ორი მატრიცის ნამრავლის განსაკუთრებული შემთხვევა. მატრიცული გამრავლება

ასე რომ, წინა გაკვეთილზე გადავხედეთ მატრიცების შეკრებისა და გამოკლების წესებს. ეს ისეთი მარტივი ოპერაციებია, რომ სტუდენტების უმეტესობას ესმის მათ სიტყვასიტყვით მაშინვე.

თუმცა, ადრე გიხარია. უფასო თამაში დასრულდა - გადავიდეთ გამრავლებაზე. მაშინვე გაფრთხილებთ: ორი მატრიცის გამრავლება სულაც არ არის იგივე კოორდინატების მქონე უჯრედებში მდებარე რიცხვების გამრავლება, როგორც თქვენ ფიქრობთ. აქ ყველაფერი ბევრად უფრო სახალისოა. და ჩვენ უნდა დავიწყოთ წინასწარი განმარტებებით.

შესატყვისი მატრიცები

მატრიცის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მახასიათებელი მისი ზომაა. ჩვენ უკვე ასჯერ ვისაუბრეთ ამაზე: აღნიშვნა $A=\left[m\times n \right]$ ნიშნავს, რომ მატრიცას აქვს ზუსტად $m$ რიგები და $n$ სვეტები. ჩვენ ასევე უკვე განვიხილეთ, თუ როგორ არ ავურიოთ რიგები სვეტებთან. ახლა სხვა რამეა მნიშვნელოვანი.

განმარტება. $A=\left[ m\ჯერ n \right]$ და $B=\left[n\ჯერ k \right]$ ფორმის მატრიცები, რომლებშიც პირველ მატრიცაში სვეტების რაოდენობა ემთხვევა რიგების რაოდენობას. მეორეში, ეწოდება თანმიმდევრული.

კიდევ ერთხელ: პირველ მატრიცაში სვეტების რაოდენობა უდრის მეორეში მწკრივების რაოდენობას! აქედან ჩვენ ვიღებთ ორ დასკვნას ერთდროულად:

1. ჩვენთვის მნიშვნელოვანია მატრიცების თანმიმდევრობა. მაგალითად, მატრიცები $A=\left[ 3\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$ და $B=\left[ 2\ჯერ 5 \მარჯვნივ]$ თანმიმდევრულია (2 სვეტი პირველ მატრიცაში და 2 სტრიქონი მეორეში) , მაგრამ პირიქით — მატრიცები $B=\left[ 2\ჯერ 5 \მარჯვნივ]$ და $A=\left[ 3\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$ აღარ არის თანმიმდევრული (პირველ მატრიცაში 5 სვეტი არ არის 3 მწკრივი მეორეში).
2. თანმიმდევრულობა მარტივად შეიძლება შემოწმდეს ყველა განზომილების ერთმანეთის მიყოლებით ჩაწერით. წინა აბზაცის მაგალითის გამოყენებით: „3 2 2 5“ - შუა რიცხვები იგივეა, ამიტომ მატრიცები თანმიმდევრულია. მაგრამ "2 5 3 2" არ არის თანმიმდევრული, რადგან შუაში სხვადასხვა რიცხვია.

გარდა ამისა, როგორც ჩანს, კაპიტანი ცხადი მიუთითებს, რომ $\left[n\ჯერ n \მარჯვნივ]$ იგივე ზომის კვადრატული მატრიცები ყოველთვის თანმიმდევრულია.

მათემატიკაში, როდესაც ობიექტების ჩამოთვლის თანმიმდევრობა მნიშვნელოვანია (მაგალითად, ზემოთ განხილულ განმარტებაში მნიშვნელოვანია მატრიცების რიგი), ხშირად ვსაუბრობთ დალაგებულ წყვილებზე. ჩვენ მათ სკოლაში შევხვდით: ვფიქრობ, უაზროა, რომ $\left(1;0 \right)$ და $\left(0;1 \right)$ კოორდინატები სიბრტყის სხვადასხვა წერტილებს განსაზღვრავენ.

ასე რომ: კოორდინატები ასევე დალაგებულია წყვილები, რომლებიც შედგება რიცხვებისგან. მაგრამ არაფერი გიშლის ხელს მატრიცებისგან ასეთი წყვილის გაკეთებაში. შემდეგ შეგვიძლია ვთქვათ: „მატრიცების დალაგებული წყვილი $\left(A;B \right)$ თანმიმდევრულია, თუ პირველ მატრიცაში სვეტების რაოდენობა ემთხვევა მეორეში მწკრივების რაოდენობას.

მერე რა?

გამრავლების განმარტება

განვიხილოთ ორი თანმიმდევრული მატრიცა: $A=\left[m\ჯერ n \right]$ და $B=\left[n\ჯერ k \მარჯვნივ]$. და ჩვენ განვსაზღვრავთ გამრავლების ოპერაციას მათთვის.

