DÉFINITION DE LA MATRICE. TYPES DE MATRICES

Matrice de taille m× n appelé un ensemble m·n nombres disposés dans un tableau rectangulaire de m lignes et n colonnes. Ce tableau est généralement placé entre parenthèses. Par exemple, la matrice pourrait ressembler à :

Par souci de concision, une matrice peut être désignée par une seule lettre majuscule, par exemple : UN ou DANS.

En général, une matrice de taille m× nécris-le comme ça

.

Les nombres qui composent la matrice sont appelés éléments de la matrice. Il est pratique de fournir aux éléments matriciels deux indices un ij: Le premier indique le numéro de ligne et le second indique le numéro de colonne. Par exemple, un 23– l'élément est en 2ème ligne, 3ème colonne.

Si une matrice a le même nombre de lignes que de colonnes, alors la matrice s'appelle carré, et le nombre de ses lignes ou colonnes est appelé en ordre matrices. Dans les exemples ci-dessus, la deuxième matrice est carrée - son ordre est 3 et la quatrième matrice est son ordre 1.

Une matrice dans laquelle le nombre de lignes n'est pas égal au nombre de colonnes est appelée rectangulaire. Dans les exemples, il s'agit de la première matrice et de la troisième.

Il existe également des matrices qui n'ont qu'une seule ligne ou une seule colonne.

Une matrice avec une seule ligne s'appelle matrice - ligne(ou chaîne), et une matrice avec une seule colonne matrice - colonne.

Une matrice dont les éléments sont tous nuls s’appelle nul et est noté (0), ou simplement 0. Par exemple,

.

Diagonale principale d’une matrice carrée, nous appelons la diagonale allant du coin supérieur gauche au coin inférieur droit.

Une matrice carrée dans laquelle tous les éléments situés en dessous de la diagonale principale sont égaux à zéro est appelée triangulaire matrice.

.

Une matrice carrée dans laquelle tous les éléments, sauf peut-être ceux de la diagonale principale, sont égaux à zéro, s'appelle diagonale matrice. Par exemple, ou.

Une matrice diagonale dans laquelle tous les éléments diagonaux sont égaux à un est appelée célibataire matrice et est désignée par la lettre E. Par exemple, la matrice d'identité du 3ème ordre a la forme .

ACTIONS SUR LES MATRICES

Égalité matricielle. Deux matrices UN Et B sont dits égaux s’ils ont le même nombre de lignes et de colonnes et que leurs éléments correspondants sont égaux un ij = b je. Alors si Et , Que A = B, Si une 11 = b 11, une 12 = b 12, une 21 = b 21 Et une 22 = b 22.

Transposer. Considérons une matrice arbitraire UN depuis m lignes et n colonnes. Il peut être associé à la matrice suivante B depuis n lignes et m colonnes, dans lesquelles chaque ligne est une colonne matricielle UN avec le même numéro (donc chaque colonne est une ligne de la matrice UN avec le même numéro). Alors si , Que .

Cette matrice B appelé transposé matrice UN, et la transition de UNÀ Transposition B.

Ainsi, la transposition est une inversion des rôles des lignes et des colonnes d’une matrice. Matrice transposée en matrice UN, généralement noté À.

Communication entre matrice UN et sa transposée peut s'écrire sous la forme .

Par exemple. Trouver la matrice transposée de celle donnée.

Ajout de matrice. Laissez les matrices UN Et B se composent du même nombre de lignes et du même nombre de colonnes, c'est-à-dire avoir mêmes tailles. Ensuite pour ajouter des matrices UN Et B nécessaire pour les éléments de la matrice UN ajouter des éléments de matrice B debout aux mêmes endroits. Ainsi, la somme de deux matrices UN Et B appelé matrice C, qui est déterminé par la règle, par exemple,

Exemples. Trouver la somme des matrices :

Il est facile de vérifier que l’addition matricielle obéit aux lois suivantes : commutative A+B=B+A et associatif ( A+B)+C=UN+(B+C).

Multiplier une matrice par un nombre. Multiplier une matrice UN par numéro k chaque élément de la matrice est nécessaire UN multiplier par ce nombre. Ainsi, le produit matriciel UN par numéro k il existe une nouvelle matrice, qui est déterminée par la règle ou .

Pour tous les numéros un Et b et matrices UN Et B les égalités suivantes sont vraies :

Exemples.

Multiplication matricielle. Cette opération s'effectue selon une loi particulière. Tout d’abord, notons que les tailles des matrices factorielles doivent être cohérentes. Vous ne pouvez multiplier que les matrices dans lesquelles le nombre de colonnes de la première matrice coïncide avec le nombre de lignes de la deuxième matrice (c'est-à-dire que la longueur de la première ligne est égale à la hauteur de la deuxième colonne). Le travail matrices UN pas une matrice B appelée la nouvelle matrice C=AB, dont les éléments sont composés comme suit :

Ainsi, par exemple, pour obtenir le produit (c'est-à-dire dans la matrice C) élément situé en 1ère ligne et 3ème colonne à partir du 13, vous devez prendre la 1ère ligne de la 1ère matrice, la 3ème colonne dans la 2ème, puis multiplier les éléments de la ligne par les éléments de la colonne correspondants et ajouter les produits résultants. Et d'autres éléments de la matrice produit sont obtenus en utilisant un produit similaire des lignes de la première matrice et des colonnes de la deuxième matrice.

En général, si l'on multiplie une matrice A = (aij) taille m× nà la matrice B = (b ij) taille n× p, alors on obtient la matrice C taille m× p, dont les éléments sont calculés comme suit : élément c ij est obtenu à la suite du produit d’éléments jeème ligne de la matrice UN aux éléments correspondants jème colonne de la matrice B et leurs ajouts.

De cette règle, il s'ensuit que l'on peut toujours multiplier deux matrices carrées du même ordre, et par conséquent on obtient une matrice carrée du même ordre. En particulier, une matrice carrée peut toujours être multipliée par elle-même, c'est-à-dire mettez-le au carré.

Un autre cas important est la multiplication d'une matrice ligne par une matrice colonne, et la largeur de la première doit être égale à la hauteur de la seconde, ce qui donne une matrice du premier ordre (c'est-à-dire un élément). Vraiment,

.

Exemples.

Ainsi, ces exemples simples montrent que les matrices, d’une manière générale, ne commutent pas entre elles, c’est-à-dire A∙B ≠ B∙A . Par conséquent, lors de la multiplication de matrices, vous devez surveiller attentivement l'ordre des facteurs.

On peut vérifier que la multiplication matricielle obéit à des lois associatives et distributives, c'est-à-dire (AB)C=A(BC) Et (A+B)C=AC+BC.

Il est également facile de vérifier qu'en multipliant une matrice carrée UNà la matrice d'identité E du même ordre on obtient à nouveau une matrice UN, et AE = EA = A.

Le fait intéressant suivant peut être noté. Comme vous le savez, le produit de 2 nombres non nuls n'est pas égal à 0. Pour les matrices, cela peut ne pas être le cas, c'est-à-dire le produit de 2 matrices non nulles peut s'avérer égal à la matrice nulle.

Par exemple, Si , Que

.

LE CONCEPT DE DÉTERMINANTS

Soit une matrice du second ordre - une matrice carrée composée de deux lignes et de deux colonnes .

Déterminant du deuxième ordre correspondant à une matrice donnée est le nombre obtenu comme suit : un 11 un 22 – un 12 un 21.

Le déterminant est indiqué par le symbole .

Ainsi, afin de trouver le déterminant du second ordre, vous devez soustraire le produit des éléments le long de la deuxième diagonale du produit des éléments de la diagonale principale.

Exemples. Calculez les déterminants du second ordre.

De même, on peut considérer une matrice du troisième ordre et son déterminant correspondant.

Déterminant du troisième ordre, correspondant à une matrice carrée donnée du troisième ordre, est le nombre noté et obtenu comme suit :

.

Ainsi, cette formule donne le développement du déterminant du troisième ordre en termes d'éléments de la première ligne un 11, un 12, un 13 et réduit le calcul du déterminant du troisième ordre au calcul des déterminants du deuxième ordre.

Exemples. Calculez le déterminant du troisième ordre.

De même, on peut introduire les notions de déterminants du quatrième, du cinquième, etc. ordres, en abaissant leur ordre en développant les éléments de la 1ère rangée, en alternant les signes « + » et « – » des termes.

Ainsi, contrairement à une matrice, qui est un tableau de nombres, un déterminant est un nombre attribué à la matrice d’une certaine manière.

>> Matrices

4.1.Matrices. Opérations sur les matrices

Une matrice rectangulaire de taille mxn est une collection de nombres mxn disposés sous la forme d'un tableau rectangulaire contenant m lignes et n colonnes. Nous l'écrirons sous la forme

ou en abrégé A = (ai j) (i = ; j = ), les nombres a i j sont appelés ses éléments ; Le premier index indique le numéro de ligne, le second - le numéro de colonne. A = (a i j) et B = (b i j) de même taille sont appelés égaux si leurs éléments situés aux mêmes endroits sont égaux par paire, c'est-à-dire A = B si a i j = b i j.

Une matrice composée d’une ligne ou d’une colonne est appelée respectivement vecteur ligne ou vecteur colonne. Les vecteurs colonnes et les vecteurs lignes sont simplement appelés vecteurs.

Une matrice composée d'un numéro est identifiée par ce numéro. A de taille mxn, dont tous les éléments sont égaux à zéro, sont appelés zéro et notés 0. Les éléments de mêmes indices sont appelés éléments de la diagonale principale. Si le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes, c'est-à-dire m = n, alors la matrice est appelée matrice carrée d'ordre n. Les matrices carrées dans lesquelles seuls les éléments de la diagonale principale sont non nuls sont appelées diagonales et s'écrivent comme suit :

Si tous les éléments a i i de la diagonale sont égaux à 1, alors elle est appelée unité et est désignée par la lettre E :

.

Une matrice carrée est dite triangulaire si tous les éléments au-dessus (ou en dessous) de la diagonale principale sont égaux à zéro. La transposition est une transformation dans laquelle les lignes et les colonnes sont permutées tout en conservant leurs numéros. La transposition est indiquée par un T en haut.

Si nous réorganisons les lignes et les colonnes dans (4.1), nous obtenons

,

qui sera transposé par rapport à A. En particulier, lors de la transposition d'un vecteur colonne, un vecteur ligne est obtenu et vice versa.

Le produit de A et le nombre b est une matrice dont les éléments sont obtenus à partir des éléments correspondants de A en multipliant par le nombre b : b A = (b a i j).

La somme A = (ai j) et B = (b i j) de même taille est appelée C = (c i j) de même taille, dont les éléments sont déterminés par la formule c i j = a i j + b i j.

Le produit AB est déterminé en supposant que le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.

Le produit AB, où A = (ai j) et B = (b j k), où i = , j= , k= , donné dans un certain ordre AB, est appelé C = (c i k), dont les éléments sont déterminés par le règle suivante :

c je k = une je 1 b 1 k + une je 2 b 2 k +... + une je m b m k = une je s b s k . (4.2)

Autrement dit, l'élément du produit AB est défini comme suit : l'élément de la i-ème ligne et de la k-ème colonne C est égal à la somme des produits des éléments de la i-ème ligne A et de la éléments correspondants de la k-ème colonne B.

Exemple 2.1. Trouver le produit de AB et .

Solution. On a : A de taille 2x3, B de taille 3x3, alors le produit AB = C existe et les éléments de C sont égaux

De 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, de 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, de 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3 × 2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

, et le produit BA n'existe pas.

Exemple 2.2. Le tableau montre le nombre d'unités de produits expédiées quotidiennement des laiteries 1 et 2 vers les magasins M 1, M 2 et M 3, et la livraison d'une unité de produit de chaque laiterie au magasin M 1 coûte 50 deniers. unités, au magasin M 2 - 70 et au M 3 - 130 den. unités Calculez les coûts de transport quotidiens de chaque usine.

Usine laitière

Solution. Notons A la matrice qui nous est donnée dans la condition, et par
B - matrice caractérisant le coût de livraison d'une unité de produit aux magasins, c'est-à-dire

,

La matrice des coûts de transport ressemblera alors à :

.

Ainsi, la première usine dépense quotidiennement 4 750 deniers en transport. unités, la seconde - 3680 unités monétaires.

Exemple 2.3. L'entreprise de couture produit des manteaux d'hiver, des manteaux demi-saison et des imperméables. La production prévue pour une décennie est caractérisée par le vecteur X = (10, 15, 23). Quatre types de tissus sont utilisés : T 1, T 2, T 3, T 4. Le tableau présente les taux de consommation de tissu (en mètres) pour chaque produit. Le vecteur C = (40, 35, 24, 16) précise le coût d'un mètre de tissu de chaque type, et le vecteur P = (5, 3, 2, 2) précise le coût de transport d'un mètre de tissu de chaque type.

	Consommation de tissu
Manteau d'hiver
Manteau demi-saison

1. Combien de mètres de chaque type de tissu seront nécessaires pour réaliser le plan ?

2. Trouvez le coût du tissu dépensé pour coudre chaque type de produit.

3. Déterminez le coût de tout le tissu nécessaire pour réaliser le plan.

Solution. Notons A la matrice qui nous est donnée dans la condition, c'est-à-dire

puis pour trouver le nombre de mètres de tissu nécessaire pour réaliser le plan, il faut multiplier le vecteur X par la matrice A :

On trouve le coût du tissu dépensé pour les produits de couture de chaque type en multipliant la matrice A et le vecteur C T :

.

Le coût de tout le tissu nécessaire à la réalisation du plan sera déterminé par la formule :

Enfin, compte tenu des frais de transport, le montant total sera égal au coût du tissu, soit 9472 den. unités, plus la valeur

X A P T =
.

Ainsi, X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (unités monétaires).

Ce sujet couvrira des opérations telles que l'ajout et la soustraction de matrices, la multiplication d'une matrice par un nombre, la multiplication d'une matrice par une matrice et la transposition d'une matrice. Tous les symboles utilisés sur cette page sont tirés du sujet précédent.

Addition et soustraction de matrices.

La somme de $A+B$ des matrices $A_(m\times n)=(a_(ij))$ et $B_(m\times n)=(b_(ij))$ est appelée matrice $C_(m \times n) =(c_(ij))$, où $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ pour tout $i=\overline(1,m)$ et $j=\overline( 1,n)$.

Une définition similaire est introduite pour la différence des matrices :

La différence entre les matrices $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ et $B_(m\times n)=(b_(ij))$ est la matrice $C_(m\times n)=( c_(ij))$, où $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ pour tout $i=\overline(1,m)$ et $j=\overline(1, n)$.

Explication de l'entrée $i=\overline(1,m)$ : show\hide

La notation "$i=\overline(1,m)$" signifie que le paramètre $i$ varie de 1 à m. Par exemple, l'entrée $i=\overline(1,5)$ indique que le paramètre $i$ prend les valeurs 1, 2, 3, 4, 5.

Il est à noter que les opérations d'addition et de soustraction ne sont définies que pour des matrices de même taille. En général, l’addition et la soustraction de matrices sont des opérations intuitivement claires, car elles signifient essentiellement simplement la sommation ou la soustraction des éléments correspondants.

Exemple n°1

Trois matrices sont données :

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

Est-il possible de trouver la matrice $A+F$ ? Trouvez les matrices $C$ et $D$ si $C=A+B$ et $D=A-B$.

La matrice $A$ contient 2 lignes et 3 colonnes (en d'autres termes, la taille de la matrice $A$ est $2\times 3$), et la matrice $F$ contient 2 lignes et 2 colonnes. Les tailles des matrices $A$ et $F$ ne coïncident pas, nous ne pouvons donc pas les additionner, c'est-à-dire l'opération $A+F$ n'est pas définie pour ces matrices.

Les tailles des matrices $A$ et $B$ sont les mêmes, c'est-à-dire Les données matricielles contiennent un nombre égal de lignes et de colonnes, l'opération d'addition leur est donc applicable.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Trouvons la matrice $D=A-B$ :

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(tableau) \right) $$

Répondre: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Multiplier une matrice par un nombre.

Le produit de la matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ par le nombre $\alpha$ est la matrice $B_(m\times n)=(b_(ij))$, où $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ pour tous $i=\overline(1,m)$ et $j=\overline(1,n)$.

En termes simples, multiplier une matrice par un certain nombre signifie multiplier chaque élément d'une matrice donnée par ce nombre.

Exemple n°2

La matrice est donnée : $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Trouvez les matrices $3\cdot A$, $-5\cdot A$ et $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( tableau) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (tableau) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$

La notation $-A$ est une notation abrégée pour $-1\cdot A$. Autrement dit, pour trouver $-A$, vous devez multiplier tous les éléments de la matrice $A$ par (-1). Essentiellement, cela signifie que le signe de tous les éléments de la matrice $A$ changera à l'opposé :

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ gauche(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Répondre: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Produit de deux matrices.

La définition de cette opération est lourde et, à première vue, peu claire. Par conséquent, j'indiquerai d'abord une définition générale, puis nous analyserons en détail ce que cela signifie et comment l'utiliser.

Le produit de la matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ par la matrice $B_(n\times k)=(b_(ij))$ est la matrice $C_(m\times k )=(c_( ij))$, pour lequel chaque élément $c_(ij)$ est égal à la somme des produits des éléments correspondants de la i-ème ligne de la matrice $A$ par les éléments du j -ème colonne de la matrice $B$ : $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; je=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Regardons la multiplication matricielle étape par étape à l'aide d'un exemple. Cependant, il convient de noter immédiatement que toutes les matrices ne peuvent pas être multipliées. Si nous voulons multiplier la matrice $A$ par la matrice $B$, alors nous devons d'abord nous assurer que le nombre de colonnes de la matrice $A$ est égal au nombre de lignes de la matrice $B$ (ces matrices sont souvent appelées convenu). Par exemple, la matrice $A_(5\times 4)$ (la matrice contient 5 lignes et 4 colonnes) ne peut pas être multipliée par la matrice $F_(9\times 8)$ (9 lignes et 8 colonnes), puisque le nombre de colonnes de la matrice $A $ n'est pas égal au nombre de lignes de la matrice $F$, c'est-à-dire 4$\neq 9$. Mais vous pouvez multiplier la matrice $A_(5\times 4)$ par la matrice $B_(4\times 9)$, puisque le nombre de colonnes de la matrice $A$ est égal au nombre de lignes de la matrice $ B$. Dans ce cas, le résultat de la multiplication des matrices $A_(5\times 4)$ et $B_(4\times 9)$ sera la matrice $C_(5\times 9)$, contenant 5 lignes et 9 colonnes :

Exemple n°3

Matrices données : $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (array) \right)$ et $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Trouvez la matrice $C=A\cdot B$.

Tout d'abord, déterminons immédiatement la taille de la matrice $C$. Puisque la matrice $A$ a une taille $3\times 4$ et que la matrice $B$ a une taille $4\times 2$, alors la taille de la matrice $C$ est : $3\times 2$ :

Ainsi, suite au produit des matrices $A$ et $B$, nous devrions obtenir une matrice $C$, composée de trois lignes et deux colonnes : $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Si la désignation des éléments soulève des questions, alors vous pouvez consulter le sujet précédent : « Types de matrices Termes de base », au début duquel la désignation des éléments matriciels est expliquée. Notre objectif : trouver les valeurs de tous les éléments de la matrice $C$.

Commençons par l'élément $c_(11)$. Pour obtenir l'élément $c_(11)$, il faut trouver la somme des produits des éléments de la première ligne de la matrice $A$ et de la première colonne de la matrice $B$ :

Pour trouver l'élément $c_(11)$ lui-même, il faut multiplier les éléments de la première ligne de la matrice $A$ par les éléments correspondants de la première colonne de la matrice $B$, c'est-à-dire le premier élément au premier, le deuxième au deuxième, le troisième au troisième, le quatrième au quatrième. Nous résumons les résultats obtenus :

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Continuons la solution et trouvons $c_(12)$. Pour ce faire, vous devrez multiplier les éléments de la première ligne de la matrice $A$ et de la deuxième colonne de la matrice $B$ :

Semblable au précédent, nous avons :

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Tous les éléments de la première ligne de la matrice $C$ ont été trouvés. Passons à la deuxième ligne, qui commence par l'élément $c_(21)$. Pour le trouver, vous devrez multiplier les éléments de la deuxième ligne de la matrice $A$ et de la première colonne de la matrice $B$ :

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

On trouve l'élément suivant $c_(22)$ en multipliant les éléments de la deuxième ligne de la matrice $A$ par les éléments correspondants de la deuxième colonne de la matrice $B$ :

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Pour trouver $c_(31)$, multipliez les éléments de la troisième ligne de la matrice $A$ par les éléments de la première colonne de la matrice $B$ :

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Et enfin, pour trouver l'élément $c_(32)$, vous devrez multiplier les éléments de la troisième ligne de la matrice $A$ par les éléments correspondants de la deuxième colonne de la matrice $B$ :

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Tous les éléments de la matrice $C$ ont été trouvés, il ne reste plus qu'à écrire que $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( tableau) \right)$ . Ou, pour écrire en entier :

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Répondre: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Soit dit en passant, il n'y a souvent aucune raison de décrire en détail l'emplacement de chaque élément de la matrice de résultats. Pour les matrices dont la taille est petite, vous pouvez faire ceci :

Il convient également de noter que la multiplication matricielle est non commutative. Cela signifie que dans le cas général $A\cdot B\neq B\cdot A$. Uniquement pour certains types de matrices, appelées permutable(ou trajet domicile-travail), l'égalité $A\cdot B=B\cdot A$ est vraie. C'est précisément sur la base de la non-commutativité de la multiplication qu'il faut indiquer exactement comment on multiplie l'expression par une matrice particulière : à droite ou à gauche. Par exemple, l'expression « multiplier les deux côtés de l'égalité $3E-F=Y$ par la matrice $A$ à droite » signifie que vous souhaitez obtenir l'égalité suivante : $(3E-F)\cdot A=Y\cdot $AU.

Transposée par rapport à la matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ est la matrice $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, pour les éléments qui $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

En termes simples, pour obtenir une matrice transposée $A^T$, il faut remplacer les colonnes de la matrice d'origine $A$ par les lignes correspondantes selon ce principe : il y avait une première ligne - il y aura une première colonne ; il y avait une deuxième ligne - il y aura une deuxième colonne ; il y avait une troisième ligne - il y aura une troisième colonne et ainsi de suite. Par exemple, trouvons la matrice transposée en matrice $A_(3\times 5)$ :

Par conséquent, si la matrice d'origine avait une taille de $3\times 5$, alors la matrice transposée a une taille de $5\times 3$.

Quelques propriétés des opérations sur les matrices.

Ici, on suppose que $\alpha$, $\beta$ sont des nombres et $A$, $B$, $C$ sont des matrices. Pour les quatre premières propriétés, j'ai indiqué des noms ; les autres peuvent être nommées par analogie avec les quatre premières.

1. $A+B=B+A$ (commutativité de l'addition)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (associativité d'addition)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (distributivité de la multiplication par une matrice par rapport à l'addition de nombres)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (distributivité de la multiplication par un nombre par rapport à l'addition matricielle)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\bêta)A=\alpha(\bêta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, où $E$ est la matrice identité de l'ordre correspondant.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, où $O$ est une matrice nulle de taille appropriée.
10. $\gauche(A^T \droite)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

Dans la partie suivante, nous considérerons l'opération d'élévation d'une matrice à une puissance entière non négative, et résoudrons également des exemples dans lesquels il est nécessaire d'effectuer plusieurs opérations sur des matrices.

La matrice A -1 est appelée matrice inverse par rapport à la matrice A si A*A -1 = E, où E est la matrice identité du nième ordre. Une matrice inverse ne peut exister que pour les matrices carrées.

Objet de la prestation. Grâce à ce service en ligne, vous pouvez trouver des compléments algébriques, une matrice transposée A T, une matrice alliée et une matrice inverse. La décision s'effectue directement sur le site Internet (en ligne) et est gratuite. Les résultats du calcul sont présentés dans un rapport au format Word et Excel (c'est-à-dire qu'il est possible de vérifier la solution). voir exemple de conception.

Instructions. Pour obtenir une solution, il faut préciser la dimension de la matrice. Ensuite, remplissez la matrice A dans la nouvelle boîte de dialogue.

Dimension matricielle 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Voir aussi Matrice inverse utilisant la méthode Jordano-Gauss

Algorithme pour trouver la matrice inverse

1. Trouver la matrice transposée A T .
2. Définition des compléments algébriques. Remplacez chaque élément de la matrice par son complément algébrique.
3. Compilation d'une matrice inverse à partir d'additions algébriques : chaque élément de la matrice résultante est divisé par le déterminant de la matrice d'origine. La matrice résultante est l'inverse de la matrice d'origine.

Suivant algorithme pour trouver la matrice inverse similaire au précédent à quelques étapes près : d’abord les compléments algébriques sont calculés, puis la matrice alliée C est déterminée.

1. Déterminez si la matrice est carrée. Sinon, il n’existe pas de matrice inverse pour cela.
2. Calcul du déterminant de la matrice A. Si elle n'est pas égale à zéro, on continue la solution, sinon la matrice inverse n'existe pas.
3. Définition des compléments algébriques.
4. Remplir la matrice d'union (mutuelle, adjointe) C .
5. Compilation d'une matrice inverse à partir d'additions algébriques : chaque élément de la matrice adjointe C est divisé par le déterminant de la matrice d'origine. La matrice résultante est l'inverse de la matrice d'origine.
6. Ils font une vérification : ils multiplient l'original et les matrices résultantes. Le résultat devrait être une matrice d’identité.

Exemple n°1. Écrivons la matrice sous la forme :

Ajouts algébriques.

A 1,1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

UNE 1,3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

UNE 2,1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

UNE 2,2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

UNE 2,3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

UNE 3,1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

UNE 3,2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

UNE 3,3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Alors matrice inverse peut s'écrire sous la forme :

A-1 = 1/10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A-1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Un autre algorithme pour trouver la matrice inverse

Présentons un autre schéma pour trouver la matrice inverse.

1. Trouver le déterminant d'une matrice carrée A donnée.
2. On trouve des compléments algébriques à tous les éléments de la matrice A.
3. Nous écrivons des ajouts algébriques d'éléments de ligne aux colonnes (transposition).
4. On divise chaque élément de la matrice résultante par le déterminant de la matrice A.

Comme on le voit, l’opération de transposition peut être appliquée aussi bien au début, sur la matrice originale, qu’à la fin, sur les additions algébriques résultantes.

Cas particulier: L'inverse de la matrice identité E est la matrice identité E.

Matrices, familiarisez-vous avec ses concepts de base. Les éléments déterminants d’une matrice sont ses diagonales et ses diagonales latérales. Home commence par l'élément de la première ligne, première colonne et continue jusqu'à l'élément de la dernière colonne, dernière ligne (c'est-à-dire qu'il va de gauche à droite). La diagonale latérale commence au contraire dans la première ligne, mais dans la dernière colonne et continue jusqu'à l'élément qui a les coordonnées de la première colonne et de la dernière ligne (va de droite à gauche).

Pour passer aux définitions suivantes et aux opérations algébriques avec des matrices, étudiez les types de matrices. Les plus simples sont le carré, l'unité, le zéro et l'inverse. Le nombre de colonnes et de lignes correspond. La matrice transposée, appelons-la B, est obtenue à partir de la matrice A en remplaçant les colonnes par des lignes. En unité, tous les éléments de la diagonale principale sont des uns, et les autres sont des zéros. Et en zéro, même les éléments des diagonales sont nuls. La matrice inverse est celle sur laquelle la matrice originale prend la forme identité.

Aussi, la matrice peut être symétrique par rapport aux axes principaux ou secondaires. Autrement dit, un élément ayant les coordonnées a(1;2), où 1 est le numéro de ligne et 2 est le numéro de colonne, est égal à a(2;1). A(3;1)=A(1;3) et ainsi de suite. Les matrices appariées sont celles où le nombre de colonnes de l'une est égal au nombre de lignes de l'autre (ces matrices peuvent être multipliées).

Les principales actions pouvant être effectuées avec les matrices sont l'addition, la multiplication et la recherche du déterminant. Si les matrices ont la même taille, c’est-à-dire qu’elles ont un nombre égal de lignes et de colonnes, elles peuvent alors être ajoutées. Il est nécessaire d'ajouter des éléments qui se trouvent aux mêmes endroits dans les matrices, c'est-à-dire d'ajouter a (m; n) avec c dans (m; n), où m et n sont les coordonnées correspondantes de la colonne et de la ligne. Lors de l'ajout de matrices, la règle principale de l'addition arithmétique ordinaire s'applique : lorsque les places des termes sont modifiées, la somme ne change pas. Ainsi, si au lieu d'un simple élément a il existe une expression a + b, alors elle peut être ajoutée à un élément c d'une autre matrice proportionnée selon les règles a + (b + c) = (a + b) + c.

Vous pouvez multiplier les matrices correspondantes données ci-dessus. Cela produit une matrice où chaque élément est la somme des éléments multipliés par paires d'une ligne de la matrice A et d'une colonne de la matrice B. Lors de la multiplication, l'ordre des actions est très important. m*n n’est pas égal à n*m.

L'une des principales actions consiste également à trouver. Il est également appelé déterminant et est désigné comme suit : det. Cette valeur est déterminée modulo, c'est-à-dire qu'elle n'est jamais négative. Le moyen le plus simple de trouver le déterminant est d’utiliser une matrice carrée 2x2. Pour ce faire, vous devez multiplier les éléments de la diagonale principale et leur soustraire les éléments multipliés de la diagonale secondaire.