ლაგრანჟის განუსაზღვრელი მამრავლების პირობითი ექსტრემალური მეთოდი. ლაგრანჟის განუსაზღვრელი მამრავლების მეთოდი. არაწრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ორ უცნობში Solution Finder ინსტრუმენტის გამოყენებით

იგი გამოიყენება ამოცანების გადასაჭრელად ანალიტიკური გამოსახულებით ოპტიმალურობის კრიტერიუმისთვის და დამოუკიდებელზე შეზღუდვების არსებობისას. ტიპის ცვლადებიუდრის მისაღებად ანალიტიკური გადაწყვეტააუცილებელია, რომ შეზღუდვებს ჰქონდეს ანალიტიკური ფორმა. განაცხადი განუსაზღვრელი მულტიპლიკატორებილაგრანჟი საშუალებას გვაძლევს შევამციროთ ოპტიმიზაციის პრობლემა შეზღუდვებით კლასიკური ანალიზის ფუნქციების შესწავლის მეთოდებით გადაწყვეტილ პრობლემამდე. ამ შემთხვევაში, ოპტიმიზაციის კრიტერიუმის ექსტრემის მოსაძებნად ამოხსნილი განტოლებათა სისტემის რიგი იზრდება შეზღუდვების რაოდენობით. მეთოდი ეფექტურია, როდესაც ცვლადების რაოდენობა სამი ან ნაკლებია. მეთოდი ასევე გამოიყენება, როდესაც ცვლადების რაოდენობა სამზე მეტია, თუ პროცესი აღწერილია სასრული განტოლებებით.

მოდით, საჭირო გახდეს ფუნქციის უკიდურესობის პოვნა, რომელიც დამოკიდებულია n ცვლადზე, რომლებიც, თავის მხრივ, დაკავშირებულია ურთიერთობებით. ფუნქციით მიღწეულ უკიდურესობას, პირობების შესრულების გათვალისწინებით, ეწოდება ფარდობითი, ან პირობითი. თუ ცვლადების რაოდენობა უდრის მიმართებების რაოდენობას (), მაშინ უცნობი უცნობები აღმოჩენილია ურთიერთობებით აღწერილი განტოლებათა სისტემის ამოხსნით. ოპტიმიზაციის პრობლემის გადაჭრა ხდება ამ გზით ნაპოვნი ცვლადების მნიშვნელობების ფუნქციების შესამოწმებლად. ამრიგად, ექსტრემალური პრობლემის მოგვარება შესაძლებელია მარტივი ძებნაცვლადები, რომლებიც აკმაყოფილებენ პირობებს.

თუ მ< n , მაშინ საკომუნიკაციო განტოლებიდან შეგვიძლია ვიპოვოთ დამოკიდებულება მცვლადები საწყისი ნ - მდარჩენილი ცვლადები, ე.ი.

ფუნქციის მიღება შესაძლებელია მიღებული ცვლადების ფუნქციაში ჩანაცვლებით. მაშინ ეს დამოკიდებული იქნება მხოლოდ ცვლადებზე, რომლებიც არ არის შეზღუდული დამატებითი პირობებით. შესაბამისად, შეზღუდვების მოხსნით შესაძლებელია ორიგინალური ოპტიმიზაციის პრობლემის განზომილების შემცირება. ხშირად ამ გზით პრობლემის ანალიტიკური გადაწყვეტა შეუძლებელია. ამიტომ, მრავალი ცვლადის ფუნქციის ექსტრემის პოვნის ამოცანების გადასაჭრელად, ჩვეულებრივ გამოიყენება განუსაზღვრელი მამრავლების ლაგრანგის მეთოდი.

ახალი ცვლადების შემოღებისას, რომლებსაც ლაგრანჟის განუსაზღვრელი მულტიპლიკატორები უწოდებენ, შესაძლებელი ხდება ახალი ფუნქციის დანერგვა.

იმათ. ფუნქცია m+nცვლადები, რომლებშიც განუყოფელ ნაწილად შედის ფუნქციების სისტემის მიერ დაწესებული შეზღუდვები.

