კუნ ტაკერის ვექტორის ეკონომიკური ინტერპრეტაციები. უნაგირის წერტილის კონცეფცია. კუნ-ტაკერის თეორემა. სუსტი პირობები

არსებობს დავალებების მთელი ჯგუფი (შედის საგამოცდო ამოცანების ტიპებში), რომლებიც დაკავშირებულია კოორდინატულ სიბრტყეთან. ეს არის ამოცანები, დაწყებული ყველაზე ძირითადიდან, რომლებიც წყდება ზეპირად (ორდინატის ან აბსცისის განსაზღვრა მოცემული წერტილი, ან სიმეტრიული მოცემულის წერტილები და სხვა), დამთავრებული ამოცანებით, რომლებიც საჭიროებს მაღალხარისხიან ცოდნას, გაგებას და კარგ უნარებს (ხაზის დახრილობასთან დაკავშირებული ამოცანები).

თანდათან განვიხილავთ ყველა მათგანს. ამ სტატიაში ჩვენ დავიწყებთ საფუძვლებს. ეს მარტივი დავალებებიგანსაზღვროს: წერტილის აბსცისა და ორდინატი, სეგმენტის სიგრძე, სეგმენტის შუა წერტილი, სწორი ხაზის დახრილობის კუთხის სინუსი ან კოსინუსი.ადამიანების უმეტესობა არ იქნება დაინტერესებული ამ ამოცანებით. მაგრამ საჭიროდ მიმაჩნია მათი წარმოდგენა.

ფაქტია, რომ სკოლაში ყველა არ დადის. ბევრი ადამიანი აბარებს ერთიან სახელმწიფო გამოცდას სკოლის დამთავრებიდან 3-4 ან მეტი წლის შემდეგ და ბუნდოვნად ახსოვს რა არის აბსცისა და ორდინატი. ჩვენ ასევე გავაანალიზებთ კოორდინატებთან დაკავშირებულ სხვა დავალებებს, არ გამოტოვოთ იგი, გამოიწერეთ ბლოგის განახლებები. ახლა ნპატარა თეორია.

ავაშენოთ A წერტილი კოორდინატულ სიბრტყეზე x=6, y=3 კოორდინატებით.

ისინი ამბობენ, რომ A წერტილის აბსციზა უდრის ექვსს, A წერტილის ორდინატი უდრის სამს.

მარტივად რომ ვთქვათ, ox ღერძი არის აბსცისის ღერძი, y ღერძი არის ორდინატთა ღერძი.

ანუ აბსციზა არის წერტილი x ღერძზე, რომელშიც დაპროექტებულია კოორდინატულ სიბრტყეზე მოცემული წერტილი; ორდინატი არის წერტილი y ღერძზე, რომელზედაც დაპროექტებულია მითითებული წერტილი.

სეგმენტის სიგრძე კოორდინატულ სიბრტყეზე

სეგმენტის სიგრძის განსაზღვრის ფორმულა, თუ ცნობილია მისი ბოლოების კოორდინატები:

როგორც ხედავთ, სეგმენტის სიგრძე არის ჰიპოტენუზის სიგრძე მართკუთხა სამკუთხედში თანაბარი ფეხებით.

X B - X A და U B - U A

* * *

სეგმენტის შუა. მისი კოორდინატები.

სეგმენტის შუა წერტილის კოორდინატების პოვნის ფორმულა:

ორ მოცემულ წერტილში გამავალი წრფის განტოლება

ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლების ფორმულას აქვს ფორმა:

სადაც (x 1;y 1) და (x 2;y 2 ) მოცემული წერტილების კოორდინატები.

კოორდინატთა მნიშვნელობების ფორმულაში ჩანაცვლებით, იგი მცირდება ფორმაში:

y = kx + b, სადაც k არის ხაზის დახრილობა

ეს ინფორმაცია დაგვჭირდება კოორდინატულ სიბრტყესთან დაკავშირებული პრობლემების სხვა ჯგუფის გადაჭრისას. იქნება სტატია ამის შესახებ, არ გამოტოვოთ!

კიდევ რა შეგიძლიათ დაამატოთ?

სწორი ხაზის (ან სეგმენტის) დახრილობის კუთხე არის კუთხე oX ღერძსა და ამ სწორ ხაზს შორის, 0-დან 180 გრადუსამდე.

განვიხილოთ ამოცანები.

(6;8) წერტილიდან პერპენდიკულარი ჩამოშვებულია ორდინატთა ღერძზე. იპოვეთ პერპენდიკულარულის ფუძის ორდინატი.

ორდინატთა ღერძზე დაშვებული პერპენდიკულურის ფუძეს ექნება კოორდინატები (0;8). ორდინატი რვის ტოლია.

პასუხი: 8

იპოვნეთ მანძილი წერტილიდან აკოორდინატებით (6;8) ორდინატამდე.

მანძილი A წერტილიდან ორდინატთა ღერძამდე ტოლია A წერტილის აბსცისა.

პასუხი: 6.

ა(6;8) ღერძთან შედარებით ოქსი.

A წერტილის სიმეტრიულ წერტილს oX ღერძის მიმართ აქვს კოორდინატები (6;– 8).

ორდინატი უდრის მინუს რვას.

პასუხი: - 8

იპოვეთ წერტილის სიმეტრიული წერტილის ორდინატი ა(6;8) წარმოშობის მიმართ.

A წერტილის სიმეტრიულ წერტილს საწყისის მიმართ აქვს კოორდინატები (– 6;– 8).

მისი ორდინატია – 8.

პასუხი: -8

იპოვეთ წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტის შუა წერტილის აბსცისაო(0;0) და ა(6;8).

პრობლემის გადასაჭრელად საჭიროა სეგმენტის შუა კოორდინატების პოვნა. ჩვენი სეგმენტის ბოლოების კოორდინატებია (0;0) და (6;8).

ჩვენ ვიანგარიშებთ ფორმულის გამოყენებით:

მივიღეთ (3;4). აბსცისა უდრის სამს.

პასუხი: 3

*სეგმენტის შუა ნაწილის აბსციზა შეიძლება განისაზღვროს გაანგარიშების გარეშე ფორმულის გამოყენებით ამ სეგმენტის კოორდინატულ სიბრტყეზე კვადრატულ ფურცელზე აგებით. სეგმენტის შუა ნაწილის დადგენა ადვილი იქნება უჯრედებით.

იპოვეთ წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტის შუა წერტილის აბსცისა ა(6; 8) და ბ(–2;2).

პრობლემის გადასაჭრელად საჭიროა სეგმენტის შუა კოორდინატების პოვნა. ჩვენი სეგმენტის ბოლოების კოორდინატებია (–2;2) და (6;8).

ჩვენ ვიანგარიშებთ ფორმულის გამოყენებით:

მივიღეთ (2;5). აბსცისა უდრის ორს.

პასუხი: 2

*სეგმენტის შუა ნაწილის აბსციზა შეიძლება განისაზღვროს გამოთვლების გარეშე ფორმულის გამოყენებით ამ სეგმენტის კოორდინატულ სიბრტყეზე კვადრატის ფურცელზე აგებით.

იპოვეთ (0;0) და (6;8) წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტის სიგრძე.

სეგმენტის სიგრძე მისი ბოლოების მოცემულ კოორდინატებზე გამოითვლება ფორმულით:

ჩვენს შემთხვევაში გვაქვს O(0;0) და A(6;8). ნიშნავს,

*გამოკლებისას კოორდინატების თანმიმდევრობას მნიშვნელობა არ აქვს. შეგიძლიათ გამოაკლოთ A წერტილის აბსცისა და ორდინატი O წერტილის აბსცისა და ორდინატისგან:

პასუხი: 10

იპოვეთ წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტის დახრილობის კოსინუსი ო(0;0) და ა(6;8), x-ღერძით.

სეგმენტის დახრილობის კუთხე არის კუთხე ამ სეგმენტსა და oX ღერძს შორის.

A წერტილიდან ვამცირებთ oX ღერძის პერპენდიკულარულს:

ანუ, სეგმენტის დახრილობის კუთხე არის კუთხეSAIABO მართკუთხა სამკუთხედში.

კოსინუსი მწვავე კუთხემართკუთხა სამკუთხედში არის

მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ჰიპოტენუზაOA.

პითაგორას თეორემის მიხედვით:მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს.

ამრიგად, დახრილობის კუთხის კოსინუსი არის 0,6

პასუხი: 0.6

წერტილიდან (6;8) პერპენდიკულარი ჩამოშვებულია აბსცისის ღერძზე. იპოვეთ პერპენდიკულარულის ფუძის აბსცისა.

აბსცისის ღერძის პარალელურად სწორი ხაზი გაყვანილია წერტილის მეშვეობით (6;8). იპოვეთ მისი გადაკვეთის წერტილის ორდინატი ღერძთან oU.

იპოვნეთ მანძილი წერტილიდან აკოორდინატებით (6;8) აბსცისის ღერძამდე.

იპოვნეთ მანძილი წერტილიდან ასაწყისამდე (6;8) კოორდინატებით.

შესაძლებელია სეგმენტის სიგრძის დადგენა სხვადასხვა გზით. იმისათვის, რომ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ სეგმენტის სიგრძე, საკმარისია გქონდეთ სახაზავი ან იცოდეთ სპეციალური ფორმულებიგაანგარიშებისთვის.

სეგმენტის სიგრძე სახაზავის გამოყენებით

ამისთვის სიბრტყეზე აგებულ სეგმენტზე ვიყენებთ სახაზავს მილიმეტრიანი განყოფილებებით და საწყისი წერტილი უნდა იყოს გასწორებული სახაზავი შკალის ნულთან. შემდეგ ამ სკალაზე უნდა მონიშნოთ ამ სეგმენტის ბოლო წერტილის მდებარეობა. მთლიანი მასშტაბის განყოფილებების შედეგად მიღებული რაოდენობა იქნება სეგმენტის სიგრძე, გამოხატული სმ და მმ-ში.

სიბრტყის კოორდინატთა მეთოდი

თუ სეგმენტის (x1;y1) და (x2;y2) კოორდინატები ცნობილია, მაშინ მისი სიგრძე უნდა გამოითვალოს შემდეგნაირად. პირველი წერტილის კოორდინატები უნდა გამოკლდეს მეორე წერტილის სიბრტყეზე არსებულ კოორდინატებს. შედეგი უნდა იყოს ორი ციფრი. თითოეული ეს რიცხვი უნდა იყოს კვადრატში და შემდეგ უნდა მოიძებნოს ამ კვადრატების ჯამი. მიღებული რიცხვიდან უნდა ამოიღოთ კვადრატული ფესვი, რომელიც იქნება მანძილი წერტილებს შორის. ვინაიდან ეს წერტილები არის სეგმენტის ბოლოები, მაშინ მოცემული ღირებულებადა იქნება მისი სიგრძე.

მოდით შევხედოთ მაგალითს, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ სეგმენტის სიგრძე კოორდინატების გამოყენებით. არის ორი წერტილის (-1;2) და (4;7) კოორდინატები. წერტილების კოორდინატებს შორის სხვაობის პოვნისას ვიღებთ შემდეგი მნიშვნელობები: x = 5, y =5. შედეგად მიღებული რიცხვები იქნება სეგმენტის კოორდინატები. შემდეგ თითოეულ რიცხვს ვაწყობთ კვადრატში და ვპოულობთ შედეგების ჯამს, ის უდრის 50-ს. ვიღებთ ამ რიცხვის კვადრატულ ფესვს. შედეგი არის: 2-ის 5 ფესვი. ეს არის სეგმენტის სიგრძე.

კოორდინატების მეთოდი სივრცეში

ამისათვის თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ ვექტორის სიგრძე. სწორედ ეს იქნება სეგმენტი ევკლიდეს სივრცეში. ის გვხვდება თითქმის ისევე, როგორც სიბრტყეზე სეგმენტის სიგრძე. ვექტორი აგებულია სხვადასხვა სიბრტყეში. როგორ მოვძებნოთ ვექტორის სიგრძე?

1. იპოვეთ ვექტორის კოორდინატები, ამისათვის თქვენ უნდა გამოაკლოთ მისი საწყისი წერტილის კოორდინატები მისი ბოლო წერტილის კოორდინატებს.
2. ამის შემდეგ, თქვენ უნდა მოაწყოთ თითოეული ვექტორის კოორდინატი.
3. შემდეგ ვამატებთ კოორდინატების კვადრატებს.
4. ვექტორის სიგრძის საპოვნელად, თქვენ უნდა აიღოთ კოორდინატების კვადრატების ჯამის კვადრატული ფესვი.

მოდით შევხედოთ გაანგარიშების ალგორითმს მაგალითის გამოყენებით. აუცილებელია ვიპოვოთ AB ვექტორის კოორდინატები. A და B წერტილებს აქვთ შემდეგი კოორდინატები: A (1;6;3) და B (3;-1;7). ვექტორის დასაწყისი მდგომარეობს A წერტილში, დასასრული მდებარეობს B წერტილში. ამრიგად, მისი კოორდინატების საპოვნელად აუცილებელია A წერტილის კოორდინატები გამოვაკლოთ B წერტილის კოორდინატებს: (3 - 1; -1 -). 6;7 - 3) = (2;- 7:4).

ახლა თითოეულ კოორდინატს ვაწყობთ კვადრატში და ვაგროვებთ: 4+49+16=69. ბოლოს იღებს კვადრატულ ფესვს მოცემული ნომერი. მისი ამოღება რთულია, ამიტომ შედეგს ასე ვწერთ: ვექტორის სიგრძე უდრის 69-ის ფესვს.

თუ თქვენთვის არ არის მნიშვნელოვანი სეგმენტების და ვექტორების სიგრძის გამოთვლა, მაგრამ მხოლოდ შედეგი გჭირდებათ, მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი, მაგალითად, ეს.

ახლა, ამ მეთოდების შესწავლით და წარმოდგენილი მაგალითების გათვალისწინებით, შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ სეგმენტის სიგრძე ნებისმიერ პრობლემაში.

სეგმენტის მიხედვითმოვუწოდებთ სწორი ხაზის ნაწილს, რომელიც შედგება ამ ხაზის ყველა წერტილისგან, რომელიც მდებარეობს ამ ორ წერტილს შორის - მათ უწოდებენ სეგმენტის ბოლოებს.

მოდით შევხედოთ პირველ მაგალითს. მოდით გარკვეული სეგმენტი განისაზღვროს ორი წერტილით კოორდინატულ სიბრტყეში. IN ამ შემთხვევაშიმისი სიგრძე შეგვიძლია ვიპოვოთ პითაგორას თეორემის გამოყენებით.

ასე რომ, კოორდინატთა სისტემაში ვხატავთ სეგმენტს მისი ბოლოების მოცემული კოორდინატებით(x1; y1) და (x2; y2) . ღერძზე X და ი დახაზეთ პერპენდიკულარები სეგმენტის ბოლოებიდან. მოდი წითლად აღვნიშნოთ სეგმენტები, რომლებიც წარმოადგენენ საწყისი სეგმენტის პროგნოზებს კოორდინატთა ღერძზე. ამის შემდეგ ჩვენ გადავიტანთ საპროექციო სეგმენტებს სეგმენტების ბოლოების პარალელურად. ვიღებთ სამკუთხედს (მართკუთხა). ამ სამკუთხედის ჰიპოტენუზა იქნება თავად AB სეგმენტი, ხოლო მისი ფეხები არის გადატანილი პროგნოზები.

მოდით გამოვთვალოთ ამ პროგნოზების სიგრძე. ასე რომ, ღერძზე ი პროექციის სიგრძე არის y2-y1 და ღერძზე X პროექციის სიგრძე არის x2-x1 . მოდით გამოვიყენოთ პითაგორას თეორემა: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . ამ შემთხვევაში |AB| არის სეგმენტის სიგრძე.

თუ იყენებთ ეს დიაგრამასეგმენტის სიგრძის გამოსათვლელად, მაშინ სეგმენტის აგებაც კი არ დაგჭირდებათ. ახლა გამოვთვალოთ სეგმენტის სიგრძე კოორდინატებით (1;3) და (2;5) . პითაგორას თეორემის გამოყენებით მივიღებთ: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . ეს ნიშნავს, რომ ჩვენი სეგმენტის სიგრძე უდრის 5:1/2 .

განვიხილოთ შემდეგი გზასეგმენტის სიგრძის პოვნა. ამისათვის ჩვენ უნდა ვიცოდეთ რომელიმე სისტემაში ორი წერტილის კოორდინატები. განვიხილოთ ეს ვარიანტი, ორგანზომილებიანი დეკარტის კოორდინატთა სისტემის გამოყენებით.

ასე რომ, ორგანზომილებიან კოორდინატთა სისტემაში მოცემულია სეგმენტის უკიდურესი წერტილების კოორდინატები. თუ ამ წერტილებს გავავლებთ სწორ ხაზებს, ისინი კოორდინატთა ღერძის პერპენდიკულარული უნდა იყოს, მაშინ მივიღებთ მართკუთხა სამკუთხედს. თავდაპირველი სეგმენტი იქნება მიღებული სამკუთხედის ჰიპოტენუზა. სამკუთხედის ფეხები ქმნიან სეგმენტებს, მათი სიგრძე უდრის ჰიპოტენუზის პროექციას კოორდინატთა ღერძებზე. პითაგორას თეორემიდან გამომდინარე, დავასკვნათ: მოცემული სეგმენტის სიგრძის საპოვნელად, თქვენ უნდა იპოვოთ პროგნოზების სიგრძე ორ კოორდინატულ ღერძზე.

მოდი ვიპოვოთ პროგნოზების სიგრძე (X და Y) თავდაპირველი სეგმენტი კოორდინატთა ღერძებზე. ჩვენ ვიანგარიშებთ მათ ცალკეული ღერძის გასწვრივ წერტილების კოორდინატებში სხვაობის პოვნის გზით: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .

გამოთვალეთ სეგმენტის სიგრძე ა , ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ კვადრატულ ფესვს:

A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

თუ ჩვენი სეგმენტი მდებარეობს წერტილებს შორის, რომელთა კოორდინატები 2;4 და 4;1 , მაშინ მისი სიგრძე შესაბამისად უდრის √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3.61 .

თუ კარგად გაპარსული ფანქრით შეეხებით ნოუთბუქის ფურცელს, დარჩება კვალი, რომელიც წარმოდგენას იძლევა წერტილის შესახებ. (ნახ. 3).

ფურცელზე მოვნიშნოთ ორი წერტილი A და B. როგორ დავაკავშიროთ A და B წერტილები უმოკლეს წრფესთან? ეს შეიძლება გაკეთდეს სახაზავი (ნახ. 5). შედეგად მიღებული ხაზი ე.წ სეგმენტი.

წერტილი და ხაზი - მაგალითები გეომეტრიული ფორმები.

A და B წერტილები ეწოდება სეგმენტის ბოლოები.

არის ერთი სეგმენტი, რომლის ბოლოებია A და B წერტილები. ამიტომ, სეგმენტი აღინიშნება იმ წერტილების ჩაწერით, რომლებიც მისი ბოლოებია. მაგალითად, ნახაზზე 5 სეგმენტი მითითებულია ორიდან ერთ-ერთი გზით: AB ან BA. წაიკითხეთ: "სეგმენტი AB" ან "სეგმენტი BA".

სურათი 6 გვიჩვენებს სამ სეგმენტს. სეგმენტის სიგრძე AB არის 1 სმ. ის ზუსტად სამჯერ ჯდება სეგმენტში MN, ხოლო ზუსტად 4-ჯერ სეგმენტში EF. ვთქვათ, რომ სეგმენტის სიგრძე MN უდრის 3 სმ, ხოლო EF სეგმენტის სიგრძე 4 სმ.

ასევე ჩვეულებრივ უნდა ითქვას: "სეგმენტი MN უდრის 3 სმ", "სეგმენტი EF უდრის 4 სმ". ისინი წერენ: MN = 3 სმ, EF = 4 სმ.

ჩვენ გავზომეთ სეგმენტების სიგრძე MN და EF ერთი სეგმენტი, რომლის სიგრძეა 1 სმ სეგმენტების გასაზომად შეგიძლიათ აირჩიოთ სხვა სიგრძის ერთეულიმაგალითად: 1 მმ, 1 დმ, 1 კმ. მე-7 სურათზე სეგმენტის სიგრძეა 17 მმ. იგი იზომება ერთი სეგმენტით, რომლის სიგრძეა 1 მმ, გრადუირებული სახაზავი. ასევე, სახაზავის გამოყენებით შეგიძლიათ ააგოთ (დახაზოთ) მოცემული სიგრძის სეგმენტი (იხ. სურ. 7).

საერთოდ, სეგმენტის გაზომვა ნიშნავს დათვალოთ რამდენი ერთეული სეგმენტი ჯდება მასში.

სეგმენტის სიგრძეს აქვს შემდეგი თვისება.

თუ მონიშნავთ C წერტილს AB სეგმენტზე, მაშინ AB სეგმენტის სიგრძე უდრის AC და CB სეგმენტების სიგრძის ჯამს.(ნახ. 8).

ჩაწერეთ: AB = AC + CB.

სურათი 9 გვიჩვენებს ორ სეგმენტს AB და CD. ეს სეგმენტები დაემთხვევა ზედმიწევნისას.

ორ სეგმენტს ტოლი ეწოდება, თუ ისინი ემთხვევა ზედმეტად.

ამიტომ სეგმენტები AB და CD ტოლია. ისინი წერენ: AB = CD.

თანაბარ სეგმენტებს აქვთ თანაბარი სიგრძე.

ორი არათანაბარი სეგმენტიდან უფრო დიდი სიგრძის მქონე სეგმენტს მივიჩნევთ. მაგალითად, სურათზე 6 სეგმენტი EF უფრო დიდია ვიდრე სეგმენტი MN.

AB სეგმენტის სიგრძე ეწოდება მანძილი A და B წერტილებს შორის.

თუ რამდენიმე სეგმენტი განლაგებულია, როგორც ნაჩვენებია სურათზე 10, თქვენ მიიღებთ გეომეტრიული ფიგურარომელსაც ე.წ გატეხილი ხაზი. გაითვალისწინეთ, რომ ნახაზი 11-ის ყველა სეგმენტი არ ქმნის გაწყვეტილ ხაზს. სეგმენტები ითვლება გაწყვეტილ ხაზად, თუ პირველი სეგმენტის ბოლო ემთხვევა მეორის დასასრულს, ხოლო მეორე სეგმენტის მეორე ბოლო მესამეს და ა.შ.

წერტილები A, B, C, D, E − გატეხილი ხაზის წვეროები ABCDE, წერტილები A და E − პოლიხაზის ბოლოები, ხოლო AB, BC, CD, DE სეგმენტები მისი ბმულები(იხ. სურ. 10).

ხაზის სიგრძევუწოდოთ მისი ყველა ბმულის სიგრძის ჯამი.

სურათი 12 გვიჩვენებს ორ გატეხილ ხაზს, რომელთა ბოლოები ემთხვევა. ასეთ გატეხილ ხაზებს ე.წ დახურული.

მაგალითი 1 . სეგმენტი BC 3 სმ-ით პატარაა AB სეგმენტზე, რომლის სიგრძე 8 სმ-ია (სურ. 13). იპოვეთ AC სეგმენტის სიგრძე.

გამოსავალი. გვაქვს: BC = 8 − 3 = 5 (სმ).

სეგმენტის სიგრძის თვისების გამოყენებით შეგვიძლია დავწეროთ AC = AB + BC. აქედან გამომდინარე, AC = 8 + 5 = 13 (სმ).

პასუხი: 13 სმ.

მაგალითი 2 . ცნობილია, რომ MK = 24 სმ, NP = 32 სმ, MP = 50 სმ (ნახ. 14). იპოვეთ NK სეგმენტის სიგრძე.

გამოსავალი. გვაქვს: MN = MP − NP.

აქედან გამომდინარე MN = 50 − 32 = 18 (სმ).

გვაქვს: NK = MK − MN.

აქედან გამომდინარე, NK = 24 − 18 = 6 (სმ).

პასუხი: 6 სმ.