Intégrale définie de la racine carrée de x. Leçon « Primitif. Substitutions trigonométriques et hyperboliques
Dans les leçons précédentes, vous vous êtes familiarisé avec les règles de recherche de la dérivée d'une fonction, avez appris l'utilisation de la dérivée pour étudier une fonction de monotonie et d'extremum ; appris à trouver la tangente au graphique d'une fonction.
Rappelons les règles de calcul des dérivées :
La dérivée de n'importe quel nombre est égale à zéro.
La dérivée de x est égale à un.
La dérivée de ka x plus em est égale à ka.
La dérivée de un divisé par x est égale à moins un divisé par x au carré.
La dérivée de la racine x est égale à un divisé par deux racine x.
La dérivée du sinus x est égale au cosinus x.
La dérivée du cosinus x est égale à moins le sinus x.
La dérivée de x à la puissance en est égale à en fois x à la puissance en moins un.
Parfois, il faut résoudre des problèmes inverses, par exemple pour restaurer la loi du mouvement à partir d'une vitesse connue.
En mathématiques, il est d'usage d'attribuer des noms spéciaux aux opérations mutuellement inverses.
Par exemple, l’opération inverse de la multiplication est la division.
Opération d'extraction racine carrée est l'inverse de la quadrature.
Le processus de recherche de la dérivée fonction donnée est appelée différenciation, et son opération inverse est appelée intégration (le processus de recherche d'une fonction à partir d'une dérivée donnée).
Autrement dit, une fonction qui agit comme ancêtre de la dérivée d’une fonction donnée est généralement appelée primitive.
Définition : la fonction ygr égal ef grand de x est appelée primitive de la fonction ygr égal ef petit de x sur un intervalle donné x grand si pour tout x appartenant à un intervalle donné l'égalité est satisfaite :
L'intervalle auquel x appartient n'est généralement pas indiqué, mais est implicite.
Regardons des exemples.
1. La fonction ygr, égale à x au carré, est une primitive de la fonction ygr, égale à deux x, puisque pour tout x l'égalité est vraie : la dérivée de x au carré est égale à deux x.
2. La fonction ygr, égale à x au cube, est une primitive de la fonction ygr, égale à trois x au carré, puisque pour tout x l'égalité est vraie : la dérivée de x au cube est égale à trois x au carré.
3. Fonction lecteur égal au sinus x est une primitive de la fonction y, égale au cosinus de x, puisque pour tout x l'égalité est vraie : la dérivée du sinus de x est égale au cosinus de x.
4. La fonction ygrek, égale à la racine de x, est une primitive de la fonction ygrek, égale à un, divisée par deux, racine de x, sur l'intervalle de zéro à l'infini, puisque pour tout x supérieur à zéro l'égalité tient : la dérivée de la racine de x est égale à un, racine x divisée par deux.
Connaissant les formules pour trouver les dérivées, il n'est pas difficile de créer un tableau de primitives :
1. La primitive de zéro est égale à une constante.
2. La primitive de l'unité est égale à x.
3. La primitive de x est égale à x au carré divisé par deux.
4. La primitive de la fonction x à la puissance en, en appartient à l'ensemble des nombres naturels, est égale à x à la puissance en plus un divisé par en plus un.
5. La primitive de la fonction un divisé par x au carré est égale à moins un divisé par x.
6. La primitive de la fonction un divisée par racine x est égale à deux racine x et x est supérieur à zéro.
7. La primitive de la fonction sinus x est égale à moins cosinus x.
8. La primitive de la fonction cosinus x est égale au sinus x.
9. La primitive de la fonction un divisée par le sinus x au carré est égale à moins la cotangente x.
10. La primitive de la fonction un divisée par le cosinus x au carré est égale à tan x.
Regardons des exemples de recherche de la primitive de diverses fonctions.
Tâche 1
Montrer qu'une fonction est une primitive d'une fonction si la primitive d'une fonction est égale à x à la puissance sixième, la fonction elle-même est égale à six x à la puissance cinquième.
Solution:
1. Par définition d'une primitive, une fonction ygr, égale à ef grand de x, est appelée primitive de la fonction ygr, égale à ef petit de x, sur un intervalle donné x est grand, si pour tout x appartenant à un intervalle donné l'égalité est satisfaite : .
2. Trouvons la dérivée eff large en utilisant la formule pour trouver la dérivée fonction de puissance, il est égal à six x à la puissance cinq.
Nous avons obtenu l'égalité de deux expressions, ce qui signifie que, par définition d'une primitive, la fonction ef grand, égale à x à la puissance sixième, est une primitive de la fonction ef petit, égale à six x à la puissance cinquième.
Tâche 2
Pour une fonction (y, égal à ef de x est petit), trouvez la primitive si
(ef de x est égal à moins un divisé par x au cube).
Solution:
1.En définissant une puissance avec un exposant entier négatif, imaginons l’expression moins un divisé par x au cube comme suit : moins x à la puissance moins troisième.
2. En utilisant la formule pour trouver la primitive d'une fonction puissance, nous trouvons la primitive de la fonction ef de x, égale à moins x à la puissance moins troisième.
On obtient moins x à la puissance moins trois plus un divisé par moins trois plus un.
En simplifiant l'expression, on a moins x à la puissance moins deux, divisé par moins deux, en réduisant les moins, on obtient : x à la puissance moins deux, divisé par deux.
Selon la définition d’une puissance avec un exposant entier négatif, nous présentons l’expression comme suit : un divisé par deux x au carré.
Ainsi, la primitive de la fonction ef de x petit, égal à moins un, divisée par x au cube, est la fonction ef grand, égale à un, divisée par deux x au carré.
Les principales méthodes d'intégration sont données fonctions irrationnelles(racines). Ils comprennent : l'intégration de l'irrationalité fractionnaire linéaire, le binôme différentiel, les intégrales avec la racine carrée d'un trinôme carré. Les substitutions trigonométriques et les substitutions d'Euler sont données. Quelques intégrales elliptiques exprimées en termes de fonctions élémentaires.
Ir fonction rationnelle d'une variable est une fonction formée d'une variable et de constantes arbitraires utilisant un nombre fini d'opérations d'addition, de soustraction, de multiplication (élévation à une puissance entière), de division et de prise de racines. Une fonction irrationnelle diffère d'une fonction rationnelle en ce sens qu'elle contient des opérations d'extraction de racines.
Il existe trois principaux types de fonctions irrationnelles dont les intégrales indéfinies sont réduites aux intégrales de fonctions rationnelles. Ce sont des intégrales contenant des racines de puissances entières arbitraires provenant d'une fonction fractionnaire linéaire (les racines peuvent être divers diplômes, mais à partir de la même fonction fractionnaire-linéaire) ; intégrales d'un binôme différentiel et intégrales avec la racine carrée d'un trinôme carré.
Remarque importante. Les racines ont plusieurs significations !
Lors du calcul d'intégrales contenant des racines, on rencontre souvent des expressions de la forme, où est une fonction de variable d'intégration. Il ne faut pas oublier cela. Autrement dit, à t >< 0 , |t| =t. À t 0 0 , |t| = -t.< 0 Par conséquent, lors du calcul de telles intégrales, il est nécessaire de considérer séparément les cas t > 0 et t< 0 .
Cela peut être fait en écrivant des signes ou si nécessaire. En supposant que le signe du haut fait référence au cas t > , et celui du bas - au cas t et le résultat de l'intégration peut être considéré comme fonctions complètesà partir de variables complexes. Alors vous n'êtes pas obligé de suivre les panneaux expressions radicales. Cette approche est applicable si l'intégrande est analytique, c'est-à-dire une fonction différentiable d'une variable complexe. Dans ce cas, l’intégrande et son intégrale sont des fonctions à valeurs multiples. Par conséquent, après l'intégration, lors de la substitution de valeurs numériques, il est nécessaire de sélectionner une branche à valeur unique (surface de Riemann) de l'intégrande, et pour elle de sélectionner la branche correspondante du résultat de l'intégration.
Irrationalité linéaire fractionnaire
Ce sont des intégrales avec des racines de la même fonction linéaire fractionnaire :
,
où R est une fonction rationnelle, sont des nombres rationnels, m 1, n 1, ..., m s, n s sont des nombres entiers, α, β, γ, δ - nombres réels.
De telles intégrales se réduisent à l'intégrale d'une fonction rationnelle par substitution :
, où n - dénominateur commun nombres r 1, ..., r s.
Les racines ne proviennent pas nécessairement d’une fonction fractionnaire linéaire, mais aussi d’une fonction linéaire (γ = 0 , δ = 1), ou sur la variable d'intégration x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).
Voici des exemples de telles intégrales :
,
.
Intégrales de binômes différentiels
Les intégrales des binômes différentiels ont la forme :
,
où m, n, p sont des nombres rationnels, a, b sont des nombres réels.
De telles intégrales se réduisent aux intégrales de fonctions rationnelles dans trois cas.
1) Si p est un entier. Substitution x = t N, où N est le dénominateur commun des fractions m et n.
2) Si - un entier. Substitution a x n + b = t M, où M est le dénominateur du nombre p.
3) Si - un entier. Substitution a + b x - n = t M, où M est le dénominateur du nombre p.
Dans d’autres cas, ces intégrales ne sont pas exprimées par des fonctions élémentaires.
Parfois, ces intégrales peuvent être simplifiées à l'aide de formules de réduction :
;
.
Intégrales contenant la racine carrée d'un trinôme carré
De telles intégrales ont la forme :
,
où R est une fonction rationnelle. Pour chacune de ces intégrales, il existe plusieurs méthodes pour la résoudre.
1)
L'utilisation de transformations conduit à des intégrales plus simples.
2)
Appliquez des substitutions trigonométriques ou hyperboliques.
3)
Appliquez les substitutions d'Euler.
Examinons ces méthodes plus en détail.
1) Transformation de la fonction intégrande
En appliquant la formule et en effectuant des transformations algébriques, nous réduisons la fonction intégrande à la forme :
,
où φ(x), ω(x) sont des fonctions rationnelles.
Tapez I
Intégrale de la forme :
,
où P n (x) est un polynôme de degré n.
De telles intégrales sont trouvées par la méthode coefficients incertains, en utilisant l'identité :
.
En différenciant cette équation et en égalisant les côtés gauche et droit, on trouve les coefficients A i.
Type II
Intégrale de la forme :
,
où P m (x) est un polynôme de degré m.
Remplacement t = (x - α) -1 cette intégrale se réduit à type précédent. Si m ≥ n, alors la fraction doit avoir une partie entière.
type III
Ici, nous effectuons la substitution :
.
Après quoi l’intégrale prendra la forme :
.
Ensuite, les constantes α, β doivent être choisies telles que les coefficients de t au dénominateur deviennent nuls :
B = 0, B1 = 0.
Ensuite l'intégrale se décompose en somme d'intégrales de deux types :
,
,
qui sont intégrés par substitutions :
vous 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = UNE 1 + C 1 t -2 .
2) Substitutions trigonométriques et hyperboliques
Pour les intégrales de la forme , un > 0
,
nous avons trois substitutions principales :
;
;
;
Pour les intégrales, un > 0
,
nous avons les substitutions suivantes :
;
;
;
Et enfin, pour les intégrales, un > 0
,
les substitutions sont les suivantes :
;
;
;
3) Remplacements d'Euler
De plus, les intégrales peuvent être réduites aux intégrales de fonctions rationnelles de l'une des trois substitutions d'Euler :
, pour un > 0 ;
, pour c > 0 ;
, où x 1 est la racine de l'équation a x 2 + b x + c = 0.
Si cette équation a de vraies racines.
Intégrales elliptiques
,
En conclusion, considérons les intégrales de la forme : où R est une fonction rationnelle, . De telles intégrales sont appelées elliptiques. DANS
vue générale
.
ils ne s'expriment pas à travers des fonctions élémentaires. Cependant, il existe des cas où il existe des relations entre les coefficients A, B, C, D, E, dans lesquels de telles intégrales sont exprimées par des fonctions élémentaires.
Vous trouverez ci-dessous un exemple lié aux polynômes réflexifs. Le calcul de telles intégrales s'effectue à l'aide de substitutions :
.
Exemple
Calculez l'intégrale :
.
Solution 0
Faisons une substitution. 0
Ici à x >< 0
(tu>< 0
) prenez le signe supérieur ′+ ′. À x
.
(tu
) - inférieur '- '.
Répondre
Littérature utilisée :
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Collection de problèmes en mathématiques supérieures, «Lan», 2003.
Auparavant, étant donné une fonction donnée, guidé par diverses formules et règles, nous trouvions sa dérivée. La dérivée a de nombreuses utilisations : c'est la vitesse du mouvement (ou, plus généralement, la vitesse de tout processus) ; le coefficient angulaire de la tangente au graphique de la fonction ; en utilisant la dérivée, vous pouvez examiner une fonction pour la monotonie et les extrema ; cela aide à résoudre les problèmes d’optimisation. Un point matériel se déplace en ligne droite, la vitesse de son déplacement au temps t est donnée par la formule v=gt. Trouvez la loi du mouvement.
Solution. Soit s = s(t) la loi du mouvement souhaitée. On sait que s"(t) = v(t). Cela signifie que pour résoudre le problème, vous devez sélectionner une fonction s = s(t), dont la dérivée est égale à gt. Ce n'est pas difficile à deviner que \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Réponse : \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Notons tout de suite que l'exemple est résolu correctement, mais incomplètement. Nous avons \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). En fait, le problème a une infinité de solutions : toute fonction de la forme \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), où C est une constante arbitraire, peut servir de loi de mouvement, puisque \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)
Pour rendre le problème plus précis, nous devions corriger la situation initiale : indiquer la coordonnée d'un point en mouvement à un moment donné, par exemple à t = 0. Si, disons, s(0) = s 0, alors à partir du égalité s(t) = (gt 2)/2 + C on obtient : s(0) = 0 + C, c'est-à-dire C = s 0. Maintenant, la loi du mouvement est définie de manière unique : s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
En mathématiques, les opérations réciproques sont attribuées différents noms, proposez des notations spéciales, par exemple : carré (x 2) et prise de la racine carrée (\(\sqrt(x)\)), sinus (sin x) et arc sinus (arcsin x), etc. Le processus de recherche la dérivée par rapport à une fonction donnée est appelée différenciation, et l'opération inverse, c'est-à-dire le processus de recherche d'une fonction à partir d'une dérivée donnée, est intégration.
Le terme « dérivé » lui-même peut être justifié « dans la vie de tous les jours » : la fonction y = f(x) « produit » nouvelle fonctionnalité y" = f"(x). La fonction y = f(x) agit comme si elle était un « parent », mais les mathématiciens, naturellement, ne l'appellent pas un « parent » ou un « producteur », ils disent qu'elle l'est, par rapport à la fonction y" = ; f"(x) , image primaire ou primitive.
Définition. La fonction y = F(x) est appelée primitive pour la fonction y = f(x) sur l'intervalle X si l'égalité F"(x) = f(x) est vraie pour \(x \in X\)
En pratique, l'intervalle X n'est généralement pas spécifié, mais est implicite (en tant que domaine naturel de définition de la fonction).
Donnons des exemples.
1) La fonction y = x 2 est primitive pour la fonction y = 2x, puisque pour tout x l'égalité (x 2)" = 2x est vraie
2) La fonction y = x 3 est primitive pour la fonction y = 3x 2, puisque pour tout x l'égalité (x 3)" = 3x 2 est vraie
3) La fonction y = sin(x) est primitive pour la fonction y = cos(x), puisque pour tout x l'égalité (sin(x))" = cos(x) est vraie
Lors de la recherche de primitives et de dérivés, non seulement des formules sont utilisées, mais également certaines règles. Ils sont directement liés aux règles correspondantes de calcul des dérivés.
On sait que la dérivée d'une somme est égale à la somme de ses dérivées. Cette règle génère la règle correspondante pour trouver des primitives.
Règle 1. La primitive d’une somme est égale à la somme des primitives.
Nous savons que le facteur constant peut être soustrait du signe de la dérivée. Cette règle génère la règle correspondante pour trouver des primitives.
Règle 2. Si F(x) est une primitive de f(x), alors kF(x) est une primitive de kf(x).
Théorème 1. Si y = F(x) est une primitive de la fonction y = f(x), alors la primitive de la fonction y = f(kx + m) est la fonction \(y=\frac(1)(k)F (kx+m)\)
Théorème 2. Si y = F(x) est une primitive de la fonction y = f(x) sur l'intervalle X, alors la fonction y = f(x) a une infinité de primitives, et elles ont toutes la forme y = F(x) +C.
Méthodes d'intégration
Méthode de remplacement des variables (méthode de substitution)
La méthode d'intégration par substitution consiste à introduire une nouvelle variable d'intégration (c'est-à-dire la substitution). Dans ce cas, l'intégrale donnée est réduite à une nouvelle intégrale, qui lui est tabulaire ou réductible. Méthodes courantes il n'y a pas de sélection de substitutions. La capacité de déterminer correctement la substitution s'acquiert par la pratique.
Soit qu'il soit nécessaire de calculer l'intégrale \(\textstyle \int F(x)dx \). Faisons la substitution \(x= \varphi(t) \) où \(\varphi(t) \) est une fonction qui a une dérivée continue.
Alors \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) et en fonction de la propriété d'invariance de la formule d'intégration pour l'intégrale indéfinie, on obtient la formule d'intégration par substitution :
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Intégration d'expressions de la forme \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Si m est impair, m > 0, alors il est plus pratique d'effectuer la substitution sin x = t.
Si n est impair, n > 0, alors il est plus pratique d'effectuer la substitution cos x = t.
Si n et m sont pairs, alors il est plus pratique d'effectuer la substitution tg x = t.
Intégration par parties
Intégration par parties - application formule suivante pour l'intégration :
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ou:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)