განმარტება. ორი შესატყვისი მატრიცის ნამრავლი $A=\left[m\ჯერ n \right]$ და $B=\left[n\ჯერ k \მარჯვნივ]$ არის ახალი მატრიცა $C=\left[m\ჯერ k \ right] $, რომლის ელემენტები გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((გ)_(i;j))=(a)_(i;1))\cdot ((ბ)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((ბ)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((ბ)_(t;j))) \ბოლო(გასწორება)\]

ასეთი პროდუქტი აღინიშნება სტანდარტული გზით: $C=A\cdot B$.

მათ, ვინც პირველად ხედავს ამ განმარტებას, მაშინვე უჩნდებათ ორი შეკითხვა:

1. რა სასტიკი თამაშია ეს?
2. რატომ არის ასე რთული?

კარგად, პირველ რიგში. დავიწყოთ პირველი კითხვით. რას ნიშნავს ყველა ეს მაჩვენებელი? და როგორ არ დაუშვათ შეცდომები რეალურ მატრიცებთან მუშაობისას?

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ გრძელი ხაზი $((c)_(i;j))$-ის გამოსათვლელად (ინდექსებს შორის სპეციალურად დავაყენე მძიმით, რომ არ დაბნეულიყო, მაგრამ არ არის საჭირო მათი დაყენება. ყველაფერი - მე თვითონ დავიღალე განმარტებაში ფორმულის აკრეფით) სინამდვილეში მარტივი წესით მოდის:

1. აიღეთ $i$th მწკრივი პირველ მატრიცაში;
2. აიღეთ $j$th სვეტი მეორე მატრიცაში;
3. ვიღებთ რიცხვების ორ თანმიმდევრობას. ჩვენ ვამრავლებთ ამ მიმდევრობის ელემენტებს იმავე რიცხვებით და შემდეგ ვამატებთ მიღებულ პროდუქტებს.

ეს პროცესი ადვილად გასაგებია სურათიდან:

კიდევ ერთხელ: პირველ მატრიცაში ვაფიქსირებთ $i$ მწკრივს, მეორე მატრიცაში $j$ სვეტს, ვამრავლებთ ელემენტებს იმავე რიცხვებით და შემდეგ ვამატებთ მიღებულ პროდუქტებს - მივიღებთ $((c)_(ij))$ . და ასე შემდეგ ყველა $1\le i\le m$ და $1\le j\le k$. იმათ. ასეთი "გარყვნილების" $m\ჯერ k$ იქნება მთლიანობაში.

ფაქტობრივად, ჩვენ უკვე შეგვხვდა მატრიცული გამრავლება სასკოლო სასწავლო გეგმაში, მხოლოდ ძალიან შემცირებული ფორმით. მიეცით ვექტორები:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \მარჯვნივ); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \მარჯვნივ). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

მაშინ მათი სკალარული ნამრავლი იქნება ზუსტად წყვილი პროდუქტების ჯამი:

\[\overrightarrow(a)\ჯერ \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y) )_(ბ))+((ზ)_(ა))\cdot ((ზ)_(ბ))\]

ძირითადად, როცა ხეები უფრო მწვანე იყო და ცა უფრო ნათელი, ჩვენ უბრალოდ ვამრავლებდით მწკრივის ვექტორს $\overrightarrow(a)$ სვეტის ვექტორზე $\overrightarrow(b)$.

დღეს არაფერი შეცვლილა. უბრალოდ, ახლა უფრო მეტია ამ მწკრივის და სვეტის ვექტორები.

მაგრამ საკმარისი თეორია! მოდით შევხედოთ რეალურ მაგალითებს. და დავიწყოთ უმარტივესი შემთხვევით - კვადრატული მატრიცებით.

კვადრატული მატრიცის გამრავლება

დავალება 1. გააკეთეთ გამრავლება:

\[\ მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(რ)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]\]

გამოსავალი. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს ორი მატრიცა: $A=\მარცხნივ[2\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$ და $B=\მარცხნივ[2\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$. ნათელია, რომ ისინი თანმიმდევრულია (იგივე ზომის კვადრატული მატრიცები ყოველთვის თანმიმდევრულია). ამიტომ ვასრულებთ გამრავლებას:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \ დასაწყისი(მასივი)(*(35)(რ)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \მარჯვნივ)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ დასასრული(მასივი)\მარჯვნივ]. \ბოლო (გასწორება)\]

ესე იგი!

პასუხი: $\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]$.

დავალება 2. გააკეთეთ გამრავლება:

\[\ მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \left[ \დაწყება(მატრიცა)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\]

გამოსავალი. ისევ თანმიმდევრული მატრიცები, ამიტომ ჩვენ ვასრულებთ შემდეგ მოქმედებებს:\[\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა)(*(35)( ) რ)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(რ)) 1\cdot 9+3\cdot \ მარცხენა(-3 \მარჯვნივ) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \მარჯვნივ) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \მარჯვნივ) \\\ბოლო(მატრიცა) \right]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ ] . \ბოლო (გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, შედეგი არის ნულებით სავსე მატრიცა

პასუხი: $\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]$.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითებიდან აშკარაა, რომ მატრიცის გამრავლება არც ისე რთული ოპერაციაა. მინიმუმ 2-ზე 2 კვადრატული მატრიცებისთვის.

