილთა სიმრავლეს. თუ, მაგალითად, ავიღებთ რაიმე თვითნებურ K წერტილს, რომელიც მდებარეობს A და B წერტილებს შორის, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ K წერტილი მდებარეობს A B სეგმენტზე.

განმარტება 2

მონაკვეთის სიგრძე- მანძილი სეგმენტის ბოლოებს შორის მოცემულ მასშტაბზე (ერთეული სიგრძის სეგმენტი). A B მონაკვეთის სიგრძე ავღნიშნოთ შემდეგნაირად: A B.

განმარტება 3

სეგმენტის შუა წერტილი- წერტილი, რომელიც მდებარეობს სეგმენტზე და მისი ბოლოებიდან თანაბრად არის დაშორებული. თუ A B სეგმენტის შუა არის მითითებული C წერტილით, მაშინ ტოლობა იქნება ჭეშმარიტი: A C = C B

საწყისი მონაცემები: კოორდინატთა წრფე O x და მასზე არადამთხვევა წერტილები: A და B. ეს წერტილები შეესაბამება რეალურ რიცხვებს x A და x B . წერტილი C არის A B სეგმენტის შუა: აუცილებელია კოორდინატის განსაზღვრა x C .

ვინაიდან C წერტილი არის A B სეგმენტის შუა წერტილი, ტოლობა იქნება ჭეშმარიტი: | A C | = | C B | . წერტილებს შორის მანძილი განისაზღვრება მათ კოორდინატებში განსხვავების მოდულით, ე.ი.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

მაშინ შესაძლებელია ორი თანასწორობა: x C - x A = x B - x C და x C - x A = - (x B - x C)

პირველი ტოლობიდან ვიღებთ C წერტილის კოორდინატების ფორმულას: x C = x A + x B 2 (სეგმენტის ბოლოების კოორდინატების ჯამის ნახევარი).

მეორე ტოლობიდან ვიღებთ: x A = x B, რაც შეუძლებელია, რადგან წყაროს მონაცემებში - შეუსაბამო პუნქტები. ამრიგად, A B სეგმენტის შუა კოორდინატების განსაზღვრის ფორმულა A (x A) ბოლოებით და B(xB):

შედეგად მიღებული ფორმულა იქნება სიბრტყეზე ან სივრცეში სეგმენტის შუა კოორდინატების განსაზღვრის საფუძველი.

საწყისი მონაცემები: მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O x y სიბრტყეზე, ორი თვითნებური არათანაბარი წერტილი მოცემული კოორდინატებით A x A, y A და B x B, y B. წერტილი C არის A B სეგმენტის შუა. საჭიროა განვსაზღვროთ x C და y C კოორდინატები C წერტილისთვის.

ანალიზისთვის ავიღოთ შემთხვევა, როდესაც A და B წერტილები არ ემთხვევა ერთმანეთს და არ დევს ერთსა და იმავე კოორდინატულ წრფეზე ან რომელიმე ღერძის პერპენდიკულარულ წრფეზე. A x, A y; B x, B y და C x, C y - A, B და C წერტილების პროექცია კოორდინატთა ღერძებზე (სწორი ხაზები O x და O y).

კონსტრუქციის მიხედვით A A x, B B x, C C x წრფეები პარალელურია; ხაზები ასევე ერთმანეთის პარალელურია. ამასთან ერთად, თალესის თეორემის მიხედვით, A C = C B ტოლობიდან გამომდინარეობს ტოლობები: A x C x = C x B x და A y C y = C y B y, და ისინი თავის მხრივ მიუთითებენ, რომ C x წერტილი არის A x B x სეგმენტის შუა და C y არის A y B y სეგმენტის შუა. შემდეგ კი, ადრე მიღებული ფორმულის საფუძველზე, ვიღებთ:

x C = x A + x B 2 და y C = y A + y B 2

იგივე ფორმულები შეიძლება გამოვიყენოთ იმ შემთხვევაში, როდესაც A და B წერტილები დევს ერთსა და იმავე კოორდინატზე ან ერთ-ერთი ღერძის პერპენდიკულარულ წრფეზე. ჩვენ არ ჩავატარებთ ამ საქმის დეტალურ ანალიზს, განვიხილავთ მას მხოლოდ გრაფიკულად:

ყოველივე ზემოთქმულის შეჯამება, A B სეგმენტის შუა კოორდინატები სიბრტყეზე ბოლოების კოორდინატებით A (x A, y A) და B(xB, yB) განისაზღვრება როგორც:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

საწყისი მონაცემები: კოორდინატთა სისტემა O x y z და ორი თვითნებური წერტილი მოცემული კოორდინატებით A (x A, y A, z A) და B (x B, y B, z B). აუცილებელია განვსაზღვროთ C წერტილის კოორდინატები, რომელიც არის A B სეგმენტის შუა.

