1. ხაზოვანი ოპერატორის ცნება

დაე რდა სხაზოვანი სივრცეები, რომლებსაც აქვთ განზომილება ნდა მშესაბამისად. ოპერატორი ამოქმედი საწყისი რვ სფორმის რუკს უწოდებენ, რომელიც აკავშირებს თითოეულ ელემენტს xსივრცე რრაღაც ელემენტი წსივრცე ს. ამ რუკებისთვის ჩვენ გამოვიყენებთ აღნიშვნას y= ა(x)ან y= ა x.

განმარტება 1. ოპერატორი ამოქმედი საწყისი რვ სეწოდება წრფივი თუ რომელიმე ელემენტისთვის x 1 და x 2 ადგილი რდა ნებისმიერი λ რიცხვების ველიდან კურთიერთობები დაკმაყოფილებულია

1. ა(x 1 +x 2)=აx 1 +აx 2 .
2. ა(λx)=λ აx.

თუ სივრცე სემთხვევა სივრცეს რ, შემდეგ ხაზოვანი ოპერატორი, რომელიც მოქმედებს რვ რსივრცის წრფივი ტრანსფორმაციას უწოდებენ რ.

მიეცით ორი ვექტორული სივრცე n-მოზომილი რდა მ-მოზომილი ს, და დაე, ბაზები და მითითებული იყოს ამ სივრცეებში, შესაბამისად. მოდით რუკების მიცემა

ახლა საპირისპირო ვაჩვენოთ, ე.ი. რომ ნებისმიერი ხაზოვანი ოპერატორისთვის ა, წარმოადგენს სივრცეს რვ სდა თვითნებური ბაზები და ში რდა სშესაბამისად, არსებობს ასეთი მატრიცა აელემენტებით რიცხვითი ველიდან კ, რომ ამ მატრიცით განსაზღვრული წრფივი ასახვა (1) გამოხატავს შედგენილი ვექტორის კოორდინატებს წსაწყისი ვექტორის კოორდინატების მეშვეობით x.

დაე x− თვითნებური ელემენტი რ. მერე

სად იჯ− საფუძველში მიღებული ვექტორის კოორდინატები.

შემდეგ ოპერატორის გამოყენებით აელემენტამდე xდა (3) და (4) გათვალისწინებით გვაქვს

მაშინ ტოლობა (5) მიიღებს შემდეგ ფორმას:

შემდეგ გამოხატულება (6) შეიძლება დაიწეროს მატრიცის სახით:

სად x∈რნიშნავს იმას xეკუთვნის სივრცეს რ.

წრფივი ოპერატორების ჯამი აღინიშნება შემდეგნაირად C=A+B. ადვილია იმის შემოწმება, რომ ხაზოვანი ოპერატორების ჯამი ასევე წრფივი ოპერატორია.

მოდით მივმართოთ ოპერატორს Cსაფუძვლის ვექტორამდე ეჯ, შემდეგ:

3. წრფივი ოპერატორების გამრავლება

მიეცით სამი წრფივი სივრცე რ, სდა თ. მოდით ხაზოვანი ოპერატორი ბაჩვენებს რვ სდა ხაზოვანი ოპერატორი ააჩვენებს სვ თ.

განმარტება 3. ოპერატორების პროდუქტი ადა ბმოუწოდა ოპერატორს C, რომლისთვისაც ნებისმიერისთვის მოქმედებს შემდეგი თანასწორობა xსაწყისი რ:

Cx=ა(Bx), x∈ რ.

(12)

ხაზოვანი ოპერატორების ნამრავლი აღინიშნება C=AB. ადვილი მისახვედრია, რომ ხაზოვანი ოპერატორების ნამრავლი ასევე წრფივი ოპერატორია.

ასე რომ, ოპერატორი Cაჩვენებს სივრცეს რვ თ. მოდით ავირჩიოთ სივრცეებში რ, სდა თფუძეები და აღნიშნეთ ისინი A, Bდა Cოპერატორის მატრიცები ა,ბდა Cამ ბაზების შესაბამისი. შემდეგ ხაზოვანი ოპერატორების ასახვა ა, ბ, C

x-ის თვითნებობის გათვალისწინებით, ვიღებთ

ასე რომ, ოპერატორი Cაჩვენებს სივრცეს რვ ს. მოდით ავირჩიოთ სივრცეებში რ და სფუძეები და აღნიშნეთ ისინი აოპერატორის მატრიცა აამ ფუძეების შესაბამისი ვექტორული ტოლობები

შეიძლება დაიწეროს მატრიცული ტოლობების სახით

სად x, y, z− ვექტორები x, წ, ზ− წარმოდგენილია კოორდინატთა სვეტების სახით. მერე

თვითნებობის გათვალისწინებით X, ვიღებთ

ამიტომ, ოპერატორის პროდუქტი Cრიცხვი λ შეესაბამება მატრიცის ნამრავლს ათითო რიცხვზე λ .

5. ნულოვანი ოპერატორი

ოპერატორს, რომელიც ასახავს R სივრცის ყველა ელემენტს S სივრცის ნულოვან ელემენტთან, ეწოდება null ოპერატორიდა აღინიშნება ო. null ოპერატორის მოქმედება შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

7. ხაზოვანი ოპერატორის ბირთვი

განმარტება 5. წრფივი ოპერატორის ბირთვი აეწოდება ყველა იმ ელემენტის ერთობლიობა xსივრცე რ ცული=0.

ხაზოვანი ოპერატორის ბირთვს ასევე უწოდებენ ოპერატორის დეფექტს. ხაზოვანი ოპერატორის ბირთვი აღინიშნება სიმბოლო ker-ით ა.

8. ხაზოვანი ოპერატორის გამოსახულება

განმარტება 6. წრფივი ოპერატორის გამოსახულება აეწოდება ყველა ელემენტის ერთობლიობა წსივრცე რ, რომლისთვისაც მოქმედებს შემდეგი თანასწორობა: y=ცულიყველასთვის xსაწყისი რ.

ხაზოვანი ოპერატორის გამოსახულება აღინიშნება im-ით ა.

9. ხაზოვანი ოპერატორის წოდება

განმარტება 7. წრფივი ოპერატორის რანგი აწოდებით აღინიშნება აეწოდება რიცხვი, რომელიც ტოლია გამოსახულების განზომილებას im აოპერატორი ა, ანუ: წოდება ა= დაბნელებული (იმ ა).

A მატრიცით, თუ არის რიცხვი l ისეთი, რომ AX = lX.

ამ შემთხვევაში, რიცხვი l ეწოდება საკუთარი ღირებულებაოპერატორი (მატრიცა A), რომელიც შეესაბამება X ვექტორს.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, საკუთრივ ვექტორი არის ვექტორი, რომელიც წრფივი ოპერატორის მოქმედებით გარდაიქმნება კოლინურ ვექტორად, ე.ი. უბრალოდ გაამრავლე რაღაც რიცხვზე. ამის საპირისპიროდ, არასწორი ვექტორები უფრო რთულია ტრანსფორმირება.

მოდით ჩამოვწეროთ საკუთარი ვექტორის განმარტება განტოლებათა სისტემის სახით:

მოდით გადავიტანოთ ყველა ტერმინი მარცხენა მხარეს:

ეს უკანასკნელი სისტემა შეიძლება დაიწეროს მატრიცის სახით შემდეგნაირად:

(A - lE)X = O

მიღებულ სისტემას ყოველთვის აქვს ნულოვანი ამონახსნი X = O. ისეთ სისტემებს, რომლებშიც ყველა თავისუფალი წევრი ნულის ტოლია, ე.წ. ერთგვაროვანი. თუ ასეთი სისტემის მატრიცა კვადრატულია და მისი განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ კრამერის ფორმულების გამოყენებით ყოველთვის მივიღებთ უნიკალურ ამონახსნებს - ნულს. შეიძლება დადასტურდეს, რომ სისტემას აქვს არანულოვანი ამონახსნები, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ამ მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია, ე.ი.

|A - lE| = = 0

ეს განტოლება უცნობი l-ით ე.წ დამახასიათებელი განტოლება (დამახასიათებელი მრავალწევრი) მატრიცა A (წრფივი ოპერატორი).

შეიძლება დადასტურდეს, რომ ხაზოვანი ოპერატორის დამახასიათებელი პოლინომი არ არის დამოკიდებული საფუძვლის არჩევანზე.

მაგალითად, ვიპოვოთ A = მატრიცით განსაზღვრული ხაზოვანი ოპერატორის საკუთარი მნიშვნელობები და საკუთრივვექტორები.

ამისათვის შევქმნათ დამახასიათებელი განტოლება |A - lE| = = (1 - ლ) 2 - 36 = 1 - 2ლ + ლ 2 - 36 = ლ 2 - 2ლ - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; საკუთარი მნიშვნელობები l 1 = (2 - 12) / 2 = -5; ლ 2 = (2 + 12)/2 = 7.

საკუთარი ვექტორების საპოვნელად, ჩვენ ვხსნით განტოლებების ორ სისტემას

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

პირველი მათგანისთვის გაფართოებული მატრიცა ფორმას იღებს

,

საიდანაც x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, ე.ი. X (1) = (-(2/3)s; s).

მეორე მათგანისთვის გაფართოებული მატრიცა ფორმას იღებს

,

საიდანაც x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, ე.ი. X (2) = ((2/3)s 1; s 1).

ამრიგად, ამ წრფივი ოპერატორის საკუთრივ ვექტორები არის (-(2/3)с; с) ფორმის ვექტორები (-5) და ((2/3)с 1; с 1) ფორმის ყველა ვექტორი. საკუთარი მნიშვნელობა 7.

შეიძლება დადასტურდეს, რომ A ოპერატორის მატრიცა, რომელიც შედგება მისი საკუთრივ ვექტორებისგან, დიაგონალურია და აქვს ფორმა:

,

სადაც l i არის ამ მატრიცის საკუთარი მნიშვნელობები.

პირიქითაც მართალია: თუ მატრიცა A რომელიმე საფუძველში დიაგონალურია, მაშინ ამ საფუძვლის ყველა ვექტორი იქნება ამ მატრიცის საკუთრივ ვექტორები.

ასევე შეიძლება დადასტურდეს, რომ თუ წრფივ ოპერატორს აქვს n წყვილში განსხვავებული საკუთარი მნიშვნელობები, მაშინ შესაბამისი საკუთრივექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და ამ ოპერატორის მატრიცას შესაბამის ბაზაზე აქვს დიაგონალური ფორმა.

მოდი ეს წინა მაგალითით ავხსნათ. ავიღოთ თვითნებური არანულოვანი მნიშვნელობები c და c 1, მაგრამ ისეთი, რომ ვექტორები X (1) და X (2) წრფივად დამოუკიდებელი იყოს, ე.ი. საფუძველს შექმნიდა. მაგალითად, მოდით c = c 1 = 3, შემდეგ X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

მოდით გადავამოწმოთ ამ ვექტორების წრფივი დამოუკიდებლობა:

12 ≠ 0. ამ ახალ საფუძველზე, მატრიცა A მიიღებს A * = ფორმას.

ამის დასადასტურებლად, გამოვიყენოთ ფორმულა A * = C -1 AC. ჯერ ვიპოვოთ C -1.

C -1 = ;

კვადრატული ფორმები

კვადრატული ფორმა n ცვლადის f(x 1, x 2, x n) ეწოდება ჯამი, რომლის თითოეული წევრი არის ან ერთ-ერთი ცვლადის კვადრატი, ან ორი განსხვავებული ცვლადის ნამრავლი, აღებული გარკვეული კოეფიციენტით: f(x 1 , x 2, x n) = (a ij = a ji).

ამ კოეფიციენტებისგან შემდგარ A მატრიცას ეწოდება მატრიცაკვადრატული ფორმა. ყოველთვის არის სიმეტრიულიმატრიცა (ანუ მატრიცა სიმეტრიულია მთავარი დიაგონალის მიმართ, a ij = a ji).

მატრიცის აღნიშვნით, კვადრატული ფორმაა f(X) = X T AX, სადაც

მართლაც

მაგალითად, დავწეროთ კვადრატული ფორმა მატრიცის სახით.

ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ კვადრატული ფორმის მატრიცას. მისი დიაგონალური ელემენტები უდრის კვადრატული ცვლადების კოეფიციენტებს, ხოლო დარჩენილი ელემენტები უდრის კვადრატული ფორმის შესაბამისი კოეფიციენტების ნახევრებს. ამიტომაც

მოდით, X ცვლადების მატრიცა-სვეტი მივიღოთ Y მატრიცა-სვეტის არადეგენერაციული წრფივი გარდაქმნით, ე.ი. X = CY, სადაც C არის n-ე რიგის არასიგნორული მატრიცა. შემდეგ კვადრატული ფორმა f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

ამრიგად, C არადეგენერაციული წრფივი ტრანსფორმაციის დროს კვადრატული ფორმის მატრიცა იღებს ფორმას: A * = C T AC.

მაგალითად, ვიპოვოთ კვადრატული ფორმა f(y 1, y 2), მიღებული კვადრატული ფორმისგან f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 წრფივი გარდაქმნით.

კვადრატული ფორმა ეწოდება კანონიკური(აქვს კანონიკური შეხედულება), თუ მისი ყველა კოეფიციენტი a ij = 0 i ≠ j-სთვის, ე.ი.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

მისი მატრიცა დიაგონალურია.

თეორემა(მტკიცებულება აქ არ არის მოცემული). ნებისმიერი კვადრატული ფორმა შეიძლება შემცირდეს კანონიკურ ფორმამდე არადეგენერაციული ხაზოვანი ტრანსფორმაციის გამოყენებით.

მაგალითად, კვადრატული ფორმა დავაკლოთ კანონიკურ ფორმამდე
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

ამისათვის ჯერ აირჩიეთ სრული კვადრატი x 1 ცვლადით:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

ახლა ჩვენ ვირჩევთ სრულ კვადრატს x 2 ცვლადით:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.

შემდეგ არადეგენერაციული წრფივი ტრანსფორმაცია y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 და y 3 = x 3 მოაქვს ამ კვადრატულ ფორმას კანონიკურ ფორმამდე f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

გაითვალისწინეთ, რომ კვადრატული ფორმის კანონიკური ფორმა განისაზღვრა ორაზროვნად (იგივე კვადრატული ფორმა შეიძლება დაიყვანოს კანონიკურ ფორმამდე სხვადასხვა გზით). თუმცა, სხვადასხვა მეთოდით მიღებულ კანონიკურ ფორმებს არაერთი საერთო თვისება აქვთ. კერძოდ, კვადრატული ფორმის დადებითი (უარყოფითი) კოეფიციენტების მქონე ტერმინების რაოდენობა არ არის დამოკიდებული ფორმის ამ ფორმამდე შემცირების მეთოდზე (მაგალითად, განხილულ მაგალითში ყოველთვის იქნება ორი უარყოფითი და ერთი დადებითი კოეფიციენტი). ამ თვისებას კვადრატული ფორმების ინერციის კანონი ეწოდება.

მოდით გადავამოწმოთ ეს იგივე კვადრატული ფორმის კანონიკურ ფორმაში სხვაგვარად მიყვანით. დავიწყოთ ტრანსფორმაცია x 2 ცვლადით:

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, სადაც y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 და y 3 = x 1 . აქ არის უარყოფითი კოეფიციენტი -3 y 1-ზე და ორი დადებითი კოეფიციენტი 3 და 2 y 2 და y 3-ზე (და სხვა მეთოდის გამოყენებით მივიღეთ უარყოფითი კოეფიციენტი (-5) y 2-ზე და ორი დადებითი: 2 y 1-ზე. და 1/20 y 3).

აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ კვადრატული ფორმის მატრიცის რანგი ე.წ კვადრატული ფორმის წოდება, უდრის კანონიკური ფორმის არანულოვანი კოეფიციენტების რაოდენობას და არ იცვლება წრფივი გარდაქმნებისას.

კვადრატული ფორმა f(X) ეწოდება დადებითად (უარყოფითი) გარკვეულითუ ცვლადის ყველა მნიშვნელობისთვის, რომლებიც ერთდროულად არ არის ნულის ტოლი, ეს დადებითია, ე.ი. f(X) > 0 (უარყოფითი, ე.ი.
f(X)< 0).

მაგალითად, კვადრატული ფორმა f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 არის დადებითი განსაზღვრული, რადგან არის კვადრატების ჯამი და კვადრატული ფორმა f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 უარყოფითი განსაზღვრულია, რადგან წარმოადგენს ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

უმეტეს პრაქტიკულ სიტუაციებში, გარკვეულწილად უფრო რთულია კვადრატული ფორმის განსაზღვრული ნიშნის დადგენა, ამიტომ ამისთვის ვიყენებთ ერთ-ერთ შემდეგ თეორემას (მათ ჩამოვაყალიბებთ მტკიცებულების გარეშე).

თეორემა. კვადრატული ფორმა არის დადებითი (უარყოფითი) განსაზღვრული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი მატრიცის ყველა საკუთარი მნიშვნელობა დადებითია (უარყოფითი).

თეორემა(სილვესტერის კრიტერიუმი). კვადრატული ფორმა დადებითია განსაზღვრული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ამ ფორმის მატრიცის ყველა წამყვანი მინორი დადებითია.

მთავარი (კუთხის) მინორი n-ე რიგის A რიგის მატრიცას ეწოდება მატრიცის განმსაზღვრელი, რომელიც შედგება A (A) მატრიცის პირველი k რიგებისა და სვეტებისგან.

გაითვალისწინეთ, რომ ნეგატიური განსაზღვრული კვადრატული ფორმებისთვის ძირითადი მცირეწლოვანთა ნიშნები ერთმანეთს ენაცვლება, ხოლო პირველი რიგის მინორი უარყოფითი უნდა იყოს.

მაგალითად, გამოვიკვლიოთ კვადრატული ფორმა f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 ნიშნის განსაზღვრულობისთვის.

= (2 - ლ)*
*(3 - ლ) - 4 = (6 - 2ლ - 3ლ + ლ 2) - 4 = ლ 2 - 5ლ + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. ამიტომ, კვადრატული ფორმა დადებითი განსაზღვრულია.

მეთოდი 2. A D 1 = a 11 = 2 > 0 მატრიცის პირველი რიგის მთავარი მინორი D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. ამიტომ, სილვესტერის კრიტერიუმის მიხედვით, კვადრატული ფორმაა. დადებითი გარკვეული.

ჩვენ განვიხილავთ ნიშნის განსაზღვრულობის სხვა კვადრატულ ფორმას, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

მეთოდი 1. ავაშენოთ A = კვადრატული ფორმის მატრიცა. დამახასიათებელ განტოლებას ექნება ფორმა = (-2 - ლ)*
*(-3 - ლ) - 4 = (6 + 2ლ + 3ლ + ლ 2) - 4 = ლ 2 + 5ლ + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. ამიტომ, კვადრატული ფორმა უარყოფითი განსაზღვრულია.

მეთოდი 2. მატრიცის პირველი რიგის ძირითადი მინორი A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. შესაბამისად, სილვესტერის კრიტერიუმის მიხედვით, კვადრატული ფორმა უარყოფითი განსაზღვრულია (მთავარი მცირეწლოვანთა ნიშნები ალტერნატიულია, დაწყებული მინუსებით).

და როგორც სხვა მაგალითი, ჩვენ განვიხილავთ ნიშნით განსაზღვრულ კვადრატულ ფორმას f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

მეთოდი 1. ავაშენოთ A = კვადრატული ფორმის მატრიცა. დამახასიათებელ განტოლებას ექნება ფორმა = (2 - ლ)*
*(-3 - ლ) - 4 = (-6 - 2ლ + 3ლ + ლ 2) - 4 = ლ 2 + ლ - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

ამ რიცხვებიდან ერთი უარყოფითია, მეორე კი დადებითი. საკუთრივ მნიშვნელობების ნიშნები განსხვავებულია. შესაბამისად, კვადრატული ფორმა არ შეიძლება იყოს არც უარყოფითი და არც დადებითი განსაზღვრული, ე.ი. ეს კვადრატული ფორმა არ არის ნიშან-განსაზღვრული (მას შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი ნიშნის მნიშვნელობები).

მეთოდი 2. მატრიცის პირველი რიგის ძირითადი მინორი A D 1 = a 11 = 2 > 0. მეორე რიგის ძირითადი მინორი D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

- ხაზოვანი ალგებრა

საკუთრივ ვექტორები და ხაზოვანი ოპერატორის მნიშვნელობები (ტრანსფორმაციები)

მოდით იყოს n-განზომილებიანი წრფივი სივრცის წრფივი გარდაქმნა V. V წრფივი სივრცის არანულოვანი ვექტორი \სიმბოლო(ები), რომელიც აკმაყოფილებს პირობას

\mathcal(A)(\boldsymbol(s))=\lambda\cdot \boldsymbol(s),

დაურეკა წრფივი ტრანსფორმაციის საკუთრივვექტორი\mathcal(A) . რიცხვი \ლამბდა ტოლობაში (9.5) ეწოდება ტრანსფორმაციის საკუთრივ მნიშვნელობა\mathcal(A) . ამბობენ, რომ საკუთრივ ვექტორი შეესაბამება (ეკუთვნის) საკუთრივ მნიშვნელობას \ლამბდა. თუ V სივრცე რეალურია (კომპლექსური), მაშინ საკუთრივ მნიშვნელობა \ლამბდა არის რეალური (კომპლექსური) რიცხვი.

წრფივი ტრანსფორმაციის ყველა საკუთარი მნიშვნელობის სიმრავლეს ეწოდება მისი სპექტრი.

მოდით ავხსნათ საკუთრივ ვექტორების გეომეტრიული მნიშვნელობა. არანულოვანი ვექტორი s არის \mathcal(A) ტრანსფორმაციის საკუთრივვექტორი, თუ მისი გამოსახულება \mathcal(A) (\სიმბოლო(ები))კოლინარულია \სიმბოლო(ებ)ის შებრუნებული გამოსახულების მიმართ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ \boldsymbol(s) არის საკუთრივვექტორი, მაშინ ტრანსფორმაციას \mathcal(A) აქვს ერთგანზომილებიანი ინვარიანტული ქვესივრცე.საპირისპირო განცხადება ასევე მართალია.

მართლაც, დაე, საკუთარი ვექტორი \სიმბოლო(ები) შეესაბამებოდეს ზოგიერთ საკუთრივ მნიშვნელობას \ლამბდა. ნებისმიერი ვექტორი \boldsymbol(v)-დან \ოპერატორის სახელი(Lin)(\სიმბოლო(ები))ჰგავს \boldsymbol(v)=\alpha \boldsymbol(s), სადაც \alpha არის ნებისმიერი რიცხვი მოცემული ველიდან. მოდი ვიპოვოთ ამ ვექტორის გამოსახულება

\mathcal(A)(\boldsymbol(v))= \mathcal(A)(\alpha \boldsymbol(s))= \alpha\cdot \mathcal(A)(\boldsymbol(s))= \alpha\cdot \ lambda\cdot \boldsymbol(s)\in \operatorname(Lin) (\boldsymbol(s)).

აქედან გამომდინარე, \mathcal(A)(\boldsymbol(v))\in \ოპერატორის სახელი(Lin)(\boldsymbol(s))ნებისმიერი ვექტორისთვის \boldsymbol(v)\in \ოპერატორის სახელი(Lin)(\boldsymbol(s)), ე.ი. ქვესივრცე \ოპერატორის სახელი(Lin)(\სიმბოლო(ები))უცვლელი ტრანსფორმაციის ქვეშ \mathcal(A) . ქვესივრცის განზომილება \ოპერატორის სახელი(Lin) (\სიმბოლო(ები))უდრის ერთს, ვინაიდან \სიმბოლო(ები)\ne \სიმბოლო(ო)განსაზღვრებით.

საპირისპირო დებულება შეიძლება დადასტურდეს საპირისპირო მსჯელობით.

წრფივი ტრანსფორმაციის (ოპერატორის) საკუთრივ ვექტორებსა და მის მატრიცას შორის კავშირი

ადრე განიხილებოდა მატრიცის საკუთრივ ვექტორები და საკუთრივ მნიშვნელობები. შეგახსენებთ, რომ n-ე რიგის კვადრატული მატრიცის A საკუთრივ ვექტორი არის არანულოვანი რიცხვითი სვეტი s=\begin(pmatrix)s_1&\cdots&s_(n)\end(pmatrix)^T, დამაკმაყოფილებელი მდგომარეობა (7.13):

A\cdot s=\lambda\cdot s.

რიცხვს \ლამბდა (9.6) ეწოდება A მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობას. ითვლებოდა, რომ საკუთრივ მნიშვნელობა \ლამბდა და რიცხვები s_i~(i=1,\ldots,n)მიეკუთვნება რთული რიცხვების ველს.

ეს ცნებები დაკავშირებულია წრფივი ტრანსფორმაციის საკუთრივ ვექტორებთან და საკუთრივ მნიშვნელობებთან.

თეორემა 9.3 წრფივი ტრანსფორმაციის საკუთრივვექტორების და მისი მატრიცის შესახებ. დაე \mathcal(A)\მძიმე V\V-მდეარის n-განზომილებიანი წრფივი სივრცის V წრფივი გარდაქმნა საფუძვლით. მაშინ \mathcal(A) ტრანსფორმაციის საკუთრივვექტორის \სიმბოლო(ები) საკუთრივ მნიშვნელობა \ლამბდა და კოორდინატთა სვეტი (s) არის ამ ტრანსფორმაციის A მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობა და საკუთრივვექტორი, რომელიც განისაზღვრება საფუძვლის მიმართ. \boldsymbol(e)_1,\ldots, \boldsymbol(e)_n, ე.ი.

\mathcal(A)(\boldsymbol(s))=\lambda\cdot \boldsymbol(s)\quad \Rightarrow\quad A\cdot s=\lambda\cdot s,სად \boldsymbol(s)=s_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+s_n \boldsymbol(e)_n,~ s=\begin(pmatrix)s_1&\cdots& s_n\end(pmatrix)^T.

საპირისპირო განცხადება მართალია დამატებითი პირობებით: თუ სვეტი s=\begin(pmatrix) s_1&\cdots&s_n\end(pmatrix)^Tდა რიცხვი \ლამბდა არის A მატრიცის საკუთრივვექტორი და საკუთრივ მნიშვნელობა და რიცხვები s_1,\ldots,s_n,\lambdaმიეკუთვნება იმავე რიცხვის ველს, რომელზედაც განსაზღვრულია წრფივი სივრცე V, შემდეგ ვექტორი \boldsymbol(s)=s_1 \boldsymbol(e)_1+ \ldots+s_n \boldsymbol(e)_nდა რიცხვი \ლამბდა არის წრფივი ტრანსფორმაციის საკუთრივვექტორი და საკუთრივ მნიშვნელობა \mathcal(A)\მძიმე V\V-მდე A მატრიცის საფუძველზე \boldsymbol(e)_1,\ldots,\boldsymbol(e)_n.

ფაქტობრივად, პირობას (9.5) კოორდინატულ ფორმაში აქვს ფორმა (9.6), რომელიც ემთხვევა მატრიცის საკუთრივვექტორის განმარტებას (7.13). პირიქით, ტოლობა (9.6) გულისხმობს თანასწორობას (9.5) იმ პირობით, რომ ვექტორები და \ლამბდა\cdot \სიმბოლო(ები)განსაზღვრული, ე.ი. ნომრები s_1,\ldots,s_n,\lambdaმიეკუთვნება იმავე რიცხვების ველს, რომელზედაც განისაზღვრება წრფივი სივრცე.

შეგახსენებთ, რომ მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობების პოვნა მცირდება მისი დამახასიათებელი განტოლების ამოხსნამდე \დელტა_A(\ლამბდა)=0, სად \დელტა_A(\ლამბდა)=\det(A-\ლამბდა E)არის A მატრიცის დამახასიათებელი მრავალწევრი. ხაზოვანი ტრანსფორმაციისთვის ჩვენ შემოგვაქვს მსგავსი ცნებები.

წრფივი გარდაქმნის დამახასიათებელი მრავალწევრი \mathcal(A)\მძიმე V\V-მდე n-განზომილებიანი წრფივი სივრცე არის ამ ტრანსფორმაციის A მატრიცის დამახასიათებელი პოლინომი, რომელიც გვხვდება V სივრცის ნებისმიერ საფუძველთან მიმართებაში.

განტოლება ე.წ წრფივი ტრანსფორმაციის დამახასიათებელი განტოლება.

კონვერტაცია \mathcal(A)-\lambda\mathcal(E)წრფივი გარდაქმნის მახასიათებელს უწოდებენ \mathcal(A)\მძიმე V\V-მდე.

შენიშვნები 9.4

1. წრფივი ტრანსფორმაციის დამახასიათებელი პოლინომი არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ რა საფუძველზე არის ნაპოვნი ტრანსფორმაციის მატრიცა.

სინამდვილეში, მატრიცები \mathop(A)\limits_((\boldsymbol(e)))და \mathop(A)\limits_((\boldsymbol(f)))წრფივი ტრანსფორმაცია \mathcal(A) ფუძეებში (\boldsymbol(e))= (\boldsymbol(e)_1,\ldots, \boldsymbol(e)_n)და (\boldsymbol(f))=(\boldsymbol(f)_1,\ldots,\boldsymbol(f)_n)მსგავსია (9.4) მიხედვით: \nathop(A)\limits_((\boldsymbol(f)))=S^(-1)\mathop(A)\limits_((\boldsymbol(e)))S, სადაც S არის გადასვლის მატრიცა საფუძვლიდან (\boldsymbol(e)) საფუძვლამდე (\boldsymbol(f)). როგორც ადრე იყო ნაჩვენები, ასეთი მატრიცების დამახასიათებელი პოლინომები ერთმანეთს ემთხვევა (იხ. თვისება 3). მაშასადამე, \mathcal(A) ტრანსფორმაციის დამახასიათებელი პოლინომისთვის შეგვიძლია გამოვიყენოთ აღნიშვნა \Delta_(\mathcal(A))(\lambda), ამ ტრანსფორმაციის მატრიცის დაზუსტების გარეშე.

2. თეორემა 9.3-დან გამომდინარეობს, რომ დამახასიათებელი განტოლების ნებისმიერი რთული (რეალური, რაციონალური) ფესვი არის წრფივი ტრანსფორმაციის საკუთარი მნიშვნელობა. \mathcal(A)\მძიმე V\V-მდერთული (რეალური, რაციონალური) რიცხვების ველზე განსაზღვრული წრფივი სივრცე V.

3. 9.3 თეორემადან გამომდინარეობს, რომ რთული წრფივი სივრცის ნებისმიერ წრფივ ტრანსფორმაციას აქვს ერთგანზომილებიანი ინვარიანტული ქვესივრცე, ვინაიდან ამ ტრანსფორმაციას აქვს საკუთარი მნიშვნელობა (იხ. პუნქტი 2) და შესაბამისად, საკუთრივ ვექტორები. ასეთი ქვესივრცე არის, მაგალითად, ნებისმიერი საკუთარი ვექტორის წრფივი დიაპაზონი. რეალური წრფივი სივრცის ტრანსფორმაციას შეიძლება არ ჰქონდეს ერთგანზომილებიანი ინვარიანტული ქვესივრცეები, თუ დამახასიათებელი განტოლების ყველა ფესვი რთულია (მაგრამ არა რეალური).

თეორემა 9.4 რეალურ სივრცეში წრფივი ოპერატორის ინვარიანტულ ქვესივრცეებზე. რეალური წრფივი სივრცის ყოველ წრფივ ტრანსფორმაციას აქვს ერთგანზომილებიანი ან ორგანზომილებიანი ინვარიანტული ქვესივრცე.

მართლაც, მოდით შევადგინოთ წრფივი ტრანსფორმაციის მატრიცა A \mathcal(A)\მძიმე V\V-მდე n-განზომილებიანი რეალური წრფივი სივრცე V თვითნებურ საფუძველზე \boldsymbol(e)_1,\ldots,\boldsymbol(e)_n. ამ მატრიცის ელემენტები რეალური რიცხვებია. მაშასადამე, დამახასიათებელი მრავალწევრი \Delta_(\mathcal(A))(\lambda)=\det(A-\lambda E)არის n ხარისხის პოლინომი რეალური კოეფიციენტებით. ალგებრის ფუნდამენტური თეორემის მე-3 და მე-4 დასკვნის მიხედვით, ასეთ მრავალწევრს შეიძლება ჰქონდეს ნამდვილი ფესვები და რთული კონიუგატური ფესვების წყვილი.

თუ დამახასიათებელი განტოლების რეალური ფესვია, მაშინ შესაბამისი საკუთრივექტორი s=\begin(pmatrix)s_1&\cdots&s_n\end(pmatrix)^Tმატრიცა A ასევე რეალურია. ამიტომ ის განსაზღვრავს საკუთრივ ვექტორს \boldsymbol(s)=s_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+s_n \boldsymbol(e)_nწრფივი ტრანსფორმაცია (იხ. თეორემა 9.3). ამ შემთხვევაში, არის ერთგანზომილებიანი ქვესივრცის უცვლელი \mathcal(A) ქვეშ \ოპერატორის სახელი(Lin)(\სიმბოლო(ები))(იხ. საკუთრივ ვექტორების გეომეტრიული მნიშვნელობა).

თუ \lambda=\alpha\pm\beta iარის რთული კონიუგატული ფესვების წყვილი (\beta\ne0), მაშინ A მატრიცის საკუთრივვექტორს s\ne o ასევე აქვს რთული ელემენტები: s=\begin(pmatrix)x_1+y_1i&\cdots& x_n+y_n i \end(pmatrix)^T. ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც s=x+yi, სადაც x,\,y არის რეალური სვეტები. ტოლობას (9.6) ექნება ფორმა

A\cdot(x+yi)= (\alpha+\beta i)\cdot(x+yi).

რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების გამოყოფით, ვიღებთ სისტემას

\begin(cases)Ax=\alpha x-\beta y,\\ Ay=\beta x+\alpha y.\end(cases)

ვაჩვენოთ, რომ სვეტები (x) და (y) წრფივად დამოუკიდებელია. განვიხილოთ ორი შემთხვევა. თუ x=o, მაშინ პირველი განტოლებიდან (9.7) გამოდის, რომ y=o, ვინაიდან \beta\ne0. შემდეგ s=o, რომელიც ეწინააღმდეგება პირობას s\ne o. დავუშვათ, რომ x\ne o და x და y სვეტები პროპორციულია, ე.ი. არის რეალური რიცხვი \გამა, რომ y=\გამა x . შემდეგ (9.7) სისტემიდან ვიღებთ \დაწყება(შემთხვევები)Ax=(\ალფა-\ბეტა\გამა)x, \\ \გამა Ax=(\ბეტა-\ალფა\გამა)x. \დასრულება (შემთხვევები)პირველი განტოლების (-\გამაზე) გამრავლებით მეორე განტოლებაზე მივდივართ ტოლობამდე. [(\ბეტა+\ალფა\გამა)-\გამა(\ალფა-\ბეტა\გამა)]x=o. ვინაიდან x\ne o კვადრატულ ფრჩხილებში გამოსახულება ნულის ტოლია, ე.ი. (\ბეტა+\ალფა\გამა)- \გამა(\ალფა-\ბეტა\გამა)= \ბეტა(1+\გამა^2)=0. ვინაიდან \beta\ne0, მაშინ \gamma^2=-1. ეს არ შეიძლება მოხდეს, რადგან \gamma არის რეალური რიცხვი. ჩვენ მივიღეთ წინააღმდეგობა. ამრიგად, x და y სვეტები წრფივად დამოუკიდებელია.

განვიხილოთ ქვესივრცე სადაც \boldsymbol(x)= x_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+x_n \boldsymbol(e)_n,~ \boldsymbol(y)= y_1 \boldsymbol(e)_1+\ldots+ y_n \boldsymbol(y)_n. ეს ქვესივრცე ორგანზომილებიანია, რადგან ვექტორები \boldsymbol(x),\boldsymbol(y)ისინი წრფივად დამოუკიდებელნი არიან (როგორც ზემოთ არის ნაჩვენები, მათი x,y კოორდინატთა სვეტები წრფივად დამოუკიდებელია). (9.7)-დან გამომდინარეობს, რომ \begin(cases)\mathcal(A)(\boldsymbol(x))=\alpha \boldsymbol(x)-\beta \boldsymbol(y),\\ \mathcal(A)(\boldsymbol(y))=\ ბეტა \boldsymbol(x)+\alpha \boldsymbol(y),\end(cases)იმათ. ნებისმიერი ვექტორის კუთვნილი გამოსახულება \ოპერატორის სახელი(Lin)(\boldsymbol(x),\boldsymbol(y)), ასევე ეკუთვნის \ოპერატორის სახელი(Lin)(\boldsymbol(x),\boldsymbol(y)). აქედან გამომდინარე, \ოპერატორის სახელი(Lin)(\boldsymbol(x),\boldsymbol(y))არის ორგანზომილებიანი ქვესივრცის უცვლელი ტრანსფორმაციის ქვეშ \mathcal(A), რისი დასამტკიცებლადაც გვჭირდებოდა.

წრფივი ოპერატორის საკუთრივვექტორების და მნიშვნელობების პოვნა (ტრანსფორმაცია)

იპოვონ წრფივი ტრანსფორმაციის საკუთრივ ვექტორები და საკუთრივ მნიშვნელობები \mathcal(A)\მძიმე V\V-მდერეალური წრფივი სივრცე V, შემდეგი ნაბიჯები უნდა შესრულდეს.

1. აირჩიეთ თვითნებური საფუძველი \boldsymbol(e)_1,\ldots,\boldsymbol(e)_nწრფივი სივრცე V და ამ საფუძველზე იპოვეთ ტრანსფორმაციის მატრიცა A \mathcal(A).

2. შეადგინეთ გარდაქმნის დამახასიათებელი მრავალწევრი \mathcal(A)\colon\, \Delta_(\mathcal(A))(\lambda)=\det(A-\lambda E).

3. იპოვეთ ყველა განსხვავებული რეალური ფესვი \lambda_1,\ldots,\lambda_kდამახასიათებელი განტოლება \Delta_(\mathcal(A))(\lambda)=0. დამახასიათებელი განტოლების რთული (მაგრამ არა რეალური) ფესვები უნდა გაუქმდეს (იხ. 9.4 შენიშვნების მე-2 პუნქტი).

4. ფესვისთვის \ლამბდა=\ლამბდა_1იპოვნეთ ფუნდამენტური სისტემა \varphi_1, \varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r) (A-\lambda_1E)x=o, სად r=\ოპერატორის სახელი(rg)(A-\lambda_1E). ამისათვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ან ალგორითმი ერთგვაროვანი სისტემის გადასაჭრელად, ან ფუნდამენტური მატრიცის პოვნის ერთ-ერთი მეთოდი.

5. დაწერეთ წრფივად დამოუკიდებელი საკუთრივვექტორები ტრანსფორმაციის \mathcal(A) \lambda_1 საკუთრების მნიშვნელობის შესაბამისი:

\begin(მატრიცა) \boldsymbol(s)_1=\varphi_(1\,1)\boldsymbol(e)_1+ \ldots+ \varphi_(n\,1)\boldsymbol(e)_n,\\ \boldsymbol(s) _2=\varphi_(1\,2)\boldsymbol(e)_1+ \ldots+ \varphi_(n\,2)\boldsymbol(e)_n,\\ \vdots\\ \boldsymbol(s)_(n-r)=\ varphi_(1\,n-r) \boldsymbol(e)_1+ \ldots+\varphi_(n\,n-r)\boldsymbol(e)_n. \ბოლო (მატრიცა)

\lambda_1 საკუთრივ მნიშვნელობის შესაბამისი ყველა საკუთარი ვექტორის სიმრავლის საპოვნელად, შექმენით არანულოვანი წრფივი კომბინაციები.

\სიმბოლო(ები)= C_1 \სიმბოლო(ები)_1+C_2 \სიმბოლო(ები)_2+\ლდოტები+ ​​C_(n-r)\სიმბოლო(ები)_(n-r),

სად C_1,C_2,\ldots,C_(n-r)- თვითნებური მუდმივები, რომლებიც ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის.

გაიმეორეთ ნაბიჯები 4, 5 დარჩენილი საკუთრივ მნიშვნელობებისთვის \lambda_2,\ldots,\lambda_kწრფივი ტრანსფორმაცია \mathcal(A) .

რთული წრფივი სივრცის წრფივი ტრანსფორმაციის საკუთრივვექტორების მოსაძებნად, თქვენ უნდა დაადგინოთ მე-3 საფეხურზე დამახასიათებელი განტოლების ყველა ფესვი და რთული ფესვების გადაგდების გარეშე შეასრულოთ 4 და 5 ნაბიჯები მათთვის.

ხაზოვანი ოპერატორების საკუთრივ ვექტორების მაგალითები (ტრანსფორმაციები)

1. ნულოვანი კონვერტაციისთვის \mathcal(O)\colon V\ to Vნებისმიერი არანულოვანი ვექტორი არის საკუთარი ვექტორი, რომელიც შეესაბამება ნულოვან საკუთრივ მნიშვნელობას \lambda=0, ვინაიდან \mathcal(O)(\boldsymbol(s))=0\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\ V-ში.

2. იდენტობის ტრანსფორმაციისთვის \mathcal(E)\colon V\ to Vნებისმიერი არანულოვანი ვექტორი \სიმბოლო(ები)\ V-შიარის საკუთრება, რომელიც შეესაბამება იდენტობის საკუთრივ მნიშვნელობას \lambda=1, ვინაიდან \mathcal(E) (\boldsymbol(s))=1\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\ V-ში.

3. ცენტრალური სიმეტრიისთვის \mathcal(Z)_(\boldsymbol(o))\colon V\ to Vნებისმიერი არანულოვანი ვექტორი \სიმბოლო(ები)\ V-ში \mathcal(Z)_(\boldsymbol(o)) (\boldsymbol(s))=(-1)\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\ V-ში.

4. ჰომოთეტურობისთვის \mathcal(H)_(\lambda)\მძიმე V\V-მდენებისმიერი არანულოვანი ვექტორი \სიმბოლო(ები)\ V-შიარის საკუთარი მნიშვნელობის \ლამბდას (ჰომოთეტურობის კოეფიციენტი) შესაბამისი, ვინაიდან \mathcal(H)_(\lambda) (\boldsymbol(\boldsymbol(s)))= \lambda\cdot \boldsymbol(s)~ \forall \boldsymbol(s)\ V-ში.

5. შემობრუნება \mathcal(R)_(\varphi)\colon V_2\ to V_2სიბრტყეზე (at) არ არსებობს საკუთრივვექტორები, რადგან როდესაც ბრუნავს \pi-ს არა ჯერადი კუთხით, ყოველი არა-ნულოვანი ვექტორის გამოსახულება შებრუნებული გამოსახულების არასწორხაზოვანია. აქ განვიხილავთ უძრავი სიბრტყის ბრუნვას, ე.ი. ორგანზომილებიანი ვექტორული სივრცე რეალური რიცხვების ველზე.

6. დიფერენციაციის ოპერატორისათვის \mathcal(D)\colon P_n(\mathbb(R))\ to P_n(\mathbb(R))ნულოვანი ხარისხის ნებისმიერი არანულოვანი პოლინომი (არა იდენტურად ნული) არის საკუთარი ვექტორი, რომელიც შეესაბამება ნულოვან საკუთრივ მნიშვნელობას \lambda=0, ვინაიდან \mathcal(D)(s(x))=0\cdot s(x) \სულ s(x)\equiv \text(const). ნებისმიერი არანულოვანი ხარისხის პოლინომი არ არის საკუთარი ვექტორი, რადგან პოლინომი არ არის მისი წარმოებულის პროპორციული: \mathcal(D)(s(x))=s"(x)\ne \lambda\cdot s(x), რადგან მათ აქვთ სხვადასხვა ხარისხი.

7. განიხილეთ ოპერატორი \Pi_(L_1)\მძიმე V\V-მდეპროექცია L_1 ქვესივრცეში L_2 ქვესივრცის პარალელურად. აქ V=L_1\პლუს L_2, \Pi_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+ \boldsymbol(v)_2)=\boldsymbol(v)_1ამისთვის \Pi_(L_1)(\boldsymbol(v)_1)=1\cdot \boldsymbol(v)_1და ნებისმიერი არანულოვანი ვექტორი არის საკუთარი ვექტორი, რომელიც შეესაბამება \lambda=0 საკუთრივ მნიშვნელობას, ვინაიდან \Pi_(L_2)(\boldsymbol(v)_2)=0\cdot \boldsymbol(v)_2 \Pi_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2)= \boldsymbol(v)_1= \ლამბდა(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2)შესაძლებელია ან ზე ან .

8. განიხილეთ ოპერატორი \mathcal(Z)_(L_1)\მძიმე V\V-მდეასახვა L_1 ქვესივრცეში L_2 ქვესივრცის პარალელურად. აქ V=L_1\პლუს L_2 \mathcal(Z)_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2)= \boldsymbol(v)_1- \boldsymbol(v)_2, ამისთვის \boldsymbol(v)=\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2, \boldsymbol(v)_1\in L_1,~ \boldsymbol(v)_2\in L_2. ამ ოპერატორისთვის ნებისმიერი არანულოვანი ვექტორი \boldsymbol(v)_1\L_1-შიარის საკუთარი მნიშვნელობის შესაბამისი \lambda=1 წლიდან \mathcal(Z)_(L_1) (\boldsymbol(v)_1)= 1\cdot \boldsymbol(v)_1და ნებისმიერი არანულოვანი ვექტორი \boldsymbol(v)_2\L_2-შიარის საკუთარი მნიშვნელობა, რომელიც შეესაბამება \lambda=-1 საკუთრებას, ვინაიდან \mathcal(Z)_(L_2) (\boldsymbol(v)_2)= (-1)\cdot \boldsymbol(v)_2. სხვა ვექტორები არ არის საკუთრივ ვექტორები, რადგან თანასწორობაა \mathcal(Z)_(L_1)(\boldsymbol(v)_1+\boldsymbol(v)_2)= \boldsymbol(v)_1- \boldsymbol(v)_2= \lambda(\boldsymbol()_1+ \boldsymbol(v) )_2)შესაძლებელია ან ერთად \boldsymbol(v)_1=\boldsymbol(o), ან ზე \boldsymbol(v)_2= \boldsymbol(o).

9. სივრცის რადიუსის ვექტორების V_3 სივრცეში, გამოსახული O ფიქსირებული წერტილიდან, განვიხილოთ ბრუნვა კუთხით. \varphi\ne\pi k,~ k\in\mathbb(Z), რადიუსის ვექტორით განსაზღვრული \ell ღერძის გარშემო \vec(\ell) . \vec(\ell) ვექტორის კოლინარული ნებისმიერი არანულოვანი ვექტორი არის \lambda=1 საკუთრების შესაბამისი საკუთრება. ამ ტრანსფორმაციას სხვა საკუთარი ვექტორები არ გააჩნია.

მაგალითი 9.1.იპოვეთ დიფერენციაციის ოპერატორის საკუთარი მნიშვნელობები და საკუთრივვექტორები \mathcal(D)\ კოლონი T_1\ T_1-მდეტრიგონომეტრიული მრავალწევრების სივრცის გარდაქმნა (სიხშირე \ომეგა=1):

ა) რეალური კოეფიციენტებით T_1=T_1(\mathbb(R))= \ოპერატორის სახელი(Lin) (\sin(t),\cos(t));

ბ) კომპლექსური კოეფიციენტებით T_1=T_1(\mathbb(C))= \ოპერატორის სახელი(Lin) (\sin(t),\cos(t)).

გამოსავალი. 1. ავირჩიოთ სტანდარტული საფუძველი e_1(t)=\sin(t),~ e_2(t)=\cos(t)და ამის საფუძველზე ჩვენ ვქმნით ოპერატორის D მატრიცას \mathcal(D):

D=\begin(pmatrix)0&-1\\ 1&0 \end(pmatrix)\!.

2. შევადგინოთ გარდაქმნის დამახასიათებელი მრავალწევრი \mathcal(D)\colon\, \Delta_(\mathcal(D))(\lambda)= \begin(vmatrix)-\lambda&-1\\ 1&-\lambda\end(vmatrix)= \ლამბდა^2+ 1..

3. დამახასიათებელ განტოლებას \ლამბდა^2+1=0 აქვს რთული კონიუგატური ფესვები \ლამბდა_1=ი,~ \ლამბდა_2=-ი. არ არსებობს რეალური ფესვები, შესაბამისად, ტრანსფორმაციას \mathcal(D) რეალური სივრცის T_1(\mathbb(R)) (შემთხვევა (a)) არ აქვს საკუთრივ მნიშვნელობებს და, შესაბამისად, არ გააჩნია საკუთრივ ვექტორები. რთული სივრცის ტრანსფორმაციას \mathcal(D) T_1(\mathbb(C)) (შემთხვევა (b)) აქვს რთული საკუთრივ მნიშვნელობები \ლამბდა_1,\,\ლამბდა_2.

4 (1). ფესვისთვის \lambda_1=i ვპოულობთ განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემას \varphi_1 (D-\lambda_1 E)x=o:

\begin(pmatrix)-i&-1\\ 1&-i\end(pmatrix)\!\cdot\! \begin(pmatrix) x_1\\x_2 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix)0\\0 \end(pmatrix)\!.

მოდით შევიყვანოთ სისტემის მატრიცა ეტაპობრივ ფორმამდე პირველი განტოლების გამრავლებით (i)-ზე და გამოვაკლოთ იგი მეორე განტოლებას:

\begin(pmatrix)-i&-1\\ 1&-i \end(pmatrix)\sim \begin(pmatrix)1&-i\\ 1&-i \end(pmatrix)\sim \begin(pmatrix)1&-i\ \0&0\ბოლო(პმატრიცა)\!.

ძირითად ცვლადს x_1 გამოვხატავთ თავისუფალი ცვლადის მიხედვით: x_1=ix_2. თუ დავუშვებთ x_2=1, მივიღებთ x_1=i, ე.ი. \varphi=\begin(pmatrix)i&1 \end(pmatrix)^T.

5 (1). ჩვენ ვწერთ საკუთარი მნიშვნელობის შესაბამის საკუთრივ ვექტორს \lambda_1= i\colon\, s_1(t)=i\cdot\sin(t)+1\cdot\cos(t). ყველა საკუთრივვექტორის სიმრავლე, რომელიც შეესაბამება \lambda_1=i საკუთრივ მნიშვნელობას, ქმნის s_1(t)-ის პროპორციულ ფუნქციებს.

4 (2). ფესვისთვის \lambda_2=-i ანალოგიურად ვპოულობთ ფუნდამენტურ სისტემას (ერთი ვექტორისგან შემდგარი) \varphi_2=\begin(pmatrix)-i&1 \end(pmatrix)^Tგანტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის ამონახსნები (D-\lambda_2E)x=o:

\begin(pmatrix)i&-1\\ 1&i \end(pmatrix)\!\cdot\! \begin(pmatrix) x_1\\x_2 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix)0\\0 \end(pmatrix)\!.

5 (2). ჩვენ ვწერთ საკუთარი მნიშვნელობის შესაბამის საკუთრივ ვექტორს \lambda_2=-i\colon\, s_2(t)=-i\cdot\sin(t)+1\cdot\cos(t). ყველა საკუთრივვექტორის სიმრავლე, რომელიც შეესაბამება \lambda_2=-i საკუთრივ მნიშვნელობას, ქმნის s_2(t)-ის პროპორციულ არანულოვან ფუნქციებს.

აგრეთვე იხილეთ

უმარტივესი წრფივი ოპერატორი არის ვექტორის გამრავლება რიცხვით \(\ლამბდა\). ეს ოპერატორი უბრალოდ ჭიმავს ყველა ვექტორს \(\ლამბდა \)-ჯერ. მისი მატრიცის ფორმა ნებისმიერ საფუძველზე არის \(დიაგ(\ლამბდა,\ლამბდა,...,\ლამბდა)\). სიზუსტისთვის, ჩვენ ვაფიქსირებთ საფუძველს \(\(e\)\) ვექტორულ სივრცეში \(\mathit(L)\) და განვიხილავთ ხაზოვან ოპერატორს დიაგონალური მატრიცის ფორმით ამ საფუძველზე, \(\alpha = diag( \ლამბდა _1,\ლამბდა _2,...,\ლამბდა _ნ)\). ეს ოპერატორი, მატრიცული ფორმის განსაზღვრის მიხედვით, გადაჭიმულია \(e_k\) \(\lambda _k\)-ჯერ, ე.ი. \(Ae_k=\lambda _ke_k\) ყველასთვის \(k=1,2,...,n\). მოსახერხებელია დიაგონალურ მატრიცებთან მუშაობა მათთვის მარტივი ასაგებად: ნებისმიერი ფუნქციისთვის \(f(x)\) შეგვიძლია დავაყენოთ \(f(diag(\lambda _1,\lambda _2,..., \ლამბდა _n))= დიაგ(f(\ლამბდა _1),ფ(\ლამბდა _2),...,ფ(\ლამბდა _n))\). ამრიგად, ჩნდება ბუნებრივი კითხვა: იყოს წრფივი ოპერატორი \(A\), შესაძლებელია თუ არა ვექტორულ სივრცეში ისეთი საფუძვლის არჩევა, რომ \(A\) ოპერატორის მატრიცული ფორმა იყოს დიაგონალური ამ საფუძველზე? ამ კითხვას მივყავართ საკუთარი მნიშვნელობების და საკუთრივ ვექტორების განსაზღვრებამდე.

განმარტება. მოდით ხაზოვანი ოპერატორისთვის \(A\) არსებობდეს არანულოვანი ვექტორი \(u\) და რიცხვი \(\lambda \) ისეთი, რომ \[ Au=\lambda \cdot u. \quad \quad(59) \] შემდეგ ვექტორი \(u\) გამოძახებულია საკუთარი ვექტორი ოპერატორი \(A\), ხოლო ნომერი \(\lambda \) - შესაბამისი საკუთარი ღირებულება ოპერატორი \(A\). ყველა საკუთარი მნიშვნელობის სიმრავლე ეწოდება ხაზოვანი ოპერატორის სპექტრი \(A\).

ჩნდება ბუნებრივი პრობლემა: იპოვნეთ მოცემული წრფივი ოპერატორისთვის მისი საკუთრივ მნიშვნელობები და შესაბამისი საკუთრივვექტორები. ამ პრობლემას ეწოდება ხაზოვანი ოპერატორის სპექტრის პრობლემა.

საკუთარი მნიშვნელობის განტოლება

განსაზღვრულობისთვის ვაფიქსირებთ საფუძველს ვექტორულ სივრცეში, ე.ი. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ იგი მოცემულია ერთხელ და სამუდამოდ. შემდეგ, როგორც ზემოთ განვიხილეთ, წრფივი ოპერატორების გათვალისწინება შეიძლება შემცირდეს მატრიცების გათვალისწინებამდე - ხაზოვანი ოპერატორების მატრიცული ფორმები. განტოლებას (59) გადავწერთ \[ (\alpha -\lambda E)u=0 სახით. \] აქ \(E\) არის იდენტურობის მატრიცა და \(\alpha\) არის ჩვენი წრფივი ოპერატორის მატრიცის ფორმა \(A\). ეს ურთიერთობა შეიძლება განიმარტოს, როგორც \(n\) წრფივი განტოლებების სისტემა \(n\) უცნობისთვის - \(u\) ვექტორის კოორდინატები. უფრო მეტიც, ეს არის განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა და ის უნდა ვიპოვოთ არატრივიალურიგამოსავალი. ადრე ასეთი ამოხსნის არსებობის პირობა იყო მოცემული - ამისთვის აუცილებელია და საკმარისია, რომ სისტემის რანგი უცნობთა რაოდენობაზე ნაკლები იყოს. ეს გულისხმობს განტოლებას საკუთრივ მნიშვნელობებისთვის: \[ det(\alpha -\lambda E)=0. \quad \quad(60) \]

განმარტება. განტოლება (60) ეწოდება დამახასიათებელი განტოლება ხაზოვანი ოპერატორისთვის \(A\).

მოდით აღვწეროთ ამ განტოლების თვისებები და მისი ამონახსნები. თუ ცალსახად დავწერთ, მივიღებთ \[ (-1)^n\lambda ^n+...+det(A)=0 ფორმის განტოლებას. \quad \quad(61) \] მარცხენა მხარეს არის მრავალწევრი ცვლადში \(\lambda \). ასეთ განტოლებებს უწოდებენ \(n\) ხარისხის ალგებრულ განტოლებებს. მოდით მივაწოდოთ საჭირო ინფორმაცია ამ განტოლებების შესახებ.

დახმარება ალგებრული განტოლებების შესახებ.

თეორემა. მოდით, წრფივი ოპერატორის \(A\) ყველა საკუთარი მნიშვნელობა იყოს მარტივი. შემდეგ ამ საკუთრივ მნიშვნელობებთან შესაბამისი საკუთრივ ვექტორების ნაკრები ქმნის ვექტორული სივრცის საფუძველს.

თეორემის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ \(A\) ოპერატორის ყველა საკუთარი მნიშვნელობა განსხვავებულია. დავუშვათ, რომ საკუთარი ვექტორების სიმრავლე წრფივად არის დამოკიდებული, ასე რომ არსებობს მუდმივები \(c_1,c_2,...,c_n\), რომელთაგან ყველა არ არის ნული, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას: \[ \sum_(k=1)^ nc_ku_k=0. \quad \quad(62) \]

ასეთ ფორმულებს შორის განვიხილოთ ერთი, რომელიც შეიცავს ტერმინების მინიმალურ რაოდენობას და ვიმოქმედოთ ოპერატორთან \(A\). მისი წრფივობის გამო ვიღებთ: \[ A\left (\sum_(k=1)^nc_ku_k \right)=\sum_(k=1)^nc_kAu_k=\sum_(k=1)^nc_k\lambda _ku_k= 0. \quad \quad(63) \]

მოდით, განსაზღვრულობისთვის, \(c_1 \neq 0\). გავამრავლოთ (62) \(\ლამბდა _1\)-ზე და გამოვაკლოთ (63), მივიღებთ (62) ფორმის მიმართებას, რომელიც შეიცავს ერთ წევრს. წინააღმდეგობა ამტკიცებს თეორემას.

ასე რომ, თეორემის პირობებში, ჩნდება საფუძველი, რომელიც დაკავშირებულია მოცემულ წრფივ ოპერატორთან - მისი საკუთრივვექტორების საფუძველი. განვიხილოთ ოპერატორის მატრიცული ფორმა ასეთ საფუძველზე. როგორც ზემოთ აღინიშნა, ამ მატრიცის \(k\)-ე სვეტი არის ვექტორის \(Au_k\) დაშლა საფუძველთან მიმართებაში. თუმცა, განმარტებით \(Au_k=\lambda _ku_k\), ასე რომ, ეს გაფართოება (რაც წერია მარჯვენა მხარეს) შეიცავს მხოლოდ ერთ ტერმინს და აგებული მატრიცა გამოდის დიაგონალური. შედეგად აღმოვაჩენთ, რომ თეორემის პირობებში ოპერატორის მატრიცული ფორმა მისი საკუთრივვექტორების საფუძველზე უდრის \(დიაგ(\ლამბდა _1,\ლამბდა _2,...,\ლამბდა _n)\ ). ამიტომ, თუ საჭიროა წრფივი ოპერატორისთვის ფუნქციური გამოთვლების შემუშავება, მიზანშეწონილია ვიმუშაოთ მისი საკუთრივვექტორების საფუძველზე.

თუ ხაზოვანი ოპერატორის საკუთრივ მნიშვნელობებს შორის არის მრავლობითი, სიტუაციის აღწერა უფრო რთული ხდება და შეიძლება მოიცავდეს ე.წ. იორდანიის უჯრედებს. ჩვენ მკითხველს მივმართავთ უფრო მოწინავე გაკვეთილებზე შესაბამისი სიტუაციებისთვის.

დიაგონალურ მატრიცებს აქვთ უმარტივესი სტრუქტურა. ჩნდება კითხვა, შესაძლებელია თუ არა ისეთი საფუძვლის პოვნა, რომლითაც ხაზოვანი ოპერატორის მატრიცას დიაგონალური ფორმა ექნება. ასეთი საფუძველი არსებობს.
მოგვცეს წრფივი სივრცე R n და მასში მოქმედი წრფივი ოპერატორი A; ამ შემთხვევაში ოპერატორი A იღებს R n-ს, ანუ A:R n → R n.

განმარტება. არანულოვან ვექტორს უწოდებენ A ოპერატორის საკუთრივ ვექტორს, თუ ოპერატორი A ითარგმნება კოლინარულ ვექტორად, ანუ. რიცხვს λ ეწოდება ოპერატორი A-ს საკუთრივ მნიშვნელობა ან საკუთრივ მნიშვნელობა, რომელიც შეესაბამება საკუთრივ ვექტორს.
მოდით აღვნიშნოთ საკუთარი მნიშვნელობებისა და საკუთრივვექტორების ზოგიერთი თვისება.
1. საკუთრივ ვექტორების ნებისმიერი წრფივი კომბინაცია ოპერატორი A, რომელიც შეესაბამება იგივე საკუთრივ მნიშვნელობას λ არის საკუთრივ ვექტორი იგივე საკუთრივ მნიშვნელობით.
2. საკუთრივ ვექტორები ოპერატორი A წყვილში განსხვავებული საკუთარი მნიშვნელობებით λ 1 , λ 2 , ..., λ m წრფივად დამოუკიდებელია.
3. თუ საკუთარი მნიშვნელობები λ 1 =λ 2 = λ m = λ, მაშინ საკუთრივ მნიშვნელობა λ შეესაბამება არაუმეტეს m წრფივად დამოუკიდებელ საკუთრივექტორებს.

ასე რომ, თუ არსებობს n წრფივად დამოუკიდებელი საკუთარი ვექტორები λ 1, λ 2, ..., λ n სხვადასხვა საკუთარი მნიშვნელობების შესაბამისი, მაშინ ისინი წრფივად დამოუკიდებელნი არიან, შესაბამისად, ისინი შეიძლება იქნას მიღებული, როგორც R n სივრცის საფუძველი. ვიპოვოთ A წრფივი ოპერატორის მატრიცის ფორმა მისი საკუთრივვექტორების საფუძველზე, რისთვისაც ვმოქმედებთ A ოპერატორთან საბაზისო ვექტორებზე: მერე .
ამრიგად, A ხაზოვანი ოპერატორის მატრიცას მისი საკუთრივვექტორების საფუძველზე აქვს დიაგონალური ფორმა, ხოლო ოპერატორი A-ს საკუთარი მნიშვნელობები დიაგონალის გასწვრივ არის.
არის თუ არა სხვა საფუძველი, რომლითაც მატრიცას აქვს დიაგონალური ფორმა? ამ კითხვაზე პასუხი მოცემულია შემდეგი თეორემით.

თეორემა. წრფივი A ოპერატორის მატრიცას საფუძველში (i = 1..n) აქვს დიაგონალური ფორმა, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ საფუძვლის ყველა ვექტორი არის A ოპერატორის საკუთარი ვექტორები.

საკუთარი მნიშვნელობების და საკუთრივ ვექტორების პოვნის წესი

მიეცით ვექტორი , სადაც x 1, x 2, ..., x n არის ვექტორის კოორდინატები საფუძველთან შედარებით და არის წრფივი ოპერატორის A საკუთრივ ვექტორი, რომელიც შეესაბამება λ საკუთრივ მნიშვნელობას, ანუ. ეს ურთიერთობა შეიძლება დაიწეროს მატრიცის სახით

. (*)

განტოლება (*) შეიძლება ჩაითვალოს განტოლებად საპოვნელად, და, ანუ, ჩვენ გვაინტერესებს არატრივიალური ამონახსნები, ვინაიდან საკუთრივვექტორი არ შეიძლება იყოს ნული. ცნობილია, რომ წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის არატრივიალური ამონახსნები არსებობს, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ det(A - λE) = 0. ამრიგად, იმისათვის, რომ λ იყოს A ოპერატორის საკუთრივ მნიშვნელობა, აუცილებელია და საკმარისია, რომ det(A - λE). ) = 0.
თუ განტოლება (*) დეტალურად არის დაწერილი კოორდინატების სახით, მივიღებთ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებების სისტემას:

(1)
სად - ხაზოვანი ოპერატორის მატრიცა.

სისტემას (1) აქვს არანულოვანი ამონახსნი, თუ მისი განმსაზღვრელი D ნულის ტოლია

ჩვენ მივიღეთ განტოლება საკუთარი მნიშვნელობების საპოვნელად.
ამ განტოლებას ეწოდება დამახასიათებელი განტოლება, ხოლო მის მარცხენა მხარეს - მატრიცის (ოპერატორი) A დამახასიათებელი პოლინომი. თუ დამახასიათებელ მრავალწევრს არ აქვს რეალური ფესვები, მაშინ A მატრიცას არ აქვს საკუთარი ვექტორები და ვერ დაიყვანება დიაგონალურ ფორმამდე.
მოდით λ 1, λ 2, ..., λ n იყოს დამახასიათებელი განტოლების რეალური ფესვები და მათ შორის შეიძლება იყოს ჯერადი. ამ მნიშვნელობების თავის მხრივ (1) სისტემაში ჩანაცვლებით, ჩვენ ვპოულობთ საკუთრივ ვექტორებს.

მაგალითი 12. წრფივი ოპერატორი A მოქმედებს R 3-ში კანონის მიხედვით, სადაც x 1, x 2, .., x n არის ვექტორის კოორდინატები საფუძველში. , , . იპოვეთ ამ ოპერატორის საკუთრივ მნიშვნელობები და საკუთრივვექტორები.
გამოსავალი. ჩვენ ვაშენებთ ამ ოპერატორის მატრიცას:
.
ჩვენ ვქმნით სისტემას საკუთარი ვექტორების კოორდინატების დასადგენად:

ჩვენ ვადგენთ დამახასიათებელ განტოლებას და ვხსნით მას:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
თუ შევცვლით λ = -1 სისტემაში, გვაქვს:
ან
იმიტომ რომ , მაშინ არის ორი დამოკიდებული ცვლადი და ერთი თავისუფალი ცვლადი.
მოდით x 1 იყოს თავისუფალი უცნობი, მაშინ ჩვენ ამ სისტემას ნებისმიერი გზით ვხსნით და ვპოულობთ ამ სისტემის ზოგად ამონახსნებს: ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა შედგება ერთი ამოხსნისგან, ვინაიდან n - r = 3 - 2 = 1.
საკუთრივვექტორთა სიმრავლეს, რომელიც შეესაბამება λ = -1 საკუთრივ მნიშვნელობას, აქვს ფორმა: , სადაც x 1 არის ნებისმიერი რიცხვი ნულის გარდა. მოდით ავირჩიოთ ერთი ვექტორი ამ ნაკრებიდან, მაგალითად, დავაყენოთ x 1 = 1: .
ანალოგიურად მსჯელობით, ჩვენ ვპოულობთ საკუთრივ ვექტორს, რომელიც შეესაბამება λ = 3 საკუთრივ მნიშვნელობას: .
სივრცეში R 3, საფუძველი შედგება სამი წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორისგან, მაგრამ ჩვენ მივიღეთ მხოლოდ ორი წრფივად დამოუკიდებელი საკუთრივვექტორი, საიდანაც არ შეიძლება R3-ის საფუძველი შედგეს. შესაბამისად, ხაზოვანი ოპერატორის A მატრიცას დიაგონალურ ფორმამდე ვერ შევამცირებთ.

მაგალითი 13. მოცემულია მატრიცა .
1. დაამტკიცეთ, რომ ვექტორი არის A მატრიცის საკუთრივვექტორი. იპოვეთ ამ საკუთრივვექტორის შესაბამისი საკუთრივ მნიშვნელობა.
2. იპოვეთ საფუძველი, რომელშიც A მატრიცას აქვს დიაგონალური ფორმა.
გამოსავალი.
1. თუ , მაშინ არის საკუთარი ვექტორი

.
ვექტორი (1, 8, -1) არის საკუთარი ვექტორი. საკუთარი მნიშვნელობა λ = -1.
მატრიცას აქვს დიაგონალური ფორმა, რომელიც შედგება საკუთარი ვექტორებისგან. ერთ-ერთი მათგანი ცნობილია. მოდი ვიპოვოთ დანარჩენი.
ჩვენ ვეძებთ საკუთრივ ვექტორებს სისტემიდან:

დამახასიათებელი განტოლება: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
ვიპოვოთ საკუთრივვექტორი, რომელიც შეესაბამება λ = -3 საკუთრივ მნიშვნელობას:

ამ სისტემის მატრიცის რანგი არის ორი და უდრის უცნობის რაოდენობას, ასე რომ, ამ სისტემას აქვს მხოლოდ ნულოვანი ამონახსნი x 1 = x 3 = 0. x 2 აქ შეიძლება იყოს არაფერი, გარდა ნულისა, მაგალითად, x 2 = 1. ამრიგად, ვექტორი (0 ,1,0) არის λ = -3 შესაბამისი საკუთრივვექტორი. მოდით შევამოწმოთ:
.
თუ λ = 1, მაშინ ვიღებთ სისტემას
მატრიცის წოდება არის ორი. ჩვენ გადავხაზავთ ბოლო განტოლებას.
მოდით x 3 იყოს თავისუფალი უცნობი. შემდეგ x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
თუ დავუშვებთ x 3 = 1, გვაქვს (-3,-9,1) - საკუთრივ ვექტორი, რომელიც შეესაბამება λ = 1 საკუთრივ მნიშვნელობას. შეამოწმეთ:

.
ვინაიდან საკუთრივ მნიშვნელობები რეალური და განსხვავებულია, მათ შესაბამისი ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია, ამიტომ ისინი შეიძლება იქნას მიღებული როგორც საფუძველი R3-ში. ამრიგად, საფუძველში , , A მატრიცას აქვს ფორმა:
.
წრფივი ოპერატორის A:R n → R n ყველა მატრიცა არ შეიძლება დაიყვანდეს დიაგონალურ ფორმამდე, ვინაიდან ზოგიერთი წრფივი ოპერატორისთვის შეიძლება იყოს n-ზე ნაკლები წრფივი დამოუკიდებელი საკუთრივექტორები. ამასთან, თუ მატრიცა სიმეტრიულია, მაშინ m სიმრავლის დამახასიათებელი განტოლების ფესვი შეესაბამება ზუსტად m წრფივად დამოუკიდებელ ვექტორებს.

განმარტება. სიმეტრიული მატრიცა არის კვადრატული მატრიცა, რომელშიც ძირითადი დიაგონალის მიმართ სიმეტრიული ელემენტები ტოლია, ანუ რომელშიც .
შენიშვნები. 1. სიმეტრიული მატრიცის ყველა საკუთარი მნიშვნელობა რეალურია.
2. სიმეტრიული მატრიცის საკუთრივვექტორები, რომლებიც შეესაბამება წყვილ-წყვილად სხვადასხვა საკუთრივ მნიშვნელობებს, ორთოგონალურია.
როგორც შესწავლილი აპარატის მრავალრიცხოვან გამოყენებას, განვიხილავთ მეორე რიგის მრუდის ტიპის განსაზღვრის პრობლემას.