Un critère de dépendance linéaire des lignes et des colonnes d'une matrice. §4.8. Dépendance linéaire des lignes et des colonnes d'une matrice. En utilisant la méthode des mineurs limitrophes, trouvez le rang de la matrice
Dans une économie de marché, toute interaction entre individus, entreprises et entreprises dans le but de réaliser un profit est appelée une transaction. Dans les transactions de crédit, le profit représente le montant des revenus provenant des fonds de prêt, qui sont en pratique réalisés grâce à l'accumulation d'intérêts (taux d'intérêt - i). Les intérêts dépendent du montant accordé, de la durée du prêt, des conditions d'accumulation, etc.
La place la plus importante dans les transactions financières est occupée par le facteur temps (t). Au facteur temps est associé le principe d’investissements inégaux et non équivalents. Afin de déterminer les changements qui se produisent avec le montant d'argent initial (P), il est nécessaire de calculer le montant des revenus provenant du prêt d'argent, de son investissement sous forme de dépôt, de son investissement dans des titres, etc.
Le processus d'augmentation du montant d'argent en relation avec l'accumulation des intérêts (i) est appelé accumulation, ou croissance du montant initial (P). Ainsi, la variation de la valeur initiale sous l'influence de deux facteurs : le taux d'intérêt et le temps est appelée valeur accumulée (S).
La valeur accumulée peut être déterminée à l’aide d’intérêts simples et composés. Les intérêts simples sont utilisés lorsque le montant accumulé est déterminé par rapport à une base constante, c'est-à-dire que les intérêts courus sont remboursés (payés) immédiatement après l'accumulation (ainsi, le montant initial ne change pas) ; dans le cas où le montant initial (initial) change sur un intervalle de temps, nous traitons d'intérêts composés.
Lors du calcul des intérêts simples, le montant accumulé est déterminé par la formule
S = P (1 + je t), (1)
où S est le montant accumulé (coût), frotter.; P – montant initial (coût), frotter.; je - taux d'intérêt, exprimé sous forme de coefficient ; t – période d'accumulation des intérêts.
S = 10 000 (1+ 0,13 · 1) = 11 300, frotter. (montant du remboursement du prêt) ;
ΔР = 11 300 – 10 000 = 1 300, frotter. (montant des intérêts courus).
Déterminez le montant du remboursement de la dette, sous réserve du paiement des intérêts annuels, si la banque a accordé un prêt d'un montant de 50 000 roubles. pendant 2 ans, à raison de 16% par an.
S = 50 000 (1+ 0,16 · 2) = 66 000, frotter.
Ainsi, l'accumulation d'intérêts simples est effectuée dans le cas où les intérêts courus ne s'accumulent pas sur le montant de la dette principale, mais sont payés périodiquement, par exemple une fois par an, semestriellement, trimestriellement, mensuellement, etc. , qui est déterminé par les termes du contrat de prêt. Il existe également des cas dans la pratique où les règlements s'effectuent sur des périodes plus courtes, notamment sur la base d'un jour.
Dans le cas où la durée du prêt (dépôt, etc.) est inférieure à un an, dans les calculs, il est nécessaire d'ajuster le taux d'intérêt spécifié en fonction de l'intervalle de temps. Par exemple, vous pouvez représenter la période d'intérêt (t) sous forme de ratio, où q est le nombre de jours (mois, trimestres, semestres, etc.) du prêt ; k – nombre de jours (mois, trimestres, semestres, etc.) dans une année.
Ainsi, la formule (1) change et a vue suivante:
S = P (1 + je). (2)
La banque accepte les dépôts à terme pour une durée de 3 mois à 11% par an. Calculez le revenu du client avec un investissement de 100 000 roubles. pour la période indiquée.
S = 100 000 (1+ 0,11 · ) = 102 749,9, frotter.;
ΔР = 102 749,9 – 100 000 = 2 749,9, frotter.
Selon le nombre de jours dans une année, il est possible diverses options calculs. Dans le cas où l'on prend comme base de mesure du temps une année, classiquement composée de 360 jours (12 mois de 30 jours), des intérêts ordinaires ou commerciaux sont calculés. Quand ils prennent la base nombre réel jours dans une année (365 ou 366 dans une année bissextile), ils parlent de pourcentages exacts.
Pour déterminer le nombre de jours d'utilisation d'un prêt, deux approches sont également utilisées : exacte et ordinaire. Dans le premier cas, le nombre réel de jours entre deux dates est calculé, dans le second, le mois est pris égal à 30 jours. Dans le premier comme dans le deuxième cas, le jour d'émission et le jour de remboursement sont considérés comme un jour. Il existe également des cas où le calcul utilise le nombre de jours bancaires de règlement ou ouvrables, dont le nombre est de 24 jours par mois.
