რთული ცვლადის ფუნქციები.
რთული ცვლადის ფუნქციების დიფერენციაცია.

ეს სტატია ხსნის გაკვეთილების სერიას, რომელშიც განვიხილავ ტიპურ პრობლემებს, რომლებიც დაკავშირებულია რთული ცვლადის ფუნქციების თეორიასთან. მაგალითების წარმატებით ათვისებისთვის, თქვენ უნდა გქონდეთ რთული რიცხვების საბაზისო ცოდნა. მასალის კონსოლიდაციისა და გამეორების მიზნით, უბრალოდ ეწვიეთ გვერდს. თქვენ ასევე დაგჭირდებათ უნარები, რომ იპოვოთ მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები. აი, ეს ნაწილობრივი წარმოებულები... ახლაც ცოტა გამიკვირდა, რამდენად ხშირად ჩნდებიან...

თემა, რომლის შესწავლას ვიწყებთ, არ წარმოადგენს რაიმე განსაკუთრებულ სირთულეს და რთული ცვლადის ფუნქციებში, პრინციპში, ყველაფერი ნათელი და ხელმისაწვდომია. მთავარია დავიცვათ ძირითადი წესი, რომელიც ექსპერიმენტულად გამოვიტანე. წაიკითხეთ!

რთული ცვლადის ფუნქციის კონცეფცია

პირველ რიგში, მოდით განვაახლოთ ჩვენი ცოდნა ერთი ცვლადის სკოლის ფუნქციის შესახებ:

ერთი ცვლადი ფუნქციაარის წესი, რომლის მიხედვითაც დამოუკიდებელი ცვლადის თითოეული მნიშვნელობა (განსაზღვრების სფეროდან) შეესაბამება ფუნქციის ერთ და მხოლოდ ერთ მნიშვნელობას. ბუნებრივია, "x" და "y" რეალური რიცხვებია.

რთულ შემთხვევაში, ფუნქციური დამოკიდებულება მითითებულია ანალოგიურად:

რთული ცვლადის ერთმნიშვნელოვანი ფუნქცია- ეს არის წესი, რომლის მიხედვითაც ყველას ყოვლისმომცველიდამოუკიდებელი ცვლადის მნიშვნელობა (განსაზღვრების სფეროდან) შეესაბამება ერთ და მხოლოდ ერთს ყოვლისმომცველიფუნქციის მნიშვნელობა. თეორია ასევე განიხილავს მრავალმნიშვნელოვან და სხვა სახის ფუნქციებს, მაგრამ სიმარტივისთვის მე ყურადღებას გავამახვილებ ერთ განმარტებაზე.

რა განსხვავებაა რთული ცვლადის ფუნქციას შორის?

მთავარი განსხვავება: რთული რიცხვები. ირონიული არ ვარ. ასეთი კითხვები ხშირად ტოვებს ხალხს სისულელეში, სტატიის ბოლოს მოგიყვებით სასაცილო ამბავს. კლასში რთული რიცხვები დუმებისთვისჩვენ განვიხილეთ კომპლექსური რიცხვი სახით. მას შემდეგ ასო "z" გახდა ცვლადი, მაშინ მას შემდეგნაირად აღვნიშნავთ: , ხოლო „x“ და „y“ შეიძლება განსხვავებული იყოს მოქმედებსმნიშვნელობები. უხეშად რომ ვთქვათ, რთული ცვლადის ფუნქცია დამოკიდებულია ცვლადებზე და , რომლებიც იღებენ „ჩვეულებრივ“ მნიშვნელობებს. ამ ფაქტიდან ლოგიკურად გამომდინარეობს შემდეგი პუნქტი:

რთული ცვლადის ფუნქცია შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
, სადაც და არის ორის ორი ფუნქცია მოქმედებსცვლადები.

ფუნქციას ეძახიან რეალური ნაწილიფუნქციები
ფუნქციას ეძახიან წარმოსახვითი ნაწილიფუნქციები

ანუ რთული ცვლადის ფუნქცია დამოკიდებულია ორ რეალურ ფუნქციაზე და . ყველაფრის საბოლოოდ გასარკვევად, მოდით შევხედოთ პრაქტიკულ მაგალითებს:

მაგალითი 1

გამოსავალი:დამოუკიდებელი ცვლადი "zet", როგორც გახსოვთ, იწერება ფორმით, ამიტომ:

(1) ჩვენ შევცვალეთ.

(2) პირველი ტერმინისთვის გამოყენებული იქნა გამრავლების შემოკლებული ფორმულა. ტერმინში ფრჩხილები გაიხსნა.

(3) ფრთხილად კვადრატში, არ დაგავიწყდეს ეს

(4) ტერმინების გადაწყობა: ჯერ ხელახლა ვწერთ ტერმინებს , რომელშიც არ არის წარმოსახვითი ერთეული(პირველი ჯგუფი), შემდეგ ტერმინები, სადაც არის (მეორე ჯგუფი). უნდა აღინიშნოს, რომ ტერმინების არევა საჭირო არ არის და ეს ნაბიჯი შეიძლება გამოტოვოთ (ნამდვილად ზეპირად გაკეთებით).

(5) მეორე ჯგუფისთვის ამოვიღებთ ფრჩხილებიდან.

შედეგად, ჩვენი ფუნქცია ფორმაში იყო წარმოდგენილი

პასუხი:
- ფუნქციის რეალური ნაწილი.
- ფუნქციის წარმოსახვითი ნაწილი.

რა სახის ფუნქციები აღმოჩნდა ეს? ორი ცვლადის ყველაზე გავრცელებული ფუნქციები, საიდანაც შეგიძლიათ იპოვოთ ასეთი პოპულარული ნაწილობრივი წარმოებულები. მოწყალების გარეშე, ჩვენ მას ვიპოვით. მაგრამ ცოტა მოგვიანებით.

