ისწავლეთ ფუნქციების წარმოებულების აღება.წარმოებული ახასიათებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს ამ ფუნქციის გრაფიკზე მდებარე გარკვეულ წერტილში. IN ამ შემთხვევაშიგრაფიკი შეიძლება იყოს სწორი ან მრუდი ხაზი. ანუ წარმოებული ახასიათებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს დროის კონკრეტულ მომენტში. გახსოვდეთ ძირითადი წესები, რომლითაც მიიღება წარმოებულები და მხოლოდ ამის შემდეგ გადადით შემდეგ ეტაპზე.

• წაიკითხეთ სტატია.
• აღწერილია როგორ ავიღოთ უმარტივესი წარმოებულები, მაგალითად, ექსპონენციალური განტოლების წარმოებული. შემდეგ ნაბიჯებში წარმოდგენილი გამოთვლები დაეფუძნება მასში აღწერილ მეთოდებს.

ისწავლეთ ამოცანების გარჩევა, რომლებშიც დახრილობა უნდა გამოითვალოს ფუნქციის წარმოებულის მეშვეობით.პრობლემები ყოველთვის არ გთხოვენ იპოვოთ ფუნქციის დახრილობა ან წარმოებული. მაგალითად, შეიძლება მოგეთხოვოთ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარის პოვნა A(x,y) წერტილში. თქვენ ასევე შეიძლება გთხოვოთ იპოვოთ ტანგენსის დახრილობა A(x,y) წერტილში. ორივე შემთხვევაში აუცილებელია ფუნქციის წარმოებულის აღება.

აიღეთ თქვენთვის მოცემული ფუნქციის წარმოებული.აქ არ არის საჭირო გრაფიკის აგება - საჭიროა მხოლოდ ფუნქციის განტოლება. ჩვენს მაგალითში აიღეთ ფუნქციის წარმოებული. აიღეთ წარმოებული ზემოთ აღნიშნულ სტატიაში აღწერილი მეთოდების მიხედვით:

• წარმოებული:

შეცვალეთ თქვენთვის მოცემული წერტილის კოორდინატები მოძიებულ წარმოებულში, რათა გამოთვალოთ დახრილობა.ფუნქციის წარმოებული უდრის დახრილობას გარკვეულ წერტილში. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, f"(x) არის ფუნქციის დახრილობა ნებისმიერ წერტილში (x,f(x)). ჩვენს მაგალითში:

• იპოვეთ ფუნქციის დახრილობა f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) A(4,2) წერტილში.
• ფუნქციის წარმოებული:
  • f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
• ჩაანაცვლეთ ამ წერტილის "x" კოორდინატის მნიშვნელობა:
  • f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
• იპოვნეთ ფერდობი:
• ფერდობის ფუნქცია f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) A(4,2) წერტილში უდრის 22-ს.

თუ შესაძლებელია, შეამოწმეთ თქვენი პასუხი გრაფიკზე.გახსოვდეთ, რომ დახრილობა არ შეიძლება გამოითვალოს ყველა წერტილში. დიფერენციალური გაანგარიშებაგანიხილავს რთული ფუნქციებიდა რთული გრაფიკები, სადაც დახრილობა არ შეიძლება გამოითვალოს ყველა წერტილში და ზოგ შემთხვევაში წერტილები საერთოდ არ დევს გრაფიკებზე. თუ შესაძლებელია, გამოიყენეთ გრაფიკული კალკულატორი, რათა შეამოწმოთ თქვენთვის მოცემული ფუნქციის დახრილობა სწორია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, დახაზეთ გრაფიკის ტანგენსი თქვენთვის მოცემულ წერტილში და დაფიქრდით, ემთხვევა თუ არა თქვენს მიერ ნაპოვნი დახრილობის მნიშვნელობა იმას, რასაც ხედავთ გრაფიკზე.

• ტანგენტს ექნება იგივე დახრილობა, რაც ფუნქციის გრაფიკს გარკვეულ წერტილში. მოცემულ წერტილში ტანგენტის დასახატად, გადაიტანეთ მარცხნივ/მარჯვნივ X ღერძზე (ჩვენს მაგალითში 22 მნიშვნელობა მარჯვნივ), შემდეგ კი ზემოთ მონიშნეთ წერტილი Y ღერძზე მოწოდებული წერტილი. ჩვენს მაგალითში დააკავშირეთ წერტილები კოორდინატებთან (4,2) და (26,3).

მომსახურების მიზანი. სერვისი შექმნილია რიცხვების ერთი რიცხვითი სისტემიდან მეორეში გადასაყვანად ონლაინ რეჟიმი. ამისათვის აირჩიეთ სისტემის საფუძველი, საიდანაც გსურთ ნომრის კონვერტაცია. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ როგორც მთელი, ასევე რიცხვები მძიმეებით.

ნომერი

კონვერტაცია 10 2 8 16 რიცხვითი სისტემიდან. გადაიყვანეთ 2 10 8 16 რიცხვების სისტემაზე.
წილადი რიცხვებისთვის გამოიყენეთ 2 3 4 5 6 7 8 ათობითი ადგილები.

თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ როგორც მთელი რიცხვები, მაგალითად 34, ასევე წილადი რიცხვები, მაგალითად, 637.333. წილადი რიცხვებისთვის მითითებულია ათწილადის შემდეგ თარგმანის სიზუსტე.

