Indépendance des lignes linéaires. Propriétés des colonnes matricielles linéairement dépendantes et linéairement indépendantes. §4.9. Rang matriciel
Daria Nikitine
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Un Un
Intérêts composés Il est d'usage d'appeler l'effet lorsque les intérêts sur les bénéfices s'ajoutent au montant principal et participent ensuite à la création de nouveaux bénéfices.
Formule d'intérêt composé est la formule utilisée pour calculer montant total en tenant compte de la capitalisation (accumulation d'intérêts).
Dans cet article :
Calcul simple des intérêts composés
Pour mieux comprendre le calcul des intérêts composés, regardons un exemple.
Imaginons que vous déposiez 10 000 roubles à la banque à 10 % par an.
Un an plus tard, sur votre compte bancaire le montant sera SOMME = 10 000 + 10 000*10 % = 11 000 roubles.
Votre bénéfice est de 1 000 roubles.
Vous décidez de laisser 11 000 roubles à la banque pour la deuxième année au même taux d'intérêt de 10 %.
Au bout de 2 ans, la banque aura accumulé 11 000 + 11 000*10 % = 12 100 roubles.
Le bénéfice de la première année (1 000 roubles) a été ajouté au montant principal (10 000 roubles) et la deuxième année, il a lui-même généré de nouveaux bénéfices. Puis, la 3ème année, le bénéfice de la 2ème année s'ajoutera au montant principal et générera lui-même un nouveau bénéfice. Et ainsi de suite.
Cet effet est appelé intérêt composé.
Lorsque tout le profit est ajouté au montant principal et produit alors lui-même un nouveau profit.
Formule d’intérêt composé :
SOMME = X * (1 + %) n
Où
SOMME- montant final;
X - montant initial ;
% — taux d'intérêt, pour cent par an /100 ;
n — nombre de périodes, d'années (mois, trimestres).
Calcul des intérêts composés : exemple 1.
Vous avez déposé 50 000 roubles à la banque à 10 % par an pendant 5 ans. De combien d’argent aurez-vous dans 5 ans ? Calculons en utilisant la formule des intérêts composés :
SOMME = 50 000 * (1 + 10/100) 5 = 80 525,5 frotter.
Les intérêts composés peuvent être utilisés lorsque vous ouvrez un dépôt à terme dans une banque. Selon les termes de l'accord bancaire, les intérêts peuvent être accumulés, par exemple trimestriellement ou mensuellement.
Calcul des intérêts composés : exemple 2.
Calculons quel sera le montant final si vous mettez 10 000 roubles pendant 12 mois à 10 % par an avec intérêts mensuels.
SOMME = 10000 * (1+10/100/12) 12 = 11047,13 frotter.
Le bénéfice s'élève à :
BÉNÉFICE = 11047,13 - 10000 = 1047,13 roubles
La rentabilité était (en pourcentage par an) :
% = 1047,13 / 10000 = 10,47 %
Autrement dit, lorsque les intérêts sont calculés mensuellement, la rentabilité est supérieure à celle lorsque les intérêts sont calculés une fois pour toute la période.
Si vous ne retirez pas vos bénéfices, alors les intérêts composés entrent en jeu.
Formule d'intérêt composé pour les dépôts bancaires
En fait, la formule des intérêts composés concernant les dépôts bancaires est un peu plus compliquée que celle décrite ci-dessus. Le taux d'intérêt du dépôt (%) est calculé comme suit :
% = p * j / a
Où
p— taux d'intérêt (pour cent par an / 100) sur le dépôt,
par exemple, si le taux est de 10,5 %, alors p = 10,5 / 100 = 0,105;
d— période (nombre de jours) sur la base des résultats de laquelle la capitalisation a lieu (les intérêts sont courus),
par exemple, si la capitalisation est mensuelle, alors d = 30 jours
si la capitalisation est une fois tous les 3 mois, alors d = 90 jours;
oui— le nombre de jours dans une année civile (365 ou 366).
Autrement dit, vous pouvez calculer le taux d'intérêt pour différentes périodes de dépôt.
La formule des intérêts composés pour les dépôts bancaires ressemble à ceci :
SOMME = X * (1 + p*d/y)n
Lors du calcul des intérêts composés, vous devez prendre en compte le fait qu'avec le temps, l'accumulation d'argent se transforme en avalanche. C'est l'attrait des intérêts composés. Imaginez une petite boule de neige de la taille d’un poing qui commence à dévaler une montagne enneigée. Pendant que la motte roule, la neige s'y colle de tous les côtés et une énorme pierre de neige volera jusqu'au pied. Idem avec les intérêts composés. Au début, l’augmentation créée par les intérêts composés est presque invisible. Mais après un certain temps, elle se montre dans toute sa splendeur. Cela peut être clairement vu dans l’exemple ci-dessous.
