Sortir le diplôme entre parenthèses. Sortir le facteur commun des parenthèses. La règle pour sortir le facteur commun des parenthèses

Dans cet article, nous nous concentrerons sur bracketing multiplicateur commun . Voyons d'abord en quoi consiste cette transformation d'expression. Ensuite, nous présenterons la règle pour placer le facteur commun entre parenthèses et examinerons en détail des exemples de son application.

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Par exemple, les termes de l'expression 6 x + 4 y ont un facteur commun 2, qui n'est pas écrit explicitement. On ne peut le voir qu'après avoir représenté le nombre 6 comme produit de 2,3 et 4 comme produit de 2,2. Donc, 6 x+4 y=2 3 x+2 2 y=2 (3 x+2 y). Autre exemple : dans l'expression x 3 +x 2 +3 x les termes ont un facteur commun x, qui devient clairement visible après avoir remplacé x 3 par x x 2 (dans ce cas nous avons utilisé) et x 2 par x x. Après l'avoir retiré des parenthèses, nous obtenons x·(x 2 +x+3) .

Disons séparément de mettre le moins entre parenthèses. En fait, mettre le moins entre parenthèses revient à mettre le moins un entre parenthèses. Par exemple, supprimons le moins dans l’expression −5−12·x+4·x·y. L'expression originale peut être réécrite comme (−1) 5+(−1) 12 x−(−1) 4 x y, d'où est clairement visible le facteur commun −1, que l'on retire des parenthèses. On arrive ainsi à l'expression (−1)·(5+12·x−4·x·y) dans laquelle le coefficient −1 est remplacé simplement par un moins avant les parenthèses, on a donc −( 5+12·x−4·x· y) . De là, on voit clairement que lorsque le moins est retiré des parenthèses, la somme initiale reste entre parenthèses, dans lesquelles les signes de tous ses termes ont été remplacés par des signes opposés.

En conclusion de cet article, notons que la mise entre parenthèses du facteur commun est très largement utilisée. Par exemple, il peut être utilisé pour calculer plus efficacement les valeurs d'expressions numériques. De plus, mettre un facteur commun entre parenthèses permet de représenter des expressions sous la forme d'un produit. En particulier, une des méthodes de factorisation d'un polynôme est basée sur la mise entre parenthèses ;

Références.

• Mathématiques. 6e année : pédagogique. pour l'enseignement général institutions / [N. Ya. Vilenkin et autres]. - 22e éd., rév. - M. : Mnémosyne, 2008. - 288 p. : ill. ISBN978-5-346-00897-2.

Dans cette leçon, nous allons nous familiariser avec les règles permettant de mettre un facteur commun entre parenthèses et apprendre à le trouver dans divers exemples et des expressions. Parlons de comment opération simple, placer le facteur commun hors parenthèses permet de simplifier les calculs. Nous consoliderons les connaissances et compétences acquises en examinant des exemples de complexités diverses.

Qu'est-ce qu'un facteur commun, pourquoi le rechercher et dans quel but est-il mis entre parenthèses ? Répondons à ces questions en regardant exemple le plus simple.

Résolvons l'équation. Côté gauche L'équation est un polynôme composé de termes similaires. La partie lettre est commune à ces termes, ce qui signifie qu'elle sera le facteur commun. Mettons-le entre parenthèses :

DANS dans ce cas mettre entre parenthèses le facteur commun nous a aidé à convertir le polynôme en monôme. Ainsi, nous avons pu simplifier le polynôme et sa transformation nous a aidé à résoudre l'équation.

Dans l'exemple considéré, le facteur commun était évident, mais serait-il si facile de le trouver dans un polynôme arbitraire ?

Trouvons le sens de l'expression : .

DANS dans cet exemple placer le facteur commun entre parenthèses a grandement simplifié le calcul.

Résolvons un autre exemple. Montrons la divisibilité en expressions.

L’expression résultante est divisible par , comme cela doit être prouvé. Encore une fois, prendre le facteur commun a permis de résoudre le problème.

Résolvons un autre exemple. Montrons que l'expression est divisible par pour tout nombre naturel : .

L'expression est le produit de deux nombres naturels adjacents. L'un des deux nombres sera certainement pair, ce qui signifie que l'expression sera divisible par .

Nous l'avons réglé différents exemples, mais ils ont utilisé la même méthode de résolution : ils ont retiré le facteur commun des parenthèses. On voit que cette opération simple simplifie grandement les calculs. Il était facile de trouver un facteur commun à ces cas particuliers, mais que faire dans ce cas ? cas général, pour un polynôme arbitraire ?

Rappelons qu'un polynôme est une somme de monômes.

Considérons le polynôme . Ce polynôme est la somme de deux monômes. Un monôme est le produit d'un nombre, d'un coefficient et d'une partie de lettre. Ainsi, dans notre polynôme, chaque monôme est représenté par le produit d'un nombre et de puissances, produit de facteurs. Les facteurs peuvent être les mêmes pour tous les monômes. Ce sont ces facteurs qui doivent être déterminés et retirés du panier. Tout d’abord, nous trouvons le facteur commun des coefficients, qui sont des nombres entiers.

Il était facile de trouver le facteur commun, mais définissons le pgcd des coefficients : .

Regardons un autre exemple : .

Trouvons , ce qui nous permettra de déterminer le facteur commun à cette expression : .

Nous avons dérivé une règle pour les coefficients entiers. Vous devez trouver leur pgcd et le retirer du support. Consolidons cette règle en résolvant un autre exemple.

Nous avons examiné la règle d'attribution d'un facteur commun aux coefficients entiers, passons à la partie lettre. Tout d'abord, nous recherchons les lettres qui sont incluses dans tous les monômes, puis nous déterminons le degré le plus élevé de la lettre qui est incluse dans tous les monômes : .

Dans cet exemple, il n'y avait qu'une seule variable de lettre commune, mais il peut y en avoir plusieurs, comme dans l'exemple suivant :

Compliquons l'exemple en augmentant le nombre de monômes :

Après avoir retiré le facteur commun, nous avons converti la somme algébrique en produit.

Nous avons examiné séparément les règles de soustraction pour les coefficients entiers et les variables alphabétiques, mais le plus souvent, vous devez les appliquer ensemble pour résoudre l'exemple. Regardons un exemple :

Parfois, il peut être difficile de déterminer quelle expression est laissée entre parenthèses, regardons une astuce simple qui vous permettra de résoudre rapidement ce problème.

Le facteur commun peut aussi être la valeur souhaitée :

Le facteur commun peut être non seulement un nombre ou un monôme, mais aussi n’importe quelle expression, comme dans l’équation suivante.

Dans le cadre des études transformations identitaires Le sujet de la suppression du facteur commun entre parenthèses est très important. Dans cet article, nous expliquerons ce qu'est exactement une telle transformation, en dériverons la règle de base et analyserons des exemples typiques de problèmes.

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Le concept de prendre un facteur entre parenthèses

Pour appliquer avec succès cette transformation, vous devez savoir à quelles expressions elle est utilisée et quel résultat vous devez obtenir au final. Précisons ces points.

Vous pouvez retirer le facteur commun entre parenthèses dans les expressions qui représentent des sommes dans lesquelles chaque terme est un produit, et dans chaque produit il y a un facteur commun (le même) pour tout le monde. C'est ce qu'on appelle le facteur commun. C’est cela que nous allons sortir des parenthèses. Donc, si nous avons des travaux 5 3 Et 5 4, alors nous pouvons sortir le facteur commun 5 des parenthèses.

En quoi consiste cette transformation ? Lors de celle-ci, nous représentons l'expression originale comme le produit d'un facteur commun et d'une expression entre parenthèses contenant la somme de tous les termes originaux sauf le facteur commun.

Prenons l'exemple donné ci-dessus. Ajoutons un facteur commun de 5 à 5 3 Et 5 4 et nous obtenons 5 (3 + 4) . L'expression finale est le produit du facteur commun 5 par l'expression entre parenthèses, qui est la somme des termes d'origine sans 5.

Cette transformation est basé sur la propriété distributive de la multiplication, que nous avons déjà étudiée auparavant. Sous forme littérale, cela peut s'écrire une (b + c) = une b + une c. En changeant côté droità gauche, nous verrons un schéma permettant de sortir le facteur commun des parenthèses.

La règle pour sortir le facteur commun des parenthèses

En utilisant tout ce qui a été dit ci-dessus, nous dérivons la règle de base pour une telle transformation :

Définition 1

Pour supprimer le facteur commun des parenthèses, vous devez écrire l’expression originale comme le produit du facteur commun et des parenthèses qui incluent la somme d’origine sans le facteur commun.