A x, A y, A z; B x , B y , B z და C x , C y , C z - ყველა მოცემული წერტილის პროექცია კოორდინატთა სისტემის ღერძებზე.

თალესის თეორემის მიხედვით ჭეშმარიტია შემდეგი ტოლობები: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

ამიტომ, წერტილები C x, C y, C z არის A x B x, A y B y, A z B z სეგმენტების შუა წერტილები, შესაბამისად. შემდეგ, სივრცეში სეგმენტის შუა კოორდინატების დასადგენად სწორია შემდეგი ფორმულები:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

მიღებული ფორმულები ასევე გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც წერტილები A და B დევს ერთ-ერთ კოორდინატთა ხაზზე; ერთ-ერთი ღერძის პერპენდიკულარულ სწორ ხაზზე; ერთ კოორდინატულ სიბრტყეში ან რომელიმე კოორდინატულ სიბრტყეზე პერპენდიკულარულ სიბრტყეში.

სეგმენტის შუა ნაწილის კოორდინატების განსაზღვრა მისი ბოლოების რადიუსის ვექტორების კოორდინატების მეშვეობით

სეგმენტის შუა კოორდინატების პოვნის ფორმულა ასევე შეიძლება გამოვიდეს ვექტორების ალგებრული ინტერპრეტაციის მიხედვით.

საწყისი მონაცემები: მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა O x y, წერტილები მოცემული კოორდინატებით A (x A, y A) და B (x B, x B). წერტილი C არის A B სეგმენტის შუა.

ვექტორებზე მოქმედებების გეომეტრიული განმარტების მიხედვით მართალი იქნება შემდეგი ტოლობა: O C → = 1 2 · O A → + O B → . წერტილი C ამ შემთხვევაში არის O A → და O B → ვექტორების საფუძველზე აგებული პარალელოგრამის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი, ე.ი. დიაგონალების შუა წერტილი წერტილის რადიუსის ვექტორის კოორდინატები ტოლია წერტილის კოორდინატებთან, მაშინ ტოლობები მართალია: O A → = (x A, y A), O B → = (x B. , y B). შევასრულოთ რამდენიმე მოქმედება ვექტორებზე კოორდინატებში და მივიღოთ:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2, y A + y B 2

ამრიგად, C წერტილს აქვს კოორდინატები:

x A + x B 2, y A + y B 2

ანალოგიით, ფორმულა განისაზღვრება სივრცეში სეგმენტის შუა კოორდინატების საპოვნელად:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

ამოცანების ამოხსნის მაგალითები სეგმენტის შუა წერტილის კოორდინატების პოვნაზე

იმ პრობლემებს შორის, რომლებიც მოიცავს ზემოთ მიღებული ფორმულების გამოყენებას, არის ისეთებიც, რომლებშიც პირდაპირი კითხვაა სეგმენტის შუა კოორდინატების გამოთვლა და ისეთები, რომლებიც გულისხმობს მოცემული პირობების ამ კითხვაზე მოყვანას: ტერმინი „მედიანა“. ხშირად გამოიყენება, მიზანია სეგმენტის ბოლოებიდან ერთის კოორდინატების პოვნა, ასევე ხშირია სიმეტრიის ამოცანები, რომელთა გადაწყვეტამაც ამ თემის შესწავლის შემდეგ ზოგადად არ უნდა გამოიწვიოს სირთულეები. მოდით შევხედოთ ტიპურ მაგალითებს.

მაგალითი 1

საწყისი მონაცემები:სიბრტყეზე - წერტილები მოცემული კოორდინატებით A (- 7, 3) და B (2, 4). აუცილებელია ვიპოვოთ A B სეგმენტის შუა წერტილის კოორდინატები.

გამოსავალი

A B სეგმენტის შუა ავღნიშნოთ C წერტილით. მისი კოორდინატები განისაზღვროს, როგორც სეგმენტის ბოლოების კოორდინატების ჯამის ნახევარი, ე.ი. წერტილები A და B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

უპასუხე: A B სეგმენტის შუა კოორდინატები - 5 2, 7 2.