გამოთვლების პროცესში შევადგინეთ შუალედური მატრიცა, სადაც პირდაპირ აღვწერეთ რომელი რიცხვები შედის ამა თუ იმ უჯრედში. ეს არის ზუსტად ის, რაც უნდა გააკეთოთ რეალური პრობლემების გადაჭრისას.

მატრიცული პროდუქტის ძირითადი თვისებები

მოკლედ. მატრიცის გამრავლება:

1. არაკომუტაციური: $A\cdot B\ne B\cdot A$ ზოგად შემთხვევაში. რა თქმა უნდა, არის სპეციალური მატრიცები, რომლებისთვისაც ტოლია $A\cdot B=B\cdot A$ (მაგალითად, თუ $B=E$ არის პირადობის მატრიცა), მაგრამ უმეტეს შემთხვევაში ეს არ მუშაობს. ;
2. ასოციაციურად: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. არ არსებობს ვარიანტები: მიმდებარე მატრიცები შეიძლება გამრავლდეს ისე, რომ არ ინერვიულოთ იმაზე, თუ რა არის ამ ორი მატრიცის მარცხნივ და მარჯვნივ.
3. დისტრიბუციულად: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ და $\left(A+B \მარჯვნივ)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (პროდუქტის არაკომუტატიურობის გამო, აუცილებელია ცალ-ცალკე მიუთითოთ მარჯვენა და მარცხენა განაწილება.

ახლა კი - ყველაფერი იგივეა, მაგრამ უფრო დეტალურად.

მატრიცული გამრავლება მრავალი თვალსაზრისით ჰგავს კლასიკურ რიცხვთა გამრავლებას. მაგრამ არის განსხვავებები, რომელთაგან ყველაზე მნიშვნელოვანია ის მატრიცული გამრავლება, ზოგადად, არაკომუტაციურია.

მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ მატრიცებს ამოცანის 1-დან. ჩვენ უკვე ვიცით მათი პირდაპირი პროდუქტი:

\[\ მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(რ)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]=\ მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\]

მაგრამ თუ მატრიცებს გავცვლით, სრულიად განსხვავებულ შედეგს მივიღებთ:

\[\ მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(რ)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ=\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\ბოლო (მატრიცა )\მარჯვნივ]\]

გამოდის, რომ $A\cdot B\ne B\cdot A$. გარდა ამისა, გამრავლების ოპერაცია განისაზღვრება მხოლოდ თანმიმდევრული მატრიცებისთვის $A=\left[m\ჯერ n \right]$ და $B=\left[n\ჯერ k \right]$, მაგრამ არავის აქვს გარანტია, რომ ისინი დარჩება თანმიმდევრული, თუ ისინი შეიცვლება. მაგალითად, მატრიცები $\left[ 2\ჯერ 3 \მარჯვნივ]$ და $\left[ 3\ჯერ 5 \მარჯვნივ]$ საკმაოდ თანმიმდევრულია მითითებული თანმიმდევრობით, მაგრამ იგივე მატრიცები $\left[ 3\ჯერ 5 \right] $ და $\left[ 2\ჯერ 3 \მარჯვნივ]$ დაწერილი საპირისპირო თანმიმდევრობით აღარ არის თანმიმდევრული. სამწუხაროა. :(

მოცემული ზომის $n$ კვადრატულ მატრიცებს შორის ყოველთვის იქნება ისეთები, რომლებიც ერთსა და იმავე შედეგს იძლევა როგორც პირდაპირი, ისე საპირისპირო თანმიმდევრობით გამრავლებისას. როგორ აღვწეროთ ყველა ასეთი მატრიცა (და რამდენია ზოგადად) ცალკე გაკვეთილის თემაა. ამაზე დღეს არ ვისაუბრებთ :)

თუმცა, მატრიცული გამრავლება ასოციაციურია:

\[\ მარცხენა (A\cdot B \მარჯვნივ)\cdot C=A\cdot \მარცხნივ(B\cdot C \მარჯვნივ)\]

ამიტომ, როცა საჭიროა რამდენიმე მატრიცის ზედიზედ გამრავლება, სულაც არ არის საჭირო ამის გაკეთება დაუყოვნებლივ: სავსებით შესაძლებელია, რომ ზოგიერთმა მიმდებარე მატრიცამ, გამრავლებისას, საინტერესო შედეგი გამოიღოს. მაგალითად, ნულოვანი მატრიცა, როგორც ზემოთ განხილულ პრობლემა 2-ში.

რეალურ პრობლემებში, ყველაზე ხშირად ჩვენ უნდა გავამრავლოთ $\left[n\ჯერ n \მარჯვნივ]$ ზომის კვადრატული მატრიცები. ყველა ასეთი მატრიცების სიმრავლე აღინიშნება $((M)^(n))$-ით (ანუ, ჩანაწერები $A=\left[n\ჯერ n \მარჯვნივ]$ და \ იგივეს ნიშნავს) და ეს იქნება აუცილებლად შეიცავდეს $E$ მატრიცას, რომელსაც იდენტობის მატრიცას უწოდებენ.

