Multiplication de matrices d'ordres différents. Opérations de base sur les matrices (addition, multiplication, transposition) et leurs propriétés

Ce manuel vous aidera à apprendre à effectuer opérations avec des matrices: addition (soustraction) de matrices, transposition d'une matrice, multiplication de matrices, trouver la matrice inverse. Tout le matériel est présenté sous une forme simple et accessible, des exemples pertinents sont donnés, afin que même une personne non préparée puisse apprendre à effectuer des actions avec des matrices.

Pour l'autosurveillance et l'autotest, vous pouvez télécharger gratuitement un calculateur matriciel >>>. J'essaierai de minimiser les calculs théoriques ; à certains endroits, des explications « sur les doigts » et l'utilisation de termes non scientifiques sont possibles. Amateurs de théorie solide, ne vous lancez pas dans la critique, notre tâche est.

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Matrice, déterminant et test ! Une matrice est une table rectangulaire de certainséléments Une matrice est une table rectangulaire de certains. Comme nous considérerons des nombres, c'est-à-dire des matrices numériques.ÉLÉMENT

est un terme. Il est conseillé de retenir le terme, il apparaîtra souvent, ce n’est pas un hasard si j’ai utilisé des caractères gras pour le mettre en valeur. Désignation:

les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules Exemple:

Considérons une matrice deux par trois : Une matrice est une table rectangulaire de certains:

Cette matrice est composée de six

Tous les nombres (éléments) à l'intérieur de la matrice existent par eux-mêmes, c'est-à-dire qu'il n'est question d'aucune soustraction :

C'est juste un tableau (ensemble) de chiffres ! Nous serons également d'accord ne pas réorganiser

chiffres, sauf indication contraire dans les explications. Chaque numéro a son propre emplacement et ne peut pas être mélangé !

La matrice en question comporte deux lignes :

et trois colonnes : STANDARD : quand on parle de tailles de matrice, alors d'abord

indiquez le nombre de lignes, et ensuite seulement le nombre de colonnes. Nous venons de décomposer la matrice deux par trois. Si le nombre de lignes et de colonnes d'une matrice est le même, alors la matrice s'appelle carré , Par exemple:

– une matrice trois par trois. Si une matrice a une colonne ou une ligne, alors ces matrices sont également appelées.

En fait, nous connaissons le concept de matrice depuis l'école ; considérons, par exemple, un point de coordonnées « x » et « y » : . Essentiellement, les coordonnées d’un point sont écrites dans une matrice un par deux. Au fait, voici un exemple de la raison pour laquelle l'ordre des nombres est important : et ce sont deux points complètement différents sur le plan.

Passons maintenant à l'étude opérations avec des matrices:

1) Acte un. Supprimer un moins de la matrice (introduire un moins dans la matrice).

Revenons à notre matrice . Comme vous l’avez probablement remarqué, il y a trop de nombres négatifs dans cette matrice. C'est très gênant du point de vue de l'exécution de diverses actions avec la matrice, il n'est pas pratique d'écrire autant d'inconvénients et cela a tout simplement l'air moche dans sa conception.

Déplaçons le moins en dehors de la matrice en changeant le signe de CHAQUE élément de la matrice:

A zéro, comme vous le comprenez, le signe ne change pas ; zéro c'est aussi zéro en Afrique.

Exemple inverse : . Ça a l'air moche.

Introduisons un moins dans la matrice en changeant le signe de CHAQUE élément de la matrice:

Eh bien, cela s'est avéré beaucoup plus agréable. Et surtout, il sera PLUS FACILE d'effectuer des actions avec la matrice. Parce qu'il existe un tel signe populaire mathématique : plus il y a d'inconvénients, plus il y a de confusion et d'erreurs.

2) Acte deux. Multiplier une matrice par un nombre.

les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules

C'est simple, pour multiplier une matrice par un nombre, il faut chaqueélément de matrice multiplié par un nombre donné. Dans ce cas – un trois.

Autre exemple utile :

– multiplier une matrice par une fraction

Voyons d'abord quoi faire PAS BESOIN:

Il n'est PAS BESOIN d'entrer une fraction dans la matrice ; d'une part, cela ne fait que compliquer les actions ultérieures avec la matrice, et d'autre part, cela rend difficile pour l'enseignant de vérifier la solution (surtout si – réponse finale de la tâche).

Et, de plus, PAS BESOIN divisez chaque élément de la matrice par moins sept :

De l'article Mathématiques pour les nuls ou par où commencer, nous nous souvenons qu'en mathématiques supérieures, ils essaient d'éviter de toutes les manières possibles les fractions décimales avec des virgules.

La seule chose est de préférence Que faire dans cet exemple est d'ajouter un moins à la matrice :

Mais si seulement TOUS les éléments de la matrice ont été divisés par 7 sans laisser de trace, alors il serait possible (et nécessaire !) de diviser.

les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules

Dans ce cas, vous pouvez BESOIN DE multiplier tous les éléments de la matrice par , puisque tous les nombres de la matrice sont divisibles par 2 sans laisser de trace.

Remarque : dans la théorie des mathématiques du supérieur, il n'y a pas de notion de « division ». Au lieu de dire « ceci divisé par cela », vous pouvez toujours dire « ceci multiplié par une fraction ». Autrement dit, la division est un cas particulier de multiplication.

3) Acte trois. Transposition matricielle.

Pour transposer une matrice, vous devez écrire ses lignes dans les colonnes de la matrice transposée.

les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules

Transposer la matrice

Il n'y a qu'une seule ligne ici et, selon la règle, elle doit être écrite dans une colonne :

– matrice transposée.

Une matrice transposée est généralement indiquée par un exposant ou un nombre premier en haut à droite.

Exemple étape par étape :

Transposer la matrice

Nous réécrivons d’abord la première ligne dans la première colonne :

Ensuite, nous réécrivons la deuxième ligne dans la deuxième colonne :

Et enfin, on réécrit la troisième ligne dans la troisième colonne :

Prêt. En gros, transposer signifie retourner la matrice sur le côté.

4) Acte quatre. Somme (différence) des matrices.

La somme des matrices est une opération simple.
TOUTES LES MATRICES NE PEUVENT PAS ÊTRE PLIÉES. Pour effectuer une addition (soustraction) de matrices, il faut qu'elles soient de MÊME TAILLE.

Par exemple, si une matrice deux par deux est donnée, alors elle ne peut être ajoutée qu'avec une matrice deux par deux et aucune autre !

les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules

Ajouter des matrices Et

Afin d'ajouter des matrices, vous devez ajouter leurs éléments correspondants:

Pour la différence des matrices, la règle est similaire, il faut trouver la différence des éléments correspondants.

les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules

Trouver la différence matricielle ,

Comment résoudre cet exemple plus facilement, pour ne pas se tromper ? Il est conseillé de se débarrasser des moins inutiles ; pour ce faire, ajoutez un moins à la matrice :

Remarque : dans la théorie des mathématiques du supérieur, il n'y a pas de notion de « soustraction ». Au lieu de dire « soustrayez ceci de ceci », vous pouvez toujours dire « ajoutez un nombre négatif à ceci ». Autrement dit, la soustraction est un cas particulier d’addition.

5) Acte cinq. Multiplication matricielle.

Quelles matrices peuvent être multipliées ?

Pour qu’une matrice soit multipliée par une matrice, il faut de sorte que le nombre de colonnes de la matrice soit égal au nombre de lignes de la matrice.

les matrices sont généralement désignées par des lettres latines majuscules
Est-il possible de multiplier une matrice par une matrice ?

Cela signifie que les données matricielles peuvent être multipliées.

Mais si les matrices sont réarrangées, alors, dans ce cas, la multiplication n'est plus possible !

La multiplication n’est donc pas possible :

Il n'est pas si rare de rencontrer des tâches astucieuses, lorsqu'il est demandé à l'élève de multiplier des matrices dont la multiplication est évidemment impossible.

Il convient de noter que dans certains cas, il est possible de multiplier des matrices dans les deux sens.
Par exemple, pour les matrices, la multiplication et la multiplication sont possibles

Ajout de matrice :

Soustraction et addition de matrices se réduit aux opérations correspondantes sur leurs éléments. Opération d'addition de matrice saisi uniquement pour matrices la même taille, c'est-à-dire pour matrices, dans lequel le nombre de lignes et de colonnes est respectivement égal. Somme des matrices A et B sont appelés matrice C, dont les éléments sont égaux à la somme des éléments correspondants. C = A + B c ij = a ij + b ij Défini de la même manière différence de matrice.

Multiplier une matrice par un nombre :

Opération de multiplication (division) matricielle de n'importe quelle taille par un nombre arbitraire se réduit à multiplier (diviser) chaque élément matrices pour ce numéro. Produit matriciel Et le nombre k s'appelle matrice B, tel que

b ij = k × une ij . B = k × A b ij = k × a ij . Matrice- A = (-1) × A est appelé le contraire matrice UN.

Propriétés de l'ajout de matrices et de la multiplication d'une matrice par un nombre :

Opérations d'addition de matrice Et multiplication matricielle par nombre ont les propriétés suivantes : 1. A + B = B + A ; 2. A + (B + C) = (A + B) + C ; 3. A + 0 = A ; 4. A - A = 0 ; 5. 1 × A = A ; 6. α × (A + B) = αA + αB ; 7. (α + β) × A = αA + βA ; 8. α × (βA) = (αβ) × A ; , où A, B et C sont des matrices, α et β sont des nombres.

Multiplication matricielle (Produit matriciel) :

Opération de multiplication de deux matrices n'est renseigné que dans le cas où le nombre de colonnes de la première matriceségal au nombre de lignes de la seconde matrices. Produit matriciel Et m×n sur matrice En n×p, appelé matrice Avec m×p tel que avec ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , c'est-à-dire que l'on trouve la somme des produits des éléments de la i-ième rangée matrices Et aux éléments correspondants de la jème colonne matrices B. Si matrices A et B sont des carrés de même taille, alors les produits AB et BA existent toujours. Il est facile de montrer que A × E = E × A = A, où A est carré matrice, E - unité matrice la même taille.

Propriétés de la multiplication matricielle :

Multiplication matricielle pas commutatif, c'est-à-dire AB ≠ BA même si les deux produits sont définis. Cependant, si pour quelque raison matrices la relation AB=BA est satisfaite, alors tel matrices sont appelés commutatifs. L'exemple le plus typique est un seul matrice, qui fait la navette avec n'importe quel autre matrice la même taille. Seuls les carrés peuvent être permutables matrices du même ordre. A × E = E × A = A

Multiplication matricielle a les propriétés suivantes : 1. A × (B × C) = (A × B) × C ; 2. A × (B + C) = AB + AC ; 3. (A + B) × C = AC + BC ; 4. α × (AB) = (αA) × B ; 5. UNE × 0 = 0 ; 0 × A = 0 ; 6. (AB) T = B T A T ; 7. (ABC) T = C T V T A T ; 8. (A + B) T = AT + BT ;

2. Déterminants des 2e et 3e ordres. Propriétés des déterminants.

Déterminant matriciel deuxième commande, ou déterminant le deuxième ordre est un nombre calculé par la formule :

Déterminant matriciel troisième ordre, ou déterminant le troisième ordre est un nombre calculé par la formule :

Ce nombre représente une somme algébrique composée de six termes. Chaque terme contient exactement un élément de chaque ligne et de chaque colonne matrices. Chaque terme est constitué du produit de trois facteurs.

Signes avec lesquels les membres déterminant de la matrice inclus dans la formule trouver le déterminant de la matrice le troisième ordre peut être déterminé à l'aide du schéma donné, appelé règle des triangles ou règle de Sarrus. Les trois premiers termes sont pris avec un signe plus et déterminés à partir de la figure de gauche, et les trois termes suivants sont pris avec un signe moins et déterminés à partir de la figure de droite.

Déterminer le nombre de termes à trouver déterminant de la matrice, dans une somme algébrique, vous pouvez calculer la factorielle : 2 ! = 1 × 2 = 2 3 ! = 1 × 2 × 3 = 6

Propriétés des déterminants matriciels

Propriétés des déterminants matriciels :

Propriété n°1 :

Déterminant matriciel ne changera pas si ses lignes sont remplacées par des colonnes, chaque ligne par une colonne avec le même numéro, et vice versa (Transposition). |UNE| = |UNE| T

Conséquence:

Colonnes et lignes déterminant de la matrice sont égaux, par conséquent, les propriétés inhérentes aux lignes s'appliquent également aux colonnes.

Propriété n°2 :

Lors de la réorganisation de 2 lignes ou colonnes déterminant matriciel changera le signe pour le signe opposé, en conservant la valeur absolue, c'est-à-dire :

Propriété n°3 :

Déterminant matriciel avoir deux lignes identiques est égal à zéro.

Propriété n°4 :

Facteur commun des éléments de toute série déterminant de la matrice peut être considéré comme un signe déterminant.

Corollaires des propriétés n°3 et n°4 :

Si tous les éléments d'une certaine série (ligne ou colonne) sont proportionnels aux éléments correspondants d'une série parallèle, alors déterminant matricielégal à zéro.

Propriété n°5 :

déterminant de la matrice sont égaux à zéro, alors déterminant matricielégal à zéro.

Propriété n°6 :

Si tous les éléments d'une ligne ou d'une colonne déterminant présenté comme une somme de 2 termes, alors déterminant matrices peut être représenté comme la somme de 2 déterminants selon la formule :

Propriété n°7 :

Si vers une ligne (ou une colonne) déterminant ajoutez les éléments correspondants d'une autre ligne (ou colonne), multipliés par le même nombre, puis déterminant matriciel ne changera pas sa valeur.

Exemple d'utilisation de propriétés pour le calcul déterminant de la matrice:

Nous « exclurons » séquentiellement les inconnues. Pour ce faire, nous laisserons inchangée la première équation du système, et transformerons la deuxième et la troisième :

1) à la deuxième équation on ajoute la première, multipliée par –2, et on la met sous la forme –3 x 2 –2x 3 = –2;

2) à la troisième équation on ajoute la première, multipliée par – 4, et on la met sous la forme –3 x 2 – 4x 3 = 2.

En conséquence, l'inconnue sera exclue des deuxième et troisième équations x 1 et le système prendra la forme

On multiplie les deuxième et troisième équations du système par –1, on obtient

Coefficient 1 dans la première équation pour la première inconnue X 1 s'appelle élément principal la première étape de l’élimination.

Dans la deuxième étape, les première et deuxième équations restent inchangées et la même méthode d'élimination de la variable est appliquée à la troisième équation. x 2 . Élément principal de la deuxième étape est le coefficient 3. A la troisième équation on ajoute la deuxième, multipliée par –1, puis le système se transforme sous la forme

(1.2)

Le processus de réduction du système (1.1) pour former (1.2) est appelé direct évolution de la méthode Gauss.

La procédure de résolution du système (1.2) s’appelle en marche arrière. De la dernière équation on obtient X 3 = –2. En substituant cette valeur dans la deuxième équation, nous obtenons X 2 = 2. Après cela, la première équation donne X 1 = 1. Ainsi, est une solution du système (1.1).

Notion de matrice

Considérons les quantités incluses dans le système (1.1). Un ensemble de neuf coefficients numériques apparaissant avant les inconnues dans les équations forme un tableau de nombres appelé matrice:

UN= .

(1.3)

Les numéros de table sont appelés éléments matrices. Formulaire d'éléments lignes et colonnes matrices. Le nombre de lignes et le nombre de colonnes du formulaire dimension matrices. Matrice UN a une dimension de 3´3 (« trois par trois »), le premier chiffre indiquant le nombre de lignes et le second le nombre de colonnes. Une matrice est souvent désignée en indiquant sa dimension A (3 ´ 3). Puisque le nombre de lignes et de colonnes dans la matrice UN pareil, la matrice s'appelle carré. Le nombre de lignes (et de colonnes) dans une matrice carrée est appelé son en ordre, c'est pourquoi UN– matrice troisième commande.

Les côtés droits des équations forment également un tableau de nombres, c'est-à-dire matrice:

Chaque ligne de cette matrice est formée d'un seul élément, donc B(3 ´ 1) s’appelle colonne-matrice, sa dimension est 3´1. L’ensemble des inconnues peut également être représenté sous forme de matrice de colonnes :

Multiplier une matrice carrée par une matrice colonne

Diverses opérations peuvent être effectuées avec des matrices, qui seront discutées en détail plus tard. Ici, nous analyserons uniquement la règle de multiplication d'une matrice carrée par une matrice colonne. Par définition, le résultat de la multiplication matricielle UN(3 ´ 3) par colonne DANS(3 ´ 1) est la colonne D(3 ´ 1) , dont les éléments sont égaux aux sommes des produits des éléments des lignes de la matrice UN aux éléments de colonne DANS:

2)deuxièmeélément de colonne Dégal à la somme des produits des éléments deuxième lignes de la matrice UN aux éléments de colonne DANS:

D'après les formules ci-dessus, il est clair que multiplier une matrice par une colonne DANS n'est possible que si le nombre de colonnes de la matrice UNégal au nombre d'éléments dans la colonne DANS.

Regardons deux autres exemples numériques de multiplication matricielle (3 ´3) par colonne (3 ´1) :

Exemple 1.1

AB =
.

Exemple 1.2

AB= .

Ainsi, dans la leçon précédente, nous avons examiné les règles d'addition et de soustraction de matrices. Ce sont des opérations si simples que la plupart des étudiants les comprennent littéralement dès le départ.

Cependant, vous vous réjouissez tôt. Le cadeau est terminé - passons à la multiplication. Je vous préviens tout de suite : multiplier deux matrices, ce n'est pas du tout multiplier des nombres dans des cellules de mêmes coordonnées, comme on pourrait le penser. Tout est beaucoup plus amusant ici. Et nous devrons commencer par des définitions préliminaires.

Matrices appariées

L'une des caractéristiques les plus importantes d'une matrice est sa taille. Nous en avons déjà parlé une centaine de fois : la notation $A=\left[ m\times n \right]$ signifie que la matrice a exactement $m$ lignes et $n$ colonnes. Nous avons également déjà expliqué comment ne pas confondre les lignes avec les colonnes. Quelque chose d’autre est important maintenant.

Définition. Matrices de la forme $A=\left[ m\times n \right]$ et $B=\left[ n\times k \right]$, dans lesquelles le nombre de colonnes de la première matrice coïncide avec le nombre de lignes dans le second, sont appelés cohérents.

Encore une fois : le nombre de colonnes dans la première matrice est égal au nombre de lignes dans la seconde ! De là, nous obtenons deux conclusions à la fois :

1. L'ordre des matrices est important pour nous. Par exemple, les matrices $A=\left[ 3\times 2 \right]$ et $B=\left[ 2\times 5 \right]$ sont cohérentes (2 colonnes dans la première matrice et 2 lignes dans la seconde) , mais vice versa — les matrices $B=\left[ 2\times 5 \right]$ et $A=\left[ 3\times 2 \right]$ ne sont plus cohérentes (5 colonnes de la première matrice ne sont pas 3 lignes dans la seconde).
2. La cohérence peut être facilement vérifiée en notant toutes les dimensions les unes après les autres. En reprenant l'exemple du paragraphe précédent : « 3 2 2 5 » - les nombres au milieu sont les mêmes, donc les matrices sont cohérentes. Mais « 2 5 3 2 » ne sont pas cohérents, car il y a des nombres différents au milieu.

De plus, Captain Obviousness semble laisser entendre que les matrices carrées de même taille $\left[ n\times n \right]$ sont toujours cohérentes.

En mathématiques, lorsque l’ordre de listage des objets est important (par exemple, dans la définition évoquée ci-dessus, l’ordre des matrices est important), on parle souvent de paires ordonnées. Nous les avons rencontrés à l'école : je pense qu'il va de soi que les coordonnées $\left(1;0 \right)$ et $\left(0;1 \right)$ définissent différents points sur l'avion.

Donc : les coordonnées sont également des paires ordonnées composées de nombres. Mais rien ne vous empêche de constituer une telle paire à partir de matrices. Nous pouvons alors dire : « Une paire ordonnée de matrices $\left(A;B \right)$ est cohérente si le nombre de colonnes de la première matrice correspond au nombre de lignes de la seconde. »

Et alors ?

Définition de la multiplication

Considérons deux matrices cohérentes : $A=\left[ m\times n \right]$ et $B=\left[ n\times k \right]$. Et nous définissons pour eux l’opération de multiplication.

Définition. Le produit de deux matrices appariées $A=\left[ m\times n \right]$ et $B=\left[ n\times k \right]$ est la nouvelle matrice $C=\left[ m\times k \ right] $, dont les éléments sont calculés selon la formule :

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Un tel produit est noté de manière standard : $C=A\cdot B$.

Ceux qui voient cette définition pour la première fois se posent immédiatement deux questions :

1. De quel genre de jeu féroce s'agit-il ?
2. Pourquoi est-ce si difficile ?

Eh bien, commençons par le commencement. Commençons par la première question. Que signifient tous ces indices ? Et comment ne pas commettre d’erreurs lorsqu’on travaille avec de vraies matrices ?

Tout d'abord, on note que la longue ligne de calcul de $((c)_(i;j))$ (j'ai spécialement mis un point-virgule entre les indices pour ne pas se tromper, mais il n'est pas nécessaire de les mettre à tout - j'en ai moi-même eu marre de taper la formule dans la définition) se résume en fait à une règle simple :

1. Prenez la $i$ième ligne de la première matrice ;
2. Prenez la $j$ième colonne de la deuxième matrice ;
3. Nous obtenons deux séquences de nombres. Nous multiplions les éléments de ces séquences par les mêmes nombres, puis additionnons les produits résultants.

Ce processus est facile à comprendre à partir de l'image :

Schéma de multiplication de deux matrices

Encore une fois : nous fixons la ligne $i$ dans la première matrice, la colonne $j$ dans la deuxième matrice, multiplions les éléments avec les mêmes nombres, puis ajoutons les produits résultants - nous obtenons $((c)_(ij))$ . Et ainsi de suite pour tous les $1\le i\le m$ et $1\le j\le k$. Ceux. Il y aura $m\times k$ de telles « perversions » au total.

En fait, nous avons déjà rencontré la multiplication matricielle dans les programmes scolaires, mais sous une forme très réduite. Soit les vecteurs :

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \fin(aligner)\]

Alors leur produit scalaire sera exactement la somme des produits par paires :

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

Fondamentalement, à l'époque où les arbres étaient plus verts et le ciel plus lumineux, nous multipliions simplement le vecteur ligne $\overrightarrow(a)$ par le vecteur colonne $\overrightarrow(b)$.

Rien n'a changé aujourd'hui. C’est juste que maintenant il y a plus de ces vecteurs de lignes et de colonnes.

Mais assez de théorie ! Regardons des exemples réels. Et commençons par le cas le plus simple : les matrices carrées.

Multiplication matricielle carrée

Tâche 1. Faites la multiplication :

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\]

Solution. Nous avons donc deux matrices : $A=\left[ 2\times 2 \right]$ et $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Il est clair qu’elles sont cohérentes (les matrices carrées de même taille sont toujours cohérentes). On effectue donc la multiplication :

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ début(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ fin (tableau) \ droite]. \fin(aligner)\]

C'est ça!

Réponse : $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.

Tâche 2. Faites la multiplication :

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(tableau) \right]\]

Solution. Encore une fois, des matrices cohérentes, nous effectuons donc les actions suivantes :\[\]

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( ) r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \gauche(-3\right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrice) \right ] . \fin(aligner)\]

Comme vous pouvez le voir, le résultat est une matrice remplie de zéros

Réponse : $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

D’après les exemples ci-dessus, il est évident que la multiplication matricielle n’est pas une opération si compliquée. Au moins pour les matrices carrées 2 par 2.

Au cours du processus de calcul, nous avons compilé une matrice intermédiaire, dans laquelle nous avons directement décrit quels nombres sont inclus dans une cellule particulière. C’est exactement ce que vous devez faire lorsque vous résolvez de vrais problèmes.

Propriétés de base du produit matriciel

En un mot. Multiplication matricielle :

1. Non commutatif : $A\cdot B\ne B\cdot A$ dans le cas général. Il existe bien sûr des matrices particulières pour lesquelles l'égalité $A\cdot B=B\cdot A$ (par exemple, si $B=E$ est la matrice identité), mais dans la grande majorité des cas cela ne fonctionne pas ;
2. Associativement : $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Il n'y a pas d'options ici : les matrices adjacentes peuvent être multipliées sans se soucier de ce qui se trouve à gauche et à droite de ces deux matrices.
3. De manière distributive : $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ et $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (en raison de la non-commutativité du produit, il est nécessaire de spécifier séparément la distributivité droite et gauche.

Et maintenant, tout est pareil, mais plus en détail.

La multiplication matricielle est à bien des égards similaire à la multiplication classique des nombres. Mais il existe des différences, dont la plus importante est que La multiplication matricielle est, d’une manière générale, non commutative.

Regardons à nouveau les matrices du problème 1. Nous connaissons déjà leur produit direct :

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(tableau) \right]\]

Mais si on échange les matrices, on obtient un résultat complètement différent :

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(matrice) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(matrice )\droite]\]

Il s'avère que $A\cdot B\ne B\cdot A$. De plus, l'opération de multiplication n'est définie que pour les matrices cohérentes $A=\left[ m\times n \right]$ et $B=\left[ n\times k \right]$, mais personne n'a garanti qu'elles resteront cohérents s’ils sont échangés. Par exemple, les matrices $\left[ 2\times 3 \right]$ et $\left[ 3\times 5 \right]$ sont assez cohérentes dans l'ordre spécifié, mais les mêmes matrices $\left[ 3\times 5 \right] $ et $\left[ 2\times 3 \right]$ écrits dans l'ordre inverse ne sont plus cohérents. Triste.:(

Parmi les matrices carrées d'une taille donnée $n$, il y aura toujours celles qui donneront le même résultat à la fois lorsqu'elles sont multipliées dans l'ordre direct et dans l'ordre inverse. Comment décrire toutes ces matrices (et combien il y en a en général) est le sujet d'une leçon distincte. Nous n'en parlerons pas aujourd'hui :)

Cependant, la multiplication matricielle est associative :

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

Ainsi, lorsqu'il faut multiplier plusieurs matrices d'affilée à la fois, il n'est pas du tout nécessaire de le faire tout de suite : il est fort possible que certaines matrices adjacentes, une fois multipliées, donnent un résultat intéressant. Par exemple, une matrice nulle, comme dans le problème 2 discuté ci-dessus.

Dans les problèmes réels, nous devons le plus souvent multiplier des matrices carrées de taille $\left[ n\times n \right]$. L'ensemble de toutes ces matrices est noté $((M)^(n))$ (c'est-à-dire que les entrées $A=\left[ n\times n \right]$ et \ signifient la même chose), et cela signifiera la même chose. contiennent nécessairement la matrice $E$, qui est appelée matrice identité.

Définition. Une matrice identité de taille $n$ est une matrice $E$ telle que pour toute matrice carrée $A=\left[ n\times n \right]$ l'égalité est vraie :

Une telle matrice a toujours la même apparence : il y a des un sur sa diagonale principale et des zéros dans toutes les autres cellules.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

En d’autres termes, si vous devez multiplier une matrice par la somme de deux autres, vous pouvez la multiplier par chacun de ces « deux autres » puis additionner les résultats. En pratique, nous devons généralement effectuer l'opération inverse : nous remarquons la même matrice, la sortons des parenthèses, effectuons une addition et ainsi nous simplifions la vie :)

Remarque : pour décrire la distributivité, nous avons dû écrire deux formules : où la somme est dans le deuxième facteur et où la somme est dans le premier. Cela se produit précisément parce que la multiplication matricielle est non commutative (et en général, en algèbre non commutative, il y a beaucoup de choses amusantes qui ne viennent même pas à l'esprit lorsque l'on travaille avec des nombres ordinaires). Et si, par exemple, vous devez écrire cette propriété lors d'un examen, assurez-vous d'écrire les deux formules, sinon l'enseignant pourrait se mettre un peu en colère.

D'accord, c'étaient tous des contes de fées sur les matrices carrées. Et les rectangulaires ?

Le cas des matrices rectangulaires

Mais rien - tout est comme avec les carrés.

Tâche 3. Faites la multiplication :

\[\left[ \begin(matrice) \begin(matrice) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrice) & \begin(matrice) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matrice) \ \\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]\]

Solution. Nous avons deux matrices : $A=\left[ 3\times 2 \right]$ et $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Notons les nombres indiquant les tailles d'affilée :

Comme vous pouvez le constater, les deux nombres centraux coïncident. Cela signifie que les matrices sont cohérentes et peuvent être multipliées. De plus, en sortie on obtient la matrice $C=\left[ 3\times 2 \right]$ :

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrice) \begin(matrice) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrice) & \begin(matrice) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matrice) \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\fin (tableau) \right]. \fin(aligner)\]

Tout est clair : la matrice finale comporte 3 lignes et 2 colonnes. Tout à fait $=\left[ 3\times 2 \right]$.

Réponse : $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(matrice) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matrice) \\\end(array) \right]$.

Examinons maintenant l'une des meilleures tâches de formation pour ceux qui commencent tout juste à travailler avec des matrices. Dans ce document, vous ne devez pas seulement multiplier deux comprimés, mais d'abord déterminer : une telle multiplication est-elle autorisée ?

Problème 4. Trouver tous les produits de matrices par paires possibles :

\\]; $B=\left[ \begin(matrice) \begin(matrice) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matrice) & \begin(matrice) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(matrice) \\\end(matrice) \right]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Solution. Tout d'abord, notons les tailles des matrices :

\;\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]

On constate que la matrice $A$ ne peut être réconciliée qu'avec la matrice $B$, puisque le nombre de colonnes de $A$ est 4, et que seul $B$ a ce nombre de lignes. On peut donc retrouver le produit :

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(array) \right]=\ gauche[ \begin(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]\]

Je suggère au lecteur de suivre les étapes intermédiaires de manière indépendante. Je noterai seulement qu'il vaut mieux déterminer la taille de la matrice résultante à l'avance, avant même tout calcul :

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

Autrement dit, on supprime simplement les coefficients de « transit » qui assuraient la cohérence des matrices.

Quelles autres options sont possibles ? Bien sûr, on peut trouver $B\cdot A$, puisque $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, donc la paire ordonnée $\ left(B ;A \right)$ est cohérent, et la dimension du produit sera :

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

En bref, le résultat sera une matrice $\left[ 4\times 4 \right]$, dont les coefficients peuvent être facilement calculés :

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \right]=\ gauche[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(tableau) \right]\]

Évidemment, on peut aussi se mettre d'accord sur $C\cdot A$ et $B\cdot C$ - et c'est tout. Par conséquent, nous écrivons simplement les produits résultants :

C'était facile :)

Réponse : $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(tableau) \right]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \right]$.

En général, je recommande fortement de réaliser cette tâche vous-même. Et une autre tâche similaire qui fait partie des devoirs. Ces pensées apparemment simples vous aideront à pratiquer toutes les étapes clés de la multiplication matricielle.

Mais l'histoire ne s'arrête pas là. Passons aux cas particuliers de multiplication :)

Vecteur de ligne et vecteur de colonne

L'une des opérations matricielles les plus courantes est la multiplication par une matrice comportant une ligne ou une colonne.

Définition. Un vecteur colonne est une matrice de taille $\left[ m\times 1 \right]$, c'est-à-dire composé de plusieurs lignes et d'une seule colonne.

Un vecteur ligne est une matrice de taille $\left[ 1\times n \right]$, c'est-à-dire composé d'une ligne et de plusieurs colonnes.

En fait, nous avons déjà rencontré ces objets. Par exemple, un vecteur tridimensionnel ordinaire issu de la stéréométrie $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ n'est rien de plus qu'un vecteur ligne. D'un point de vue théorique, il n'y a quasiment aucune différence entre les lignes et les colonnes. Il vous suffit d'être prudent lors de la coordination avec les matrices multiplicatrices environnantes.

Tâche 5. Faites la multiplication :

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]\]

Solution. Nous avons ici le produit de matrices appariées : $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Retrouvons cette pièce :

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(tableau) \right]\]

Réponse : $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

Tâche 6. Faites la multiplication :

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]\]

Solution. Encore une fois, tout est cohérent : $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. On compte le produit :

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)( ) r))5 & -19 & 5 \\\end(array) \right]\]

Réponse : $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.

Comme vous pouvez le voir, lorsque nous multiplions un vecteur ligne et un vecteur colonne par une matrice carrée, le résultat donne toujours une ligne ou une colonne de même taille. Ce fait a de nombreuses applications - de la résolution d'équations linéaires à toutes sortes de transformations de coordonnées (qui en fin de compte se résument également à des systèmes d'équations, mais ne parlons pas de choses tristes).

Je pense que tout était évident ici. Passons à la dernière partie de la leçon d'aujourd'hui.

Exponentiation matricielle

Parmi toutes les opérations de multiplication, l'exponentiation mérite une attention particulière : c'est lorsque l'on multiplie plusieurs fois le même objet par lui-même. Les matrices ne font pas exception ; elles peuvent également être élevées à diverses puissances.

De tels travaux sont toujours convenus :

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

Et ils sont désignés exactement de la même manière que les diplômes ordinaires :

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \fin(aligner)\]

À première vue, tout est simple. Voyons à quoi cela ressemble en pratique :

Tâche 7. Élever la matrice à la puissance indiquée :

$((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))$

Solution. Bon, d'accord, construisons. Tout d'abord, mettons les choses au carré :

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(2))=\left[ \begin(matrix ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(tableau) \right] \end(align)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))=((\left[ \begin (matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right])^(3))\cdot \left[ \begin(matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( matrice) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(tableau) \right] \end(align)\]

C'est tout :)

Réponse : $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Problème 8. Élevez la matrice à la puissance indiquée :

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))\]

Solution. Ne pleurez pas maintenant sur le fait que « le diplôme est trop grand », « le monde n’est pas juste » et « les enseignants ont complètement perdu leurs rivages ». C'est en fait simple :

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))=((\left[ \begin (matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrice) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(matrice) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(matrice) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matrice) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(matrice) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrice) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right] \end(align)\ ]

Notez que dans la deuxième ligne, nous avons utilisé l’associativité de multiplication. En fait, nous l'avons utilisé dans la tâche précédente, mais il y était implicite.

Réponse : $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à élever une matrice à une puissance. Le dernier exemple peut être résumé :

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Ce fait est facile à prouver par induction mathématique ou multiplication directe. Cependant, il n'est pas toujours possible de détecter de tels schémas lors de l'élévation à une puissance. Soyez donc prudent : multiplier plusieurs matrices « au hasard » s'avère souvent plus facile et plus rapide que de rechercher une sorte de modèle.

En général, ne cherchez pas de sens supérieur là où il n’y en a pas. En conclusion, considérons l'exponentiation d'une matrice plus grande - jusqu'à $\left[ 3\times 3 \right]$.

Problème 9. Élevez la matrice à la puissance indiquée :

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))\]

Solution. Ne cherchons pas de modèles. Nous travaillons à l'avance :

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))=(( \left[ \begin(matrice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrice) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (matrice)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrice) \right]\]

Commençons par mettre au carré cette matrice :

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 2))=\left[ \begin(matrice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(matrice ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrice) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Maintenant, découpons-le :

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 3))=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(matrice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrice) \right]= \\ & =\left[ \begin( tableau)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

C'est ça. Le problème est résolu.

Réponse : $\left[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$.

Comme vous pouvez le constater, le volume des calculs est devenu plus important, mais le sens n'a pas du tout changé :)

Ceci conclut la leçon. La prochaine fois, nous considérerons l'opération inverse : en utilisant le produit existant, nous rechercherons les facteurs d'origine.

Comme vous l'avez probablement déjà deviné, nous parlerons de la matrice inverse et des méthodes pour la trouver.

Les principales applications des matrices sont liées au fonctionnement multiplication.

Deux matrices sont données :

A – taille mn

B – taille n k

Parce que la longueur d'une ligne dans la matrice A coïncide avec la hauteur d'une colonne dans la matrice B, vous pouvez définir une matrice C=AB, qui aura des dimensions m k. Élément la matrice C, située dans une i-ième ligne arbitraire (i=1,...,m) et une j-ième colonne arbitraire (j=1,...,k), par définition, est égale au produit scalaire de deux vecteurs de
:i-ème ligne de la matrice A et j-ème colonne de la matrice B :

Propriétés:

Comment est définie l’opération de multiplication d’une matrice A par un nombre λ ?

Le produit de A et le nombre λ est une matrice dans laquelle chaque élément est égal au produit de l'élément correspondant de A et λ. Corollaire : Le facteur commun de tous les éléments de la matrice peut être retiré du signe de la matrice.

13. Définition de la matrice inverse et de ses propriétés.

Définition. S'il existe des matrices carrées X et A du même ordre satisfaisant la condition :

où E est la matrice identité du même ordre que la matrice A, alors la matrice X est appelée inverseà la matrice A et est noté A -1.

Propriétés des matrices inverses

Indiquons les propriétés suivantes des matrices inverses :

1) (UNE -1) -1 = UNE ;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (UNE T) -1 = (UNE -1) T .

1. Si la matrice inverse existe, alors elle est unique.

2. Toutes les matrices carrées non nulles n’ont pas d’inverse.

14. Donnez les principales propriétés des déterminants. Vérifier la validité de la propriété |AB|=|A|*|B| pour matrices

UNE = et B=

Propriétés des déterminants :

1. Si une ligne du déterminant est composée de zéros, alors le déterminant lui-même est égal à zéro.

2. Lors de la réorganisation de deux lignes, le déterminant est multiplié par -1.

3. Le déterminant avec deux lignes identiques est égal à zéro.

4. Le facteur commun des éléments de n'importe quelle ligne peut être retiré du signe déterminant.

5. Si les éléments d'une certaine ligne du déterminant A sont présentés comme la somme de deux termes, alors le déterminant lui-même est égal à la somme de deux déterminants B et D. Dans le déterminant B, la ligne spécifiée est constituée des premiers termes, en D - des seconds termes. Les lignes restantes des déterminants B et D sont les mêmes que dans A.

6. La valeur du déterminant ne changera pas si une autre ligne est ajoutée à l'une des lignes, multipliée par n'importe quel nombre.

7. La somme des produits des éléments d'une ligne par des compléments algébriques aux éléments correspondants d'une autre ligne est égale à 0.

8. Le déterminant de la matrice A est égal au déterminant de la matrice transposée A m, c'est-à-dire le déterminant ne change pas lorsqu’il est transposé.

15. Définir le module et l'argument d'un nombre complexe. Écrivez les nombres √3+ sous forme trigonométriqueje, -1+ je.

Chaque nombre complexe z=a+ib peut être associé à un vecteur (a,b)€R 2. La longueur de ce vecteur égale à √a 2 + b 2 est appelée module d'un nombre complexe z et est noté |z|. L'angle φ entre un vecteur donné et la direction positive de l'axe Ox est appelé argument de nombre complexe z et est noté arg z.

Tout nombre complexe z≠0 peut être représenté par z=|z|(cosφ + isinφ).

Cette forme d’écriture d’un nombre complexe est appelée trigonométrique.

√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6) ;

1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).

Chaque nombre complexe Z = a + ib peut se voir attribuer un vecteur (a; b) appartenant à R^2. La longueur de ce vecteur, égale à KB de a^2 + b^2, est appelée module d'un nombre complexe et est désignée par le module Z. L'angle entre ce vecteur et la direction positive de l'axe Ox est appelé le argument du nombre complexe (noté arg Z).