მაგალითი 2

საწყისი მონაცემები:ცნობილია A B C სამკუთხედის კოორდინატები: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). საჭიროა ვიპოვოთ A M-ის მედიანას სიგრძე.

გამოსავალი

1. პრობლემის პირობების მიხედვით, A M არის მედიანა, რაც ნიშნავს, რომ M არის B C სეგმენტის შუა წერტილი. პირველ რიგში ვიპოვოთ B C სეგმენტის შუა კოორდინატები, ე.ი. M ქულა:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. ვინაიდან ახლა ჩვენ ვიცით მედიანის ორივე ბოლოს კოორდინატები (წერტილები A და M), შეგვიძლია გამოვიყენოთ ფორმულა წერტილებს შორის მანძილის დასადგენად და A M მედიანას სიგრძის გამოსათვლელად:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

პასუხი: 58

მაგალითი 3

საწყისი მონაცემები:სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში მოცემულია პარალელეპიპედი A B C D A 1 B 1 C 1 D 1. მოცემულია C 1 წერტილის კოორდინატები (1, 1, 0), ასევე განსაზღვრულია M წერტილი, რომელიც არის B D 1 დიაგონალის შუა წერტილი და აქვს კოორდინატები M (4, 2, - 4). აუცილებელია A წერტილის კოორდინატების გამოთვლა.

გამოსავალი

პარალელეპიპედის დიაგონალები იკვეთება ერთ წერტილში, რომელიც არის ყველა დიაგონალის შუა წერტილი. ამ განცხადებიდან გამომდინარე, შეგვიძლია გავითვალისწინოთ, რომ წერტილი M, რომელიც ცნობილია პრობლემის პირობებიდან, არის A C 1 სეგმენტის შუა წერტილი. სივრცეში სეგმენტის შუა კოორდინატების პოვნის ფორმულის საფუძველზე ვპოულობთ A წერტილის კოორდინატებს: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

პასუხი: A წერტილის კოორდინატები (7, 3, - 8).

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

პრობლემის ფორმულირება

განვიხილოთ არაწრფივი ოპტიმიზაციის პრობლემა. დაე იყოს ფუნქციები

პირობებში.

უილიამ კარუშმა თავის ნაშრომში აღმოაჩინა აუცილებელი პირობები ზოგად შემთხვევაში, როდესაც დაწესებული პირობები შეიძლება შეიცავდეს როგორც განტოლებებს, ასევე უტოლობას. დამოუკიდებლად, ჰაროლდ კუნი და ალბერტ ტაკერი იმავე დასკვნამდე მივიდნენ.

ფუნქციის მინიმუმისთვის აუცილებელი პირობები

თუ დაწესებული შეზღუდვების პირობებში არსებობს პრობლემის გადაწყვეტა, მაშინ არსებობს ლაგრანჟის მულტიპლიკატორების არანულოვანი ვექტორი ისეთი, რომ ლაგრანჟის ფუნქციისთვის პირობები დაკმაყოფილებულია:

საკმარისი პირობები ფუნქციის მინიმუმისთვის

ჩამოთვლილი აუცილებელი პირობები ფუნქციის მინიმუმისთვის არ არის საკმარისი ზოგად შემთხვევაში. არსებობს დამატებითი პირობების რამდენიმე ვარიანტი, რაც მათ საკმარისს ხდის.

მარტივი ფორმულირება

თუ დასაშვები წერტილისთვის დაკმაყოფილებულია სტაციონარულობის, დამატებითი არარიგიდობის და არაუარყოფითობის პირობები, ასევე λ 1 > 0, მაშინ .

სუსტი პირობები

თუ დასაშვები პუნქტისთვის დაკმაყოფილებულია სტაციონარული პირობები, ავსებს არამყარობას და არანეგატიურობას, ასევე ( სლეტერის მდგომარეობა), ეს.

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წელი.

