Comment calculer le déterminant d'une matrice. Calcul des déterminants. Définitions de base et propriétés les plus simples

09.03.2019

Les déterminants matriciels sont souvent utilisés en calcul, en algèbre linéaire et en géométrie analytique. En dehors du monde académique, les déterminants matriciels sont constamment nécessaires aux ingénieurs et aux programmeurs, en particulier ceux qui travaillent avec infographie. Si vous savez déjà comment trouver le déterminant d'une matrice 2x2, les seuls outils dont vous avez besoin pour trouver le déterminant d'une matrice 3x3 sont l'addition, la soustraction et la multiplication.

Mesures

Trouver un déterminant

Écrivez une matrice 3 x 3.Écrivons une matrice de dimension 3 x 3, que nous notons M, et trouvons son déterminant |M|. Voici la notation matricielle générale que nous utiliserons et la matrice de notre exemple :

M = (a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33) = (1 5 3 2 4 7 4 6 2) (\displaystyle M=(\begin(pmatrix)a_(11)&a_ (12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33)\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)1&5&3\ \2&4&7\\4&6&2\end(pmatrix)))

Sélectionnez une ligne ou une colonne de la matrice. Cette ligne (ou colonne) sera la référence. Le résultat sera le même quelle que soit la ligne ou la colonne que vous sélectionnez. DANS dans cet exemple prenons la première ligne. Vous trouverez plus tard quelques conseils sur la façon de sélectionner une ligne ou une colonne pour faciliter les calculs.
- Sélectionnons la première ligne de la matrice M dans notre exemple. Entourez les chiffres 1 5 3. B forme générale encerclez a 11 a 12 a 13 .
Rayez la ligne ou la colonne avec le premier élément. Reportez-vous à la ligne de référence (ou à la colonne de référence) et sélectionnez le premier élément. Tracez une ligne horizontale et verticale passant par cet élément, barrant ainsi la colonne et la ligne avec cet élément. Il devrait rester quatre chiffres. Nous considérerons ces éléments comme une nouvelle matrice de dimension 2 x 2.
- Dans notre exemple, la ligne de référence serait 1 5 3. Le premier élément est à l'intersection de la première colonne et de la première ligne. Rayez la ligne et la colonne avec cet élément, c'est-à-dire la première ligne et la première colonne. Écrivez les éléments restants sous forme de matrice 2 x 2 :
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Trouvez le déterminant d'une matrice 2 x 2. Rappelons que le déterminant d'une matrice (a b c d) (\displaystyle (\begin(pmatrix)a&b\\c&d\end(pmatrix))) calculé comme ad-bc. À partir de là, vous pouvez calculer le déterminant de la matrice 2 x 2 résultante, que vous pouvez désigner par X si vous le souhaitez. Multipliez les deux nombres de la matrice X, connectés en diagonale de gauche à droite (c'est-à-dire comme ceci : \) . Soustrayez ensuite le résultat de la multiplication des deux autres nombres en diagonale de droite à gauche (c'est-à-dire comme ceci : /). Utilisez cette formule pour calculer le déterminant de la matrice que vous venez d'obtenir.

Multipliez la réponse obtenue par l'élément matriciel sélectionné M. Rappelez-vous quel élément de la ligne (ou de la colonne) de référence nous avons utilisé lorsque nous avons barré d'autres éléments de la ligne et de la colonne pour obtenir une nouvelle matrice. Multipliez cet élément par le mineur résultant (le déterminant de la matrice 2x2, que nous avons noté X).
- Dans notre exemple, nous avons choisi l'élément a 11, qui était égal à 1. Multipliez-le par -34 (le déterminant d'une matrice 2x2), et vous obtenez 1*-34 = -34 .
Déterminez le signe du résultat obtenu. Ensuite, vous devrez multiplier le résultat par 1, ou par -1 pour obtenir complément algébrique(cofacteur)élément sélectionné. Le signe du cofacteur dépendra de l'endroit où se trouve l'élément dans la matrice 3x3. Souviens-toi de ça diagramme simple signes pour connaître le signe du cofacteur :
Répétez toutes les étapes ci-dessus avec le deuxième élément de la ligne (ou colonne) de référence. Revenons à la matrice 3x3 d'origine et à la ligne que nous avons encerclée au tout début du calcul. Répétez toutes les actions avec cet élément :
- Rayez la ligne et la colonne avec cet élément. Dans notre exemple, il faut sélectionner l'élément a 12 (égal à 5). Rayez la première ligne (1 5 3) et la deuxième colonne (5 4 6) (\displaystyle (\begin(pmatrix)5\\4\\6\end(pmatrix))) matrices.
- Écrivez les éléments restants sous forme de matrice 2x2. Dans notre exemple, la matrice ressemblera à (2 7 4 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)2&7\\4&2\end(pmatrix)))
- Trouver le déterminant de ceci nouvelle matrice 2x2. Utilisez la formule ad - bc ci-dessus. (2*2 - 7*4 = -24)
- Multipliez le déterminant résultant par l'élément sélectionné de la matrice 3x3. -24 * 5 = -120
- Vérifiez si vous devez multiplier le résultat par -1. Utilisons la formule (-1) ij pour déterminer le signe du complément algébrique. Pour l'élément a 12 que nous avons sélectionné, le tableau montre un signe « - » et la formule donne un résultat similaire. Autrement dit, il faut changer le signe : (-1)*(-120) = 120 .
Répétez avec le troisième élément. Ensuite, vous devrez trouver un autre complément algébrique. Calculez-le pour dernier élément ligne de référence ou colonne de référence. Ce qui suit est brève description comment le complément algébrique d'un 13 est calculé dans notre exemple :
- Rayez la première ligne et la troisième colonne pour obtenir une matrice (2 4 4 6) (\displaystyle (\begin(pmatrix)2&4\\4&6\end(pmatrix)))
- Son déterminant est 2*6 - 4*4 = -4.
- Multipliez le résultat par l'élément a 13 : -4 * 3 = -12.
- L'élément a 13 a un signe + dans le tableau ci-dessus, la réponse sera donc -12 .
Additionnez les résultats. C'est la dernière étape. Vous devez ajouter les compléments algébriques résultants des éléments de la ligne de référence (ou de la colonne de référence). Additionnez-les ensemble et vous obtenez la valeur du déterminant d'une matrice 3x3.
- Dans notre exemple, le déterminant est égal à -34 + 120 + -12 = 74 .
Comment simplifier la tâche
1. Choisissez comme ligne (ou colonne) de référence celle qui contient le plus de zéros. N'oubliez pas que vous pouvez choisir comme référence n'importe lequel ligne ou colonne. Le choix de la ligne ou de la colonne de référence n'affecte pas le résultat. Si vous sélectionnez la ligne avec le plus grand nombre zéros, vous devrez faire moins de calculs car vous n'aurez qu'à calculer les compléments algébriques pour les éléments non nuls. Voici pourquoi :
  - Supposons que vous ayez sélectionné la ligne 2 avec les éléments a 21 , a 22 et a 23 . Pour trouver le déterminant, vous devrez trouver les déterminants de trois matrices 2x2 différentes. Appelons-les A 21, A 22 et A 23.
  - Autrement dit, le déterminant d'une matrice 3x3 est égal à a 21 |A 21 | - une 22 |Une 22 | + une 23 |Une 23 |.
  - Si a 22 et a 23 valent tous deux 0, alors notre formule devient beaucoup plus courte a 21 |A 21 | - 0*|UNE 22 | + 0*|UNE 23 | = une 21 |Une 21 | - 0 + 0 = une 21 |UNE 21 |. Autrement dit, il est nécessaire de calculer uniquement le complément algébrique d'un élément.
2. Utilisez l'ajout de lignes pour simplifier une matrice. Si vous prenez une ligne et en ajoutez une autre, le déterminant de la matrice ne changera pas. Il en va de même pour les colonnes. Vous pouvez le faire plusieurs fois ou multiplier les valeurs de chaîne par une constante (avant d'ajouter) pour obtenir autant de zéros que possible. Faire cela peut gagner beaucoup de temps.
  - Par exemple, nous avons une matrice de trois lignes : (9 − 1 2 3 1 0 7 5 − 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end(pmatrix)))
  - Pour supprimer le 9 à la place de l'élément a 11 , on peut multiplier la deuxième ligne par -3 et ajouter le résultat à la première. La nouvelle première ligne sera + [-9 -3 0] = .
  - Autrement dit, nous obtenons une nouvelle matrice (0 − 4 2 3 1 0 7 5 − 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end(pmatrix))) Essayez de faire la même chose avec les colonnes pour obtenir un zéro à la place de l'élément a 12.
3. N'oubliez pas que calculer le déterminant des matrices triangulaires est beaucoup plus simple. Le déterminant des matrices triangulaires est calculé comme le produit des éléments de la diagonale principale, de 11 dans le coin supérieur gauche à 33 dans le coin inférieur droit. Discours dans dans ce cas concerne les matrices triangulaires de dimensions 3x3. Les matrices triangulaires peuvent être les types suivants, selon l'emplacement non nul valeurs:
  - Matrice triangulaire supérieure : tous les éléments non nuls se trouvent sur et au-dessus de la diagonale principale. Tous les éléments en dessous de la diagonale principale sont nuls.
  - Matrice triangulaire inférieure : Tous les éléments non nuls sont en dessous et sur la diagonale principale.
  - Matrice diagonale : Tous les éléments non nuls sont sur la diagonale principale. C'est un cas particulier des matrices décrites ci-dessus.
  - La méthode décrite s'applique aux matrices carrées de n'importe quel rang. Par exemple, si vous l'utilisez pour une matrice 4x4, alors après la "rayure", il restera des matrices 3x3, pour lesquelles le déterminant sera calculé de la manière ci-dessus. Préparez-vous au fait que le calcul manuel du déterminant pour des matrices de telles dimensions est une tâche très laborieuse !
  - Si tous les éléments d'une ligne ou d'une colonne valent 0, alors le déterminant de la matrice est également 0.

Lors de la résolution de problèmes en mathématiques supérieures, il est très souvent nécessaire de calculer le déterminant d'une matrice. Le déterminant d'une matrice apparaît en algèbre linéaire, en géométrie analytique, analyse mathématique et d'autres branches des mathématiques supérieures. Ainsi, il est tout simplement impossible de se passer de la capacité de résoudre les déterminants. De plus, pour l'auto-test, vous pouvez télécharger gratuitement un calculateur de déterminants ; il ne vous apprendra pas à résoudre les déterminants par lui-même, mais c'est très pratique, car il est toujours avantageux de connaître la bonne réponse à l'avance !

Je ne donnerai pas une définition mathématique stricte du déterminant et, en général, j'essaierai de minimiser la terminologie mathématique, cela ne facilitera pas la tâche de la plupart des lecteurs ; Le but de cet article est de vous apprendre à résoudre des déterminants de deuxième, troisième et quatrième ordre. Tout le matériel est présenté sous une forme simple et accessible, et même une théière pleine (vide) en mathématiques supérieures, après avoir soigneusement étudié le matériel, sera en mesure de résoudre correctement les déterminants.

En pratique, on trouve le plus souvent un déterminant du deuxième ordre, par exemple : et un déterminant du troisième ordre, par exemple : .

Déterminant du quatrième ordre Ce n’est pas non plus une antiquité, et nous y reviendrons à la fin de la leçon.

J'espère que tout le monde comprend ce qui suit : Les nombres à l'intérieur du déterminant vivent d'eux-mêmes, et il n'est pas question de soustraction ! Les numéros ne peuvent pas être échangés !

(En particulier, il est possible d'effectuer des réarrangements par paires de lignes ou de colonnes d'un déterminant avec un changement de son signe, mais souvent cela n'est pas nécessaire - voir la leçon suivante Propriétés du déterminant et abaissement de son ordre)

Ainsi, si un déterminant est donné, alors On ne touche à rien à l’intérieur !

Désignations: Si on lui donne une matrice , alors son déterminant est noté . De plus, très souvent, le déterminant est noté Lettre latine ou grec.

1)Que signifie résoudre (trouver, révéler) un déterminant ? Calculer le déterminant signifie TROUVER LE NOMBRE. Les points d’interrogation dans les exemples ci-dessus sont des nombres tout à fait ordinaires.

2) Reste maintenant à comprendre COMMENT retrouver ce numéro ? Pour ce faire, vous devez postuler certaines règles, formules et algorithmes, c'est ce dont nous allons parler maintenant.

Commençons par le déterminant « deux » par « deux »:

CELA DOIT ÊTRE SOUVENU, au moins lorsque vous étudiez les mathématiques supérieures dans une université.

Regardons tout de suite un exemple :

Prêt. Le plus important est de NE PAS SE CONFONDRE DANS LES SIGNES.

Déterminant d'une matrice trois par trois peut être ouvert de 8 manières, dont 2 simples et 6 normales.

Commençons par deux des moyens simples

Semblable au déterminant deux par deux, le déterminant trois par trois peut être développé à l'aide de la formule :

La formule est longue et il est facile de se tromper par imprudence. Comment éviter les erreurs gênantes ? A cet effet, une deuxième méthode de calcul du déterminant a été inventée, qui coïncide en fait avec la première. On l'appelle méthode Sarrus ou méthode des « bandes parallèles ».
L'essentiel est qu'à droite du déterminant, attribuez les première et deuxième colonnes et tracez soigneusement des lignes avec un crayon :

Les multiplicateurs situés sur les diagonales « rouges » sont inclus dans la formule avec un signe « plus ».
Les multiplicateurs situés sur les diagonales « bleues » sont inclus dans la formule avec un signe moins :

Exemple:

Comparez les deux solutions. Il est facile de voir que c'est LA MÊME chose, c'est juste que dans le second cas, les facteurs de formule sont légèrement réorganisés et, surtout, la probabilité de se tromper est bien moindre.

Examinons maintenant les six façons normales de calculer le déterminant

Pourquoi normal ? Car dans la grande majorité des cas, les qualificatifs doivent être divulgués de cette manière.

Comme vous l'avez remarqué, le déterminant trois par trois comporte trois colonnes et trois lignes.
Vous pouvez résoudre le déterminant en l'ouvrant par n'importe quelle ligne ou par n'importe quelle colonne.
Il existe donc 6 méthodes, utilisant dans tous les cas même type algorithme.

Le déterminant de la matrice est égal à la somme des produits des éléments de la ligne (colonne) par les compléments algébriques correspondants. Effrayant? Tout est beaucoup plus simple ; nous utiliserons une approche non scientifique mais compréhensible, accessible même à une personne éloignée des mathématiques.

Dans l'exemple suivant, nous développerons le déterminant sur la première ligne.
Pour cela nous avons besoin d'une matrice de signes : . Il est facile de remarquer que les panneaux sont disposés en damier.

Attention! La matrice de signes est ma propre invention. Cette notion non scientifique, il n'a pas besoin d'être utilisé dans la conception finale des devoirs, il vous aide uniquement à comprendre l'algorithme de calcul du déterminant.

Je vais d'abord apporter solution complète. Nous reprenons notre déterminant expérimental et effectuons les calculs :

ET question principale: COMMENT obtenir cela à partir du déterminant « trois par trois » :
?

Ainsi le déterminant de « trois par trois » se réduit à décision à trois petits déterminants, ou comme on les appelle aussi, MINOROV. Je recommande de retenir le terme, d’autant plus qu’il est mémorable : mineur – petit.

Une fois la méthode de décomposition du déterminant choisie sur la première ligne, il est évident que tout tourne autour d'elle :

Les éléments sont généralement affichés de gauche à droite (ou de haut en bas si une colonne a été sélectionnée)

C'est parti, commençons par traiter le premier élément de la ligne, c'est-à-dire un :

1) A partir de la matrice des signes on écrit le signe correspondant :

2) Ensuite, nous écrivons l'élément lui-même :

3) Rayez MENTALEMENT la ligne et la colonne dans lesquelles apparaît le premier élément :

Les quatre nombres restants forment le déterminant « deux par deux », appelé MINEURE d'un élément (unité) donné.

Passons au deuxième élément de la ligne.

4) A partir de la matrice des signes on écrit le signe correspondant :

5) Écrivez ensuite le deuxième élément :

6) Rayez MENTALEMENT la ligne et la colonne dans lesquelles apparaît le deuxième élément :

Eh bien, le troisième élément de la première ligne. Aucune originalité :

7) A partir de la matrice des signes on écrit le signe correspondant :

8) Notez le troisième élément :

9) Rayez MENTALEMENT la ligne et la colonne qui contiennent le troisième élément :

Nous écrivons les quatre nombres restants dans un petit déterminant.

Les actions restantes ne présentent aucune difficulté, puisque l'on sait déjà compter les déterminants deux à deux. NE VOUS CONFONDEZ PAS DANS LES SIGNES !

De même, le déterminant peut être étendu sur n’importe quelle ligne ou dans n’importe quelle colonne. Naturellement, dans les six cas, la réponse est la même.

Le déterminant quatre sur quatre peut être calculé en utilisant le même algorithme.
Dans ce cas, notre matrice de signes augmentera :

Dans l'exemple suivant, j'ai développé le déterminant selon la quatrième colonne:

Comment c'est arrivé, essayez de le découvrir vous-même. Informations Complémentaires viendra plus tard. Si quelqu'un veut résoudre le déterminant jusqu'au bout, la bonne réponse est : 18. Pour la pratique, il est préférable de résoudre le déterminant par une autre colonne ou une autre ligne.

Pratiquer, découvrir, faire des calculs est très bon et utile. Mais combien de temps consacrerez-vous à la grande qualification ? N'existe-t-il pas un moyen plus rapide et plus fiable ? Je vous suggère de vous familiariser avec méthodes efficaces calculs de déterminants dans la deuxième leçon - Propriétés du déterminant. Réduire l'ordre du déterminant.

SOIS PRUDENT!

Déterminant matriciel

Trouver le déterminant d'une matrice est un problème très courant en mathématiques supérieures et en algèbre. En règle générale, on ne peut pas se passer de la valeur du déterminant matriciel lors de la résolution systèmes complexeséquations. La méthode Cramer de résolution de systèmes d'équations est basée sur le calcul du déterminant d'une matrice. À l'aide de la définition d'un déterminant, la présence et l'unicité d'une solution à un système d'équations sont déterminées. Par conséquent, il est difficile de surestimer l’importance de la capacité à trouver correctement et précisément le déterminant d’une matrice en mathématiques. Les méthodes de résolution des déterminants sont théoriquement assez simples, mais à mesure que la taille de la matrice augmente, les calculs deviennent très lourds et nécessitent beaucoup de soin et beaucoup de temps. Très facile dans un tel complexe calculs mathématiques faites une erreur mineure ou une faute de frappe qui entraînera une erreur dans la réponse finale. Donc même si tu trouves déterminant matriciel vous-même, il est important de vérifier le résultat. Cela peut être fait avec notre service Trouver le déterminant d'une matrice en ligne. Notre service donne toujours absolument résultat exact, ne contenant aucune erreur ni faute de frappe. Vous pouvez refuser les calculs indépendants, car d'un point de vue appliqué, trouver déterminant de la matrice n'a pas de caractère pédagogique, mais nécessite simplement beaucoup de temps et calculs numériques. Par conséquent, si dans votre tâche définition du déterminant matriciel sont des calculs auxiliaires, secondaires, utilisez notre service et trouver le déterminant d'une matrice en ligne!

Tous les calculs sont effectués automatiquement à l'aide la plus haute précision et absolument gratuit. Nous avons très interface conviviale pour saisir des éléments de la matrice. Mais la principale différence entre notre service et les services similaires est la possibilité de recevoir solution détaillée. Notre service à calculer le déterminant d'une matrice en ligne utilise toujours la méthode la plus simple et la plus courte et décrit en détail chaque étape de transformations et de simplifications. Ainsi, vous obtenez non seulement la valeur du déterminant de la matrice, le résultat final, mais également une solution complète et détaillée.

Énoncé du problème

La tâche suppose que l'utilisateur soit familier avec les concepts de base des méthodes numériques, tels que le déterminant et la matrice inverse, et de diverses manières leurs calculs. Dans ce rapport théorique, simple et langue accessible Tout d'abord, des concepts et des définitions de base sont introduits, sur la base desquels des recherches ultérieures sont menées. L'utilisateur peut ne pas avoir de connaissances particulières dans le domaine des méthodes numériques et de l'algèbre linéaire, mais peut facilement utiliser les résultats de ce travail. Pour plus de clarté, un programme de calcul du déterminant d'une matrice à l'aide de plusieurs méthodes, écrit en langage de programmation C++, est donné. Le programme est utilisé comme support de laboratoire pour créer des illustrations pour le rapport. Une étude des méthodes de résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires est également en cours. L'inutilité du calcul de la matrice inverse est prouvée, le travail fournit donc plus moyens optimaux résoudre des équations sans les calculer. Cela explique pourquoi il y en a tant diverses méthodes les calculs de déterminants et de matrices inverses ainsi que leurs lacunes sont analysés. Les erreurs dans le calcul du déterminant sont également prises en compte et la précision obtenue est évaluée. En plus des termes russes, l'ouvrage utilise également leurs équivalents anglais pour comprendre sous quels noms rechercher les procédures numériques dans les bibliothèques et ce que signifient leurs paramètres.

Définitions de base et propriétés les plus simples

Déterminant

Introduisons la définition du déterminant matrice carrée n'importe quelle commande. Cette définition sera récurrent, c'est-à-dire que pour établir quel est le déterminant de la matrice d'ordre, vous devez déjà savoir quel est le déterminant de la matrice d'ordre. Notez également que le déterminant n'existe que pour les matrices carrées.

Nous désignerons le déterminant d'une matrice carrée par ou det.

Définition 1. Déterminant matrice carrée le deuxième numéro de commande est appelé .

Déterminant matrice carrée d'ordre , s'appelle le nombre

où est le déterminant de la matrice d'ordre obtenu à partir de la matrice en supprimant la première ligne et la première colonne avec le numéro .

Pour plus de clarté, écrivons comment calculer le déterminant d’une matrice du quatrième ordre :

Commentaire. Le calcul réel des déterminants pour les matrices au-dessus du troisième ordre basé sur la définition est utilisé dans des cas exceptionnels. Généralement, le calcul est effectué à l'aide d'autres algorithmes, qui seront abordés plus loin et qui nécessitent moins de travail de calcul.

Commentaire. Dans la définition 1, il serait plus juste de dire que le déterminant est une fonction définie sur l'ensemble des matrices carrées d'ordre et prenant des valeurs dans l'ensemble des nombres.

Commentaire. Dans la littérature, à la place du terme « déterminant », on utilise également le terme « déterminant », qui a le même sens. Du mot « déterminant », la désignation det est apparue.

Considérons quelques propriétés des déterminants, que nous formulerons sous forme d'énoncés.

Déclaration 1. Lors de la transposition d'une matrice, le déterminant ne change pas, c'est-à-dire .

Déclaration 2. Le déterminant du produit des matrices carrées est égal au produit des déterminants des facteurs, c'est-à-dire.

Déclaration 3. Si deux lignes d'une matrice sont inversées, son déterminant changera de signe.

Déclaration 4. Si une matrice a deux lignes identiques, alors son déterminant égal à zéro.

À l’avenir, nous devrons ajouter des chaînes et multiplier une chaîne par un nombre. Nous effectuerons ces actions sur les lignes (colonnes) de la même manière que les actions sur les matrices lignes (matrices colonnes), c'est-à-dire élément par élément. Le résultat sera une ligne (colonne) qui, en règle générale, ne coïncide pas avec les lignes de la matrice d'origine. S'il existe des opérations d'addition de lignes (colonnes) et de multiplication par un nombre, on peut aussi parler de combinaisons linéaires de lignes (colonnes), c'est-à-dire de sommes avec des coefficients numériques.

Déclaration 5. Si une ligne d'une matrice est multipliée par un nombre, alors son déterminant sera multiplié par ce nombre.

Déclaration 6. Si une matrice contient une ligne nulle, alors son déterminant est zéro.

Déclaration 7. Si l'une des lignes de la matrice est égale à une autre, multipliée par un nombre (les lignes sont proportionnelles), alors le déterminant de la matrice est égal à zéro.

Déclaration 8. Laissez la i-ème ligne de la matrice avoir la forme . Ensuite, où la matrice est obtenue à partir de la matrice en remplaçant la i-ème ligne par la ligne , et la matrice est obtenue en remplaçant la i-ème ligne par la ligne .

Déclaration 9. Si vous ajoutez une autre ligne à l'une des lignes de la matrice, multipliée par un nombre, alors le déterminant de la matrice ne changera pas.

Déclaration 10. Si l'une des lignes de la matrice est combinaison linéaire de ses autres lignes, alors le déterminant de la matrice est égal à zéro.

Définition 2. Complément algébriqueà un élément de la matrice est un nombre égal à , où est le déterminant de la matrice obtenu à partir de la matrice en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne. Le complément algébrique d'un élément matriciel est noté .

Exemple. Laisser . Alors

Commentaire. En utilisant des additions algébriques, la définition de 1 déterminant peut s'écrire comme suit :

Déclaration 11. Développement du déterminant dans une chaîne arbitraire.

La formule du déterminant de la matrice est

Exemple. Calculer .

Solution. Utilisons le développement le long de la troisième ligne, c'est plus rentable, puisque dans la troisième ligne deux des trois nombres sont des zéros. Nous obtenons

Déclaration 12. Pour une matrice carrée d'ordre à, la relation est : .

Déclaration 13. Toutes les propriétés du déterminant formulées pour les lignes (instructions 1 à 11) sont également valables pour les colonnes, en particulier, la décomposition du déterminant dans la j-ème colonne est valable et l'égalité à .

Déclaration 14. Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit des éléments de sa diagonale principale.

Conséquence. Déterminant matrice d'identité égal à un, .

Conclusion. Les propriétés listées ci-dessus permettent de trouver des déterminants de matrices d'ordres suffisamment élevés avec un nombre relativement faible de calculs. L'algorithme de calcul est le suivant.

Algorithme de création de zéros dans une colonne. Supposons que nous devions calculer le déterminant de l'ordre. Si , alors échangez la première ligne et toute autre ligne dans laquelle le premier élément n'est pas nul. En conséquence, le déterminant , sera égal au déterminant de la nouvelle matrice de signe opposé. Si le premier élément de chaque ligne est égal à zéro, alors la matrice a une colonne nulle et, selon les affirmations 1, 13, son déterminant est égal à zéro.

Donc, nous pensons que c'est déjà le cas dans la matrice originale. Nous laissons la première ligne inchangée. Ajoutez à la deuxième ligne la première ligne multipliée par le nombre . Alors le premier élément de la deuxième ligne sera égal à .

Autres éléments nouvelle seconde Notons les lignes par , . Le déterminant de la nouvelle matrice selon l'énoncé 9 est égal à . Multipliez la première ligne par un nombre et ajoutez-la au troisième. Le premier élément de la nouvelle troisième ligne sera égal à

Nous désignons les éléments restants de la nouvelle troisième ligne par , . Le déterminant de la nouvelle matrice selon l'énoncé 9 est égal à .

Nous continuerons le processus d'obtention de zéros au lieu des premiers éléments des lignes. Enfin, multipliez la première ligne par un nombre et ajoutez-la à la dernière ligne. Le résultat est une matrice, notons-la , qui a la forme

et . Pour calculer le déterminant de la matrice, on utilise le développement dans la première colonne

Depuis lors

Sur le côté droit se trouve le déterminant de la matrice d’ordre. On lui applique le même algorithme, et le calcul du déterminant de la matrice se réduira au calcul du déterminant de la matrice d'ordre. Nous répétons le processus jusqu’à atteindre le déterminant du second ordre, qui est calculé par définition.

Si la matrice n'a pas de propriétés spécifiques, il n'est alors pas possible de réduire significativement la quantité de calculs par rapport à l'algorithme proposé. Un de plus bon côté cet algorithme - il est facile de l'utiliser pour créer un programme informatique permettant de calculer les déterminants de matrices de gros ordres. DANS programmes standards calcul des déterminants, cet algorithme est utilisé sans changements fondamentaux liés à la minimisation de l’impact des erreurs d’arrondi et des erreurs de données d’entrée dans les calculs informatiques.

Exemple. Calculer le déterminant de la matrice .

Solution. Nous laissons la première ligne inchangée. A la deuxième ligne on ajoute la première, multipliée par le nombre :

Le déterminant ne change pas. A la troisième ligne on ajoute la première, multipliée par le nombre :

Le déterminant ne change pas. A la quatrième ligne on ajoute la première, multipliée par le nombre :

Le déterminant ne change pas. En conséquence nous obtenons

En utilisant le même algorithme, on calcule le déterminant de la matrice d'ordre 3, située à droite. Nous laissons la première ligne inchangée, ajoutons la première ligne multipliée par le nombre à la deuxième ligne :

A la troisième ligne on ajoute la première, multipliée par le nombre :

En conséquence nous obtenons

Répondre. .

Commentaire. Bien que des fractions aient été utilisées dans les calculs, le résultat s’est avéré être un nombre entier. En effet, en utilisant les propriétés des déterminants et le fait que les nombres originaux sont des nombres entiers, les opérations avec les fractions pourraient être évitées. Mais dans la pratique de l’ingénierie, les nombres sont extrêmement rarement des nombres entiers. Par conséquent, en règle générale, les éléments du déterminant seront des fractions décimales et il est inapproprié d'utiliser des astuces pour simplifier les calculs.

Matrice inverse

Définition 3. La matrice s'appelle matrice inverse pour une matrice carrée, si .

De la définition il résulte que la matrice inverse sera une matrice carrée du même ordre que la matrice (sinon l'un des produits ou ne serait pas défini).

Matrice inverse pour une matrice, elle est notée . Ainsi, si existe, alors .

De la définition d'une matrice inverse, il s'ensuit que la matrice est l'inverse de la matrice, c'est-à-dire . On peut dire des matrices qu'elles sont inverses les unes aux autres ou mutuellement inverses.

Si le déterminant d'une matrice est nul, alors son inverse n'existe pas.

Puisque pour trouver la matrice inverse, il est important que le déterminant de la matrice soit égal à zéro ou non, nous introduisons les définitions suivantes.

Définition 4. Appelons la matrice carrée dégénérer ou matrice spéciale, si , et non dégénéré ou matrice non singulière, Si .

Déclaration. Si la matrice inverse existe, alors elle est unique.

Déclaration. Si une matrice carrée est non singulière, alors son inverse existe et (1) où sont les compléments algébriques aux éléments.

Théorème. Une matrice inverse pour une matrice carrée existe si et seulement si la matrice est non singulière, la matrice inverse est unique et la formule (1) est valide.

Commentaire. Devrait être payé attention particulière aux places occupées par les additions algébriques dans la formule matricielle inverse : le premier index montre le nombre colonne, et le second est le nombre lignes, dans lequel vous devez écrire l'addition algébrique calculée.

Exemple. .

Solution. Trouver le déterminant

Puisque , alors la matrice est non dégénérée et son inverse existe. Trouver des compléments algébriques :

On compose la matrice inverse en plaçant les additions algébriques trouvées de manière à ce que le premier indice corresponde à la colonne, et le second à la ligne : (2)

La matrice résultante (2) sert de réponse au problème.

Commentaire. Dans l’exemple précédent, il serait plus précis d’écrire la réponse comme ceci :
(3)

Cependant, la notation (2) est plus compacte et il est plus pratique d'effectuer d'autres calculs avec elle, si nécessaire. Par conséquent, écrire la réponse sous la forme (2) est préférable si les éléments de la matrice sont des nombres entiers. Et vice versa, si les éléments de la matrice sont décimales, alors il vaut mieux écrire la matrice inverse sans facteur devant.

Commentaire. Pour trouver la matrice inverse, vous devez effectuer de nombreux calculs et la règle pour organiser les additions algébriques dans la matrice finale est inhabituelle. Il existe donc une forte probabilité d’erreur. Pour éviter les erreurs, il faut vérifier : calculer le produit de la matrice originale et de la matrice finale dans un ordre ou un autre. Si le résultat est une matrice identité, alors la matrice inverse a été trouvée correctement. Sinon, vous devez rechercher une erreur.

Exemple. Trouver l'inverse d'une matrice .

Solution. - existe.

Répondre: .

Conclusion. Trouver la matrice inverse à l'aide de la formule (1) nécessite trop de calculs. Pour les matrices du quatrième ordre et plus, cela est inacceptable. L'algorithme réel permettant de trouver la matrice inverse sera donné plus tard.

Calcul du déterminant et de la matrice inverse à l'aide de la méthode gaussienne

La méthode gaussienne peut être utilisée pour trouver le déterminant et la matrice inverse.

A savoir, le déterminant de la matrice est égal à det.

La matrice inverse est trouvée en résolvant les systèmes équations linéaires Méthode d'élimination gaussienne :

Où se trouve la j-ième colonne de la matrice d'identité, est le vecteur souhaité.

Les vecteurs solutions résultants forment évidemment des colonnes de la matrice, puisque .

Formules pour le déterminant

1. Si la matrice est non singulière, alors et (produit d'éléments principaux).

Le deuxième ordre est un nombre égal à la différence entre le produit des nombres formant la diagonale principale et le produit des nombres de la diagonale secondaire on retrouve la notation suivante pour le déterminant : ; ; ; detA(déterminant).

Exemple:
.

Déterminant d'une matrice du troisième ordre appelé un numéro ou expression mathématique, calculé selon la règle suivante

La façon la plus simple de calculer le déterminant du troisième ordre consiste à additionner les deux premières lignes sous le déterminant.

Dans le tableau de nombres résultant, les éléments situés sur la diagonale principale et sur les diagonales parallèles à la principale sont multipliés, le signe du résultat du produit ne change pas. L'étape suivante des calculs est une multiplication similaire des éléments situés sur la diagonale latérale et ceux qui lui sont parallèles. Les signes des résultats du produit sont inversés. Ensuite, nous additionnons les six termes résultants.

Exemple:

Décomposition d'un déterminant en éléments d'une certaine ligne (colonne).

Mineure M ijélément et je matrice carrée UN est un déterminant composé d'éléments matriciels UN, restant après la suppression je- oh lignes et jème colonne.

Par exemple, mineur à l'élément un 21 matrices du troisième ordre
il y aura un déterminant
.

Nous dirons que l'élément et je occupe une place égale si je+j(dont la somme des numéros de ligne et de colonne à l'intersection est cet élément) - nombre pair, lieu impair, si je+j- nombre impair.

Complément algébrique Un ijélément et je matrice carrée UN expression appelée (ou la valeur du mineur correspondant, prise avec le signe « + » si l'élément matriciel occupe une position paire, et avec le signe « - » si l'élément occupe une position impaire).

Exemple:

un 23= 4;

- complément algébrique d'un élément un 22= 1.

Théorème de Laplace. Le déterminant est égal à la somme des produits des éléments d'une certaine ligne (colonne) et de leurs compléments algébriques correspondants.

Illustrons avec l’exemple d’un déterminant du troisième ordre. Vous pouvez calculer le déterminant de troisième ordre en développant la première ligne comme suit :

De même, vous pouvez calculer le déterminant de troisième ordre en développant sur n’importe quelle ligne ou colonne. Il est pratique de développer le déterminant le long de la ligne (ou de la colonne) qui contient le plus de zéros.

Exemple:

Ainsi, le calcul du déterminant du 3ème ordre se réduit au calcul de 3 déterminants du deuxième ordre. DANS cas général vous pouvez calculer le déterminant d'une matrice carrée n-ème ordre, en le réduisant au calcul n déterminants ( n-1)-ème ordre

Commentaire. Il n'existe pas de moyen simple de calculer les déterminants. ordre élevé, similaires aux méthodes de calcul des déterminants du 2e et du 3e ordre. Par conséquent, pour calculer les déterminants supérieurs au troisième ordre, seule la méthode d’expansion peut être utilisée.

Exemple. Calculez le déterminant du quatrième ordre.

Développons le déterminant dans les éléments de la troisième rangée

Propriétés des déterminants :

1. Le déterminant ne changera pas si ses lignes sont remplacées par des colonnes et vice versa.

2. Lors de la réorganisation de deux lignes (colonnes) adjacentes, le déterminant change de signe pour celui opposé.

3. Déterminant avec deux lignes identiques(colonnes) est égal à 0.

4. Multiplicateur total tous les éléments d'une certaine ligne (colonne) du déterminant peuvent être retirés du signe du déterminant.

5. Le déterminant ne changera pas si les éléments correspondants de toute autre colonne (ligne) sont ajoutés aux éléments de l'une de ses colonnes (lignes), multipliés par un certain nombre.