განმარტება. $n$ ზომის იდენტურობის მატრიცა არის $E$ მატრიცა ისეთი, რომ ნებისმიერი კვადრატული მატრიცისთვის $A=\left[n\ჯერ n \right]$ თანასწორობა მოქმედებს:

ასეთი მატრიცა ყოველთვის ერთნაირად გამოიყურება: მის მთავარ დიაგონალზე არის ერთეულები და ყველა სხვა უჯრედში ნულები.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \მარცხნივ(A+B \მარჯვნივ)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ თქვენ გჭირდებათ ერთი მატრიცის გამრავლება ორი სხვას ჯამზე, შეგიძლიათ გაამრავლოთ ის თითოეულ ამ „სხვა ორზე“ და შემდეგ დაამატოთ შედეგები. პრაქტიკაში, როგორც წესი, გვიწევს საპირისპირო ოპერაციის შესრულება: ჩვენ ვამჩნევთ ერთსა და იმავე მატრიცას, ამოვიღებთ მას ფრჩხილებიდან, ვასრულებთ შეკრებას და ამით ვამარტივებთ ჩვენს ცხოვრებას.

შენიშვნა: განაწილების აღსაწერად ორი ფორმულა უნდა დაგვეწერა: სად არის ჯამი მეორე ფაქტორში და სად არის ჯამი პირველში. ეს ხდება ზუსტად იმიტომ, რომ მატრიცული გამრავლება არაკომუტაციურია (და საერთოდ, არაკომუტაციური ალგებრაში არის ბევრი სახალისო რამ, რაც არც კი მახსენდება ჩვეულებრივ ციფრებთან მუშაობისას). და თუ, მაგალითად, ეს თვისება გამოცდაზე დაგჭირდებათ, მაშინ აუცილებლად დაწერეთ ორივე ფორმულა, წინააღმდეგ შემთხვევაში მასწავლებელი შეიძლება ცოტათი გაბრაზდეს.

კარგი, ეს ყველაფერი იყო ზღაპრები კვადრატულ მატრიცებზე. რაც შეეხება მართკუთხას?

მართკუთხა მატრიცების შემთხვევა

მაგრამ არაფერი - ყველაფერი იგივეა, რაც კვადრატულებთან.

დავალება 3. გააკეთეთ გამრავლება:

\[\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (მატრიცა) \ დასაწყისი (მატრიცა) 5 \\ 2 \\ 3 \\\ ბოლოს (მატრიცა) & \ დასაწყისი (მატრიცა) 4 \\ 5 \\ 1 \\\ დასასრული (მატრიცა) \ \\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\]

გამოსავალი. გვაქვს ორი მატრიცა: $A=\მარცხნივ[ 3\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$ და $B=\მარცხნივ[2\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$. მოდით ჩამოვწეროთ რიცხვები, რომლებიც მიუთითებს ზომებზე ზედიზედ:

როგორც ხედავთ, ცენტრალური ორი რიცხვი ერთმანეთს ემთხვევა. ეს ნიშნავს, რომ მატრიცები თანმიმდევრულია და შეიძლება გამრავლდეს. უფრო მეტიც, გამოსავალზე ვიღებთ მატრიცას $C=\left[3\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) \დაწყება(მატრიცა) 5 \\ 2 \\ 3 \\\ბოლო (მატრიცა) & \ დასაწყისი (მატრიცა) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(მატრიცა) \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\ბოლო (მაივი) \right]=\left[ \begin(მაივი)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \მარჯვნივ)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \მარჯვნივ)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end (მასივი) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]. \ბოლო (გასწორება)\]

ყველაფერი ნათელია: საბოლოო მატრიცას აქვს 3 სტრიქონი და 2 სვეტი. საკმაოდ $=\მარცხნივ[ 3\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$.

პასუხი: $\ მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(რ)) \ დასაწყისი(მასივი)(*(35)(რ)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\ბოლო(მასივი) & \ დასაწყისი (მატრიცა) 41 \\ 30 \\ 19 \\\ბოლო (მატრიცა) \\\ ბოლოს (მატრიცა) \მარჯვნივ]$.

ახლა მოდით შევხედოთ ერთ-ერთ საუკეთესო სასწავლო ამოცანას მათთვის, ვინც ახლახან იწყებს მუშაობას მატრიცებთან. მასში საჭიროა არა მხოლოდ ორი ტაბლეტის გამრავლება, არამედ ჯერ განსაზღვრა: დასაშვებია თუ არა ასეთი გამრავლება?

ამოცანა 4. იპოვეთ მატრიცების ყველა შესაძლო წყვილი ნამრავლი:

\\]; $B=\left[ \begin(მატრიცა) \begin(მატრიცა) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end (მატრიცა) & \begin(მატრიცა) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\ბოლო(მატრიცა) \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end (მატრიცა) \მარჯვნივ]$.