ნახეთ, რა არის „კარუშ-კუნ-ტაკერის პირობები“ სხვა ლექსიკონებში:

ოპტიმიზაციის თეორიაში კარუშ კუნ ტაკერის პირობები (KKT) აუცილებელი პირობაა არაწრფივი პროგრამირების პრობლემის გადასაჭრელად. გამოსავალი რომ იყოს ოპტიმალური, გარკვეული საქმეები უნდა გაკეთდეს... ... ვიკიპედია

ოპტიმიზაციის თეორიაში კარუშ კუნ ტაკერის პირობები (KKT) აუცილებელი პირობაა არაწრფივი პროგრამირების პრობლემის გადასაჭრელად. გამოსავალი რომ იყოს ოპტიმალური, უნდა დაკმაყოფილდეს გარკვეული კანონზომიერების პირობები... ... ვიკიპედია

უილიამ კარუშ უილიამ კარუშ დაბადების თარიღი: 1917 წლის 1 მარტი (1917 03 01) დაბადების ადგილი: ჩიკაგო, აშშ გარდაცვალების თარიღი ... ვიკიპედია

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ ოპტიმიზაცია. ოპტიმიზაცია მათემატიკაში, კომპიუტერულ მეცნიერებაში და ოპერაციების კვლევაში, ექსტრემის პოვნის პრობლემა (მინიმუმი ან მაქსიმალური) ობიექტური ფუნქციასასრულ-განზომილებიანი ვექტორის ზოგიერთ დომენში ... ვიკიპედია ვიკიპედია

ლაგრანჟის მამრავლის მეთოდი, f(x) ფუნქციის პირობითი კიდურების პოვნის მეთოდი, სადაც m შეზღუდვებთან შედარებით, i იცვლება ერთიდან m-მდე. სარჩევი 1 მეთოდის აღწერა ... ვიკიპედია

კუნ-ტაკერის თეორემები არის ზოგადი სახელწოდება განცხადებებისთვის, რომლებიც წარმოადგენენ განზოგადებებს

ლაგრანჟის თეორემის გამოყენება ოპტიმიზაციის ამოცანების შემთხვევაში შეზღუდვებით უტოლობების სახით, ე.ი.

შემდეგი ტიპი:

gj(x) > 0, j = 1, .

მ, (?)

x = (x1, . . . . , xn) 2 X.

აქ f: X 7! R - (დადგენილი ტერმინოლოგიის შესაბამისად) ობიექტური ფუნქცია, გრ: X 7! R,

r = 1, . . . ,m, არის შეზღუდვის ფუნქციები, X _ Rn არის ღია სიმრავლე.

თეორემა 196 (ჯონის თეორემა უნაგირის წერტილის თვალსაზრისით):

მოდით ფუნქციები f( ), g1( ), . . . , gn( ) არის ჩაზნექილი და?x არის ამოხსნა (?), ისეთი, რომ?x 2 intX.

შემდეგ არის ლაგრანჟის მამრავლები _j >

X არის პრობლემის გადაწყვეტა

წარმოგიდგენთ ამ დებულებებს იმ შემთხვევისთვის, როდესაც f, gr ფუნქციები დიფერენცირებადია (კუ- თეორემები

ონ-ტაკერი დიფერენციალური ფორმით).

შეგახსენებთ, რომ ფუნქცია

L(x,_) = _0f(x) +

ამ ამოცანის ლაგრანგის ფუნქციას (ლაგრანგის) ეწოდება და კოეფიციენტები _j არის მამრავლები.

ლაგრანჟი.

შემდეგი განცხადება მოქმედებს.

თეორემა 197 (ჯონის თეორემა დიფერენცირებადი ფუნქციებისთვის):

მოდით?x იყოს ამოხსნის (?), ისეთი, რომ?x 2 intX და ფუნქციები f( ), g1( ), . . . , gn( ) დიფერენციალური

რაოდენობრივია?x წერტილში.

შემდეგ არის ლაგრანჟის მამრავლები _j > 0, j = 0, . . . ,მ, ყველა არა ნულის ტოლი, ისეთივე როგორც

შემდეგი ურთიერთობები დაკმაყოფილებულია (კუნ-ტაკერის პირობები):

0, i = 1, . . . , n

J = 0 (შემავსებლობის პირობები

არარიგიდულობა).

გაითვალისწინეთ, რომ დამატებითი სისუსტის პირობები შეიძლება ჩაიწეროს ფორმაში

gj(?x)_j = 0, j = 1, . . . , მ.

ამ პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ თუ ლაგრანჟის მულტიპლიკატორი დადებითია (_j > 0), მაშინ შესაბამისი

შეზღუდვა ამოცანის ამოხსნაში (x = ?x-ზე) დაკმაყოფილებულია ტოლობით (ანუ gj(?x) = 0). სხვები

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს შეზღუდვა აქტიურია. მეორე მხრივ, იმ შემთხვევაში, როდესაც gj(?x) > 0, მაშინ შესაბამისი

ლაგრანჟის მამრავლი _j უდრის ნულს.

თუ პრობლემაში (?) ზოგიერთ შეზღუდვას აქვს გარკვეული xi-ის არანეგატიურობის შეზღუდვის ფორმა,

მაშინ მათთვის არ შეიძლება ლაგრანჟის მულტიპლიკატორების შემოღება შემდეგი შეზღუდვების ცალკე დაწერით:

gj(x) > 0, j = 1, . . . , მ, (??)

xi > 0, i 2 P _ (1, . . . . , n). შიდა წერტილში (იმ გაგებით, რომ 1 ?x 2 intX) პირველი რიგის პირობები i 2 P-სთვის არის მაშინ

ასე გამოიყურება:

i /2 P-სთვის აქ, როგორც პრობლემის (?) სახით წარმოდგენის შემთხვევაში, ლაგრანჟის ფუნქციის წარმოებული.

რადგან ეს ცვლადი გამოიყურება @L(?x,_)

გარდა ამისა, დაკმაყოფილებულია დამატებითი არარიგიდობის პირობებიც

ამ პირობებიდან მეორედან გამომდინარეობს, რომ?xi > 0 (i 2 P)

მეორე მხრივ, თუ @L(?x,_)/@xi თეორემის კიდევ ერთი მოდიფიკაცია ასოცირდება პრობლემაში ტოლობების სახით შეზღუდვების არსებობასთან. Დანიშნულება

მოდით განვსაზღვროთ შესაბამისი ინდექსების სიმრავლე E-ს საშუალებით. პრობლემას აქვს შემდეგი ფორმა:

gj(x) > 0, j 2 (1, . . . . , m)\E,

gj(x) = 0, j 2 E, (???)

xi > 0, i 2 P _ (1, . . . . , n).

ამავდროულად, ჯონის თეორემა ხსნის პირობას, რომ ლაგრანგის ყველა მულტიპლიკატორი არის არაუარყოფითი -

ლაგრანჟის მამრავლებს _j j 2 E-სთვის შეიძლება ჰქონდეს თვითნებური ნიშანი.

ჯონის თეორემა არ იძლევა იმის გარანტიას, რომ ობიექტური ფუნქციის ლაგრანჟის მულტიპლიკატორი _0 არ არის ნულოვანი.

თუმცა, თუ _0 = 0, მაშინ კუნ-ტაკერის პირობები ახასიათებს არა განხილული პრობლემის გადაწყვეტას, არამედ

შეზღუდვათა სიმრავლის სტრუქტურას?x წერტილში და თეორემას არ აქვს პირდაპირი კავშირი ინტერესთან

ჩვენი ამჟამინდელი ამოცანაა გავზარდოთ f( ) ფუნქცია, ვინაიდან თავად f() ფუნქციის გრადიენტი ქრება. საწყისი

კუნ-ტაკერის პირობები.

აქედან გამომდინარე, მნიშვნელოვანია დახასიათდეს პირობები, რომლებიც იძლევა გარანტიას, რომ _0 > 0.

ასეთ პირობებს კანონზომიერების პირობებს უწოდებენ.

იმ შემთხვევაში, როდესაც განსახილველი პრობლემა ამოზნექილია, კანონზომიერების ერთ-ერთი პირობაა

ეგრეთ წოდებული სლეიტერის მდგომარეობას აქვს ფორმა:

იმ შემთხვევაში, როდესაც ობიექტური ფუნქცია და პრობლემის შეზღუდვები დიფერენცირებადია, უმარტივესი

კანონზომიერების პირობა ჩამოყალიბებულია შეზღუდვის ფუნქციების გრადიენტების მიხედვით და აქვს ფორმა:

გრადიენტები აქტიური შეზღუდვებიწერტილში?x არიან წრფივი დამოუკიდებლები. (შეზღუდვებს შორის განიხილება

ასევე უნდა იყოს შეზღუდვები არანეგატიურობაზე.)

A-ით ავღნიშნოთ იმ შეზღუდვების ინდექსების სიმრავლე, რომლებიც აქტიურია ოპტიმალურ წერტილში?x.

(მათ შორის ყველა შეზღუდვის ინდექსები თანასწორობის სახით), ე.ი.

gj(?x) = 0, j 2 ა.

მაშინ თუ შეზღუდვის გრადიენტები ვექტორებია

არიან წრფივად დამოუკიდებლები2, შემდეგ _0 > 0. ამ მდგომარეობას ეწოდება კუნ-ტაკერის კანონზომიერების პირობა.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ _0 > 0, მაშინ ზოგადის დაკარგვის გარეშე შეგვიძლია ვივარაუდოთ _0 = 1, რაც ჩვეულებრივ კეთდება.