Ainsi, il existe quatre options de calcul :
1) intérêts ordinaires avec le nombre exact de jours du prêt ;
2) intérêts ordinaires avec un nombre approximatif de jours de prêt ;
3) les intérêts exacts avec le nombre approximatif de jours du prêt ;
4) intérêts exacts avec le nombre de jours ouvrables en banque.
Il faut tenir compte du fait qu'en pratique le jour d'émission et le jour de remboursement du prêt (dépôt) sont considérés comme un jour.
Le prêt a été émis pour un montant de 20 000 roubles. pour la période du 10/01/06 au 15/06/06 à 14% par an. Déterminez le montant du remboursement du prêt.
1. Intérêts ordinaires avec le nombre exact de jours de prêt :
156=21+28+31+30+31+15;
S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 213,3, frotter.
2. Intérêts ordinaires avec un nombre approximatif de jours de prêt :
S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 205,6, frotter.
3. Intérêts exacts avec un nombre approximatif de jours de prêt :
S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 189,0, frotter.
4. Intérêts exacts avec jours ouvrés bancaires :
S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 516,7, frotter.
Les données permettant de calculer le nombre de jours d'une période sont présentées en annexe. 1, 2.
Comme indiqué ci-dessus, en plus du calcul des intérêts simples, on utilise une comptabilité d'exercice complexe, dans laquelle les intérêts sont courus plusieurs fois au cours de la période et ne sont pas payés, mais accumulés sur le montant de la dette principale. Ce mécanisme est particulièrement efficace pour les prêts à moyen et long terme.
Après la première année (période), le montant accumulé est déterminé par la formule (1), où i sera le taux d'intérêt composé annuel. Au bout de deux ans (périodes), le montant cumulé S2 sera :
S 2 = S 1 (1 + il) = P (1 + il) · (1 + il) = P (1 + il) 2.
Ainsi, lors du calcul des intérêts composés (après n années (périodes) d'accumulation), le montant accumulé est déterminé par la formule
S = P (1 + i t) n , (3)
où i est le taux d’intérêt composé, exprimé sous forme de coefficient ; n est le nombre d'intérêts composés courus pour toute la période.
Facteur d'incrémentation dans ce cas calculé par la formule
Kn = (1 + je t) n, (4)
où Kn est le coefficient d'augmentation du coût initial, unités.
L'investisseur a la possibilité de placer espèces d'un montant de 75 000 roubles. sur un dépôt auprès d'une banque commerciale pendant 3 ans à 10% par an.
Déterminez le montant des intérêts courus à la fin de la durée du dépôt, lors du calcul des intérêts composés.
S = 75 000 (1+ 0,1 1) 3 = 99 825, frotter.
ΔР = 24 825, frotter.
Ainsi, le coefficient d'augmentation sera :
Kn = (1+ 0,1 1) 3 = 1,331
Par conséquent, le coefficient d'accumulation montre combien de fois le montant initial a augmenté dans des conditions données.
La part des calculs utilisant les intérêts composés dans la pratique financière est assez importante. Les calculs selon la règle des intérêts composés sont souvent appelés accumulation d'intérêts sur intérêts, et la procédure d'ajout des intérêts courus est leur réinvestissement ou leur capitalisation.
Riz. 1. Dynamique d'augmentation des fonds lors du calcul des intérêts simples et composés
En raison de la croissance constante de la base due au réinvestissement des intérêts, la croissance du montant d'argent initial est accélérée, comme le montre clairement la figure. 1.
Dans la pratique financière, les intérêts sont généralement accumulés plusieurs fois par an. Si les intérêts sont accumulés et ajoutés plus souvent (m fois par an), alors les intérêts sont multipliés par m. Dans une telle situation, les termes de la transaction financière ne précisent pas le taux pour la période. Par conséquent, dans les contrats financiers, le taux d'intérêt annuel i est fixé, sur la base duquel le taux d'intérêt pour la période () est calculé. Dans ce cas, le taux annuel est appelé taux nominal, il sert de base pour déterminer le taux auquel les intérêts sont calculés dans chaque période, et le taux effectivement appliqué dans ce cas (() mn) est le taux effectif, qui caractérise le plein effet (revenu) de l'opération en tenant compte de la capitalisation intra-annuelle .
Le montant accumulé dans le cadre du régime d'intérêts composés effectif est déterminé par la formule
S = P (1+ ) mn , (5)
où i est le taux nominal annuel, % ; (1+ ) mn – coefficient effectif d'augmentation du taux ; m – nombre de cas d'accumulation d'intérêts par an ; mn – nombre de cas d’accumulation d’intérêts pour la période.
S = 20 000 (1+) 4·1 = 22 950, frotter.
A noter que pour une durée de 1 an, le nombre de cas de cumul d'intérêts pour l'année correspondra au nombre de cas de cumul d'intérêts pour toute la période. Si la période est supérieure à 1 an, alors n (voir formule (3)) correspondra à cette valeur.
S = 20 000 (1+) 4·3 = 31 279,1, frotter.
Le calcul des intérêts composés est également utilisé non seulement dans les cas de calcul du montant de la dette majoré des intérêts, mais également dans la comptabilisation répétée des titres, la détermination du loyer des services de location, la détermination des changements dans la valeur de l'argent sous l'influence de l'inflation. , etc.
Comme indiqué ci-dessus, le taux qui mesure le revenu relatif reçu sur toute la période est appelé taux effectif. Le calcul du taux d’intérêt effectif permet de déterminer la rentabilité réelle des transactions financières. Ce rendement est déterminé par le taux d'intérêt effectif applicable.
je eff = (1+ ) mn – 1 . (6)
L'établissement de crédit facture des intérêts sur un dépôt à terme sur la base d'un taux nominal de 10 % par an. Déterminez le taux effectif pour la composition quotidienne.
i = (1+ ) 365 – 1 = 0,115156, soit 11 %.
Revenu réel déposant pour 1 frotter. les fonds investis ne seront pas de 10 kopecks. (de l'état) et 11 kopecks. Ainsi, le taux d’intérêt effectif sur le dépôt est supérieur au taux d’intérêt nominal.
En fin d'année, la banque verse 10 % par an sur les dépôts. Quel est le rendement réel des dépôts lorsque les intérêts sont calculés : a) trimestriellement ; b) par semestre.
a) i = (1+) 4 – 1 = 0,1038, soit 10,38 % ;
b) i = (1+ ) 2 – 1 = 0,1025, soit 10,25 %.
Le calcul montre que la différence entre les taux est insignifiante, cependant, une accumulation de 10 % par an et trimestriellement est plus rentable pour l'investisseur.
Le calcul du taux d'intérêt effectif dans la pratique financière permet aux sujets des relations financières de naviguer dans les offres des différentes banques et de choisir l'option d'investissement la plus appropriée.
Les accords de prêt prévoient parfois des modifications des taux d'intérêt au fil du temps. Cela est dû à des changements dans les conditions contractuelles, à l'octroi d'avantages, à l'imposition de pénalités, ainsi qu'à des changements dans conditions générales les transactions, en particulier, les variations du taux d'intérêt au fil du temps (généralement à la hausse) sont associées à la prévention risques bancaires, possible en raison de l'évolution de la situation économique du pays, de la hausse des prix, de la dépréciation de la monnaie nationale, etc.
Le calcul du montant accumulé lorsque le taux d'intérêt évolue dans le temps peut être effectué soit en calculant des intérêts simples, soit des intérêts composés. Le schéma de calcul des intérêts est précisé dans la convention financière et dépend de la durée, du montant et des conditions de la transaction.
Laissez le taux d’intérêt varier au fil des années. Pour les n 1 premières années, il sera égal à i 1, n 2 – i 2, etc. Lors du calcul des intérêts simples sur le montant initial, vous devez additionner les taux d'intérêt i 1, i 2, in et pour les complexes ceux-ci, trouvent leur produit.
Lors du calcul des intérêts simples, la formule est
S = P (1+i 1 t 1 + i 2 t 2 + i 3 t 3 + i n t n) , (7)
où i n est le taux d'intérêt simple ; t n – durée de la période d'accumulation.
La première année, d'un montant de 10 000 roubles. 10% par an sont facturés, dans le deuxième - 10,5% par an, dans le troisième - 11% par an. Déterminez le montant du remboursement si les intérêts sont payés annuellement.
S = 10 000 (1+0,10 · 1 +0,105 · 1 + 0,11 · 1)=13 150, frotter.;
ΔР = 3 150, frotter.
Lors du calcul des intérêts composés, la formule est
S = P(1+i 1 t 1)·(1+ i 2 t 2)·(1+ i 3 t 3)·(1+ i n t n) (8)
où i n est le taux d'intérêt composé ; t n – durée de la période de son accumulation.
La première année, d'un montant de 10 000 roubles. 10% par an sont facturés, dans le deuxième - 10,5% par an, dans le troisième - 11% par an. Déterminez le montant du remboursement si les intérêts sont capitalisés.
S = 10 000 (1+0,10 · 1)·(1 +0,105 · 1)·(1 + 0,11 · 1)= 13 492,05, frotter.
Les exemples ci-dessus confirment le fait que le calcul des intérêts simples est associé à la détermination du montant accumulé par rapport à une base constante, c'est-à-dire que chaque année (période) des intérêts sont accumulés sur le même coût initial. Si nous considérons l'exemple 10, alors dans ce cas, l'augmentation du coût sera :
– pour la première année : S 1 = 10 000 (1+0,10 · 1) = 11 000, frotter.;
ΔР 1 = 1 000, frotter.;
– pour la deuxième année : S 2 = 10 000 (1+0,105 · 1) = 11 050, frotter.;
ΔР 2 = 1 050, frotter.;
– pour la troisième année : S 3 = 10 000 (1+0,11 · 1) = 11 100, frotter.;
ΔР 3 = 1 100, frotter.
Ainsi, le montant des intérêts pour 3 ans sera de :
ΔР = 1 000+1 050+1 100 = 3 150, frotter. (voir exemple 10).
Dans le cas des intérêts composés, le montant initial change après chaque calcul, puisque les intérêts ne sont pas payés, mais s'accumulent sur le montant principal, c'est-à-dire que les intérêts sont calculés sur les intérêts. Regardons l'exemple 11 :
– la première année : S 1 = 10 000 (1+0,10 · 1) = 11 000, frotter.;
– la deuxième année : S 2 = 11 000 (1+0,105 · 1) = 12 100, frotter.;
– en troisième année : S 3 = 12100 (1+0,11 · 1) = 13 431, frotter.
Ainsi, le montant des intérêts pour 3 ans sera : i 3 = 3 431, frotter. (voir exemple 10).
Lors de l'élaboration des termes des contrats ou de leur analyse, il est parfois nécessaire de résoudre des problèmes inverses - déterminer la durée de la transaction ou le niveau du taux d'intérêt.
Les formules permettant de calculer la durée d'un prêt en années, jours, etc. peuvent être calculées en réorganisant les formules (1) et (5).
Durée du prêt (dépôt) :
t = 365. (9)
Déterminez pendant combien de temps l'investisseur doit placer 10 000 roubles. sur un dépôt avec intérêts simples courus au taux de 10 % par an pour recevoir 12 000 roubles.
t = ( 
) · 365 = 730 jours (2 ans).
Le client a la possibilité d'investir 50 000 roubles en banque. pendant six mois. Déterminez le taux d’intérêt qui garantit au client un revenu d’un montant de 2 000 roubles.
t = ( 
) = 0,08 = 8% par an
La date d'achèvement requise est déterminée de la même manière transaction financière et sa durée, ou le montant du taux d'intérêt requis lors du calcul des intérêts composés.
Pour simplifier les calculs, les valeurs du coefficient (multiplicateur) de l'augmentation sont présentées en annexe. 3.
L'objectif principal d'un client qui a des économies à la banque est de préserver et d'augmenter ses fonds. Au choix grand assortiment les propositions de diverses organisations sont l'option la plus rentable, vous devez être capable de calculer de manière indépendante le retour sur investissement futur. Souvent, les options qui semblent à première vue les plus rentables et les plus intéressantes n'apportent pas bon résultat. Par conséquent, vous devez être en mesure de prédire les intérêts sur un dépôt avant d’effectuer une transaction.
Pour calculer le rendement d'un dépôt, simple et méthodes complexes accumulation d’intérêts. Chacun d’eux a ses propres caractéristiques et pièges qui méritent d’être pris en compte. Regardons de plus près comment utiliser formules de calcul des intérêts sur les dépôts, la signification de chaque composant et utilisez des exemples pour calculer l'efficacité de chaque méthode.
Formules de calcul des intérêts.
La rentabilité de presque tous les dépôts peut être calculée indépendamment, connaissant la méthodologie de calcul. Pour ce faire, vous devez connaître les paramètres du futur investissement, parmi lesquels :
- Montant du dépôt.
- Taux (en %).
- Fréquence de calcul des intérêts.
- Date limite pour placer de l'argent.
Formule d'intérêt simple.
Il est utilisé lorsque les revenus accumulés sont ajoutés au corps principal du dépôt à la fin de sa durée ou ne sont pas ajoutés et sont retirés sur un compte courant ou une carte plastique. Cette procédure de calcul doit être prise en compte lors du placement d'un montant important sur à long terme. Habituellement, dans ce cas, les banques utilisent des options de placement sans capitalisation, ce qui réduit l'avantage global du déposant.
Formule % simple :
Le montant % est le revenu perçu après la ième période.
P – volume d’investissement initial.
t – période d'investissement.
T – nombre de jours dans une année.
Prenons un exemple : plaçons 100 000 roubles pendant six mois à 12 %. Calculons les revenus perçus :
Ainsi, dans six mois, il sera possible de retirer 105 950,68 roubles du compte.
Formule d'intérêt composé.
Il est moins fréquemment utilisé dans la pratique des dépôts bancaires, mais de telles offres peuvent être trouvées. Pour la plupart des déposants, ils ne sont pas attractifs en raison du fait que leurs taux sont inférieurs à ceux des produits dont les revenus ne sont accumulés qu'à l'expiration du contrat de dépôt. La fréquence d'ajout de revenus peut être différente : une fois par mois, une fois par semaine, une fois par trimestre, chaque année. Cela implique la capitalisation ou le calcul des « intérêts sur intérêts ».
Formule pour les pourcentages composés :
P – montant du dépôt initial.
i – taux annuel de dépôt.
k – le nombre de jours dans la période pendant laquelle le revenu est accumulé.
T – nombre de jours dans une année.
n – nombre de capitalisations de revenus pendant toute la période de dépôt.
Considérons l'exemple n°1 : plaçons 100 000 roubles à 12 % par an pendant six mois avec une capitalisation mensuelle.
Ainsi, grâce à la capitalisation mensuelle, le résultat global de l'investissement s'est avéré plus rentable que dans l'option où les intérêts sont courus à la fin du terme.
Exemple n°2 : plaçons 100 000 roubles pendant 6 mois à 12% par an avec capitalisation hebdomadaire.
Nous confirmerons la valeur résultante par des calculs dans Excel.
Exemple n°3 : plaçons 100 000 roubles pendant 1 an à 12% par an avec capitalisation trimestrielle.
Nous confirmerons la valeur résultante par des calculs dans Excel.
En plus de l'article ci-dessus, j'aimerais ajouter quelques formules de calcul plus utiles différents types pour cent.
Je vais commencer par un simple, mais non moins utile :
1). Formule de calcul de la part en pourcentage.
Deux nombres sont donnés : X1 et X2. Il est nécessaire de déterminer quel pourcentage du nombre X1 provient de X2.
Y = X1 / X2 * 100.
2). Formule pour calculer le pourcentage d'un nombre.
Le nombre X2 est donné. Il faut calculer le nombre X1, qui est pourcentage spécifié Y de X2.
X1 = X2 * Y / 100.
3). Formule pour augmenter un nombre d'un pourcentage donné (montant TTC).
Le nombre X1 est donné. Nous devons calculer le nombre X2, qui plus de numéro X1 d'un pourcentage donné Y. En utilisant la formule de calcul du pourcentage d'un nombre, on obtient :
X2= X1 * (1 + Oui / 100).
4). Formule de calcul du montant initial (montant hors TVA).
Un nombre X1 est donné, égal à un certain nombre initial X2 avec un pourcentage ajouté Y. Il faut calculer le nombre X2. En d’autres termes : nous connaissons le montant monétaire TVA incluse, nous devons calculer le montant hors TVA. Notons y = Y / 100, alors :
X1= X2 + y * X2.
ou
X1= X2 * (1 + oui).
Alors
X2= X1 / (1 +y).
5). Formule pour réduire un nombre d'un pourcentage donné.
Le nombre X1 est donné. Il faut calculer le nombre X2, qui est inférieur au nombre X1 d'un pourcentage Y donné. En utilisant la formule de calcul du pourcentage d'un nombre, on obtient :
X2= X1 - X1 * Y / 100.
ou
X2= X1 * (1 - Oui / 100).
6). Calcul des intérêts sur un dépôt bancaire. Formule de calcul des intérêts simples.
Si les intérêts sur un dépôt sont courus une fois à la fin de la durée du dépôt, le montant des intérêts est calculé à l'aide de la formule d'intérêt simple.
Y = S + (S*Z*d/D)/100
Yp = (S*Z*d/D)/100
Où:
Y - le montant du dépôt bancaire avec intérêts,
Yp - montant des intérêts (revenus),
S - montant initial (capital),
Z - taux d'intérêt annuel,
d - nombre de jours d'accumulation des intérêts sur le dépôt attiré,
D - nombre de jours dans une année civile (365 ou 366).
7). Calcul des intérêts sur un dépôt bancaire lors du calcul des intérêts sur les intérêts. Formule de calcul des intérêts composés.
Si les intérêts sur un dépôt sont accumulés plusieurs fois à intervalles réguliers et sont crédités sur le dépôt, le montant du dépôt avec intérêts est calculé à l'aide de la formule des intérêts composés.
X = S * (1 + P*d/D/100)N
Où:
Y - taux d'intérêt annuel,
Lors du calcul des intérêts composés, il est plus facile de calculer le montant total avec intérêts, puis de calculer le montant des intérêts (revenus) :
Sp = X - S = S * (1 + Y*d/D/100)N - S
ou
Sp = S * ((1 + Y*d/D/100)N - 1)
8). Une autre formule pour les intérêts composés.
Si le taux d'intérêt n'est pas indiqué sur une base annuelle, mais directement pour la période d'accumulation, la formule des intérêts composés ressemble à ceci.
X = S * (1 + Y/100)N
Où:
X - montant du dépôt avec intérêts,
S - montant du dépôt (capital),
Y - taux d'intérêt,
N est le nombre de périodes d'intérêt.
Ceux qui ont des économies souhaitent assurer leur sécurité et recevoir un revenu supplémentaire. Par conséquent, après avoir choisi une banque fiable, les investisseurs étudient les conditions et calculent le profit possible. Dans la plupart des cas, les banques proposent des intérêts composés sur les dépôts.
De quoi s’agit-il, quels sont les avantages d’un tel système et quelle est la formule des intérêts composés sur les dépôts ? Nous en parlerons ci-dessous.
Qu’est-ce que les intérêts composés ?
Ce terme fait référence à l'effet par lequel les intérêts sur les bénéfices sont ajoutés au montant principal du dépôt. Par exemple, sur un dépôt d'un montant de 100 000 roubles, la banque facture des intérêts mensuellement.
Supposons que le taux d’intérêt soit de 10 % par an et que 833 roubles aient été accumulés pour le premier mois. Le mois prochain, un montant de 10 833 roubles sera constitué sur le dépôt et la banque facturera des intérêts sur celui-ci.
Ainsi, au cours du deuxième mois, l'investisseur recevra un revenu de 840 roubles, et ainsi de suite. Par conséquent, en effectuant un dépôt avec capitalisation dans une banque, vous pouvez obtenir plus de profit que sur un dépôt avec retrait possible des intérêts.
Plusieurs articles sur le sujet :
Donnons un exemple simple de calcul des intérêts composés pour un dépôt d'une durée de trois mois.
Supposons que le montant de 100 000 roubles ait été déposé sur le compte à raison de 12 % par an. Si nous oublions les intérêts composés, le bénéfice attendu est alors déterminé à 2958 roubles.
Mais nous nous souvenons de la capitalisation et effectuons des calculs en tenant compte des intérêts mensuels courus. Pour plus de clarté, présentons le calcul dans le tableau :
| Mois | Somme | Taux | Jours | Intérêt | Montant avec intérêts |
| Janvier | 100 000 | 12 | 31 | 1019 | 101 019 |
| Février | 101 019 | 12 | 28 | 930 | 101 949 |
| Mars | 101 949 | 12 | 31 | 1039 | 102 988 |
Ainsi, l'investisseur recevra 2988 roubles. C'est 40 roubles de plus que dans le cadre du régime d'intérêt simple.
Pour ceux qui connaissent tableaux Excel Il ne sera pas difficile de faire des calculs similaires pour vos dépôts bancaires.
Vous pouvez également utiliser formule mathématique calcul:
S – le montant total du dépôt avec intérêts (ce que le déposant recevra à la fin du contrat) ;
- P – montant de base, taille du dépôt initial ;
- n – nombre de périodes d'accumulation des intérêts (mois, années, trimestres, jours) ;
- I – taux d’intérêt annuel.
Par exemple, en concluant un contrat avec une banque pour une durée de 12 mois à un taux d'intérêt de 12 % par an, le propriétaire d'un dépôt avec capitalisation recevra :
S = 100 000 * (1+12/100/12)12 = 112 829 frotter.
Les conditions les plus favorables pour les dépôts
Il ressort clairement de la section précédente que le système utilisant les intérêts composés génère plus de bénéfices que le système utilisant les intérêts composés. options simples. Mais les épargnants doivent être conscients de la manière dont les banques peuvent manipuler les chiffres.
L'astuce la plus courante est une offre d'ouverture d'un dépôt avec accumulation de revenus à la fin du terme et augmentation du taux en cas de prolongation. À première vue, il n'y a pas de piège : la banque accumulera les revenus requis et augmentera le tarif pour la saison suivante.
Mais en chiffres, cela semble moins attractif : les calculs sont effectués à l'aide de la formule simple des intérêts. Sur un dépôt de 100 000 roubles au taux de 12 % par an, la banque percevra un revenu de 12 000 roubles. Les termes du contrat peuvent également contenir des pièges.
Par exemple, en cas de prolongation du dépôt d'un an supplémentaire, le tarif sera de 12,5 %. Et à la résiliation du contrat, la banque se réserve le droit de percevoir des revenus au taux de 10 % par an.
Une autre option « d'épargne » courante dans les banques consiste à accumuler des revenus sur un dépôt avec capitalisation trimestriellement. Lors de la conclusion d'un tel accord, l'investisseur peut ne pas comprendre quelles sont ses pertes. Et le calcul de la banque est simple : les intérêts sur le dépôt sont courus à la fin de chaque trimestre. Ainsi, la capitalisation a lieu quatre fois par an, et non douze, comme pour la constitution mensuelle.
Voici un exemple de cette approche :
Tableau 1. Accumulation mensuelle
| Mois | Somme | Taux | Jours | Intérêt | Montant avec intérêts |
| Janvier | 100 000 | 12 | 31 | 1019 | 101 019 |
| Février | 101 019 | 12 | 28 | 930 | 101 949 |
| Mars | 101 949 | 12 | 31 | 1039 | 102 988 |
| Avril | 102 988 | 12 | 30 | 1016 | 104 004 |
| Peut | 104 004 | 12 | 31 | 1060 | 105 064 |
| Juin | 105 064 | 12 | 30 | 1036 | 106 100 |
| Juillet | 106 100 | 12 | 31 | 1081 | 107 182 |
| Août | 107 182 | 12 | 31 | 1092 | 108 274 |
| Septembre | 108 274 | 12 | 30 | 1068 | 109 342 |
| Octobre | 109 342 | 12 | 31 | 1114 | 110 456 |
| novembre | 110 456 | 12 | 30 | 1089 | 111 546 |
| Décembre | 111 546 | 12 | 31 | 1137 | 112 682 |
Tableau 2. Accumulation trimestrielle
| Périodes | Somme | Taux | Jours | Intérêt | Montant avec intérêts |
| 1 | 100 000 | 12 | 90 | 2959 | 102 959 |
| 2 | 102 959 | 12 | 91 | 3080 | 106 039 |
| 3 | 106 039 | 12 | 92 | 3207 | 109 247 |
| 4 | 109 247 | 12 | 92 | 3304 | 112 551 |
Comme vous pouvez le constater, la différence est de 132 roubles en faveur de la banque.
Les déposants qui souhaitent ouvrir un dépôt à découvert, par exemple pendant quelques jours des vacances du Nouvel An, doivent savoir que le jour de l'émission des fonds ne compte pas dans la durée totale de leur utilisation.
En termes simples : en ouvrant un dépôt le 30 décembre et en retirant de l'argent le 12 janvier, le client percevra des revenus en 13 jours et non en 14 : la banque ne facturera pas d'intérêts pour le 12 janvier.
En règle générale, les options les plus rentables pour le client sont les dépôts avec capitalisation, accumulation mensuelle et réapprovisionnement. Mais les banques ne pratiquent pas les taux les plus élevés pour ces dépôts, manipulant les chiffres et guidant les déposants vers un placement de fonds à long terme.
Il peut y avoir d'autres nuances que vous devriez connaître à l'avance. Par conséquent, lors du choix d'une banque, vous devez vous concentrer non seulement sur le montant des intérêts sur les dépôts, mais également sur la méthode de calcul, les conditions de paiement et fonctionnalités supplémentaires pour le déposant.
Lors de l'ouverture d'un dépôt bancaire, vous devez faire attention non seulement au montant du taux d'intérêt, mais également au type d'intérêt accumulé. Il existe des calculs d’intérêts simples et complexes. Dans cet article, nous analyserons la différence entre les types de calcul des taux d'intérêt, et déterminerons également les avantages de l'une ou l'autre méthode de calcul.
Quelle est la différence entre les intérêts simples et composés ?
Généralement, les banques proposent des intérêts simples. Qu'est-ce que ça veut dire? Cela signifie que les intérêts ne seront accumulés sur votre dépôt qu’à la fin du terme. Ceux. Disons que vous avez ouvert un dépôt à 10 % par an et investi 10 000 roubles. Au bout d'un an, 1 000 roubles vous seront crédités à titre d'intérêts. Si vous laissez le dépôt pour la deuxième année, après cette période, vous serez crédité de 1 000 roubles supplémentaires.
Pendant 2 ans, avec un simple calcul des intérêts, votre montant total sera : 12 000 roubles.
S’il y avait un calcul complexe des intérêts, la situation changerait un peu. Après 1 an, votre compte contiendra également 11 000 roubles (10 000 correspond à votre contribution + 1 000 roubles d'intérêts).
Cependant, ces milliers accumulés seraient ajoutés au corps principal du dépôt à la fin de la première période. Et tous les intérêts seraient déjà accumulés sur ce montant total. Ceux. la deuxième année, vous recevrez 10 %, non pas sur 10 000 roubles, mais sur 11 000. En termes monétaires, cela s'avère être de 1 100 roubles.
Au total, pendant 2 ans avec calcul complexe, votre montant sera : 12 100 roubles
Je pense qu'il ne sert à rien d'expliquer ce que vous choisirez : 12 000 ou 12 100 roubles. En plus avantage supplémentaire Ce qui rend les intérêts composés, c'est le fait qu'ils sont également inclus dans . Ceux. Si l’agrément de la banque est révoqué, tous les intérêts courus doivent également être restitués au déposant.
Avec une simple accumulation, l'argent n'est payé qu'à la fin du terme, c'est-à-dire en fait, ils n’ont pas été crédités, même s’il ne restait qu’un jour avant la fin de votre contribution ! Et dans ce cas, vous avez le droit de restituer uniquement le capital principal.
Un dépôt avec capitalisation mensuelle ou trimestrielle des intérêts est particulièrement intéressant. Plus la durée de capitalisation du dépôt est courte, plus le revenu qu'il procure est élevé. C'est une question d'effet cumulatif. Lorsque les intérêts courus sous forme de profit génèrent également des bénéfices. Parfois, les intérêts composés sont appelés intérêts. en tenant compte du réinvestissement ou capitalisation. Faites attention à cela lorsque vous concluez un accord avec la banque. Si l'accord stipule que les intérêts sont courus à la fin de la durée du dépôt, alors nous parlons de sur le simple calcul des intérêts.
Je ne propose pas très souvent de banques. Même si les intérêts sont accumulés mensuellement ou trimestriellement, les banques préfèrent ne pas utiliser les bénéfices reçus pour leur facturer des intérêts supplémentaires, mais les transférer sur un compte séparé. Le point ici, comme indiqué ci-dessus, est l’effet de refinancement, lorsque le taux d’intérêt effectif dû à la capitalisation sera plus élevé que celui initialement annoncé par la banque.
Exemple. Avec un taux nominal de 9 % par an, le taux effectif réel, compte tenu du réinvestissement, serait de 9,4 % par an. À 10 %, ce chiffre passerait à 10,5 %, et à 11 %, à 11,6 %.
Les banques proposent généralement un taux d’intérêt nominal car le taux d’intérêt effectif en supposant que les intérêts soient retirés peut ne pas être atteint.
Formule de calcul des intérêts composés sur les dépôts bancaires
Pour ceux qui veulent comprendre par eux-mêmes combien ils recevront en investissant de l'argent à un taux d'intérêt composé à la banque, il existe formule spéciale réinvestissement ou capitalisation du dépôt :
S=K * (1+r/t)™
K est le montant initial que vous avez déposé à la banque,
r est le taux d'intérêt annuel auquel vous avez déposé à la banque, par exemple, 10 % par an équivaut à 0,1, 12 % par an équivaut à 0,12
t est le nombre de paiements d'intérêts par an, par exemple, si les intérêts sont courus annuellement, alors t=1, trimestriellement t=4, mensuellement t=12
TM - le nombre de périodes d'intérêt, c'est-à-dire si vous avez ouvert un dépôt pendant 2 ans, alors avec l'accumulation trimestrielle, les périodes seront de 8, avec le TM mensuel, ce sera 24.
S est le montant qui sera sur votre compte après l'expiration du dépôt.
Exemple.
Vous avez ouvert un dépôt pour une durée de 2 ans, à 12% par an, la capitalisation des intérêts est trimestrielle. Vous avez déposé 10 000 roubles.
De combien d’argent disposerez-vous à la fin du mandat ?
K=10 000
r=0,12%
t=4
MT=8
Nous obtenons S=10 000 * (1+0,12/4)∧8 = 12 668 roubles.
Au total, sur 2 ans, un tel dépôt vous rapportera 2 668 roubles soit 26,68 % de rentabilité.
Si, par exemple, nous prenons une simple accumulation d'intérêts au même taux de 12 % par an pendant 2 ans, avec accumulation annuelle, mais sans capitalisation, alors à la fin du terme, le montant sera légèrement inférieur, à savoir 2 400 roubles ou 24 % de rendement. .
Bien entendu, la différence de 2,68 % n’est pas si grande. Mais tout change si le montant de la caution change grand côté ou augmenter la durée du dépôt. C’est à des intervalles de temps longs que la différence entre le calcul des intérêts simple et complexe est la plus visible. Sur de longues périodes, la différence résultat obtenu peut changer considérablement. Pas étonnant que les Rothschild (la famille la plus riche de la planète) aient appelé les intérêts composés « ».