Du système binaire au système décimal en ligne. Conversion de nombres décimaux entiers en binaires. Conversion de nombres binaires en décimaux

Pour convertir rapidement des nombres du système numérique décimal au système binaire, vous devez avoir une bonne connaissance des nombres « 2 à la puissance ». Par exemple, 2 10 =1024, etc. Cela vous permettra de résoudre certains exemples de traduction littéralement en quelques secondes. L'une de ces tâches est Problème A1 de la démo USE 2012. Bien entendu, vous pouvez prendre un temps long et fastidieux pour diviser un nombre par « 2 ». Mais il vaut mieux décider différemment, ce qui permet de gagner un temps précieux sur l'examen.

La méthode est très simple. Son essence est la suivante : si le nombre qui doit être converti du système décimal est égal au nombre "2 à la puissance", alors ce nombre dans le système binaire contient un nombre de zéros égal à la puissance. On ajoute un « 1 » devant ces zéros.

• Convertissons le nombre 2 du système décimal. 2=2 1 . Par conséquent, dans le système binaire, un nombre contient 1 zéro. On met « 1 » devant et on obtient 10 2.
• Convertissons 4 du système décimal. 4=2 2 . Ainsi, dans le système binaire, un nombre contient 2 zéros. On met « 1 » devant et on obtient 100 2.
• Convertissons 8 du système décimal. 8=2 3 . Ainsi, dans le système binaire, un nombre contient 3 zéros. On met « 1 » devant et on obtient 1000 2.

De même pour les autres nombres "2 à la puissance".

Si le nombre à convertir est inférieur de 1 au nombre « 2 à la puissance », alors dans le système binaire, ce nombre est constitué uniquement d'unités dont le nombre est égal à la puissance.

• Convertissons 3 du système décimal. 3=2 2 -1. Ainsi, dans le système binaire, un nombre contient 2 uns. Nous obtenons 11 2.
• Convertissons 7 du système décimal. 7=2 3 -1. Ainsi, dans le système binaire, un nombre contient 3 uns. Nous obtenons 111 2.

Sur la figure, les carrés indiquent la représentation binaire du nombre, et la représentation décimale en rose à gauche.

La traduction est similaire pour les autres nombres « 2 puissance-1 ».

Il est clair que la traduction des nombres de 0 à 8 peut se faire rapidement soit par division, soit simplement connaître par cœur leur représentation dans le système binaire. J'ai donné ces exemples pour que vous compreniez le principe de cette méthode et que vous l'utilisiez pour traduire des « nombres plus impressionnants », par exemple pour traduire les nombres 127,128, 255, 256, 511, 512, etc.

Vous pouvez rencontrer de tels problèmes lorsque vous devez convertir un nombre qui n'est pas égal au nombre « 2 à la puissance », mais qui s'en rapproche. Elle peut être supérieure ou inférieure à 2 puissance. La différence entre le nombre traduit et le nombre « 2 à la puissance » devrait être faible. Par exemple, jusqu'à 3. La représentation des nombres de 0 à 3 dans le système binaire doit simplement être connue sans traduction.

Si le nombre est supérieur à , alors nous le résolvons comme ceci :

Nous convertissons d’abord le nombre « 2 à la puissance » dans le système binaire. Et puis on y ajoute la différence entre le nombre « 2 à la puissance » et le nombre en cours de traduction.

Par exemple, convertissons 19 du système décimal. Il est supérieur au nombre « 2 à la puissance » de 3.

16=2 4 . 16 10 =10000 2 .

3 10 =11 2 .

19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .

Si le nombre est inférieur au nombre « 2 à la puissance », alors il est plus pratique d'utiliser le nombre « 2 à la puissance-1 ». Nous le résolvons comme ceci :

Nous convertissons d’abord le nombre « 2 à la puissance 1 » dans le système binaire. Et puis nous soustrayons la différence entre le nombre « 2 puissance 1 » et le nombre à traduire.

Par exemple, convertissons 29 du système décimal. Il est supérieur au nombre « 2 puissance-1 » de 2. 29=31-2.

31 10 =11111 2 .

2 10 =10 2 .

29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2

Si la différence entre le nombre à traduire et le nombre « 2 à la puissance » est supérieure à trois, vous pouvez alors diviser le nombre en ses composants, convertir chaque partie en système binaire et additionner.

Par exemple, convertissez le nombre 528 du système décimal. 528=512+16. Nous traduisons 512 et 16 séparément.
512=2 9 . 512 10 =1000000000 2 .
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
Ajoutons-le maintenant dans une colonne :

Écrivez le nombre dans le système de nombres binaires et les puissances de deux de droite à gauche. Par exemple, nous voulons convertir le nombre binaire 10011011 2 en décimal. Écrivons-le d'abord. Ensuite, nous écrivons les puissances de deux de droite à gauche. Commençons par 2 0, qui est égal à "1". Nous augmentons le degré d'un pour chaque numéro suivant. On s'arrête lorsque le nombre d'éléments de la liste est égal au nombre de chiffres du nombre binaire. Notre exemple de numéro, 10011011, comporte huit chiffres, donc une liste de huit éléments ressemblerait à ceci : 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.

Écrivez les chiffres du nombre binaire sous les puissances de deux correspondantes. Maintenant, écrivez simplement 10011011 sous les nombres 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 et 1, de sorte que chaque chiffre binaire corresponde à une puissance de deux différente. Le « 1 » le plus à droite du nombre binaire doit correspondre au « 1 » le plus à droite des puissances de deux, et ainsi de suite. Si vous préférez, vous pouvez écrire le nombre binaire au-dessus des puissances de deux. Le plus important est qu'ils soient assortis.

Faites correspondre les chiffres d'un nombre binaire avec les puissances de deux correspondantes. Tracez des lignes (de droite à gauche) qui relient chaque chiffre successif du nombre binaire à la puissance deux au-dessus. Commencez à tracer des lignes en reliant le premier chiffre d’un nombre binaire à la première puissance de deux au-dessus. Tracez ensuite une ligne allant du deuxième chiffre du nombre binaire à la deuxième puissance de deux. Continuez à connecter chaque nombre à la puissance de deux correspondante. Cela vous aidera à voir visuellement la relation entre deux ensembles de nombres différents.

Notez la valeur finale de chaque puissance de deux. Parcourez chaque chiffre d'un nombre binaire. Si le nombre est 1, écrivez la puissance de deux correspondante sous le nombre. Si ce nombre est 0, écrivez 0 sous le nombre.

• Puisque « 1 » correspond à « 1 », cela reste « 1 ». Puisque "2" correspond à "1", cela reste "2". Puisque « 4 » correspond à « 0 », il devient « 0 ». Puisque « 8 » correspond à « 1 », cela devient « 8 », et puisque « 16 » correspond à « 1 », cela devient « 16 ». "32" correspond à "0" et devient "0", "64" correspond à "0" et devient donc "0", tandis que "128" correspond à "1" et devient donc 128.

Remarque 1

Si vous souhaitez convertir un nombre d'un système numérique à un autre, il est plus pratique de le convertir d'abord en système numérique décimal, puis de le convertir ensuite du système numérique décimal en tout autre système numérique.

Règles pour convertir les nombres de n'importe quel système numérique en décimal

Dans la technologie informatique qui utilise l’arithmétique automatique, la conversion des nombres d’un système numérique à un autre joue un rôle important. Ci-dessous, nous donnons les règles de base pour de telles transformations (traductions).

Lors de la conversion d'un nombre binaire en nombre décimal, il est nécessaire de représenter le nombre binaire comme un polynôme, dont chaque élément est représenté comme le produit d'un chiffre du nombre et de la puissance correspondante du nombre de base, en dans ce cas$2$, puis vous devez calculer le polynôme en utilisant les règles de l'arithmétique décimale :

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Figure 1. Tableau 1

Exemple 1

Convertissez le nombre $11110101_2$ au système numérique décimal.

Solution. En utilisant le tableau donné des puissances $1$ de la base $2$, nous représentons le nombre comme un polynôme :

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Pour convertir un nombre du système de nombres octal au système de nombres décimal, vous devez le représenter comme un polynôme, dont chaque élément est représenté comme le produit d'un chiffre du nombre et de la puissance correspondante du nombre de base, dans ce cas $8$, et vous devez ensuite calculer le polynôme selon les règles de l'arithmétique décimale :

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Figure 2. Tableau 2

Exemple 2

Convertissez le nombre $75013_8$ au système numérique décimal.

Solution. En utilisant le tableau donné des puissances $2$ de la base $8$, nous représentons le nombre comme un polynôme :

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Pour convertir un nombre hexadécimal en décimal, vous devez le représenter sous forme de polynôme, dont chaque élément est représenté comme le produit d'un chiffre du nombre et de la puissance correspondante du nombre de base, dans ce cas $16$, puis vous devez calculer le polynôme selon les règles de l'arithmétique décimale :

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Figure 3. Tableau 3

Exemple 3

Convertissez le nombre $FFA2_(16)$ au système de nombres décimaux.

Solution. En utilisant le tableau donné des puissances $3$ de la base $8$, nous représentons le nombre comme un polynôme :

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Règles de conversion des nombres du système numérique décimal vers un autre

• Pour convertir un nombre du système numérique décimal au système binaire, il doit être divisé séquentiellement par 2$ jusqu'à ce qu'il y ait un reste inférieur ou égal à 1$. Un nombre dans le système binaire est représenté comme une séquence du dernier résultat de la division et des restes de la division dans l'ordre inverse.

Exemple 4

Convertissez le nombre $22_(10)$ en système de nombres binaires.

Solution:

Graphique 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Pour convertir un nombre du système décimal en octal, il doit être divisé séquentiellement par 8$ jusqu'à ce qu'il y ait un reste inférieur ou égal à 7$. Un nombre dans le système de numération octal est représenté comme une séquence de chiffres du résultat de la dernière division et les restes de la division dans l'ordre inverse.

Exemple 5

Convertissez le nombre $571_(10)$ en système numérique octal.

Solution:

Graphique 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Pour convertir un nombre du système numérique décimal au système hexadécimal, il faut le diviser successivement par 16$ jusqu'à ce qu'il y ait un reste inférieur ou égal à 15$. Un nombre dans le système hexadécimal est représenté comme une séquence de chiffres du résultat de la dernière division et du reste de la division dans l'ordre inverse.

Exemple 6

Convertissez le nombre $7467_(10)$ en système numérique hexadécimal.

Solution:

Graphique 6.

7467 $_(10) = 1D2B_(16)$

Afin de convertir une fraction appropriée d'un système numérique décimal en un système numérique non décimal, il est nécessaire de multiplier séquentiellement la partie fractionnaire du nombre converti par la base du système dans lequel il doit être converti. Dans le nouveau système, les fractions seront représentées comme des parties entières de produits, en commençant par la première.

Par exemple : $0,3125_((10))$ dans le système de nombres octaux ressemblera à $0,24_((8))$.

Dans ce cas, vous pouvez rencontrer un problème lorsqu'une fraction décimale finie peut correspondre à une fraction infinie (périodique) dans le système numérique non décimal. Dans ce cas, le nombre de chiffres de la fraction représentée dans le nouveau système dépendra de la précision requise. Il convient également de noter que les entiers restent des entiers et que les fractions propres restent des fractions dans n'importe quel système numérique.

Règles de conversion des nombres d'un système de numérotation binaire à un autre

• Pour convertir un nombre du système de numération binaire en octal, il doit être divisé en triades (triples de chiffres), en commençant par le chiffre le moins significatif, si nécessaire, en ajoutant des zéros à la triade principale, puis en remplaçant chaque triade par le chiffre octal correspondant. selon le tableau 4.

Figure 7. Tableau 4

Exemple 7

Convertissez le nombre $1001011_2$ en système numérique octal.

Solution. À l'aide du tableau 4, nous convertissons le nombre du système de nombres binaires en octal :

$001 001 011_2 = 113_8$

• Pour convertir un nombre du système de numérotation binaire en hexadécimal, il doit être divisé en tétrades (quatre chiffres), en commençant par le chiffre le moins significatif, si nécessaire, en ajoutant des zéros à la tétrade la plus significative, puis en remplaçant chaque tétrade par le chiffre octal correspondant. selon le tableau 4.

Dans l'un de nos documents, nous avons examiné la définition. Il possède l'alphabet le plus court. Seulement deux chiffres : 0 et 1. Des exemples d'alphabets de systèmes de numérotation positionnelle sont donnés dans le tableau.

Systèmes de numérotation positionnelle

Pour convertir un petit nombre décimal en binaire et vice versa, il est préférable d'utiliser le tableau suivant.

Table de conversion des nombres décimaux de 0 à 20 vers le système de nombres binaires.

Cependant, le tableau s'avérera énorme si vous y écrivez tous les nombres. Trouver le bon numéro parmi eux sera plus difficile. Il est beaucoup plus facile de mémoriser plusieurs algorithmes permettant de convertir des nombres d'un système de numérotation positionnelle à un autre.

Comment passer d'un système numérique à un autre ? En informatique, il existe plusieurs façons simples de convertir des nombres décimaux en nombres binaires. Examinons-en deux.

Méthode numéro 1.

Disons que vous devez convertir un nombre 637 système décimal en système binaire.

Cela se fait comme suit : la puissance maximale de deux est trouvée de telle sorte que deux dans cette puissance soit inférieur ou égal au nombre d'origine.

Dans notre cas, c'est 9, car 2 9 =512 , UN 2 10 =1024 , ce qui est supérieur à notre nombre de départ. Ainsi, nous avons reçu le nombre de chiffres du résultat. Il est égal à 9+1=10. Cela signifie que le résultat ressemblera à 1ххххххххх, où x peut être remplacé par 1 ou 0.

Trouvons le deuxième chiffre du résultat. Élevons deux à la puissance 9 et soustrayons du nombre d'origine : 637-2 9 =125. Comparez ensuite avec le nombre 2 8 =256 . Puisque 125 est inférieur à 256, le neuvième chiffre sera 0, c'est-à-dire le résultat prendra déjà la forme 10хххххххх.

2 7 =128 > 125 , ce qui signifie que le huitième chiffre sera également zéro.

2 6 =64 , alors le septième chiffre est égal à 1. 125-64=61 Ainsi, nous avons reçu quatre chiffres supérieurs et le nombre prendra la forme 10011ххххх.

2 5 =32 et nous voyons que 32< 61, значит шестой разряд равен 1 (результат 100111хххх), остаток 61-32=29.

2 4 =16 < 29 - cinquième chiffre 1 => 1001111xxx. Reste 29-16=13.

2 3 =8 < 13 => 10011111хх. 13-8=5

2 2 =4 < 5 => 10011111хх, reste 5-4=1.

2 1 =2 > 1 => 100111110x, reste 2-1=1.

2 0 =1 => 1001111101.

Ce sera le résultat final.

Méthode numéro 2.

La règle de conversion des nombres décimaux entiers vers le système de nombres binaires stipule :

1. divisons une n−1 une n−2 ...une 1 une 0 =une n−1⋅2 n−1 +a n−2⋅2 n−2 +...+a 0⋅2 0 par 2.
2. Le quotient sera égal à an−1⋅2n−2+...+a1, et le reste sera égal
3. Divisons à nouveau le quotient résultant par 2, le reste de la division sera égal à a1.
4. Si nous continuons ce processus de division, alors à la nième étape, nous obtenons un ensemble de nombres : une 0 ,une 1 ,une 2 ,...,une n−1, qui sont inclus dans la représentation binaire du nombre d'origine et coïncident avec les restes lorsqu'il est séquentiellement divisé par 2.
5. Ainsi, pour convertir un nombre décimal entier en système de nombres binaires, vous devez diviser séquentiellement le nombre donné et les quotients entiers résultants par 2 jusqu'à obtenir un quotient égal à zéro.

Le nombre d'origine dans le système de nombres binaires est compilé en enregistrant séquentiellement les restes résultants. Nous commençons à l'enregistrer avec le dernier trouvé.

Convertissons le nombre décimal 11 dans le système de nombres binaires. La séquence d'actions discutée ci-dessus (algorithme de traduction) peut être décrite comme suit :

Reçu 11 10 =1011 2 .

Exemple:

Si le nombre décimal est suffisamment grand, alors la manière suivante d'écrire l'algorithme discuté ci-dessus est plus pratique :

363 10 =101101011 2

La conversion de nombres d’un système numérique à un autre est une partie importante de l’arithmétique automatique. Considérons les règles de base de la traduction.

1. Pour convertir un nombre binaire en nombre décimal, il faut l'écrire sous la forme d'un polynôme, constitué des produits des chiffres du nombre et de la puissance correspondante de 2, et le calculer selon les règles de arithmétique décimale :

Lors de la traduction, il est pratique d'utiliser la table des puissances de deux :

Tableau 4. Pouvoirs du numéro 2

Exemple.

2. Pour convertir un nombre octal en nombre décimal, il est nécessaire de l'écrire sous la forme d'un polynôme constitué des produits des chiffres du nombre et de la puissance correspondante du nombre 8, et de le calculer selon les règles du nombre décimal. arithmétique:

Lors de la traduction, il est pratique d'utiliser le tableau des puissances de huit :

Tableau 5. Pouvoirs du nombre 8

Exemple. Convertissez le nombre au système de nombres décimaux.

3. Pour convertir un nombre hexadécimal en nombre décimal, il faut l'écrire sous la forme d'un polynôme, constitué des produits des chiffres du nombre et de la puissance correspondante du nombre 16, et le calculer selon le règles de l'arithmétique décimale :

Lors de la traduction, il est pratique d'utiliser blitz des pouvoirs du numéro 16 :

Tableau 6. Pouvoirs du nombre 16

Exemple. Convertissez le nombre au système de nombres décimaux.

4. Pour convertir un nombre décimal au système binaire, il doit être divisé séquentiellement par 2 jusqu'à ce qu'il reste un reste inférieur ou égal à 1. Un nombre dans le système binaire est écrit sous la forme d'une séquence du résultat de la dernière division et des restes de. la division dans l’ordre inverse.

Exemple. Convertissez le nombre en système de nombres binaires.

5. Pour convertir un nombre décimal en système octal, il doit être divisé séquentiellement par 8 jusqu'à ce qu'il reste un reste inférieur ou égal à 7. Un nombre dans le système octal est écrit sous la forme d'une séquence de chiffres du résultat de la dernière division et du résultat. reste de la division dans l’ordre inverse.

Exemple. Convertissez le nombre en système de nombres octaux.

6. Pour convertir un nombre décimal au système hexadécimal, il doit être divisé séquentiellement par 16 jusqu'à ce qu'il reste un reste inférieur ou égal à 15. Un nombre dans le système hexadécimal s'écrit sous la forme d'une séquence de chiffres du résultat de la dernière division et les restes de la division dans l'ordre inverse.

Exemple. Convertissez le nombre en système numérique hexadécimal.