მოკლედ, ამოხსნილი პრობლემის ალგორითმი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: ჩვენ ვცვლით , თავდაპირველ ფუნქციას, ვახორციელებთ გამარტივებებს და ვყოფთ ყველა ტერმინს ორ ჯგუფად - წარმოსახვითი ერთეულის გარეშე (რეალური ნაწილი) და წარმოსახვითი ერთეულით (წარმოსახვითი ნაწილი) .

მაგალითი 2

იპოვნეთ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. სანამ რთულ სიბრტყეზე ბრძოლაში შეხვალთ ჩექმებით, ნება მომეცით მოგცეთ ყველაზე მნიშვნელოვანი რჩევა თემაზე:

ფრთხილად იყავი!ფრთხილად უნდა იყოთ, რა თქმა უნდა, ყველგან, მაგრამ კომპლექსურ რიცხვებში უფრო ფრთხილად უნდა იყოთ, ვიდრე ოდესმე! გახსოვდეთ, რომ ფრთხილად გახსენით ფრჩხილები, არაფერი დაკარგოთ. ჩემი დაკვირვებით, ყველაზე გავრცელებული შეცდომა ნიშნის დაკარგვაა. ნუ ჩქარობ!

სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ახლა კუბი. გამრავლების შემოკლებული ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ გამოვიყვანთ:
.

ფორმულები ძალიან მოსახერხებელია პრაქტიკაში გამოსაყენებლად, რადგან ისინი მნიშვნელოვნად აჩქარებენ გადაწყვეტის პროცესს.

რთული ცვლადის ფუნქციების დიფერენციაცია.

ორი ამბავი მაქვს: კარგი და ცუდი. დავიწყებ კარგით. რთული ცვლადის ფუნქციისთვის მოქმედებს დიფერენცირების წესები და ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი. ამრიგად, წარმოებული აღებულია ზუსტად ისევე, როგორც რეალური ცვლადის ფუნქციის შემთხვევაში.

ცუდი ამბავი ის არის, რომ ბევრი რთული ცვლადი ფუნქციისთვის საერთოდ არ არსებობს წარმოებული და თქვენ უნდა გაარკვიოთ არის თუ არა დიფერენცირებადიამა თუ იმ ფუნქციას. და „გააზრება“ თუ როგორ გრძნობს თქვენი გული, დაკავშირებულია დამატებით პრობლემებთან.

განვიხილოთ რთული ცვლადის ფუნქცია. იმისათვის, რომ ეს ფუნქცია იყოს დიფერენცირებადი, აუცილებელია და საკმარისი:

1) ისე რომ არსებობდეს პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები. დაუყოვნებლივ დაივიწყეთ ეს აღნიშვნები, რადგან რთული ცვლადის ფუნქციების თეორიაში ტრადიციულად გამოიყენება განსხვავებული აღნიშვნა: .

2) განახორციელოს ე.წ კოში-რიმანის პირობები:

მხოლოდ ამ შემთხვევაში იარსებებს წარმოებული!

მაგალითი 3

გამოსავალიდაყოფილია სამ თანმიმდევრულ ეტაპად:

1) ვიპოვოთ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები. ეს დავალება განხილული იყო წინა მაგალითებში, ამიტომ მას კომენტარის გარეშე დავწერ:

მას შემდეგ:

ამრიგად:

- ფუნქციის წარმოსახვითი ნაწილი.

კიდევ ერთ ტექნიკურ საკითხს შევეხები: რა თანმიმდევრობითდაწერეთ ტერმინები რეალურ და წარმოსახვით ნაწილებში? დიახ, პრინციპში, არ აქვს მნიშვნელობა. მაგალითად, რეალური ნაწილი შეიძლება დაიწეროს ასე: , ხოლო წარმოსახვითი – ასე: .

2) შევამოწმოთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება. ორი მათგანია.

დავიწყოთ მდგომარეობის შემოწმებით. ჩვენ ვპოულობთ ნაწილობრივი წარმოებულები:

ამრიგად, პირობა დაკმაყოფილებულია.

რა თქმა უნდა, კარგი ამბავი ის არის, რომ ნაწილობრივი წარმოებულები თითქმის ყოველთვის ძალიან მარტივია.

ჩვენ ვამოწმებთ მეორე პირობის შესრულებას:

შედეგი იგივეა, მაგრამ საპირისპირო ნიშნებით, ანუ პირობაც შესრულებულია.

კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია, ამიტომ ფუნქცია დიფერენცირებადია.

3) ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული. წარმოებული ასევე ძალიან მარტივია და გვხვდება ჩვეულებრივი წესების მიხედვით:

წარმოსახვითი ერთეული დიფერენცირებისას მუდმივად ითვლება.

პასუხი: - რეალური ნაწილი, - წარმოსახვითი ნაწილი.
კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია.

წარმოებულის პოვნის კიდევ ორი ​​გზა არსებობს, ისინი, რა თქმა უნდა, ნაკლებად ხშირად გამოიყენება, მაგრამ ინფორმაცია სასარგებლო იქნება მეორე გაკვეთილის გასაგებად - როგორ მოვძებნოთ რთული ცვლადის ფუნქცია?

წარმოებული შეიძლება მოიძებნოს ფორმულის გამოყენებით:

ამ შემთხვევაში:

ამგვარად

ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ შებრუნებული პრობლემა - შედეგად გამოსახულებაში უნდა გამოვყოთ . ამისათვის აუცილებელია ტერმინებში და ფრჩხილების გარეთ:

საპირისპირო ქმედება, როგორც ბევრმა შენიშნა, გარკვეულწილად უფრო რთული შესამოწმებელია, ყოველთვის ჯობია გამოთქმა გადაიტანოთ ნახატზე ან ზეპირად გახსნათ ფრჩხილები, დარწმუნდეთ, რომ შედეგი ზუსტად არის;

სარკის ფორმულა წარმოებულის საპოვნელად:

ამ შემთხვევაში: , ამიტომ:

მაგალითი 4

განსაზღვრეთ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები . შეამოწმეთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება. თუ კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია, იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.

