Lorsque vous retirez le facteur commun des parenthèses. "en sortant le facteur commun des parenthèses." Retirer le moins des parenthèses

Chichaeva Darina 8e année

Dans l'ouvrage, un élève de 8e année a décrit la règle de factorisation d'un polynôme en factorisant multiplicateur commun derrière les parenthèses avec un cours détaillé pour résoudre de nombreux exemples sur ce sujet. Pour chaque exemple discuté, 2 exemples sont proposés pour décision indépendante, à laquelle il y a des réponses. Le travail aidera à étudier ce sujet pour les étudiants qui, pour une raison quelconque, ne l'ont pas maîtrisé lors de la réussite du matériel du programme de 7e année et (ou) lors de la répétition du cours d'algèbre en 8e année après les vacances d'été.

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Établissement d'enseignement budgétaire municipal

école secondaire n°32

"École associée de l'UNESCO "Eureka Développement"

Voljski, région de Volgograd

Travaux terminés :

élève de la classe 8B

Chichaeva Darina

Voljski

2014

Sortir le facteur commun des parenthèses

• - Une façon de factoriser un polynôme estmettre le facteur commun entre parenthèses ;
• - En sortant le multiplicateur général des parenthèses, il est appliquépropriété distributive;
• - Si tous les termes d'un polynôme contiennent facteur commun alors ce facteur peut être retiré entre parenthèses.

Lors de la résolution d'équations, dans les calculs et dans un certain nombre d'autres problèmes, il peut être utile de remplacer un polynôme par le produit de plusieurs polynômes (qui peuvent inclure des monômes). Représenter un polynôme comme un produit de deux ou plusieurs polynômes s’appelle factoriser le polynôme.

Considérons le polynôme 6a 2b+15b2 . Chacun de ses termes peut être remplacé par le produit de deux facteurs dont l'un est égal à 3b : →6a 2 b = 3b*2a 2 , + 15b 2 = 3b*5b →de là on obtient : 6a 2 b+15b 2 =3b*2a 2 +3b*5b.

L'expression résultante basée sur la propriété de distribution de la multiplication peut être représentée comme un produit de deux facteurs. L'un d'eux est le multiplicateur commun 3b , et l'autre est le montant 2a 2 et 5b → 3b*2a 2 +3b*5b=3b(2a 2 +5b) →Ainsi, nous avons développé le polynôme : 6a 2b+15b2 en facteurs, le représentant comme le produit d'un monôme 3b et le polynôme 2a 2 +5b. Cette méthode factoriser un polynôme s’appelle retirer le facteur commun des parenthèses.

Exemples :

Factorisez-le :

A) kx-px.

Multiplicateur x x nous l'avons mis entre parenthèses.

kx:x=k; px:x=p.

On obtient : kx-px=x*(k-p).

b) 4a-4b.

Multiplicateur 4 existe aussi bien au 1er qu'au 2ème mandat. C'est pourquoi 4 nous l'avons mis entre parenthèses.

4a:4=a; 4b:4=b.

On obtient : 4a-4b=4*(a-b).

c) -9m-27n.

9m et -27n sont divisibles par -9 . Par conséquent, nous retirons le facteur numérique entre parenthèses-9.

9m : (-9)=m ; -27n : (-9)=3n.

On a : -9m-27n=-9*(m+3n).

d) 5 ans 2 -15 ans.

5 et 15 sont divisibles par 5 ; y 2 et y sont divisés par y.

Par conséquent, nous retirons le facteur commun entre parenthèses 5у.

5 ans 2 : 5 ans = oui ; -15 ans : 5 ans = -3.

Donc : 5 ans 2 -15 ans = 5 ans*(an-3).

Commentaire: De deux degrés de même base, on soustrait le degré avec le plus petit exposant.

e) 16у 3 +12у 2.

16 et 12 sont divisibles par 4 ; y 3 et y 2 sont divisés par y 2.

Donc le facteur commun 4 ans 2 .

16 ans 3 : 4 ans 2 = 4 ans ; 12 ans 2 : 4 ans 2 = 3.

En conséquence nous obtenons : 16 ans 3 +12 ans 2 =4 ans 2 *(4 ans + 3).

f) Factoriser le polynôme 8b(7a+a)+n(7a+a).

Dans cette expression on voit que le même facteur est présent(7 ans+a) , qui peut être retiré des parenthèses. On obtient donc :8b(7y+a)+n(7y+a)=(8b+n)*(7y+a).

g) une(b-c)+d(c-b).

Expressions b-c et c-b sont opposés. Par conséquent, pour les rendre identiques, avant d changez le signe « + » en « - » :

une(bc)+d(cb)=une(bc)-d(bc).

a(b-c)+d(c-b)=a(b-c)-d(b-c)=(b-c)*(a-d).

Exemples de solutions indépendantes :

1. mx+mon;
2. ah+oui ;
3. 5x+5 ans ;
4. 12x+48 ans ;
5. 7ax+7bx ;
6. 14x+21 ans ;
7. –ma-a;
8. 8mn-4m2 ;
9. -12 ans 4 -16 ans ;
10. 15 ans 3 -30 ans 2 ;
11. 5c(y-2c)+y 2 (y-2c);
12. 8m(une-3)+n(une-3);
13. x(y-5)-y(5-y);
14. 3a(2x-7)+5b(7-2x);

Réponses.

1) m(x+y); 2) une(x+y); 3) 5(x+y); 4) 12(x+4y); 5) 7х(a+b); 6) 7(2x+3a); 7) -à(m+1); 8) 4 m (2 n-m) ;

9) -4 ans (3 ans 3 +4) ; 10) 15у 2 (у-2); 11) (y-2c)(5c+y2); 12) (a-3)(8m+n); 13) (y-5)(x+y); 14) (2x-7)(3a-5b).

Cours de mathématiques en 7ème

8. Objectifs de la leçon

Pour le professeur :

pédagogique

organiser des activités pédagogiques :

En maîtrisant l'algorithme de sortie du facteur commun entre parenthèses et en comprenant la logique de sa construction ;

Développer la capacité d'appliquer l'algorithme pour sortir le facteur commun des parenthèses

développement

créer les conditions du développement des compétences réglementaires :

Déterminez vos propres objectifs activités éducatives;

Planifier des moyens d'atteindre les objectifs ;

Corrélez vos actions avec les résultats prévus ;

Suivre et évaluer les activités éducatives en fonction des résultats ;

Organiser une coopération éducative et des activités conjointes avec l'enseignant et les pairs.

- pédagogique

Créer les conditions pour la formation d'une attitude responsable envers l'apprentissage ;

Créer les conditions propices au développement de l’autonomie des étudiants dans l’organisation et la réalisation de leurs activités éducatives.

Créer les conditions d’une éducation patriotique

Créer les conditions d’une éducation environnementale

Pour les étudiants :

Maîtriser l'algorithme de sortie du facteur commun entre parenthèses et comprendre la logique de sa construction ;

Développer la capacité d'appliquer l'algorithme pour sortir le facteur commun des parenthèses

9. UUD utilisées : réglementaire (fixation d'objectifs, planification des activités, contrôle et évaluation)

10.Type de cours : apprendre du nouveau matériel

11.Formes de travail étudiant : frontale, hammam, individuelle

12. Nécessaire équipement technique: ordinateur, projecteur, logo de cours, manuels de mathématiques, présentation électronique réalisée en Programme de puissance Point, polycopié

Structure et déroulement de la leçon

Parmi les différentes expressions considérées en algèbre, les sommes de monômes occupent une place importante. Voici des exemples de telles expressions :
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

La somme des monômes s’appelle un polynôme. Les termes d’un polynôme sont appelés termes du polynôme. Les monômes sont également classés comme polynômes, considérant un monôme comme un polynôme composé d'un seul membre.

Par exemple, un polynôme
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
peut être simplifié.

Représentons tous les termes sous forme de monômes vue standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Présentons des termes similaires dans le polynôme résultant :
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Le résultat est un polynôme dont tous les termes sont des monômes de la forme standard, et parmi eux il n'y en a pas de similaires. De tels polynômes sont appelés polynômes de forme standard.

Pour degré de polynôme de forme standard, assument les pouvoirs les plus élevés de ses membres. Ainsi, le binôme \(12a^2b - 7b\) a le troisième degré, et le trinôme \(2b^2 -7b + 6\) a le deuxième.

En règle générale, les termes des polynômes de forme standard contenant une variable sont classés par ordre décroissant des exposants. Par exemple:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

La somme de plusieurs polynômes peut être transformée (simplifiée) en un polynôme de forme standard.

Parfois, les termes d’un polynôme doivent être divisés en groupes, en plaçant chaque groupe entre parenthèses. Puisque la mise entre parenthèses est la transformation inverse des parenthèses ouvrantes, il est facile de formuler règles d'ouverture des parenthèses :

Si un signe «+» est placé avant les parenthèses, alors les termes entre parenthèses sont écrits avec les mêmes signes.

Si un signe « - » est placé avant les parenthèses, alors les termes entre parenthèses sont écrits avec des signes opposés.

Transformation (simplification) du produit d'un monôme et d'un polynôme

En utilisant la propriété distributive de la multiplication, vous pouvez transformer (simplifier) ​​le produit d'un monôme et d'un polynôme en un polynôme. Par exemple:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Le produit d'un monôme et d'un polynôme est identiquement égal à la somme des produits de ce monôme et de chacun des termes du polynôme.

Ce résultat est généralement formulé sous forme de règle.

Pour multiplier un monôme par un polynôme, vous devez multiplier ce monôme par chacun des termes du polynôme.

Nous avons déjà utilisé cette règle à plusieurs reprises pour multiplier par une somme.

Produit de polynômes. Transformation (simplification) du produit de deux polynômes

En général, le produit de deux polynômes est identiquement égal à la somme du produit de chaque terme d'un polynôme et de chaque terme de l'autre.

Habituellement, la règle suivante est utilisée.

Pour multiplier un polynôme par un polynôme, vous devez multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme de l'autre et additionner les produits résultants.

Formules de multiplication abrégées. Somme des carrés, différences et différence de carrés

Vous devez traiter certaines expressions dans les transformations algébriques plus souvent que d’autres. Les expressions les plus courantes sont peut-être \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) et \(a^2 - b^2 \), c'est-à-dire le carré de la somme, le carré de la différence et la différence des carrés. Vous avez remarqué que les noms de ces expressions semblent incomplets, par exemple, \((a + b)^2 \) n'est bien sûr pas seulement le carré de la somme, mais le carré de la somme de a et b . Cependant, le carré de la somme de a et b n'apparaît pas très souvent ; en règle générale, au lieu des lettres a et b, il contient des expressions diverses, parfois assez complexes.

Les expressions \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) peuvent être facilement converties (simplifiées) en polynômes de la forme standard en fait, vous avez déjà rencontré une telle tâche lors de la multiplication de polynômes ; :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Il est utile de mémoriser les identités résultantes et de les appliquer sans calculs intermédiaires. De brèves formulations verbales y contribuent.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - le carré de la somme est égal à la somme des carrés et au produit double.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - le carré de la différence est égal à la somme des carrés sans le double produit.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - la différence des carrés est égale au produit de la différence et de la somme.

Ces trois identités permettent dans les transformations de remplacer leurs parties gauches par des parties droites et vice versa - les parties droites par celles de gauche. Le plus difficile est de voir les expressions correspondantes et de comprendre comment les variables a et b y sont remplacées. Examinons plusieurs exemples d'utilisation de formules de multiplication abrégées.

Définition 1

Rappelons-nous d'abord Règles pour multiplier un monôme par un monôme :

Pour multiplier un monôme par un monôme, il faut d'abord multiplier les coefficients des monômes, puis, en utilisant la règle de multiplication des puissances de même base, multiplier les variables incluses dans les monômes.

Exemple 1

Trouver le produit des monômes $(2x)^3y^2z$ et $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

Solution:

Tout d'abord, calculons le produit des coefficients

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ dans cette tâche, nous avons utilisé la règle de multiplication d'un nombre par une fraction - pour multiplier un nombre entier par une fraction, vous avez besoin multiplier le nombre par le numérateur de la fraction et le dénominateur mis sans changement

Utilisons maintenant la propriété principale d'une fraction : le numérateur et le dénominateur d'une fraction peuvent être divisés par le même nombre, différent de $0$. Divisons le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 2$, c'est-à-dire réduisons cette fraction de 2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ frac(3 )(2)$

Le résultat obtenu s'est avéré être une fraction impropre, c'est-à-dire une fraction dans laquelle le numérateur est supérieur au dénominateur.

Transformons cette fraction en isolant la partie entière. Rappelons que pour isoler une partie entière, il faut écrire le quotient incomplet obtenu en divisant le numérateur par le dénominateur, en partie entière, le reste de la division au numérateur de la partie fractionnaire, et le diviseur en le dénominateur.

Nous avons trouvé le coefficient du futur produit.

Nous allons maintenant multiplier séquentiellement les variables $x^3\cdot x^2=x^5$,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Ici, nous avons utilisé la règle de multiplication des puissances avec la même base : $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

Alors le résultat de la multiplication des monômes sera :

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Puis basé sur de cette règle vous pouvez effectuer la tâche suivante :

Exemple 2

Représenter un polynôme donné comme le produit d'un polynôme et d'un monôme $(4x)^3y+8x^2$

Représentons chacun des monômes inclus dans le polynôme comme le produit de deux monômes afin d'isoler un monôme commun, qui sera un facteur à la fois dans le premier et dans le deuxième monôme.

Commençons par le premier monôme $(4x)^3y$. Factorisons son coefficient en facteurs simples : $4=2\cdot 2$. Nous ferons de même avec le coefficient du deuxième monôme $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Notez que deux facteurs $2\cdot 2$ sont inclus dans le premier et le deuxième coefficients, ce qui signifie $2\cdot 2=4$ - ce nombre sera inclus dans le monôme général en tant que coefficient

Notons maintenant que dans le premier monôme il y a $x^3$, et dans le second il y a la même variable à la puissance $2:x^2$. Cela signifie qu'il est pratique de représenter la variable $x^3$ comme ceci :

La variable $y$ n'est incluse que dans un seul terme du polynôme, ce qui signifie qu'elle ne peut pas être incluse dans le monôme général.

Imaginons le premier et le deuxième monôme inclus dans le polynôme comme un produit :

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Notez que le monôme commun, qui sera un facteur à la fois dans le premier et le deuxième monôme, est $4x^2$.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Maintenant, nous appliquons la loi distributive de la multiplication, l'expression résultante peut alors être représentée comme le produit de deux facteurs. L'un des multiplicateurs sera le multiplicateur total : $4x^2$ et l'autre sera la somme des multiplicateurs restants : $xy + 2$. Moyens:

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Cette méthode est appelée factorisation utilisant un facteur commun.

Facteur commun à dans ce cas le monôme $4x^2$ a été utilisé.

Algorithme

Remarque 1

Trouvez le plus grand diviseur commun des coefficients de tous les monômes inclus dans le polynôme - ce sera le coefficient du facteur commun-monôme, que nous mettrons entre parenthèses

Un monôme constitué du coefficient trouvé au paragraphe 2 et des variables trouvées au paragraphe 3 sera un facteur commun. qui peut être retiré des parenthèses comme facteur commun.

Exemple 3

Retirez le facteur commun $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

Solution:

Trouvons le pgcd des coefficients ; pour cela nous allons décomposer les coefficients en facteurs simples

45$=3\cdot 3\cdot 5$

Et on retrouve le produit de ceux inclus dans le développement de chacun :

Identifiez les variables qui composent chaque monôme et sélectionnez la variable avec le plus petit exposant

$a^3=a^2\cdot a$

La variable $b$ n'est incluse que dans les deuxième et troisième monômes, ce qui signifie qu'elle ne sera pas incluse dans le facteur commun.

Composons un monôme constitué du coefficient trouvé à l'étape 2, des variables trouvées à l'étape 3, nous obtenons : $3a$ - ce sera le facteur commun. Alors:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

Dans le cadre des études transformations identitaires Le sujet de la suppression du facteur commun entre parenthèses est très important. Dans cet article, nous expliquerons ce qu'est exactement une telle transformation, en dériverons la règle de base et analyserons des exemples typiques de problèmes.

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Le concept de prendre un facteur entre parenthèses

Pour appliquer avec succès cette transformation, vous devez savoir à quelles expressions elle est utilisée et quel résultat vous devez obtenir au final. Précisons ces points.

Vous pouvez retirer le facteur commun entre parenthèses dans les expressions qui représentent des sommes dans lesquelles chaque terme est un produit, et dans chaque produit il y a un facteur commun (le même) pour tout le monde. C'est ce qu'on appelle le facteur commun. C’est cela que nous allons sortir des parenthèses. Donc, si nous avons des travaux 5 3 Et 5 4, alors nous pouvons sortir le facteur commun 5 des parenthèses.

En quoi consiste cette transformation ? Lors de celle-ci, nous représentons l'expression originale comme le produit d'un facteur commun et d'une expression entre parenthèses contenant la somme de tous les termes originaux sauf le facteur commun.

Prenons l'exemple donné ci-dessus. Ajoutons un facteur commun de 5 à 5 3 Et 5 4 et nous obtenons 5 (3 + 4) . L'expression finale est le produit du facteur commun 5 par l'expression entre parenthèses, qui est la somme des termes d'origine sans 5.

Cette transformation est basé sur la propriété distributive de la multiplication, que nous avons déjà étudiée auparavant. Sous forme littérale, cela peut s'écrire une (b + c) = une b + une c. En changeant côté droità gauche, nous verrons un schéma permettant de sortir le facteur commun des parenthèses.

La règle pour sortir le facteur commun des parenthèses

En utilisant tout ce qui a été dit ci-dessus, nous dérivons la règle de base pour une telle transformation :

Définition 1

Pour supprimer le facteur commun des parenthèses, vous devez écrire l’expression originale comme le produit du facteur commun et des parenthèses qui incluent la somme d’origine sans le facteur commun.

Exemple 1

Prenons un exemple simple de rendu. Nous avons une expression numérique 3 7 + 3 2 − 3 5, qui est la somme de trois termes 3 · 7, 3 · 2 et d'un facteur commun 3. En prenant comme base la règle que nous avons dérivée, nous écrivons le produit sous la forme 3 (7 + 2 − 5). C'est le résultat de notre transformation. La solution complète ressemble à ceci : 3 7 + 3 2 − 3 5 = 3 (7 + 2 − 5).

Nous pouvons sortir le multiplicateur des parenthèses non seulement en nombres, mais aussi en expressions littérales. Par exemple, dans 3x−7x + 2 vous pouvez retirer la variable x et obtenir 3 x − 7 x + 2 = x (3 − 7) + 2, dans l'expression (x 2 + y) x y − (x 2 + y) x 3– facteur commun (x2+y) et arrive à la fin (x 2 + y) · (x · y − x 3).

Il n'est pas toujours possible de déterminer immédiatement quel facteur est commun. Parfois, une expression doit d’abord être transformée en remplaçant les nombres et les expressions par des produits identiquement égaux.

Exemple 2

Ainsi, par exemple, dans l'expression 6 x + 4 ans il est possible d'en dériver un facteur commun 2 qui n'est pas écrit explicitement. Pour le trouver, nous devons transformer l'expression originale, représentant six par 2 · 3 et quatre par 2 · 2. C'est 6 x + 4 oui = 2 3 x + 2 2 oui = 2 (3 x + 2 oui). Ou en expression x 3 + x 2 + 3 x on peut sortir entre parenthèses le facteur commun x, qui se révèle après le remplacement x3 sur x · x 2 . Cette transformation est possible grâce aux propriétés fondamentales du diplôme. En conséquence, nous obtenons l'expression x (x 2 + x + 3).

Un autre cas qui devrait être discuté séparément est la suppression du signe moins entre parenthèses. Ensuite, nous ne retirons pas le signe lui-même, mais moins un. Par exemple, transformons l'expression de cette façon − 5 − 12 x + 4 x y. Réécrivons l'expression comme (− 1) 5 + (− 1) 12 x − (− 1) 4 x y, de sorte que le multiplicateur global soit plus clairement visible. Sortons-le des parenthèses et obtenons − (5 + 12 · x − 4 · x · y) . Cet exemple montre qu'entre parenthèses on obtient le même montant, mais avec des signes opposés.

En conclusion, on note que la transformation par sortie du facteur commun entre parenthèses est très souvent utilisée en pratique, par exemple pour calculer la valeur expressions rationnelles. Cette méthode est également utile lorsque vous devez représenter une expression sous forme de produit, par exemple pour factoriser un polynôme en facteurs individuels.

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