დურბინ-უოტსონის ტესტი (ან DW სტატისტიკა).

ეს არის ყველაზე ცნობილი ტესტი პირველი რიგის ავტოკორელაციის გამოსავლენად. Durbin - Watson სტატისტიკა მოცემულია ყველა სპეციალურად კომპიუტერული პროგრამებიროგორც ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მახასიათებლებიხარისხიანი რეგრესიის მოდელი.

პირველი, აგებული ემპირიული რეგრესიის განტოლების მიხედვით

გადახრის მნიშვნელობები განისაზღვრება გამოითვლება

სტატისტიკა

0 დადებითი ავტოკორელაცია;

d t გაურკვევლობის ზონა;

დ შენ - დ შენ -არ არსებობს ავტოკორელაცია;

• 4 - დ შენ
• 4 - დ/ უარყოფითი ავტოკორელაცია.

შეიძლება ნაჩვენები იყოს, რომ სტატისტიკა (2.64) მჭიდროდ არის დაკავშირებული პირველი რიგის ავტოკორელაციის კოეფიციენტთან:

ურთიერთობა გამოიხატება ფორმულით:

აქედან მოდის მნიშვნელობა სტატისტიკური ანალიზიავტოკორელაცია. ვინაიდან ღირებულებები გგანსხვავდება -1 +1-მდე, DWმერყეობს 0-დან 4-მდე. როცა არ არის ავტოკორელაცია, ავტოკორელაციის კოეფიციენტი ნულის ტოლიდა სტატისტიკა DWუდრის 2. სტატისტიკა D.W. 0-ის ტოლია, შეესაბამება პოზიტიურ ავტოკორელაციას, როდესაც ფრჩხილებში გამოსახული უდრის ნულს (r= +1). უარყოფითი ავტოკორელაციით (r= - 1), DW= 4 და ფრჩხილებში გამოსახული უდრის ორს.

დურბინ-უოტსონის კრიტერიუმის შეზღუდვები შემდეგია.

• 1. სტატისტიკა DWვრცელდება მხოლოდ იმ მოდელებზე, რომლებიც შეიცავს ცრუ ტერმინს.
• 2. ვარაუდობენ, რომ შემთხვევითი გადახრები განისაზღვრება განმეორებითი სქემის გამოყენებით

• 3. სტატისტიკურ მონაცემებს უნდა ჰქონდეს იგივე სიხშირე (დაკვირვებებში არ უნდა იყოს ხარვეზები).
• 4. დურბინ-უოტსონის კრიტერიუმი არ გამოიყენება ფორმის ავტორეგრესიულ მოდელებზე

მოდელებისთვის (2.66) შემოთავაზებულია დურბინის r- სტატისტიკა:

სადაც p არის p-ის პირველი რიგის შეფასება (2.65);

D(c)- კოეფიციენტის ნიმუშის ვარიაცია ჩამორჩენილი ცვლადისთვის y, _ ბ პ- დაკვირვებების რაოდენობა.

დიდი პდა ნულოვანი ჰიპოთეზის მართებულობა H 0: p = 0 და-სტატისტიკას აქვს სტანდარტული განაწილება სთ ~ N( 0, 1). ამიტომ, მოცემულ მნიშვნელოვნების დონეზე, კრიტიკული წერტილი განისაზღვრება მდგომარეობიდან:

და L- სტატისტიკა შედარებულია იარ..თუ და > ია/2 , მაშინ უნდა უარყოს ნულოვანი ჰიპოთეზა ავტოკორელაციის არარსებობის შესახებ. წინააღმდეგ შემთხვევაში უარი არ არის.

როგორც წესი, p მნიშვნელობა გამოითვლება როგორც პირველი მიახლოება ფორმულის გამოყენებით p&1-DIV/2,ა D(c)უდრის სტანდარტული შეცდომის კვადრატს თ სკოეფიციენტების შეფასებები თან.აღსანიშნავია, რომ /r- სტატისტიკის გამოთვლა შეუძლებელია, როცა nD(c) > 1.

ავტოკორელაცია ყველაზე ხშირად გამოწვეულია მოდელის არასწორი დაზუსტებით. ამიტომ, თქვენ უნდა შეეცადოთ შეცვალოთ თავად მოდელი, კერძოდ, შემოიტანოთ რაიმე გაუთვალისწინებელი ფაქტორი ან შეცვალოთ მოდელის ფორმა, მაგალითად, წრფივიდან ნახევრად ლოგარითმულ ან ჰიპერბოლურზე. თუ ყველა ეს მეთოდი არ დაგვეხმარება და ავტოკორელაცია გამოწვეულია სერიის ზოგიერთი შინაგანი თვისებით (e,), შეგიძლიათ გამოიყენოთ ტრანსფორმაცია, რომელსაც ეწოდება პირველი რიგის ავტორეგრესიული სქემა AR(1).