ამ კალკულატორთან ერთად ასევე გამოიყენება შემდეგი:

რიცხვების წარმოდგენის გზები

ორობითი (ორობითი) რიცხვები - თითოეული ციფრი ნიშნავს ერთი ბიტის მნიშვნელობას (0 ან 1), ყველაზე მნიშვნელოვანი ბიტი ყოველთვის იწერება მარცხნივ, ასო "b" მოთავსებულია რიცხვის შემდეგ. აღქმის გასაადვილებლად, ნოუთბუქები შეიძლება განცალკევდეს სივრცეებით. მაგალითად, 1010 0101b.
თექვსმეტობითი (თექვსმეტობითი) რიცხვები - თითოეული ტეტრადი წარმოდგენილია ერთი სიმბოლოთი 0...9, A, B, ..., F ციფრი. მაგალითად, A5h. პროგრამის ტექსტებში, იგივე რიცხვი შეიძლება დაინიშნოს როგორც 0xA5 ან 0A5h, პროგრამირების ენის სინტაქსიდან გამომდინარე. ყველაზე მნიშვნელოვანი თექვსმეტობითი ციფრის მარცხნივ, რომელიც წარმოდგენილია ასოთი, ემატება წინა ნული (0), რათა განასხვავოს რიცხვები და სიმბოლური სახელები.
ათწილადი (ათწილადი) რიცხვები - თითოეული ბაიტი (სიტყვა, ორმაგი სიტყვა) წარმოდგენილია რეგულარული რიცხვით და ნიშანი ათობითი წარმოდგენა(ასო "დ") ჩვეულებრივ გამოტოვებულია. წინა მაგალითებში ბაიტს აქვს ათობითი მნიშვნელობა 165. ორობითი და თექვსმეტობითი აღნიშვნებისაგან განსხვავებით, ათობითი ძნელია გონებრივად განსაზღვროს თითოეული ბიტის მნიშვნელობა, რაც ზოგჯერ აუცილებელია.
ოქტალური (ოქტალური) რიცხვები - ბიტების ყოველი სამმაგი (დაყოფა იწყება ყველაზე ნაკლებად მნიშვნელოვანიდან) იწერება როგორც რიცხვი 0–7, ბოლოში “o”. იგივე რიცხვი დაიწერება როგორც 245o. რვაფეხა სისტემა მოუხერხებელია, რადგან ბაიტი თანაბრად ვერ გაიყოფა.

რიცხვების ერთი რიცხვითი სისტემიდან მეორეში გადაყვანის ალგორითმი

მთელი რიცხვების თარგმნა ათობითი რიცხვებინებისმიერი სხვა რიცხვითი სისტემა ხორციელდება რიცხვის ფუძეზე გაყოფით ახალი სისტემანუმერაცია მანამ, სანამ დარჩენილი რიცხვი არ დარჩება ახალი რიცხვითი სისტემის ფუძეზე მცირე რიცხვად. ახალი რიცხვი იწერება გაყოფის ნაშთების სახით, ბოლოდან დაწყებული.
ჩვეულებრივი ათობითი წილადის სხვა PSS-ად გადაქცევა ხორციელდება რიცხვის მხოლოდ წილადი ნაწილის გამრავლებით ახალი რიცხვითი სისტემის ბაზაზე, სანამ ყველა ნული დარჩება წილადის ნაწილში ან სანამ არ მიიღწევა მითითებული თარგმანის სიზუსტე. ყოველი გამრავლების მოქმედების შედეგად წარმოიქმნება ახალი რიცხვის ერთი ციფრი, დაწყებული უმაღლესით.
წილადების არასწორი თარგმნა ხორციელდება 1 და 2 წესების მიხედვით. მთელი და წილადი ნაწილები იწერება ერთად, გამოყოფილი მძიმით.

მაგალითი No1.



კონვერტაცია 2-დან 8-მდე 16 რიცხვების სისტემაში.
ეს სისტემები არის ორის ჯერადი, ამიტომ თარგმანი ხორციელდება კორესპონდენციის ცხრილის გამოყენებით (იხ. ქვემოთ).

ორობითი რიცხვების სისტემიდან რიცხვის რვადიანად გადაქცევისთვის (თექვსმეტობითი), თქვენ უნდა გაყოთ ათობითი წერტილი მარჯვნივ და მარცხნივ. ბინარული რიცხვისამ (ოთხი თექვსმეტობითი) ციფრის ჯგუფებად, საჭიროების შემთხვევაში ავსებენ გარე ჯგუფებს ნულებით. თითოეული ჯგუფი იცვლება შესაბამისი რვადი ან თექვსმეტობითი ციფრით.

მაგალითი No2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
აქ 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

თექვსმეტობით სისტემაში გადაყვანისას, თქვენ უნდა დაყოთ რიცხვი ოთხნიშნა ნაწილებად, იგივე წესების დაცვით.
მაგალითი No3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
აქ 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

რიცხვების 2, 8 და 16-დან ათობითი სისტემაში გადაქცევა ხორციელდება რიცხვის ცალკეულ რიცხვებად დაყოფით და მისი გამრავლებით სისტემის ფუძეზე (საიდანაც რიცხვი ითარგმნება) ამაღლებული მისი სერიული ნომრის შესაბამის სიმძლავრეზე. რიცხვი, რომელიც გარდაიქმნება. ამ შემთხვევაში რიცხვები ინომრება ათობითი წერტილის მარცხნივ (პირველი რიცხვი დანომრილია 0) გაზრდის თანმიმდევრობით და მარჯვენა მხარეკლებით (ანუ უარყოფითი ნიშნით). მიღებული შედეგები ემატება.

მაგალითი No4.
ორობითი რიცხვების ათწილადში გადაყვანის მაგალითი.

