ლაგრანგის მულტიპლიკატორის წესის განსაკუთრებული შემთხვევები. ლაგრანჟის გამრავლების მეთოდი. ლაგრანგის მულტიპლიკატორების ეკონომიკური მნიშვნელობა. ლაგრანგის პრობლემა. უპირობო და პირობითი უკიდურესობები
ლაგრანგის გამრავლების მეთოდიპრობლემების გადაჭრის კლასიკური მეთოდია მათემატიკური პროგრამირება(კერძოდ ამოზნექილი). სამწუხაროდ, როდის პრაქტიკული გამოყენებამეთოდს შეიძლება შეექმნას მნიშვნელოვანი გამოთვლითი სირთულეები, რაც ავიწროებს მისი გამოყენების ფარგლებს. ლაგრანგის მეთოდს აქ ძირითადად იმიტომ განვიხილავთ, რომ ეს არის აპარატი, რომელიც აქტიურად გამოიყენება პრაქტიკაში ფართოდ გავრცელებული სხვადასხვა თანამედროვე რიცხვითი მეთოდების დასაბუთებისთვის. რაც შეეხება ლაგრანგის ფუნქციას და ლაგრანგის მულტიპლიკატორებს, ისინი დამოუკიდებელ და უაღრესად მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ არა მხოლოდ მათემატიკური პროგრამირების თეორიასა და გამოყენებაში.
განვიხილოთ კლასიკური ოპტიმიზაციის პრობლემა
მაქსიმალური (მინ) z=f(x) (7.20)
ეს პრობლემა (7.18), (7.19) გამორჩეულია იმით, რომ შეზღუდვებს შორის (7.21) არ არის უტოლობები, არ არსებობს პირობები, რომ ცვლადები იყოს არაუარყოფითი, მათი დისკრეტულობა და f(x) ფუნქციები არის. უწყვეტი და აქვს ნაწილობრივი წარმოებულები მიმართ მაინცმეორე შეკვეთა.
პრობლემის გადაჭრის კლასიკური მიდგომა (7.20), (7.21) იძლევა განტოლებათა სისტემას ( აუცილებელი პირობები), რომელიც უნდა დაკმაყოფილდეს x* წერტილით, რომელიც უზრუნველყოფს f(x) ფუნქციას ლოკალურ კიდურს შეზღუდვების დამაკმაყოფილებელი წერტილების სიმრავლეზე (7.21) (ამოზნექილი პროგრამირების ამოცანისთვის ნაპოვნი წერტილი x*, შესაბამისად თეორემა 7.6, ერთდროულად იქნება გლობალური ექსტრემის წერტილი).
დავუშვათ, რომ x* წერტილში ფუნქციას (7.20) აქვს ლოკალური პირობითი უკიდურესი და მატრიცის რანგი უდრის. შემდეგ საჭირო პირობები დაიწერება ფორმაში:
(7.22)
არსებობს ლაგრანგის ფუნქცია; - ლაგრანგის მულტიპლიკატორები.
ასევე არის საკმარისი პირობები, რომლებშიც განტოლებათა სისტემის ამონახსნი (7.22) განსაზღვრავს f(x) ფუნქციის უკიდურეს წერტილს. ეს კითხვა წყდება ლაგრანგის ფუნქციის მეორე დიფერენციალური ნიშნის შესწავლის საფუძველზე. თუმცა, საკმარისი პირობები ძირითადად თეორიულ ინტერესს წარმოადგენს.
თქვენ შეგიძლიათ მიუთითოთ შემდეგი პროცედურა პრობლემის გადასაჭრელად (7.20), (7.21) ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდით:
1) შეადგინეთ ლაგრანგის ფუნქცია (7.23);
2) იპოვეთ ლაგრანგის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები ყველა ცვლადის მიმართ 
და დააყენეთ ისინი ნულის ტოლი. ეს გამოიწვევს სისტემას (7.22), რომელიც შედგება განტოლებისგან. ამოხსენით მიღებული სისტემა (თუ ეს შესაძლებელია!) და ამით იპოვნეთ ლაგრანჟის ფუნქციის ყველა სტაციონარული წერტილი;
3) კოორდინატების გარეშე აღებული სტაციონარული წერტილებიდან შეარჩიეთ წერტილები, რომლებშიც f(x) ფუნქციას აქვს პირობითი ლოკალური უკიდურესი შეზღუდვების არსებობისას (7.21). ეს არჩევანი კეთდება, მაგალითად, საკმარისი პირობების გამოყენებით ადგილობრივი ექსტრემუმი. ხშირად კვლევა გამარტივებულია პრობლემის სპეციფიკური პირობების გამოყენების შემთხვევაში.
მაგალითი 7.3. იპოვე ოპტიმალური განაწილებაშეზღუდული რესურსი ერთეულში. n მომხმარებელს შორის, თუ x j ერთეული რესურსის j-ე მომხმარებლისთვის გამოყოფით მიღებული მოგება გამოითვლება ფორმულით.
გამოსავალი.მათემატიკური მოდელიაქვს დავალებები შემდეგი ხედი:
ჩვენ ვადგენთ Lagrange ფუნქციას:
.
ჩვენ ვპოულობთ ლაგრანგის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები და გაუტოლეთ ნულს:
განტოლებათა ამ სისტემის ამოხსნისას მივიღებთ:
ამრიგად, თუ მე-4 მომხმარებელს ენიჭება ერთეული. რესურსი, მაშინ მთლიანი მოგება მიაღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას და დენს. ერთეულები
ჩვენ განვიხილეთ ლაგრანჟის მეთოდი, როგორც იქნა გამოყენებული კლასიკური პრობლემაოპტიმიზაცია. ეს მეთოდი შეიძლება განზოგადდეს იმ შემთხვევისთვის, როდესაც ცვლადები არაუარყოფითია და ზოგიერთი შეზღუდვა მოცემულია უტოლობების სახით. თუმცა, ეს განზოგადება, პირველ რიგში, თეორიულია და არ იწვევს კონკრეტულ გამოთვლით ალგორითმებს.
დასასრულს, მოდით მივცეთ ლაგრანგის მულტიპლიკატორები ეკონომიკური ინტერპრეტაცია. ამისათვის მოდით მივმართოთ უმარტივეს კლასიკურ ოპტიმიზაციის პრობლემას
მაქსიმალური (მინ) ზ=ვ(x 1 , X 2); (7.24)
𝜑(x 1, x 2)=ბ. (7.25)
დავუშვათ, რომ პირობითი ექსტრემუმი მიღწეულია წერტილში. ფუნქციის შესაბამისი უკიდურესი მნიშვნელობა ვ(x)
დავუშვათ, რომ შეზღუდვებში (7.25) რაოდენობა ბშეიძლება შეიცვალოს, შემდეგ კი უკიდურესი წერტილის კოორდინატები და, შესაბამისად, უკიდურესი მნიშვნელობა ვ*ფუნქციები ვ(x) გახდება რაოდენობები იმის მიხედვით ბ, ე.ი. 
,
და შესაბამისად ფუნქციის წარმოებული (7.24)
ლაგრანგის გამრავლების მეთოდი.
ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდი არის ერთ-ერთი მეთოდი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გადაჭრათ პრობლემების გარეშე ხაზოვანი პროგრამირება.
არაწრფივი პროგრამირება არის მათემატიკური პროგრამირების ფილიალი, რომელიც სწავლობს ექსტრემალური ამოცანების გადაჭრის მეთოდებს არაწრფივი ობიექტური ფუნქციით და არაწრფივი შეზღუდვებით განსაზღვრული შესაძლო ამონახსნების რეგიონით. ეკონომიკაში ეს შეესაბამება იმ ფაქტს, რომ შედეგები (ეფექტურობა) იზრდება ან მცირდება არაპროპორციულად ცვლილებებს რესურსების გამოყენების მასშტაბში (ან, რაც იგივეა, წარმოების მასშტაბში): მაგალითად, წარმოების ხარჯების დაყოფის გამო. საწარმოები ცვლადი და ნახევრად ფიქსირებული; საქონელზე მოთხოვნის გაჯერების გამო, როდესაც ყოველი მომდევნო ერთეული უფრო რთული გასაყიდია, ვიდრე წინა და ა.შ.
არაწრფივი პროგრამირების პრობლემა დასმულია, როგორც გარკვეულის ოპტიმუმის პოვნის პრობლემა ობიექტური ფუნქცია
F(x 1,…x n), ფ (x) → მაქს
როდესაც პირობები დაკმაყოფილებულია
g j (x 1,…x n)≥0, გ (x) ≤ ბ , x ≥ 0
სად x-მოთხოვნილი ცვლადების ვექტორი;
ფ (x) -ობიექტური ფუნქცია;
გ (x) - შეზღუდვის ფუნქცია (უწყვეტად დიფერენცირებადი);
ბ - შეზღუდვის მუდმივების ვექტორი.
არაწრფივი პროგრამირების პრობლემის გადაწყვეტა (გლობალური მაქსიმუმი ან მინიმალური) შეიძლება მიეკუთვნებოდეს დასაშვები ნაკრების ზღვარს ან შიგთავსს.
წრფივი პროგრამირების პრობლემისგან განსხვავებით, არაწრფივი პროგრამირების ამოცანებში ოპტიმალური სულაც არ დევს შეზღუდვებით განსაზღვრული რეგიონის საზღვარზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამოცანაა შეარჩიოს ცვლადების ისეთი არაუარყოფითი მნიშვნელობები, რომლებიც ექვემდებარება შეზღუდვების სისტემას უტოლობების სახით, რომლის მიხედვითაც მიიღწევა მოცემული ფუნქციის მაქსიმალური (ან მინიმალური). ამ შემთხვევაში არ არის მითითებული არც ობიექტური ფუნქციის და არც უტოლობების ფორმები. შეიძლება იყოს სხვადასხვა შემთხვევები: ობიექტური ფუნქცია არაწრფივია, ხოლო შეზღუდვები წრფივი; ობიექტური ფუნქცია წრფივია, ხოლო შეზღუდვები (ერთი მათგანი მაინც) არაწრფივი; ობიექტური ფუნქციაც და შეზღუდვებიც არაწრფივია.
არაწრფივი პროგრამირების პრობლემა გვხვდება საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებში, ინჟინერიაში, ეკონომიკაში, მათემატიკაში, ბიზნეს ურთიერთობებში და მთავრობაში.