შესაბამის თეორემას ეწოდება (პირდაპირი) კუნ-ტაკერის თეორემა. თეორემა 198 (პირდაპირი კუნ-ტაკერის თეორემა, აუცილებელი პირობაოპტიმალურობა):

მოდით ფუნქციები f( ), g1( ), . . . , gn( ) დიფერენცირებადია და?x არის ამოხსნა (?), ისეთი, რომ

X 2 intX და Kuhn-Tucker კანონზომიერების პირობა დაკმაყოფილებულია.

შემდეგ არის ლაგრანჟის მამრავლები _j > 0, j = 1, . . . ,m, ისეთი, რომ როცა _0 = 1 დაკმაყოფილებულია

შემდეგი პროპორციები:

0, i = 1, . . . , n

ადვილია ამ თეორემის გადაფორმება ამოცანების (??) და (???)თვის. აქაც იგივე შესაძლებლობებია საჭირო.

კუნ-ტაკერის პირობების მოდიფიკაცია, როგორც ჯონის თეორემაში.

0, i = 1, . . . , n

შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

ეს კავშირი აჩვენებს, რომ ოპტიმალურ წერტილში ობიექტური ფუნქციის გრადიენტი არის წრფივი თანა

შეზღუდვების ანტიგრადიენტების კომბინაცია და ამის ყველა კოეფიციენტი ხაზოვანი კომბინაციაარაუარყოფითი

ღირებული. ბრინჯი. სურათი 17.1 ასახავს ამ თვისებას. ინტუიციურად, იდეა ამ ქონების უკან არის ის

თუ წრფივი კომბინაციის რომელიმე კოეფიციენტი უარყოფითი იქნებოდა, მაშინ ეს შესაძლებელი იქნებოდა

გაზარდეთ ობიექტური ფუნქციის მნიშვნელობა ამ შეზღუდვის გასწვრივ გადაადგილებით. კუნ-ტაკერის თეორემის ერთ-ერთი შებრუნებული ვერსია ამბობს, რომ როდესაც ფუნქციები ჩაზნექილია

f( ), (gk( )) ამ პირობების შესრულება დასაშვებ ხსნარში?x (ანუ წერტილი, რომელიც აკმაყოფილებს შეზღუდვას

მნიშვნელობები) ზოგიერთი ლაგრანგის მულტიპლიკატორისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს პირდაპირი თეორემის მოთხოვნებს,

გარანტიას იძლევა, რომ x არის პრობლემის გადაწყვეტა.

თეორემა 199 (ინვერსიული კუნ-ტაკერის თეორემა /საკმარისი პირობა ოპტიმალურისთვის/):

ვთქვათ f( ) დიფერენცირებადი ჩაზნექილი ფუნქცია, g1( ), . . . , gn( ) - დიფერენცირებადი

კვაზი-ჩაზნექილი ფუნქციები, X სიმრავლე არის ამოზნექილი და წერტილი?x დასაშვებია ამოცანაში (?), და?x 2

დაე, გარდა ამისა, არსებობდეს ლაგრანჟის მამრავლები _j > 0, j = 1, . . . ,მ, ისეთი რომ როცა

0 = 1 შემდეგი ურთიერთობები დაკმაყოფილებულია:

0, i = 1, . . . , n

მაშინ?x არის პრობლემის გადაწყვეტა (?).

თეორემა შეიძლება ფორმულირდეს აშკარად ამოცანებისთვის (??) და (???). ამოცანისთვის (???)

შეზღუდვები თანასწორობის სახით შეიძლება იყოს მხოლოდ წრფივი (ეს განპირობებულია იმით, რომ შეზღუდვა ფორმაში

ტოლობები, gj(x) = 0, უნდა იყოს წარმოდგენილი ორი შეზღუდვის გამოყენებით უტოლობების სახით, gj(x) > 0

და?gj(x) > 0, რომელთაგან თითოეული მოცემულია კვაზი-ჩაზნექილი ფუნქციით; ეს შეიძლება მოხდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ

შეზღუდვა არის წრფივი).

საკმარისი ოპტიმალური პირობის სხვა ვერსიაში, ვარაუდი, რომ სამიზნე არის ჩაზნექილი

ფუნქცია ჩანაცვლებულია კვაზი ჩაზნექილის დაშვებით rf(?x) 6=0 პირობის დამატებით.