მოკლე გამოსავალი და საბოლოო დიზაინის სავარაუდო ნიმუში გაკვეთილის ბოლოს.

ყოველთვის დაკმაყოფილებულია კოში-რიმანის პირობები? თეორიულად, ისინი არ სრულდება იმაზე ხშირად, ვიდრე სრულდება. მაგრამ პრაქტიკულ მაგალითებში მე არ მახსოვს შემთხვევა, როდესაც ისინი არ შესრულდა =) ამრიგად, თუ თქვენი ნაწილობრივი წარმოებულები "არ ემთხვევა", მაშინ ძალიან დიდი ალბათობით შეგიძლიათ თქვათ, რომ სადმე შეცდომა დაუშვით.

მოდით გავართულოთ ჩვენი ფუნქციები:

მაგალითი 5

განსაზღვრეთ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები . შეამოწმეთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება. გამოთვალეთ

გამოსავალი:ამოხსნის ალგორითმი მთლიანად არის დაცული, მაგრამ ბოლოს დაემატება ახალი წერტილი: წარმოებულის პოვნა წერტილში. კუბისთვის საჭირო ფორმულა უკვე მიღებულია:

მოდით განვსაზღვროთ ამ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები:

ყურადღება და ისევ ყურადღება!

მას შემდეგ:


ამრიგად:
– ფუნქციის რეალური ნაწილი;
- ფუნქციის წარმოსახვითი ნაწილი.

მეორე პირობის შემოწმება:

შედეგი იგივეა, მაგრამ საპირისპირო ნიშნებით, ანუ პირობაც შესრულებულია.

კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია, ამიტომ ფუნქცია დიფერენცირებადია:

გამოვთვალოთ წარმოებულის მნიშვნელობა საჭირო წერტილში:

პასუხი:,, კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია,

კუბებთან ფუნქციები ჩვეულებრივია, ასე რომ, აქ არის მაგალითი გასაძლიერებლად:

მაგალითი 6

განსაზღვრეთ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები . შეამოწმეთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება. გამოთვალეთ.

გაკვეთილის ბოლოს დასრულების ამოხსნა და მაგალითი.

რთული ანალიზის თეორიაში კომპლექსური არგუმენტის სხვა ფუნქციებიც არის განსაზღვრული: მაჩვენებლის, სინუსის, კოსინუსის და სხვ. ამ ფუნქციებს აქვთ უჩვეულო და თუნდაც უცნაური თვისებები - და ეს მართლაც საინტერესოა! ძალიან მინდა გითხრათ, მაგრამ აქ, როგორც ხდება, არ არის საცნობარო წიგნი ან სახელმძღვანელო, არამედ გადაწყვეტის წიგნი, ამიტომ განვიხილავ იგივე პრობლემას რამდენიმე საერთო ფუნქციით.

ჯერ ე.წ ეილერის ფორმულები:

ვინმესთვის მოქმედებსრიცხვები, მოქმედებს შემდეგი ფორმულები:

თქვენ ასევე შეგიძლიათ დააკოპიროთ ის თქვენს ნოუთბუქში, როგორც საცნობარო მასალა.

მკაცრად რომ ვთქვათ, არსებობს მხოლოდ ერთი ფორმულა, მაგრამ, როგორც წესი, მოხერხებულობისთვის, ისინი ასევე წერენ სპეციალურ შემთხვევას მინუს მაჩვენებლით. პარამეტრი არ უნდა იყოს ერთი ასო, ეს შეიძლება იყოს რთული გამოხატულება ან ფუნქცია, მნიშვნელოვანია მხოლოდ მათი მიღება მხოლოდ მოქმედებსმნიშვნელობები. სინამდვილეში, ჩვენ ამას ახლა დავინახავთ:

მაგალითი 7

იპოვეთ წარმოებული.

გამოსავალი:პარტიის ზოგადი ხაზი ურყევი რჩება - აუცილებელია ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების გარჩევა. მე მივცემ დეტალურ გადაწყვეტას და კომენტარს თითოეულ ნაბიჯზე ქვემოთ:

მას შემდეგ:

(1) ჩაანაცვლეთ "z" ნაცვლად.

(2) ჩანაცვლების შემდეგ, თქვენ უნდა აირჩიოთ რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები პირველი ინდიკატორშიგამოფენები. ამისათვის გახსენით ფრჩხილები.

(3) ჩვენ ვაჯგუფებთ ინდიკატორის წარმოსახვით ნაწილს, წარმოსახვით ერთეულს ვდებთ ფრჩხილებიდან.

(4) ჩვენ ვიყენებთ სკოლის მოქმედებას ხარისხით.

(5) მულტიპლიკატორისთვის ვიყენებთ ეილერის ფორმულას და .

(6) გახსენით ფრჩხილები, რის შედეგადაც:

– ფუნქციის რეალური ნაწილი;
- ფუნქციის წარმოსახვითი ნაწილი.

შემდგომი ქმედებები სტანდარტულია, მოდით შევამოწმოთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება:

მაგალითი 9

განსაზღვრეთ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები . შეამოწმეთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება. ასე რომ იყოს, ჩვენ ვერ ვიპოვით წარმოებულს.

გამოსავალი:გადაწყვეტის ალგორითმი ძალიან ჰგავს წინა ორ მაგალითს, მაგრამ არის ძალიან მნიშვნელოვანი პუნქტები, ამიტომ მე კვლავ კომენტარს გავაკეთებ საწყის ეტაპზე ეტაპობრივად:

მას შემდეგ:

1) ჩაანაცვლეთ "z" ნაცვლად.

(2) ჯერ ვირჩევთ რეალურ და წარმოსახვით ნაწილებს სინუსის შიგნით. ამ მიზნებისათვის ჩვენ ვხსნით ფრჩხილებს.

(3) ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას და .

(4) გამოყენება ჰიპერბოლური კოსინუსის პარიტეტი: და ჰიპერბოლური სინუსის უცნაურობა: . ჰიპერბოლიკა, მიუხედავად იმისა, რომ ამ სამყაროს არ ეკუთვნის, მრავალი თვალსაზრისით მოგვაგონებს მსგავს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს.

შედეგად:
– ფუნქციის რეალური ნაწილი;
- ფუნქციის წარმოსახვითი ნაწილი.

ყურადღება!მინუს ნიშანი ეხება წარმოსახვით ნაწილს და არავითარ შემთხვევაში არ უნდა დავკარგოთ იგი! ნათელი ილუსტრაციისთვის, ზემოთ მიღებული შედეგი შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

მოდით შევამოწმოთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება:

კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია.

პასუხი:, , კოში-რიმანის პირობები დაკმაყოფილებულია.

ქალბატონებო და ბატონებო, მოდით, თავად გავარკვიოთ:

მაგალითი 10

განსაზღვრეთ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები. შეამოწმეთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება.

მე შეგნებულად ავირჩიე უფრო რთული მაგალითები, რადგან როგორც ჩანს, ყველას შეუძლია გაუმკლავდეს რაღაცას, როგორიცაა ნაჭუჭიანი არაქისი. ამავე დროს, თქვენ მოამზადებთ თქვენს ყურადღებას! თხილის კრეკერი გაკვეთილის ბოლოს.

დასასრულს, მე გადავხედავ კიდევ ერთ საინტერესო მაგალითს, როდესაც რთული არგუმენტი არის მნიშვნელში. ეს რამდენჯერმე მოხდა პრაქტიკაში, მოდით შევხედოთ რაღაც მარტივს. ეჰ, დავბერდი...

მაგალითი 11

განსაზღვრეთ ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები. შეამოწმეთ კოში-რიმანის პირობების შესრულება.

გამოსავალი:კვლავ აუცილებელია ფუნქციის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების გარჩევა.
თუ, მაშინ

ჩნდება კითხვა, რა უნდა გავაკეთოთ, როდესაც "Z" არის მნიშვნელში?

ყველაფერი მარტივია - სტანდარტული დაგეხმარებათ მრიცხველისა და მნიშვნელის კონიუგატულ გამოსახულებაში გამრავლების მეთოდი, უკვე გამოყენებულია გაკვეთილის მაგალითებში რთული რიცხვები დუმებისთვის. გავიხსენოთ სკოლის ფორმულა. ჩვენ უკვე გვაქვს მნიშვნელში, რაც ნიშნავს, რომ კონიუგატური გამოხატულება იქნება . ამრიგად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მრიცხველი და მნიშვნელი:

სად
არის რეალური რიცხვები და - დაუძახა სპეციალურმა პერსონაჟმა წარმოსახვითი ერთეული . წარმოსახვითი ერთეულისთვის, განსაზღვრებით ვარაუდობენ, რომ
.

(4.1) – ალგებრული ფორმა რთული რიცხვი და
დაურეკა რეალური ნაწილი რთული რიცხვი და
-წარმოსახვითი ნაწილი .

ნომერი
დაურეკა რთული კონიუგატი ნომერზე
.

მიეცით ორი რთული რიცხვი
,
.

1. თანხა
რთული რიცხვები და კომპლექსურ რიცხვს უწოდებენ

2. განსხვავებით
რთული რიცხვები და კომპლექსურ რიცხვს უწოდებენ

3. ნამუშევარი
რთული რიცხვები და კომპლექსურ რიცხვს უწოდებენ

4. პირადი რთული რიცხვის გაყოფისგან კომპლექსურ რიცხვამდე
კომპლექსურ რიცხვს უწოდებენ

.

შენიშვნა 4.1. ანუ, კომპლექსურ რიცხვებზე მოქმედებები შემოტანილია ალგებრაში ლიტერატურულ გამონათქვამებზე არითმეტიკული მოქმედებების ჩვეულებრივი წესების მიხედვით.

მაგალითი 4.1.მოცემულია რთული რიცხვები. იპოვე

.

გამოსავალი. 1) .

4) მრიცხველისა და მნიშვნელის გამრავლება მნიშვნელის კომპლექსურ კონიუგატზე მივიღებთ

ტრიგონომეტრიული ფორმა რთული რიცხვი:

სად
- რთული რიცხვის მოდული,
არის რთული რიცხვის არგუმენტი. კუთხე განსაზღვრული ორაზროვნად, ტერმინამდე
:

,
.

- პირობით განსაზღვრული არგუმენტის ძირითადი მნიშვნელობა

, (ან
).

საჩვენებელი ფორმა რთული რიცხვი:

.

ფესვი
რიცხვის ე ძალა აქვს სხვადასხვა მნიშვნელობები, რომლებიც გვხვდება ფორმულით

,

სად
.

მნიშვნელობების შესაბამისი ქულები
, არის სწორის წვეროები
რადიუსის წრეში ჩაწერილი კვადრატი
ცენტრით სათავეში.

მაგალითი 4.2.იპოვეთ ყველა root მნიშვნელობა
.

გამოსავალი.წარმოვიდგინოთ რთული რიცხვი
ტრიგონომეტრიული ფორმით:

,

, სად
.

მერე
. ამიტომ, ფორმულის მიხედვით (4.2)
აქვს ოთხი მნიშვნელობა:

,
.

სჯეროდა
, ვპოულობთ

,
,

, .

აქ ჩვენ გადავიყვანეთ არგუმენტის მნიშვნელობები მის მთავარ მნიშვნელობად.

კომპლექტი კომპლექსურ სიბრტყეზე

კომპლექსური ნომერი
გამოსახულია თვითმფრინავში
წერტილი
კოორდინატებით
. მოდული
და არგუმენტი
შეესაბამება წერტილის პოლარულ კოორდინატებს
.

სასარგებლოა ამ უთანასწორობის დამახსოვრება
განსაზღვრავს წრეს, რომლის ცენტრია წერტილში რადიუსი . უთანასწორობა
განსაზღვრავს ნახევრად სიბრტყეს, რომელიც მდებარეობს სწორი ხაზის მარჯვნივ
და უთანასწორობა
- ნახევრად თვითმფრინავი, რომელიც მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ
. გარდა ამისა, უთანასწორობის სისტემა
ადგენს კუთხეს სხივებს შორის
და
კოორდინატების წარმოშობის დატოვება.

მაგალითი 4.3.დახაზეთ უტოლობებით განსაზღვრული ფართობი:
.

გამოსავალი.პირველი უტოლობა შეესაბამება რგოლს, რომლის ცენტრია წერტილში
და ორი რადიუსი 1 და 2, წრეები არ შედის ფართობში (ნახ. 4.1).

მეორე უტოლობა შეესაბამება სხივებს შორის კუთხეს
(მე-4 კოორდინატთა კუთხის ბისექტორი) და
(ღერძის დადებითი მიმართულება
). თავად სხივები რეგიონში არ შედის (სურ. 4.2).

სასურველი ფართობი არის ორი მიღებული უბნის გადაკვეთა (ნახ. 4.3).

4.2. რთული ცვლადის ფუნქციები

მოდით, ერთი ღირებულების ფუნქცია
განსაზღვრული და უწყვეტი რეგიონში
, ა - ნაწილებად გლუვი დახურული ან არადახურული ორიენტირებული მრუდი, რომელიც მდებარეობს
. დაე, როგორც ყოველთვის,
,, სად
,
- ცვლადების რეალური ფუნქციები და .

ფუნქციის ინტეგრალის გამოთვლა
რთული ცვლადი მცირდება ჩვეულებრივი მრუდი ინტეგრალების გამოთვლამდე, კერძოდ

.

თუ ფუნქცია
ანალიტიკური უბრალოდ დაკავშირებულ დომენში
, პუნქტების შემცველი და , მაშინ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა მოქმედებს:

,

სად
- ზოგიერთი ანტიდერივატი ფუნქციისთვის
, ანუ
ტერიტორიაზე
.

რთული ცვლადის ფუნქციების ინტეგრალებში შეიძლება შეიცვალოს ცვლადი, ხოლო ნაწილების მიერ ინტეგრაცია ჰგავს იმას, თუ როგორ ხდება რეალური ცვლადის ფუნქციების ინტეგრალების გაანგარიშებისას.

ასევე გაითვალისწინეთ, რომ თუ ინტეგრაციის გზა არის წერტილიდან გამომავალი ხაზის ნაწილი , ან წრის ნაწილი, რომელიც ორიენტირებულია წერტილზე , მაშინ სასარგებლოა ფორმის ცვლადი ჩანაცვლება
. პირველ შემთხვევაში
, ა - რეალური ინტეგრაციის ცვლადი; მეორე შემთხვევაში
, ა - რეალური ინტეგრაციის ცვლადი.

მაგალითი 4.4.გამოთვალეთ
პარაბოლით
წერტილიდან
აზრამდე
(სურათი 4.4).

გამოსავალი.მოდით გადავიწეროთ ინტეგრანტი ფორმაში მერე , . გამოვიყენოთ ფორმულა (4.3): იმიტომ რომ , , ეს

.ამიტომაც
მაგალითი 4.5. გამოთვალეთ ინტეგრალი
,
, სად

გამოსავალი.- წრის რკალი (ნახ. 4.5) . , , ვთქვათ

, მაშინ
.
ჩვენ ვიღებთ: ფუნქცია

რინგზე ერთმნიშვნელოვანი და ანალიტიკური
დაურეკა , იშლება ამ რგოლში ლორანის სერია
დაურეკა ფორმულაში (4.5) სერია ძირითადი ნაწილი

ლორანის სერია და სერიალი მარჯვენა ნაწილი ლორანის სერია.განმარტება 4.1. წერტილი
დაურეკა
იზოლირებული სინგულარული წერტილი .

ფუნქციები
, თუ არის ამ წერტილის სამეზობლო, რომელშიც ფუნქცია ანალიტიკური ყველგან, გარდა თვით წერტილისა

1) ფუნქცია
, ანუ

წერტილის სიახლოვეს შეიძლება გაფართოვდეს Laurent სერიაში. ამ შემთხვევაში, შესაძლებელია სამი განსხვავებული შემთხვევა, როდესაც Laurent სერია: არ შეიცავს ტერმინებს განსხვავების უარყოფითი ძალებით წერტილი
;

2) (ლორანის სერია არ შეიცავს მთავარ ნაწილს). ამ შემთხვევაში
, ანუ

,

დაურეკა
მოსახსნელი სინგულარული წერტილი ლორანის სერია. შეიცავს ტერმინების სასრულ რაოდენობას სხვაობის უარყოფითი ძალებით წერტილი
;

3) და

.

. ამ შემთხვევაში, წერტილი შეიძლება გაფართოვდეს Laurent სერიაში. ამ შემთხვევაში, შესაძლებელია სამი განსხვავებული შემთხვევა, როდესაც Laurent სერია: წესრიგის პოლუსი წერტილი
.

შეიცავს უსასრულო რაოდენობის ტერმინებს უარყოფითი ძალებით:

1) ამ შემთხვევაში, წერტილი
არსებითად განსაკუთრებული წერტილი
იზოლირებული სინგულარული წერტილის ხასიათის განსაზღვრისას არ არის აუცილებელი მოძებნოთ Laurent სერიის გაფართოება. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ იზოლირებული სინგულარული წერტილების სხვადასხვა თვისებები. :

.

2) არის ფუნქციის მოსახსნელი სინგულარული წერტილი
, თუ არსებობს ფუნქციის სასრული ზღვარი

.

3) წერტილში
არის ფუნქციის პოლუსი
ფუნქციას არ აქვს ლიმიტი, არც სასრული და არც უსასრულო.

განმარტება 4.2. მარჯვენა ნაწილი ლორანის სერია.ნულოვანი
პირველი შეკვეთა (ან სიმრავლე ) წერტილი
თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობები:

…,

.

შენიშვნა 4.2. მარჯვენა ნაწილი თუ და მხოლოდ თუ არის ნული
პირველი შეკვეთა წერტილი
, როდესაც ამ წერტილის რომელიმე სამეზობლოში თანასწორობა მოქმედებს

,

სად არის ფუნქცია
ანალიტიკური ერთ წერტილში და

4) წერტილი არის წესრიგის პოლუსი (
) ფუნქციები
, თუ ეს წერტილი ნულოვანი რიგია ფუნქციისთვის
.

5) ნება - ფუნქციის იზოლირებული სინგულარული წერტილი
მაგალითი 4.5.
- ანალიტიკური ფუნქციები წერტილში . და მოდით წერტილი არის ნულოვანი რიგი ფუნქციები
და ნულოვანი რიგი ფუნქციები
.

ზე
წერტილი არის წესრიგის პოლუსი
ფუნქციები
.

ზე
წერტილი არის ფუნქციის მოსახსნელი სინგულარული წერტილი
.

მაგალითი 4.6.იპოვეთ იზოლირებული წერტილები და განსაზღვრეთ მათი ტიპი ფუნქციისთვის
.

გამოსავალი.ფუნქციები
და
- ანალიტიკური მთელ კომპლექსურ სიბრტყეში. ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციის სინგულარული წერტილები
არის მნიშვნელის ნულები, ანუ წერტილები, სადაც
. ასეთი პუნქტები უსაზღვროდ ბევრია. უპირველეს ყოვლისა, ეს არის აზრი
, ასევე განტოლების დამაკმაყოფილებელი წერტილები
. აქედან
და
.

განიხილეთ წერტილი
. ამ ეტაპზე ვიღებთ:

,
,

,
.

ნულის რიგია
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

ასე რომ, პერიოდი
არის მეორე რიგის პოლუსი (
).

. მერე

,
.

ნულოვანი მრიცხველის რიგია
.

,
,
.

მნიშვნელის ნულის რიგია
. ამიტომ, ქულები
ზე
არის პირველი რიგის ბოძები ( მარტივი ბოძები ).

თეორემა 4.1. (კოშის თეორემა ნარჩენების შესახებ ). თუ ფუნქცია
ანალიტიკურია საზღვარზე რეგიონი
და ყველგან რეგიონის შიგნით, გარდა სასრული რაოდენობის სინგულარული წერტილებისა
, ეს

.

ინტეგრალების გამოთვლისას ღირს ფუნქციის ყველა სინგულარული წერტილის ფრთხილად პოვნა
, შემდეგ დახაზეთ კონტური და სინგულარული წერტილები და ამის შემდეგ აირჩიეთ მხოლოდ ის წერტილები, რომლებიც შედის ინტეგრაციის კონტურში. სურათის გარეშე სწორი არჩევანის გაკეთება ხშირად რთულია.

გამოქვითვის გაანგარიშების მეთოდი
დამოკიდებულია სინგულარული წერტილის ტიპზე. ამიტომ, ნარჩენების გაანგარიშებამდე, თქვენ უნდა განსაზღვროთ სინგულარული წერტილის ტიპი.

1) ფუნქციის ნარჩენი წერტილში უდრის კოეფიციენტს მინუს პირველი ხარისხის ლორანის გაფართოებაში
წერტილის სიახლოვეს :

.

ეს განცხადება მართალია ყველა ტიპის იზოლირებული წერტილისთვის და ამიტომ ამ შემთხვევაში არ არის აუცილებელი სინგულარული წერტილის ტიპის განსაზღვრა.

2) ნარჩენი მოსახსნელ სინგულურ წერტილში ნულის ტოლია.

3) თუ არის მარტივი პოლუსი (პირველი რიგის პოლუსი) და ფუნქცია
შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმით
მაგალითი 4.5.
,
(გაითვალისწინეთ, რომ ამ შემთხვევაში
), შემდეგ ნარჩენი წერტილში უდრის

.

კერძოდ, თუ
, ეს
.

4) თუ - უბრალო ბოძი, მაშინ

5) თუ - ბოძი
რიგის ფუნქცია
, ეს

მაგალითი 4.7.ამიტომაც
.

გამოსავალი.ინტეგრანტის ცალმხრივი წერტილების პოვნა . ფუნქცია და აქვს ორი ცალკეული წერტილი მხოლოდ წერტილი მოდის კონტურის შიგნით (ნახ. 4.6). წერტილი - მეორე რიგის ბოძი, მას შემდეგ .

არის 2-ის ნული ფუნქციისთვის

შემდეგ, ფორმულის გამოყენებით (4.7), ჩვენ ვპოულობთ ნარჩენს ამ ეტაპზე:

განათლების ფედერალური სააგენტო

___________________________________

პეტერბურგის შტატი

ელექტროტექნიკური უნივერსიტეტი "ლეთი"

_______________________________________

რთული ცვლადის ფუნქციების თეორია

გაიდლაინები

პრაქტიკულ გაკვეთილებზე

უმაღლეს მათემატიკაში

სანქტ-პეტერბურგი

გამომცემლობა SPbSETU "LETI"

UDC 512.64(07)

TFKP: მეთოდური ინსტრუქციები პრობლემების გადასაჭრელად / შედგენილი: V.G Dyumin, N.N. Sosnovsky: Publishing House of St.