გამოსავალი. პირველ რიგში, მოდით დავწეროთ მატრიცების ზომები:

\;\ B=\მარცხნივ[4\ჯერ 2 \მარჯვნივ];\ C=\მარცხნივ[2\ჯერ 2 \მარჯვნივ]\]

ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ $A$ მატრიცა შეიძლება მხოლოდ $B$ მატრიცასთან შეჯერდეს, ვინაიდან $A$-ის სვეტების რაოდენობა არის 4 და მხოლოდ $B$-ს აქვს მწკრივების ეს რაოდენობა. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ პროდუქტი:

\\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]=\ მარცხენა[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\]

მკითხველს ვთავაზობ, შუალედური საფეხურები დამოუკიდებლად დაასრულოს. მე მხოლოდ აღვნიშნავ, რომ უმჯობესია წინასწარ განვსაზღვროთ მიღებული მატრიცის ზომა, თუნდაც რაიმე გამოთვლამდე:

\\cdot \მარცხნივ[4\ჯერ 2 \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[2\ჯერ 2 \მარჯვნივ]\]

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ უბრალოდ ვხსნით „ტრანზიტის“ კოეფიციენტებს, რომლებიც უზრუნველყოფდნენ მატრიცების თანმიმდევრულობას.

რა სხვა ვარიანტებია შესაძლებელი? რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ იპოვოთ $B\cdot A$, რადგან $B=\left[4\ჯერ 2 \მარჯვნივ]$, $A=\მარცხნივ[2\ჯერ 4 \მარჯვნივ]$, ასე რომ შეკვეთილი წყვილი $\ მარცხენა(B ;A \right)$ თანმიმდევრულია და პროდუქტის განზომილება იქნება:

\\cdot \მარცხნივ[ 2\ჯერ 4 \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[4\ჯერ 4 \მარჯვნივ]\]

მოკლედ, გამომავალი იქნება $\left[ 4\ჯერ 4 \მარჯვნივ]$ მატრიცა, რომლის კოეფიციენტები ადვილად გამოითვლება:

\\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]=\ მარცხენა[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\]

ცხადია, თქვენ ასევე შეგიძლიათ დაეთანხმოთ $C\cdot A$ და $B\cdot C$ - და ეს არის ის. ამიტომ, ჩვენ უბრალოდ ვწერთ შედეგად პროდუქტებს:

ადვილი იყო :)

პასუხი: $AB=\left[ \begin(მასივი)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(მაივი) \right]$; $BA=\left[ \begin(მასივი)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]$; $CA=\left[ \begin(მასივი)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(მაივი) \მარჯვნივ]$; $BC=\left[ \begin(მასივი)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end (მასივი) \მარჯვნივ]$.

ზოგადად, გირჩევთ ამ ამოცანის შესრულებას საკუთარ თავს. და კიდევ ერთი მსგავსი დავალება, რომელიც არის საშინაო დავალება. ეს ერთი შეხედვით მარტივი აზრები დაგეხმარებათ ივარჯიშოთ მატრიცის გამრავლების ყველა საკვანძო საფეხურზე.

მაგრამ ამბავი ამით არ მთავრდება. გადავიდეთ გამრავლების განსაკუთრებულ შემთხვევებზე :)

მწკრივის ვექტორები და სვეტების ვექტორები

მატრიცის ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული ოპერაციაა გამრავლება მატრიცით, რომელსაც აქვს ერთი მწკრივი ან ერთი სვეტი.

განმარტება. სვეტის ვექტორი არის $\left[m\ჯერ 1 \მარჯვნივ]$ ზომის მატრიცა, ე.ი. შედგება რამდენიმე მწკრივისაგან და მხოლოდ ერთი სვეტისაგან.

მწკრივის ვექტორი არის $\left[ 1\ჯერ n \მარჯვნივ]$ ზომის მატრიცა, ე.ი. შედგება ერთი რიგისა და რამდენიმე სვეტისგან.

სინამდვილეში, ჩვენ უკვე შევხვდით ამ ობიექტებს. მაგალითად, ჩვეულებრივი სამგანზომილებიანი ვექტორი $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ სტერეომეტრიიდან სხვა არაფერია, თუ არა მწკრივის ვექტორი. თეორიული თვალსაზრისით, სტრიქონებსა და სვეტებს შორის განსხვავება თითქმის არ არის. თქვენ მხოლოდ სიფრთხილე გმართებთ გარემომცველი მულტიპლიკატორის მატრიცებთან კოორდინაციისას.

დავალება 5. გააკეთეთ გამრავლება:

\[\მარცხენა[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ] \cdot \left[ \begin(მასივი)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\]

გამოსავალი. აქ გვაქვს შესატყვისი მატრიცების ნამრავლი: $\left[3\ჯერ 3 \right]\cdot \left[3\ჯერ 1 \right]=\მარცხნივ[3\ჯერ 1 \მარჯვნივ]$. მოდი ვიპოვოთ ეს ნაჭერი:

\[\მარცხენა[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ] \cdot \left[ \begin(მაივი)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end (მაივი) \right]=\ მარცხენა[ \begin(მაივი)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \მარჯვნივ)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \მარჯვნივ) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end (მასივი) \right]=\left[ \begin(მასივი)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]\]

პასუხი: $\left[ \begin(მაივი)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(მაივი) \მარჯვნივ]$.

დავალება 6. გააკეთეთ გამრავლება:

\[\ მარცხენა[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35) (რ)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]\]

გამოსავალი. ისევ ყველაფერი შეთანხმებულია: $\მარცხნივ[ 1\ჯერ 3 \მარჯვნივ]\cdot \left[ 3\ჯერ 3 \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[ 1\ჯერ 3 \მარჯვნივ]$. ჩვენ ვითვლით პროდუქტს:

\[\ მარცხენა[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35) (რ)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)( ) რ))5 & -19 & 5 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]\]

პასუხი: $\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 5 & -19 & 5 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]$.

როგორც ხედავთ, როდესაც ჩვენ ვამრავლებთ მწკრივის ვექტორს და სვეტის ვექტორს კვადრატულ მატრიცზე, გამომავალი ყოველთვის იძლევა იმავე ზომის მწკრივს ან სვეტს. ამ ფაქტს მრავალი გამოყენება აქვს - წრფივი განტოლებების ამოხსნიდან ყველა სახის კოორდინატთა გარდაქმნამდე (რომელიც საბოლოოდ ასევე მოდის განტოლებათა სისტემებამდე, მაგრამ მოდი სამწუხარო რამეებზე არ ვისაუბროთ).

მგონი აქ ყველაფერი აშკარა იყო. გადავიდეთ დღევანდელი გაკვეთილის ბოლო ნაწილზე.

მატრიცის ექსპონენტაცია

ყველა გამრავლების ოპერაციებს შორის განსაკუთრებული ყურადღება იმსახურებს გაძლიერებას - ეს არის მაშინ, როდესაც ჩვენ ვამრავლებთ ერთსა და იმავე ობიექტს თავისთავად რამდენჯერმე. მატრიცები არ არის გამონაკლისი;

ასეთი სამუშაოები ყოველთვის შეთანხმებულია:

\\cdot \left[n\ჯერ n \მარჯვნივ]=\მარცხნივ[n\ჯერ n \მარჯვნივ]\]

და ისინი მითითებულია ზუსტად ისე, როგორც ჩვეულებრივი ხარისხები:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \ბოლო (გასწორება)\]

ერთი შეხედვით ყველაფერი მარტივია. ვნახოთ, როგორ გამოიყურება ეს პრაქტიკაში:

დავალება 7. აწიეთ მატრიცა მითითებულ სიმძლავრემდე:

$((\ მარცხენა[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))$

გამოსავალი. კარგი, ავაშენოთ. ჯერ გავასწოროთ კვადრატში:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(2))=\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხენა[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ] \ბოლო(გასწორება)\]

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))=((\მარცხნივ[ \დაწყება (მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო( მატრიცა) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(რ)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა)(*(35)(რ)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მასივი) \მარჯვნივ] \ბოლო(გასწორება)\]

სულ ესაა :)

პასუხი: $\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]$.

ამოცანა 8. აწიეთ მატრიცა მითითებულ სიმძლავრემდე:

\[((\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(10))\]

გამოსავალი. უბრალოდ არ იტირო იმაზე, რომ "დიპლომი ძალიან დიდია", "სამყარო არ არის სამართლიანი" და "მასწავლებლებმა მთლიანად დაკარგეს ნაპირები". სინამდვილეში ადვილია:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\ მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(10))=((\მარცხნივ[ \დაწყება (მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))\cdot ((\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ დასასრული(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))\cdot ((\მარცხნივ[\დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))\ cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ(\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ)\cdot \მარცხნივ(\მარცხნივ[ \ დასაწყისი (მატრიცა) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ ] \მარჯვნივ)= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 და 6 \\ 0 & 1 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ] \ბოლო (გასწორება)\ ]

გაითვალისწინეთ, რომ მეორე სტრიქონში გამოვიყენეთ გამრავლების ასოციაციურობა. სინამდვილეში, ჩვენ ვიყენებდით მას წინა ამოცანაში, მაგრამ ეს იყო ნაგულისხმევი.

პასუხი: $\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]$.

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული მატრიცის ძალამდე აყვანაში. ბოლო მაგალითი შეიძლება შეჯამდეს:

\[((\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(n))=\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\ ბოლოს (მასივი) \მარჯვნივ]\]

ეს ფაქტი ადვილი დასამტკიცებელია მათემატიკური ინდუქციის ან პირდაპირი გამრავლების გზით. თუმცა, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი ასეთი შაბლონების დაჭერა ძალაზე ამაღლებისას. ამიტომ, ფრთხილად იყავით: ხშირად რამდენიმე მატრიცის "შემთხვევით" გამრავლება უფრო ადვილი და სწრაფია, ვიდრე რაიმე სახის შაბლონების ძებნა.