მოდით შევხედოთ /Sh1) დაწყვილებული რეგრესიის გამოყენებით მაგალითად:

შემდეგ, (2.68) მიხედვით, მეზობელი დაკვირვებები შეესაბამება შემდეგ ფორმულებს:

თუ შემთხვევითი გადახრები განისაზღვრება გამოსახულებით (2.65), სადაც ცნობილია p კოეფიციენტი, მაშინ ფორმულების (2.69) და (2.70) ტრანსფორმაცია იძლევა:

მოდით შევცვალოთ ცვლადები (2.71): ვიღებთ გამონათქვამის (2.65) გათვალისწინებით:

ვინაიდან შემთხვევითი გადახრები y აკმაყოფილებს OLS დაშვებებს, შეფასებები ადა ბგანტოლებებს (2.73) ექნება საუკეთესო წრფივი მიუკერძოებელი შემფასებლების თვისებები. ყველა ცვლადის ტრანსფორმირებული მნიშვნელობების საფუძველზე, პარამეტრების შეფასება გამოითვლება ჩვეულებრივი უმცირესი კვადრატების გამოყენებით. ადა ბ,რომელიც შემდეგ შეიძლება გამოყენებულ იქნას რეგრესიაში (2.68).

თუმცა, ტრანსფორმირებული ცვლადების გამოთვლის გზა (2.72) იწვევს პირველი დაკვირვების დაკარგვას, თუ არ არის ინფორმაცია წინა დაკვირვებების შესახებ. ეს ამცირებს თავისუფლების ხარისხს ერთით, რაც არ არის ძალიან მნიშვნელოვანი დიდი ნიმუშებისთვის, მაგრამ მცირე ნიმუშებისთვის ეს იწვევს ეფექტურობის დაკარგვას. შემდეგ პირველი დაკვირვება აღდგება Price-Winsten-ის შესწორების გამოყენებით:

ტრანსფორმაციისთვის /Sh1), ასევე კორექტივების (2.74) შემოტანისას მნიშვნელოვანია ავტორეგრესიის კოეფიციენტის შეფასება p. ეს კეთდება რამდენიმე გზით. უმარტივესი რამ არის p-ის შეფასება სტატისტიკის საფუძველზე

სად გპ-ის შეფასებად არის აღებული.

ფორმულა (2.75) კარგად მუშაობს დიდი რაოდენობის დაკვირვებისთვის.

არსებობს p-ის შეფასების სხვა მეთოდები: კოქრან-ორკუტის მეთოდი და ჰილდრეტ-ლუ მეთოდი. მოდით შევხედოთ კოქრან-ორკუტის მეთოდს ეტაპობრივად:

• 1. პირველ რიგში, ჩვეულებრივი OLS გამოიყენება წყაროს არატრანსფორმირებულ მონაცემებზე, რისთვისაც გამოითვლება ნარჩენები.
• 2. შემდეგ, მისი OLS შეფასება რეგრესიაში (2.65) მიიღება, როგორც ავტორეგრესიის კოეფიციენტის სავარაუდო მნიშვნელობა p.
• 3. თავდაპირველი ცვლადები გარდაიქმნება ფორმულების მიხედვით (2.72) და უმცირესი კვადრატების მეთოდი გამოიყენება ტრანსფორმირებულ მონაცემებზე ახალი პარამეტრების შეფასების დასადგენად. ადა ბ.
• 4. პროცედურა მეორდება მე-2 საფეხურიდან დაწყებული.

პროცესი, როგორც წესი, მთავრდება, როდესაც შემდეგი მიახლოება p ოდნავ განსხვავდება წინადან. ზოგჯერ გამეორებების რაოდენობა უბრალოდ ფიქსირდება. ეს პროცედურა ხორციელდება უმეტეს ეკონომეტრიულ კომპიუტერულ პროგრამებში.

სადაც Du, = y, - y 1, Dx, = x, - x,_ 1 - ე.წ. პირველი განსხვავებები (უკან).

განტოლებიდან (2.76) კოეფიციენტი ფასდება უმცირესი კვადრატების გამოყენებით. ბ.Პარამეტრი ააქ პირდაპირ არ არის განსაზღვრული, მაგრამ უმცირესი კვადრატებიდან ცნობილია, რომ a = y -bx.

p = -1 შემთხვევაში (2.69) და (2.70) (2.65) მიმატებით მივიღებთ რეგრესიის განტოლებას.