1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 რვავიანი რიცხვების ათწილადში გადაყვანის მაგალითი. 108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 თექვსმეტობითი რიცხვითი სისტემიდან გადაყვანის მაგალითი. 108.5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10

კიდევ ერთხელ ვიმეორებთ რიცხვების ერთი რიცხვითი სისტემიდან მეორე PSS-ზე გადაყვანის ალგორითმს

1. ათობითი რიცხვების სისტემიდან:
   • რიცხვის გაყოფა თარგმნილი რიცხვითი სისტემის საფუძვლებზე;
   • ნაშთის პოვნა რიცხვის მთელი ნაწილის გაყოფისას;
   • ჩაწერეთ ყველა ნაშთი გაყოფიდან საპირისპირო თანმიმდევრობით;
2. ბინარული რიცხვების სისტემიდან
   • ათობითი რიცხვების სისტემაში გადასაყვანად აუცილებელია 2 ფუძის ნამრავლების ჯამის პოვნა ციფრის შესაბამისი ხარისხით;
   • რიცხვის რვადში გადასაყვანად, თქვენ უნდა დაყოთ რიცხვი ტრიადებად.
     მაგალითად, 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • რიცხვის ბინარულიდან თექვსმეტობით რიცხვში გადასაყვანად, თქვენ უნდა დაყოთ რიცხვი 4 ციფრიან ჯგუფებად.
     მაგალითად, 1000110 = 100 0110 = 46 16

სისტემას პოზიციური ეწოდება, რომლისთვისაც ციფრის მნიშვნელობა ან წონა დამოკიდებულია მის მდებარეობაზე რიცხვში. სისტემებს შორის ურთიერთობა გამოიხატება ცხრილში.
რიცხვთა სისტემის მიმოწერის ცხრილი:

ორობითი SS	თექვსმეტობითი SS
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	ა
1011	ბ
1100	C
1101	დ
1110	ე
1111	ფ

ცხრილი რვა რიცხვების სისტემაში გადასაყვანად

შედეგი უკვე მიღებულია!

რიცხვითი სისტემები

არსებობს პოზიციური და არაპოზიციური რიცხვითი სისტემები. არაბული რიცხვების სისტემა, რომელშიც ჩვენ ვიყენებთ Ყოველდღიური ცხოვრების, არის პოზიციური, მაგრამ რომანი არა. IN პოზიციური სისტემებიაღნიშვნით, რიცხვის პოზიცია ცალსახად განსაზღვრავს რიცხვის ზომას. მოდით განვიხილოთ ეს 6372 რიცხვის მაგალითის გამოყენებით ათობითი რიცხვების სისტემაში. ნულიდან ნულიდან დავნომროთ ეს რიცხვი მარჯვნიდან მარცხნივ:

მაშინ რიცხვი 6372 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

რიცხვი 10 განსაზღვრავს რიცხვთა სისტემას (ამ შემთხვევაში ეს არის 10). მოცემული რიცხვის პოზიციის მნიშვნელობები მიიღება უფლებამოსილებად.

განვიხილოთ ნამდვილი ათობითი რიცხვი 1287.923. მოდით დავთვალოთ იგი რიცხვის ნულიდან ათწილადის წერტილიდან მარცხნივ და მარჯვნივ:

მაშინ რიცხვი 1287.923 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.

IN ზოგადი შემთხვევაფორმულა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

C n ს n +C n-1 · ს n-1 +...+C 1 · ს 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

სადაც C n არის პოზიციის მთელი რიცხვი ნ, დ -კ - წილადი რიცხვიპოზიციაზე (-k), ს- რიცხვების სისტემა.

რამდენიმე სიტყვა რიცხვითი სისტემების შესახებ ათობითი სისტემარიცხვითი სისტემა შედგება მრავალი ციფრისგან (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), რვა რიცხვების სისტემაში - მრავალი ციფრისგან (0,1,2,3,4,5, 6, 7), ბინარული რიცხვების სისტემაში - ციფრების სიმრავლიდან (0,1), in თექვსმეტობითი სისტემააღნიშვნა - რიცხვების სიმრავლიდან (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), სადაც A,B,C,D, E, F შეესაბამება 10,11,12,13,14,15 რიცხვებს.

ცხრილი 1
აღნიშვნა
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	ა
11	1011	13	ბ
12	1100	14	C
13	1101	15	დ
14	1110	16	ე
15	1111	17	ფ

რიცხვების გადაყვანა ერთი რიცხვითი სისტემიდან მეორეზე

რიცხვების ერთი რიცხვითი სისტემიდან მეორეზე გადასაყვანად უმარტივესი გზაა ჯერ რიცხვის გადაყვანა ათობითი რიცხვების სისტემაში, შემდეგ კი ათობითი რიცხვების სისტემიდან საჭირო რიცხვთა სისტემაში გადაყვანა.

რიცხვების გადაქცევა ნებისმიერი რიცხვითი სისტემიდან ათობითი რიცხვების სისტემაში

ფორმულის (1) გამოყენებით შეგიძლიათ გადაიყვანოთ რიცხვები ნებისმიერი რიცხვითი სისტემიდან ათობითი რიცხვების სისტემაში.

მაგალითი 1. გადაიყვანეთ რიცხვი 1011101.001 ბინარული რიცხვების სისტემიდან (SS) ათობითი SS-ში. გამოსავალი:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 · 2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

მაგალითი2. გადაიყვანეთ რიცხვი 1011101.001 რვა რიცხვების სისტემიდან (SS) ათობითი SS-ში. გამოსავალი:

მაგალითი 3 . გადაიყვანეთ რიცხვი AB572.CDF თექვსმეტობითი რიცხვების სისტემიდან ათობითი SS-ში. გამოსავალი:

Აქ ა- შეიცვალა 10-ით, ბ- 11 საათზე C- 12 საათზე ფ- 15-მდე.

რიცხვების გადაქცევა ათობითი რიცხვების სისტემიდან სხვა რიცხვთა სისტემაში

ათწილადი რიცხვების სისტემიდან სხვა რიცხვთა სისტემაში გადასაყვანად, თქვენ უნდა გადაიყვანოთ რიცხვის მთელი ნაწილი და რიცხვის წილადი ნაწილი ცალ-ცალკე.

რიცხვის მთელი ნაწილი გარდაიქმნება ათობითი SS-დან სხვა რიცხვთა სისტემაში რიცხვის მთელი ნაწილის თანმიმდევრულად გაყოფით რიცხვითი სისტემის ფუძეზე (ორობითი SS-ისთვის - 2-ზე, 8-წლიანი SS-ისთვის - 8-ზე, 16-ზე. -ary SS - 16-ით და ა.შ.) სანამ არ მიიღება მთლიანი ნარჩენი, საბაზისო CC-ზე ნაკლები.

მაგალითი 4 . გადავიყვანოთ რიცხვი 159 ათობითი SS-დან ორობით SS-ში:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

როგორც ჩანს ნახ. 1, რიცხვი 159, როდესაც 2-ზე იყოფა, იძლევა 79-ს, ხოლო ნაშთს 1-ს. გარდა ამისა, რიცხვი 79, როდესაც იყოფა 2-ზე, იძლევა კოეფიციენტს 39-ს და ნარჩენს 1-ს და ა.შ. შედეგად, გაყოფის ნაშთებიდან რიცხვის აგებით (მარჯვნიდან მარცხნივ), ვიღებთ რიცხვს ბინარულ SS-ში: 10011111 . ამიტომ შეგვიძლია დავწეროთ:

159 10 =10011111 2 .

მაგალითი 5 . გადავიყვანოთ რიცხვი 615 ათობითი SS-დან რვადიან SS-ში.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

როდესაც რიცხვი ათწილადი SS-დან რვადიან SS-ზე გადაიყვანეთ, თანმიმდევრულად უნდა გაყოთ რიცხვი 8-ზე, სანამ არ მიიღებთ 8-ზე ნაკლებ ნაშთს. შედეგად, რიცხვის აგება გაყოფის ნაშთებიდან (მარჯვნიდან მარცხნივ) მივიღებთ. რიცხვი რვავიან SS-ში: 1147 (იხ. სურ. 2). ამიტომ შეგვიძლია დავწეროთ:

615 10 =1147 8 .

მაგალითი 6 . გადავიყვანოთ რიცხვი 19673 ათობითი რიცხვების სისტემიდან თექვსმეტობით SS-ში.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

როგორც მე-3 ნახაზიდან ჩანს, 19673 რიცხვის 16-ზე თანმიმდევრულად გაყოფით, ნაშთები არის 4, 12, 13, 9. თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემაში რიცხვი 12 შეესაბამება C, რიცხვს 13 - D. ამიტომ, ჩვენი თექვსმეტობით რიცხვი- ეს არის 4CD9.

სწორი ათობითი წილადების გადასაყვანად ( ნამდვილი რიცხვინულიდან მთელი ნაწილი) რიცხვთა სისტემაში s ფუძით აუცილებელია მოცემული ნომერითანმიმდევრულად გავამრავლოთ s-ზე, სანამ წილადი ნაწილი არ გახდება სუფთა ნული, ან არ მივიღებთ ციფრების საჭირო რაოდენობას. თუ გამრავლების დროს მიიღება რიცხვი, რომელსაც აქვს ნულის გარდა სხვა მთელი ნაწილი, მაშინ ეს მთელი ნაწილი არ არის გათვალისწინებული (შედეგში თანმიმდევრულად შედის).

მოდით შევხედოთ ზემოთ მოცემულ მაგალითებს.

მაგალითი 7 . გადავიყვანოთ რიცხვი 0.214 ათობითი რიცხვების სისტემიდან ორობით SS-ში.

		0.214
	x	2
0		0.428
	x	2
0		0.856
	x	2
1		0.712
	x	2
1		0.424
	x	2
0		0.848
	x	2
1		0.696
	x	2
1		0.392

როგორც ნახ.4-დან ჩანს, რიცხვი 0.214 თანმიმდევრულად მრავლდება 2-ზე. თუ გამრავლების შედეგი არის რიცხვი, რომელსაც აქვს ნულის გარდა სხვა მთელი ნაწილი, მაშინ მთელი ნაწილი იწერება ცალკე (რიცხვის მარცხნივ). და რიცხვი იწერება ნულოვანი მთელი ნაწილით. თუ გამრავლების შედეგად მიიღება რიცხვი ნულოვანი მთელი ნაწილით, მაშინ ნული იწერება მის მარცხნივ. გამრავლების პროცესი გრძელდება მანამ, სანამ წილადი ნაწილი არ მიაღწევს სუფთა ნულს ან არ მივიღებთ ციფრთა საჭირო რაოდენობას. თამამი რიცხვების (სურ. 4) ზემოდან ქვევით ჩაწერისას ორობით რიცხვთა სისტემაში ვიღებთ საჭირო რიცხვს: 0. 0011011 .

ამიტომ შეგვიძლია დავწეროთ:

0.214 10 =0.0011011 2 .

მაგალითი 8 . გადავიყვანოთ რიცხვი 0.125 ათობითი რიცხვების სისტემიდან ორობით SS-ში.

		0.125
	x	2
0		0.25
	x	2
0		0.5
	x	2
1		0.0

რიცხვი 0.125 ათობითი SS-დან ორობითად გადასაყვანად ეს რიცხვი თანმიმდევრულად მრავლდება 2-ზე. მესამე ეტაპზე შედეგი არის 0. შესაბამისად მიიღება შემდეგი შედეგი:

0.125 10 =0.001 2 .

მაგალითი 9 . გადავიყვანოთ რიცხვი 0.214 ათწილადი რიცხვითი სისტემიდან თექვსმეტობით SS-ში.

		0.214
	x	16
3		0.424
	x	16
6		0.784
	x	16
12		0.544
	x	16
8		0.704
	x	16
11		0.264
	x	16
4		0.224

4 და 5 მაგალითების შემდეგ მივიღებთ რიცხვებს 3, 6, 12, 8, 11, 4. მაგრამ თექვსმეტობითი SS-ში რიცხვები 12 და 11 შეესაბამება C და B რიცხვებს. აქედან გამომდინარე, გვაქვს:

0,214 10 =0,36C8B4 16 .

