Comment ?
Exemples de solutions

S’il manque quelque chose quelque part, c’est qu’il y a quelque chose quelque part

Nous continuons à étudier la section « Fonctions et graphiques », et la prochaine étape de notre voyage est celle-ci. Une discussion active sur ce concept a commencé dans l'article sur les ensembles et s'est poursuivie dans la première leçon sur graphiques de fonctions, où j'ai étudié les fonctions élémentaires et, en particulier, leurs domaines de définition. Par conséquent, je recommande aux nuls de commencer par les bases du sujet, puisque je ne m'attarderai pas encore sur certains points fondamentaux.

On suppose que le lecteur connaît le domaine de définition des fonctions suivantes : fonctions linéaires, quadratiques, cubiques, polynômes, exponentielles, sinus, cosinus. Ils sont définis sur (l'ensemble de tous les nombres réels). Pour les tangentes, les arcs sinus, qu'il en soit ainsi, je vous pardonne =) - les graphiques plus rares ne sont pas immédiatement mémorisés.

La portée de la définition semble être une chose simple, et une question logique se pose : de quoi portera l’article ? Dans cette leçon, j'examinerai les problèmes courants liés à la recherche du domaine d'une fonction. Nous répéterons d’ailleurs inégalités à une variable, dont les compétences en résolution seront également requises dans d'autres problèmes de mathématiques supérieures. Soit dit en passant, le matériel est entièrement du matériel scolaire, il sera donc utile non seulement aux étudiants, mais aussi aux étudiants. L'information, bien sûr, n'a pas la prétention d'être encyclopédique, mais il ne s'agit pas ici d'exemples « morts » farfelus, mais de marrons grillés, tirés de véritables travaux pratiques.

Commençons par une introduction rapide au sujet. En bref sur l'essentiel : nous parlons d'une fonction d'une variable. Son domaine de définition est plusieurs significations de "x", pour lequel exister significations du terme « joueurs ». Regardons un exemple hypothétique :

Le domaine de définition de cette fonction est une union d'intervalles :
(pour ceux qui ont oublié : - icône d'unification). En d'autres termes, si vous prenez une valeur de « x » à partir de l'intervalle , ou de , ou de , alors pour chacun de ces « x », il y aura une valeur « y ».

En gros, là où se trouve le domaine de définition, il existe un graphique de la fonction. Mais le demi-intervalle et le point « tse » ne sont pas inclus dans la zone de définition et il n'y a pas de graphique là-bas.

Comment trouver le domaine d'une fonction ? Beaucoup de gens se souviennent de la comptine des enfants : « pierre, papier, ciseaux », et dans ce cas, elle peut être paraphrasée en toute sécurité : « racine, fraction et logarithme ». Ainsi, si vous rencontrez une fraction, une racine ou un logarithme sur votre chemin de vie, vous devez tout de suite vous méfier ! Tangente, cotangente, arc sinus, arc cosinus sont beaucoup moins courantes, et nous en parlerons également. Mais d'abord, des croquis de la vie des fourmis :

Domaine d'une fonction qui contient une fraction

Supposons que l’on nous donne une fonction contenant une fraction. Comme vous le savez, on ne peut pas diviser par zéro : , donc ceux Les valeurs « X » qui mettent le dénominateur à zéro ne sont pas incluses dans le champ d'application de cette fonction..

Je ne m'attarderai pas sur les fonctions les plus simples comme etc., puisque chacun voit parfaitement les points qui ne rentrent pas dans son domaine de définition. Regardons des fractions plus significatives :

Exemple 1

Trouver le domaine d'une fonction

Solution: Il n'y a rien de spécial au numérateur, mais le dénominateur doit être différent de zéro. Mettons-le égal à zéro et essayons de trouver les "mauvais" points :

L'équation résultante a deux racines : . Valeurs des données ne font pas partie du champ d'application de la fonction. En effet, remplacez ou dans la fonction et vous verrez que le dénominateur tend vers zéro.

Répondre: champ d'application de la définition :

L'entrée se lit comme ceci : « le domaine de définition est constitué de tous les nombres réels à l'exception de l'ensemble constitué de valeurs " Permettez-moi de vous rappeler que le symbole de barre oblique inverse en mathématiques désigne une soustraction logique et que les accolades désignent un ensemble. La réponse peut s’écrire de manière équivalente sous la forme d’une union de trois intervalles :

Celui qui aime ça.

Aux points la fonction tolère des pauses interminables, et les droites données par les équations sont asymptotes verticales pour le graphique de cette fonction. Cependant, il s’agit d’un sujet légèrement différent et je n’y consacrerai pas beaucoup d’attention.

Exemple 2

Trouver le domaine d'une fonction

La tâche est essentiellement orale et beaucoup d’entre vous trouveront presque immédiatement le domaine de la définition. La réponse se trouve à la fin de la leçon.