გადახრების ჭეშმარიტი მნიშვნელობები Et,t = 1,2, ..., T უცნობია. ამიტომ, მათი დამოუკიდებლობის შესახებ დასკვნები კეთდება ემპირიული განტოლებიდან მიღებული et,t = 1,2, ..., T შეფასებების საფუძველზე.
რეგრესია. განვიხილოთ შესაძლო მეთოდებიავტოკორელაციის განმარტებები.
როგორც წესი, მოწმდება არაკორელირებული გადახრები et,t = 1, 2, ... , T, რაც დამოუკიდებლობისთვის აუცილებელი, მაგრამ არასაკმარისი პირობაა. უფრო მეტიც, შემოწმდება მეზობელი მნიშვნელობების არაკორელაცია. მეზობლები, როგორც წესი, განიხილება et-ის მნიშვნელობებად, რომლებიც მიმდებარეა დროში (დროის სერიების განხილვისას) ან ახსნა-განმარტებითი ცვლადის X-ის აღმავალი წესით (განიკვეთის ნიმუშის შემთხვევაში). მათთვის ადვილია კორელაციის კოეფიციენტის გამოთვლა, რომელსაც ამ შემთხვევაში უწოდებენ პირველი რიგის ავტოკორელაციის კოეფიციენტს:

ამ შემთხვევაში მხედველობაში მიიღება, რომ ნაშთების მათემატიკური მოლოდინი M (et) = 0.
პრაქტიკაში, გადახრების კორელაციის გასაანალიზებლად, კორელაციის კოეფიციენტის ნაცვლად იყენებენ მჭიდროდ დაკავშირებულ
Larbin-Watson სტატისტიკა (DW) გამოითვლება ფორმულით1

ცხადია, დიდი თ

ადვილი მისახვედრია, რომ თუ et=et-1, მაშინ rete- 1=1 და DW=0 (დადებითი ავტოკორელაცია). თუ et=-et-1, მაშინ re^t 1=-1 და DW=4 (უარყოფითი ავტოკორელაცია). ყველა სხვა შემთხვევაში 0 ლ; D.W.lt; 4 . თუ გადახრები იქცევა შემთხვევით, ხელახლა- 1=0 და DW=2. Ისე
გზა, აუცილებელი პირობაშემთხვევითი გადახრების დამოუკიდებლობა არის სიახლოვე ორ დურბინ-უოტსონის სტატისტიკასთან. მაშინ, თუ DW ~ 2, ჩვენ მიგვაჩნია, რომ გადახრები რეგრესიის შემთხვევითობაა (თუმცა ისინი შეიძლება სინამდვილეში ასე არ იყოს). ეს ნიშნავს, რომ აშენებული ხაზოვანი რეგრესია, ალბათ რეალურ ურთიერთობას ასახავს. დიდი ალბათობით, არ არსებობს მნიშვნელოვანი ფაქტორები, რომლებიც გავლენას ახდენენ დამოკიდებულ ცვლადზე. ნებისმიერი სხვა არაწრფივი ფორმულა არ აღემატება სტატისტიკური მახასიათებლებიშემოთავაზებული ხაზოვანი მოდელი. ამ შემთხვევაში, მაშინაც კი, როდესაც R2 მცირეა, სავარაუდოა, რომ აუხსნელი ვარიაცია გამოწვეულია დამოკიდებულ ცვლადზე ზემოქმედებით. დიდი რიცხვისხვადასხვა ფაქტორები, რომლებიც ინდივიდუალურად მცირე გავლენას ახდენენ შესასწავლ ცვლადზე და შეიძლება შეფასდეს, როგორც შემთხვევითი ნორმალური შეცდომა.
ჩნდება კითხვა, რა DW მნიშვნელობები შეიძლება ჩაითვალოს სტატისტიკურად 2-თან ახლოს? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, შემუშავებულია დურბინ-უოტსონის სტატისტიკის კრიტიკული წერტილების სპეციალური ცხრილები, რომლებიც საშუალებას იძლევა მოცემული ნომერიდაკვირვებები T (ან წინა აღნიშვნით n), ახსნა-განმარტებითი ცვლადების რაოდენობა m და მნიშვნელობის მოცემული დონე a განსაზღვრავს დაკვირვებული სტატისტიკის დასაშვებობის საზღვრებს (კრიტიკულ წერტილებს) DW. ამისთვის მოცემული ა, თ, m ორი რიცხვი მითითებულია ცხრილში: di - ქვედა ხაზიდა du არის ზედა ზღვარი.
ზოგადი სქემადურბინ-უოტსონის კრიტერიუმი შემდეგია:

1. აგებული ემპირიული რეგრესიის განტოლების მიხედვით

გადახრის მნიშვნელობები et = Y, - Y განისაზღვრება თითოეული დაკვირვებისთვის t, t = 1,..., T.

1. ფორმულის (4.4) გამოყენებით გამოითვლება DW სტატისტიკა.
2. კრიტიკული წერტილების დურბინ-უოტსონის ცხრილის გამოყენებით განისაზღვრება ორი რიცხვი di და du და გამოტანილია დასკვნები წესის მიხედვით:

(0 ლ; DW lt; di) - არსებობს დადებითი ავტოკორელაცია,
(dі lt; DW lt; du) - დასკვნა ავტოკორელაციის არსებობის შესახებ არ არის განსაზღვრული, (ku lt; DW lt; 4 - du) - არ არსებობს ავტოკორელაცია, (4 - du lt; DW lt; 4 - di ) - დასკვნა განუსაზღვრელი ავტოკორელაციის არსებობის შესახებ,
(4 - di lt; DW lt; 4) - არის უარყოფითი ავტოკორელაცია.
კრიტიკული წერტილების დურბინ-უოტსონის ცხრილის მითითების გარეშე, შეიძლება გამოვიყენოთ „უხეში“ წესი და ვივარაუდოთ, რომ არ არსებობს ნარჩენების ავტოკორელაცია, თუ 1.5ლ; D.W.lt; 2.5. უფრო საიმედო დასკვნისთვის მიზანშეწონილია მიმართოთ ცხრილის მნიშვნელობები. ნარჩენების ავტოკორელაციის თანდასწრებით, მიღებული რეგრესიის განტოლება ჩვეულებრივ არადამაკმაყოფილებლად ითვლება.
გაითვალისწინეთ, რომ დურბინ-უოტსონის კრიტერიუმის გამოყენებისას მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული შემდეგი შეზღუდვები:

1. DW კრიტერიუმი გამოიყენება მხოლოდ იმ მოდელებზე, რომლებიც შეიცავს ტერმინს.
2. ვარაუდობენ, რომ შემთხვევითი გადახრები Et განისაზღვრება განმეორებითი სქემით: Et = PEt-1 + vt, რომელსაც ეწოდება პირველი რიგის ავტორეგრესიული სქემა HR(1). აქ vt არის შემთხვევითი ტერმინი, რომლისთვისაც გაუს-მარკოვის პირობები დაკმაყოფილებულია.
3. სტატისტიკურ მონაცემებს უნდა ჰქონდეს იგივე სიხშირე (დაკვირვებებში არ უნდა იყოს ხარვეზები).
4. დურბინ-უოტსონის კრიტერიუმი არ გამოიყენება რეგრესიული მოდელებისთვის, რომლებიც შეიცავს დამოკიდებულ ცვლადს ერთი პერიოდის შუალედით, როგორც განმარტებითი ცვლადების ნაწილი, ანუ ფორმის ეგრეთ წოდებული ავტორეგრესიული მოდელებისთვის:

ამ შემთხვევაში, არსებობს სისტემატური კავშირი ერთ-ერთ განმარტებით ცვლადსა და შემთხვევითი ტერმინის ერთ-ერთ კომპონენტს შორის. OLS-ის ერთ-ერთი მთავარი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული - ახსნა-განმარტებითი ცვლადები არ უნდა იყოს შემთხვევითი (არ ჰქონდეს შემთხვევითი კომპონენტი). ნებისმიერი ახსნა-განმარტებითი ცვლადის მნიშვნელობა უნდა იყოს ეგზოგენური (მოდელის გარეთ მითითებული), მთლიანად განსაზღვრული. წინააღმდეგ შემთხვევაში, შეფასებები მიკერძოებული იქნება თუნდაც დიდი მოცულობებინიმუშები.
შემუშავებული ავტორეგრესიული მოდელებისთვის სპეციალური ტესტებიავტოკორელაციის გამოვლენა, კერძოდ, დურბინის h- სტატისტიკა, რომელიც განისაზღვრება ფორმულით:
სადაც p არის პირველი რიგის ავტორეგრესიის p კოეფიციენტის შეფასება. n არის დაკვირვებების რაოდენობა.
დიდი ნიმუშის ზომით, h ნაწილდება, როგორც φ(0,1), ანუ როგორც ნორმალური ცვლადი 0-ის საშუალო და 1 ვარიაციის მქონე ნულოვანი ჰიპოთეზის გარეშე ავტოკორელაციის გარეშე. მაშასადამე, ჰიპოთეზა ავტოკორელაციის არარსებობის შესახებ შეიძლება უარყოფილი იყოს 5% მნიშვნელოვნების დონეზე, თუ h-ის აბსოლუტური მნიშვნელობა მეტია 1,96-ზე და 1% მნიშვნელოვნების დონეზე, თუ ის მეტია 2,58-ზე, ორმხრივი ტესტის გამოყენებისას და ა. დიდი ნიმუში. წინააღმდეგ შემთხვევაში უარი არ არის.
გაითვალისწინეთ, რომ p მნიშვნელობა ჩვეულებრივ გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით:
p = 1- 0,5DW და D(g) უდრის Sg სტანდარტული შეცდომის კვადრატს
აფასებს Y კოეფიციენტის g. ამიტომ, h ადვილად გამოითვლება რეგრესიის სავარაუდო მონაცემებიდან.
ამ ტესტის გამოყენების მთავარი პრობლემა ის არის, რომ შეუძლებელია h-ის გამოთვლა nD (g) gt-ზე; 1.
მაგალითი 4.1. იყოს შემდეგი პირობითი მონაცემები (X არის განმარტებითი ცვლადი, Y არის დამოკიდებული ცვლადი, ცხრილი 4.1).
ცხრილი 4.1
საწყისი მონაცემები (პირობითი, ფულადი ერთეულები)

ტ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
X	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
ი	3	8	6	12	11	17	15	20	16	24	22	28	26	34	31

წრფივი განტოლებარეგრესიას აქვს ფორმა: Y = 2.09 + 2.014X.
მოდით გამოვთვალოთ დურბინ-უოტსონის სტატისტიკა (ცხრილი 4.2):

დურბინ-უოტსონის ტესტი (ან DW ტესტი) არის სტატისტიკური ტესტი, რომელიც გამოიყენება რეგრესიული მოდელის პირველი რიგის ნარჩენების ავტოკორელაციის საპოვნელად. კრიტერიუმს ჯეიმს დურბინისა და ჯეფრი უოტსონის სახელი ჰქვია. დურბინ-უოტსონის კრიტერიუმი გამოითვლება შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

სადაც ρ 1 არის პირველი რიგის ავტოკორელაციის კოეფიციენტი.

შეცდომების ავტოკორელაციის არარსებობის შემთხვევაში დ= 2, დადებითი ავტოკორელაციით d მიდრეკილია ნულისკენ, ხოლო უარყოფითი ავტოკორელაციით d მიდრეკილია 4-მდე:

პრაქტიკაში, დურბინ-უოტსონის კრიტერიუმის გამოყენება ემყარება მნიშვნელობის შედარებას დთეორიული ღირებულებებით დ ლდა დ Uამისთვის მოცემული ნომერიდაკვირვებები ნ, ნომერი დამოუკიდებელი მოდელის ცვლადები კდა მნიშვნელოვნების დონე α.

თუ დ < დ ლ, მაშინ უარყოფილია ჰიპოთეზა შემთხვევითი გადახრების დამოუკიდებლობის შესახებ (აქედან გამომდინარე, არსებობს დადებითი ავტოკორელაცია);

თუ დ > დ U, მაშინ ჰიპოთეზა არ არის უარყოფილი;

თუ დ ლ < დ < დ U, მაშინ არ არსებობს საკმარისი საფუძველი გადაწყვეტილების მისაღებად.

Როდესაც გამოთვლილი ღირებულება დაღემატება 2-ს, შემდეგ ერთად დ ლდა დ Uეს არ არის თავად კოეფიციენტის შედარება დდა გამოთქმა (4 - დ).

ასევე, ამ კრიტერიუმის გამოყენებით, გამოვლენილია კოინტეგრაციის არსებობა ორ დროის სერიას შორის. ამ შემთხვევაში, შემოწმებულია ჰიპოთეზა, რომ კრიტერიუმის რეალური მნიშვნელობა არის ნული. მონტე კარლოს მეთოდის გამოყენებით მივიღეთ კრიტიკული ღირებულებებიმოცემული მნიშვნელობის დონეებისთვის. თუ დურბინ-უოტსონის კრიტერიუმის რეალური მნიშვნელობა აღემატება კრიტიკულ მნიშვნელობას, მაშინ კოინტეგრაციის არარსებობის ნულოვანი ჰიპოთეზა უარყოფილია.

არ შეუძლია მეორე და უფრო მაღალი რიგის ავტოკორელაციის აღმოჩენა.

იძლევა საიმედო შედეგებს მხოლოდ დიდი ნიმუშებისთვის].

Კრიტერიუმი თდურბინი გამოიყენება ნარჩენების ავტოკორელაციის დასადგენად მოდელში განაწილებული ჩამორჩენით:

სად ნ- მოდელში დაკვირვების რაოდენობა;

ვ - სტანდარტული შეცდომაჩამორჩენილი შედეგის ცვლადი.

როგორც ნიმუშის ზომა იზრდება, განაწილება თ-სტატისტიკა მიდრეკილია ნორმაზე ნულოვანი მათემატიკური მოლოდინით და დისპერსიით 1-ის ტოლი. ამიტომ ჰიპოთეზა ნარჩენების ავტოკორელაციის არარსებობის შესახებ უარყოფილია, თუ რეალური მნიშვნელობა თ- სტატისტიკა უფრო მეტია ვიდრე ნორმალური განაწილების კრიტიკული მნიშვნელობა.

Durbin-Watson ტესტი პანელური მონაცემებისთვის

პანელის მონაცემებისთვის გამოიყენება ოდნავ შეცვლილი Durbin-Watson ტესტი:

დროის სერიებისთვის დურბინ-უოტსონის ტესტისგან განსხვავებით, ამ შემთხვევაში გაურკვევლობის არე ძალიან ვიწროა, განსაკუთრებით პანელებისთვის დიდი თანხაპირები.

1. ავტოკორელაციის აღმოფხვრის მეთოდები (ტენდენციიდან გადახრები, თანმიმდევრული განსხვავებები, დროის ფაქტორის ჩათვლით).

ყველა დამღუპველი მეთოდის არსი არის დროის სერიების განტოლებების ფორმირებაზე დროის ფაქტორის გავლენის აღმოფხვრა. ძირითადი მეთოდები იყოფა 2 ჯგუფად:

სერიის დონეების ახალ ცვლადებად ტრანსფორმაციის საფუძველზე, რომლებიც არ შეიცავს ტენდენციას. მიღებულ ცვლადებს შემდგომში ვიყენებთ შესწავლილი დროის სერიების ურთიერთკავშირის გასაანალიზებლად. ეს მეთოდები მოიცავს ტენდენციის კომპონენტის აღმოფხვრას თდროის სერიების თითოეული დონიდან. 1.თანმიმდევრული განსხვავების მეთოდი. 2.ტენდენციებიდან გადახრის მეთოდი.

დროის სერიების საწყის დონეებს შორის ურთიერთობის შესწავლაზე დაფუძნებული მოდელები დამოკიდებულ და დამოუკიდებელ ცვლადებზე დროის ფაქტორის ზემოქმედების გამოკლებით: დროის ფაქტორის ჩართვა რეგრესიის მოდელში.

დურბინ-უოტსონის ტესტიგამოიყენება ავტოკორელაციის გამოსავლენად, რომელიც ემორჩილება პირველი რიგის ავტორეგრესიულ პროცესს. ვარაუდობენ, რომ ნარჩენების მნიშვნელობა e t თითოეულში ტ-ე დაკვირვებაყველა სხვა დაკვირვებაში მისი მნიშვნელობებისაგან დამოუკიდებელი. თუ ავტოკორელაციის კოეფიციენტი ρ დადებითია, მაშინ ავტოკორელაცია დადებითია, თუ ρ უარყოფითია, მაშინ ავტოკორელაცია უარყოფითია. თუ ρ = 0, მაშინ არ არსებობს ავტოკორელაცია (ანუ ნორმალური ხაზოვანი მოდელის მეოთხე წინაპირობა დაკმაყოფილებულია).
დურბინ-უოტსონის კრიტერიუმი ჰიპოთეზის შესამოწმებლად მოდის:

• H 0 (მთავარი ჰიპოთეზა): ρ = 0
• H 1 (ალტერნატიული ჰიპოთეზა): ρ > 0 ან ρ
  ძირითადი ჰიპოთეზის შესამოწმებლად გამოიყენება Durbin-Watson ტესტის სტატისტიკა - DW:

  სადაც e i = y - y(x)

  ეს კეთდება სამი კალკულატორის გამოყენებით:

  1. ტენდენციის განტოლება (წრფივი და არაწრფივი რეგრესია)

  განვიხილოთ მესამე ვარიანტი. წრფივი ტენდენციის განტოლება არის y = at + b
  1. იპოვეთ განტოლების პარამეტრები უმცირესი კვადრატების მეთოდით მეშვეობით ონლაინ სერვისიტრენდული განტოლება.
  განტოლებათა სისტემა
  
  ჩვენი მონაცემებისთვის განტოლებათა სისტემას აქვს ფორმა
  
  პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ 0-ს და ვცვლით მეორე განტოლებით
  ჩვენ ვიღებთ 0 = -12.78, a 1 = 26763.32
  ტრენდული განტოლება
  y = -12,78 t + 26763,32
  მოდით შევაფასოთ ტენდენციის განტოლების ხარისხი აბსოლუტური მიახლოების შეცდომის გამოყენებით.
  
  
  ვინაიდან შეცდომა 15%-ზე მეტია, არ არის მიზანშეწონილი ამ განტოლების ტენდენციად გამოყენება
  საშუალო ღირებულებები
  
  
  
  დისპერსია
  
  
  Სტანდარტული გადახრა
  
  

  განსაზღვრის ინდექსი
  
  , ე.ი. შემთხვევების 97,01%-ში გავლენას ახდენს მონაცემთა ცვლილებებზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ტენდენციის განტოლების შერჩევის სიზუსტე მაღალია.

  ტ	წ	t 2	y 2	t∙y	y(t)	(y-y cp) 2	(y-y(t)) 2	(t-t p) 2	(y-y(t)) : y
  1990	1319	3960100	1739761	2624810	1340.26	18117.16	451.99	148.84	28041.86
  1996	1288	3984016	1658944	2570848	1263.61	10732.96	594.99	38.44	31417.53
  2001	1213	4004001	1471369	2427213	1199.73	817.96	176.08	1.44	16095.92
  2002	1193	4008004	1423249	2388386	1186.96	73.96	36.54	0.04	7211.59
  2003	1174	4012009	1378276	2351522	1174.18	108.16	0.03	0.64	210.94
  2004	1159	4016016	1343281	2322636	1161.4	645.16	5.78	3.24	2786.55
  2005	1145	4020025	1311025	2295725	1148.63	1552.36	13.17	7.84	4155.05
  2006	1130	4024036	1276900	2266780	1135.85	2959.36	34.26	14.44	6614.41
  2007	1117	4028049	1247689	2241819	1123.08	4542.76	36.94	23.04	6789.19
  2008	1106	4032064	1223236	2220848	1110.3	6146.56	18.51	33.64	4758.73
  20022	11844	40088320	14073730	23710587	11844	45696.4	1368.3	271.6	108081.77

  დურბინ-უოტსონის ტესტი ნარჩენების ავტოკორელაციის არსებობისთვის დროის სერიებისთვის.

  წ	y(x)	e i = y-y(x)	e 2	(e i - e i-1) 2
  1319	1340.26	-21.26	451.99	0
  1288	1263.61	24.39	594.99	2084.14
  1213	1199.73	13.27	176.08	123.72
  1193	1186.96	6.04	36.54	52.19
  1174	1174.18	-0.18	0.03	38.75
  1159	1161.4	-2.4	5.78	4.95
  1145	1148.63	-3.63	13.17	1.5
  1130	1135.85	-5.85	34.26	4.95
  1117	1123.08	-6.08	36.94	0.05
  1106	1110.3	-4.3	18.51	3.15
  			1368.3	2313.41

  
  
  კრიტიკული მნიშვნელობები d 1 და d 2 განისაზღვრება სპეციალური ცხრილების საფუძველზე საჭირო მნიშვნელოვნების დონის a, დაკვირვებების რაოდენობა n და ახსნა ცვლადების რაოდენობა m.
  ცხრილების მითითების გარეშე, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მიახლოებითი წესი და ჩათვალოთ, რომ არ არსებობს ნარჩენების ავტოკორელაცია, თუ 1.5< DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
  დ 1< DW и d 2 < DW < 4 - d 2 .

  მაგალითი. 24 თვის მონაცემებზე დაყრდნობით აშენდა რეგრესიის განტოლება სასოფლო-სამეურნეო ორგანიზაციის მოგების შრომის პროდუქტიულობაზე (x1): y = 300 + 5x.
  შემდეგი შუალედური შედეგები იქნა მიღებული:
  ∑ε 2 = 18500
  ∑(ε t - ε t-1) 2 = 41500
  გამოთვალეთ დურბინ-უოტსონის კრიტერიუმი (n=24 და k=1 (ფაქტორების რაოდენობა), ქვედა მნიშვნელობა d = 1.27, ზედა მნიშვნელობა d = 1.45. გამოიტანეთ დასკვნები.

  გამოსავალი.
  DW = 41500/18500 = 2.24
  d 2 = 4- 1.45 = 2.55
  ვინაიდან DW > 2.55, არსებობს საფუძველი ვიფიქროთ, რომ არ არსებობს ავტოკორელაცია. ეს არის ერთ-ერთი დადასტურება Მაღალი ხარისხიშედეგად მიღებული რეგრესიის განტოლება არის y = 300 + 5x.

განვიხილოთ ფორმის რეგრესიის განტოლება:

სადაც k არის რეგრესიის მოდელის დამოუკიდებელი ცვლადების რაოდენობა.

დროის ყოველი მომენტისთვის t = 1: n, მნიშვნელობა განისაზღვრება ფორმულით

ნარჩენების მიმდევრობის შესწავლით, როგორც დროის სერიებში, შესაძლებელია მათი დამოკიდებულების გამოსახვა დროზე. უმცირესი კვადრატების მეთოდის დაშვების მიხედვით, ნარჩენები უნდა იყოს შემთხვევითი (a). თუმცა, დროის სერიების მოდელირებისას, ზოგჯერ ჩნდება სიტუაცია, როდესაც ნარჩენები შეიცავს ტენდენციას (b და c) ან ციკლურ რყევებს (d). ეს ვარაუდობს, რომ ყოველი შემდეგი ღირებულებანაშთები დამოკიდებულია წინაზე. ამ შემთხვევაში ხდება ნარჩენების ავტოკორელაცია.

ნარჩენების ავტოკორელაციის მიზეზები

ნარჩენების ავტოკორელაცია შეიძლება მოხდეს რამდენიმე მიზეზის გამო:

პირველი, ზოგჯერ ავტოკორელაცია დაკავშირებულია თავდაპირველ მონაცემებთან და გამოწვეულია Y მნიშვნელობებში გაზომვის შეცდომებით.

მეორეც, ზოგჯერ მიზეზი მოდელის ფორმულირებაში უნდა ვეძებოთ. მოდელი შეიძლება არ მოიცავდეს ფაქტორს, რომელსაც აქვს მნიშვნელოვანი გავლენა შედეგზე, მაგრამ რომლის გავლენა აისახება ნარჩენებზე, რის შედეგადაც ეს უკანასკნელი შეიძლება აღმოჩნდეს ავტოკორელირებული. ხშირად ეს ფაქტორი არის დროის ფაქტორი ტ.

ზოგჯერ მნიშვნელოვანი ფაქტორები შეიძლება იყოს ცვლადების ჩამორჩენილი მნიშვნელობები მოდელში შედის. ან მოდელი არ ითვალისწინებს რამდენიმე უმნიშვნელო ფაქტორს, რომელთა ერთობლივი გავლენა შედეგზე მნიშვნელოვანია მათი ტენდენციების დამთხვევის ან ციკლური რყევების გამო.

ნარჩენების ავტოკორელაციის განსაზღვრის მეთოდები

პირველი მეთოდი არის ნარჩენების დროზე დამოკიდებულების გამოსახვა და ნარჩენების ავტოკორელაციის არსებობის ვიზუალურად დადგენა.

მეორე მეთოდი - დურბინ-უოტსონის კრიტერიუმის გაანგარიშება

იმათ. განსაზღვრულია დურბინ-უოტსონის კრიტერიუმი როგორც კვადრატული სხვაობების ჯამის თანაფარდობა თანმიმდევრული მნიშვნელობებინარჩენები ნარჩენების კვადრატების ჯამს. თითქმის ყველა ეკონომეტრიულ პრობლემაში მითითებულია დურბინ-უოტსონის კრიტერიუმის მნიშვნელობა კორელაციის კოეფიციენტთან ერთად, ფიშერისა და სტუდენტის ტესტების მნიშვნელობებთან ერთად.

პირველი რიგის ავტოკორელაციის კოეფიციენტი განისაზღვრება ფორმულით

კავშირი დურბინ-უოტსონის კრიტერიუმსა და ნარჩენების პირველი რიგის ავტოკორელაციის კოეფიციენტს შორის (r1) განისაზღვრება დამოკიდებულებით

იმათ. თუ ნარჩენებში არის სრული დადებითი ავტოკორელაცია r1 = 1 და d = 0, თუ ნარჩენებში არის სრული უარყოფითი ავტოკორელაცია, მაშინ r1 = - 1, d = 4. თუ არ არის ნარჩენების ავტოკორელაცია, მაშინ r1 = 0, d = 2. ამიტომ,

ნარჩენების ავტოკორელაციის იდენტიფიცირების ალგორითმი დურბინ-უოტსონის ტესტის გამოყენებით

ამოიყვანს ჰიპოთეზა ნარჩენების ავტოკორელაციის არარსებობის შესახებ . ალტერნატიული ჰიპოთეზები ნარჩენებში დადებითი ან უარყოფითი ავტოკორელაციის არსებობის შესახებ. შემდეგ ცხრილები განსაზღვრავს დურბინ - უოტსონის კრიტერიუმის კრიტიკული მნიშვნელობები dL და du დაკვირვებების მოცემული რაოდენობისთვის და დამოუკიდებელი ცვლადების რაოდენობა მოდელში მნიშვნელოვნების დონეზე a (ჩვეულებრივ 0,95). ამ მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, ინტერვალი დაყოფილია ხუთ სეგმენტად.

თუ დურბინ-უოტსონის კრიტერიუმის გამოთვლილი მნიშვნელობა დაეცემა გაურკვევლობის ზონაში, მაშინ დასტურდება ნარჩენების ავტოკორელაციის არსებობა და ჰიპოთეზა უარყოფილია