Surfaces de niveau des fonctions de plusieurs variables. Pour résoudre de nombreux problèmes de géométrie descriptive, des lignes de position particulière sont utilisées - des lignes de niveau. Les lignes de niveau sont des lignes sur un plan parallèle au PP. Ligne parallèle à l'horizon PP horizontal

Le sujet de la science statistique et les tâches de la statistique dans scène moderne

Les statistiques viennent du latin « ststus » – état ou position. Statistiques- est une collection de nombres ; Il s'agit d'un type d'activité de collecte et d'analyse de données ; Il s’agit d’une science qui s’est formée au XVIIIe siècle et s’appelait à l’origine « arithmétique politique ». Sujet supplémentaire- le côté quantitatif des phénomènes socio-économiques de masse est inextricablement lié à leur côté qualitatif dans des conditions de lieu et de temps spécifiques. Objet– la société, les processus qui s'y déroulent, c'est-à-dire ensemble de phénomènes sociaux et économiques . Principale méthode de statistiques– loi des grands nombres. Les tâches les plus importantes des statistiques– organise des observations statistiques ; traitement des données et obtention d'un système d'indicateurs généralisés pour l'analyse ; a fourni à l'administration de l'État un accès à l'information pour prendre des décisions de gestion en temps opportun ; publication d’informations pour informer sur les processus sociaux et économiques. Stat. la recherche passe par les étapes suivantes: 1. observation statistique (formes et types de collecte d'informations) ; 2. synthèse et regroupement statistiques (systématisation) 3. calcul et analyse d'indicateurs généraux (valeurs absolues et relatives, valeurs moyennes, indicateurs de variation, indicateurs d'observation d'échantillons, séries dynamiques) ; indicateurs, indices).

Population statistique, ses types. Unités de la population et classification de leurs caractéristiques.

Population statistique- une collection d'objets en quelque sorte homogènes, limités par l'espace et le temps. L'ensemble s'appelle homogène, si une ou plusieurs caractéristiques essentielles étudiées de ses objets sont communes à toutes les unités. La totalité qui inclut les phénomènes différents types, compte hétérogène. Exemple SS- de nombreux étudiants d'une certaine université étudient à temps plein en 2ème année. Cet ensemble est qualitativement homogène, puisqu'il fédère des jeunes étudiant dans une même université en 2e année d'études à temps plein. En même temps les éléments ensemble donné- les étudiants diffèrent les uns des autres par leurs résultats scolaires, leurs capacités, leur santé, etc. Unité agrégée (élément) - cas particulier manifestations du modèle étudié ; il s'agit de l'élément principal de la population statistique, qui est porteur des caractéristiques soumises à enregistrement et base du décompte tenu lors de l'enquête. . Signe- c'est une propriété, une caractéristique d'une unité d'une population statistique. Par exemple, une unité d'une population statistique - « étudiant » présente les caractéristiques suivantes : nom, prénom, patronyme, âge, notes dans les matières, fréquentation des cours, etc. Plus la population est homogène, plus ses unités ont des caractéristiques communes et moins leurs valeurs varient.

Si chaque point X = (x 1, x 2, ... x n) de l'ensemble (X) de points de l'espace à n dimensions est associé à un complètement valeur spécifique valeur variable z, alors ils disent que étant donné fonction de n variables z = f(x 1, x 2, ...x n) = f (X).

Dans ce cas, les variables x 1, x 2, ... x n sont appelées variables indépendantes ou arguments fonctions, z - variable dépendante, et le symbole f désigne droit de la correspondance. L'ensemble (X) s'appelle domaine de définition fonctions (il s’agit d’un certain sous-ensemble de l’espace à n dimensions).

Par exemple, la fonction z = 1/(x 1 x 2) est une fonction de deux variables. Ses arguments sont les variables x 1 et x 2, et z est la variable dépendante. Le domaine de définition est l'ensemble du plan de coordonnées, à l'exception des droites x 1 = 0 et x 2 = 0, c'est-à-dire sans axes x et ordonnées. En substituant n'importe quel point du domaine de définition dans la fonction, selon la loi de correspondance, nous obtenons un certain nombre. Par exemple, en prenant le point (2 ; 5), c'est-à-dire x 1 = 2, x 2 = 5, on obtient
z = 1/(2*5) = 0,1 (c'est-à-dire z(2; 5) = 0,1).

Une fonction de la forme z = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b, où a 1, a 2,… et n, b sont des nombres constants, est appelée linéaire. Elle peut être considérée comme la somme de n fonctions linéaires des variables x 1, x 2, ... x n. Toutes les autres fonctions sont appelées non linéaire.

Par exemple, la fonction z = 1/(x 1 x 2) est non linéaire et la fonction z =
= x 1 + 7x 2 - 5 – linéaire.

Toute fonction z = f (X) = f(x 1, x 2, ... x n) peut être associée à n fonctions d'une variable si l'on fixe les valeurs de toutes les variables sauf une.

Par exemple, les fonctions de trois variables z = 1/(x 1 x 2 x 3) peuvent être associées à trois fonctions d'une variable. Si l'on fixe x 2 = a et x 3 = b, alors la fonction prendra la forme z = 1/(abx 1) ; si l'on fixe x 1 = a et x 3 = b, alors cela prendra la forme z = 1/(abx 2) ; si on fixe x 1 = a et x 2 = b, alors cela prendra la forme z = 1/(abx 3). DANS dans ce cas les trois fonctions ont même regard. Ce n'est pas toujours le cas. Par exemple, si pour une fonction de deux variables on fixe x 2 = a, alors elle prendra la forme z = 5x 1 a, c'est-à-dire fonction de puissance, et si nous corrigeons x 1 = a, alors cela prendra la forme, c'est-à-dire fonction exponentielle.

Calendrier fonction de deux variables z = f(x, y) est l'ensemble des points dans l'espace tridimensionnel (x, y, z), dont l'application z est liée à l'abscisse x et à l'ordonnée y par une relation fonctionnelle
z = f (x, y). Ce graphique représente une surface dans un espace tridimensionnel (par exemple, comme dans la figure 5.3).

On peut prouver que si une fonction est linéaire (c'est-à-dire z = ax + by + c), alors son graphique est un plan dans un espace tridimensionnel. Autres exemples Graphiques 3D Il est recommandé d'étudier de manière indépendante en utilisant le manuel de Kremer (pp. 405-406).

S'il y a plus de deux variables (n variables), alors calendrier La fonction est un ensemble de points dans un espace dimensionnel (n+1) pour lequel la coordonnée x n+1 est calculée conformément à une loi fonctionnelle donnée. Un tel graphe s'appelle hypersurface(Pour fonction linéaire – hyperplan), et il représente aussi une abstraction scientifique (il est impossible de la représenter).

Figure 5.3 – Graphique d'une fonction de deux variables dans un espace tridimensionnel

Surface plane une fonction de n variables est un ensemble de points dans un espace à n dimensions tel qu'en tous ces points la valeur de la fonction est la même et égale à C. Le nombre C lui-même dans ce cas est appelé niveau.

Habituellement, pour une même fonction, il est possible de construire une infinité de surfaces planes (correspondant à différents niveaux).

Pour une fonction de deux variables, la surface plane prend la forme lignes de niveau.

Par exemple, considérons z = 1/(x 1 x 2). Prenons C = 10, soit 1/(x 1 x 2) = 10. Alors x 2 = 1/(10x 1), c'est-à-dire sur le plan, la ligne de niveau prendra la forme illustrée à la figure 5.4 ligne continue. En prenant un autre niveau, par exemple C = 5, nous obtenons la ligne de niveau sous la forme d'un graphique de la fonction x 2 = 1/(5x 1) (représentée par une ligne pointillée sur la figure 5.4).

Figure 5.4 - Lignes de niveau de fonction z = 1/(x 1 x 2)

Regardons un autre exemple. Soit z = 2x 1 + x 2. Prenons C = 2, c'est-à-dire 2x 1 + x 2 = 2. Alors x 2 = 2 - 2x 1, c'est-à-dire sur le plan la ligne de niveau prendra la forme d'une ligne droite, représentée sur la figure 5.5 par un trait plein. En prenant un autre niveau, par exemple C = 4, on obtient une ligne de niveau sous la forme d'une droite x 2 = 4 - 2x 1 (représentée par une ligne pointillée sur la figure 5.5). La ligne de niveau pour 2x 1 + x 2 = 3 est représentée sur la figure 5.5 sous forme de ligne pointillée.

Il est facile de vérifier que pour une fonction linéaire de deux variables, toute ligne de niveau sera une ligne droite sur le plan et que toutes les lignes de niveau seront parallèles entre elles.

Figure 5.5 - Lignes de niveau de fonction z = 2x 1 + x 2

Définir une fonction de plusieurs variables

En considérant les fonctions d’une variable, nous avons souligné que lorsqu’on étudie de nombreux phénomènes, on doit rencontrer des fonctions de deux ou plusieurs variables indépendantes. Donnons quelques exemples.

Exemple 1. Carré S rectangle dont les côtés sont égaux X Et à, s'exprime par la formule S = xy. Chaque paire de valeurs X Et à correspond à une certaine valeur de surface S; S est fonction de deux variables.

Exemple 2. Volume V parallélépipède rectangle dont les arêtes sont égales X, à, z, s'exprime par la formule V= xyz. Ici V il existe une fonction de trois variables X, à, z.

Exemple 3. Gamme R. vol de projectiles tirés à la vitesse initiale v 0 d'une arme dont le canon est incliné par rapport à l'horizontale d'un angle  est exprimé par la formule
(si l'on néglige la résistance de l'air). Ici g– l'accélération de la gravité. Pour chaque paire de valeurs v 0 et  cette formule donne une certaine valeur R., c'est-à-dire R. est fonction de deux variables v 0 et .

Exemple 4.
. Ici Et il existe une fonction de quatre variables X, à, z, t.

Définition 1. Si chaque paire ( X, à) valeurs de deux variables indépendantes l'une de l'autre X Et à d'une certaine zone de leur changement D, correspond à une certaine valeur de la quantité z, alors nous disons que z il y a une fonction deux variables indépendantes x Et à, défini dans la zone D.

Symboliquement, une fonction de deux variables est notée comme suit :

z= f(x, oui), z = F(x, oui), etc.

Une fonction de deux variables peut être spécifiée, par exemple, à l'aide d'un tableau ou de manière analytique - à l'aide d'une formule, comme cela a été fait dans les exemples discutés ci-dessus. Sur la base de la formule, vous pouvez créer un tableau de valeurs de fonction pour certaines paires de valeurs de variables indépendantes. Ainsi, pour le premier exemple, vous pouvez créer le tableau suivant :

S = xy

Dans ce tableau, à l'intersection d'une ligne et d'une colonne correspondant à certaines valeurs X Et à, estampillé valeur correspondante fonctions S. Si dépendance fonctionnelle z= f(x, oui) est obtenu à la suite de mesures de la quantité z Lors de l'étude expérimentale d'un phénomène, on obtient immédiatement un tableau qui détermine z en fonction de deux variables. Dans ce cas, la fonction est spécifiée uniquement par le tableau.

Comme dans le cas d’une variable indépendante, une fonction de deux variables n’existe généralement pas pour les valeurs X Et à.

Définition 2. Un ensemble de paires ( X, à) valeurs X Et à, auquel la fonction est déterminée z= f(x, oui), appelé domaine de définition ou domaine d'existence cette fonction.

Le domaine de définition d'une fonction est clairement illustré géométriquement. Si chaque paire de valeurs X Et à nous le représenterons avec un point M.(X, à) dans l'avion Ohoo, alors le domaine de définition de la fonction sera représenté comme une certaine collection de points sur le plan. Nous appellerons également cet ensemble de points le domaine de définition de la fonction. En particulier, le domaine de définition peut être le plan entier. Dans ce qui suit, nous traiterons principalement de domaines tels que parties de l'avion, délimité par des lignes. La ligne limite cette zone, nous appellerons frontière zones. Les points de la région qui ne se trouvent pas sur la frontière seront appelés interne points de la région. Une zone composée uniquement de points intérieurs est appelée ouvrir ou ouvrir. Si les points limites appartiennent également à la région, alors la région est appelée fermé. Une zone est dite délimitée s’il existe une telle constante AVEC, que la distance de n'importe quel point M. zone depuis l'origine À PROPOS moins AVEC, c'est-à-dire | OM| < AVEC.

Exemple 5. Déterminer le domaine naturel d'une fonction

z = 2X – à.

Expression analytique 2 X – à a du sens pour n'importe quelle valeur X Et à. Par conséquent, le domaine naturel de définition de la fonction est le plan entier Ohoo.

Exemple 6.
.

Pour z avait une valeur réelle, il faut qu'il y ait un nombre non négatif sous la racine, c'est-à-dire X Et à doit satisfaire l’inégalité 1 – X 2 – à 2  0, ou X 2 + à 2  1.

Tous les points M.(X, à), dont les coordonnées satisfont à l'inégalité spécifiée, se trouvent dans un cercle de rayon 1 avec un centre à l'origine et sur la limite de ce cercle.

Exemple 7.
.

Puisque les logarithmes ne sont définis que pour les nombres positifs, l'inégalité doit être satisfaite X + à> 0, ou à >  X.

Cela signifie que le domaine de définition de la fonction z est la moitié du plan située au-dessus de la ligne à =  X, sans compter la ligne droite elle-même.

Exemple 8. Aire d'un triangle S représente la fonction de base X et les hauteurs à: S= xy/2.

Le domaine de définition de cette fonction est le domaine X  0, à 0 (puisque la base d'un triangle et sa hauteur ne peuvent être ni négatives ni nulles). A noter que le domaine de définition de la fonction considérée ne coïncide pas avec le domaine naturel de définition de l'expression analytique avec laquelle la fonction est spécifiée, puisque le domaine naturel de définition de l'expression xy/ 2 est évidemment l'avion entier Ohoo.

La définition d’une fonction à deux variables peut être facilement généralisée au cas de trois variables ou plus.

Définition 3. Si chaque ensemble considéré de valeurs variables X, à, z, …, toi, t correspond à une certaine valeur variable w, alors nous appellerons w fonction des variables indépendantes X, à, z, …, toi, t et écrire w= F(X, à, z, …, toi, t) ou w= f(X, à, z, …, toi, t) etc.

Tout comme pour une fonction à deux variables, on peut parler du domaine de définition d'une fonction à trois, quatre variables ou plus.

Ainsi, par exemple, pour la fonction de trois zone variable La définition est une certaine collection de triplets de nombres ( X, à, z). Notons tout de suite que chaque triplet de nombres définit un certain point M.(X, à, z) dans l'espace Ohooz. Par conséquent, le domaine de définition d'une fonction à trois variables est un certain ensemble de points dans l'espace.

De même, on peut parler du domaine de définition d'une fonction à quatre variables toi= f(x, oui, z, t) comme pour une collection de quadruples de nombres ( x, oui, z, t). Cependant, le domaine de définition d'une fonction de quatre ou plus Les variables ne permettent plus une simple interprétation géométrique.

L'exemple 2 montre une fonction de trois variables définies pour toutes les valeurs X, à, z.

L'exemple 4 montre une fonction de quatre variables.

Exemple 9. .

Ici w– fonction de quatre variables X, à, z, Et, défini pour les valeurs de variables qui satisfont la relation :

Notion de fonction de plusieurs variables

Introduisons la notion de fonction à plusieurs variables.

Définition 1. Que chaque point M.à partir d'un ensemble de points ( M.) Espace euclidien Em selon certaines lois, un certain nombre est mis en correspondance Età partir d'un ensemble numérique U. Alors on dira ça sur le plateau ( M.) la fonction est donnée et =f(M). De plus, les ensembles ( M.) Et U sont appelés respectivement le domaine de définition (affectation) et le domaine de changement de la fonction f(M).

Comme vous le savez, une fonction d'une variable à = f(x) est représenté sur le plan par une ligne. Dans le cas de deux variables, le domaine de définition ( M. n) fonctions z = f(x, y) représente un certain ensemble de points sur le plan de coordonnées Ohoo(Fig. 8.1). Coordonner z appelé postuler, puis la fonction elle-même est représentée comme une surface dans l'espace E3 . De même, la fonction de T variables

défini sur le plateau ( M.) Espace euclidien Em, représente une hypersurface dans l'espace euclidien Em+1.

Certains types de fonctions de plusieurs variables

Regardons des exemples de fonctions de plusieurs variables et trouvons leurs domaines de définition.

E3 . Le domaine de définition de cette fonction est l'ensemble des points du plan Ooh. La plage de cette fonction est l'intervalle X ; double privé[,] Oui;

double privé[,] Z;

/// // Liste des isolignes Liste publique /// Lignes ( get; set; ) /// /// /// Préparation /// /// Tableau de niveaux Coordonnées de la zone X Coordonnées Y de la zone

Fonction grille

public LinesOfLevels(double _levels, double[,] _x, double[,] _y, double[,] _z) ( Lignes = nouvelle liste< J - 1; j++) for (int k = 0; k < K - 1; k++) { Ceil ir = new Ceil(j, k, X, Y, Z); for (int l = 0; l < Lines.Count(); l++) ir.AddIntoLineLevel(Lines[l]); } } } ///

(_levels.Count());

foreach (double l dans _levels) ( Lines.Add(new LineLevel(l)); ) X = _x; Oui = _y ; (); } } ///

Z = _z ;

J = X.GetLength(0); K = X.GetLength(1); (); } } ///

) ///

/// Calcul des isolignes.

///

public void Calculate() ( pour (int j = 0; j

/// Une isoligne /// public class LineLevel ( // Liste de points isolignes sous forme de paires de points // appartenant à une même cellule quadrangulaire public List ///

/// Paires ( get; set; ) // Niveau d'isoline public double Level ( get; set; ) public LineLevel(double _level) ( Level = _level; Pairs = new List /// /// Une paire de points isolignes appartenant à la même cellule /// /// classe publique PairOfPoints (liste publique /// Points ( get; set; ) public PairOfPoints() ( Points = nouvelle liste /// /// Angle de cellule./// Indices pour définir un coin d'une cellule quadrilatère ///

structure interne Dot ( internal int j ( get; set; ) internal int k ( get; set; ) internal Dot(int _j, int _k) ( j = _j; k = _k; ) ) /// /// Cellule de grille quadrangulaire. Détermine la cellule actuelle./// Calcule les segments isolignes dans une cellule ///

/// classe interne Ceil ( // Coins de cellule private Dot d = new Dot; // Points de coordonnées des coins private Point r = new Point; // Tableaux de coordonnées de la zone entière private double[,] X; private double[,] Y ; // Fonction de grille de tableau private double[,] Z; /// point privé dotPoint(Dot _d) ( return new Point(X[_d.j, _d.k], Y[_d.j, _d.k]); ) ///

/// Définition de la fonction dans angle donné ///

/// classe interne Ceil ( // Coins de cellule private Dot d = new Dot; // Points de coordonnées des coins private Point r = new Point; // Tableaux de coordonnées de la zone entière private double[,] X; private double[,] Y ; // Fonction de grille de tableau private double[,] Z; /// privé double dotZ(Point _d) ( return Z[_d.j, _d.k]; ) ///

/// Définition d'une paire de points par lesquels passe la ligne de niveau /// Les points sur les limites des cellules sont déterminés par interpolation linéaire.

/// /// /// Valeur du niveau de fonctionnalité< _l) || (dotZ(d) >private PairOfPoints ByLevel(double _l) ( PairOfPoints p = new PairOfPoints(); // Edge 0 if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d)<= _l)) { double t = (_l - dotZ(d)) / (dotZ(d) - dotZ(d)); double x = r.X * t + r.X * (1 - t); double y = r.Y * t + r.Y * (1 - t); p.Points.Add(new Point(x, y)); } // Ребро 1 if ((dotZ(d) >_l && pointZ(d)< _l) || (dotZ(d) >private PairOfPoints ByLevel(double _l) ( PairOfPoints p = new PairOfPoints(); // Edge 0 if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d)<= _l)) { double t = (_l - dotZ(d)) / (dotZ(d) - dotZ(d)); double x = r.X * t + r.X * (1 - t); double y = r.Y * t + r.Y * (1 - t); p.Points.Add(new Point(x, y)); if (p.Points.Count == 2) return p; } // Ребро 2 if ((dotZ(d) >_l && pointZ(d)< _l) || (dotZ(d) >private PairOfPoints ByLevel(double _l) ( PairOfPoints p = new PairOfPoints(); // Edge 0 if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d)<= _l)) { double t = (_l - dotZ(d)) / (dotZ(d) - dotZ(d)); double x = r.X * t + r.X * (1 - t); double y = r.Y * t + r.Y * (1 - t); p.Points.Add(new Point(x, y)); if (p.Points.Count == 2) return p; } // Ребро 3 if ((dotZ(d) >_l && pointZ(d)< _l) || (dotZ(d) >private PairOfPoints ByLevel(double _l) ( PairOfPoints p = new PairOfPoints(); // Edge 0 if ((dotZ(d) >= _l && dotZ(d)<= _l)) { double t = (_l - dotZ(d)) / (dotZ(d) - dotZ(d)); double x = r.X * t + r.X * (1 - t); double y = r.Y * t + r.Y * (1 - t); p.Points.Add(new Point(x, y)); } return p; } ///

= _l && pointZ(d)

/// /// Ajout d'une paire de points à la droite d'équation /// Ligne de niveau
vide interne AddIntoLineLevel(LineLevel _lL) ( PairOfPoints lp = ByLevel(_lL.Level); if (lp.Points.Count > 0) _lL.Pairs.Add(lp); ) ) ) Pour démontrer le travail de la classe, un petit application d'essai

WPF, qui construit des lignes de niveau pour une fonction de la forme : z = x^2 + y^2 sur une grille de 10 x 10.

Isolines Z = X^2+Y^2

Et le fichier de code MainWindow.xaml.cs :

Utilisation de System.Linq ; en utilisant System.Windows ; en utilisant System.Windows.Controls ; en utilisant System.Windows.Media ; en utilisant System.Windows.Shapes ; espace de noms WpfLinesLevels ( ///

/// Logique d'interaction pour MainWindow.xaml ///< 10; k++) for (int j = 0; j < 10; j++) { X = j; Y = k; Z = j * j + k * k; } // Создание изолиний LinesOfLevels lol = new LinesOfLevels(levels, X, Y, Z); // Их расчет lol.Calculate(); // Построение DrowLevelLine(lol, X, Y); } ///

public partial class MainWindow: Window ( private double Xmax; private double Xmin; private double Ymax; private double Ymin; private double xSt; private double ySt; public MainWindow() ( InitializeComponent(); // Définition des niveaux qui seront affichés en double niveaux = ( 5, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 ); double[,] X = nouveau double[,] Y = nouveau double[,] Z = nouveau double ; ; // Variables pour convertir les coordonnées physiques en coordonnées d'écran Xmin = 0; xSt = 525 / (Xmax - Xmin tableaux de coordonnées et de fonctions pour (int k = 0; k)

/// /// Méthode de construction d'isolignes /// /// Objet calculé avec isolignes /// tableau de coordonnées X private void DrowLevelLine(LinesOfLevels lL, double[,] x, double[,] y) ( Canvas can = new Canvas(); foreach (LineLevel l in lL.Lines) ( foreach (PairOfPoints pp in l.Pairs) ( if ( pp.Points.Count() == 2) ( Ligne pl = new Line(); pl.Stroke = new SolidColorBrush(Colors.BlueViolet); pl.X1 = xCalc(pp.Points.X); pl.X2 = xCalc (pp.Points.X); pl.Y1 = yCalc(pp.Points.Y); pl.Y2 = yCalc(pp.Points.Y); can.Children.Add(pl) ) can.Margin; 10, 10, 10, 10); can.VerticalAlignment = VerticalAlignment.Stretch; can.HorizontalAlignment = HorizontalAlignment.Stretch;

/// Conversion de la coordonnée physique X en coordonnée d'écran ///

/// Coordonnée physique X /// Coordonnée X de l'écran privé double xCalc(double _x) ( return xSt * (_x - Xmin); ) ///

/// Conversion de la coordonnée Y physique en coordonnée d'écran ///

/// Coordonnée physique Y /// Coordonnée Y de l'écran privé double yCalc(double _y) ( return ySt * (Ymax - _y); ) ) )
Le résultat de l'exemple de test est présenté dans la figure.