Une fraction sera-t-elle toujours « mauvaise » ? Non. Par exemple, une fonction est définie sur toute la droite numérique. Quelle que soit la valeur de « x » que l’on prend, le dénominateur ne passera pas à zéro, de plus, il sera toujours positif : . Ainsi, le périmètre de cette fonction est : .

Toutes les fonctions comme défini et continu sur .

La situation est un peu plus compliquée lorsque le dénominateur est occupé par un trinôme quadratique :

Exemple 3

Trouver le domaine d'une fonction

Solution: Essayons de trouver les points auxquels le dénominateur passe à zéro. Pour cela nous déciderons équation quadratique:

Le discriminant s'est avéré négatif, ce qui signifie qu'il n'y a pas de vraies racines et que notre fonction est définie sur tout l'axe numérique.

Répondre: champ d'application de la définition :

Exemple 4

Trouver le domaine d'une fonction

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon. Je vous conseille de ne pas être paresseux avec des problèmes simples, car les malentendus s'accumuleront avec d'autres exemples.

Domaine d'une fonction avec une racine

La fonction racine carrée est définie uniquement pour les valeurs de "x" lorsque l'expression radicale n'est pas négative: . Si la racine est située au dénominateur , alors la condition est évidemment resserrée : . Des calculs similaires sont valables pour toute racine de degré pair positif : , cependant, la racine est déjà du 4ème degré en études fonctionnelles Je ne m'en souviens pas.

Exemple 5

Trouver le domaine d'une fonction

Solution: l'expression radicale doit être non négative :

Avant de poursuivre avec la solution, permettez-moi de vous rappeler les règles de base pour travailler avec les inégalités, connues de l'école.

Je fais particulièrement attention ! Nous envisageons maintenant les inégalités avec une variable- c'est-à-dire que pour nous il n'y a que une dimension le long de l'axe. Ne confondez pas avec inégalités de deux variables, où tout le plan de coordonnées est géométriquement impliqué. Mais il y a aussi d’agréables coïncidences ! Ainsi, pour l’inégalité, les transformations suivantes sont équivalentes :

1) Les termes peuvent être transférés d'une partie à l'autre en modifiant leur (les termes) signes.

2) Les deux côtés de l’inégalité peuvent être multipliés par un nombre positif.

3) Si les deux côtés de l'inégalité sont multipliés par négatif numéro, alors vous devez changer signe d'inégalité lui-même. Par exemple, s’il y avait « plus », alors cela deviendra « moins » ; s'il était « inférieur ou égal », alors il deviendra « supérieur ou égal ».

Dans l'inégalité, on déplace le « trois » vers la droite avec un changement de signe (règle n°1) :

Multiplions les deux côtés de l'inégalité par –1 (règle n°3) :

Multiplions les deux côtés de l'inégalité par (règle n°2) :

Répondre: champ d'application de la définition :

La réponse peut également être écrite dans une phrase équivalente : « la fonction est définie en ».
Géométriquement, la zone de définition est représentée en ombrant les intervalles correspondants sur l'axe des abscisses. Dans ce cas:

Encore une fois je vous rappelle la signification géométrique du domaine de définition - le graphe de la fonction n'existe que dans la zone ombrée et est absent à .

Dans la plupart des cas, une détermination purement analytique du domaine de définition convient, mais lorsque la fonction est très compliquée, il convient de tracer un axe et de prendre des notes.

Exemple 6

Trouver le domaine d'une fonction

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même.

Lorsqu'il y a un binôme carré ou un trinôme sous la racine carrée, la situation devient un peu plus compliquée, et nous allons maintenant analyser en détail la technique de résolution :

Exemple 7

Trouver le domaine d'une fonction

Solution: l'expression radicale doit être strictement positive, c'est-à-dire qu'il faut résoudre l'inégalité. Dans un premier temps, nous essayons de factoriser le trinôme quadratique :

Le discriminant est positif, on cherche des racines :

Donc la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points, ce qui signifie qu'une partie de la parabole est située en dessous de l'axe (inégalité) et une partie de la parabole est située au-dessus de l'axe (l'inégalité dont nous avons besoin).

Puisque le coefficient est , les branches de la parabole pointent vers le haut. De ce qui précède, il résulte que l'inégalité est satisfaite sur les intervalles (les branches de la parabole montent vers l'infini), et le sommet de la parabole est situé sur l'intervalle en dessous de l'axe des x, ce qui correspond à l'inégalité :

! Note: Si vous ne comprenez pas bien les explications, veuillez dessiner le deuxième axe et la parabole entière ! Il est conseillé de revenir à l'article et au manuel Formules chaudes pour le cours de mathématiques à l'école.

Veuillez noter que les points eux-mêmes sont supprimés (non inclus dans la solution), puisque notre inégalité est stricte.

Répondre: champ d'application de la définition :

En général, de nombreuses inégalités (y compris celle considérée) sont résolues par l’universel méthode d'intervalle, encore une fois connu du programme scolaire. Mais dans le cas des binômes carrés et des trinômes, à mon avis, il est beaucoup plus pratique et plus rapide d'analyser l'emplacement de la parabole par rapport à l'axe. Et nous analyserons en détail la méthode principale - la méthode des intervalles - dans l'article. Fonction zéros. Intervalles de constance.

Exemple 8

Trouver le domaine d'une fonction

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. L'échantillon commente en détail la logique du raisonnement + la deuxième méthode de solution et une autre transformation importante de l'inégalité, sans savoir laquelle l'élève boitera d'une jambe..., ...hmm... peut-être que j'étais excité sur la jambe, plus probablement sur un orteil. Pouce.

Une fonction racine carrée peut-elle être définie sur toute la droite numérique ? Certainement. Tous les visages familiers : . Ou une somme similaire avec un exposant : . En effet, pour toute valeur de « x » et « ka » : , donc aussi et .

Voici un exemple moins évident : . Ici le discriminant est négatif (la parabole ne coupe pas l'axe des x), alors que les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, d'où le domaine de définition : .

La question inverse : le domaine de définition d'une fonction peut-il être vide? Oui, et un exemple primitif s'impose immédiatement , où l'expression radicale est négative pour toute valeur de « x », et le domaine de définition : (icône d'ensemble vide). Une telle fonction n'est pas du tout définie (bien entendu, le graphique est également illusoire).

Avec des racines étranges etc. tout va bien mieux - ici l'expression radicale peut être négative. Par exemple, une fonction est définie sur toute la droite numérique. Cependant, la fonction possède un seul point qui n’est toujours pas inclus dans le domaine de définition, puisque le dénominateur est mis à zéro. Pour la même raison pour la fonction les points sont exclus.

Domaine d'une fonction avec un logarithme

La troisième fonction courante est le logarithme. À titre d'exemple, je vais tirer le logarithme népérien, qui apparaît dans environ 99 exemples sur 100. Si une certaine fonction contient un logarithme, alors son domaine de définition ne doit inclure que les valeurs de « x » qui satisfont l'inégalité. Si le logarithme est au dénominateur : , alors en plus une condition est imposée (depuis ).

Exemple 9

Trouver le domaine d'une fonction

Solution: conformément à ce qui précède, nous composerons et résoudrons le système :

Solution graphique pour les nuls :

Répondre: champ d'application de la définition :

Je m'attarderai sur un autre point technique - je n'ai pas l'échelle indiquée et les divisions le long de l'axe ne sont pas marquées. La question se pose : comment réaliser de tels dessins dans un cahier sur papier quadrillé ? La distance entre les points doit-elle être mesurée par des cellules strictement selon une échelle ? Il est bien sûr plus canonique et plus strict à l'échelle, mais un dessin schématique qui reflète fondamentalement la situation est également tout à fait acceptable.

Exemple 10

Trouver le domaine d'une fonction

Pour résoudre le problème, vous pouvez utiliser la méthode du paragraphe précédent - analyser comment la parabole se situe par rapport à l'axe des x. La réponse se trouve à la fin de la leçon.

Comme vous pouvez le constater, dans le domaine des logarithmes, tout est très similaire à la situation des racines carrées : la fonction (trinôme carré de l'exemple n°7) est défini sur les intervalles, et la fonction (binôme carré de l'exemple n°6) sur l'intervalle . Il est même difficile de dire que les fonctions de type sont définies sur toute la droite numérique.

Informations utiles : la fonction typique est intéressante, elle est définie sur toute la droite numérique sauf le point. Selon la propriété du logarithme, le « deux » peut être multiplié en dehors du logarithme, mais pour que la fonction ne change pas, le « x » doit être placé sous le signe du module : . Voici une autre « application pratique » du module =). C'est ce que vous devez faire dans la plupart des cas lorsque vous démolissez même diplôme, par exemple : . Si la base du degré est évidemment positive par exemple, alors le signe du module n'est pas nécessaire et il suffit d'utiliser des parenthèses : .

Pour éviter les répétitions, compliquons la tâche :

Exemple 11

Trouver le domaine d'une fonction

Solution: dans cette fonction nous avons à la fois la racine et le logarithme.

L'expression radicale doit être non négative : , et l'expression sous le signe du logarithme doit être strictement positive : . Il faut donc résoudre le système :

Beaucoup d'entre vous savent très bien ou devinent intuitivement que la solution système doit satisfaire à tout le monde condition.

En examinant l'emplacement de la parabole par rapport à l'axe, nous arrivons à la conclusion que l'inégalité est satisfaite par l'intervalle (ombrage bleu) :

L'inégalité correspond évidemment au demi-intervalle « rouge ».

Puisque les deux conditions doivent être remplies simultanément, alors la solution du système est l’intersection de ces intervalles. Les "intérêts communs" sont satisfaits à la mi-temps.

Répondre: champ d'application de la définition :

L'inégalité typique, telle que démontrée dans l'exemple n° 8, n'est pas difficile à résoudre analytiquement.

Le domaine trouvé ne changera pas pour les « fonctions similaires », par ex. ou . Vous pouvez également ajouter quelques fonctions continues, par exemple : , ou comme ceci : , ou même comme ceci : . Comme on dit, la racine et le logarithme sont des choses tenaces. La seule chose est que si l'une des fonctions est « réinitialisée » au dénominateur, alors le domaine de définition changera (bien que dans le cas général ce ne soit pas toujours vrai). Eh bien, dans la théorie matan à propos de ce verbal... oh... il y a des théorèmes.

Exemple 12

Trouver le domaine d'une fonction

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Utiliser un dessin est tout à fait approprié, car la fonction n'est pas des plus simples.

Quelques exemples supplémentaires pour renforcer le matériel :

Exemple 13

Trouver le domaine d'une fonction

Solution: composons et résolvons le système :

Toutes les actions ont déjà été discutées tout au long de l'article. Représentons l'intervalle correspondant à l'inégalité sur la droite numérique et, selon la deuxième condition, éliminons deux points :

Le sens s’est avéré totalement hors de propos.

Répondre: domaine de définition

Un petit jeu de mots mathématique sur une variante du 13ème exemple :

Exemple 14

Trouver le domaine d'une fonction

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Ceux qui l'ont raté n'ont pas de chance ;-)

La dernière partie de la leçon est consacrée à des fonctions plus rares, mais aussi « de travail » :

Zones de définition de fonction
avec tangentes, cotangentes, arcsinus, arccosinus

Si une fonction inclut , alors à partir de son domaine de définition exclu points , Où Z– un ensemble d'entiers. En particulier, comme indiqué dans l'article Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires, la fonction a les valeurs suivantes :

C'est-à-dire le domaine de définition de la tangente : .

Ne tuons pas trop :

Exemple 15

Trouver le domaine d'une fonction

Solution: dans ce cas, les points suivants ne seront pas inclus dans le domaine de définition :

Jetons le « deux » du côté gauche dans le dénominateur du côté droit :

Par conséquent :

Répondre: champ d'application de la définition : .

En principe, la réponse peut s’écrire comme une union d’un nombre infini d’intervalles, mais la construction sera très lourde :

La solution analytique est tout à fait cohérente avec transformation géométrique du graphique: si l'argument d'une fonction est multiplié par 2, alors son graphique se rétrécira deux fois à l'axe. Remarquez comment la période de la fonction a été réduite de moitié, et points de rupture doublé en fréquence. Tachycardie.

Une histoire similaire avec la cotangente. Si une fonction inclut , alors les points sont exclus de son domaine de définition. En particulier, pour la fonction rafale automatique, nous prenons les valeurs suivantes :

Autrement dit:

Il existe un nombre infini de fonctions en mathématiques. Et chacun a son propre caractère.) Pour travailler avec une grande variété de fonctions dont vous avez besoin célibataire approche. Sinon, de quel genre de mathématiques s'agit-il ?!) Et il existe une telle approche !

Lorsque nous travaillons avec n'importe quelle fonction, nous lui présentons une série de questions standard. Et la première question, la plus importante, est domaine de définition d’une fonction. Parfois, cette zone est appelée l'ensemble des valeurs d'arguments valides, la zone où une fonction est spécifiée, etc.

Quel est le domaine d'une fonction ? Comment le trouver ? Ces questions semblent souvent complexes et incompréhensibles... Même si, en réalité, tout est extrêmement simple. Vous pouvez le constater par vous-même en lisant cette page. Allons-y?)

Eh bien, que puis-je dire... Juste du respect.) Oui ! Le domaine naturel d'une fonction (qui est discuté ici) matchs avec ODZ des expressions incluses dans la fonction. En conséquence, ils sont recherchés selon les mêmes règles.

Examinons maintenant un domaine de définition pas tout à fait naturel.)

Restrictions supplémentaires sur l'étendue d'une fonction.

Nous parlerons ici des restrictions imposées par la tâche. Ceux. La tâche contient des conditions supplémentaires proposées par le compilateur. Ou bien les restrictions émergent de la méthode même de définition de la fonction.

Quant aux restrictions de la tâche, tout est simple. Habituellement, il n’y a rien à chercher, tout est déjà dit dans la tâche. Permettez-moi de vous rappeler que les restrictions écrites par l'auteur de la tâche n'annulent pas limites fondamentales des mathématiques. Il faut juste penser à prendre en compte les conditions de la tâche.

Par exemple, cette tâche :

Trouver le domaine d'une fonction :

sur l'ensemble des nombres positifs.

Nous avons trouvé ci-dessus le domaine naturel de définition de cette fonction. Cette zone :

ré(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

Dans la méthode verbale de spécification d'une fonction, vous devez lire attentivement la condition et y trouver des restrictions sur les X. Parfois les yeux cherchent des formules, mais les mots sifflent devant la conscience oui...) Exemple de la leçon précédente :

La fonction est spécifiée par la condition : chaque valeur de l'argument naturel x est associée à la somme des chiffres qui composent la valeur de x.

Il convient de noter ici que nous parlons seulement sur les valeurs naturelles de X. Alors D(f) enregistré instantanément :

ré(f) : x ∈ N

Comme vous pouvez le constater, le domaine d’une fonction n’est pas un concept si compliqué. Trouver cette région revient à examiner la fonction, à écrire un système d'inégalités et à résoudre ce système. Bien entendu, il existe toutes sortes de systèmes, simples et complexes. Mais...

Je vais vous dire un petit secret. Parfois, une fonction pour laquelle vous devez trouver le domaine de définition semble tout simplement intimidante. J'ai envie de pâlir et de pleurer.) Mais dès que j'écris le système des inégalités... Et, du coup, le système se révèle élémentaire ! D’ailleurs, souvent, plus la fonction est terrible, plus le système est simple…

Moralité : les yeux ont peur, la tête décide !)

Fonction y=f(x) est une telle dépendance de la variable y sur la variable x, lorsque chaque valeur valide de la variable x correspond à une seule valeur de la variable y.

Domaine de définition de fonction D(f) est l'ensemble de toutes les valeurs possibles de la variable x.

Plage de fonctions E(f) est l'ensemble de toutes les valeurs admissibles de la variable y.

Graphique d'une fonction y=f(x) est un ensemble de points sur le plan dont les coordonnées satisfont une dépendance fonctionnelle donnée, c'est-à-dire des points de la forme M (x; f(x)). Le graphique d'une fonction est une certaine ligne sur un plan.

Si b=0 , alors la fonction prendra la forme y=kx et sera appelée proportionnalité directe.

D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R

Le graphique d'une fonction linéaire est une ligne droite.

La pente k de la droite y=kx+b est calculée à l'aide de la formule suivante :

k= tan \alpha, où \alpha est l'angle d'inclinaison de la ligne droite par rapport à la direction positive de l'axe Ox.

1) La fonction augmente de manière monotone pour k > 0.

Par exemple : y=x+1

2) La fonction décroît de façon monotone à mesure que k< 0 .

Par exemple : y=-x+1

3) Si k=0, alors en donnant b valeurs arbitraires, on obtient une famille de droites parallèles à l'axe Ox.

Par exemple : y=-1

Proportionnalité inverse

Proportionnalité inverse appelée fonction de la forme y=\frac (k)(x), où k est un nombre réel non nul

D(f) : x \in \left \( R/x \neq 0 \right \); \: E(f) : y \in \left \(R/y \neq 0 \right \).

Graphique de fonction y=\frac (k)(x) est une hyperbole.

1) Si k > 0, alors le graphique de la fonction sera situé dans les premier et troisième quarts du plan de coordonnées.

Par exemple: y=\frac(1)(x)

2) Si k< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

Par exemple: y=-\frac(1)(x)

Fonction d'alimentation

Fonction d'alimentation est une fonction de la forme y=x^n, où n est un nombre réel non nul

1) Si n=2, alors y=x^2. D(f) : x \dans R; \: E(f) : y \dans; période principale de la fonction T=2 \pi

Comment trouver le domaine d'une fonction ? Les collégiens sont souvent confrontés à cette tâche.

Les parents devraient aider leurs enfants à comprendre ce problème.

Spécification d'une fonction.

Rappelons les termes fondamentaux de l'algèbre. En mathématiques, une fonction est la dépendance d’une variable par rapport à une autre. On peut dire qu’il s’agit d’une loi mathématique stricte qui relie deux nombres d’une certaine manière.

En mathématiques, lors de l'analyse de formules, les variables numériques sont remplacées par des symboles alphabétiques. Les plus couramment utilisés sont x (« x ») et y (« y »). La variable x est appelée l'argument et la variable y est appelée la variable dépendante ou fonction de x.

Il existe différentes manières de définir les dépendances des variables.

Listons-les :

1. Type analytique.
2. Vue tabulaire.
3. Affichage graphique.

La méthode analytique est représentée par la formule. Regardons des exemples : y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). La formule y=2x+3 est typique pour une fonction linéaire. En substituant la valeur numérique de l'argument dans la formule donnée, nous obtenons la valeur de y.

La méthode tabulaire est un tableau composé de deux colonnes. La première colonne est réservée aux valeurs X et dans la colonne suivante, les données du joueur sont enregistrées.

La méthode graphique est considérée comme la plus visuelle. Un graphique est un affichage de l'ensemble de tous les points d'un plan.

Pour construire un graphique, un système de coordonnées cartésiennes est utilisé. Le système se compose de deux lignes perpendiculaires. Des segments unitaires identiques sont posés sur les axes. Le comptage s'effectue à partir du point central d'intersection des droites.

La variable indépendante est indiquée sur une ligne horizontale. C'est ce qu'on appelle l'axe des abscisses. La ligne verticale (axe y) affiche la valeur numérique de la variable dépendante. Les points sont marqués à l'intersection des perpendiculaires à ces axes. En reliant les points entre eux, on obtient une ligne continue. C'est la base du planning.

Types de dépendances variables

Définition.

En général, la dépendance est présentée sous la forme d'une équation : y=f(x). De la formule, il s'ensuit que pour chaque valeur du nombre x, il existe un certain nombre y. La valeur du jeu, qui correspond au nombre x, est appelée valeur de la fonction.

Toutes les valeurs possibles que la variable indépendante acquiert forment le domaine de définition de la fonction. En conséquence, l'ensemble des nombres de la variable dépendante détermine la plage de valeurs de la fonction. Le domaine de définition comprend toutes les valeurs de l'argument pour lesquelles f(x) a un sens.

La tâche initiale dans l’étude des lois mathématiques est de trouver le domaine de définition. Ce terme doit être correctement défini. Sinon, tous les calculs ultérieurs seront inutiles. Après tout, le volume des valeurs est formé sur la base des éléments du premier ensemble.

La portée d'une fonction dépend directement des contraintes. Les limitations sont causées par l'incapacité d'effectuer certaines opérations. Il existe également des limites à l'utilisation de valeurs numériques.

En l’absence de restrictions, le domaine de définition est l’ensemble de l’espace numérique. Le signe de l'infini a un symbole horizontal en forme de huit. L'ensemble des nombres s'écrit ainsi : (-∞; ∞).

Dans certains cas, l'ensemble de données est constitué de plusieurs sous-ensembles. La portée des intervalles ou espaces numériques dépend du type de loi de changement de paramètre.

Voici une liste de facteurs qui influencent les restrictions :

• proportionnalité inverse;
• racine arithmétique ;
• exponentiation;
• dépendance logarithmique;
• formes trigonométriques.

S'il existe plusieurs de ces éléments, la recherche de restrictions est divisée pour chacun d'eux. Le plus gros problème consiste à identifier les points critiques et les lacunes. La solution au problème sera de réunir tous les sous-ensembles numériques.

Ensemble et sous-ensemble de nombres

À propos des ensembles.

Le domaine de définition est exprimé par D(f), et le signe d'union est représenté par le symbole ∪. Tous les intervalles numériques sont mis entre parenthèses. Si la limite du site n'est pas incluse dans l'ensemble, alors une parenthèse semi-circulaire est placée. Sinon, lorsqu'un nombre est inclus dans un sous-ensemble, des crochets sont utilisés.

La proportionnalité inverse est exprimée par la formule y=k/x. Le graphe de fonctions est une ligne courbe composée de deux branches. C'est ce qu'on appelle communément une hyperbole.

Puisque la fonction est exprimée sous forme de fraction, trouver le domaine de définition revient à analyser le dénominateur. Il est bien connu qu’en mathématiques, la division par zéro est interdite. Résoudre le problème revient à égaliser le dénominateur à zéro et à trouver les racines.

Voici un exemple :

Étant donné : y=1/(x+4). Trouvez le domaine de définition.

1. Nous assimilons le dénominateur à zéro.
   x+4=0
2. Trouver la racine de l'équation.
   x=-4
3. Nous définissons l'ensemble de toutes les valeurs possibles de l'argument.
   ré(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

Réponse : Le domaine de la fonction est constitué de tous les nombres réels sauf -4.

La valeur d'un nombre sous le signe racine carrée ne peut pas être négative. Dans ce cas, définir une fonction avec une racine se réduit à résoudre une inégalité. L'expression radicale doit être supérieure à zéro.

La zone de détermination de la racine est liée à la parité de l'indicateur racine. Si l'indicateur est divisible par 2, alors l'expression n'a de sens que si elle est positive. Un nombre impair de l'indicateur indique l'admissibilité de toute valeur de l'expression radicale : à la fois positive et négative.

Les inégalités se résolvent de la même manière que les équations. Il n'y a qu'une seule différence. Après avoir multiplié les deux côtés de l’inégalité par un nombre négatif, le signe doit être inversé.

Si la racine carrée est au dénominateur, alors une condition supplémentaire doit être imposée. La valeur numérique ne doit pas être nulle. Les inégalités entrent dans la catégorie des inégalités strictes.

Fonctions logarithmiques et trigonométriques

La forme logarithmique est logique pour les nombres positifs. Ainsi, le domaine de la fonction logarithmique est similaire à la fonction racine carrée, à l'exception de zéro.

Considérons un exemple de dépendance logarithmique : y=log(2x-6). Trouvez le domaine de définition.

• 2x-6>0
• 2x>6
• x>6/2

Réponse : (3 ; +∞).

Le domaine de définition de y=sin x et y=cos x est l'ensemble de tous les nombres réels. Il existe des restrictions pour la tangente et la cotangente. Ils sont associés à la division par le cosinus ou le sinus d'un angle.

La tangente d'un angle est déterminée par le rapport du sinus au cosinus. Indiquons les valeurs d'angle pour lesquelles la valeur tangente n'existe pas. La fonction y=tg x a du sens pour toutes les valeurs de l'argument sauf x=π/2+πn, n∈Z.

Le domaine de définition de la fonction y=ctg x est l'ensemble des nombres réels, à l'exclusion de x=πn, n∈Z. Si l'argument est égal au nombre π ou à un multiple de π, le sinus de l'angle est nul. En ces points (asymptotes), la cotangente ne peut pas exister.

Les premières tâches pour identifier le domaine de définition commencent dès les cours de 7e année. Lorsqu'il est initié pour la première fois à cette section de l'algèbre, l'étudiant doit clairement comprendre le sujet.

A noter que ce terme accompagnera l'écolier, puis l'étudiant, tout au long de la période d'études.

Nous avons découvert qu'il y avait X- un ensemble sur lequel la formule qui définit la fonction prend tout son sens. En analyse mathématique, cet ensemble est souvent noté D (domaine d'une fonction ). À leur tour, beaucoup Oui noté comme E (plage de fonctions ) et en même temps D Et E appelés sous-ensembles R.(ensemble de nombres réels).

Si une fonction est définie par une formule, alors, en l'absence de réserves particulières, le domaine de sa définition est considéré comme le plus grand ensemble sur lequel cette formule a du sens, c'est-à-dire le plus grand ensemble de valeurs d'arguments qui conduisent aux valeurs réelles de la fonction . En d’autres termes, l’ensemble des valeurs d’arguments sur lesquelles la « fonction fonctionne ».

Pour une compréhension générale, l'exemple n'a pas encore de formule. La fonction est spécifiée sous forme de paires de relations :

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

Trouvez le domaine de définition de ces fonctions.

Répondre. Le premier élément de la paire est une variable x. Puisque la spécification de la fonction contient également les deuxièmes éléments des paires - les valeurs de la variable oui, alors la fonction n'a de sens que pour les valeurs de X qui correspondent à une certaine valeur de Y. Autrement dit, nous prenons tous les X de ces paires par ordre croissant et en obtenons le domaine de définition de la fonction :

{2, 4, 5, 6, 7} .

La même logique fonctionne si la fonction est donnée par une formule. Seuls les seconds éléments par paires (c'est-à-dire les valeurs du i) sont obtenus en substituant certaines valeurs de x dans la formule. Cependant, pour trouver le domaine d’une fonction, nous n’avons pas besoin de parcourir toutes les paires de X et de Y.

Exemple 0. Comment trouver le domaine de définition de la fonction i est égal à la racine carrée de x moins cinq (expression radicale x moins cinq) () ? Il vous suffit de résoudre l'inégalité

x - 5 ≥ 0 ,

car pour que nous puissions obtenir la valeur réelle du jeu, l'expression radicale doit être supérieure ou égale à zéro. On obtient la solution : le domaine de définition de la fonction est constitué de toutes les valeurs de x supérieures ou égales à cinq (ou x appartient à l'intervalle de cinq inclus à plus l'infini).

Sur le dessin ci-dessus se trouve un fragment de l’axe des nombres. Sur celui-ci, la zone de définition de la fonction considérée est ombrée, tandis que dans le sens « plus », les hachures continuent indéfiniment avec l'axe lui-même.

Si vous utilisez des programmes informatiques qui produisent une réponse basée sur les données saisies, vous remarquerez peut-être que pour certaines valeurs des données saisies, le programme affiche un message d'erreur, c'est-à-dire que la réponse ne peut pas être calculée avec de telles données. Un tel message est fourni par les auteurs du programme si l'expression permettant de calculer la réponse est assez complexe ou concerne un domaine restreint, ou il est fourni par les auteurs du langage de programmation s'il s'agit de normes généralement acceptées, par exemple que on ne peut pas diviser par zéro.

Mais dans les deux cas, la réponse (la valeur d’une expression) ne peut pas être calculée car l’expression n’a pas de sens pour certaines valeurs de données.

Un exemple (pas encore tout à fait mathématique) : si le programme affiche le nom du mois en fonction du numéro du mois dans l'année, alors en saisissant « 15 », vous recevrez un message d'erreur.

Le plus souvent, l’expression calculée n’est qu’une fonction. Par conséquent, ces valeurs de données invalides ne sont pas incluses dans domaine d'une fonction . Et dans les calculs manuels, il est tout aussi important de représenter le domaine d’une fonction. Par exemple, vous calculez un certain paramètre d'un certain produit à l'aide d'une formule qui est une fonction. Pour certaines valeurs de l'argument d'entrée, vous n'obtiendrez rien en sortie.

Domaine de définition d'une constante

Constante (constante) définie pour toutes les valeurs réelles x R. des chiffres réels. Cela peut aussi s'écrire ainsi : le domaine de définition de cette fonction est la droite numérique entière ]- ∞ ; + ∞[ .

Exemple 1. Trouver le domaine d'une fonction oui = 2 .

Solution. Le domaine de définition de la fonction n'est pas indiqué, ce qui signifie qu'en raison de la définition ci-dessus, il s'agit du domaine naturel de définition. Expression f(x) = 2 défini pour toutes valeurs réelles x, cette fonction est donc définie sur l'ensemble de l'ensemble R. des chiffres réels.

Par conséquent, dans le dessin ci-dessus, la droite numérique est ombrée de moins l’infini à plus l’infini.

Zone de définition de racine nème degré

Dans le cas où la fonction est donnée par la formule et n- nombre naturel :

Exemple 2. Trouver le domaine d'une fonction .

Solution. Comme il ressort de la définition, une racine de degré pair a un sens si l'expression radicale est non négative, c'est-à-dire si - 1 ≤ x≤ 1. Le domaine de définition de cette fonction est donc [- 1 ; 1].

La zone ombrée de la droite numérique dans le dessin ci-dessus est le domaine de définition de cette fonction.

Domaine de fonction de puissance

Domaine d'une fonction puissance avec un exposant entier

Si un- positif, alors le domaine de définition de la fonction est l'ensemble de tous les nombres réels, soit ]- ∞ ; + ∞[ ;

Si un- négatif, alors le domaine de définition de la fonction est l'ensemble ]- ∞ ; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , c'est-à-dire toute la droite numérique sauf zéro.

Dans le dessin correspondant ci-dessus, toute la droite numérique est ombrée, et le point correspondant à zéro est pointé (il n'entre pas dans le domaine de définition de la fonction).

Exemple 3. Trouver le domaine d'une fonction .

Solution. Le premier terme est une puissance entière de x égale à 3, et la puissance de x dans le deuxième terme peut être représentée comme un - également un nombre entier. Par conséquent, le domaine de définition de cette fonction est la droite numérique entière, c'est-à-dire ]- ∞ ; + ∞[ .

Domaine d'une fonction puissance avec un exposant fractionnaire

Dans le cas où la fonction est donnée par la formule :

si est positif, alors le domaine de définition de la fonction est l'ensemble 0 ; + ∞[ .

Exemple 4. Trouver le domaine d'une fonction .

Solution. Les deux termes de l’expression de fonction sont des fonctions puissance avec des exposants fractionnaires positifs. Par conséquent, le domaine de définition de cette fonction est l'ensemble - ∞ ; + ∞[ .

Domaine des fonctions exponentielles et logarithmiques

Domaine de la fonction exponentielle

Dans le cas où une fonction est donnée par une formule, le domaine de définition de la fonction est la droite numérique entière, c'est-à-dire ] - ∞ ; + ∞[ .

Domaine de la fonction logarithmique

La fonction logarithmique est définie à condition que son argument soit positif, c'est-à-dire que son domaine de définition est l'ensemble ]0 ; + ∞[ .

Trouvez vous-même le domaine de la fonction, puis regardez la solution

Domaine des fonctions trigonométriques

Domaine de fonction oui= cos( x) - aussi beaucoup R. des chiffres réels.

Domaine de fonction oui= tg( x) - ensemble R. nombres réels autres que des nombres .

Domaine de fonction oui= ctg( x) - ensemble R. nombres réels, sauf nombres.

Exemple 8. Trouver le domaine d'une fonction .

Solution. La fonction externe est un logarithme décimal et son domaine de définition est soumis aux conditions du domaine de définition d'une fonction logarithmique en général. Autrement dit, son argument doit être positif. L'argument ici est le sinus de "x". En faisant tourner une boussole imaginaire autour d'un cercle, nous voyons que la condition péché x> 0 est violé lorsque « x » est égal à zéro, « pi », deux, multiplié par « pi » et généralement égal au produit de « pi » et de tout nombre entier pair ou impair.

Ainsi, le domaine de définition de cette fonction est donné par l'expression

,

Où k- un entier.

Domaine de définition des fonctions trigonométriques inverses

Domaine de fonction oui= arcsin( x) - définir [-1; 1].

Domaine de fonction oui= arccos( x) - également l'ensemble [-1; 1].

Domaine de fonction oui= arctan( x) - ensemble R. des chiffres réels.

Domaine de fonction oui= arcctg( x) - aussi beaucoup R. des chiffres réels.

Exemple 9. Trouver le domaine d'une fonction .

Solution. Résolvons l'inégalité :

Ainsi, on obtient le domaine de définition de cette fonction - le segment [- 4 ; 4].

Exemple 10. Trouver le domaine d'une fonction .

Solution. Résolvons deux inégalités :

Solution à la première inégalité :

Solution à la deuxième inégalité :

Ainsi, nous obtenons le domaine de définition de cette fonction - le segment.

Portée des fractions

Si une fonction est donnée par une expression fractionnaire dans laquelle la variable est au dénominateur de la fraction, alors le domaine de définition de la fonction est l'ensemble R. nombres réels, sauf ceux-ci x, auquel le dénominateur de la fraction devient zéro.

Exemple 11. Trouver le domaine d'une fonction .

Solution. En résolvant l'égalité du dénominateur de la fraction à zéro, on trouve le domaine de définition de cette fonction - l'ensemble ]- ∞ ; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .