გაკვეთილი 3

მაგალითი 1.კამათელი იყრება 10-ჯერ. იპოვნეთ ალბათობა იმისა, რომ ექვსიანი ორჯერ დაბრუნდება.

გამოსავალი.გამოვიყენოთ ბერნულის ფორმულა.

აქ p = 1/6; q = 1-1/6 = 5/6; n = 10; მ = 2;

მაგალითი 2 . სამართლიანი მონეტა აგდებულია 10-ჯერ. იპოვნეთ შემდეგი მოვლენების ალბათობა:

A = (გერბი ზუსტად 5-ჯერ გამოჩნდება);
B = (გერბი გამოჩნდება არაუმეტეს 5-ჯერ);
C = (გერბი გამოჩნდება მინიმუმ 1 ჯერ).

გამოსავალი.მოდით გადავაფორმოთ პრობლემა ბერნულის ტესტების თვალსაზრისით:

N = 10 ცდების რაოდენობა;
წარმატება - გერბი;
p = 0,5 – წარმატების ალბათობა;
q = 1-p = 0.5 - მარცხის ალბათობა.

A მოვლენის ალბათობის გამოსათვლელად ვიყენებთ ბერნულის ფორმულას :

მაგალითი 3 . ლექციაზე სტუდენტის დაგვიანების ალბათობა იყოს 0,08. იპოვეთ დაგვიანებული სტუდენტების ყველაზე სავარაუდო რაოდენობა 96 სტუდენტიდან.

გამოსავალი.გვაქვს n = 96; p = 0.08; q = 0,92;

მაგალითი 4 . ურნადან, რომელიც შეიცავს 2 თეთრ და 6 შავ ბურთულას, შემთხვევით ირჩევა ერთი ბურთი და ზედიზედ 5-ჯერ ბრუნდება. გამოთვალეთ ალბათობა იმისა, რომ თეთრი ბურთი 4-ჯერ გამოჩნდება.

გვაქვს: n = 8; p = 1/4; q = 3/4; m = 5. ჩვენ ვიანგარიშებთ სასურველ ალბათობას ბერნულის ფორმულის გამოყენებით:

მაგალითი 5 . ყოველდღიურად კორპორაციის აქციები ძვირდება ან იკლებს ერთი პუნქტით, შესაბამისად 0,75 და 0,25 ალბათობით. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ აქცია დაბრუნდება თავდაპირველ ფასზე ექვსი დღის შემდეგ. მიიღეთ პირობა, რომ აქციების ფასის ზევით და ქვევით ცვლილებები დამოუკიდებელი მოვლენაა.

გამოსავალი. იმისთვის, რომ აქციები 6 დღეში დაუბრუნდეს საწყის ფასს, ამ დროის განმავლობაში საჭიროა 3-ჯერ გაძვირება და სამჯერ ვარდნა. საჭირო ალბათობა გამოითვლება ბერნულის ფორმულით:

მაგალითი 6. მაგიდიდან შემთხვევითი რიცხვებიშემთხვევით დაიწერა 200 ორნიშნა შემთხვევითი რიცხვი (0-დან 99-მდე). დაადგინეთ ალბათობა იმისა, რომ რიცხვი 33 გამოჩნდეს მათ შორის: ა) სამჯერ; ბ) ოთხჯერ.

გამოსავალი. ალბათობა, რომ შემთხვევით არჩეული ორნიშნა რიცხვიუდრის 33-ს, უდრის p = 0.01-ს, ვინაიდან არჩეულია 100 შესაძლოდან ერთ-ერთი. ტესტების რაოდენობა n = 200. ვინაიდან რიცხვი n დიდია და P ალბათობა მცირეა, ვიყენებთ პუასონის ფორმულას:

სადაც a = np = 200 0.01 = 2.

მაგალითი 7 . საკომუნიკაციო ხაზზე შეტყობინების გადაცემისას ერთი სიმბოლოს დამახინჯების ალბათობა არის 0.001. შეტყობინება მიღებულად ითვლება, თუ მასში არ არის დამახინჯება. იპოვეთ ალბათობა, რომ მიიღება შეტყობინება, რომელიც შედგება 20 სიტყვისგან 100 სიმბოლოსგან.

გამოსავალი. A-ით ავღნიშნოთ მოვლენა, რომლის ალბათობაც საჭიროა ამოცანში.

N = 2000 - სიმბოლოების რაოდენობა შეტყობინებაში;
წარმატება - სიმბოლო არ არის დამახინჯებული;
p = 0,001 - წარმატების ალბათობა;
მ = 0;
P 2000 (0) - ? - პრობლემის საკითხი ბერნულის სქემის თვალსაზრისით.

მოდით გამოვთვალოთ λ = np = 2. გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ პუასონის ფორმულა:

პოასონის ფორმულის ალბათობა λ და m-ისთვის შეგიძლიათ იხილოთ სპეციალურ ცხრილში.

მაგალითი 8. სატელეფონო სადგური 1000 აბონენტს ემსახურება. ალბათობა იმისა, რომ აბონენტს ერთ წუთში დასჭირდება კავშირი არის 0.0007. გამოთვალეთ ალბათობა, რომ წუთში სატელეფონო სადგურიმიიღება მინიმუმ 3 ზარი.

გამოსავალი.მოდით გადავაფორმოთ პრობლემა ბერნულის სქემის მიხედვით:

N = 1000;
წარმატება - მიღებული ზარი;
p = 0,0007 - წარმატების ალბათობა;
– დიაპაზონი, რომელშიც უნდა იყოს წარმატებების რაოდენობა.

გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ პუასონის ფორმულა დიაპაზონისთვის.

A = (მინიმუმ სამი ზარი ჩამოვა) - მოვლენა, რომლის ალბათობაც უნდა მოიძებნოს პრობლემაში.

= (მიღებულია სამზე ნაკლები ზარი). გადავიდეთ საპირისპირო მოვლენაზე, რადგან მისი ალბათობის გამოთვლა უფრო ადვილია.

ამრიგად,

მაგალითი 9(ადგილობრივი Moivre-Laplace ფორმულა).

ერთი გასროლით მიზანში მოხვედრის ალბათობაა 0,8. დაადგინეთ ალბათობა იმისა, რომ 400 გასროლით იქნება ზუსტად 300 დარტყმა.

გამოსავალი.მოდით გადავაფორმოთ პრობლემა ბერნულის სქემის მიხედვით:

N = 400 – ტესტების რაოდენობა;
m = 300 – წარმატებების რაოდენობა;
წარმატება - დარტყმა;
p = 0.8;
P 400 (300) - ? - პრობლემის საკითხი ბერნულის სქემის თვალსაზრისით;
λ = np = 320.

აუცილებელია ადგილობრივი მოივრე-ლაპლასის ფორმულის გამოყენება.

წინასწარი გაანგარიშება:

φ(x) ფუნქციის მნიშვნელობა შეგიძლიათ იხილოთ ცხრილში. ის შეიცავს მნიშვნელობებს მხოლოდ x≥0-სთვის. მაგრამ ფუნქცია φ(x) ლუწია, ე.ი. φ(-x) = φ(x).

თუ x>5, მაშინ დავუშვათ φ(x)≈0.

მაგალითი 10(მოივრე-ლაპლასის ინტეგრალური ფორმულა).

იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ 600 სროლის დროს 90-დან 120 ექვსამდე გამოჩნდება.

გამოსავალი.მოდით გადავაფორმოთ პრობლემა ბერნულის სქემის მიხედვით:

N = 600 – ტესტების რაოდენობა;
წარმატება - რულონი 6;
p = 1/6 - ძვალი ითვლება რეგულარულად;
- წარმატებების რაოდენობის დიაპაზონი;
q = 5/6;

გამოვიყენოთ მოივრე-ლაპლასის ინტეგრალური ფორმულა.

წინასწარი გაანგარიშება:

A-ით ავღნიშნოთ მოვლენა, რომლის შესახებაც იკითხება პრობლემაში.

P(A) = Ф(х2)-Ф(x1) = Ф(2.19)-Ф(-1.10) ≈ 0.48575+0.36433 = 0.85007.

Ф(х) ფუნქციის მნიშვნელობა შეგიძლიათ იხილოთ სპეციალურ ცხრილში. ის შეიცავს მნიშვნელობებს მხოლოდ x≥0-სთვის. მაგრამ Ф(х) ფუნქცია კენტია, ე.ი. Ф(-х) = -Ф(х).

18 ნაწილის პარტიაში 5 დეფექტურია. ლოტიდან შემთხვევით შეირჩევა 9 ნაწილი. დაადგინეთ ალბათობა, რომ მათ შორის არ იქნება დეფექტური.

მოწყობილობა შედგება ორი დამოუკიდებელი ელემენტისგან, რომლებიც მუშაობენ გარკვეული დროის განმავლობაში წარუმატებლობის გარეშე, შესაბამისად 0,85 და 0,75 ალბათობით. იპოვეთ ამის ალბათობა მოცემულ დროსერთი ელემენტი მაინც ვერ იქნება.

ზოგიერთ საწარმოში პროდუქციის 60% შესაფერისად ითვლება. ყოველი 90 შესაფერისი პროდუქტიდან საშუალოდ 67 არის პირველი კლასის.

იპოვეთ ალბათობა, რომ ამ საწარმოში წარმოებული პროდუქტი იქნება პირველი კლასის.

მოწყობილობის აწყობა შესაძლებელია მაღალი ხარისხის პროდუქტებისა და ჩვეულებრივი ხარისხის პროდუქტებისგან.

1. მოწყობილობების 40% აწყობილია მაღალი ხარისხის პროდუქტებისგან, ხოლო მისი საიმედოობაა 0,95, თუ მოწყობილობა აწყობილია ჩვეულებრივი ნაწილებისგან, მაშინ მისი საიმედოობაა 0,7; იპოვნეთ მოწყობილობის გატეხვის ალბათობა.

1. ორი მსროლელი დამოუკიდებლად ისვრის ერთ მიზანს, თითო გასროლას.

სამიზნეზე დარტყმის ალბათობა პირველი მსროლელისთვის არის 0,8, მეორესთვის 0,4. გასროლის შემდეგ მიზანს ხვდება. იპოვეთ ალბათობა, რომ ეს ხვრელი პირველ მსროლელს ეკუთვნის.

კამათელი იყრება 5-ჯერ. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ქულების რიცხვი, რომელიც სამის ნამრავლია, ორჯერ გამოჩნდება. ვარიანტი 25

რიცხვები 1, 2,…, 20 მოწყობილია შემთხვევით. თუ ვივარაუდებთ, რომ რიცხვების სხვადასხვა განლაგება თანაბრად სავარაუდოა, იპოვნეთ ალბათობა იმისა, რომ რიცხვები 1, 2, 3, 4, 5, 6 მდებარეობენ ერთმანეთის გვერდით.

მოწყობილობა შედგება ორი დამოუკიდებელი ელემენტისგან, რომლებიც მუშაობენ გარკვეული დროის განმავლობაში წარუმატებლობის გარეშე, შესაბამისად 0,85 და 0,75 ალბათობით. იპოვნეთ ალბათობა იმისა, რომ მოცემულ დროს მხოლოდ ერთი ელემენტი ჩაიშლება.

ბერნულის ფორმულა.

ტარდება n დამოუკიდებელი ცდები, რომელთაგან თითოეულში შეიძლება მოხდეს A მოვლენა (ტრადიციით, ექსპერიმენტის ამ შედეგს წარმატებას უწოდებენ) იგივე ალბათობით, ან შეიძლება მოხდეს საპირისპირო მოვლენა A (ამ შედეგს მარცხი ეწოდება) ალბათობით. . მაშინ ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა A მოხდება ზუსტად m-ჯერ, ნაპოვნია ბერნულის ფორმულის გამოყენებით

კერძოდ, აქედან გამომდინარეობს, რომ ალბათობა იმისა, რომ n ცდაში, რომელიც აკმაყოფილებს ბერნულის სქემას, მოხდება A მოვლენა:

1) ნაკლები ჯერ - თანაბარი

2) ჯერზე მეტი - თანაბარი

3) ერთხელ მაინც - თანაბარი

4) არანაკლებ ჯერ და არა უმეტეს ჯერზე - უდრის:

ნომერზე იწოდება სავარაუდოდ რიცხვი თავდასხმები (ან წარმატებების ყველაზე სავარაუდო რაოდენობა) ბერნულის სქემაში, თუ p და q ალბათობები არ არის ნულოვანი, მაშინ რიცხვი შეიძლება მოიძებნოს ორმაგი უტოლობიდან.

თუ ყოველ დამოუკიდებელ ცდაში A მოვლენის დადგომის ალბათობა ტოლია (რიცხვები განსხვავებულია), მაშინ ალბათობა იმისა, რომ ამ ცდების სერიაში A მოვლენა მოხდეს m-ჯერ, უდრის მრავალწევრის mth ხარისხის კოეფიციენტს.

ფუნქცია ეწოდება გენერირების ფუნქცია

მაგალითი 1.

კამათელი იყრება 10-ჯერ. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ექვსიანი შემოვიდა:

ა) ზუსტად 2-ჯერ; ბ) არა უმეტეს 8-ჯერ; გ) ერთხელ მაინც

გამოსავალი:

ტარდება 10 დამოუკიდებელი ტესტი. თითოეულ ტესტს აქვს ორი შედეგი: ექვსიანი დაბრუნდება, ექვსი არ შემოვიდა. ყოველ საცდელში ექვსეულის გაშვების ალბათობა მუდმივია და ტოლია. ამრიგად, საქმე გვაქვს ბერნულის საცდელ წრესთან. საჭირო ალბათობების საპოვნელად ვიყენებთ ბერნულის სქემას.

ა) აქედან აქედან, ბ) საჭირო ალბათობა უდრის:

თუმცა, ამ შემთხვევაში მოსახერხებელია საპირისპირო მოვლენის ალბათობის პოვნა - "ექვსი 8-ზე მეტჯერ შემოვა", ანუ 9 ან 10.

ასე რომ, ალბათობა იმისა, რომ ექვსი გამოჩნდეს არაუმეტეს 8-ჯერ არის

ბ) საჭირო ალბათობა უდრის

მაგალითი 2.

ამ მცენარის ჯიშის თესლის გაღივების მაჩვენებელი 70%-ია. იპოვეთ სიცოცხლისუნარიანი თესლის ყველაზე სავარაუდო რაოდენობა 240 თესლის პარტიაში.

გამოსავალი:

ორმაგი უტოლობიდან ყველაზე სავარაუდო რიცხვს ვპოულობთ

მას შემდეგ

აქედან გამომდინარეობს

პასუხი: 168

მაგალითი 3.

მოწყობილობა შედგება სამი დამოუკიდებლად მოქმედი ელემენტისგან. დროთა განმავლობაში თითოეული ელემენტის წარუმატებლობის ალბათობა ტოლია. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ორი ელემენტი მარცხდება.

გამოსავალი:

ვინაიდან, ალბათობა იმისა, რომ ელემენტი არ ჩავარდეს, ტოლია. მოდით შევქმნათ გენერირების ფუნქცია:

აქედან გამომდინარეობს

ამოცანები:

1. მიზანში ერთი გასროლით მოხვედრის ალბათობა მოცემული მსროლელისთვის არის 0,7 და არ არის დამოკიდებული გასროლის რაოდენობაზე. იპოვეთ ალბათობა, რომ 5 გასროლით მიზანში იქნება ზუსტად 2 დარტყმა.

2. ტესტი შეიცავს 10 კითხვას, რომლებსაც პასუხი უნდა გაეცეს ორიდან ერთი სიტყვით: დიახ, არა. რამდენია მინიმუმ 80%-იანი სწორი პასუხის მიღების ალბათობა გამოცნობის მეთოდის გამოყენების შემთხვევაში?

3. მიზანში ერთი გასროლით დარტყმის ალბათობა არის 0,8. იპოვეთ სამიზნეზე დარტყმების ყველაზე სავარაუდო რაოდენობა 5 გასროლით და ამ რიცხვის შესაბამისი ალბათობა.

4. ალბათობა იმისა, რომ მანქანა ერთ საათში მოითხოვს მუშის ყურადღებას არის 0,6. თუ ვივარაუდებთ, რომ მანქანებში პრობლემები დამოუკიდებელია, იპოვნეთ ალბათობა, რომ ერთ საათში მუშის ყურადღება დასჭირდება ნებისმიერ მანქანას იმ ოთხიდან, რომელსაც ის ემსახურება.

5. მონეტა იყრება 10-ჯერ. იპოვეთ გერბის გამოჩენის ალბათობა: ა) 4-დან 6-ჯერ; ბ) ერთხელ მაინც.

6. პრემიუმ პროდუქციის წილი ერთ ამ საწარმოსარის 30%. რა არის პრემიუმ პროდუქტების ყველაზე სავარაუდო რაოდენობა 75 პროდუქტის შემთხვევით შერჩეულ პარტიაში?

7. რამდენჯერ უნდა ჩააგდოს კამათელი ისე, რომ ორთა ყველაზე სავარაუდო რიცხვი იყოს 32?

8. თესლის გაღივება საშუალოდ 80%-ია. იპოვეთ სიცოცხლისუნარიანი თესლის ყველაზე მცირე რაოდენობა ცხრას შორის.

9. გამოყენებული მკურნალობის მეთოდი შემთხვევათა 90%-ში გამოჯანმრთელებას იწვევს. რა არის იმის ალბათობა, რომ 5 პაციენტიდან 4 მაინც გამოჯანმრთელდება?

10. რა არის A მოვლენის დადგომის ალბათობა თითოეულ ცდაში, თუ A მოვლენის დადგომის ყველაზე სავარაუდო რაოდენობა 120 ცდაში არის 32?

11. სამიზნე შედგება სამი წყვილად გადახურული ზონისგან. მიზანში ერთი გასროლით, მოცემული მსროლელისთვის პირველ ზონაში დარტყმის ალბათობა არის 0,5. მეორე და მესამე ზონებისთვის ეს ალბათობა არის 0,3 და 0,2, შესაბამისად. მსროლელი მიზანში 6 გასროლას ისვრის. იპოვეთ ალბათობა, რომ პირველ ზონაში იქნება 3 დარტყმა, მეორეში 2 და მესამე ზონაში 1 დარტყმა.

12. რა არის ექსპერიმენტების მინიმალური რაოდენობა, რომელიც საკმარისია ჩასატარებლად, რომ არანაკლებ 0,98 ალბათობით, შეიძლება ველოდოთ A მოვლენის დადგომას ერთხელ მაინც, თუ A მოვლენის ალბათობა ერთ ექსპერიმენტში არის 0,02. .

13. ორი თანაბარი მოჭადრაკე თამაშობს ჭადრაკს. რა არის უფრო სავარაუდო: ა) მოიგოს ერთი თამაში ორიდან ან ოთხი თამაშიდან ორიდან; ბ) მოიგოთ მინიმუმ ორი თამაში ოთხიდან ან მინიმუმ სამი თამაში ხუთიდან? არავის ქულები არ არის გათვალისწინებული.

14. იპოვეთ ალბათობა, რომ მონეტის 10 სროლისას გერბი 5-ჯერ გამოჩნდეს.

15. მიზანზე სროლისას ერთი გასროლით დარტყმის ალბათობა არის 0,7. დარტყმების რა რაოდენობაზეა დარტყმების ყველაზე სავარაუდო რაოდენობა 16-ის ტოლი?

16. წარმოებული ნაწილების ხარისხის შემოწმებამ აჩვენა, რომ დეფექტის საშუალო მაჩვენებელი 7,5%-ია. იპოვეთ სტანდარტული ნაწილების ყველაზე სავარაუდო რაოდენობა შემთხვევით შერჩეულ 39 ცალი პარტიაში.

კიდევ ერთი პოპულარული პრობლემა ალბათობის თეორიაში (მონეტის გადაყრის პრობლემასთან ერთად) არის კამათლის სროლის პრობლემა.

ჩვეულებრივ, დავალება ასე ჟღერს: იყრება ერთი ან მეტი კამათელი (ჩვეულებრივ 2, ნაკლებად ხშირად 3). თქვენ უნდა იპოვოთ ალბათობა იმისა, რომ ქულების რაოდენობა იყოს 4, ან ქულების ჯამი იყოს 10, ან ქულების რაოდენობის ნამრავლი იყოფა 2-ზე, ან ქულების რაოდენობა განსხვავდება 3-ით და ა.შ.

ასეთი ამოცანების გადაჭრის მთავარი მეთოდია კლასიკური ალბათობის ფორმულის გამოყენება, რომელსაც ქვემოთ გავაანალიზებთ მაგალითების გამოყენებით.

გადაწყვეტის მეთოდების გაცნობის შემდეგ, შეგიძლიათ ჩამოტვირთოთ სუპერ სასარგებლო გამოსავალი 2 კამათლის სროლისთვის (ცხრილებით და მაგალითებით).

ერთი კამათელი

ერთი კამათლით სიტუაცია უხამსი მარტივია. შეგახსენებთ, რომ ალბათობა იპოვება $P=m/n$ ფორმულით, სადაც $n$ არის კუბის ან კამათლის სროლით ექსპერიმენტის ყველა თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგის რიცხვი, ხოლო $m$ არის რიცხვი. იმ შედეგებიდან, რომლებიც ხელს უწყობს მოვლენას.

მაგალითი 1. კვარცხლბეკი ერთხელ იყრება. რა არის ალბათობა იმისა, რომ ლუწი რაოდენობის ქულები დაიბრუნოს?

ვინაიდან კვერი კუბია (ასევე ამბობენ სამართლიანი კამათელიანუ, კუბი დაბალანსებულია, ასე რომ, ის დაეშვება ყველა მხარეს ერთი და იგივე ალბათობით), კუბს აქვს 6 გვერდი (ქულების რაოდენობა 1-დან 6-მდე, ჩვეულებრივ მითითებული პუნქტები), შემდეგ კი შედეგების საერთო რაოდენობა პრობლემა არის $n=6$. ერთადერთი შედეგი, რომელიც ხელს უწყობს მოვლენას, არის, როდესაც 2, 4 ან 6 ქულის მქონე მხარე ამოვარდება, ასეთი მხარეებია $m=3$; მაშინ სასურველი ალბათობა უდრის $P=3/6=1/2=0.5$.

მაგალითი 2. კამათლები იყრება. იპოვნეთ მინიმუმ 5 ქულის გადაგდების ალბათობა.

ჩვენ ვმსჯელობთ ისევე, როგორც წინა მაგალითში. თანაბრად შესაძლო შედეგების ჯამური რაოდენობა ჯაგრისების სროლისას არის $n=6$, ხოლო პირობა „მინიმუმ 5 ქულა შემოვიდა“, ანუ „ან 5 ან 6 ქულა შემოვიდა“ კმაყოფილდება 2 შედეგით, $მ. =2$. საჭირო ალბათობაა $P=2/6=1/3=0.333$.

მეტი მაგალითის მოყვანის აზრსაც ვერ ვხედავ, გადავიდეთ ორ კამათელზე, სადაც ყველაფერი უფრო საინტერესო და გართულებულია.

ორი კამათელი

როცა ჩვენ ვსაუბრობთ 2 კამათლის სროლასთან დაკავშირებული პრობლემების შესახებ, გამოსაყენებლად ძალიან მოსახერხებელი ქულების ცხრილი. მოდით ჰორიზონტალურად გამოვყოთ პირველ კამათელზე დავარდნილი ქულების რაოდენობა, ხოლო მეორე კამათელზე დავარდნილი ქულების რაოდენობა ვერტიკალურად. მოდით მივიღოთ მსგავსი რამ (მე ამას ჩვეულებრივ Excel-ში ვაკეთებ, შეგიძლიათ ჩამოტვირთოთ ფაილი):

რა არის ცხრილის უჯრედებში, გეკითხებით? და ეს დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა პრობლემას მოვაგვარებთ. იქნება დავალება ქულების ჯამის შესახებ - იქ დავწერთ ჯამს, განსხვავებაზე - დავწერთ განსხვავებას და ა.შ. დავიწყოთ?

მაგალითი 3. 2 კამათელი იყრება ერთდროულად. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ჯამი იქნება 5 ქულაზე ნაკლები.

პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ ექსპერიმენტის შედეგების მთლიან რაოდენობას. როდესაც ჩვენ ვისროლეთ ერთი ნაკვთი, ყველაფერი აშკარა იყო, 6 მხარე - 6 შედეგი. აქ უკვე არის ორი კამათელი, ასე რომ, შედეგები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს $(x,y)$-ის ფორმის რიცხვების მოწესრიგებული წყვილით, სადაც $x$ არის რამდენი ქულა დაეცა პირველ კამათელზე (1-დან 6-მდე), $. y$ არის რამდენი ქულა დაეცა მეორე კამათელზე (1-დან 6-მდე). ცხადია, ასეთი წყვილი რიცხვების ჯამური რაოდენობა იქნება $n=6\cdot 6=36$ (და ისინი შეესაბამება შედეგების ცხრილის ზუსტად 36 უჯრედს).

ახლა დროა შეავსოთ ცხრილი. თითოეულ უჯრედში შევიყვანთ პირველ და მეორე კამათელზე გაშვებული ქულების ჯამს და ვიღებთ შემდეგ სურათს:

ახლა ეს ცხრილი დაგვეხმარება მოვძებნოთ მოვლენისთვის ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა „ჯამში გამოჩნდება 5 ქულაზე ნაკლები“. ამისათვის ჩვენ ვითვლით უჯრედების რაოდენობას, რომლებშიც ჯამის მნიშვნელობა 5-ზე ნაკლებია (ანუ 2, 3 ან 4). სიცხადისთვის, მოდით გავაფერადოთ ეს უჯრედები, იქნება $m=6$:

მაშინ ალბათობა უდრის: $P=6/36=1/6$.

მაგალითი 4. იყრება ორი კამათელი. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ქულების რაოდენობის ნამრავლი იყოფა 3-ზე.

ჩვენ ვქმნით პირველ და მეორე კამათელზე გაშვებული ქულების პროდუქტების ცხრილს. ჩვენ დაუყოვნებლივ გამოვყოფთ იმ რიცხვებს, რომლებიც 3-ის ჯერადია:

რჩება მხოლოდ ჩაწერა, რომ შედეგების ჯამური რაოდენობაა $n=36$ (იხილეთ წინა მაგალითი, მსჯელობა იგივეა), ხოლო ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა (დაჩრდილული უჯრედების რაოდენობა ზემოთ ცხრილში) არის $m=20$. მაშინ მოვლენის ალბათობა იქნება $P=20/36=5/9$.

როგორც ხედავთ, ამ ტიპის პრობლემა, სათანადო მომზადებით (მოდით კიდევ რამდენიმე პრობლემას გადავხედოთ), შეიძლება სწრაფად და მარტივად მოგვარდეს. მრავალფეროვნებისთვის, მოდით გავაკეთოთ კიდევ ერთი დავალება სხვა ცხრილით (ყველა ცხრილის ჩამოტვირთვა შესაძლებელია გვერდის ბოლოში).

მაგალითი 5. კამათელი ორჯერ იყრება. იპოვეთ ალბათობა, რომ პირველ და მეორე კამათელზე ქულების რაოდენობაში სხვაობა იყოს 2-დან 5-მდე.

მოდით ჩამოვწეროთ წერტილების განსხვავებების ცხრილი, გამოვყოთ მასში არსებული უჯრედები, რომლებშიც სხვაობის მნიშვნელობა იქნება 2-დან 5-მდე:

ასე რომ, თანაბრად შესაძლო ელემენტარული შედეგების ჯამური რაოდენობაა $n=36$, ხოლო ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა (დაჩრდილული უჯრედების რაოდენობა ზემოთ ცხრილში) არის $m=10$. მაშინ მოვლენის ალბათობა იქნება $P=10/36=5/18$.

ასე რომ, იმ შემთხვევაში, როდესაც საუბარია 2 კამათლის სროლაზე და მარტივი მოვლენა, თქვენ უნდა ააგოთ ცხრილი, შეარჩიოთ მასში საჭირო უჯრედები და გაყოთ მათი რიცხვი 36-ზე, ეს იქნება ალბათობა. ქულების რაოდენობის ჯამზე, ნამრავლსა და სხვაობაზე ამოცანების გარდა, ასევე არის პრობლემები სხვაობის მოდულზე, შედგენილი ქულების უმცირესი და უდიდესი რაოდენობის შესახებ (შესაფერის ცხრილებს ნახავთ).

სხვა პრობლემები კამათლისა და კუბების შესახებ

რა თქმა უნდა, საქმე არ შემოიფარგლება ზემოთ განხილული კამათლების სროლის ორი კლასის პრობლემებით (ისინი უბრალოდ ყველაზე ხშირად გვხვდება პრობლემურ წიგნებსა და სასწავლო სახელმძღვანელოებში), არის სხვა. მიახლოებითი ამოხსნის მეთოდის მრავალფეროვნებისა და გაგებისთვის ჩვენ გავაანალიზებთ კიდევ სამ ტიპურ მაგალითს: 3 კამათლის სროლისთვის, პირობითი ალბათობისთვის და ბერნულის ფორმულისთვის.

მაგალითი 6. იყრება 3 კამათელი. იპოვეთ ალბათობა, რომ ჯამური 15 ქულაა.

3 კამათლის შემთხვევაში, ცხრილები იკრიბება ნაკლებად ხშირად, რადგან დაგჭირდებათ 6 ცალი (და არა ერთი, როგორც ზემოთ), ღირებულება მარტივი ძებნასაჭირო კომბინაციები.

მოდით ვიპოვოთ ექსპერიმენტის შედეგების საერთო რაოდენობა. შედეგები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც $(x,y,z)$ ფორმის რიცხვების დალაგებული ტრიპლეტები, სადაც $x$ არის რამდენი ქულა დაეცა პირველ კვერზე (1-დან 6-მდე), $y$ არის რამდენი ქულა დაეცა. მეორე დიზელზე (1-დან 6-მდე), $z$ - რამდენი ქულა შემოვიდა მესამეზე (1-დან 6-მდე). ცხადია, ასეთი სამმაგი რიცხვების ჯამური რაოდენობა იქნება $n=6\cdot 6\cdot 6=216$.

ახლა ავირჩიოთ შედეგები, რომლებიც ჯამში 15 ქულას იძლევა.

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

მივიღეთ $m=3+6+1=10$ შედეგი. სასურველი ალბათობაა $P=10/216=0.046$.

მაგალითი 7. იყრება 2 კამათელი. იპოვნეთ ალბათობა, რომ პირველი კვარცხლბეკი 4 ქულზე მეტი არ იყოს, იმ პირობით, რომ ქულების საერთო რაოდენობა ლუწია.

ამ პრობლემის გადაჭრის უმარტივესი გზაა ცხრილის ხელახლა გამოყენება (ყველაფერი გასაგები იქნება), როგორც ადრე. ჩვენ ვწერთ ქულების ჯამების ცხრილს და ვირჩევთ მხოლოდ ლუწი მნიშვნელობების მქონე უჯრედებს:

ვიღებთ, რომ ექსპერიმენტის პირობების მიხედვით არის არა 36, არამედ $n=18$ შედეგი (როდესაც ქულების ჯამი ლუწია).

ახლა ამ უჯრედებიდანმოდით ავირჩიოთ მხოლოდ ის, რაც შეესაბამება მოვლენას „არაუმეტეს 4 ქულა შემოვიდა პირველ საყრდენზე“ - ანუ, ფაქტობრივად, ცხრილის პირველი 4 მწკრივის უჯრედები (მონიშნული ნარინჯისფრად), იქნება $m=. 12$.

საჭირო ალბათობა $P=12/18=2/3.$

იგივე დავალების შესრულება შესაძლებელია სხვაგვარად გადაწყვიტოსპირობითი ალბათობის ფორმულის გამოყენებით. მოდით შევიდეთ მოვლენებში:
A = ქულების რაოდენობის ჯამი ლუწია
B = არაუმეტეს 4 ქულა შემოვიდა პირველ საყრდენზე
AB = ქულების რიცხვის ჯამი ლუწია და პირველ კვარცხლბეკზე არაუმეტეს 4 ქულა იყო შემობრუნებული
შემდეგ სასურველი ალბათობის ფორმულას აქვს ფორმა: $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)). $$ ალბათობების პოვნა. შედეგების საერთო რაოდენობაა $n=36$, A მოვლენისთვის ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა (იხ. ცხრილები ზემოთ) არის $m(A)=18$, ხოლო AB მოვლენისთვის - $m(AB)=12$. ვიღებთ: $$ P(A)=\frac(m(A))(n)=\frac(18)(36)=\frac(1)(2); \quad P(AB)=\frac(m(AB))(n)=\frac(12)(36)=\frac(1)(3);\\ P(B|A)=\frac(P (AB))(P(A))=\frac(1/3)(1/2)=\frac(2)(3). $$ პასუხები იგივე იყო.

მაგალითი 8. კამათელი იყრება 4-ჯერ. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ლუწი რაოდენობა ზუსტად 3-ჯერ გამოჩნდება.

იმ შემთხვევაში, როცა კამათელი რამდენჯერმე ისვრის, და ღონისძიება არ ეხება თანხას, პროდუქტს და ა.შ. ინტეგრალური მახასიათებლები, მაგრამ მხოლოდ დაახლოებით წვეთების რაოდენობა გარკვეული ტიპის, შეიძლება გამოყენებულ იქნას ალბათობის გამოსათვლელად