დამტკიცებულია

უნივერსიტეტის სარედაქციო და საგამომცემლო საბჭო

როგორც გაიდლაინები

© SPbSETU "LETI", 2010 წ

რთული ცვლადის ფუნქციები, ზოგადად, განსხვავდება რეალური სიბრტყის რუკებისგან.
თავისთავად მხოლოდ ჩაწერის ფორმით. მნიშვნელოვანი და ძალიან სასარგებლო ობიექტია რთული ცვლადის ფუნქციების კლასი,

რომელსაც აქვს ერთი ცვლადის ფუნქციების იგივე წარმოებული. ცნობილია, რომ რამდენიმე ცვლადის ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს ნაწილობრივი წარმოებული და მიმართულების წარმოებული, მაგრამ, როგორც წესი, წარმოებულები სხვადასხვა მიმართულებით ერთმანეთს არ ემთხვევა და წარმოებულზე საუბარი არ შეიძლება. თუმცა, რთული ცვლადის ფუნქციებისთვის შესაძლებელია აღწეროთ ის პირობები, რომლებშიც ისინი დიფერენცირების საშუალებას იძლევა. რთული ცვლადის დიფერენცირებადი ფუნქციების თვისებების შესწავლა მეთოდოლოგიური ინსტრუქციების შინაარსია. ინსტრუქციები მიზნად ისახავს იმის დემონსტრირებას, თუ როგორ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ასეთი ფუნქციების თვისებები სხვადასხვა პრობლემის გადასაჭრელად. წარმოდგენილი მასალის წარმატებით ათვისება შეუძლებელია რთული რიცხვებით გამოთვლების საბაზისო უნარ-ჩვევებისა და რთული რიცხვის რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების დამაკავშირებელი უტოლობების, აგრეთვე მისი მოდულისა და არგუმენტის განსაზღვრული უმარტივესი გეომეტრიული ობიექტების გაცნობის გარეშე. ამისთვის საჭირო ყველა ინფორმაციის შეჯამება შეგიძლიათ იხილოთ სახელმძღვანელოში.

სახელმძღვანელოების ტექსტში ფართოდ გამოიყენება მათემატიკური ანალიზის სტანდარტული აპარატურა: ლიმიტები, წარმოებულები, ინტეგრალები, სერიები. იქ, სადაც ამ ცნებებს აქვთ საკუთარი სპეციფიკა, ერთი ცვლადის ფუნქციებთან შედარებით, მოცემულია შესაბამისი განმარტებები, მაგრამ უმეტეს შემთხვევაში საკმარისია გამოვყოთ რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები და გამოვიყენოთ მათზე რეალური ანალიზის სტანდარტული აპარატურა.

1. რთული ცვლადის ელემენტარული ფუნქციები

ბუნებრივია რთული ცვლადის ფუნქციების დიფერენციალურობის პირობების განხილვის დაწყება იმის გარკვევით, თუ რომელ ელემენტარულ ფუნქციებს აქვთ ეს თვისება. აშკარა ურთიერთობიდან

აქედან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი მრავალწევრი დიფერენცირებადია. და, ვინაიდან სიმძლავრის სერია შეიძლება დიფერენცირებული იყოს ტერმინებით ტერმინებით მისი კონვერგენციის წრეში,

მაშინ ნებისმიერი ფუნქცია დიფერენცირებადია იმ წერტილებში, რომელთა სიახლოვეს შესაძლებელია მისი გაფართოება ტეილორის სერიაში. ეს არის საკმარისი პირობა, მაგრამ, როგორც მალე გაირკვევა, ასევე აუცილებელია. მოსახერხებელია ერთი ცვლადის ფუნქციების შესწავლის მხარდაჭერა მათი წარმოებულის მიმართ ფუნქციის გრაფიკის ქცევის მონიტორინგით. ეს შეუძლებელია რთული ცვლადის ფუნქციებისთვის. გრაფიკის წერტილები დევს 4 განზომილების სივრცეში.

თუმცა, ფუნქციის გარკვეული გრაფიკული წარმოდგენა შეიძლება მიღებულ იქნას კომპლექსურ სიბრტყეში საკმაოდ მარტივი კომპლექტების გამოსახულებების გათვალისწინებით.
მოცემული ფუნქციის გავლენით წარმოქმნილი. მაგალითად, განვიხილოთ რამდენიმე მარტივი ფუნქცია ამ თვალსაზრისით.

ხაზოვანი ფუნქცია

ეს მარტივი ფუნქცია ძალიან მნიშვნელოვანია, რადგან ნებისმიერი დიფერენცირებადი ფუნქცია ლოკალურად მსგავსია წრფივი. მაქსიმალურად დეტალურად განვიხილოთ ფუნქციის მოქმედება

აქ
-- რთული რიცხვის მოდული და -- მისი არგუმენტი. ამრიგად, ხაზოვანი ფუნქცია ასრულებს გაჭიმვას, ბრუნვას და ტრანსლაციას. მაშასადამე, წრფივი რუქაზე ნებისმიერი სიმრავლე მსგავს კომპლექტში გადადის. კერძოდ, ხაზოვანი რუკის გავლენის ქვეშ, სწორი ხაზები გადაიქცევა სწორ ხაზებად, ხოლო წრეები წრეებად.

, მაშინ

ეს ფუნქცია შემდეგი ყველაზე რთულია ხაზოვანის შემდეგ. ძნელი მოსალოდნელია, რომ ის გადააქცევს ნებისმიერ ხაზს სწორ ხაზად, ხოლო წრე წრედ, მარტივი მაგალითები აჩვენებს, რომ ეს არ ხდება, თუმცა, შეიძლება აჩვენოს, რომ ეს ფუნქცია გარდაქმნის ყველა წრფეს და წრეს; თავად. ამის გადასამოწმებლად მოსახერხებელია რუკების რეალურ (კოორდინატულ) აღწერაზე გადასვლა

მტკიცებულება მოითხოვს შებრუნებული რუკის აღწერას

განვიხილოთ განტოლება თუ
, მაშინ მივიღებთ წრფის ზოგად განტოლებას. თუ
, ეს

ამიტომ, როცა
მიღებულია თვითნებური წრის განტოლება.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ
და
, შემდეგ წრე გადის საწყისზე. თუ
და
, მაშინ მიიღებთ სწორ ხაზს, რომელიც გადის საწყისზე.

ინვერსიის მოქმედებით განსახილველი განტოლება გადაიწერება ფორმით

, (
)

ან . ჩანს, რომ ეს ასევე არის განტოლება, რომელიც აღწერს წრეებს ან სწორ ხაზებს. ის ფაქტი, რომ კოეფიციენტები განტოლებაში და
ადგილების გაცვლა ნიშნავს, რომ ინვერსიის დროს 0-ზე გამავალი სწორი ხაზები გადაიქცევა წრეებად, ხოლო 0-ზე გამავალი წრეები გადაიქცევა სწორ ხაზებად.

დენის ფუნქციები

მთავარი განსხვავება ამ ფუნქციებსა და ადრე განხილულ ფუნქციებს შორის არის ის, რომ ისინი არ არიან ერთი ერთზე (
). შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ფუნქცია
გარდაქმნის კომპლექსურ სიბრტყეს ერთი და იმავე სიბრტყის ორ ეგზემპლარად. ამ თემის ზუსტი დამუშავება მოითხოვს რიმანის ზედაპირების რთული აპარატის გამოყენებას და სცილდება აქ განხილული საკითხების ფარგლებს. მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ რთული სიბრტყე შეიძლება დაიყოს სექტორებად, რომელთაგან თითოეული კომპლექსურ სიბრტყეზე ერთი-ერთზეა გამოსახული. ეს არის ფუნქციის დაშლა
ასე გამოიყურება, მაგალითად, ზედა ნახევარსიბრტყე ფუნქციით არის გამოსახული კომპლექსურ სიბრტყეზე
. ასეთი გამოსახულების გეომეტრიული დამახინჯების აღწერა უფრო რთულია, ვიდრე ინვერსიის შემთხვევაში. როგორც სავარჯიშო, შეგიძლიათ თვალყური ადევნოთ რაში გარდაიქმნება ზედა ნახევარსიბრტყის მართკუთხა კოორდინატების ბადე ჩვენებისას

ჩანს, რომ მართკუთხა კოორდინატების ბადე გადადის პარაბოლების ოჯახში, რომლებიც ქმნიან სიბრტყეში მრუდი კოორდინატების სისტემას.
. ზემოთ აღწერილი თვითმფრინავის დანაყოფი ისეთია, რომ ფუნქცია
აჩვენებს თითოეულს სექტორები მთელ თვითმფრინავზე. წინა და საპირისპირო რუკების აღწერა ასე გამოიყურება

ასე რომ ფუნქცია
აქვს სხვადასხვა შებრუნებული ფუნქციები,

მითითებულია თვითმფრინავის სხვადასხვა სექტორში

ასეთ შემთხვევებში რუკების შესახებ ნათქვამია, რომ მრავალ ფურცლიანია.

ჟუკოვსკის ფუნქცია

ფუნქციას აქვს საკუთარი სახელი, რადგან იგი საფუძვლად დაედო ჟუკოვსკის მიერ შექმნილ თვითმფრინავის ფრთის თეორიას (ამ დიზაინის აღწერა შეგიძლიათ იხილოთ წიგნში). ფუნქციას აქვს არაერთი საინტერესო თვისება, მოდით გავამახვილოთ ყურადღება ერთ მათგანზე - გაარკვიეთ, რომელ კომპლექტებზე მოქმედებს ეს ფუნქცია ერთი-ერთზე. განიხილეთ თანასწორობა

, სად
.

შესაბამისად, ჟუკოვსკის ფუნქცია არის ერთი ერთზე ნებისმიერ დომენში, სადაც ნებისმიერისთვის და მათი პროდუქტი არ არის ერთის ტოლი. ეს არის, მაგალითად, ღია ერთეული წრე
და დახურული ერთეული წრის შევსება
.

განვიხილოთ ჟუკოვსკის ფუნქციის მოქმედება წრეზე

რეალური და წარმოსახვითი ნაწილების გამოყოფით ვიღებთ ელიფსის პარამეტრულ განტოლებას

,
.

თუ
, შემდეგ ეს ელიფსები ავსებს მთელ სიბრტყეს. ანალოგიურად შეიძლება დადასტურდეს, რომ სეგმენტების გამოსახულებები ჰიპერბოლებია

.

ექსპონენციალური ფუნქცია

ფუნქცია შეიძლება გაფართოვდეს სიმძლავრის სერიაში, რომელიც აბსოლუტურად კონვერგენტულია მთელ კომპლექსურ სიბრტყეში, ამიტომ ის ყველგან დიფერენცირებადია. მოდით აღვწეროთ კომპლექტები, რომლებზეც ფუნქცია არის ერთი ერთზე. აშკარა თანასწორობა
გვიჩვენებს, რომ თვითმფრინავი შეიძლება დაიყოს ზოლების ოჯახად, რომელთაგან თითოეული ასახულია ერთი-ერთზე ფუნქციით მთელ კომპლექსურ სიბრტყეზე. ეს დანაყოფი აუცილებელია იმის გასაგებად, თუ როგორ მუშაობს ინვერსიული ფუნქცია, ან, უფრო ზუსტად, ინვერსიული ფუნქციები. თითოეულ ზოლზე არის ბუნებრივად განსაზღვრული შებრუნებული რუქა

ინვერსიული ფუნქცია ამ შემთხვევაშიც მრავალვალენტიანია, ხოლო შებრუნებული ფუნქციების რაოდენობა უსასრულოა.

რუკების გეომეტრიული აღწერა საკმაოდ მარტივია: სწორი ხაზები
გადაიქცევა სხივებად
, სეგმენტები

წრეებად გადაქცევა
.