Exemple 1

Prenons un exemple simple de rendu. Nous avons une expression numérique 3 7 + 3 2 − 3 5, qui est la somme de trois termes 3 · 7, 3 · 2 et d'un facteur commun 3. En prenant comme base la règle que nous avons dérivée, nous écrivons le produit sous la forme 3 (7 + 2 − 5). C'est le résultat de notre transformation. La solution complète ressemble à ceci : 3 7 + 3 2 − 3 5 = 3 (7 + 2 − 5).

Nous pouvons mettre le facteur entre parenthèses non seulement dans les expressions numériques, mais aussi dans les expressions littérales. Par exemple, dans 3x−7x + 2 vous pouvez retirer la variable x et obtenir 3 x − 7 x + 2 = x (3 − 7) + 2, dans l'expression (x 2 + y) x y − (x 2 + y) x 3– facteur commun (x2+y) et arrive à la fin (x 2 + y) · (x · y − x 3).

Il n’est pas toujours possible de déterminer immédiatement quel facteur est le plus commun. Parfois, une expression doit d’abord être transformée en remplaçant les nombres et les expressions par des produits identiquement égaux.

Exemple 2

Ainsi, par exemple, dans l'expression 6 x + 4 ans il est possible d'en dériver un facteur commun 2 qui n'est pas écrit explicitement. Pour le trouver, nous devons transformer l'expression originale, représentant six par 2 · 3 et quatre par 2 · 2. C'est 6 x + 4 oui = 2 3 x + 2 2 oui = 2 (3 x + 2 oui). Ou en expression x 3 + x 2 + 3 x on peut sortir entre parenthèses le facteur commun x, qui se révèle après le remplacement x3 sur x · x 2 . Cette transformation est possible grâce aux propriétés fondamentales du diplôme. En conséquence, nous obtenons l'expression x (x 2 + x + 3).

Un autre cas qui devrait être discuté séparément est la suppression du signe moins entre parenthèses. Ensuite, nous ne retirons pas le signe lui-même, mais moins un. Par exemple, transformons l'expression de cette façon − 5 − 12 x + 4 x y. Réécrivons l'expression comme (− 1) 5 + (− 1) 12 x − (− 1) 4 x y, de sorte que le multiplicateur global soit plus clairement visible. Sortons-le des parenthèses et obtenons − (5 + 12 · x − 4 · x · y) . Cet exemple montre qu'entre parenthèses on obtient le même montant, mais avec des signes opposés.

En conclusion, on note que la transformation par sortie du facteur commun entre parenthèses est très souvent utilisée en pratique, par exemple pour calculer la valeur expressions rationnelles. Cette méthode est également utile lorsque vous devez représenter une expression sous forme de produit, par exemple pour factoriser un polynôme en facteurs individuels.

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Nous continuons à comprendre les bases de l'algèbre. Aujourd'hui, nous allons travailler avec, à savoir, nous considérerons une action telle que mettre le facteur commun entre parenthèses.

Contenu de la leçon

Principe de base

La loi distributive de la multiplication permet de multiplier un nombre par un montant (ou un montant par un nombre). Par exemple, pour trouver la valeur de l'expression 3 × (4 + 5), vous pouvez multiplier le nombre 3 par chaque terme entre parenthèses et additionner les résultats :

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

Le chiffre 3 et l'expression entre parenthèses peuvent être intervertis (cela découle de la loi commutative de la multiplication). Ensuite chaque terme entre parenthèses sera multiplié par le nombre 3

(4 + 5) × 3 = 4 × 3 + 5 × 3 = 12 + 15

Pour l'instant, nous ne calculerons pas la construction 3 × 4 + 3 × 5 et additionnerons les résultats obtenus 12 et 15. Laissons l'expression sous la forme 3 (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5. Ci-dessous, nous en aurons besoin exactement sous cette forme afin de comprendre l'essence de la sortie du facteur commun entre parenthèses.

La loi distributive de la multiplication est parfois appelée placer un facteur entre parenthèses. Dans l’expression 3 × (4 + 5), le facteur 3 a été laissé hors parenthèses. En le multipliant par chaque terme entre parenthèses, nous l’avons essentiellement mis entre parenthèses. Pour plus de clarté, vous pouvez l'écrire de cette façon, bien qu'il ne soit pas habituel de l'écrire de cette façon :

3 (4 + 5) = (3 × 4 + 3 × 5)

Puisque dans l'expression 3 × (4 + 5) le nombre 3 est multiplié par chaque terme entre parenthèses, ce nombre est un facteur commun aux termes 4 et 5

Comme mentionné précédemment, en multipliant ce facteur commun par chaque terme entre parenthèses, nous le mettons à l’intérieur des parenthèses. Mais le processus inverse est également possible : le facteur commun peut être retiré des parenthèses. Dans ce cas, dans l'expression 3×4 + 3×5 le multiplicateur général est clairement visible - il s'agit d'un multiplicateur de 3. Il faut le retirer de l’équation. Pour ce faire, notez d'abord le facteur 3 lui-même

et à côté entre parenthèses l'expression est écrite 3×4 + 3×5 mais sans le facteur commun 3, puisqu'il est sorti entre parenthèses

3 (4 + 5)

En retirant le facteur commun entre parenthèses, on obtient l'expression 3 (4 + 5) . Cette expression est identique à l'expression précédente 3×4 + 3×5

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Si l'on calcule les deux côtés de l'égalité résultante, on obtient l'identité :

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

27 = 27

Comment le facteur commun sort-il des parenthèses ?

Placer le facteur commun en dehors des parenthèses est essentiellement l’opération inverse de mettre le facteur commun à l’intérieur des parenthèses.

Si, lors de l'introduction d'un facteur commun entre parenthèses, nous multiplions ce facteur par chaque terme entre parenthèses, alors lorsque nous replaçons ce facteur hors des parenthèses, nous devons diviser chaque terme entre parenthèses par ce facteur.

En expression 3×4 + 3×5, dont il a été question ci-dessus, voici ce qui s'est passé. Chaque terme a été divisé par un facteur commun de 3. Les produits 3 × 4 et 3 × 5 sont des termes, car si on les calcule, on obtient la somme 12 + 15

Nous pouvons maintenant voir en détail comment le facteur général est sorti entre parenthèses :

On voit que le facteur commun 3 est d'abord retiré entre parenthèses, puis entre parenthèses chaque terme est divisé par ce facteur commun.

La division de chaque terme par un facteur commun peut se faire non seulement en divisant le numérateur par le dénominateur, comme indiqué ci-dessus, mais également en réduisant ces fractions. Dans les deux cas vous obtiendrez le même résultat :

Nous avons examiné l’exemple le plus simple consistant à retirer un facteur commun entre parenthèses pour comprendre le principe de base.

Mais tout n’est pas aussi simple qu’il y paraît à première vue. Une fois le nombre multiplié par chaque terme entre parenthèses, les résultats sont additionnés et le facteur commun disparaît.

Revenons à notre exemple 3 (4 + 5). Appliquons la loi distributive de multiplication, c'est-à-dire multiplions le nombre 3 par chaque terme entre parenthèses et additionnons les résultats :

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

Une fois la construction 3 × 4 + 3 × 5 calculée, nous obtenons la nouvelle expression 12 + 15. On voit que le facteur commun de 3 a disparu de la vue. Maintenant, dans l’expression résultante 12 + 15, essayons de retirer le facteur commun entre parenthèses, mais pour retirer ce facteur commun, nous devons d’abord le trouver.

Habituellement, lors de la résolution de problèmes, nous rencontrons précisément des expressions dans lesquelles le facteur commun doit d'abord être trouvé avant de pouvoir être éliminé.

Afin de retirer le facteur commun entre parenthèses dans l'expression 12 + 15, vous devez trouver le plus grand facteur commun (PGCD) des termes 12 et 15. Le PGCD trouvé sera le facteur commun.

Trouvons donc le PGCD pour les nombres 12 et 15. Rappelez-vous que pour trouver le PGCD, vous devez décomposer les nombres d'origine en facteurs premiers, puis écrire la première décomposition et en supprimer les facteurs qui ne sont pas inclus dans la décomposition. du deuxième numéro. Les facteurs restants doivent être multipliés pour obtenir le pgcd souhaité. Si vous rencontrez des difficultés à ce stade, assurez-vous de répéter.

GCD pour 12 et 15 est le chiffre 3. Ce numéro est un facteur commun aux termes 12 et 15. Il doit être retiré des parenthèses. Pour ce faire, nous écrivons d'abord le facteur 3 lui-même et à côté de lui entre parenthèses nous écrivons une nouvelle expression dans laquelle chaque terme de l'expression 12 + 15 est divisé par un facteur commun 3

Eh bien, un calcul plus approfondi n'est pas difficile. L'expression entre parenthèses est facile à calculer - douze divisé par trois fait quatre, UN quinze divisé par trois fait cinq:

Ainsi, en retirant le facteur commun entre parenthèses dans l'expression 12 + 15, on obtient l'expression 3(4 + 5). La solution détaillée est la suivante :

La solution courte ignore la notation montrant comment chaque terme est divisé par un facteur commun :

Exemple 2. 15 + 20

Trouvons le pgcd pour les termes 15 et 20

Le PGCD pour 15 et 20 est le nombre 5. Ce nombre est le facteur commun aux termes 15 et 20. Sortons-le des parenthèses :

Nous avons l'expression 5(3 + 4). L'expression résultante peut être vérifiée. Pour ce faire, multipliez simplement les cinq par chaque terme entre parenthèses. Si nous avons tout fait correctement, nous devrions obtenir l'expression 15 + 20

Exemple 3. Retirez le facteur commun entre parenthèses dans l'expression 18+24+36

Trouvons le pgcd pour les termes 18, 24 et 36. Pour trouver, vous devez factoriser ces nombres en facteurs premiers, puis trouver le produit de facteurs communs :

Le PGCD pour 18, 24 et 36 est le nombre 6. Ce nombre est le facteur commun aux termes 18, 24 et 36. Sortons-le des parenthèses :

Vérifions l'expression résultante. Pour ce faire, multipliez le nombre 6 par chaque terme entre parenthèses. Si nous avons tout fait correctement, nous devrions obtenir l'expression 18+24+36

Exemple 4. Sortez le facteur commun entre parenthèses dans l'expression 13 + 5

Les termes 13 et 5 sont nombres premiers. Ils se décomposent uniquement en un et eux-mêmes :

Cela signifie que les termes 13 et 5 n’ont pas d’autre facteur commun qu’un. Cela ne sert donc à rien de mettre cette unité entre parenthèses, puisqu’elle ne donnera rien. Montrons ceci :

Exemple 5. Retirez le facteur commun entre parenthèses dans l'expression 195+156+260

Trouvons le pgcd pour les termes 195, 156 et 260

Le PGCD pour 195, 156 et 260 est le nombre 13. Ce nombre est le facteur commun aux termes 195, 156 et 260. Sortons-le des parenthèses :

Vérifions l'expression résultante. Pour ce faire, multipliez 13 par chaque terme entre parenthèses. Si nous avons tout fait correctement, nous devrions obtenir l'expression 195+156+260

Une expression dans laquelle vous devez retirer le facteur commun des parenthèses peut être non seulement une somme de nombres, mais aussi une différence. Par exemple, retirons le facteur commun entre parenthèses dans l'expression 16 − 12 − 4. Le plus grand facteur commun aux nombres 16, 12 et 4 est le nombre 4. Sortons ce nombre entre parenthèses :

Vérifions l'expression résultante. Pour ce faire, multipliez quatre par chaque nombre entre parenthèses. Si nous avons tout fait correctement, nous devrions obtenir l’expression 16 − 12 − 4

Exemple 6. Sortez le facteur commun entre parenthèses dans l'expression 72+96−120

Trouvons GCD pour les nombres 72, 96 et 120

Le PGCD pour 72, 96 et 120 est le nombre 24. Ce nombre est le facteur commun aux termes 195, 156 et 260. Sortons-le des parenthèses :

Vérifions l'expression résultante. Pour ce faire, multipliez 24 par chaque nombre entre parenthèses. Si nous avons tout fait correctement, nous devrions obtenir l’expression 72+96−120

Le facteur global pris entre parenthèses peut également être négatif. Par exemple, retirons le facteur commun entre parenthèses dans l'expression −6−3. Il existe deux manières de retirer le facteur commun des parenthèses dans cette expression. Regardons chacun d'eux.

Méthode 1.

Remplaçons la soustraction par l'addition :

−6 + (−3)

Nous trouvons maintenant le facteur commun. Le facteur commun de cette expression sera le plus grand commun diviseur des termes −6 et −3.

Le module du premier terme est 6. Et le module du deuxième terme est 3. PGCD(6 et 3) est égal à 3. Ce nombre est un facteur commun aux termes 6 et 3. Sortons-le des parenthèses :

L'expression ainsi obtenue n'était pas très précise. Beaucoup de parenthèses et nombres négatifs ne donnez pas de simplicité à l'expression. Par conséquent, vous pouvez utiliser la deuxième méthode, dont l'essence est de mettre entre parenthèses non pas 3, mais −3.

Méthode 2.

Comme la dernière fois, nous remplaçons la soustraction par l’addition.

−6 + (−3)

Cette fois nous retirerons des parenthèses non pas 3, mais −3

L’expression obtenue cette fois paraît beaucoup plus simple. Écrivons la solution plus courte pour la rendre encore plus simple :

Permettre de sortir un facteur négatif entre parenthèses est dû au fait que le développement des nombres −6 et (−3) peut s'écrire de deux manières : rendre d'abord le multiplicande négatif et le multiplicateur positif :

−2 × 3 = −6

−1 × 3 = −3

dans le second cas, le multiplicande peut être rendu positif et le multiplicateur négatif :

2 × (−3) = −6

1 × (−3) = −3

Cela signifie que nous sommes libres de mettre entre parenthèses le facteur que nous souhaitons.

Exemple 8. Retirer le facteur commun entre parenthèses dans l'expression −20−16−2

Remplacer la soustraction par l'addition

−20−16−2 = −20 + (−16) + (−2)

Le plus grand facteur commun aux termes −20, −16 et −2 est le nombre 2. Ce nombre est le facteur commun à ces termes. Voyons à quoi cela ressemble :

−10 × 2 = −20

−8 × 2 = −16

−1 × 2 = −2

Mais les développements donnés peuvent être remplacés par des développements identiques. La différence sera que le facteur commun ne sera pas 2, mais −2

10 × (−2) = −20

8 × (−2) = −16

1 × (−2) = −2

Par conséquent, pour plus de commodité, on peut mettre entre parenthèses non pas 2, mais −2

Écrivons brièvement la solution ci-dessus :

Et si on retirait 2 entre parenthèses, on obtiendrait une expression pas tout à fait précise :

Exemple 9. Retirez le facteur commun entre parenthèses dans l'expression −30−36−42

Remplaçons la soustraction par l'addition :

−30 + (−36) + (−42)

Le plus grand diviseur commun des termes −30, −36 et −42 est le nombre 6. Ce nombre est le facteur commun de ces termes. Mais on ne supprimera pas 6, mais −6, puisque les nombres −30, −36 et −42 peuvent être représentés ainsi :

5 × (−6) = −30

6 × (−6) = −36

7 × (−6) = −42

Retirer le moins des parenthèses

Lors de la résolution de problèmes, il peut parfois être utile de mettre le signe moins entre parenthèses. Cela permet de simplifier l'expression et de la mettre en ordre.

Considérez l'exemple suivant. Retirez le moins des parenthèses dans l'expression −15+(−5)+(−3)

Pour plus de clarté, mettons cette expression entre parenthèses, car nous parlons de retirer le moins de ces parenthèses.

(−15 + (−5) + (−3))

Donc, pour retirer le moins des parenthèses, il faut écrire le moins avant les parenthèses et écrire tous les termes entre parenthèses, mais avec des signes opposés

Nous avons retiré le moins des parenthèses dans l'expression −15+(−5)+(−3) et avons obtenu −(15+5+3). Les deux expressions sont égales à la même valeur −23

−15 + (−5) + (−3) = −23

−(15 + 5 + 3) = −(23) = −23

On peut donc mettre un signe égal entre les expressions −15+(−5)+(−3) et −(15+5+3), car elles ont la même signification :

−15 + (−5) + (−3) = −(15 + 5 + 3)

En fait, lorsque le moins est retiré des parenthèses, la loi distributive de la multiplication fonctionne à nouveau :

a(b+c) = ab + ac

Si l’on inverse les côtés gauche et droit de cette identité, il s’avère que le facteur un entre parenthèses

ab + ac = a(b+c)

La même chose se produit lorsque nous supprimons le facteur commun dans d’autres expressions et lorsque nous retirons le moins des parenthèses.

Évidemment, lorsqu'on retire un moins entre parenthèses, ce n'est pas un moins qui est retiré, mais un moins. Nous avons déjà dit qu'il est d'usage de ne pas enregistrer le coefficient 1.

Par conséquent, un moins est formé devant les parenthèses et les signes des termes qui étaient entre parenthèses changent de signe en sens inverse, puisque chaque terme est divisé par moins un.

Revenons à l'exemple précédent et voyons en détail comment le moins a été effectivement retiré des parenthèses

Exemple 2. Placez le moins entre parenthèses dans l'expression −3 + 5 + 11

On met un moins et à côté entre parenthèses on écrit l'expression −3 + 5 + 11 avec le signe opposé pour chaque terme :

−3 + 5 + 11 = −(3 − 5 − 11)

Comme dans l'exemple précédent, ici ce n'est pas le moins qui est retiré entre parenthèses, mais le moins un. La solution détaillée est la suivante :

Au début, nous avons obtenu l'expression −1(3 + (−5) + (−11)), mais nous avons ouvert les crochets intérieurs et obtenu l'expression −(3 − 5 − 11) . L'expansion des parenthèses est le sujet de la prochaine leçon, donc si cet exemple est difficile pour vous, vous pouvez l'ignorer pour le moment.

Retirer le facteur commun des parenthèses dans l'expression littérale

Sortir le facteur commun entre parenthèses en termes littéraux est bien plus intéressant.

Tout d’abord, regardons un exemple simple. Qu'il y ait une expression 3 une + 2 une. Sortons le facteur commun des parenthèses.

Dans ce cas, le multiplicateur total est visible à l'œil nu - c'est le multiplicateur un. Sortons-le des parenthèses. Pour ce faire, nous notons le multiplicateur lui-même un et à côté entre parenthèses nous écrivons l'expression 3a + 2a, mais sans multiplicateur un puisqu'il est sorti entre parenthèses :

Comme c'est le cas avec expression numérique, ici chaque terme est divisé par le facteur commun retiré. Cela ressemble à ceci :

Variables dans les deux fractions un ont été réduits de un. un Au lieu de cela, le numérateur et le dénominateur ont des unités. Les unités ont été obtenues grâce au fait qu'au lieu d'une variable

peut être n’importe quel nombre. Cette variable était située à la fois au numérateur et au dénominateur. Et si le numérateur et le dénominateur ont les mêmes nombres, alors leur plus grand diviseur commun sera ce nombre lui-même. un Par exemple, si au lieu d'une variable 4 remplacer le numéro , alors la construction prendra: vue suivante

. Ensuite, les quatre dans les deux fractions peuvent être réduits de 4 : un .

Cela se passe comme avant, quand au lieu de quatre il y avait une variable

Par conséquent, vous ne devriez pas vous inquiéter de la réduction des variables. Une variable est un multiplicateur à part entière, même si elle est exprimée par une lettre. Un tel multiplicateur peut être retiré des parenthèses, réduit et d'autres actions autorisées pour les nombres ordinaires. Une expression littérale contient non seulement des chiffres, mais aussi des lettres (variables). Par conséquent, le facteur commun qui est mis entre parenthèses est souvent multiplicateur de lettres

, composé d'un chiffre et d'une lettre (coefficient et variable). Par exemple, les expressions suivantes sont des facteurs littéraux :

3a, 6b, 7ab, a, b, c

Avant de retirer un tel facteur des parenthèses, vous devez décider quel nombre sera dans la partie numérique du facteur commun et quelle variable sera dans la partie lettre du facteur commun. En d'autres termes, vous devez savoir quel coefficient aura le facteur commun et quelle variable y sera incluse. Considérons l'expression 10 15un. Essayons de sortir le facteur commun des parenthèses. Tout d’abord, décidons en quoi consistera le facteur commun, c’est-à-dire que nous découvrirons son coefficient et quelle variable y sera incluse.

Le coefficient du multiplicateur commun doit être le plus grand diviseur commun des coefficients de l'expression littérale 10 Considérons l'expression 10 15un.

10 et 15, et leur plus grand diviseur commun est le nombre 5. Cela signifie que le chiffre 5 sera le coefficient du facteur commun pris entre parenthèses. Considérons l'expression 10 15un Décidons maintenant quelle variable sera incluse dans le facteur commun. Pour ce faire, vous devez regarder l'expression 10 un et trouvez le facteur de lettre inclus dans tous les termes. Dans ce cas, c'est un facteur Considérons l'expression 10 15un. Ce facteur est inclus dans chaque terme d'expression 10 un. Donc la variable

sera inclus dans la partie littérale du facteur commun sortie entre parenthèses : Il ne reste plus qu'à calculer le facteur commun 5a hors parenthèses. Pour ce faire, on divise chaque terme de l'expression 10a + 15a Il ne reste plus qu'à calculer le facteur commun sur

. Pour plus de clarté, nous séparerons les coefficients et les nombres par un signe de multiplication (×) Il ne reste plus qu'à calculer le facteur commun Vérifions l'expression résultante. Pour ce faire, multiplions hors parenthèses. Pour ce faire, on divise chaque terme de l'expression

pour chaque terme entre parenthèses. Si nous avons tout fait correctement, nous obtiendrons l'expression

Le facteur lettre ne peut pas toujours être retiré des parenthèses. Parfois, le facteur commun consiste uniquement en un nombre, car il n'y a rien de approprié pour la partie lettre de l'expression. Par exemple, retirons le facteur commun entre parenthèses dans l’expression 2a−2b 2 . Ici le facteur commun sera uniquement le nombre 2

Exemple 2., et parmi les facteurs de lettre, il n'y a pas de facteurs communs dans l'expression. Par conséquent, dans ce cas, seul le multiplicateur sera retiré. Extraire le facteur commun de l'expression

3x + 9 ans + 12 3, 9 Et 12, Les coefficients de cette expression sont des nombres 3 3 leur pgcd est égal 3

Exemple 3.. Et parmi les facteurs littéraux (variables), il n’y a pas de facteur commun. Le dernier facteur commun est donc Placez le facteur commun entre parenthèses dans l'expression

3x + 9 ans + 12 8, 6, 4, 10 Et 2, Les coefficients de cette expression sont des nombres 2 8x + 6 ans + 4z + 10 + 2 2 . Cela signifie que le coefficient du facteur commun pris entre parenthèses sera le nombre 2

Exemple 4.. Et parmi les facteurs littéraux, il n’y a pas de facteur commun. Le dernier facteur commun est donc Supprimez le facteur commun

3x + 9 ans + 12 6ab + 18ab + 3abc Les coefficients de cette expression sont des nombres 3 8x + 6 ans + 4z + 10 + 2 3 6, 18 et 3, un. La partie littérale du facteur commun inclura des variables Et b, puisque dans l'expression 6ab + 18ab + 3abc ces deux variables sont incluses dans chaque terme. Le dernier facteur commun est donc

3ab À l'expression devient lourde et même incompréhensible. Dans cet exemple, cela est plus que perceptible. Cela est dû au fait que nous annulons les facteurs au numérateur et au dénominateur. Il est préférable de le faire dans votre tête et de noter immédiatement les résultats de la division. L’expression devient alors courte et nette :

Comme dans le cas d’une expression numérique, dans une expression littérale, le facteur commun peut être négatif.

Par exemple, retirons le général entre parenthèses dans l’expression −3a −2a.

Pour plus de commodité, nous remplaçons la soustraction par l'addition

−3a − 2a = −3a + (−2a )

Le facteur commun à cette expression est le facteur un. Mais non seulement nous pouvons prendre en compte un, mais aussi −une. Sortons-le des parenthèses :

Il s'est avéré que c'était une expression soignée −une (3+2). Il ne faut pas oublier que le multiplicateur −une en fait, cela ressemblait à −1a et après réduction des deux fractions de variables un, moins un reste dans les dénominateurs. Par conséquent, au final, nous obtenons des réponses positives entre parenthèses.

Exemple 6.. Et parmi les facteurs littéraux (variables), il n’y a pas de facteur commun. Le dernier facteur commun est donc −6x − 6 ans

Remplacer la soustraction par l'addition

−6x−6y = −6x+(−6y)

Mettons-le hors parenthèses −6

Écrivons brièvement la solution :

−6x − 6y = −6(x + y)

Exemple 7.. Et parmi les facteurs littéraux (variables), il n’y a pas de facteur commun. Le dernier facteur commun est donc −2a − 4b − 6c

Remplacer la soustraction par l'addition

−2a-4b-6c = −2a + (−4b) + (−6c)

Mettons-le hors parenthèses −2

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