მაგალითი 10 . გადავიყვანოთ რიცხვი 0.512 ათწილადი რიცხვითი სისტემიდან რვავიან SS-ში.

		0.512
	x	8
4		0.096
	x	8
0		0.768
	x	8
6		0.144
	x	8
1		0.152
	x	8
1		0.216
	x	8
1		0.728

მივიღე:

0.512 10 =0.406111 8 .

მაგალითი 11 . გადავიყვანოთ რიცხვი 159.125 ათობითი რიცხვების სისტემიდან ორობით SS-ში. ამისათვის ცალ-ცალკე ვთარგმნით რიცხვის მთელ ნაწილს (მაგალითი 4) და რიცხვის წილად ნაწილს (მაგალითი 8). ამ შედეგების შემდგომი კომბინირებისას მივიღებთ:

159.125 10 =10011111.001 2 .

მაგალითი 12 . გადავიყვანოთ რიცხვი 19673.214 ათობითი რიცხვების სისტემიდან თექვსმეტობით SS-ში. ამისათვის ცალ-ცალკე ვთარგმნით რიცხვის მთელ ნაწილს (მაგალითი 6) და რიცხვის წილად ნაწილს (მაგალითი 9). გარდა ამისა, ამ შედეგების გაერთიანებით მივიღებთ.

რიცხვების გადაქცევის მეთოდი სხვადასხვა სისტემებიგაანგარიშება

მთელი რიცხვი ათობითი რიცხვების რვა, თექვსმეტობით და ორობით სისტემებად გადაქცევახორციელდება ათობითი რიცხვის თანმიმდევრული გაყოფით იმ სისტემის ფუძეზე, რომელშიც ის გარდაიქმნება ამ ფუძის კოეფიციენტის მიღებამდე. რიცხვი ახალ სისტემაში იწერება გაყოფის ნაშთების სახით, დაწყებული ბოლოდან კოეფიციენტით.

ა) გადააქციეთ რიცხვი 19 ორობითი სისტემაგაანგარიშება

ანუ 19 = 10011 2

ბ) გადაიყვანეთ 181 10 ->”8” რიცხვითი სისტემა

შედეგი. 181 10 -> 265 8

გ) გადაიყვანეთ 622 10 - „16“ რიცხვითი სისტემა

რიცხვების გადაქცევა ათობითი სისტემაშიგანხორციელდა სიმძლავრის სერიის შედგენით სისტემის ფუძით, საიდანაც ითარგმნება რიცხვი. შემდეგ გამოითვლება ჯამის ღირებულება.

ა) 10101101.1012 გადაიყვანეთ ათობითი რიცხვების სისტემაში

10101101.101 2 = 1 2 7 + 0 2 6 + 1 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 173.625 10

ბ) 703.048 გადაიყვანეთ ათობითი რიცხვების სისტემაში

703.048 = 7 82+ 0 81+ 3 80+ 0 8-1+ 4 8-2 = 451,062510

გ) B2E.416 გადაიყვანეთ ათობითი რიცხვების სისტემაზე

B2E.4 16 = 11 16 2 + 2 16 1 + 14 16 0 + 4 16 -1 = 2862.25 10

ამისთვის რვიანი ან თექვსმეტობითი რიცხვის ორობით ფორმად გადაქცევასაკმარისია ამ რიცხვის თითოეული ციფრი შეცვალოს შესაბამისი სამნიშნა ორობითი რიცხვით (ტრიადა) (ცხრილი 1) ან ოთხნიშნა ორნიშნა რიცხვი (ტეტრადა) (ცხრილი 1), ხოლო მაღალ და დაბალ ციფრებში არასაჭირო ნულების განდევნა.

ამისთვის ორობითი სისტემიდან რვა ან თექვსმეტობითი სისტემით შეცვლაგააგრძელეთ შემდეგნაირად: მოძრაობენ წერტილიდან მარცხნივ და მარჯვნივ, ისინი ორობით რიცხვს ყოფენ სამ (ოთხი) ციფრის ჯგუფებად და საჭიროების შემთხვევაში ავსებენ ყველაზე მარცხენა და მარჯვენა ჯგუფებს ნულებით. შემდეგ ტრიადა (ტეტრადი) იცვლება შესაბამისი რვადი (თექვსმეტობითი) ციფრით.

კონვერტაცია რვადან თექვსმეტობით და პირიქითხორციელდება ორობითი სისტემის მეშვეობით ტრიადებისა და ტეტრადების გამოყენებით.

არითმეტიკული მოქმედებები

დამატება

ზუსტად იგივე, რაც ათობითი რიცხვების სისტემაში

გამოკლება

2 და 8 SS-ში რიცხვების გამოკლება ხდება იგივე წესებით, როგორც ათობითი. თუ ქვეტრაჰენდი მეტია მინუენდზე, განსხვავება განისაზღვრება უფრო დიდ და პატარა რიცხვს შორის და მის წინ იდებს მინუს ნიშანი.

გამრავლება

გამრავლების ოპერაცია შესრულებულია ზუსტად ისევე, როგორც ათობითი რიცხვების სისტემაში

პირდაპირი კოდი

გამოიყენება რიცხვების გამრავლებისა და გაყოფის და სხვა კოდების შესრულებისას გამოკლების შეკრებით შესაცვლელად.