Calcul des intérêts composés : exemple 3.
Considérons 2 options :
1. Intérêt simple. Vous avez investi 50 000 roubles pendant 15 ans à 20 %. Il n'y a pas de frais supplémentaires. Vous retirez tous les bénéfices.
2. Intérêts composés. Vous avez investi 50 000 roubles pendant 15 ans à 20 %. Il n'y a pas de frais supplémentaires. Chaque année, les intérêts sont ajoutés au montant principal.
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Montant de départ : 50 000 roubles |
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Taux d'intérêt : 20% par an |
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| Intérêts simples | Intérêts composés | |||
| Somme | Profit par année |
Somme | Profit par année |
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| Après 1 an | 60 000 roubles. | 10 000 roubles. | 60 000 roubles. | 10 000 roubles. |
| Après 2 ans | 70 000 roubles. | 10 000 roubles. | 72 000 roubles. | 12 000 roubles. |
| Après 3 ans | 80 000 roubles. | 10 000 roubles. | 86 400 roubles. | 14 400 roubles. |
| Après 4 ans | 90 000 roubles. | 10 000 roubles. | 103 680 RUB | 17 280 roubles |
| Dans 5 ans | 100 000 roubles. | 10 000 roubles. | 124 416 RUB | 20 736 RUB |
| Après 6 ans | 110 000 roubles. | 10 000 roubles. | 149 299 RUB | 24 883 roubles |
| Après 7 ans | 120 000 roubles. | 10 000 roubles. | 179 159 RUB | 29 860 roubles |
| Après 8 ans | 130 000 roubles. | 10 000 roubles. | 214 991 RUR | 35 832 roubles |
| Après 9 ans | 140 000 roubles. | 10 000 roubles. | 257 989 roubles | 42 998 roubles |
| Dans 10 ans | 150 000 roubles. | 10 000 roubles. | 309 587 roubles | 51 598 RUB |
| Après 11 ans | 160 000 roubles. | 10 000 roubles. | 371 504 roubles | 61 917 RUB |
| Après 12 ans | 170 000 roubles. | 10 000 roubles. | 445 805 RUB | 74 301 roubles |
| Après 13 ans | 180 000 roubles. | 10 000 roubles. | 534 966 RUB | 89 161 RUB |
| Après 14 ans | 190 000 roubles. | 10 000 roubles. | 641 959 RUB | 106 993 RUB |
| Après 15 ans | 200 000 roubles. | 10 000 roubles. | 770 351 roubles | 128 392 RUB |
| Bénéfice total : | 150 000 roubles. | 720 351 RUB |
Du simple au complexe...
Pourquoi une personne dépose-t-elle ses économies à la banque ? Bien sûr, pour assurer leur sécurité, et surtout, pour générer des revenus. Et c’est là que la connaissance de la formule des intérêts simples ou composés, ainsi que la capacité de faire un calcul préliminaire des intérêts sur un dépôt, seront plus utiles que jamais. Après tout, prévoir les intérêts des dépôts ou des prêts est l’une des composantes d’une gestion raisonnable de vos finances. Il est bon d'effectuer de telles prévisions avant de signer des contrats et de s'engager transactions financières, ainsi que pendant les périodes d'accumulation régulière d'intérêts et de leur ajout au dépôt dans le cadre d'une convention de dépôt déjà signée.
Pour calculer les intérêts sur les dépôts, ainsi que sur les prêts, les formules suivantes sont utilisées :
- formule d'intérêt simple,
- formule d'intérêt composé.
Un taux fixe, c'est lorsque le taux d'intérêt établi sur un dépôt bancaire est fixé dans la convention de dépôt et reste inchangé pendant toute la durée de l'investissement, c'est-à-dire fixé. Ce taux ne peut évoluer qu'au moment de la prolongation tacite du contrat pour nouveau mandat ou en cas de résiliation anticipée de la relation contractuelle et de paiement d'intérêts pour la durée effective de l'investissement au taux « à demande », qui est stipulé dans les conditions.
On parle de taux variable lorsque le taux d'intérêt initialement fixé par l'accord peut évoluer tout au long de la période d'investissement. Les conditions et modalités de modification des taux sont précisées dans la convention de dépôt. Les taux d'intérêt peuvent changer : en raison de l'évolution du taux de refinancement, de l'évolution du taux de change, du transfert du montant du dépôt vers une autre catégorie et d'autres facteurs.
Pour calculer les intérêts à l'aide de formules, vous devez connaître les paramètres d'investissement des fonds sur un compte de dépôt, à savoir :
- montant du dépôt,
- taux d'intérêt sur le dépôt sélectionné (dépôt),
- Cyclicité de calcul des intérêts (quotidienne, mensuelle, trimestrielle, etc.),
- durée de placement de l'apport (dépôt),
- Parfois, le type de taux d’intérêt utilisé est également requis – fixe ou flottant.
Examinons maintenant les formules d'intérêt standard mentionnées ci-dessus, qui sont utilisées pour calculer les intérêts sur les dépôts.
Formule d'intérêt simple
La formule d'intérêt simple est appliquée si les intérêts courus sur le dépôt sont ajoutés au dépôt uniquement à la fin de la période de dépôt ou ne sont pas ajoutés du tout, mais sont transférés sur un compte séparé, c'est-à-dire le calcul des intérêts simples ne prévoit pas la capitalisation des intérêts.
Lors du choix du type de dépôt, vous devez faire attention à la procédure de calcul des intérêts. Lorsque le montant du dépôt et la période de placement sont importants et que la banque utilise la formule d'intérêt simple, cela conduit à une sous-estimation des revenus d'intérêts du déposant. La formule des intérêts simples sur les dépôts ressemble à ceci :
Formule d'intérêt simple
Signification des symboles :
S - somme espèces doit être restitué au déposant à l’expiration de la période de dépôt. Il se compose du montant initial placé plus les intérêts courus.
I – taux d’intérêt annuel
P – le montant initial des fonds attirés sur le dépôt
Formule d'intérêt simple
Signification des symboles :
Sp – montant des intérêts (revenus).
I – taux d’intérêt annuel
t – nombre de jours d'accumulation des intérêts sur le dépôt attiré
K – nombre de jours dans une année civile (365 ou 366)
P – le montant des fonds attirés par le dépôt.
Je vais donner des exemples conditionnels de calcul des intérêts simples et du montant d'un dépôt bancaire avec intérêts simples :
Exemple 1. Supposons que la banque ait accepté un dépôt d'un montant de 50 000 roubles pour une période de 30 jours. Taux d'intérêt fixe - 10,5% par an. En appliquant les formules, nous obtenons les résultats suivants :
S = 50 000 + 50 000 * 10,5 * 30/365/100 = 50431,51
Sp = 50 000 * 10,5 * 30/365/100 = 431,51
Exemple 2. La banque a accepté un dépôt du même montant de 50 000 roubles pour une période de 3 mois (90 jours) à un taux fixe de 10,5 pour cent par an. Seule la durée d'investissement a changé dans les conditions.
S = 50 000 + 50 000 * 10,5 * 90/365/100 = 51 294,52
Sp = 50 000 * 10,5 * 90/365/100 = 1 294,52
En comparant les deux exemples, il est clair que le montant des intérêts mensuels courus selon la formule d’intérêt simple ne change pas.
431,51 * 3 mois = 1294,52 roubles.
Exemple 3. La banque a accepté un dépôt d'un montant de 50 000 roubles pour une période de 3 mois (90 jours) au taux fixe de 10,5 pour cent par an. Le dépôt est reconstitué et le 61ème jour, le dépôt a été reconstitué d'un montant de 10 000 roubles.
S1 =50 000 + 50 000 * 10,5 * 60/365/100 = 50863,01
Sp1 = 50 000 * 10,5 * 60/365/100 = 863,01
S2 = 60 000 + 60 000 * 10,5 * 30/365/100 = 60 517,81
Sp2 = 60 000 * 10,5 * 30/365/100 = 517,81
Sp = Sp1 + Sp2 = 50 000 * 10,5 * 60/365/100 + 60 000 * 10,5 * 30/365/100 = 863,01 + 517,81 = 1380,82
Exemple 4. La banque a accepté un dépôt du même montant de 50 000 roubles pour une durée de 3 mois (90 jours), à taux variable. Pour le premier mois (30 jours), le taux d'intérêt est de 10,5 %, pour les 2 mois suivants (60 jours), le taux d'intérêt est de 12 %.
S1 = 50 000 + 50 000 * 10,5 * 30/365/100 = 50 000 + 431,51 = 50 431,51
Sp1 = 50 000 * 10,5 * 30/365/100 = 431,51
S2 = 50 000 + 50 000 * 12 * 60/365/100 = 50 000 + 986,3 = 50986,3
Sp2 = 50 000 * 12 * 60/365/100 = 986,3
Sp = 50 000 * 10,5 * 30/365/100 + 50 000 * 12 * 60/365/100 = 431,51 + 986,3 = 1417,81
Formule d'intérêt composé
La formule des intérêts composés est appliquée si les intérêts sur un dépôt sont courus à intervalles réguliers (quotidiennement, mensuellement, trimestriellement) et que les intérêts courus sont ajoutés au dépôt, c'est-à-dire le calcul des intérêts composés implique la capitalisation des intérêts (accumulation des intérêts sur les intérêts ).
La plupart des banques proposent des dépôts à capitalisation trimestrielle (Sberbank de Russie, VTB, etc.), c'est-à-dire avec intérêts composés. Et certaines banques, en termes de dépôts, proposent une capitalisation en fin de période d'investissement, c'est-à-dire lorsque le dépôt est prolongé pour la durée suivante, ce qui, pour le moins, fait référence à un gadget publicitaire qui encourage le déposant à ne pas retirer les intérêts courus, mais les intérêts eux-mêmes sont en fait calculés selon la formule simple des intérêts. Et je le répète, lorsque le montant du dépôt et la période de placement sont importants, une telle « capitalisation » n'entraîne pas d'augmentation du montant des revenus d'intérêts du déposant, car il n'y a pas d'accumulation d'intérêts sur les revenus d'intérêts perçus au cours des périodes précédentes.
La formule des intérêts composés ressemble à ceci :
Formule d'intérêt composé
Signification des symboles :
S - le montant des fonds qui doivent être restitués au déposant à la fin de la période de dépôt. Il se compose du montant du dépôt majoré des intérêts.
Le calcul uniquement des intérêts composés à l’aide de la formule ressemblera à ceci :
Calculer uniquement les intérêts composés
Signification des symboles :
I – taux d'intérêt annuel ;
j – le nombre de jours calendaires au terme desquels la banque capitalise les intérêts courus ;
K – nombre de jours dans une année civile (365 ou 366) ;
P – le montant initial des fonds attirés sur le dépôt ;
n est le nombre d'opérations de capitalisation des intérêts courus pendant la période totale de levée de fonds ;
Sp – montant des intérêts (revenus).
je t'apporterai exemple conditionnel calcul des intérêts composés et du montant d'un dépôt bancaire avec intérêts composés :
Exemple 5. Une caution de 50 000 roubles a été acceptée. pour une période de 90 jours à un taux fixe de 10,5 pour cent par an. Les intérêts sont calculés mensuellement. Par conséquent, le nombre d'opérations pour capitaliser les intérêts courus (p) dans un délai de 90 jours sera de 3. Et le nombre de jours calendaires dans la période à la suite de laquelle la banque capitalise les intérêts courus (j) sera de 30 jours (90/3). Quel sera le montant des intérêts ?
S = 50 000 * (1 + 10,5 * 30/365/100)3 = 51 305,72
Sp = 50 000 * (1 + 10,5 * 30/365/100)3 - 50 000 = 1 305,72
Vous pouvez vous assurer que le montant des intérêts calculé à l’aide de la méthode des intérêts composés est correct en revérifiant le calcul à l’aide de la formule des intérêts simples.
Pour ce faire, nous diviserons la période de dépôt en 3 périodes indépendantes (3 mois) de 30 jours chacune et calculerons les intérêts pour chaque période à l'aide de la formule simple des intérêts. Nous prendrons le montant du dépôt à chaque période ultérieure en tenant compte des intérêts pour périodes précédentes. Le résultat du calcul était :
Ainsi, le montant total des intérêts, compte tenu de la capitalisation mensuelle (accumulation des intérêts sur les intérêts) est de :
Sp = Sp1 + Sp2 + Sp3 = 431,51 + 435,23+ 438,98 = 1305,72
Cela correspond au montant calculé en utilisant les intérêts composés dans l'exemple n°5.
Et lors du calcul des intérêts pour la même période à l'aide de la formule d'intérêt simple de l'exemple n° 2, le revenu n'était que de 1 294,52 roubles. La capitalisation des intérêts a rapporté à l'investisseur 11,2 roubles supplémentaires. (1305,72 – 1294,52), c'est-à-dire Des rendements plus élevés sont obtenus avec les dépôts avec capitalisation des intérêts lorsque des intérêts composés sont appliqués.
Lors du calcul des intérêts, une autre petite nuance doit être prise en compte. Lors de la détermination du nombre de jours de calcul des intérêts sur un dépôt (t) ou du nombre de jours calendaires dans la période à la suite desquels la banque capitalise les intérêts courus (j), le jour de clôture (retrait) du dépôt n'est pas pris en compte . Ainsi, par exemple, le 2 novembre 2007, la banque a accepté un dépôt pour une durée de 7 jours. La période de dépôt complète s'étend du 02.11.07 au 09.11.07, soit 8 jours calendaires. Et la période de calcul des intérêts sur le dépôt sera du 02.11.07 au 08.11.07, c'est-à-dire – 7 jours calendaires. Le jour 09.11.07 n'est pas pris en compte car la caution a été restituée au client.
En conclusion de ce document, je voudrais attirer une fois de plus votre attention sur le fait qu'en utilisant les formules d'intérêt données, vous pouvez également calculer les intérêts sur les prêts. Bonne chance pour compter vos revenus et dépenses.
Tout au long de l’histoire, les hommes ont pensé à leur avenir. Leur principal désir est de se protéger, ainsi que leurs proches, des problèmes financiers, garantissant ainsi la confiance dans l'avenir. Vous pouvez commencer dès maintenant à bâtir votre assise financière à l’aide d’investissements bancaires relativement mineurs. Ce n’est qu’ainsi qu’il sera possible d’acquérir la liberté et l’indépendance.
Le principe fondamental des transactions bancaires est que les ressources financières ne peuvent augmenter que lorsqu’elles circulent en permanence. Pour une navigation sereine sur le terrain services monétaires Et sélection correcte les conditions les plus favorables, il est important d'en connaître principes simples. Par exemple, les règles relatives aux intérêts à long terme, qui autorisent un certain nombre d'années à partir d'un montant relativement faible capital de départ réaliser de sérieux profits.
Mais pour ce faire, vous devez savoir comment ça marche intérêts composés et formules de calcul des intérêts composés.
Tous les calculs doivent être effectués sur la base des formules décrites ci-dessous.
Qu’est-ce que les intérêts composés sur les dépôts ?? Les intérêts composés sont un effet courant dans le secteur économique et financier lorsque le taux d'intérêt sur les bénéfices est ajouté au dépôt de base et que le résultat qui en résulte dans le futur devient la base du calcul de nouveaux intérêts.
Les intérêts sur les fonds investis peuvent être ajoutés chaque jour, 30 jours, trimestre ou année. Ils peuvent être payés sous forme de bénéfice à la fin de la période, ou ils peuvent être ajoutés au dépôt principal. Cela signifie que dans la prochaine fois le tarif sera calculé sur un montant plus important.
Une illustration frappante de l’utilisation de la capitalisation des intérêts est la parabole de l’Évangile sur une pauvre femme qui a perdu son mari. À l'époque où Jésus-Christ vivait, elle apporta son argent dans son sanctuaire et le donna en sacrifice. Elle n’avait que deux petites pièces. On peut imaginer la situation où, à cette époque, les institutions bancaires étaient déjà créées, elle aurait déposé 1 de ses pièces à la banque. Je me demande quel serait le montant final sur son compte aujourd'hui, compte tenu du fait que l'institution capitalise les intérêts sur les fonds, par exemple 5% par an ?
Les calculs qui seront effectués montrent un exemple d'utilisation des intérêts composés. Prenons, par exemple, un taux de 5 % par an ; après la première année de conservation des fonds en banque, le dépôt d’une femme augmentera de (1 + 0,05) fois. L’année prochaine, les calculs ne seront plus basés sur un centime, mais sur une valeur finale. Ce résultat devrait augmenter encore (1+0,05) fois. Il s'avère que la contribution devrait augmenter de (1+0,05)*2 fois par rapport au montant initial. En troisième année (1+0,05)*3.
D’ici 2017, les fonds initiaux devraient être augmentés de (1+0,05)*2016 fois. Avec un capital de départ de seulement 1 kopeck, le résultat sera d'ici 2014 de plus de 52 dodécillions de roubles.
Par exemple, une personne a décidé de déposer des fonds dans une banque (200 000 roubles) à un taux d'intérêt annuel de 10 %. Pour qu'il puisse utiliser l'argent après 10 ans, dont la taille a augmenté en raison de la capitalisation, il doit calculer le montant total à l'aide de formules de calcul des intérêts composés.
Important! Formule d'intérêt composé implique que lors du calcul, à la fin de chaque période (mois, année, etc.), le bénéfice reçu de l'argent doit être ajouté au dépôt. Le nombre final constitue la base des opérations ultérieures avec des fonds croissants.
Pour réaliser des actions de calcul, vous pouvez utiliser la formule :
Explication:
S – le montant total (le dépôt lui-même et les intérêts) des fonds qui doivent être restitués au déposant à la fin du contrat ;
P – taille du dépôt initial ;
N – le nombre total d'actions pour capitaliser le taux pour toute la durée d'utilisation (dans ce cas, il est égal au nombre d'années) ;
I – volume du taux annuel.
Si vous remplacez les valeurs sélectionnées dans la formule spécifiée, vous obtenez l'exemple suivant :
Après seulement cinq ans, le montant sera égal à 200 000*(1+10/100)5 = 322 102 roubles
Après une période de dix ans, le montant des fonds sera égal à 200 000*(1+10/100)10 = 518 748,492 roubles.
Si utilisé formule d'intérêt composé avec capitalisation pendant une courte période, il est plus pratique de calculer les valeurs requises à l'aide de l'exemple :
Explications :
K – nombre de jours dans l'année sélectionnée ;
J – le nombre de jours dans l'intervalle, sur la base des résultats desquels l'établissement bancaire capitalisera les intérêts courus ;
Les autres variables n'ont pas changé.
L'accumulation mensuelle et l'augmentation des taux d'intérêt sont les plus avantageuses pour les clients. Et c'est cette méthode que beaucoup envisagent sérieusement. Afin de calculer correctement, ce qui suit a été développé formule d'intérêt composé.
Le n indiqué dans ce cas signifie également le nombre de toutes les opérations. Mais maintenant, cela s’exprime en mois. Le taux d’intérêt doit être divisé par 12, car il y a 12 mois dans une année. Cela facilite le calcul de votre taux d’intérêt mensuel.
La même formule, mais avec quelques modifications, peut également être appliquée à l'accumulation des dépôts sur une période trimestrielle. Les changements sont que le pourcentage calculé pour l'année doit être divisé non pas par 12, mais par 4. Et l'indicateur mentionné ci-dessus n'est pas égal au nombre de toutes les opérations, mais à la totalité des trimestres. La même logique peut être appliquée aux calculs d’intérêts sur une base semestrielle. Général formule pour les intérêts composés sur les dépôts sera le même, mais le taux d'intérêt doit être divisé par 2. Et le nombre de six mois est indiqué par l'indicateur n.
Par exemple, un client a effectué un dépôt d'un montant de 100 000,00 roubles. Dans ce cas, la capitalisation des intérêts est choisie mensuellement. Compte tenu de cela, après cinq ans, le montant du dépôt augmentera jusqu'à 172 891,57 roubles. Si le client avait choisi la capitalisation annuelle des intérêts lors du dépôt initial, le montant total après cinq ans aurait été inférieur de 10 000 roubles. Formule d'intérêt composé avec capitalisation mensuellement ensuite.
Après dix ans, le montant investi par le client atteindra 298 914,96 roubles. Si la capitalisation des intérêts était annuelle, le montant total indiqué pour dix ans serait déjà inférieur de 15 000 roubles. Voici comment calculer le total de vos intérêts mensuels composés sur dix ans.
Le revenu au moment du calcul des intérêts mensuels est bien supérieur au revenu annuel. Si le bénéfice reste sur le compte, il continuera à profiter à l’investisseur. Voici un exemple clair de graphique montrant le calcul des intérêts en années et en mois.
C'est pourquoi de nombreux citoyens préfèrent la capitalisation des intérêts, calculée une fois par mois.
Les formules ci-dessus pour savoir comment il est produit calcul des intérêts composés sur les dépôts c'est rapide exemple clair accessible à la compréhension des clients. De cette façon, ils peuvent facilement comprendre tout le principe de la comptabilité d’exercice. En réalité formule d'intérêt composé pour les dépôts bancaires un peu plus difficile.
DANS dans ce cas une mesure telle que le taux d'intérêt sur les dépôts (p) est utilisée. Il est calculé comme suit :
En utilisant formule d'intérêt composé, Vous pouvez calculer les intérêts pour différentes périodes.
Le pourcentage lui-même pour différents types les dépôts en banque doivent être calculés à l'aide de cette formule :
Grâce à cette formule, vous pouvez exemple spécifique calculer formule d'intérêt composé qui est présenté ci-dessus.
frotter. – il s’agit du montant total de la caution existante, majoré sur cinq ans ;
Frotter. - le même indicateur, mais depuis dix ans.
Il faut toutefois comprendre qu’il ne s’agit que de calculs approximatifs. Pour le calcul, il est important de prendre en compte quantité différente jours en mois et que certaines années peuvent être des années bissextiles.
En comparant les indicateurs des deux exemples décrits ci-dessus avec les précédents, vous constaterez qu'ils sont légèrement inférieurs. Cependant, cela suffira pour apprécier pleinement les bénéfices de l’intérêt. C'est pourquoi s'il y a décision ferme sur longue durée Si vous mettez de l'argent à la banque, il est préférable de faire des calculs préliminaires en utilisant la formule bancaire. De cette façon, vous pouvez éviter toutes les inexactitudes.
Laisser
Colonnes de la matrice de dimensions. Combinaison linéaire de colonnes matricielles appelée matrice de colonnes, avec des éléments réels ou nombres complexes, appelé coefficients de combinaison linéaire. Si dans une combinaison linéaire nous prenons tous les coefficients égaux à zéro, alors la combinaison linéaire est égale à la matrice colonne zéro.
Les colonnes de la matrice sont appelées linéairement indépendant , si leur combinaison linéaire est égale à zéro seulement lorsque tous les coefficients de la combinaison linéaire sont égaux à zéro. Les colonnes de la matrice sont appelées linéairement dépendant , s'il existe un ensemble de nombres parmi lesquels au moins un est différent de zéro, et que la combinaison linéaire de colonnes avec ces coefficients est égale à zéro
De même, les définitions de dépendance linéaire et indépendance linéaire lignes de la matrice. Dans ce qui suit, tous les théorèmes sont formulés pour les colonnes de la matrice.
Théorème 5
S'il y a un zéro parmi les colonnes de la matrice, alors les colonnes de la matrice sont linéairement dépendantes.
Preuve. Considérons une combinaison linéaire dans laquelle tous les coefficients sont égaux à zéro pour toutes les colonnes non nulles et à un pour toutes les colonnes nulles. Il est égal à zéro et parmi les coefficients de la combinaison linéaire, il existe un coefficient non nul. Les colonnes de la matrice sont donc linéairement dépendantes.
Théorème 6
Si colonnes de la matrice sont linéairement dépendants, c'est tout les colonnes de la matrice sont linéairement dépendantes.
Preuve. Pour plus de précision, nous supposerons que les premières colonnes de la matrice 
linéairement dépendant. Alors, par définition d'une dépendance linéaire, il existe un ensemble de nombres parmi lesquels au moins un est non nul, et la combinaison linéaire des colonnes avec ces coefficients est égale à zéro
Faisons une combinaison linéaire de toutes les colonnes de la matrice, y compris les colonnes restantes avec des coefficients nuls
Mais . Par conséquent, toutes les colonnes de la matrice sont linéairement dépendantes.
Conséquence. Parmi les linéaires colonnes indépendantes Toutes les matrices sont linéairement indépendantes. (Cette affirmation peut être facilement prouvée par contradiction.)
Théorème 7
Pour que les colonnes d'une matrice soient linéairement dépendantes, il faut et suffisant qu'au moins une colonne de la matrice soit combinaison linéaire le reste.
Preuve.
Nécessité. Supposons que les colonnes de la matrice soient linéairement dépendantes, c'est-à-dire qu'il existe un ensemble de nombres parmi lesquels au moins un est différent de zéro, et la combinaison linéaire de colonnes avec ces coefficients est égale à zéro
Supposons avec certitude que . Autrement dit, la première colonne est une combinaison linéaire du reste.
Adéquation. Soit au moins une colonne de la matrice une combinaison linéaire des autres, par exemple , où sont des nombres.
Alors , c'est-à-dire que la combinaison linéaire de colonnes est égale à zéro, et parmi les nombres de la combinaison linéaire, au moins un (en ) est différent de zéro.
Soit le rang de la matrice . Tout mineur non nul d'ordre 1 est appelé basique . Lignes et colonnes à l'intersection desquelles se trouvent mineur de base, sont appelés basique .
où sont certains nombres (certains de ces nombres ou même tous peuvent être égaux à zéro). Cela signifie qu'il existe les égalités suivantes entre les éléments des colonnes :
ou , .
De (3.3.1) il résulte que
|
(3.3.2) |
où est la chaîne zéro.
Définition. Les lignes de la matrice A sont linéairement dépendantes s'il existe des nombres qui ne sont pas tous égaux à zéro en même temps, tels que
|
(3.3.3) |
Si l'égalité (3.3.3) est vraie si et seulement si , alors les lignes sont dites linéairement indépendantes. La relation (3.3.2) montre que si l'une des lignes est exprimée linéairement par rapport aux autres, alors les lignes sont linéairement dépendantes.
Il est facile de voir l’inverse : si les chaînes sont linéairement dépendantes, alors il existe une chaîne qui est une combinaison linéaire des autres chaînes.
Soit par exemple dans (3.3.3), alors 
.
Définition. Soit une certaine mineure soit sélectionnée dans la matrice A r ème ordre et laisser mineur ( r Le +1)ième ordre de la même matrice contient entièrement le mineur. Nous dirons que dans ce cas le mineur borde le mineur (ou est limitrophe de ).
Nous allons maintenant démontrer un lemme important.
Lemmesur les mineurs limitrophes. Si le mineur est en règle r la matrice A = est différente de zéro, et tous les mineurs qui la bordent sont égaux à zéro, alors toute ligne (colonne) de la matrice A est une combinaison linéaire de ses lignes (colonnes) qui composent .
Preuve. Sans perdre la généralité du raisonnement, nous supposerons qu'un mineur non nul r - l'ordre est à gauche coin supérieur matrices A= :
.
Pour le premier k lignes de la matrice A, l'énoncé du lemme est évident : il suffit d'inclure dans une combinaison linéaire la même ligne avec un coefficient égal à un, et le reste - avec des coefficients égaux à zéro.
Montrons maintenant que les lignes restantes de la matrice A sont exprimées linéairement en fonction du premier k lignes. Pour ce faire, nous allons construire un mineur ( r +1)ième ordre en ajoutant au mineur k -ème ligne () et jeème colonne() :
.
Mineure résultante égal à zéro devant tout le monde k et l . Si , alors il est égal à zéro car il contient deux colonnes identiques. Si , alors le mineur résultant est un bord mineur pour et, par conséquent, est égal à zéro par les conditions du lemme.
Décomposons le mineur selon les éléments du dernierjeème colonne :
|
(3.3.4) |
où sont les compléments algébriques aux éléments. Addition algébrique est mineur de la matrice A, donc . Divisez (3.3.4) par et exprimez-le par :
|
(3.3.5) |
Où , .
En supposant , nous obtenons :
|
|
(3.3.6) |
L'expression (3.3.6) signifie que k La ème ligne de la matrice A est exprimée linéairement à travers la première r lignes.
Puisque lorsqu'une matrice est transposée, les valeurs de ses mineurs ne changent pas (en raison de la propriété des déterminants), alors tout ce qui est prouvé est également vrai pour les colonnes. Le théorème a été prouvé.
Corollaire I . Toute ligne (colonne) d'une matrice est une combinaison linéaire de ses lignes (colonnes) de base. En effet, la base mineure de la matrice est non nulle, et tous les mineurs qui la bordent sont égaux à zéro.
Corollaire II. Déterminant n de l'ordre est égal à zéro si et seulement s'il contient des lignes (colonnes) linéairement dépendantes. La suffisance de la dépendance linéaire des lignes (colonnes) pour que le déterminant soit égal à zéro a été prouvée plus tôt en tant que propriété des déterminants.
Prouvons la nécessité. Soit une matrice carrée n ème ordre dont le seul mineur est zéro. Il s'ensuit que le rang de cette matrice est moindre n , c'est-à-dire il existe au moins une ligne qui est une combinaison linéaire des lignes de base de cette matrice.
Démontrons un autre théorème sur le rang de la matrice.
Théorème.Le nombre maximum est linéaire lignes indépendantes la matrice est égale au nombre maximum de ses colonnes linéairement indépendantes et est égale au rang de cette matrice.
Preuve. Soit le rang de la matrice A= égal à r. Alors n'importe lequel de ses k les lignes de base sont linéairement indépendantes, sinon la base mineure serait nulle. D'un autre côté, n'importe quel r +1 lignes ou plus dépendent linéairement. En supposant le contraire, on pourrait trouver un mineur d'ordre supérieur à r , différent de zéro par le corollaire 2 du lemme précédent. Ce dernier contredit le fait que l'ordre maximum des mineurs non nuls est égal à r . Tout ce qui est prouvé pour les lignes est également vrai pour les colonnes.
En conclusion, nous présenterons une autre méthode pour trouver le rang d’une matrice. Le rang d’une matrice peut être déterminé en trouvant un mineur d’ordre maximum différent de zéro.
À première vue, cela nécessite un calcul, bien que fini, mais peut-être très grand nombre mineurs de cette matrice.
Le théorème suivant permet cependant d’introduire des simplifications significatives.
Théorème.Si le mineur de la matrice A est non nul, et que tous les mineurs qui le bordent sont égaux à zéro, alors le rang de la matrice est égal à r.
Preuve. Il suffit de montrer que tout sous-système de lignes matricielles avec S>r sera linéairement dépendant dans les conditions du théorème (il en résultera que r – nombre maximum lignes linéairement indépendantes de la matrice ou l'un de ses mineurs d'ordre supérieur à k sont égaux à zéro).
Supposons le contraire. Laissez les lignes être linéairement indépendantes. Par le lemme des mineurs limitrophes, chacun d'eux sera exprimé linéairement en termes de lignes contenant le mineur et qui, du fait qu'elles sont non nulles, sont linéairement indépendantes :
|
|
(3.3.7) |
Considérons la matrice K à partir des coefficients d'expressions linéaires (3.3.7) :
.
Les lignes de cette matrice seront notées 
. Ils seront linéairement dépendants, puisque le rang de la matrice K, c'est-à-dire le nombre maximum de ses lignes linéairement indépendantes ne dépasse pas r<
S
. Il existe donc des nombres, qui ne sont pas tous égaux à zéro, qui
Passons à l'égalité des composants
|
(3.3.8) |
Considérons maintenant la combinaison linéaire suivante :
ou