ფუნქციის უკიდურესი მნიშვნელობა ემთხვევა ფუნქციის უკიდურეს მნიშვნელობას, თუ შეზღუდვის პირობა დაკმაყოფილებულია. მრავალი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობის აუცილებელი პირობაა, რომ ამ ფუნქციის დიფერენციალი უკიდურეს წერტილში ნულის ტოლია, ე.ი.

იმისათვის, რომ ეს გამოთქმა დაკმაყოფილდეს დამოუკიდებელი დიფერენციალური მნიშვნელობებით, აუცილებელია, რომ ამ დიფერენციალთა კოეფიციენტები იყოს ნულის ტოლი, რაც იძლევა განტოლებათა სისტემას.

ამ შემთხვევაში მდგომარეობიდან დგინდება ახალი დამოუკიდებელი

შესაძლებელია (4.3.1) და (4.3.2) სისტემების კომბინაცია

ამრიგად, პრობლემა ფორმაში (4.3.3) მცირდება ამოცანამდე: პოვნა

ცალკე უნდა აღინიშნოს, რომ ქ ზოგადი შემთხვევალაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდი საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ მხოლოდ აუცილებელი პირობებიპირობითი ექსტრემის არსებობა უწყვეტი ფუნქციებიუწყვეტი წარმოებულების მქონე. თუმცა, დან ფიზიკური მნიშვნელობამოგვარებულმა პრობლემამ, როგორც წესი, იცის, საუბარია ფუნქციის მაქსიმუმზე თუ მინიმუმზე, გარდა ამისა, როგორც წესი, განსახილველ სეგმენტზე ფუნქცია არის უნიმოდალური. მაშასადამე, დიზაინის პრობლემებში არ არის საჭირო ცვლადების მნიშვნელობების შემოწმება, რომლებიც აღმოჩენილია ექსტრემისთვის განტოლებათა განტოლების სისტემების გადაჭრისას უმაღლესი რიგის წარმოებულების ანალიზის გამოყენებით.

მოკლე თეორია

ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდი პრობლემების გადაჭრის კლასიკური მეთოდია მათემატიკური პროგრამირება(კერძოდ ამოზნექილი). სამწუხაროდ, როდის პრაქტიკული გამოყენებამეთოდს შეიძლება შეექმნას მნიშვნელოვანი გამოთვლითი სირთულეები, რაც ავიწროებს მისი გამოყენების ფარგლებს. ლაგრანგის მეთოდს აქ ძირითადად იმიტომ განვიხილავთ, რომ ეს არის აპარატი, რომელიც აქტიურად გამოიყენება პრაქტიკაში ფართოდ გავრცელებული სხვადასხვა თანამედროვე რიცხვითი მეთოდების დასაბუთებისთვის. რაც შეეხება ლაგრანგის ფუნქციას და ლაგრანგის მულტიპლიკატორებს, ისინი დამოუკიდებელ და უაღრესად მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ არა მხოლოდ მათემატიკური პროგრამირების თეორიასა და გამოყენებაში.

განვიხილოთ კლასიკური ოპტიმიზაციის პრობლემა:

ამ პრობლემის შეზღუდვებს შორის არ არის უტოლობები, არ არსებობს პირობები ცვლადების არანეგატიურობის, მათი დისკრეტულობისა და ფუნქციების შესახებ და არიან უწყვეტი და აქვთ ნაწილობრივი წარმოებულები. მაინცმეორე შეკვეთა.

პრობლემის გადაჭრის კლასიკური მიდგომა უზრუნველყოფს განტოლებათა სისტემას (აუცილებელი პირობები), რომელიც უნდა დაკმაყოფილდეს იმ წერტილით, რომელიც უზრუნველყოფს ფუნქციას ლოკალური ექსტრემით იმ წერტილების სიმრავლეზე, რომლებიც აკმაყოფილებენ შეზღუდვებს (ამოზნექილი პროგრამირების პრობლემისთვის, ნაპოვნი წერტილი ასევე იქნება გლობალური ექსტრემალური წერტილი).

დავუშვათ, რომ წერტილის ფუნქციას (1) აქვს ლოკალური პირობითი უკიდურესიდა მატრიცის რანგი არის. შემდეგ საჭირო პირობები დაიწერება ფორმაში:

არსებობს ლაგრანგის ფუნქცია;

– ლაგრანგის მულტიპლიკატორები.

ასევე არსებობს საკმარისი პირობები, რომლებშიც განტოლებათა სისტემის ამონახსნი (3) განსაზღვრავს ფუნქციის უკიდურეს წერტილს. ეს კითხვა წყდება ლაგრანგის ფუნქციის მეორე დიფერენციალური ნიშნის შესწავლის საფუძველზე. თუმცა, საკმარისი პირობები ძირითადად თეორიულ ინტერესს წარმოადგენს.

თქვენ შეგიძლიათ მიუთითოთ შემდეგი პროცედურა (1), (2) ამოცანის გადასაჭრელად ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდის გამოყენებით:

1) შეადგინეთ ლაგრანგის ფუნქცია (4);

2) იპოვნეთ ლაგრანჟის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები ყველა ცვლადის მიმართ და გააიგივეთ ისინი

ნულოვანი. ამრიგად, მიიღება სისტემა (3), რომელიც შედგება განტოლებისგან. 3) კოორდინატების გარეშე აღებული სტაციონარული წერტილებიდან აირჩიეთ წერტილები, რომლებშიც ფუნქციას აქვს პირობითი ლოკალური ექსტრემები შეზღუდვების არსებობისას (2). ეს არჩევანი კეთდება, მაგალითად, საკმარისი პირობების გამოყენებითადგილობრივი ექსტრემუმი

. ხშირად კვლევა გამარტივებულია პრობლემის სპეციფიკური პირობების გამოყენების შემთხვევაში.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითი

პრობლემური მდგომარეობა

კომპანია აწარმოებს ორი სახის საქონელს რაოდენობით და . სასარგებლო ღირებულების ფუნქცია განისაზღვრება მიმართებით. ამ საქონლის ფასები ბაზარზე თანაბარია და შესაბამისად.

დაადგინეთ, რა პროდუქციის მოცულობაზე მიიღწევა მაქსიმალური მოგება და რის ტოლია, თუ მთლიანი ხარჯები არ აღემატება

უჭირთ გადაწყვეტილების პროგრესის გაგება? ვებგვერდი გთავაზობთ სერვისს პრობლემების გადაჭრა შეკვეთის ოპტიმალური გადაწყვეტის მეთოდების გამოყენებით

პრობლემის გადაწყვეტა

პრობლემის ეკონომიკური და მათემატიკური მოდელი

მოგების ფუნქცია:

ხარჯების შეზღუდვები:

ჩვენ ვიღებთ შემდეგ ეკონომიკურ და მათემატიკურ მოდელს:

გარდა ამისა, დავალების მნიშვნელობის მიხედვით

ლაგრანჟის გამრავლების მეთოდი

მოდით შევადგინოთ ლაგრანგის ფუნქცია:

ჩვენ ვპოულობთ 1 რიგის ნაწილობრივ წარმოებულებს:

შევქმნათ და მოვაგვაროთ განტოლებათა სისტემა:

მას შემდეგ

მაქსიმალური მოგება:

უპასუხე
მოცემულია გრაფიკული მეთოდის გამოყენებით კვადრატული ამოზნექილი პროგრამირების ამოცანის ამოხსნის მაგალითი.

წრფივი ამოცანის ამოხსნა გრაფიკული მეთოდით
განიხილება გრაფიკული მეთოდიპრობლემის გადაჭრა ხაზოვანი პროგრამირება(ZLP) ორი ცვლადით. მოცემულია დავალების მაგალითი დეტალური აღწერანახატის აგება და გამოსავლის პოვნა.

უილსონის ინვენტარის მართვის მოდელი
პრობლემის გადაჭრის მაგალითის გამოყენებით განიხილება ინვენტარის მართვის ძირითადი მოდელი (ვილსონის მოდელი). გამოითვლება შემდეგი მოდელის ინდიკატორები: ოპტიმალური ზომაშეკვეთის რაოდენობა, წლიური შენახვის ხარჯები, მიწოდების ინტერვალები და შეკვეთის წერტილი.

პირდაპირი ხარჯების თანაფარდობის მატრიცა და შემავალი-გამომავალი მატრიცა
პრობლემის გადაჭრის მაგალითის გამოყენებით განიხილება ლეონტიევის ინტერსექტორული მოდელი. ნაჩვენებია პირდაპირი მატერიალური დანახარჯების კოეფიციენტების მატრიცის გაანგარიშება, „შემავალი-გამომავალი“ მატრიცა, არაპირდაპირი ხარჯების კოეფიციენტების მატრიცა, საბოლოო მოხმარების ვექტორები და მთლიანი პროდუქცია.

ლაგრანგის გამრავლების მეთოდიარის კლასიკური მეთოდი მათემატიკური პროგრამირების ამოცანების (კერძოდ, ამოზნექილი პროგრამირების) გადასაჭრელად. სამწუხაროდ, მეთოდის პრაქტიკულ გამოყენებას შეიძლება შეექმნას მნიშვნელოვანი გამოთვლითი სირთულეები, რაც ავიწროებს მისი გამოყენების ფარგლებს. ლაგრანგის მეთოდს აქ ძირითადად იმიტომ განვიხილავთ, რომ ეს არის აპარატი, რომელიც აქტიურად გამოიყენება პრაქტიკაში ფართოდ გავრცელებული სხვადასხვა თანამედროვე რიცხვითი მეთოდების დასაბუთებისთვის. რაც შეეხება ლაგრანგის ფუნქციას და ლაგრანგის მულტიპლიკატორებს, ისინი დამოუკიდებელ და უაღრესად მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ არა მხოლოდ მათემატიკური პროგრამირების თეორიასა და გამოყენებაში.

განვიხილოთ კლასიკური ოპტიმიზაციის პრობლემა

მაქსიმალური (მინ) z=f(x) (7.20)

ეს პრობლემა (7.18), (7.19) გამორჩეულია იმით, რომ შეზღუდვებს შორის (7.21) არ არის უტოლობები, არ არსებობს პირობები, რომ ცვლადები იყოს არაუარყოფითი, მათი დისკრეტულობა და f(x) ფუნქციები არის. უწყვეტი და აქვს მინიმუმ მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები.

პრობლემის გადაჭრის კლასიკური მიდგომა (7.20), (7.21) იძლევა განტოლებათა სისტემას (აუცილებელი პირობები), რომელიც უნდა დაკმაყოფილდეს x* წერტილით, რომელიც უზრუნველყოფს f(x) ფუნქციას ლოკალურ კიდურს დამაკმაყოფილებელი წერტილების სიმრავლეზე. შეზღუდვები (7.21) (ამოზნექილი პროგრამირების ამოცანისთვის ნაპოვნი წერტილი x*, თეორემა 7.6-ის შესაბამისად, ერთდროულად იქნება გლობალური ექსტრემის წერტილი).

დავუშვათ, რომ x* წერტილში ფუნქციას (7.20) აქვს ლოკალური პირობითი უკიდურესი და მატრიცის რანგი უდრის. შემდეგ საჭირო პირობები დაიწერება ფორმაში:

(7.22)

არსებობს ლაგრანგის ფუნქცია; - ლაგრანგის მულტიპლიკატორები.

ასევე არის საკმარისი პირობები, რომლებშიც განტოლებათა სისტემის ამონახსნი (7.22) განსაზღვრავს f(x) ფუნქციის უკიდურეს წერტილს. ეს კითხვა წყდება ლაგრანგის ფუნქციის მეორე დიფერენციალური ნიშნის შესწავლის საფუძველზე. თუმცა, საკმარისი პირობები ძირითადად თეორიულ ინტერესს წარმოადგენს.

თქვენ შეგიძლიათ მიუთითოთ შემდეგი პროცედურა პრობლემის გადასაჭრელად (7.20), (7.21) ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდით:

1) შეადგინეთ ლაგრანგის ფუნქცია (7.23);

2) იპოვეთ ლაგრანგის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები ყველა ცვლადის მიმართ და დააყენეთ ისინი ნულის ტოლი. ეს გამოიწვევს სისტემას (7.22), რომელიც შედგება განტოლებისგან. ამოხსენით მიღებული სისტემა (თუ ეს შესაძლებელია!) და ამით იპოვნეთ ლაგრანჟის ფუნქციის ყველა სტაციონარული წერტილი;

3) კოორდინატების გარეშე აღებული სტაციონარული წერტილებიდან შეარჩიეთ წერტილები, რომლებშიც f(x) ფუნქციას აქვს პირობითი ლოკალური უკიდურესი შეზღუდვების არსებობისას (7.21). ეს არჩევანი კეთდება, მაგალითად, ადგილობრივი ექსტრემისთვის საკმარისი პირობების გამოყენებით. ხშირად კვლევა გამარტივებულია პრობლემის სპეციფიკური პირობების გამოყენების შემთხვევაში.

მაგალითი 7.3. იპოვე ოპტიმალური განაწილებაშეზღუდული რესურსი ერთეულში. n მომხმარებელს შორის, თუ x j ერთეული რესურსის j-ე მომხმარებლისთვის გამოყოფით მიღებული მოგება გამოითვლება ფორმულით.

გამოსავალი.პრობლემის მათემატიკური მოდელი აქვს შემდეგი ხედი:

ჩვენ ვადგენთ Lagrange ფუნქციას:

.

ჩვენ ვპოულობთ ლაგრანგის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები და გაუტოლეთ ნულს:

განტოლებათა ამ სისტემის ამოხსნისას მივიღებთ:

ამრიგად, თუ მე-4 მომხმარებელს ენიჭება ერთეული. რესურსი, მაშინ მთლიანი მოგება მიაღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას და დენს. ერთეულები

ჩვენ განვიხილეთ ლაგრანჟის მეთოდი, როგორც იქნა გამოყენებული კლასიკური პრობლემაოპტიმიზაცია. ეს მეთოდი შეიძლება განზოგადდეს იმ შემთხვევისთვის, როდესაც ცვლადები არაუარყოფითია და ზოგიერთი შეზღუდვა მოცემულია უტოლობების სახით. თუმცა, ეს განზოგადება, პირველ რიგში, თეორიულია და არ იწვევს კონკრეტულ გამოთვლით ალგორითმებს.

დასასრულს, მოდით მივცეთ ლაგრანგის მულტიპლიკატორები ეკონომიკური ინტერპრეტაცია. ამისათვის მოდით მივმართოთ უმარტივეს კლასიკურ ოპტიმიზაციის პრობლემას

მაქსიმალური (მინ) ზ=ვ(x 1 , X 2); (7.24)

𝜑(x 1, x 2)=ბ. (7.25)

დავუშვათ, რომ პირობითი ექსტრემუმი მიღწეულია წერტილში. ფუნქციის შესაბამისი უკიდურესი მნიშვნელობა ვ(x)

დავუშვათ, რომ შეზღუდვებში (7.25) რაოდენობა ბშეიძლება შეიცვალოს, შემდეგ კი უკიდურესი წერტილის კოორდინატები და, შესაბამისად, უკიდურესი მნიშვნელობა ვ*ფუნქციები ვ(x) გახდება რაოდენობები იმის მიხედვით ბ, ე.ი. ,და შესაბამისად ფუნქციის წარმოებული (7.24)

პირობითი ექსტრემის განსაზღვრის მეთოდი იწყება დამხმარე ლაგრანგის ფუნქციის აგებით, რომელიც შესაძლებელი გადაწყვეტილებების რეგიონში აღწევს მაქსიმუმს ცვლადების იგივე მნიშვნელობებისთვის. x 1 , x 2 , ..., x ნ , რომელიც იგივეა რაც ობიექტური ფუნქცია ზ . მოგვარდეს ფუნქციის პირობითი ექსტრემის განსაზღვრის პრობლემა z = f(X) შეზღუდვების ქვეშ φ მე ( x 1 , x 2 , ..., x ნ ) = 0, მე = 1, 2, ..., მ , მ < ნ

მოდით შევადგინოთ ფუნქცია

რომელსაც ე.წ ლაგრანგის ფუნქცია. X , - მუდმივი ფაქტორები ( ლაგრანგის მულტიპლიკატორები). გაითვალისწინეთ, რომ ლაგრანგის მულტიპლიკატორებს შეიძლება მიენიჭოთ ეკონომიკური მნიშვნელობა. თუ f(x 1 , x 2 , ..., x ნ ) - შემოსავალი გეგმის შესაბამისად X = (x 1 , x 2 , ..., x ნ ) და ფუნქცია φ მე (x 1 , x 2 , ..., x ნ ) - ამ გეგმის შესაბამისი მე-მე რესურსის ხარჯები, მაშინ X , - მე-ე რესურსის ფასი (შეფასება), რომელიც ახასიათებს უკიდურესი მნიშვნელობის ცვლილებას ობიექტური ფუნქციადამოკიდებულია i-ე რესურსის ზომის ცვლილებაზე (ზღვრული შეფასება). L(X) - ფუნქცია n+m ცვლადები (x 1 , x 2 , ..., x ნ , λ 1 , λ 2 , ..., λ ნ ) . ამ ფუნქციის სტაციონარული წერტილების განსაზღვრა განტოლებათა სისტემის ამოხსნას იწვევს

ამის დანახვა ადვილია . ამრიგად, ფუნქციის პირობითი ექსტრემის პოვნის ამოცანა z = f(X) ამცირებს ფუნქციის ლოკალური ექსტრემის პოვნას L(X) . თუ აღმოჩენილია სტაციონარული წერტილი, მაშინ უმარტივეს შემთხვევებში ექსტრემის არსებობის საკითხი წყდება ექსტრემისთვის საკმარისი პირობების საფუძველზე - მეორე დიფერენციალური ნიშნის შესწავლა. დ 2 L(X) სტაციონარულ წერტილში, იმ პირობით, რომ ცვლადი იზრდება Δx მე - დაკავშირებულია ურთიერთობებით

მიღებული დაწყვილების განტოლებების დიფერენცირებით.

არაწრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ორ უცნობში Solution Finder ინსტრუმენტის გამოყენებით

პარამეტრები გამოსავლის პოვნასაშუალებას გაძლევთ იპოვოთ გამოსავალი არაწრფივი განტოლებების სისტემისთვის ორი უცნობით:

სად
- ცვლადების არაწრფივი ფუნქცია x და წ ,
- თვითნებური მუდმივი.

ცნობილია, რომ წყვილი ( x , წ ) არის ამონახსნი განტოლებათა სისტემის (10) თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს არის ამონახვა შემდეგი განტოლებისა ორი უცნობით:

თანმეორეს მხრივ, სისტემის გამოსავალი (10) არის ორი მრუდის გადაკვეთის წერტილები: ვ ] (x, წ) = C და ვ 2 (x, y) = C 2 თვითმფრინავში XOი.

ეს იწვევს სისტემის ფესვების პოვნის მეთოდს. არაწრფივი განტოლებები:

განსაზღვრეთ (მინიმუმ დაახლოებით) განტოლებათა სისტემის (10) ან განტოლების (11) ამონახსნის არსებობის ინტერვალი. აქ აუცილებელია გავითვალისწინოთ სისტემაში შემავალი განტოლებების ტიპი, მათი თითოეული განტოლების განსაზღვრის სფერო და ა.შ. ზოგჯერ გამოიყენება ამონახსნის საწყისი მიახლოების შერჩევა;

ჩამოაყალიბეთ (11) განტოლების ამონახსნი x და y ცვლადებისთვის შერჩეულ ინტერვალზე, ან შექმენით ფუნქციების გრაფიკები ვ 1 (x, წ) = C და ვ 2 (x,y) = C 2 (სისტემა (10)).

განტოლებათა სისტემის სავარაუდო ფესვების ლოკალიზაცია - იპოვნეთ რამდენიმე მინიმალური მნიშვნელობა ცხრილიდან, რომელიც ასახავს განტოლების ფესვებს (11), ან განსაზღვრეთ სისტემაში შემავალი მრუდების გადაკვეთის წერტილები (10).

4. იპოვეთ (10) განტოლებათა სისტემის ფესვები დანამატის გამოყენებით გამოსავლის პოვნა.

გამრავლების მეთოდილაგრანჟი(ინგლისურ ლიტერატურაში „ლაგრანგის მეთოდი განუსაზღვრელი მულტიპლიკატორების შესახებ“) ˗ ეს არის ამოხსნის რიცხვითი მეთოდი ოპტიმიზაციის პრობლემები, რომელიც საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ ობიექტური ფუნქციის "პირობითი" ექსტრემი (მინიმალური ან მაქსიმალური მნიშვნელობა)

მის ცვლადებზე მითითებული შეზღუდვების არსებობისას თანასწორობის სახით (ანუ განსაზღვრულია დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი)

˗ ეს არის ფუნქციის არგუმენტის მნიშვნელობები (კონტროლირებადი პარამეტრები) რეალურ დომენზე, სადაც ფუნქციის მნიშვნელობა მიდრეკილია უკიდურესობისკენ. სახელწოდების „პირობითი“ ექსტრემის გამოყენება განპირობებულია იმით, რომ ცვლადები ექვემდებარება დამატებითი პირობა, რომელიც ზღუდავს მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონს ფუნქციის ექსტრემის ძიებისას.

ლაგრანჟის მულტიპლიკატორის მეთოდი საშუალებას იძლევა, რომ ობიექტური ფუნქციის პირობითი ექსტრემის პოვნის პრობლემა დასაშვები მნიშვნელობების ერთობლიობაში გარდაიქმნას პრობლემად. გარეშე პირობითი ოპტიმიზაციაფუნქციები.

ფუნქციების შემთხვევაში და არის უწყვეტი მათ ნაწილობრივ წარმოებულებთან ერთად, მაშინ არის ისეთი ცვლადები λ, რომლებიც ერთდროულად არ არიან ნულის ტოლი, რომლებშიც დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობა:

ამრიგად, ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდის შესაბამისად, დასაშვები მნიშვნელობების სიმრავლეზე ობიექტური ფუნქციის უკიდურესობის საპოვნელად, მე ვადგენ Lagrange ფუნქციას L(x, λ), რომელიც შემდგომ ოპტიმიზებულია:

სადაც λ ˗ არის დამატებითი ცვლადების ვექტორი, რომელსაც ლაგრანჟის განუსაზღვრელი მამრავლები ეწოდება.

ამრიგად, f(x) ფუნქციის პირობითი კიდურების პოვნის პრობლემა შემცირდა ძიების პრობლემამდე. უპირობო ექსტრემუმიფუნქციები L(x, λ).

და

ლაგრანგის ფუნქციის უკიდურესობის აუცილებელი პირობა მოცემულია განტოლებათა სისტემით (სისტემა შედგება "n + m" განტოლებისგან):

განტოლებათა ამ სისტემის ამოხსნა საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ ფუნქციის (X) არგუმენტები, რომლებშიც L(x, λ) ფუნქციის მნიშვნელობა, ისევე როგორც სამიზნე ფუნქციის f(x) მნიშვნელობა შეესაბამება უკიდურესობას.

ლაგრანგის მულტიპლიკატორების სიდიდე (λ) არის პრაქტიკული ინტერესი, თუ შეზღუდვები წარმოდგენილია განტოლებაში თავისუფალი წევრის სახით (მუდმივი). ამ შემთხვევაში განტოლების სისტემაში მუდმივის მნიშვნელობის შეცვლით შეგვიძლია განვიხილოთ ობიექტური ფუნქციის შემდგომი (გადიდება/შემცირება) მნიშვნელობა. ამრიგად, ლაგრანგის მულტიპლიკატორი ახასიათებს ობიექტური ფუნქციის მაქსიმუმის ცვლილების სიჩქარეს, როდესაც იცვლება შემზღუდველი მუდმივი.

მიღებული ფუნქციის ექსტრემის ბუნების დასადგენად რამდენიმე გზა არსებობს:

პირველი მეთოდი: მოდით იყოს უკიდურესი წერტილის კოორდინატები და - შესაბამისი ღირებულებასამიზნე ფუნქცია. აღებულია წერტილის მიახლოებული წერტილი და გამოითვლება ობიექტური ფუნქციის მნიშვნელობა:

თუ , მაშინ არის მაქსიმუმი წერტილში.

თუ , მაშინ წერტილი არის მინიმუმი.

მეორე მეთოდი: საკმარისი პირობა, საიდანაც შეიძლება განისაზღვროს ექსტრემის ბუნება, არის ლაგრანგის ფუნქციის მეორე დიფერენციალური ნიშანი. ლაგრანგის ფუნქციის მეორე დიფერენციალი განისაზღვრება შემდეგნაირად:

თუ შიგნით მოცემული წერტილი მინიმალური, თუ , მაშინ ობიექტურ ფუნქციას f(x) აქვს პირობითი მაქსიმუმ.

მესამე მეთოდი: ასევე, ფუნქციის ექსტრემუმის ბუნება შეიძლება განისაზღვროს ლაგრანგის ფუნქციის ჰესიანის გათვალისწინებით. ჰესიანური მატრიცა არის სიმეტრიული კვადრატული მატრიცაფუნქციის მეორე ნაწილობრივი წარმოებულები იმ წერტილში, სადაც მატრიცის ელემენტები სიმეტრიულია მთავარი დიაგონალის მიმართ.

ექსტრემის ტიპის დასადგენად (ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური), შეგიძლიათ გამოიყენოთ სილვესტერის წესი:

1. იმისათვის, რომ ლაგრანგის ფუნქციის მეორე დიფერენციალი იყოს დადებითი ნიშნით აუცილებელია, რომ ფუნქციის კუთხური მინორები იყოს დადებითი. ასეთ პირობებში, ფუნქციას ამ ეტაპზე აქვს მინიმუმი.

2. იმისათვის, რომ ლაგრანგის ფუნქციის მეორე დიფერენციალი იყოს უარყოფითი ნიშნით , აუცილებელია, რომ ფუნქციის კუთხური მინორები მონაცვლეობდნენ, ხოლო მატრიცის პირველი ელემენტი უნდა იყოს უარყოფითიsv. ასეთ პირობებში ფუნქციას ამ ეტაპზე აქვს მაქსიმუმი.

კუთხური მინორის მიხედვით ვგულისხმობთ მინორს, რომელიც მდებარეობს ორიგინალური მატრიცის პირველ k სტრიქონებსა და k სვეტებში.

საფუძვლები პრაქტიკული მნიშვნელობალაგრანგის მეთოდი არის ის, რომ ის საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ პირობითი ოპტიმიზაციისგან უპირობო ოპტიმიზაციაზე და, შესაბამისად, გააფართოვოთ არსენალი. ხელმისაწვდომი მეთოდებიპრობლემის გადაჭრა. თუმცა, განტოლებათა სისტემის ამოხსნის პრობლემა, რომელიც იშლება ამ მეთოდითზოგად შემთხვევაში, არ არის უფრო მარტივი, ვიდრე ექსტრემის პოვნის თავდაპირველი პრობლემა. ასეთ მეთოდებს ირიბი ეწოდება. მათი გამოყენება აიხსნება ექსტრემალური პრობლემის გადაწყვეტის ანალიტიკური ფორმით მოპოვების აუცილებლობით (მაგალითად, გარკვეული თეორიული გამოთვლებისთვის). კონკრეტული ამოხსნისას პრაქტიკული პრობლემებიჩვეულებრივ გამოიყენება პირდაპირი მეთოდები, რომლებიც ეფუძნება ოპტიმიზირებული ფუნქციების გამოთვლისა და შედარების განმეორებით პროცესებს.

გაანგარიშების მეთოდი

1 ნაბიჯი: ჩვენ განვსაზღვრავთ ლაგრანგის ფუნქციას მოცემული ობიექტური ფუნქციიდან და შეზღუდვების სისტემიდან:

წინ

სტატიაში თქვენი კომენტარის დასამატებლად გთხოვთ დარეგისტრირდეთ საიტზე.