Conversion de nombres en différents systèmes numériques. Conversion de nombres en différents systèmes numériques avec des solutions. Types de périphériques
À l'aide de cette calculatrice en ligne, vous pouvez convertir des nombres entiers et fractionnaires d'un système numérique à un autre. Une solution détaillée avec des explications est donnée. Pour traduire, entrez le numéro d'origine, spécifiez la base du système numérique du numéro d'origine, spécifiez la base du système numérique dans lequel vous souhaitez convertir le numéro et cliquez sur le bouton "Traduire". Voir la partie théorique et les exemples numériques ci-dessous.
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Conversion d'entiers et de fractions d'un système numérique à un autre - théorie, exemples et solutions
Il existe des systèmes de numérotation positionnels et non positionnels. Le système numérique arabe, que nous utilisons dans la vie quotidienne, est positionnel, mais pas le système numérique romain. Dans les systèmes de numérotation positionnelle, la position d'un nombre détermine de manière unique sa grandeur. Considérons cela en utilisant l'exemple du nombre 6372 dans le système numérique décimal. Numérotons ce nombre de droite à gauche en partant de zéro :
Alors le nombre 6372 peut être représenté comme suit :
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Le nombre 10 détermine le système numérique (dans ce cas, c'est 10). Les valeurs de la position d'un nombre donné sont prises comme puissances.
Considérons le nombre décimal réel 1287,923. Numérotons-le à partir de la position zéro du nombre à partir de la virgule décimale vers la gauche et la droite :
Alors le nombre 1287.923 peut être représenté comme :
1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10-3.
En général, la formule peut être représentée comme suit :
C n s n + C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
où C n est un entier en position n, D -k - nombre fractionnaire en position (-k), s- système de numérotation.
Quelques mots sur les systèmes numériques. Un nombre dans le système numérique décimal se compose de plusieurs chiffres (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), dans le système numérique octal, il se compose de plusieurs chiffres. (0,1, 2,3,4,5,6,7), dans le système de numérotation binaire - à partir d'un ensemble de chiffres (0,1), dans le système de numérotation hexadécimal - à partir d'un ensemble de chiffres (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), où A,B,C,D,E,F correspondent aux nombres 10,11, 12,13,14,15. Dans le tableau Tab.1, les nombres sont présentés dans différents systèmes numériques.
| Tableau 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notation | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | UN |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Conversion de nombres d'un système numérique à un autre
Pour convertir des nombres d'un système numérique à un autre, le moyen le plus simple consiste d'abord à convertir le nombre au système numérique décimal, puis à convertir le système numérique décimal au système numérique requis.
Conversion de nombres de n'importe quel système numérique vers le système numérique décimal
À l'aide de la formule (1), vous pouvez convertir des nombres de n'importe quel système numérique en système numérique décimal.
Exemple 1. Convertissez le nombre 1011101.001 du système de nombres binaires (SS) en SS décimal. Solution:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Exemple2. Convertissez le nombre 1011101.001 du système de nombres octal (SS) en SS décimal. Solution:
Exemple 3 . Convertissez le nombre AB572.CDF du système numérique hexadécimal en SS décimal. Solution:
Ici UN-remplacé par 10, B- à 11 heures, C- à 12 heures, F- à 15 heures.
Conversion de nombres du système numérique décimal vers un autre système numérique
Pour convertir des nombres du système numérique décimal vers un autre système numérique, vous devez convertir séparément la partie entière du nombre et la partie fractionnaire du nombre.
La partie entière d'un nombre est convertie du SS décimal en un autre système numérique en divisant séquentiellement la partie entière du nombre par la base du système numérique (pour le SS binaire - par 2, pour le SS 8-aire - par 8, pour 16 -ary SS - par 16, etc. ) jusqu'à l'obtention d'un résidu entier, inférieur à la base CC.
Exemple 4 . Convertissons le nombre 159 de SS décimal en SS binaire :
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Comme on peut le voir sur la Fig. 1, le nombre 159 divisé par 2 donne le quotient 79 et le reste 1. De plus, le nombre 79 divisé par 2 donne le quotient 39 et le reste 1, etc. De ce fait, en construisant un nombre à partir des restes de division (de droite à gauche), on obtient un nombre en SS binaire : 10011111 . On peut donc écrire :
159 10 =10011111 2 .
Exemple 5 . Convertissons le nombre 615 de SS décimal en SS octal.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Lors de la conversion d'un nombre d'un SS décimal en un SS octal, vous devez diviser séquentiellement le nombre par 8 jusqu'à obtenir un reste entier inférieur à 8. En conséquence, en construisant un nombre à partir des restes de division (de droite à gauche), nous obtenons un nombre en SS octal : 1147 (voir fig. 2). On peut donc écrire :
615 10 =1147 8 .
Exemple 6 . Convertissons le nombre 19673 du système numérique décimal en SS hexadécimal.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Comme le montre la figure 3, en divisant successivement le nombre 19673 par 16, les restes sont 4, 12, 13, 9. Dans le système numérique hexadécimal, le nombre 12 correspond à C, le nombre 13 à D. Par conséquent, notre Le nombre hexadécimal est 4CD9.
Pour convertir des fractions décimales régulières (un nombre réel avec une partie entière nulle) en un système numérique de base s, il faut multiplier successivement ce nombre par s jusqu'à ce que la partie fractionnaire contienne un zéro pur, ou que l'on obtienne le nombre de chiffres requis . Si, lors de la multiplication, un nombre avec une partie entière autre que zéro est obtenu, alors cette partie entière n'est pas prise en compte (elles sont incluses séquentiellement dans le résultat).
Regardons ce qui précède avec des exemples.
Exemple 7 . Convertissons le nombre 0,214 du système numérique décimal en SS binaire.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Comme le montre la figure 4, le nombre 0,214 est multiplié séquentiellement par 2. Si le résultat de la multiplication est un nombre avec une partie entière autre que zéro, alors la partie entière est écrite séparément (à gauche du nombre), et le nombre est écrit avec une partie entière nulle. Si la multiplication donne un nombre avec une partie entière nulle, alors un zéro est écrit à sa gauche. Le processus de multiplication se poursuit jusqu'à ce que la partie fractionnaire atteigne un zéro pur ou que nous obtenions le nombre de chiffres requis. En écrivant les nombres en gras (Fig. 4) de haut en bas, nous obtenons le nombre requis dans le système de nombres binaires : 0. 0011011 .
On peut donc écrire :
0.214 10 =0.0011011 2 .
Exemple 8 . Convertissons le nombre 0,125 du système numérique décimal en SS binaire.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Pour convertir le nombre 0,125 de SS décimal en binaire, ce nombre est multiplié séquentiellement par 2. Dans la troisième étape, le résultat est 0. Par conséquent, le résultat suivant est obtenu :
0.125 10 =0.001 2 .
Exemple 9 . Convertissons le nombre 0,214 du système numérique décimal en SS hexadécimal.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
En suivant les exemples 4 et 5, on obtient les nombres 3, 6, 12, 8, 11, 4. Mais en hexadécimal SS, les nombres 12 et 11 correspondent aux nombres C et B. On a donc :
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Exemple 10 . Convertissons le nombre 0,512 du système numérique décimal en SS octal.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Reçu:
0.512 10 =0.406111 8 .
Exemple 11 . Convertissons le nombre 159,125 du système numérique décimal en SS binaire. Pour ce faire, on traduit séparément la partie entière du nombre (Exemple 4) et la partie fractionnaire du nombre (Exemple 8). En combinant davantage ces résultats, nous obtenons :
159.125 10 =10011111.001 2 .
Exemple 12 . Convertissons le nombre 19673.214 du système numérique décimal en SS hexadécimal. Pour ce faire, on traduit séparément la partie entière du nombre (Exemple 6) et la partie fractionnaire du nombre (Exemple 9). De plus, en combinant ces résultats, nous obtenons.
Concepts de base des systèmes numériques
Un système numérique est un ensemble de règles et de techniques permettant d'écrire des nombres à l'aide d'un ensemble de caractères numériques. Le nombre de chiffres requis pour écrire un nombre dans un système est appelé la base du système numérique. La base du système s'écrit à droite du nombre en indice : ; ; etc.
Il existe deux types de systèmes numériques :
positionnel, lorsque la valeur de chaque chiffre d'un nombre est déterminée par sa position dans l'enregistrement du numéro ;
non positionnel, lorsque la valeur d'un chiffre dans un nombre ne dépend pas de sa place dans la notation du nombre.
Un exemple de système numérique non positionnel est le système romain : nombres IX, IV, XV, etc. Un exemple de système de numérotation positionnelle est le système décimal utilisé quotidiennement.
Tout entier du système positionnel peut s'écrire sous forme polynomiale :
où S est la base du système numérique ;
Chiffres d'un nombre écrit dans un système numérique donné ;
n est le nombre de chiffres du nombre.
Exemple. Nombre s'écrira sous forme polynomiale comme suit :
Types de systèmes numériques
Le système de numération romaine est un système non positionnel. Il utilise les lettres de l’alphabet latin pour écrire des nombres. Dans ce cas, la lettre I signifie toujours un, la lettre V signifie cinq, X signifie dix, L signifie cinquante, C signifie cent, D signifie cinq cents, M signifie mille, etc. Par exemple, le nombre 264 s’écrit CCLXIV. Lors de l'écriture de nombres dans le système de numération romain, la valeur d'un nombre est la somme algébrique des chiffres qu'il contient. Dans ce cas, les chiffres de l'enregistrement numérique sont, en règle générale, classés par ordre décroissant de leurs valeurs et il n'est pas permis d'écrire plus de trois chiffres identiques côte à côte. Lorsqu'un chiffre de valeur plus grande est suivi d'un chiffre de valeur plus petite, sa contribution à la valeur du nombre dans son ensemble est négative. Des exemples typiques illustrant les règles générales d'écriture des nombres dans le système de chiffres romains sont donnés dans le tableau.
Tableau 2. Écriture des nombres dans le système de chiffres romains
|
III |
||||
|
VII |
VIII |
|||
|
XIII |
XVIII |
XIXème |
XXII |
|
|
XXXIV |
XXXIX |
XCIX |
||
|
200 |
438 |
649 |
999 |
1207 |
|
CDXXXVIII |
DCXLIX |
CMXCIX |
MCCVII |
|
|
2045 |
3555 |
3678 |
3900 |
3999 |
|
MMXLV |
MMMDLV |
MMMDCLXXVIII |
MMMCM |
MMMCMXCIX |
L'inconvénient du système romain est le manque de règles formelles pour écrire des nombres et, par conséquent, des opérations arithmétiques avec des nombres à plusieurs chiffres. En raison de son inconvénient et de sa grande complexité, le système de numérotation romaine est actuellement utilisé là où cela convient vraiment : dans la littérature (numérotation des chapitres), dans la conception de documents (séries de passeports, titres, etc.), à des fins décoratives sur un cadran de montre. et dans un certain nombre d'autres cas.
Le système de nombres décimaux est actuellement le plus connu et le plus utilisé. L’invention du système de nombres décimaux est l’une des principales réalisations de la pensée humaine. Sans cela, la technologie moderne pourrait difficilement exister, et encore moins voir le jour. La raison pour laquelle le système de nombres décimaux est devenu généralement accepté n’est pas du tout mathématique. Les gens sont habitués à compter selon le système décimal parce qu’ils ont 10 doigts sur les mains.
L'image ancienne des chiffres décimaux (Fig. 1) n'est pas fortuite : chaque chiffre représente un nombre par le nombre d'angles qu'il contient. Par exemple, 0 - pas de coins, 1 - un coin, 2 - deux coins, etc. L'écriture des nombres décimaux a subi des changements importants. La forme que nous utilisons a été établie au XVIe siècle.
Le système décimal est apparu pour la première fois en Inde vers le 6ème siècle après JC. La numérotation indienne utilisait neuf caractères numériques et un zéro pour indiquer une position vide. Dans les premiers manuscrits indiens qui nous sont parvenus, les nombres étaient écrits dans l'ordre inverse - le nombre le plus significatif était placé à droite. Mais il est vite devenu une règle de placer un tel numéro sur le côté gauche. Une importance particulière a été accordée au symbole zéro, introduit pour le système de notation de position. La numérotation indienne, dont zéro, a survécu jusqu'à ce jour. En Europe, les méthodes hindoues d'arithmétique décimale se sont répandues au début du XIIIe siècle. grâce aux travaux du mathématicien italien Léonard de Pise (Fibonacci). Les Européens ont emprunté le système de numérotation indien aux Arabes, l'appelant arabe. Cette appellation historique erronée perdure encore aujourd’hui.
Le système décimal utilise dix chiffres — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 — ainsi que les symboles « + » et « – » pour indiquer le signe d'un nombre, et un virgule ou point pour séparer les parties entières et décimales.
Les ordinateurs utilisent un système de nombres binaires, sa base est le nombre 2. Pour écrire des nombres dans ce système, seuls deux chiffres sont utilisés - 0 et 1. Contrairement à une idée fausse populaire, le système de nombres binaires n'a pas été inventé par des ingénieurs en conception informatique, mais par mathématiciens et philosophes bien avant l'émergence des ordinateurs, aux XVIIe et XIXe siècles. La première discussion publiée sur le système de nombres binaires est celle du prêtre espagnol Juan Caramuel Lobkowitz (1670). L'attention générale sur ce système a été attirée par un article du mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz, publié en 1703. Il expliquait les opérations binaires d'addition, de soustraction, de multiplication et de division. Leibniz n'a pas recommandé l'utilisation de ce système pour des calculs pratiques, mais a souligné son importance pour la recherche théorique. Au fil du temps, le système de nombres binaires devient bien connu et se développe.
Le choix d'un système binaire à utiliser en informatique s'explique par le fait que les éléments électroniques - les déclencheurs qui composent les puces informatiques - ne peuvent être que dans deux états de fonctionnement.
En utilisant le système de codage binaire, vous pouvez enregistrer toutes les données et connaissances. Ceci est facile à comprendre si l’on rappelle le principe d’encodage et de transmission des informations en code Morse. Un opérateur télégraphique, utilisant seulement deux symboles de cet alphabet - les points et les tirets, peut transmettre presque n'importe quel texte.
Le système binaire est pratique pour un ordinateur, mais peu pratique pour une personne : les nombres sont longs et difficiles à écrire et à mémoriser. Bien sûr, vous pouvez convertir le nombre au système décimal et l'écrire sous cette forme, puis, lorsque vous devez le reconvertir, mais toutes ces traductions demandent beaucoup de travail. Par conséquent, des systèmes numériques liés au binaire sont utilisés - octal et hexadécimal. Pour écrire des nombres dans ces systèmes, 8 et 16 chiffres sont respectivement nécessaires. En 16 térases, les 10 premiers chiffres sont communs, puis les lettres latines majuscules sont utilisées. Le chiffre hexadécimal A correspond au nombre décimal 10, l'hexadécimal B au nombre décimal 11, etc. L'utilisation de ces systèmes s'explique par le fait que le passage à l'écriture d'un nombre dans l'un de ces systèmes à partir de sa notation binaire est très simple. Vous trouverez ci-dessous un tableau de correspondance entre les nombres écrits dans différents systèmes.
Tableau 3. Correspondance des nombres écrits dans différents systèmes numériques
|
Décimal |
Binaire |
Octal |
Hexadécimal |
|
001 |
|||
|
010 |
|||
|
011 |
|||
|
100 |
|||
|
101 |
|||
|
110 |
|||
|
111 |
|||
|
1000 |
|||
|
1001 |
|||
|
1010 |
|||
|
1011 |
|||
|
1100 |
|||
|
1101 |
D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/ |
||
|
1110 |
|||
|
1111 |
|||
|
10000 |
Règles de conversion des nombres d'un système numérique à un autre
La conversion de nombres d’un système numérique à un autre est une partie importante de l’arithmétique automatique. Considérons les règles de base de la traduction.
1. Pour convertir un nombre binaire en nombre décimal, il faut l'écrire sous la forme d'un polynôme, constitué des produits des chiffres du nombre et de la puissance correspondante de 2, et le calculer selon les règles de arithmétique décimale :
Lors de la traduction, il est pratique d'utiliser la table des puissances de deux :
Tableau 4. Pouvoirs du numéro 2
|
n (degré) |
|||||||||||
|
1024 |
Exemple. Convertissez le nombre au système de nombres décimaux.
2. Pour convertir un nombre octal en nombre décimal, il faut l'écrire sous la forme d'un polynôme constitué des produits des chiffres du nombre et de la puissance correspondante du nombre 8, et le calculer selon les règles de l'arithmétique décimale :
Lors de la traduction, il est pratique d'utiliser le tableau des puissances de huit :
Tableau 5. Pouvoirs du nombre 8
|
n (degré) |
Systèmes numériques utilisés dans les ordinateurs numériques
L'ordinateur utilise les systèmes numériques suivants :
1. Système de numérotation binaire - comme fonctionnement;
2. Système de nombres décimaux - pour enregistrer les informations initiales et afficher les résultats ;
3. Système de numérotation octale ;
4. Système de nombres hexadécimaux ;
5. Système de nombres mixtes (binaire-décimal).
Les systèmes de nombres octaux et hexadécimaux sont auxiliaires. Ils sont utilisés pour préparer des problèmes à résoudre (programmation en langages d'assemblage, machine, etc.). Ces systèmes sont pratiques car la notation octale d'un nombre est trois fois plus courte que sa notation binaire, et la notation hexadécimale est quatre fois plus courte. Quant à la conversion des nombres d'un système à un autre, notamment selon les schémas 8®2, 2®8, 16®2, 2®16, elle ne pose aucune difficulté et peut se faire purement mécaniquement.
Système de nombres décimaux binairesest également auxiliaire et utilisé principalement pour stocker des nombres décimaux dans la mémoire de l'ordinateur. Écrire des nombres décimaux en BCD s.s. s'effectue de la manière suivante. Chaque chiffre d'un nombre décimal s'écrit avec son équivalent binaire. Une telle entrée ne nécessitera pas plus de quatre chiffres binaires. Un nombre binaire à quatre chiffres représentant un chiffre décimal est appelé carnet de notes.
Afin de représenter un nombre décimal sous forme binaire-décimale, il est nécessaire d'écrire chacun de ses chiffres dans le cahier correspondant. Prenez, par exemple, le nombre décimal 3795,28 et écrivez-le sous forme BCD :
0011 0111 1001 0101, 0010 1000
Ainsi, le nombre décimal 3795.28 aura la notation décimale binaire suivante : 0011011110010101.00101000.
Le passage de la notation décimale à la notation décimale binaire s'effectue, comme on le voit, de manière élémentaire et ne nécessite aucun calcul.
Pour la traduction inverse (de BCD en décimal), il est nécessaire de diviser le numéro BCD à gauche et à droite de la virgule décimale en quatre chiffres (tétrades), puis d'écrire chacun d'eux avec le chiffre décimal correspondant.
Soit par exemple un nombre décimal binaire : 010110000110.00110111.
Décomposons-le en tétrades et remplaçons chaque tétrade par un chiffre décimal :
0101 1000 0110, 0011 0111 = 586,37.
Règle générale pour convertir des entiers. Pour convertir un entier d'un système de numérotation positionnelle à un autre, il doit être séquentiel diviser sur la base q du système dans lequel il est traduit. La division s'effectue jusqu'à obtenir un quotient inférieur à q. Le numéro dans le nouveau système de numérotation sera écrit sous la forme restes divisions en commençant par la dernière. Le dernier quotient donne le premier chiffre du nombre. La traduction est effectuée dans le système numérique à partir duquel nous traduisons.
Objet de la prestation. Le service est conçu pour convertir des numéros d'un système numérique à un autre en ligne. Pour ce faire, sélectionnez la base du système à partir de laquelle vous souhaitez convertir le numéro. Vous pouvez saisir des nombres entiers et des nombres avec des virgules.Vous pouvez saisir à la fois des nombres entiers, par exemple 34, et des nombres fractionnaires, par exemple 637,333. Pour les nombres fractionnaires, la précision de la traduction après la virgule décimale est indiquée.
Les éléments suivants sont également utilisés avec cette calculatrice :
Façons de représenter les nombres
Binaire nombres (binaires) - chaque chiffre signifie la valeur d'un bit (0 ou 1), le bit le plus significatif est toujours écrit à gauche, la lettre « b » est placée après le nombre. Pour faciliter la perception, les cahiers peuvent être séparés par des espaces. Par exemple, 1010 0101b.Hexadécimal nombres (hexadécimaux) - chaque tétrade est représentée par un symbole 0...9, A, B, ..., F. Cette représentation peut être désignée de différentes manières ici seul le symbole « h » est utilisé après le dernier hexadécimal ; chiffre. Par exemple, A5h. Dans les textes de programme, le même numéro peut être désigné par 0xA5 ou 0A5h, selon la syntaxe du langage de programmation. Un zéro (0) non significatif est ajouté à gauche du chiffre hexadécimal le plus significatif représenté par la lettre pour distinguer les nombres et les noms symboliques.
Décimal nombres (décimaux) - chaque octet (mot, double mot) est représenté par un nombre régulier et le signe de représentation décimale (la lettre « d ») est généralement omis. L'octet dans les exemples précédents a une valeur décimale de 165. Contrairement à la notation binaire et hexadécimale, la notation décimale est difficile à déterminer mentalement la valeur de chaque bit, ce qui est parfois nécessaire.
Octal nombres (octaux) - chaque triplet de bits (la division commence par le poids le moins significatif) est écrit sous la forme d'un nombre de 0 à 7, avec un « o » à la fin. Le même nombre s’écrirait 245o. Le système octal n'est pas pratique car l'octet ne peut pas être divisé de manière égale.
Algorithme de conversion de nombres d'un système numérique à un autre
La conversion des nombres décimaux entiers vers tout autre système numérique s'effectue en divisant le nombre par la base du nouveau système numérique jusqu'à ce que le reste reste un nombre inférieur à la base du nouveau système numérique. Le nouveau nombre s'écrit sous forme de restes de division, en commençant par le dernier.La conversion d'une fraction décimale régulière en un autre PSS s'effectue en multipliant uniquement la partie fractionnaire du nombre par la base du nouveau système numérique jusqu'à ce que tous les zéros restent dans la partie fractionnaire ou jusqu'à ce que la précision de traduction spécifiée soit atteinte. À la suite de chaque opération de multiplication, un chiffre d'un nouveau nombre est formé, en commençant par le plus élevé.
Une traduction incorrecte d'une fraction est effectuée selon les règles 1 et 2. Les parties entières et fractionnaires sont écrites ensemble, séparées par une virgule.
Exemple n°1. 
Conversion du système numérique de 2 à 8 à 16.
Ces systèmes sont des multiples de deux, la traduction s'effectue donc à l'aide d'une table de correspondance (voir ci-dessous).
Pour convertir un nombre du système de nombres binaires au système de nombres octal (hexadécimal), il est nécessaire de diviser le nombre binaire du point décimal à droite et à gauche en groupes de trois (quatre pour hexadécimal) chiffres, en complétant les groupes externes. avec des zéros si nécessaire. Chaque groupe est remplacé par le chiffre octal ou hexadécimal correspondant.
Exemple n°2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
ici 001=1 ; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
Lors de la conversion au système hexadécimal, vous devez diviser le nombre en parties de quatre chiffres, en suivant les mêmes règles.
Exemple n°3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
ici 0010=2 ; 1011=B; 1010 = 12 ; 1011=13
La conversion des nombres de 2, 8 et 16 au système décimal s'effectue en divisant le nombre en nombres individuels et en le multipliant par la base du système (à partir de laquelle le nombre est traduit) élevée à la puissance correspondant à son numéro de série en le nombre en cours de conversion. Dans ce cas, les nombres sont numérotés à gauche de la virgule décimale (le premier nombre est numéroté 0) en croissant et à droite en décroissant (c'est-à-dire avec un signe négatif). Les résultats obtenus sont additionnés.
Exemple n°4.
Un exemple de conversion du système de nombres binaires au système de nombres décimaux.
1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Un exemple de conversion du système de nombres octal en décimal.
108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Un exemple de conversion du système numérique hexadécimal au système décimal.
- 108,5 16 = 1,16 2 +0,16 1 +8,16 0 + 5,16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10
- Encore une fois, nous répétons l'algorithme de conversion des nombres d'un système numérique à un autre PSS
- À partir du système de nombres décimaux :
- diviser le nombre par la base du système numérique en cours de traduction ;
- trouver le reste en divisant une partie entière d'un nombre ;
- notez tous les restes de la division dans l'ordre inverse ;
- Du système de nombres binaires
Pour convertir au système numérique décimal, il est nécessaire de trouver la somme des produits de base 2 par le degré de chiffre correspondant ; - Pour convertir un nombre en octal, vous devez diviser le nombre en triades.
Par exemple, 1000110 = 1 000 110 = 106 8
Le système est appelé positionnel
| Table de correspondance du système numérique : | Tableau de conversion vers le système numérique hexadécimal |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | UN |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
SS binaire
SS hexadécimal
Tableau de conversion vers le système de nombres octaux.
Exemple n°2. Convertissez le nombre 100,12 du système numérique décimal au système numérique octal et vice versa. Expliquez les raisons des écarts.
Solution
100 = 144 8
Étape 1 .
Nous écrivons le reste de la division dans l'ordre inverse. On obtient le numéro dans le 8ème système numérique : 144 0
)
Pour convertir la partie fractionnaire d'un nombre, nous multiplions séquentiellement la partie fractionnaire par la base 8. En conséquence, à chaque fois, nous notons la partie entière du produit. 7
)
0,12*8 = 0,96 (partie entière 5
)
0,96*8 = 7,68 (partie entière 3
)
Nous obtenons le numéro dans le 8ème système numérique : 0753.
0.12 = 0.753 8
100,12 10 = 144,0753 8
Étape 2 Conversion d'un nombre du système numérique décimal au système numérique octal.
Conversion inverse du système de nombres octal en décimal.
Pour traduire une partie entière, vous devez multiplier le chiffre du nombre par le degré de chiffre correspondant.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100
Pour convertir la partie fractionnaire, vous devez diviser le chiffre du nombre par le degré de chiffre correspondant
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199
144,0753 8 = 100,96 10
La différence de 0,0001 (100,12 - 100,1199) s'explique par une erreur d'arrondi lors de la conversion vers le système numérique octal. Cette erreur peut être réduite si vous prenez un plus grand nombre de chiffres (par exemple, pas 4, mais 8).
Les gens n’ont pas immédiatement appris à compter. La société primitive se concentrait sur un petit nombre d'objets - un ou deux. Tout ce qui était plus grand était appelé « plusieurs » par défaut. C’est ce qui est considéré comme le début du système numérique moderne.
Bref contexte historique
Au cours du développement de la civilisation, les gens ont commencé à ressentir le besoin de séparer de petites collections d'objets unis par des caractéristiques communes. Des concepts correspondants ont commencé à apparaître : « trois », « quatre » et ainsi de suite jusqu'à « sept ». Il s’agissait cependant d’une série fermée et limitée, dont le dernier concept continuait à porter la charge sémantique du « beaucoup » antérieur. Un exemple frappant en est le folklore, qui nous est parvenu sous sa forme originale (par exemple, le proverbe « Mesurer sept fois, couper une fois »).
L’émergence de méthodes de comptage complexes
Au fil du temps, la vie et tous les processus de l’activité humaine sont devenus plus complexes. Cela a conduit à l’émergence d’un système numérique plus complexe. Dans le même temps, les gens utilisaient les outils de comptage les plus simples pour plus de clarté d’expression. Ils les ont trouvés autour d'eux : ils ont dessiné des bâtons sur les parois de la grotte avec des moyens improvisés, ont fait des encoches, ont disposé des numéros qui les intéressaient à partir de bâtons et de pierres - ce n'est qu'une petite liste de la diversité qui existait alors. Par la suite, les scientifiques modernes ont attribué à ce type le nom unique de « système de calcul unaire ». Son essence est d’écrire un nombre en utilisant un seul type de symbole. Aujourd'hui, c'est le système le plus pratique qui vous permet de comparer visuellement le nombre d'objets et de signes. C'est dans les écoles primaires qu'il était le plus répandu (compter les bâtons). Les appareils modernes dans leurs diverses modifications peuvent facilement être considérés comme l'héritage du « comptage de cailloux ». L'émergence du mot moderne « calcul » est également intéressante, dont les racines proviennent du latin calcul, qui se traduit par « caillou ».
Compter sur les doigts
Compte tenu du vocabulaire extrêmement maigre de l'homme primitif, les gestes constituaient bien souvent un complément important aux informations transmises. L'avantage des doigts était leur polyvalence et leur présence constante avec l'objet qui voulait transmettre l'information. Cependant, il existe également des inconvénients importants : limitation importante et courte durée de transmission. Par conséquent, le décompte total des personnes ayant utilisé la « méthode des doigts » a été limité à des nombres multiples du nombre de doigts : 5 - correspond au nombre de doigts d'une main ; 10 - des deux mains ; 20 est le nombre total sur les bras et les jambes. En raison du développement relativement lent du stock numérique, ce système a existé pendant une période assez longue.
Premières améliorations
Avec le développement du système numérique et l’expansion des capacités et des besoins de l’humanité, le nombre maximum utilisé dans les cultures de nombreux pays est devenu 40. Il était également compris comme une quantité indéfinie (indénombrable). En Russie, l'expression « quarante quarante » s'est répandue. Sa signification se résumait au nombre d’objets qui ne peuvent être comptés. La prochaine étape du développement est l’apparition du nombre 100. Puis a commencé la division en dizaines. Par la suite, les nombres 1 000, 10 000, etc. ont commencé à apparaître, chacun d'entre eux portant une charge sémantique similaire à sept et quarante. Dans le monde moderne, les limites du récit final ne sont pas définies. Aujourd’hui, le concept universel d’« infini » a été introduit.
Nombres entiers et fractionnaires
Les systèmes de calcul modernes considèrent un comme le plus petit nombre d'éléments. Dans la plupart des cas, il s'agit d'une quantité indivisible. Cependant, avec des mesures plus précises, il est également sujet à l'écrasement. C'est à cela que se rattache la notion de nombre fractionnaire, apparue à un certain stade de développement. Par exemple, le système monétaire babylonien (balance) était de 60 minutes, ce qui équivalait à 1 talan. À son tour, 1 mina équivalait à 60 shekels. C’est sur cette base que les mathématiques babyloniennes ont largement utilisé la division sexagésimale. Les fractions largement utilisées en Russie nous proviennent des anciens Grecs et Indiens. De plus, les archives elles-mêmes sont identiques à celles indiennes. Une différence mineure est l'absence de ligne fractionnaire dans ce dernier. Les Grecs écrivaient le numérateur en haut et le dénominateur en bas. La version indienne de l'écriture des fractions s'est largement développée en Asie et en Europe grâce à deux scientifiques : Muhammad de Khorezm et Leonardo Fibonacci. Le système numérique romain équivalait à 12 unités, appelées onces, à un tout (1 cul, par conséquent, tous les calculs étaient basés sur des fractions duodécimales) ; Outre celles généralement acceptées, des divisions spéciales étaient également souvent utilisées. Par exemple, jusqu'au XVIIe siècle, les astronomes utilisaient des fractions dites sexagésimales, qui furent ensuite remplacées par des fractions décimales (introduites par Simon Stevin, un scientifique-ingénieur). À la suite des progrès ultérieurs de l’humanité, il est devenu nécessaire d’élargir encore plus significativement la série de nombres. C’est ainsi que le zéro négatif, irrationnel et familier est apparu relativement récemment. Il a commencé à être utilisé lorsque les nombres négatifs ont été introduits dans les systèmes de calcul modernes.
Utiliser un alphabet non positionnel
Qu'est-ce qu'un tel alphabet ? Ce système numérique est caractérisé par le fait que la signification des nombres ne change pas en fonction de leur disposition. Un alphabet non positionnel se caractérise par la présence d'un nombre illimité d'éléments. Les systèmes construits sur la base de ce type d'alphabet reposent sur le principe d'additivité. En d’autres termes, la valeur totale d’un nombre est constituée de la somme de tous les chiffres que comprend l’entrée. L'émergence des systèmes non positionnels s'est produite plus tôt que les systèmes positionnels. Selon la méthode de comptage, la valeur totale d'un nombre est déterminée comme la différence ou la somme de tous les chiffres qui composent le nombre.
De tels systèmes présentent des inconvénients. Parmi les principaux, il convient de souligner :
- introduire de nouveaux nombres lors de la formation d'un grand nombre ;
- incapacité à refléter les nombres négatifs et fractionnaires ;
- difficulté à effectuer des opérations arithmétiques.
Tout au long de l’histoire de l’humanité, divers systèmes numériques ont été utilisés. Les plus connus sont : grec, romain, alphabétique, unaire, égyptien ancien, babylonien.
L'une des méthodes de comptage les plus courantes
Conservé à ce jour presque inchangé, il est l'un des plus célèbres. Il est utilisé pour indiquer diverses dates, y compris les anniversaires. Il a également trouvé de nombreuses applications dans la littérature, la science et d’autres domaines de la vie. Le système de numérotation romaine n'utilise que sept lettres, chacune correspondant à un nombre spécifique : I = 1 ; V = 5 ; X = 10 ; L = 50 ; C = 100 ; D = 500 ; M = 1000.
Émergence
L'origine même des chiffres romains n'est pas claire ; l'histoire n'a pas conservé de données exactes sur leur apparence. En même temps, le fait est indéniable : le système de numérotation quintuple a eu une influence significative sur la numérotation romaine. Cependant, il n’en est pas fait mention en latin. Sur cette base, une hypothèse est née selon laquelle les anciens Romains auraient emprunté leur système à un autre peuple (vraisemblablement aux Étrusques).
Particularités
Tous les nombres entiers (jusqu'à 5 000) sont écrits en répétant les nombres décrits ci-dessus. La caractéristique clé est l’emplacement des panneaux :
- l'addition se produit à condition que le plus grand précède le plus petit (XI = 11) ;
- la soustraction se produit si un chiffre plus petit précède un chiffre plus grand (IX = 9) ;
- un même caractère ne peut pas apparaître plus de trois fois de suite (par exemple, 90 s'écrit XC au lieu de LXXXX).
Son inconvénient est l'inconvénient d'effectuer des opérations arithmétiques. Cependant, il existait depuis assez longtemps et a cessé d'être utilisé en Europe comme système de numérotation principal relativement récemment - au 16ème siècle.
Le système de numérotation romaine n’est pas considéré comme totalement non positionnel. Cela est dû au fait que dans certains cas, le plus petit nombre est soustrait du plus grand (par exemple, IX = 9).
Méthode de comptage dans l'Egypte ancienne
Le troisième millénaire avant JC est considéré comme le moment de l'émergence du système numérique dans l'Égypte ancienne. Son essence était d'écrire les nombres 1, 10, 102, 104, 105, 106, 107 avec des caractères spéciaux. Tous les autres nombres étaient écrits comme une combinaison de ces caractères originaux. Dans le même temps, il y avait une restriction : chaque chiffre ne devait pas être répété plus de neuf fois. Cette méthode de comptage, que les scientifiques modernes appellent « système décimal non positionnel », repose sur un principe simple. Sa signification est que le nombre écrit était égal à la somme de tous les chiffres qui le composent.
Méthode de comptage unaire
Un système numérique dans lequel un signe est utilisé lors de l'écriture des nombres - I - est appelé unaire. Chaque numéro suivant est obtenu en ajoutant un nouveau I au précédent. Dans ce cas, le nombre de ces I est égal à la valeur du nombre écrit en les utilisant.
Système de numérotation octale
Il s'agit d'une méthode de comptage positionnelle, basée sur le nombre 8. Pour afficher les nombres, une série numérique de 0 à 7 est utilisée. Ce système est largement utilisé dans la production et l'utilisation d'appareils numériques. Son principal avantage est la traduction facile des nombres. Ils peuvent être convertis vers et depuis. Ces manipulations s'effectuent en remplaçant des numéros. Du système octal, ils sont convertis en triplets binaires (par exemple, 28 = 0102, 68 = 1102). Cette méthode de comptage était répandue dans le domaine de la production et de la programmation informatiques.
Système de nombres hexadécimaux
Récemment, cette méthode de calcul a été utilisée assez activement dans le domaine informatique. À la base de ce système se trouve la base - 16. Le système numérique basé sur celui-ci implique l'utilisation de chiffres de 0 à 9 et d'un certain nombre de lettres de l'alphabet latin (de A à F), qui sont utilisées pour indiquer l'intervalle. de 1010 à 1510. Cette méthode de comptage, comme nous l'avons déjà noté, est utilisée dans la production de logiciels et de documentation liés aux ordinateurs et à leurs composants. Ceci est basé sur les propriétés d'un ordinateur moderne, dont l'unité principale est une mémoire de 8 bits. Il est pratique de le convertir et de l'écrire en utilisant deux chiffres hexadécimaux. Le fondateur de ce processus était le système IBM/360. C'est la première fois que la documentation correspondante est traduite de cette façon. La norme Unicode exige que tout caractère soit écrit en hexadécimal avec au moins 4 chiffres.
Méthodes d'enregistrement
La conception mathématique de la méthode de comptage est basée sur son indication en indice dans le système décimal. Par exemple, le nombre 1444 s'écrit 144410. Les langages de programmation pour écrire des systèmes hexadécimaux ont des syntaxes différentes :
Conclusion
Comment elles sont étudiées L'informatique est la principale discipline dans laquelle s'effectue l'accumulation de données, le processus de leur conception sous une forme adaptée à la consommation. À l'aide d'outils spéciaux, toutes les informations disponibles sont traitées et traduites dans un langage de programmation. Il est en outre utilisé pour créer des logiciels et de la documentation informatique. En étudiant divers systèmes de calcul, l’informatique implique l’utilisation, comme mentionné ci-dessus, de différents outils. Beaucoup d’entre eux facilitent la traduction rapide des chiffres. L’un de ces « outils » est le tableau des systèmes numériques. C'est assez pratique à utiliser. Grâce à ces tableaux, vous pouvez, par exemple, convertir rapidement un nombre hexadécimal en binaire sans avoir de connaissances scientifiques particulières. Aujourd'hui, presque toutes les personnes intéressées ont la possibilité de réaliser des transformations numériques, puisque les outils nécessaires sont proposés aux utilisateurs sur des ressources ouvertes. De plus, il existe des programmes de traduction en ligne. Cela simplifie grandement la tâche de conversion des nombres et réduit le temps de fonctionnement.