ზოგადად, ნუ ეძებთ უფრო მაღალ მნიშვნელობას, სადაც არ არის. დასასრულს, განვიხილოთ უფრო დიდი მატრიცის სიძლიერე - $\მარცხნივ[3\ჯერ 3 \მარჯვნივ]$.

ამოცანა 9. აწიეთ მატრიცა მითითებულ სიმძლავრემდე:

\[((\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))\]

გამოსავალი. მოდი ნუ ვეძებთ შაბლონებს. ჩვენ ვმუშაობთ წინ:

\[((\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(3))=(( \left[ \begin(მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(მატრიცა) \მარჯვნივ])^(2))\cdot \ მარცხნივ[ \დაწყება (მატრიცა)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ ბოლოს (მატრიცა) \\ მარჯვენა]\]

პირველ რიგში, მოდით გავამრავლოთ ეს მატრიცა:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ])^( 2))=\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]\cdot \მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ბოლო(მატრიცა) \მარჯვნივ]= \\ & =\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ ბოლოს (მასივი) \მარჯვნივ] \ბოლო (გასწორება)\]

ახლა მოდით კუბური გავხადოთ:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ])^( 3))=\მარცხნივ[ \დაწყება(მასივი)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ] \cdot \left[ \დაწყება(მატრიცა) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ]= \\ & =\ მარცხნივ[ \დაწყება( მასივი)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\ ბოლოს (მასივი) \მარჯვნივ] \ბოლო (გასწორება)\]

ესე იგი. პრობლემა მოგვარებულია.

პასუხი: $\მარცხნივ[ \დაწყება(მატრიცა) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\ბოლო (მატრიცა) \მარჯვნივ]$.

როგორც ხედავთ, გამოთვლების მოცულობა უფრო დიდი გახდა, მაგრამ მნიშვნელობა საერთოდ არ შეცვლილა.

ამით მთავრდება გაკვეთილი. შემდეგ ჯერზე განვიხილავთ შებრუნებულ ოპერაციას: არსებული პროდუქტის გამოყენებით ვეძებთ ორიგინალურ ფაქტორებს.

როგორც უკვე მიხვდით, ჩვენ ვისაუბრებთ შებრუნებულ მატრიცაზე და მის პოვნის მეთოდებზე.

მატრიცის დამატება:

მატრიცების გამოკლება და დამატებაამცირებს მათ ელემენტებზე შესაბამის ოპერაციებს. მატრიცის დამატების ოპერაციაშევიდა მხოლოდ მატრიცებიიგივე ზომა, ანუ ამისთვის მატრიცები, რომელშიც მწკრივების და სვეტების რაოდენობა შესაბამისად ტოლია. მატრიცების ჯამი A და B ეწოდება მატრიცა C, რომლის ელემენტებიც შესაბამისი ელემენტების ჯამის ტოლია. C = A + B c ij = a ij + b ij განსაზღვრულია ანალოგიურად მატრიცის განსხვავება.

მატრიცის გამრავლება რიცხვზე:

მატრიცის გამრავლების (გაყოფის) ოპერაციანებისმიერი ზომის თვითნებური რიცხვით მცირდება თითოეული ელემენტის გამრავლება (გაყოფა). მატრიცებიამ ნომრისთვის. მატრიცული პროდუქტიდა რიცხვი k ეწოდება მატრიცა B, ისეთი, რომ

b ij = k × a ij . B = k × A b ij = k × a ij . მატრიცა- A = (-1) × A ეწოდება საპირისპირო მატრიცაა.

მატრიცების დამატებისა და მატრიცის რიცხვზე გამრავლების თვისებები:

მატრიცის დამატების ოპერაციებიდა მატრიცის გამრავლებათითო რიცხვს აქვს შემდეგი თვისებები: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5. 1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , სადაც A, B და C არის მატრიცები, α და β არის რიცხვები.

მატრიცის გამრავლება (მატრიცული ნამრავლი):

ორი მატრიცის გამრავლების ოპერაციაშეიტანება მხოლოდ იმ შემთხვევისთვის, როდესაც პირველის სვეტების რაოდენობა მატრიცებიუდრის წამის ხაზების რაოდენობას მატრიცები. მატრიცული პროდუქტიდა m×n ჩართულია მატრიცა n×p-ში, ე.წ მატრიცა m×p-ით ისეთი, რომ ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a × b nk-ში, ანუ იპოვება i-ე რიგის ელემენტების ნამრავლების ჯამი. მატრიცებიდა j-ე სვეტის შესაბამის ელემენტებს მატრიცები B. თუ მატრიცები A და B არის იგივე ზომის კვადრატები, მაშინ AB და BA პროდუქტები ყოველთვის არსებობს. ადვილია იმის ჩვენება, რომ A × E = E × A = A, სადაც A არის კვადრატი მატრიცა, E - ერთეული მატრიცაიგივე ზომა.

