Lors du calcul des tableaux simplex, la méthode est utilisée. Méthode simplex pour résoudre des problèmes. Conversion de colonne de résolution
Une des méthodes de résolution problèmes d'optimisation (généralement associé à la recherche du minimum ou du maximum) programmation linéaire appelé . Méthode simplexe comprend tout un groupe d'algorithmes et de méthodes pour résoudre des problèmes de programmation linéaire. L'une de ces méthodes, qui consiste à enregistrer les données source et à les recalculer dans un tableau spécial, s'appelle méthode du simplexe tabulaire.
Considérons l'algorithme de la méthode du simplexe tabulaire en utilisant l'exemple de la solution tâche de production , ce qui revient à trouver un plan de production garantissant un profit maximum.
Données d'entrée pour le problème de la méthode simplexe
L'entreprise fabrique 4 types de produits et les traite sur 3 machines.
Les normes de temps (min./pièce) pour le traitement des produits sur les machines sont précisées par la matrice A :
Le fonds de temps de fonctionnement de la machine (min.) est précisé dans la matrice B :
Le bénéfice de la vente de chaque unité de produit (RUB/pièce) est donné par la matrice C :
Objectif de la tâche de production
Élaborer un plan de production qui maximisera le profit de l'entreprise.
Résoudre le problème en utilisant la méthode du simplexe tabulaire
(1) Notons X1, X2, X3, X4 le nombre prévu de produits de chaque type. Puis le plan souhaité : ( X1, X2, X3, X4)
(2) Écrivons les contraintes du plan sous la forme d'un système d'équations :
(3) Le bénéfice cible est alors :
C'est-à-dire que le profit résultant de la réalisation du plan de production devrait être maximum.
(4) Pour résoudre le problème résultant sur conditionnel extrême, on remplace le système des inégalités par le système équations linéaires en y introduisant des variables supplémentaires non négatives ( X5, X6, X7).
(5) Acceptons ce qui suit plan de référence:
X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0, X4 = 0, X5 = 252, X6 = 144, X7 = 80
(6) Entrons les données dans tableau simplexe:
Dans la dernière ligne, nous saisissons les coefficients de la fonction objectif et sa valeur elle-même avec le signe opposé ;
(7) Sélectionnez dans la dernière ligne le plus grand (module) est un nombre négatif.
Calculons b = N / Items_of_the_selected_column
Parmi les valeurs calculées de b on choisit moins.
L'intersection de la colonne et de la ligne sélectionnées nous donnera l'élément résolvant. On change la base en une variable correspondant à l'élément résolvant ( X5 à X1).
- L’élément résolvant lui-même passe à 1.
- Pour les éléments de la droite de résolution – a ij (*) = a ij / RE ( c'est-à-dire que nous divisons chaque élément par la valeur de l'élément de résolution et obtenons de nouvelles données).
- Pour les éléments de la colonne résolution, ils sont simplement remis à zéro.
- Nous recalculons les éléments restants du tableau en utilisant la règle du rectangle.
une ij (*) = une ij – (A * B / RE)
Comme vous pouvez le voir, nous prenons la cellule actuelle en cours de recalcul et la cellule contenant l'élément de résolution. Ils forment les coins opposés du rectangle. Ensuite, on multiplie les valeurs des cellules des 2 autres coins de ce rectangle. Ce travail ( UN * B) diviser par l'élément résolvant ( CONCERNANT). Et soustrayez de la cellule actuelle en cours de recalcul ( un ij) ce qui s'est passé. Nous obtenons une nouvelle valeur - un ij (*).
(9) Vérifiez à nouveau la dernière ligne ( c) sur présence de nombres négatifs. S'ils ne sont pas là - plan optimal trouvé, nous passons à la dernière étape de résolution du problème. Si c'est le cas, le plan n'est pas encore optimal et la table simplex doit être recalculée à nouveau.
Puisque dans la dernière ligne nous avons à nouveau nombres négatifs, nous commençons une nouvelle itération de calculs.
(10) Puisqu’il n’y a aucun élément négatif dans la dernière ligne, cela signifie que nous avons trouvé le plan de production optimal ! À savoir : nous fabriquerons les produits qui ont été déplacés vers la colonne « Base » - X1 et X2. Nous connaissons le profit de la production de chaque unité de production ( matrice C). Il reste à multiplier les volumes de production trouvés des produits 1 et 2 avec un profit pour 1 pièce, on obtient le final ( maximum! ) profit pour un plan de production donné.
RÉPONDRE:
X1 = 32 pièces, X2 = 20 pièces, X3 = 0 pièce, X4 = 0 pièce.
P = 48 * 32 + 33 * 20 = 2 196 frotter.
Galyautdinov R.R.
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Considérons méthode simplexe pour résoudre des problèmes de programmation linéaire (LP). Il repose sur le passage d'un plan de référence à un autre, au cours duquel la valeur de la fonction objectif augmente.
L'algorithme de la méthode simplexe est le suivant :
- Nous traduisons le problème initial en vue canonique en introduisant des variables supplémentaires. Pour les inégalités de forme ≤, les variables supplémentaires sont introduites avec un signe (+), mais si de forme ≥, alors avec un signe (-). Des variables supplémentaires sont introduites dans la fonction objectif avec des signes correspondants avec un coefficient égal à 0 , parce que la fonction cible ne doit pas changer sa signification économique.
- Les vecteurs sont écrits P jeà partir des coefficients des variables et de la colonne des termes libres. Cette action détermine le nombre de vecteurs unitaires. La règle est qu’il doit y avoir autant de vecteurs unitaires qu’il y a d’inégalités dans le système de contraintes.
- Après cela, les données source sont saisies dans un tableau simplex. Des vecteurs unitaires sont introduits dans la base, et en les excluant de la base, la solution optimale est trouvée. Les coefficients de la fonction objectif s'écrivent avec le signe opposé.
- Un signe d'optimalité pour un problème LP est que la solution est optimale si dans f– dans la ligne tous les coefficients sont positifs. Règle pour trouver la colonne d'activation - consultée f– une chaîne et parmi ses éléments négatifs, le plus petit est sélectionné. Vecteur P je son contenant devient permissif. La règle de choix d'un élément de résolution - les rapports des éléments positifs de la colonne de résolution aux éléments du vecteur sont compilés P 0 et le numéro qui donne plus petit rapport devient un élément résolvant par rapport auquel la table simplexe sera recalculée. La ligne contenant cet élément est appelée ligne d'activation. S’il n’y a aucun élément positif dans la colonne résolution, alors le problème n’a pas de solution. Après avoir déterminé l'élément résolvant, procédez au recalcul nouveau simplexe– des tableaux.
- Règles pour remplir un nouveau tableau simplex. L'unité est mise à la place de l'élément de résolution, et les autres éléments sont supposés égaux 0 . Le vecteur de résolution est ajouté à la base, dont le vecteur zéro correspondant est exclu, et les vecteurs de base restants sont écrits sans modifications. Les éléments de la ligne de résolution sont divisés par l'élément de résolution et les éléments restants sont recalculés selon la règle du rectangle.
- Ceci est fait jusqu'à f– tous les éléments de la chaîne ne deviendront pas positifs.
Envisageons de résoudre le problème en utilisant l'algorithme discuté ci-dessus.
Donné:
Nous mettons le problème sous forme canonique :
On compose les vecteurs :
Remplissez le tableau simplexe :
:
Recalculons le premier élément du vecteur P 0, pour lequel on fait un rectangle de nombres : et on obtient : 
.
Nous effectuons des calculs similaires pour tous les autres éléments de la table simplex :
Dans le plan reçu f– la ligne contient un élément négatif – (-5/3), vecteur P1. Il contient dans sa colonne un seul élément positif, qui sera l'élément habilitant. Recalculons le tableau concernant cet élément :
Aucun élément négatif dans f– la ligne signifie trouvé plan optimal:
F* = 36/5, X = (12/5, 14/5, 8, 0, 0).
- Ashmanov S.A. Programmation linéaire, M : Nauka, 1998,
- Ventzel E.S. Recherche opérationnelle, M : Radio soviétique, 2001,
- Kuznetsov Yu.N., Kuzubov V.I., Volochenko A.B. Programmation mathématique, M : Lycée, 1986.
Solution de programmation linéaire personnalisée
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Voici une solution manuelle (et non applet) de deux problèmes utilisant la méthode simplex (similaire à la solution applet) avec des explications détaillées afin de comprendre l'algorithme de résolution de problèmes utilisant la méthode simplex. Le premier problème ne contient que des signes d'inégalité « ≤ » (problème avec une base initiale), le second peut contenir des signes « ≥ », « ≤ » ou « = » (problème avec une base artificielle), ils sont résolus différemment.
Méthode simplexe, résolution d'un problème avec une base initiale
1)Méthode simplexe pour un problème avec une base initiale (tous les signes de contraintes d'inégalité " ≤ ").
Écrivons le problème dans canonique forme, c'est-à-dire nous réécrivons les restrictions d'inégalité sous forme d'égalités, en ajoutant bilan variables :
Ce système est un système avec une base (base s 1, s 2, s 3, chacun d'eux n'est inclus que dans une seule équation du système à coefficient 1), x 1 et x 2 sont des variables libres. Les problèmes à résoudre par la méthode du simplexe doivent avoir les deux propriétés suivantes : - le système de contraintes doit être un système d'équations avec une base ; -les termes libres de toutes les équations du système doivent être non négatifs.
Le système résultant est un système avec une base et ses termes libres sont non négatifs, nous pouvons donc appliquer méthode simplexe. Créons la première table simplexe (itération 0) pour résoudre le problème sur méthode simplexe, c'est-à-dire un tableau des coefficients de la fonction objectif et un système d'équations pour les variables correspondantes. Ici « BP » désigne la colonne des variables de base, « Solution » désigne la colonne des membres de droite des équations du système. La solution n'est pas optimale, car il y a des coefficients négatifs dans la ligne z.
itération de la méthode simplex 0
|
Attitude |
|||||||
Pour améliorer la solution, passons à l'itération suivante méthode simplexe, nous obtenons le tableau simplex suivant. Pour ce faire, vous devez sélectionner activer la colonne, c'est-à-dire une variable qui sera incluse dans la base à la prochaine itération de la méthode simplexe. Il est sélectionné par le plus grand coefficient négatif absolu de la ligne z (dans le problème du maximum) - dans l'itération initiale de la méthode simplex, il s'agit de la colonne x 2 (coefficient -6).
Sélectionnez ensuite activer la chaîne, c'est-à-dire une variable qui quittera la base à la prochaine itération de la méthode simplexe. Il est sélectionné par le plus petit rapport de la colonne « Décision » aux éléments positifs correspondants de la colonne de résolution (colonne « Rapport ») - dans l'itération initiale, il s'agit de la ligne s 3 (coefficient 20).
Élément permissif est à l'intersection de la colonne de résolution et de la ligne de résolution, sa cellule est surlignée en couleur, elle est égale à 1. Ainsi, à la prochaine itération de la méthode simplexe, la variable x 2 remplacera s 1 dans la base. Notez que la relation n'est pas recherchée dans la z-string ; un tiret « - » y est placé. S'il existe des relations minimales identiques, alors n'importe laquelle d'entre elles est sélectionnée. Si tous les coefficients de la colonne résolution sont inférieurs ou égaux à 0, alors la solution du problème est infinie.
Remplissons le tableau suivant « Itération 1 ». Nous l'obtiendrons à partir du tableau « Itération 0 ». Le but des transformations ultérieures est de transformer la colonne de résolution x2 en une colonne unitaire (avec un un à la place de l'élément de résolution et des zéros à la place des éléments restants).
1) Calculez la ligne x 2 du tableau « Itération 1 ». Tout d'abord, nous divisons tous les membres de la ligne de résolution s 3 du tableau « Itération 0 » par l'élément de résolution (il est égal à 1 dans dans ce cas) de ce tableau, on obtient la ligne x 2 dans le tableau « Itérations 1 ». Parce que l'élément résolvant dans ce cas est égal à 1, alors la ligne s 3 du tableau « Itération 0 » coïncidera avec la ligne x 2 du tableau « Itération 1 ». Ligne x 2 du tableau Itération 1, nous avons obtenu 0 1 0 0 1 20, les lignes restantes du tableau Itération 1 seront obtenues à partir de cette ligne et des lignes du tableau Itération 0 comme suit :
2) Calcul de la ligne z du tableau « Itération 1 ». Au lieu de -6 dans la première ligne (ligne z) de la colonne x2 du tableau Itération 0, il devrait y avoir un 0 dans la première ligne du tableau Itération 1. Pour cela, multipliez tous les éléments de la ligne x 2 du tableau "Itération 1" 0 1 0 0 1 20 par 6, on obtient 0 6 0 0 6 120 et additionnez cette ligne avec la première ligne (z - ligne) du tableau "Itération 0" -4 -6 0 0 0 0, on obtient -4 0 0 0 6 120. Un zéro 0 apparaît dans la colonne x 2, le but est atteint. Les éléments de la colonne de résolution x 2 sont surlignés en rouge.
3) Calcul de la ligne s 1 du tableau « Itération 1 ». Au lieu de 1 sur s 1 ligne du tableau « Itération 0 », il devrait y avoir un 0 dans le tableau « Itération 1 ». Pour cela, multipliez tous les éléments de la ligne x 2 du tableau "Itération 1" 0 1 0 0 1 20 par -1, obtenez 0 -1 0 0 -1 -20 et ajoutez cette ligne avec s 1 - ligne du tableau "Itération 0" 2 1 1 0 0 64, nous obtenons la ligne 2 0 1 0 -1 44. Dans la colonne x 2, nous obtenons le 0 requis.
4) Calculez la ligne s 2 du tableau « Itération 1 ». A la place 3 dans la ligne s 2 du tableau "Itération 0", il devrait y avoir 0 dans le tableau "Itération 1". Pour ce faire, multipliez tous les éléments de la ligne x 2 du tableau « Itération 1 » 0 1 0 0 1 20 par -3, obtenez 0 -3 0 0 -3 -60 et ajoutez cette ligne avec s 1 - ligne du tableau « Itération 0 » 1 3 0 1 0 72, nous obtenons la ligne 1 0 0 1 -3 12. Dans la colonne x 2, le 0 requis est obtenu. La colonne x 2 du tableau « Itération 1 » est devenue une unité. , il contient un 1 et le reste 0.
Les lignes du tableau « Itération 1 » sont obtenues selon la règle suivante :
Nouvelle ligne = Ancienne ligne – (Coefficient de colonne de résolution de l’ancienne ligne)* (Nouvelle ligne de résolution).
Par exemple, pour une z-string nous avons :
Ancienne chaîne z (-4 -6 0 0 0 0) -(-6)*Nouvelle chaîne de résolution -(0 -6 0 0 -6 -120) =Nouvelle chaîne z (-4 0 0 0 6 120).
Pour les tableaux suivants, le recalcul des éléments du tableau est effectué de la même manière, nous l'omettons donc.
méthode simplexe itération 1
|
Attitude |
|||||||
En résolvant la colonne x 1, en résolvant la ligne s 2, s 2 quitte la base, x 1 entre dans la base. Exactement de la même manière, nous obtenons les tableaux simplex restants jusqu'à obtenir un tableau avec tous les coefficients positifs dans la ligne z. C'est le signe d'une table optimale.
méthode simplexe itération 2
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Attitude |
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En résolvant la colonne s 3, en résolvant la ligne s 1, s 1 quitte la base, s 3 entre dans la base.
méthode simplexe itération 3
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Attitude |
|||||||
Dans la ligne z, tous les coefficients sont non négatifs, donc la solution optimale x 1 = 24, x 2 = 16, z max = 192 est obtenue.
Cette méthode est une méthode d'énumération ciblée de solutions de référence à un problème de programmation linéaire. Elle permet, en un nombre fini d'étapes, soit de trouver une solution optimale, soit d'établir qu'il n'existe pas de solution optimale.
Le contenu principal de la méthode simplexe est le suivant :- Indiquer une méthode pour trouver la solution de référence optimale
- Indiquer la méthode de transition d'une solution de référence à une autre, à laquelle la valeur de la fonction objectif sera plus proche de la valeur optimale, c'est-à-dire indiquer un moyen d'améliorer la solution de référence
- Définissez des critères qui vous permettent d'arrêter rapidement de rechercher des solutions d'assistance à la solution optimale ou de tirer une conclusion sur l'absence de solution optimale.
Algorithme de la méthode simplexe pour résoudre des problèmes de programmation linéaire
Afin de résoudre le problème méthode simplexe vous devez faire ce qui suit :- Amener le problème sous forme canonique
- Trouver l'initiale solution de référence avec une « base unitaire » (s'il n'y a pas de solution de référence, alors le problème n'a pas de solution en raison de l'incompatibilité du système de contraintes)
- Calculer les estimations des décompositions vectorielles à partir de la solution de référence et remplir le tableau de la méthode simplexe
- Si le critère d'unicité de la solution optimale est satisfait, alors la solution du problème se termine
- Si la condition d’existence d’un ensemble de solutions optimales est satisfaite, alors par recherche simple trouver toutes les solutions optimales
Un exemple de résolution d'un problème en utilisant la méthode du simplexe
Exemple 26.1Résolvez le problème en utilisant la méthode du simplexe :
Solution:
Nous mettons le problème sous forme canonique.
A cet effet dans côté gauche Pour la première contrainte d'inégalité, nous introduisons une variable supplémentaire x 6 avec un coefficient de +1. La variable x 6 est incluse dans la fonction objectif avec un coefficient nul (c'est-à-dire qu'elle n'est pas incluse).
On obtient :
Nous trouvons la solution d’accompagnement initiale. Pour ce faire, nous assimilons les variables libres (non résolues) à zéro x1 = x2 = x3 = 0.
Nous obtenons solution de référence X1 = (0,0,0,24,30,6) avec base unitaire B1 = (A4, A5, A6).
Nous calculons estimations des décompositions vectorielles conditions à partir de la solution de référence selon la formule :
Δ k = C b X k - c k
- C b = (c 1, c 2, ..., c m) - vecteur de coefficients de la fonction objectif pour les variables de base
- X k = (x 1k, x 2k, ..., x mk) - vecteur d'expansion du vecteur correspondant A k selon la base de la solution de référence
- C k est le coefficient de la fonction objectif pour la variable x k.
Les estimations des vecteurs inclus dans la base sont toujours égales à zéro. La solution de référence, les coefficients d'expansion et les estimations des expansions des vecteurs de condition basés sur la solution de référence sont écrits en tableau simplexe:
En haut du tableau, pour faciliter le calcul des estimations, sont inscrits les coefficients de la fonction objectif. Dans la première colonne "B" sont écrits les vecteurs inclus dans la base de la solution de référence. L'ordre dans lequel ces vecteurs sont écrits correspond au nombre d'inconnues autorisées dans les équations de contraintes. Dans la deuxième colonne du tableau « C b » les coefficients de la fonction objectif pour les variables de base sont écrits dans le même ordre. À emplacement correct Les coefficients de la fonction objectif dans la colonne « C b » de l'estimation des vecteurs unitaires inclus dans la base sont toujours égaux à zéro.
Dans la dernière ligne du tableau avec les estimations de Δ k dans la colonne « A 0 » sont écrites les valeurs de la fonction objectif sur la solution de référence Z(X 1).
La solution de support initiale n'est pas optimale, puisque dans le problème du maximum les estimations Δ 1 = -2, Δ 3 = -9 pour les vecteurs A 1 et A 3 sont négatives.
Selon le théorème d'amélioration de la solution support, si dans un problème maximum au moins un vecteur a une estimation négative, alors vous pouvez trouver une nouvelle solution support sur laquelle la valeur de la fonction objectif sera plus grande.
Déterminons lequel des deux vecteurs conduira à un incrément plus important dans la fonction objectif.
L'incrément de la fonction objectif se trouve par la formule : .
On calcule les valeurs du paramètre θ 01 pour les première et troisième colonnes à l'aide de la formule :
On obtient θ 01 = 6 pour l = 1, θ 03 = 3 pour l = 1 (tableau 26.1).
On retrouve l'incrément de la fonction objectif en introduisant dans la base le premier vecteur ΔZ 1 = - 6*(- 2) = 12, et le troisième vecteur ΔZ 3 = - 3*(- 9) = 27.
Par conséquent, pour une approche plus rapide solution optimale il faut introduire le vecteur A3 dans la base de la solution de référence au lieu du premier vecteur de base A6, puisque le minimum du paramètre θ 03 est atteint dans la première ligne (l = 1).
On effectue la transformation de Jordan avec l'élément X13 = 2, on obtient la deuxième solution de référence X2 = (0,0,3,21,42,0) avec la base B2 = (A3, A4, A5). (Tableau 26.2)
Cette solution n'est pas optimale, puisque le vecteur A2 a une estimation négative Δ2 = - 6. Pour améliorer la solution, il faut introduire le vecteur A2 dans la base de la solution de référence.
Nous déterminons le numéro du vecteur dérivé de la base. Pour ce faire, on calcule le paramètre θ 02 pour la deuxième colonne, il est égal à 7 pour l = 2. Par conséquent, on dérive le deuxième vecteur de base A4 de la base. On effectue la transformation de Jordan avec l'élément x 22 = 3, on obtient la troisième solution de référence X3 = (0,7,10,0,63,0) B2 = (A3, A2, A5) (Tableau 26.3).
Cette solution est la seule optimale, puisque pour tous les vecteurs non inclus dans la base les estimations sont positives
Δ 1 = 7/2, Δ 4 = 2, Δ 6 = 7/2.
Répondre: max Z(X) = 201 à X = (0,7,10,0,63).
Méthode de programmation linéaire en analyse économique
Méthode de programmation linéaire permet de justifier la solution économique la plus optimale dans des conditions de restrictions sévères liées aux ressources utilisées dans la production (immobilisations, matériaux, ressources en main d'œuvre). Application de cette méthode dans analyse économique permet de résoudre des problèmes liés principalement à la planification des activités de l’organisation. Cette méthode permet de déterminer les niveaux de sortie optimaux, ainsi que les directions pour le plus utilisation efficace ressources de production dont dispose l’organisation.
Grâce à cette méthode, on résout les problèmes dits extrêmes, qui consistent à trouver des valeurs extrêmes, c'est-à-dire le maximum et le minimum des fonctions variables.
Cette période repose sur la résolution d'un système d'équations linéaires dans les cas où les phénomènes économiques analysés sont liés linéairement, strictement dépendance fonctionnelle. La méthode de programmation linéaire est utilisée pour analyser des variables en présence de certains facteurs limitants.
Une solution très courante est ce qu'on appelle problème de transport en utilisant la méthode de programmation linéaire. Le contenu de cette tâche est de minimiser les coûts encourus dans le cadre de l'opération véhicules dans le cadre des restrictions existantes concernant le nombre de véhicules, leur capacité de transport, la durée de leur exploitation et s'il existe un besoin d'entretien quantité maximale clients.
A part ça, cette méthode est largement utilisé pour résoudre les problèmes de planification. Cette tâche consiste en une telle répartition du temps de fonctionnement pour le personnel d'une organisation donnée qui serait la plus acceptable tant pour les membres de ce personnel que pour les clients de l'organisation.
Cette tâche consiste à maximiser le nombre de clients servis dans des conditions de limitation du nombre de membres du personnel disponibles, ainsi que du fonds de temps de travail.
Ainsi, la méthode de programmation linéaire est assez courante dans l’analyse de placement et d’utilisation. différents types ressources, ainsi que dans le processus de planification et de prévision des activités des organisations.
Toujours programmation mathématique peut également s'appliquer aux phénomènes économiques dont la relation n'est pas linéaire. A cet effet, des méthodes de programmation non linéaires, dynamiques et convexes peuvent être utilisées.
La programmation non linéaire repose sur la nature non linéaire de la fonction objectif ou des contraintes, ou des deux. Les formes de la fonction objectif et des contraintes d'inégalité dans ces conditions peuvent être différentes.
La programmation non linéaire est utilisée en analyse économique, notamment pour établir la relation entre des indicateurs exprimant l'efficacité des activités d'une organisation et le volume de cette activité, la structure des coûts de production, les conditions du marché, etc.
La programmation dynamique repose sur la construction d'un arbre de décision. Chaque niveau de cet arbre sert d'étape pour déterminer les conséquences d'une décision antérieure et pour éliminer les options inefficaces pour cette décision. Ainsi, programmation dynamique a une nature en plusieurs étapes et en plusieurs étapes. Ce type de programmation est utilisé en analyse économique pour trouver options optimales développement de l'organisation, aujourd'hui et à l'avenir.
La programmation convexe est un type de programmation non linéaire. Ce type de programmation exprime le caractère non linéaire de la relation entre les résultats des activités d’une organisation et ses coûts. La programmation convexe (alias concave) analyse le convexe fonctions objectives et les systèmes de contraintes convexes (points valeurs acceptables). La programmation convexe est utilisée dans l'analyse des activités économiques dans le but de minimiser les coûts, et la programmation concave dans le but de maximiser les revenus dans le cadre des restrictions existantes sur l'action des facteurs qui influencent les indicateurs analysés de la manière opposée. Par conséquent, avec les types de programmation considérés, les fonctions objectives convexes sont minimisées et les fonctions objectives concaves sont maximisées.
| - | x1 | + | x2 | - | S1 | = | 1 | ||||||||||
| x1 | +3 | x2 | + | S2 | = | 15 | |||||||||||
| - | 2 | x1 | + | x2 | + | S3 | = | 4 |
| - | x1 | + | x2 | - | S1 | + | L’élément qui servira de base a donc été déterminé. Ensuite, nous comptons. | = | 1 | |||||||||||
| x1 | +3 | x2 | + | S2 | = | 15 | ||||||||||||||
| - | 2 | x1 | + | x2 | + | S3 | = | 4 |
| R1 x 1 = 0 x 2 = 0 S 1 = 0 |
S 2 = 15 S 3 = 4 R 1 = 1 |
| x1 | x2 | S1 | S2 | S3 | L’élément qui servira de base a donc été déterminé. Ensuite, nous comptons. | Étape #1 | Θ |
| -1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1: 1 = 1 |
| 1 | 3 | 0 | 1 | 0 | 0 | 15 | 15: 3 = 5 |
| -2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 4 | 4: 1 = 4 |
| 1 | -1 | 1 | 0 | 0 | 0 | St. membre | |
| -1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | 1 | |
| 4 | 0 | 3 | 1 | 0 | -3 | 12 | |
| -1 | 0 | 1 | 0 | 1 | -1 | 3 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | F-1 |
| - | x1 | + | x2 | - | S1 | = | 1 | ||||||||||
| 4 | x1 | + | 3 | S1 | + | S2 | = | 12 | |||||||||
| - | x1 | + | S1 | + | S3 | = | 3 |
| x1 | x2 | S1 | S2 | S3 | Étape #1 | Θ |
| -1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | |
| 4 | 0 | 3 | 1 | 0 | 12 | 12: 4 = 3 |
| -1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 3 | |
| 4 | 0 | 1 | 0 | 0 | W-0 | |
| -1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 3/4 | 1/4 | 0 | 3 | |
| -1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 3 | |
| 4 | 0 | 1 | 0 | 0 | W-0 | |
| 0 | 1 | -1/4 | 1/4 | 0 | 4 | |
| 1 | 0 | 3/4 | 1/4 | 0 | 3 | |
| 0 | 0 | 7/4 | 1/4 | 1 | 6 | |
| 0 | 0 | -2 | -1 | 0 | F-1 |
| F-13 S 1 = 0 S 2 = 0 |
x 1 = 3 x 2 = 4 S 3 = 6 |