არაწრფივი პროგრამირება, მაგალითად, დაკავშირებულია ძირითად ეკონომიკურ პრობლემასთან. ამრიგად, შეზღუდული რესურსების გამოყოფის პრობლემაში, ან ეფექტურობა, ან, თუ მომხმარებლის შესწავლა ხდება, მოხმარება მაქსიმიზებულია იმ შეზღუდვების არსებობისას, რომლებიც გამოხატავს რესურსების დეფიციტის პირობებს. ასეთ ზოგად ფორმულირებაში პრობლემის მათემატიკური ფორმულირება შეიძლება შეუძლებელი იყოს, მაგრამ კონკრეტულ აპლიკაციებში ყველა ფუნქციის რაოდენობრივი ფორმა შეიძლება პირდაპირ განისაზღვროს. მაგალითად, სამრეწველო საწარმო აწარმოებს პლასტმასის პროდუქტებს. წარმოების ეფექტურობა აქ იზომება მოგებით, ხოლო შეზღუდვები ინტერპრეტირებულია, როგორც ხელმისაწვდომი შრომა, წარმოების სივრცე, აღჭურვილობის პროდუქტიულობა და ა.შ.
ხარჯ-ეფექტურობის მეთოდი ასევე ჯდება არაწრფივი პროგრამირების სქემაში. ეს მეთოდიშეიქმნა მთავრობაში გადაწყვეტილების მიღებისას გამოსაყენებლად. ზოგადი ფუნქციაეფექტურობა არის კეთილდღეობა. აქ წარმოიქმნება პროგრამირების ორი არაწრფივი პრობლემა: პირველი არის ეფექტის მაქსიმიზაცია შეზღუდული ხარჯებით, მეორე არის ხარჯების მინიმიზაცია, იმ პირობით, რომ ეფექტი გარკვეულზე მაღალია. მინიმალური დონე. ეს პრობლემა, როგორც წესი, კარგად არის მოდელირებული არაწრფივი პროგრამირების გამოყენებით.
არაწრფივი პროგრამირების პრობლემის გადაჭრის შედეგები გამოსადეგია მთავრობის გადაწყვეტილებების მიღებისას. შედეგად მიღებული გამოსავალი, რა თქმა უნდა, რეკომენდირებულია, ამიტომ საბოლოო გადაწყვეტილების მიღებამდე აუცილებელია განიხილოს არაწრფივი პროგრამირების პრობლემის ვარაუდები და სიზუსტე.
არაწრფივი ამოცანები კომპლექსურია; ამისათვის პირობითად ვარაუდობენ, რომ კონკრეტულ სფეროში ობიექტური ფუნქცია იზრდება ან მცირდება დამოუკიდებელი ცვლადების ცვლილების პროპორციულად. ამ მიდგომას ეწოდება ცალმხრივი წრფივი მიახლოების მეთოდი, თუმცა იგი გამოიყენება მხოლოდ ზოგიერთ ტიპზე არაწრფივი ამოცანები.
არაწრფივი ამოცანები გარკვეულ პირობებში წყდება ლაგრანგის ფუნქციის გამოყენებით: მისი პოვნა უნაგირის წერტილი, ამით პრობლემის გადაწყვეტის პოვნა. გამოთვლით ალგორითმებს შორის N. p. დიდი ადგილიიკავებენ გრადიენტურ მეთოდებს. არაწრფივი ამოცანების უნივერსალური მეთოდი არ არსებობს და, როგორც ჩანს, შეიძლება არ იყოს, რადგან ისინი უკიდურესად მრავალფეროვანია. განსაკუთრებით რთულია მულტიექსტრემალური პრობლემების გადაჭრა.
ერთ-ერთი მეთოდი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ არაწრფივი პროგრამირების პრობლემა განტოლებათა სისტემის ამოხსნამდე, არის მეთოდი განუსაზღვრელი მულტიპლიკატორებილაგრანჟი.
ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდის გამოყენებით, არსებითად იქმნება აუცილებელი პირობები, რათა მოხდეს ოპტიმალური წერტილების იდენტიფიცირება ოპტიმიზაციის პრობლემებში თანასწორობის შეზღუდვებით. ამ შემთხვევაში შეზღუდვების პრობლემა გარდაიქმნება ეკვივალენტურ პრობლემად უპირობო ოპტიმიზაცია, რომელიც მოიცავს რამდენიმე უცნობ პარამეტრს, რომელსაც ლაგრანგის მულტიპლიკატორებს უწოდებენ.
ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდი მოიცავს პრობლემების შემცირებას პირობით ექსტრემზე პრობლემებზე უპირობო ექსტრემზე. დამხმარე ფუნქცია- ე.წ ლაგრანგის ფუნქციები.
ფუნქციის უკიდურესობის პრობლემისთვის ვ(x 1, x 2,..., x n) პირობებში (შეზღუდვის განტოლებები) φ მე(x 1, x 2, ..., x n) = 0, მე= 1, 2,..., მ, ლაგრანჟის ფუნქციას აქვს ფორმა
L(x 1, x 2… x n, λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)
მამრავლები λ 1 , λ 2 , ..., λmდაურეკა ლაგრანგის მულტიპლიკატორები.
თუ ღირებულებები x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λmგანტოლებების ამონახსნების არსი, რომელიც განსაზღვრავს ლაგრანგის ფუნქციის სტაციონალურ წერტილებს, კერძოდ, დიფერენცირებადი ფუნქციებისთვის არის განტოლებათა სისტემის ამონახსნები.
მაშინ, საკმაოდ ზოგადი დაშვებებით, x 1, x 2, ..., x n იძლევა f ფუნქციის უკიდურესობას.
განვიხილოთ n ცვლადის ფუნქციის მინიმიზაციის პრობლემა, რომელიც ექვემდებარება ერთ შეზღუდვას თანასწორობის სახით:
მინიმუმამდე f(x 1, x 2… x n) (1)
შეზღუდვების ქვეშ h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)
ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდის შესაბამისად, ეს პრობლემა გარდაიქმნება შემდეგ შეუზღუდავ ოპტიმიზაციის პრობლემად:
მინიმიზაცია L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)
სადაც ფუნქცია L(x;λ) ეწოდება ლაგრანგის ფუნქციას,
λ არის უცნობი მუდმივი, რომელსაც ლაგრანგის მულტიპლიკატორი ეწოდება. არ არსებობს მოთხოვნები λ-ის ნიშანზე.
დაუშვით დააყენეთ მნიშვნელობაλ=λ 0 L(x,λ) ფუნქციის უპირობო მინიმუმი x-სთან მიმართებაში მიიღწევა x=x 0 წერტილში და x 0 აკმაყოფილებს h 1 (x 0)=0 განტოლებას. შემდეგ, როგორც ადვილი შესამჩნევია, x 0 ამცირებს (1) (2) გათვალისწინებით, რადგან x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის დამაკმაყოფილებელია (2), h 1 (x)=0 და L(x,λ)=წთ. f(x).
რა თქმა უნდა, აუცილებელია λ=λ 0 მნიშვნელობის შერჩევა ისე, რომ უპირობო მინიმალური წერტილის x 0 კოორდინატმა დააკმაყოფილოს თანასწორობა (2). ეს შეიძლება გაკეთდეს, თუ λ ცვლადად განვიხილავთ, იპოვით ფუნქციის (3) უპირობო მინიმუმს λ ფუნქციის სახით და შემდეგ აირჩევთ λ-ის მნიშვნელობას, რომელზედაც დაკმაყოფილებულია ტოლობა (2). მოდი ეს კონკრეტული მაგალითით ავხსნათ.
მინიმიზაცია f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0
შეზღუდვის ქვეშ h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0
შესაბამისი შეუზღუდავი ოპტიმიზაციის პრობლემა იწერება შემდეგნაირად:
მინიმალური L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)
გამოსავალი. გრადიენტის L-ის ორი კომპონენტის ნულთან გათანაბრებით, მივიღებთ
→ x 1 0 =λ
→ x 2 0 =λ/2
იმისათვის, რომ შევამოწმოთ, შეესაბამება თუ არა სტაციონარული წერტილი x° მინიმუმს, ჩვენ ვიანგარიშებთ L(x;u) ფუნქციის ჰესიანური მატრიცის ელემენტებს, განიხილება x-ის ფუნქციად,
რაც პოზიტიური გარკვეული გამოდის.
ეს ნიშნავს, რომ L(x,u) არის x-ის ამოზნექილი ფუნქცია. შესაბამისად, კოორდინატები x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 განსაზღვრავს გლობალურ მინიმალურ წერტილს. ოპტიმალური ღირებულებაλ გვხვდება x 1 0 და x 2 0 მნიშვნელობების ჩანაცვლებით განტოლებაში 2x 1 + x 2 =2, საიდანაც 2λ+λ/2=2 ან λ 0 =4/5. ამრიგად, პირობითი მინიმუმი მიიღწევა x 1 0 =4/5 და x 2 0 =2/5 და უდრის min f(x) = 4/5.
მაგალითიდან ამოცანის ამოხსნისას განვიხილეთ L(x;λ) ორი x 1 და x 2 ცვლადის ფუნქციად და, გარდა ამისა, ვივარაუდეთ, რომ λ პარამეტრის მნიშვნელობა ისე იყო არჩეული, რომ შეზღუდვა დაკმაყოფილებულიყო. თუ სისტემის ამოხსნა
J=1,2,3,…,n
λ ვერ მიიღება აშკარა ფუნქციების სახით, შემდეგ x და λ მნიშვნელობები გვხვდება შემდეგი სისტემის ამოხსნით, რომელიც შედგება n+1 განტოლებისგან n+1 უცნობით:
J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0
ყველას მოსაძებნად შესაძლო გადაწყვეტილებებიამ სისტემას შეუძლია გამოიყენოს რიცხვითი ძიების მეთოდები (მაგალითად, ნიუტონის მეთოდი). თითოეული ამონახსნისთვის () უნდა გამოვთვალოთ L ფუნქციის ჰესიანური მატრიცის ელემენტები, განხილული x-ის ფუნქციად და გავარკვიოთ, არის თუ არა ეს მატრიცა დადებითი განსაზღვრული (ადგილობრივი მინიმალური) თუ უარყოფითი განსაზღვრული (ადგილობრივი მაქსიმუმი). ).
ლაგრანჟის მულტიპლიკატორის მეთოდი შეიძლება გავრცელდეს იმ შემთხვევაში, როდესაც პრობლემას აქვს რამდენიმე შეზღუდვა თანასწორობის სახით. განვიხილოთ ზოგადი პრობლემა, რომელიც მოითხოვს
მინიმიზაცია f(x)
შეზღუდვებით h k =0, k=1, 2, ..., K.
Lagrange ფუნქცია იღებს შემდეგ ფორმას:
აქ λ 1 , λ 2 , ..., λk-ლაგრანჟის მულტიპლიკატორები, ე.ი. უცნობი პარამეტრები, რომელთა მნიშვნელობები უნდა განისაზღვროს. L-ის ნაწილობრივი წარმოებულების x-ის მიმართ ნულის ტოლფასი მივიღებთ შემდეგი სისტემა n განტოლება n უცნობით:
თუ ძნელია ზემოაღნიშნული სისტემის ამოხსნის პოვნა λ ვექტორის ფუნქციების სახით, მაშინ შეგიძლიათ გააფართოვოთ სისტემა თანასწორობის სახით შეზღუდვების ჩათვლით.
გაფართოებული სისტემის ამონახსნი, რომელიც შედგება n + K განტოლებისგან n + K უცნობიებით, განსაზღვრავს L ფუნქციის სტაციონარულ წერტილს. შემდეგ ხორციელდება მინიმალური ან მაქსიმუმის შემოწმების პროცედურა, რომელიც ხორციელდება გაანგარიშების საფუძველზე. L ფუნქციის ჰესიანური მატრიცის ელემენტები, განიხილება x-ის ფუნქციად, ისევე, როგორც გაკეთდა ერთი შეზღუდვის ამოცანის შემთხვევაში. ზოგიერთი პრობლემისთვის n+K განტოლებათა გაფართოებულ სისტემას n+K უცნობით შეიძლება არ ჰქონდეს ამონახსნები და ლაგრანგის გამრავლების მეთოდი გამოუყენებელი აღმოჩნდეს. თუმცა უნდა აღინიშნოს, რომ მსგავსი ამოცანები პრაქტიკაში საკმაოდ იშვიათია.
განვიხილოთ განსაკუთრებული შემთხვევა საერთო დავალებაარაწრფივი პროგრამირება, თუ ვივარაუდებთ, რომ შეზღუდვების სისტემა შეიცავს მხოლოდ განტოლებებს, არ არსებობს პირობები ცვლადების არანეგატიურობისთვის და და - ფუნქციები უწყვეტია მათ ნაწილობრივ წარმოებულებთან ერთად. მაშასადამე, განტოლებათა სისტემის ამოხსნით (7) ვიღებთ ყველა წერტილს, სადაც ფუნქციას (6) შეიძლება ჰქონდეს უკიდურესი მნიშვნელობები.
ალგორითმი ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდისთვის
1. შეადგინეთ ლაგრანგის ფუნქცია.
2. იპოვეთ ლაგრანჟის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები x J ,λ i ცვლადებთან მიმართებაში და გაუტოლეთ ნულს.
3. ვხსნით განტოლებათა სისტემას (7), ვპოულობთ წერტილებს, რომლებშიც ამოცანის ობიექტურ ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს უკიდურესი.
4. ექსტრემისთვის საეჭვო წერტილებს შორის ვპოულობთ მათ, რომლებზეც მიიღწევა ექსტრემუმი და გამოვთვალოთ ფუნქციის (6) მნიშვნელობები ამ წერტილებში.
მაგალითი.
საწყისი მონაცემები:საწარმოო გეგმის მიხედვით, კომპანიას 180 პროდუქტის წარმოება სჭირდება. ამ პროდუქტების დამზადება შესაძლებელია ორი ტექნოლოგიური გზით. x 1 პროდუქციის 1 მეთოდით წარმოებისას, ხარჯებია 4x 1 +x 1 2 რუბლი, ხოლო x 2 პროდუქტის წარმოებისას მე-2 მეთოდით, ეს არის 8x 2 +x 2 2 რუბლი. განსაზღვრეთ რამდენი პროდუქტი უნდა იყოს წარმოებული თითოეული მეთოდის გამოყენებით, რათა წარმოების ხარჯები მინიმალური იყოს.
მოცემული პრობლემის ობიექტურ ფუნქციას აქვს ფორმა
® წთპირობებში x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0.
1. შეადგინეთ ლაგრანგის ფუნქცია
.
2.
ჩვენ ვიანგარიშებთ ნაწილობრივ წარმოებულებს x 1, x 2, λ მიმართ და ვატოლებთ მათ ნულს: 
3.
მიღებული განტოლებათა სისტემის ამოხსნით ვპოულობთ x 1 =91,x 2 =89
4. ობიექტურ ფუნქციაში x 2 =180-x 1 ჩანაცვლების შემდეგ ვიღებთ ერთი ცვლადის ფუნქციას, კერძოდ f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1). ) 2
ჩვენ ვიანგარიშებთ ან 4x 1 -364=0,
საიდანაც გვაქვს x 1 * =91, x 2 * =89.
პასუხი: პირველი მეთოდით წარმოებული პროდუქციის რაოდენობაა x 1 =91, მეორე მეთოდით x 2 =89, ხოლო ობიექტური ფუნქციის ღირებულება უდრის 17,278 რუბლს.
ვთქვათ და იყოს ვექტორული არგუმენტის ორჯერ განუწყვეტლივ დიფერენცირებადი სკალარული ფუნქციები. საჭიროა ფუნქციის ექსტრემის პოვნა, იმ პირობით, რომ არგუმენტი აკმაყოფილებს შეზღუდვების სისტემას:
(ბოლო პირობას ასევე უწოდებენ კავშირის პირობას).
ყველაზე მარტივი მეთოდიპირობითი ექსტრემის პოვნა არის პრობლემის აღმოჩენამდე შემცირება უპირობო ექსტრემუმიმიმართ დაწყვილების განტოლების ამოხსნით მცვლადები და მათი შემდგომი ჩანაცვლება ობიექტურ ფუნქციაში.
მაგალითი 3.იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი პირობით.
გამოსავალი. კავშირის განტოლებიდან გამოვხატავთ x 2მეშვეობით x 1და ჩაანაცვლეთ მიღებული გამოხატულება ფუნქციაში ზე:
ამ ფუნქციას აქვს ერთი ექსტრემუმი (მინიმუმი). x 1=2. შესაბამისად, x 2=1. ამრიგად, პირობითი ექსტრემის წერტილი (მინიმუმი) მოცემული ფუნქციაარის წერტილი.
განხილულ მაგალითში, დაწყვილების განტოლება ადვილად ამოსახსნელია ერთ-ერთი ცვლადის მიმართ. თუმცა, უფრო მეტში რთული შემთხვევებიყოველთვის არ არის შესაძლებელი ცვლადების გამოხატვა. შესაბამისად, ზემოთ აღწერილი მიდგომა არ გამოიყენება ყველა პრობლემისთვის.
მეტი უნივერსალური მეთოდიპირობითი ექსტრემის პოვნის პრობლემების გადაჭრა არის ლაგრანჟის გამრავლების მეთოდი. იგი ემყარება შემდეგი თეორემის გამოყენებას. თუ წერტილი არის ფუნქციის უკიდურესი წერტილი განტოლებით განსაზღვრულ რეგიონში, მაშინ (გარკვეულ დამატებით პირობებში) არსებობს ასეთი მ-განზომილებიანი ვექტორი, რომელიც წერტილი არის ფუნქციის სტაციონარული წერტილი
ალგორითმი ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდისთვის
ნაბიჯი 1. შეადგინეთ ლაგრანგის ფუნქცია:
სად შეესაბამება ლაგრანჟის მულტიპლიკატორი მე- შეზღუდვა.
ნაბიჯი 2. იპოვეთ ლაგრანჟის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები და გაუტოლეთ ნულს
ნაბიჯი 3.მიღებული სისტემის ამოხსნის შემდეგ ნ+მგანტოლებები, იპოვნეთ სტაციონარული წერტილები.
გაითვალისწინეთ, რომ სტაციონარულ წერტილებში ფუნქციის უკიდურესობისთვის აუცილებელი, მაგრამ არასაკმარისი პირობა დაკმაყოფილებულია. სტაციონარული წერტილის ანალიზი მასში ექსტრემის არსებობისთვის ამ შემთხვევაშისაკმაოდ რთული. ამიტომ, ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდი ძირითადად გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც შესასწავლი ფუნქციის მინიმუმის ან მაქსიმუმის არსებობა წინასწარ არის ცნობილი გეომეტრიული ან არსებითი მოსაზრებებიდან.
ზოგიერთის ამოხსნისას ეკონომიკური ამოცანებილაგრანჟის მულტიპლიკატორებს აქვთ გარკვეული სემანტიკური შინაარსი. ასე რომ, თუ - საწარმოს მოგება საწარმოო გეგმით ნსაქონელი, - ხარჯები მე-ე რესურსი, მაშინ მე მე- ამ რესურსის შეფასება, რომელიც ახასიათებს ობიექტური ფუნქციის ოპტიმალური ცვლილების სიჩქარის ცვლილებას მე- რესურსი.
მაგალითი 4.იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი პირობით.
გამოსავალი. ფუნქციები არის უწყვეტი და აქვთ უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები. მოდით შევადგინოთ ლაგრანგის ფუნქცია:
ვიპოვოთ ნაწილობრივი წარმოებულები და გავატოლოთ ისინი ნულთან.
ჩვენ ვიღებთ ორ სტაციონალურ წერტილს:
ობიექტური ფუნქციის ბუნების გათვალისწინებით, რომლის დონის ხაზები არის სიბრტყეები და ფუნქციის (ელიფსი), დავასკვნით, რომ წერტილში ფუნქცია იღებს მინიმალურ მნიშვნელობას, ხოლო წერტილში მაქსიმუმს.
მაგალითი 5.სისტემური გადაწყვეტილებების სფეროში
იპოვეთ ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობა მოცემული პირობით.
გამოსავალი. შესაძლებელი გადაწყვეტილებების რეგიონისა და სწორი ხაზის კვეთა არის სეგმენტი MN: მ(0,6), ნ(6.0). მაშასადამე, ფუნქციას შეუძლია მიიღოს უკიდურესი მნიშვნელობები სტაციონარულ წერტილებში ან წერტილებში მდა ნ. სტაციონარული წერტილის საპოვნელად ვიყენებთ ლაგრანგის მეთოდს. შევადგინოთ ლაგრანგის ფუნქცია
ვიპოვოთ ლაგრანჟის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები და გავატოლოთ ისინი ნულთან
სისტემის ამოხსნისას ვიღებთ სტაციონარულ წერტილს კ(2.2; 3.8). მოდით შევადაროთ ობიექტური ფუნქციის მნიშვნელობები წერტილებში კ, მ, ნ:
აქედან გამომდინარე,
მაგალითი 6.ბაზრის მოთხოვნა გარკვეულ პროდუქტზე ცნობილია 180 ცალი. ამ პროდუქტის დამზადება შესაძლებელია ერთი და იმავე კონცერნის ორი საწარმოს მიხედვით სხვადასხვა ტექნოლოგიები. წარმოების დროს x 1პირველი საწარმოს პროდუქცია, მისი ხარჯები იქნება რუბლს შეადგენს, და წარმოების დროს x 2მათ მიერ შექმნილ მეორე საწარმოს პროდუქცია რუბლს შეადგენს.
განსაზღვრეთ თითოეული ტექნოლოგიის გამოყენებით წარმოებული პროდუქტის რაოდენობა კონცერნმა შეიძლება შესთავაზოს ისე, რომ მისი წარმოების მთლიანი ხარჯები მინიმალური იყოს.
გამოსავალი. პრობლემის მათემატიკური მოდელი:
ობიექტური ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობის პოვნა პირობით x 1+ x 2=180, ე.ი. ცვლადების არანეგატიურობის მოთხოვნის გათვალისწინების გარეშე, ჩვენ ვადგენთ Lagrange ფუნქციას:
ვიპოვოთ ლაგრანგის ფუნქციის პირველი წარმოებულები მიმართებაში x 1, x 2, ლდა გავატოლოთ ისინი 0-ზე. ვიღებთ განტოლებათა სისტემას:
ამ სისტემის ამოხსნისას ვპოულობთ შემდეგ ფესვებს: , ე.ი. ჩვენ ვიღებთ იმ წერტილის კოორდინატებს, რომლებიც ეჭვმიტანილია ექსტრემში.
იმის დასადგენად, არის თუ არა წერტილი ( ) ლოკალური მინიმალური, ჩვენ ვსწავლობთ ჰესიანურ განმსაზღვრელს, რისთვისაც ვიანგარიშებთ ობიექტური ფუნქციის მეორე ნაწილობრივ წარმოებულებს:
იმიტომ რომ
მაშინ ჰესიანური დეტერმინანტი დადებითი განსაზღვრულია; ამიტომ, ობიექტური ფუნქცია ამოზნექილია და წერტილში ( ) ჩვენ გვაქვს ადგილობრივი მინიმუმი:
|
ლაგრანგის მეთოდი─ არის შეზღუდული ოპტიმიზაციის პრობლემის გადაჭრის მეთოდი, რომელშიც შეზღუდვები, ჩაწერილი იმპლიციტური ფუნქციების სახით, გაერთიანებულია ობიექტურ ფუნქციასთან ახალი განტოლების სახით, ე.წ. ლაგრანგიანი.
განვიხილოთ ზოგადი არაწრფივი პროგრამირების პრობლემის განსაკუთრებული შემთხვევა:
მოცემულია არაწრფივი განტოლებათა სისტემა (1):
(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),
იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი (ან უდიდესი) მნიშვნელობა (2)
(2) f (x1,x2,…,xn),
თუ არ არსებობს პირობები, რომ ცვლადები იყოს არაუარყოფითი და f(x1,x2,…,xn) და gi(x1,x2,…,xn) არის ფუნქციები, რომლებიც უწყვეტია მათ ნაწილობრივ წარმოებულებთან ერთად.
ამ პრობლემის გადაჭრის მოსაძებნად შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი მეთოდი: 1. შეიყვანეთ ცვლადების ნაკრები λ1, λ2,..., λm, რომელსაც უწოდებენ ლაგრანგის მულტიპლიკატორებს, შეადგინეთ ლაგრანგის ფუნქცია (3)
(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.
2. იპოვეთ ლაგრანჟის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები xi და λi ცვლადებთან მიმართებაში და გაუტოლეთ ნულს.
3. განტოლებათა სისტემის ამოხსნით, იპოვეთ ის წერტილები, რომლებშიც ამოცანის ობიექტურ ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს ექსტრემუმი.
4. იმ წერტილებს შორის, რომლებიც საეჭვოა და არა ექსტრემი, იპოვეთ ის, რომლებზეც მიღწეულია ექსტრემუმი და გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობები ამ წერტილებში. .
4. შეადარეთ f ფუნქციის მიღებული მნიშვნელობები და აირჩიეთ საუკეთესო.
საწარმოო გეგმის მიხედვით, კომპანიას 180 პროდუქტის წარმოება სჭირდება. ამ პროდუქტების დამზადება შესაძლებელია ორი ტექნოლოგიური გზით. X1 პროდუქციის წარმოებისას I მეთოდით, ხარჯებია 4*x1+x1^2 რუბლი, ხოლო x2 პროდუქციის II მეთოდით წარმოებისას არის 8*x2+x2^2 რუბლი. განსაზღვრეთ რამდენი პროდუქტი უნდა იყოს წარმოებული თითოეული მეთოდის გამოყენებით, ისე რომ წარმოების მთლიანი ღირებულება მინიმალური იყოს.
ამოხსნა: პრობლემის მათემატიკური ფორმულირება არის განსაზღვრა ყველაზე დაბალი ღირებულებაორი ცვლადის ფუნქციები:
f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, მოწოდებული x1 +x2 = 180.
მოდით შევადგინოთ ლაგრანგის ფუნქცია:
F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).
გამოვთვალოთ მისი ნაწილობრივი წარმოებულები x1, x2, λ-ის მიმართ და გავუტოლოთ 0-ს:
გადავიტანოთ λ პირველი ორი განტოლების მარჯვენა მხარეს და გავატოლოთ მათი მარცხენა მხარეები, მივიღებთ 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2, ანუ x1 − x2 = 2.
ბოლო განტოლების ამოხსნით x1 + x2 = 180 განტოლებასთან ერთად ვპოულობთ x1 = 91, x2 = 89, ანუ მივიღეთ ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს პირობებს:
ვიპოვოთ ობიექტური ფუნქციის f მნიშვნელობა ცვლადების ამ მნიშვნელობებისთვის:
F(x1, x2) = 17278
ეს წერტილი საეჭვოა უკიდურესი წერტილისთვის. მეორე ნაწილობრივი წარმოებულების გამოყენებით შეგვიძლია ვაჩვენოთ, რომ (91.89) წერტილში f ფუნქციას აქვს მინიმალური.
იგი გამოიყენება ამოცანების გადასაჭრელად ანალიტიკური გამოსახულებით ოპტიმალურობის კრიტერიუმისთვის და დამოუკიდებელზე შეზღუდვების არსებობისას. ტიპის ცვლადებიუდრის მისაღებად ანალიტიკური გადაწყვეტააუცილებელია, რომ შეზღუდვებს ჰქონდეს ანალიტიკური ფორმა. განუსაზღვრელი ლაგრანჟის მულტიპლიკატორების გამოყენება საშუალებას გვაძლევს შევამციროთ ოპტიმიზაციის პრობლემა შეზღუდვებით კლასიკური ანალიზის ფუნქციების შესწავლის მეთოდებით გადაწყვეტილ პრობლემამდე. ამ შემთხვევაში, ოპტიმიზაციის კრიტერიუმის ექსტრემის მოსაძებნად ამოხსნილი განტოლებათა სისტემის რიგი იზრდება შეზღუდვების რაოდენობით. მეთოდი ეფექტურია, როდესაც ცვლადების რაოდენობა სამი ან ნაკლებია. მეთოდი ასევე გამოიყენება, როდესაც ცვლადების რაოდენობა სამზე მეტია, თუ პროცესი აღწერილია სასრული განტოლებებით.
მოდით, საჭირო გახდეს ფუნქციის უკიდურესობის პოვნა, რომელიც დამოკიდებულია n ცვლადზე, რომლებიც, თავის მხრივ, დაკავშირებულია ურთიერთობებით. ფუნქციით მიღწეულ უკიდურესობას, პირობების შესრულების გათვალისწინებით, ეწოდება ფარდობითი, ან პირობითი. თუ ცვლადების რაოდენობა უდრის მიმართებების რაოდენობას (), მაშინ საჭირო უცნობები აღმოჩენილია ურთიერთობებით აღწერილი განტოლებათა სისტემის ამოხსნით. ოპტიმიზაციის პრობლემის გადაჭრა ხდება ამ გზით აღმოჩენილი ცვლადების მნიშვნელობების ფუნქციების შესამოწმებლად. ამრიგად, ექსტრემალური პრობლემის მოგვარება შესაძლებელია მარტივი ძებნაცვლადები, რომლებიც აკმაყოფილებენ პირობებს.
თუ მ< n , მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ დამოკიდებულება დაწყვილების განტოლებიდან მცვლადები საწყისი ნ - მდარჩენილი ცვლადები, ე.ი.
ფუნქციის მიღება შესაძლებელია მიღებული ცვლადების ფუნქციაში ჩანაცვლებით. მაშინ ეს დამოკიდებული იქნება მხოლოდ ცვლადებზე, რომლებიც არ არის დაკავშირებული დამატებითი პირობები. შესაბამისად, შეზღუდვების მოხსნით შესაძლებელია ორიგინალური ოპტიმიზაციის პრობლემის განზომილების შემცირება. ხშირად ამ გზით პრობლემის ანალიტიკური გადაწყვეტა შეუძლებელია. ამიტომ, მრავალი ცვლადის ფუნქციის ექსტრემის პოვნის ამოცანების გადასაჭრელად, ჩვეულებრივ გამოიყენება განუსაზღვრელი მამრავლების ლაგრანგის მეთოდი.
ახალი ცვლადების შემოღებისას, რომლებსაც ლაგრანჟის განუსაზღვრელი მულტიპლიკატორები უწოდებენ, შესაძლებელი ხდება ახალი ფუნქციის დანერგვა.
იმათ. ფუნქცია m+nცვლადები, რომლებშიც განუყოფელ ნაწილად შედის ფუნქციების სისტემის მიერ დაწესებული შეზღუდვები.
ფუნქციის უკიდურესი მნიშვნელობა ემთხვევა ფუნქციის უკიდურეს მნიშვნელობას, თუ შეზღუდვის პირობა დაკმაყოფილებულია. მრავალი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობის აუცილებელი პირობაა, რომ ამ ფუნქციის დიფერენციალი უკიდურეს წერტილში ნულის ტოლია, ე.ი.
იმისათვის, რომ ეს გამოთქმა დაკმაყოფილდეს დამოუკიდებელი დიფერენციალური მნიშვნელობებით, აუცილებელია, რომ ამ დიფერენციალთა კოეფიციენტები იყოს ნულის ტოლი, რაც იძლევა განტოლებათა სისტემას.
ამ შემთხვევაში მდგომარეობიდან დგინდება ახალი დამოუკიდებელი
შესაძლებელია (4.3.1) და (4.3.2) სისტემების კომბინაცია
ამრიგად, (4.3.3) ფორმაში არსებული პრობლემა მცირდება დავალებამდე: პოვნა
ცალკე უნდა აღინიშნოს, რომ ქ ზოგადი შემთხვევალაგრანჟის მულტიპლიკატორის მეთოდი საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ მხოლოდ პირობითი ექსტრემის არსებობისთვის აუცილებელი პირობები. უწყვეტი ფუნქციებიუწყვეტი წარმოებულების მქონე. თუმცა, დან ფიზიკური მნიშვნელობამოგვარებულმა პრობლემამ, როგორც წესი, იცის, საუბარია ფუნქციის მაქსიმუმზე თუ მინიმუმზე, გარდა ამისა, როგორც წესი, განსახილველ სეგმენტზე ფუნქცია არის უნიმოდალური. მაშასადამე, დიზაინის პრობლემებში არ არის საჭირო ცვლადების მნიშვნელობების შემოწმება, რომლებიც აღმოჩენილია ექსტრემისთვის განტოლებათა განტოლების სისტემების გადაჭრისას უმაღლესი რიგის წარმოებულების ანალიზის გამოყენებით.