0.011 დადებითი რიცხვია

1.011 არის უარყოფითი რიცხვი

კეთებით გამრავლების ან გაყოფის ოპერაციებიორი ორობითი წილადიდან, ნიშნის ციფრები ემატება წილადი ნაწილების მიუხედავად

დაბრუნების კოდი

გამოიყენება გამოკლების ოპერაციის შესაცვლელად

დადებითი რიცხვებისთვის: სწორი ორობითი წილადის გამოსახულება იგივეა საპირისპირო და წინა კოდებში

შებრუნებულ კოდში უარყოფითი სწორი ორობითი წილადის ჩასაწერად, თქვენ უნდა შეცვალოთ ნულები ერთებით და პირიქით, და ათწილადის მარცხნივ -0-ის ნაცვლად დააყენოთ 1.

ანუ –0.0101=1.1010

Გასათვალისწინებელია:

გადასვლის შემთხვევაში, როდესაც მიმატების შედეგად ათწილადის წერტილიდან მარცხნივ ჩნდება ორი ციფრი, ყველაზე მარცხენა ციფრი გადატანილია და ემატება წილადი ნაწილის დაბალი რიგის ციფრს, ხოლო დარჩენილი ციფრი მარცხნივ. ათობითი წერტილი განსაზღვრავს შედეგის ნიშანს

თუ უარყოფითი წილადი ნაწილის ციფრების რიცხვი ნაკლებია სხვა დანამატის წილადი ნაწილის რიცხვზე, მაშინ უარყოფითი წილადის გადაქცევამდე დაბრუნების კოდიაუცილებელია მისი მარჯვნივ შევსება ნულებით, სანამ მეორე წევრის ციფრები არ გაუტოლდება

თუ რიცხვის ნიშნის ციფრში ა საპირისპირო კოდი არის 1, შემდეგ ჩვეულებრივ აღნიშვნაზე გადასასვლელად, თქვენ უნდა შეცვალოთ წილადი ნაწილის ერთეულები ნულებით, ხოლო ნულები ერთებით და დაწეროთ –0 ათობითი წერტილის მარცხნივ.

დამატებითი კოდი

ისევე, როგორც შებრუნებული, ის გამოიყენება გამოკლების შეკრებით ჩანაცვლებისთვის.

ამ შემთხვევაში: პოზიტიური სათანადო ორობითი წილადის გამოსახულება ერთნაირია პირდაპირ, საპირისპირო და შემავსებელ კოდებში.

უარყოფითი წილადის გადასაყვანად: აუცილებელია ნულები ჩავანაცვლოთ ერთებით, ხოლო 1-ები ნულებით. დაამატეთ ერთი ყველაზე ნაკლებად მნიშვნელოვანი ციფრი, შემდეგ ჩადეთ 1 ათობითი წერტილის მარცხნივ.

საჭიროა გახსოვდეთ:

დამატებების ყველა ციფრი, მათ შორის ათწილადის მარცხნივ მდებარე ნიშნის ბიტების ციფრები, მონაწილეობს შეკრებაში, როგორც ერთი რიცხვის ციფრები.

გადასვლისას, როდესაც მიმატების შედეგად ათწილადის წერტილიდან მარცხნივ ჩნდება ორი ციფრი, ყველაზე მარცხენა ციფრი უგულვებელყოფილია, ხოლო ათწილადის მარცხნივ დარჩენილი ციფრი განსაზღვრავს შედეგის ნიშანს.

სხვა წევრის წილადი ნაწილის ციფრების რაოდენობა, შემდეგ უარყოფითი წილადის საპირისპირო კოდში გადაქცევამდე, საჭიროა მისი მარჯვნივ შევსება ნულებით, სანამ მეორე წევრის ციფრები არ ტოლდება.

თუ ათობითი წერტილის მარცხნივ მიმატების შედეგი არის 1, მაშინ უარყოფითი რიცხვი, თუ 0, მაშინ დადებითი (არ არის საჭირო რაიმეს შესაბამისად თარგმნა)

რიცხვების გადაყვანა თექვსმეტობით რვადიანად

რიცხვის თექვსმეტობით რვადიანად გადაქცევა:

1. ეს რიცხვი უნდა იყოს წარმოდგენილი ორობით სისტემაში.

2. შემდეგ ორობით სისტემაში მიღებული რიცხვი დაყავით ტრიადებად და გადააქციეთ რვაეულ სისტემაში.

Მაგალითად:

1.7 კონვერტაციის ალგორითმი სათანადო წილადებინებისმიერი რიცხვითი სისტემიდან ათობითი სისტემამდე

რიცხვის გადაქცევა ათობითი სისტემაში თან Q-ary რიცხვების სისტემაში ჩაწერილი, როგორც მთელი, ასევე წილადი, ხორციელდება რიცხვის დაშლის გამოყენებით საფუძვლის მიხედვით ფორმულის მიხედვით 1 (იხ. ნაწილი 1.2).

თუმცა, სწორი წილადების გადასაყვანად შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი გზა:

1. წილადის ყველაზე ნაკლებად მნიშვნელოვანი ციფრი 0.A qგაყოფა ბაზის მიხედვით ქ. მიღებულ კოეფიციენტს დაამატეთ რიცხვის შემდეგი (უმაღლესი) ციფრის ციფრი 0,A q.

2. მიღებული თანხა კვლავ გაიყოს ქდა ისევ დაამატეთ რიცხვის შემდეგი ციფრის ციფრი.

3. გააკეთეთ ეს მანამ, სანამ არ დაემატება წილადის ყველაზე მნიშვნელოვანი ციფრი.

4. მიღებული თანხა კვლავ გაყავით ქდა შედეგს დაამატეთ მძიმით და ნულამდე რიცხვებით.

Მაგალითად:გადავიყვანოთ წილადები ათობითი რიცხვების სისტემაში:

ა).	0,1101 2	ბ).	0,356 8
	1/2 + 0 = 0,5		6/8+5 = 5,75
	0,5/2 + 1 = 1,25		5,75/8 + 3 = 3,71875
	1,25/2 + 1 = 1,625		3,71875/8 = 0,46484375
	1,625/2 = 0,8125
პასუხი: 0.1101 2 = 0,8125 10	პასუხი: 0.356 8 = 0,46484375 10

1.8 სწორი ათობითი წილადების სხვა რიცხვების სისტემაში გადაყვანის ალგორითმი

1. მოცემული რიცხვის გამრავლება ახალ ფუძეზე რ.

2. მიღებული ნამრავლის მთელი რიცხვი არის სასურველი წილადის უმაღლესი ციფრი.

3. მიღებული ნამრავლის წილადი ნაწილი კვლავ მრავლდება რხოლო შედეგის მთელი რიცხვი ითვლება სასურველი წილადის მომდევნო ციფრად.

4. გააგრძელეთ ოპერაციები მანამ წილადიარ გამოვა ნულის ტოლიან საჭირო სიზუსტე არ იქნება მიღწეული.

5. მაქსიმალური აბსოლუტური ცდომილება D რიცხვის გადაქცევისას უდრის q -(k +1) /2, სადაც k არის ათობითი ადგილების რაოდენობა.

Მაგალითად:ვთარგმნოთ ათობითი 0,375 ბინარულ, სამეულ და თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემებში. შეასრულეთ თარგმანი ზუსტად მესამე ციფრამდე.

Მაგალითად:გადავიყვანოთ რიცხვი 0.36 10 ორობით, რვადიან და თექვსმეტობით სისტემებად:

მოსახერხებელია ამ ფორმის გამოყენება ჩასაწერად:

გადაცემა გადაცემაზე გადაცემაზე

ბინარული ს/კ. რვავიანი ს/კ. თექვსმეტობითი

0,	x 36		0,	x 36		0,	x 36
	x 72		x 88		x 76
	x 44		x04		x 16
	x 88		x 32		x 56
	x 76		x 46		x 96
	x 52		x 68		x 36

0.36 10 = 0.010111 2 მაქსიმალური აბსოლუტური შეცდომით (2 -7)/2=2 -8

0.36 10 = 0.270235 8 მაქსიმალური აბსოლუტური შეცდომით
(8 -7)/2=2 -22

0.36 10 = 0.5C28F5 16 მაქსიმალური აბსოლუტური შეცდომით
(16 -7)/2=2 -29

რიცხვებისთვის, რომლებსაც აქვთ როგორც მთელი, ასევე წილადი ნაწილები, ათწილადი რიცხვების სისტემიდან მეორეზე გადაყვანა ხდება ცალკე მთელი და წილადი ნაწილებისთვის ზემოთ მითითებული წესების შესაბამისად.

1.9 პოზიციური რიცხვების სისტემებში ციფრების დაწინაურება

ყველა რიცხვთა სისტემაში ციფრები დალაგებულია მათი მნიშვნელობის მიხედვით: 1 მეტია 0-ზე, 2 მეტია 1-ზე და ა.შ.

ნებისმიერი პოზიციური რიცხვების სისტემა ემყარება კონსტრუქციისა და მცირე ციფრებიდან უფროსზე გადასვლის იმავე პრინციპებს.

განვიხილოთ ციფრების წინსვლა პოზიციურ რიცხვთა სისტემაში.

ფიგურების ხელშეწყობაისინი უწოდებენ მის შეცვლას შემდეგი უდიდესით (ერთის დამატებით).

ათობითი რიცხვების სისტემაში, ციფრების პროგრესირება შემდეგია:

ისევ მივაღწიეთ 9 რიცხვს, ანუ ხდება უფრო მაღალ ციფრზე გადასვლა, მაგრამ 1-ლი ციფრის პოზიციაზე უკვე არის ნომერი 1, ამიტომ პირველი ციფრის 1 ნომერიც დაწინაურებულია, ე.ი. 1+1=2 (ორი ათეული). ასე რომ, ჩვენ ვაწვდით ციფრებს, სანამ რიცხვების სისტემის ყველაზე მაღალი ციფრი არ გამოჩნდება პირველ ციფრში (ჩვენს მაგალითში ეს არის 9).

ახლა განვიხილოთ რიცხვების წინსვლა სამეული სისტემააღნიშვნა, ე.ი. q=3 (გამოიყენება ციფრები 0, 1, 2) და ყველაზე მნიშვნელოვანი ციფრი არის 2.

	0+1	1+1
2+1	10+1	11+1
12+1	20+1	21+1
22+1	100+1	101+1
102+1	110+1	111+1
და ა.შ.

ცხოვრებაში ჩვენ ვიყენებთ ათობითი რიცხვების სისტემას, ალბათ იმიტომ, რომ უძველესი დროიდან ჩვენ თითებზე ვითვლით და, მოგეხსენებათ, ხელებსა და ფეხებზე ათი თითი გვაქვს. მიუხედავად იმისა, რომ ჩინეთში დიდი ხანის განმვლობაშიმათ გამოიყენეს კვინარული რიცხვების სისტემა.

კომპიუტერები იყენებენ ორობით სისტემას, რადგან იყენებენ ტექნიკური მოწყობილობებიორი სტაბილური მდგომარეობით (არ არის დენი - 0; დენი - 1 ან არა მაგნიტიზებული - 0; მაგნიტიზებულია - 1 და ა.შ.). ასევე, ორობითი რიცხვების სისტემის გამოყენება საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ მოწყობილობა ლოგიკური ალგებრა(იხ. სექცია 2) შესასრულებლად ლოგიკური გარდაქმნებიინფორმაცია. ორობითი არითმეტიკა გაცილებით მარტივია ვიდრე ათობითი არითმეტიკა, მაგრამ მისი მინუსი არის რიცხვების ჩასაწერად საჭირო ციფრების სწრაფი ზრდა.

Მაგალითად:მოდით გავუსვათ რიცხვები ბინარული რიცხვების სისტემაში, სადაც q=2, (გამოიყენება ციფრები 0, 1) ყველაზე მნიშვნელოვანი ციფრი 1:

0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 და ა.შ.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, სერიის მესამე რიცხვი უკვე ერთი ციფრით მაღლა, ე.ი. დაიკავა ადგილი (თუ ათწილადი იყო) "ათეულში". მეხუთე რიცხვი არის "ასობით" ადგილი, მეცხრე არის "ათასების" ადგილი და ა.შ. ათობითი სისტემაში სხვა ციფრზე გადასვლა გაცილებით ნელა ხდება. ბინარული სისტემა მოსახერხებელია კომპიუტერებისთვის, მაგრამ მოუხერხებელია ადამიანისთვის მისი მოცულობისა და უჩვეულო ჩაწერის გამო.

რიცხვების გადაყვანა ათწილადიდან ორობითად და პირიქით ხდება კომპიუტერული პროგრამებით. თუმცა იმისთვის, რომ იმუშაოთ და პროფესიონალურად გამოიყენოთ კომპიუტერი, უნდა გესმოდეთ სიტყვა მანქანა. ამ მიზნით შემუშავებულია ოქტალური და თექვსმეტობითი სისტემები.

იმისათვის, რომ მარტივად იმუშაოთ ამ სისტემებთან, თქვენ უნდა ისწავლოთ როგორ გადაიყვანოთ რიცხვები ერთი სისტემიდან მეორეში და პირიქით, ასევე შეასრულოთ მარტივი ოპერაციები რიცხვებზე - შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა.

1.10 შესრულება არითმეტიკული ოპერაციებიპოზიციური რიცხვების სისტემებში

ცნობილია ათობითი სისტემაში ძირითადი არითმეტიკული მოქმედებების შესრულების წესები - შეკრება, გამოკლება, სვეტით გამრავლება და კუთხით გაყოფა. ეს წესები ვრცელდება ყველა სხვა პოზიციური რიცხვების სისტემაზე. თითოეული სისტემისთვის მხოლოდ შეკრების და გამრავლების ცხრილები განსხვავებულია.

არითმეტიკული მოქმედებები პოზიციურ რიცხვთა სისტემებში სრულდება ზოგადი წესებით. უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ, რომ მიმატებისას მომდევნო ციფრზე გადასვლა და გამოკლებისას უმაღლესი ციფრიდან სესხება განისაზღვრება რიცხვითი სისტემის ფუძის მნიშვნელობით.

კეთებით არითმეტიკული მოქმედებებირიცხვები, რომლებიც წარმოდგენილია სხვადასხვა რიცხვთა სისტემაში, პირველ რიგში უნდა შემცირდეს იმავე ფუძემდე.

დამატება

დამატების ცხრილების შექმნა მარტივია დათვლის წესის გამოყენებით. შეკრებისას, ციფრები ჯდება ციფრებით, ხოლო თუ ჭარბი მოხდა, ის მარცხნივ გადადის შემდეგ ციფრში.

ცხრილი 1.4

ორობით სისტემაში დამატება:

+

ცხრილი 1.5

დამატება რვაფეხურ სისტემაში

+

ცხრილი 1.6

დამატება თექვსმეტობით

+

ა

ბ

C

დ

ე

ფ

ა

ბ

C

დ

ე

ფ

ა

ბ

C

დ

ე

ფ

ა

ბ

C

დ

ე

ფ

ა

ბ

C

დ

ე

ფ

ა

ბ

C

დ

ე

ფ

ა

ბ

C

დ

ე

ფ

ა

ბ

C

დ

ე

ფ

ა

ბ

C

დ

ე

ფ

ა

ბ

C

დ

ე

ფ

ა

ბ

C

დ

ე

ფ

ა

ა

ბ

C

დ

ე

ფ

ბ

ბ

C

დ

ე

ფ

1A

C

C

დ

ე

ფ

1A

1ბ

დ

დ

ე

ფ

1A

1ბ

1C

ე

ე

ფ

1A

1ბ

1C

1D

ფ

ფ

1A

1ბ

1C

1D

1E

Მაგალითად:

ა) დაამატეთ რიცხვები 1111 2 და 110 2:

გ) დაამატეთ რიცხვები F 16 და 6 16:

ბ) დაამატეთ რიცხვები 17 8 და 6 8:

დ) დაამატეთ ორი რიცხვი: 17 8 და 17 16.

გადავიყვანოთ რიცხვი 17 16 მე-8-ზე ორობითი სისტემის გამოყენებით

17 16 =10111 2 =27 8. მოდით შევასრულოთ მიმატება რვაფეხურ სისტემაში:

დ ) დავამატოთ 2 რიცხვი. 10000111 2 + 89 10

მეთოდი 1: გადაიყვანეთ რიცხვი 10000111 2 ათობითი აღნიშვნით.

10000111 2 = 1*2 7 + 1*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 =128 + 4 + 2 + 1 = 135 10

135 10 + 89 10 = 224 10

მეთოდი 2: გადაიყვანეთ რიცხვი 89 10 ბინარულ სისტემაში ნებისმიერი გზით.

89 10 = 1011001 2

დავამატოთ ეს რიცხვები.

შესამოწმებლად, გადააკეთეთ ეს რიცხვი ათობითი აღნიშვნით.

11100000 2 = 1*2 7 + 1*2 6 +1*2 5 = 128+64+32 = 224 10

გამოკლება

მოდი ვიპოვოთ განსხვავება რიცხვებს შორის:

ა) 655 8 და 367 8 ბ) F5 16 და 6 16

გამრავლება

ცხრილი 1.7

გამრავლება ორობით სისტემაში:

*

ცხრილი 1.8

გამრავლება რვაფეხურ სისტემაში

*