მატრიცის გამრავლების თვისებები:

მატრიცული გამრავლებაარა კომუტაციური, ე.ი. AB ≠ BA მაშინაც კი, თუ ორივე პროდუქტი განსაზღვრულია. თუმცა, თუ რომელიმესთვის მატრიცებიურთიერთობა AB=BA დაკმაყოფილებულია, მაშინ ასეთი მატრიცებიკომუტაციური ეწოდება. ყველაზე ტიპიური მაგალითია ერთი მატრიცა, რომელიც მოგზაურობს ნებისმიერ სხვასთან მატრიცაიგივე ზომა. მხოლოდ ოთხკუთხედები შეიძლება იყოს ცვალებადი მატრიცებიიმავე რიგის. A × E = E × A = A

მატრიცული გამრავლებააქვს შემდეგი თვისებები: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;

2. მე-2 და მე-3 რიგის განმსაზღვრელი. დეტერმინანტების თვისებები.

მატრიცის განმსაზღვრელიმეორე შეკვეთა, ან განმსაზღვრელიმეორე რიგი არის რიცხვი, რომელიც გამოითვლება ფორმულით:

მატრიცის განმსაზღვრელიმესამე რიგის, ან განმსაზღვრელიმესამე რიგი არის რიცხვი, რომელიც გამოითვლება ფორმულით:

ეს რიცხვი წარმოადგენს ალგებრულ ჯამს, რომელიც შედგება ექვსი წევრისაგან. თითოეული ტერმინი შეიცავს ზუსტად ერთ ელემენტს თითოეული მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან მატრიცები. თითოეული ტერმინი შედგება სამი ფაქტორის პროდუქტისგან.

ნიშნები რომელ წევრებთან ერთად მატრიცის განმსაზღვრელიშედის ფორმულაში მატრიცის დეტერმინანტის პოვნამესამე რიგის დადგენა შესაძლებელია მოცემული სქემის გამოყენებით, რომელსაც ეწოდება სამკუთხედების წესი ან სარრუსის წესი. პირველი სამი წევრი აღებულია პლუს ნიშნით და განისაზღვრება მარცხენა ფიგურიდან, ხოლო შემდეგი სამი წევრი აღებულია მინუს ნიშნით და განისაზღვრება მარჯვენა ფიგურიდან.

განსაზღვრეთ მოსაძებნი ტერმინების რაოდენობა მატრიცის განმსაზღვრელი, ალგებრულ ჯამში შეგიძლიათ გამოთვალოთ ფაქტორიალი: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

მატრიცის დეტერმინანტების თვისებები

მატრიცის დეტერმინანტების თვისებები:

ქონება #1:

მატრიცის განმსაზღვრელიარ შეიცვლება, თუ მისი სტრიქონები შეიცვლება სვეტებით, თითოეული მწკრივი სვეტით იმავე ნომრით და პირიქით (ტრანსპოზიცია). |ა| = |A| თ

შედეგი:

სვეტები და რიგები მატრიცის განმსაზღვრელითანაბარია, შესაბამისად, სტრიქონების თანდაყოლილი თვისებები ასევე შესრულებულია სვეტებისთვის.

ქონება #2:

2 მწკრივის ან სვეტის გადაწყობისას მატრიცის განმსაზღვრელიშეცვლის ნიშანს საპირისპიროზე, შეინარჩუნებს აბსოლუტურ მნიშვნელობას, ანუ:

ქონება #3:

მატრიცის განმსაზღვრელიორი იდენტური მწკრივის მქონე ნულის ტოლია.

ქონება #4:

ნებისმიერი სერიის ელემენტების საერთო ფაქტორი მატრიცის განმსაზღვრელიშეიძლება ჩაითვალოს ნიშნად განმსაზღვრელი.

დასკვნა No3 და No4 ქონებისგან:

თუ გარკვეული სერიის ყველა ელემენტი (სტრიქონი ან სვეტი) პროპორციულია პარალელური სერიის შესაბამისი ელემენტების, მაშინ ასეთი მატრიცის განმსაზღვრელინულის ტოლი.

ქონება #5:

მატრიცის განმსაზღვრელინულის ტოლია მაშინ მატრიცის განმსაზღვრელინულის ტოლი.

ქონება #6:

თუ მწკრივის ან სვეტის ყველა ელემენტი განმსაზღვრელიწარმოდგენილია როგორც 2 წევრის ჯამი, მაშინ განმსაზღვრელი მატრიცებიშეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 2-ის ჯამი განმსაზღვრელიფორმულის მიხედვით:

ქონება #7:

თუ რომელიმე მწკრივს (ან სვეტს) განმსაზღვრელიდაამატეთ სხვა რიგის (ან სვეტის) შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული იმავე რიცხვით, შემდეგ მატრიცის განმსაზღვრელიარ შეცვლის მის ღირებულებას.

გამოთვლებისთვის თვისებების გამოყენების მაგალითი მატრიცის განმსაზღვრელი: