Leçon sur le thème : "Trouver les points extrema des fonctions. Exemples"

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Ce que nous étudierons :
1. Présentation.
2. Points minimum et maximum.

4. Comment calculer les extrema ?
5. Exemples.

Introduction à la fonction Extrema

Les gars, regardons le graphique d'une certaine fonction :

Notez que le comportement de notre fonction y=f (x) est largement déterminé par deux points x1 et x2. Examinons de plus près le graphique de la fonction en et autour de ces points. Jusqu'au point x2, la fonction augmente, au point x2 une inflexion se produit et immédiatement après ce point, la fonction diminue jusqu'au point x1. Au point x1, la fonction se courbe à nouveau, puis augmente à nouveau. Pour l’instant, nous appellerons les points x1 et x2 points d’inflexion. Traçons des tangentes à ces points :

Les tangentes en nos points sont parallèles à l'axe des x, ce qui signifie la pente de la tangente égal à zéro. Cela signifie que la dérivée de notre fonction en ces points est égale à zéro.

Regardons le graphique de cette fonction :

Il est impossible de tracer des lignes tangentes aux points x2 et x1. Cela signifie que la dérivée n’existe pas à ces points. Revenons maintenant à nos points sur les deux graphiques. Le point x2 est le point auquel la fonction atteint sa plus grande valeur dans une région (près du point x2). Le point x1 est le point auquel la fonction atteint sa plus petite valeur dans une région (près du point x1).

Points minimum et maximum

Définition : Le point x= x0 est appelé point minimum de la fonction y=f(x) s'il existe un voisinage du point x0 dans lequel l'inégalité est vraie : f(x) ≥ f(x0).

Définition : Le point x=x0 est appelé point maximum de la fonction y=f(x) s'il existe un voisinage du point x0 dans lequel l'inégalité est vraie : f(x) ≤ f(x0).

Les gars, c'est quoi un quartier ?

Définition: Un voisinage d'un point est un ensemble de points contenant notre point et ceux qui lui sont proches.

Nous pouvons définir le quartier nous-mêmes. Par exemple, pour un point x=2, on peut définir un quartier sous la forme des points 1 et 3.

Revenons à nos graphiques, regardons le point x2, il est plus grand que tous les autres points d'un certain quartier, alors, par définition, c'est le point maximum. Regardons maintenant le point x1, il est plus petit que tous les autres points d'un certain quartier, alors par définition c'est un point minimum.

Les gars, introduisons la notation :

Y min - point minimum,
y max - point maximum.

Important! Les gars, ne confondez pas les points maximum et minimum avec la valeur la plus petite et la plus grande de la fonction. Les valeurs minimales et maximales sont recherchées sur tout le domaine de définition d'une fonction donnée, et les points minimum et maximum sont recherchés dans un certain voisinage.

Extréma de la fonction

Pour les points minimum et maximum, il existe un terme commun : les points extremum.

Extremum (lat. extremum – extrême) – la valeur maximale ou minimale d'une fonction sur un ensemble donné. Le point où l’extremum est atteint est appelé point extremum.

En conséquence, si un minimum est atteint, le point extrême est appelé point minimum, et si un maximum est atteint, il est appelé point maximum.

Comment rechercher les extrema d’une fonction ?

Revenons à nos graphiques. À nos points, la dérivée soit disparaît (sur le premier graphe), soit n'existe pas (sur le deuxième graphe).

Nous pouvons alors faire une déclaration importante : si la fonction y= f(x) a un extremum au point x=x0, alors à ce stade, la dérivée de la fonction est nulle ou n'existe pas.

Les points auxquels la dérivée est égale à zéro sont appelés stationnaire.

Les points auxquels la dérivée d'une fonction n'existe pas sont appelés critique.

Comment calculer les extrêmes ?

Les gars, revenons au premier graphique de la fonction :

En analysant ce graphique, nous avons dit : jusqu'au point x2 la fonction augmente, au point x2 une inflexion se produit, et après ce point la fonction diminue jusqu'au point x1. Au point x1, la fonction se courbe à nouveau, puis la fonction augmente à nouveau.

Sur la base d'un tel raisonnement, nous pouvons conclure que la fonction aux points extrêmes change la nature de la monotonie et que, par conséquent, la fonction dérivée change de signe. Rappel : si une fonction diminue, alors la dérivée est inférieure ou égale à zéro, et si la fonction augmente, alors la dérivée est supérieure ou égale à zéro.

Résumons les connaissances acquises avec la déclaration suivante :

Théorème: Une condition suffisante pour un extremum : que la fonction y=f(x) soit continue sur un certain intervalle X et ait un point stationnaire ou critique x= x0 à l'intérieur de l'intervalle. Alors:

• Si ce point a un voisinage dans lequel f’(x)>0 est valable pour x x0, alors le point x0 est le point minimum de la fonction y= f(x).
• Si ce point a un voisinage dans lequel pour x 0, et pour x> x0 f'(x) est vrai. Si ce point a un voisinage dans lequel à la fois à gauche et à droite du point x0 sont les signes de la dérivée. de même, alors au point x0 il n’y a pas d’extrême.

Pour résoudre des problèmes, rappelez-vous ces règles : Si les signes des dérivées sont définis alors :

Algorithme de recherche fonction continue y= f(x) pour la monotonie et les extrema :

• Trouvez la dérivée de y'.
• Trouvez les points stationnaires (la dérivée est nulle) et les points critiques (la dérivée n'existe pas).
• Marquez les points stationnaires et critiques sur la droite numérique et déterminez les signes de la dérivée sur les intervalles résultants.
• Sur la base des déclarations ci-dessus, tirez une conclusion sur la nature des points extrêmes.

Exemples de recherche de points extrêmes

1) Trouver les points extremum de la fonction et déterminer leur nature : y= 7+ 12*x - x 3

Solution : Notre fonction est continue, alors nous utiliserons notre algorithme :
une) oui"= 12 - 3x 2,
b) y"= 0, à x= ±2,

Le point x= -2 est le point minimum de la fonction, le point x= 2 est le point maximum de la fonction.
Réponse : x= -2 est le point minimum de la fonction, x= 2 est le point maximum de la fonction.

2) Trouver les points extremum de la fonction et déterminer leur nature.

Solution : Notre fonction est continue. Utilisons notre algorithme :
UN) b) au point x= 2 la dérivée n'existe pas, car Tu ne peux pas diviser par zéro Domaine de définition de la fonction : , il n'y a pas d'extremum à ce stade, car le voisinage du point n'est pas défini. Trouvons la valeur à laquelle la dérivée est égale à zéro : c) Marquez les points stationnaires sur la droite numérique et déterminez les signes de la dérivée : d) regardez notre figure, qui montre les règles de détermination des extrema.
Le point x= 3 est le point minimum de la fonction.
Réponse : x= 3 est le point minimum de la fonction.

3) Trouver les points extremum de la fonction y= x - 2cos(x) et déterminer leur nature, pour -π ≤ x ≤ π.

Solution : Notre fonction est continue, utilisons notre algorithme :
une) y"= 1 + 2 péché(x),
b) trouver les valeurs dans lesquelles la dérivée est égale à zéro : 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
parce que -π ≤ x ≤ π, alors : x= -π/6, -5π/6,
c) marquer les points fixes sur la droite numérique et déterminer les signes de la dérivée : d) regardez notre figure, qui montre les règles de détermination des extrema.
Le point x= -5π/6 est le point maximum de la fonction.
Le point x= -π/6 est le point minimum de la fonction.
Réponse : x= -5π/6 est le point maximum de la fonction, x= -π/6 est le point minimum de la fonction.

4) Trouver les points extremum de la fonction et déterminer leur nature :

Solution : Notre fonction n'a une discontinuité qu'en un seul point x= 0. Utilisons l'algorithme :
UN)
b) trouver les valeurs dans lesquelles la dérivée est égale à zéro : y"= 0 à x= ±2,
c) marquer les points fixes sur la droite numérique et déterminer les signes de la dérivée :
d) regardez notre figure, qui montre les règles de détermination des extrema.
Le point x= -2 est le point minimum de la fonction.
Le point x= 2 est le point minimum de la fonction.
Au point x= 0 la fonction n'existe pas.
Réponse : x= ±2 - points minimum de la fonction.

Problèmes à résoudre de manière autonome

a) Trouver les points extremum de la fonction et déterminer leur nature : y= 5x 3 - 15x - 5.
b) Trouver les points extremum de la fonction et déterminer leur nature :
c) Trouver les points extremum de la fonction et déterminer leur nature : y= 2sin(x) - x pour π ≤ x ≤ 3π.
d) Trouver les points extremum de la fonction et déterminer leur nature :

Définition 1. Le point M(x 0 ; y 0) est appelé point maximum (minimum) de la fonction z = f(x; y) s'il existe un voisinage du point M tel que pour tous les points (x; y) de ce quartier, l’inégalité suivante est vraie :

f(x 0 ; y 0)  f(x; y), .

Théorème 1 (une condition nécessaire à l'existence d'un extremum) .
;

Si une fonction différentiable z = f(x; y) atteint un extremum au point M(x 0 ; y 0), alors ses dérivées partielles du premier ordre en ce point sont égales à zéro, c'est-à-dire Les points auxquels les dérivées partielles sont égales à zéro sont appelés stationnaire ou

points critiques. Théorème 2

(condition suffisante pour l'existence d'un extremum)

Soit la fonction z = f(x; y) :
a) défini dans un certain voisinage du point (x 0 ; y 0), dans lequel
;

Et

;

b) a des dérivées partielles continues du deuxième ordre à ce stade< 0 (или С < 0) – максимум, если А >Alors, si  = AC  B 2 > 0, alors au point (x 0 ; y 0) la fonction z = f(x; y) a un extremum, et si A< 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если  = AC  B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

0 (ou C > 0) – minimum. Dans le cas  = AC  B 2 Exemple 1.

Trouver l'extremum de la fonction z = x 2 + xy + y 2  3x  6y.. Solution

Trouvons les dérivées partielles du premier ordre :

Utilisons la condition nécessaire à l'existence d'un extremum :

En résolvant le système d'équations, on trouve les coordonnées x et y des points stationnaires : x = 0 ; y = 3, c'est-à-dire M(0; 3).

Calculons les dérivées partielles du second ordre et trouvons leurs valeurs au point M.
UNE =
= 2;

= 2 ; C =
.

B = Composons le discriminant  = AC  B 2 = 2  2  1 > 0, A = 2 > 0. Donc, au point M(0 ; 3) fonction donnée

a un minimum. La valeur de la fonction à ce stade est z min = 9.

Trouver les extrema des fonctions

322. z = x 2 + y 2 + xy  4x  5y 323. z = y 3  x 3  3xy
324. z = x 2  2xy + 4y 3 325. z =

 y 2  x + 6 ans

326. z = x y (1  x  y) 327. z = 2xy  4x  2y

328. z = e  x/2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3  6xy + 1

330. z = 3x 2 y  x 3  y 4 331. z = 3x + 6y  x 2  xy + y 2

Afin de trouver le plus grand Et moins valeurs de fonction dans zone fermée, nécessaire:

1) trouver les points critiques situés dans une zone donnée et calculer les valeurs de la fonction en ces points ;

2) trouver les points critiques à la limite de la région et calculer les valeurs les plus grandes et les plus petites des fonctions qui y sont associées ;

3) parmi toutes les valeurs trouvées, sélectionnez la plus grande et la plus petite.

Exemple 2. Trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction z =
dans un cercle x 2 + y 2  1.

Trouver l'extremum de la fonction z = x 2 + xy + y 2  3x  6y.. Trouvons les coordonnées des points critiques situés à l'intérieur de la région considérée, pour lesquelles nous calculons les dérivées partielles du premier ordre de la fonction z et les assimilons à zéro.

d'où x = 0, y = 0 et, donc, M(0; 0) est un point critique.

Calculons la valeur de la fonction z au point M(0; 0) : z(0; 0) = 2.

Trouvons les points critiques sur la limite de la région - un cercle défini par l'équation x 2 + y 2 = 1. En remplaçant y 2 = 1 - x 2 dans la fonction z = z(x; y), nous obtenons une fonction d'une variable

z =
;

où x[1; 1].

Après avoir calculé la dérivée
et en l'assimilant à zéro, nous obtenons des points critiques sur la limite de la région x 1 = 0, x 2 = , x 3 =

Trouvons la valeur de la fonction z(x) =
aux points critiques et aux extrémités du segment [1 ; 1] : z(0) = ;
=;
;

z(1) = ;

z(1) =

Choisissons la plus grande et la plus petite parmi les valeurs de la fonction z aux points critiques situés à l'intérieur et sur la limite du cercle. Donc z max. = z(0;0) = 2 Le point extremum d'une fonction est le point dans le domaine de définition de la fonction auquel la valeur de la fonction prend un minimum ou.

valeur maximale. Les valeurs de la fonction en ces points sont appelées extrema (minimum et maximum) de la fonction Définition1 . Point x(Définition domaine de fonction f ) s'appelle x(Définition0 ) > x(Définition 0 + Δ Définition) Définition1 point maximum de la fonction

valeur maximale. Les valeurs de la fonction en ces points sont appelées extrema (minimum et maximum) de la fonction Définition2 . Point x(Définition domaine de fonction , si la valeur de la fonction en ce point est supérieure aux valeurs de la fonction en des points suffisamment proches, situés à droite et à gauche de celle-ci (c'est-à-dire que l'inégalité est vraie maximum. x(Définition0 ) < x(Définition 0 + Δ Définition) point minimum de la fonction Définition2 , si la valeur de la fonction en ce point est inférieure aux valeurs de la fonction en des points suffisamment proches, situés à droite et à gauche de celle-ci (c'est-à-dire que l'inégalité est vraie

). Dans ce cas on dit que la fonction a au point Définition1 minimum. x(Définition Disons un point Définition1 - point maximum de la fonction) . Puis dans l'intervalle jusqu'à x "(Définition la fonction augmente Définition1 , donc la dérivée de la fonction est supérieure à zéro ( ) > 0 ), et dans l'intervalle après la fonction diminue donc, x "(Définition) < 0 ). Тогда в точке Définition1

dérivée d'une fonction Définition2 inférieur à zéro ( x(Définition Disons un point Définition2 Supposons également que le point x "(Définition) < 0 ), а в интервале после Définition2 - point minimum de la fonction x "(Définition la fonction est décroissante et la dérivée de la fonction est inférieure à zéro ( Définition2 la dérivée de la fonction est nulle ou n'existe pas.

Théorème de Fermat (signe nécessaire de l'existence d'un extremum d'une fonction). Si le point Définition0 - point extrême de la fonction x(Définition) alors à ce stade la dérivée de la fonction est égale à zéro ( x "(Définition) = 0 ) ou n'existe pas.

valeur maximale. Les points auxquels la dérivée d'une fonction est nulle ou n'existe pas sont appelés points critiques .

0 (ou C > 0) – minimum. Dans le cas  = AC  B 2 Considérons la fonction.

Au point Définition= 0 la dérivée de la fonction est nulle, donc le point Définition= 0 est le point critique. Cependant, comme on peut le voir sur le graphique de la fonction, elle augmente dans tout le domaine de définition, donc le point Définition= 0 n'est pas le point extrême de cette fonction.

Ainsi, les conditions selon lesquelles la dérivée d'une fonction en un point est égale à zéro ou n'existe pas sont des conditions nécessaires pour un extremum, mais pas suffisantes, puisque d'autres exemples de fonctions peuvent être donnés pour lesquelles ces conditions sont remplies, mais la fonction n'a pas d'extremum au point correspondant. C'est pourquoi il doit y avoir des preuves suffisantes, permettant de juger s'il y a un extremum à un point critique particulier et de quel type d'extremum il s'agit - maximum ou minimum.

Théorème (le premier signe suffisant de l'existence d'un extremum d'une fonction). Point critique Définition0 x(Définition) si, en passant par ce point, la dérivée de la fonction change de signe, et si le signe passe de « plus » à « moins », alors c'est un point maximum, et si de « moins » à « plus », alors c'est un point minimum.

Si près du point Définition0 , à gauche et à droite de celui-ci, la dérivée conserve son signe, cela signifie que la fonction soit ne fait que diminuer, soit n'augmente que dans un certain voisinage du point Définition0 . Dans ce cas, au moment Définition0 il n'y a pas d'extrême.

Donc, pour déterminer les points extrêmes de la fonction, vous devez procéder comme suit :

1. Trouvez la dérivée de la fonction.
2. Égalez la dérivée à zéro et déterminez les points critiques.
3. Mentalement ou sur papier, marquez les points critiques sur la droite numérique et déterminez les signes de la dérivée de la fonction dans les intervalles résultants. Si le signe de la dérivée passe de « plus » à « moins », alors le point critique est le point maximum, et si de « moins » à « plus », alors le point minimum.
4. Calculez la valeur de la fonction aux points extrêmes.

Exemple 2. Trouver les extrema de la fonction .

Solution. Trouvons la dérivée de la fonction :

Égalons la dérivée à zéro pour trouver les points critiques :

.

Puisque pour toute valeur de « x », le dénominateur n'est pas égal à zéro, nous assimilons le numérateur à zéro :

J'ai un point critique Définition= 3 . Déterminons le signe de la dérivée dans les intervalles délimités par ce point :

dans l'intervalle de moins l'infini à 3 - un signe moins, c'est-à-dire que la fonction diminue,

dans l'intervalle de 3 à plus l'infini, il y a un signe plus, c'est-à-dire que la fonction augmente.

C'est-à-dire la période Définition= 3 est le point minimum.

Trouvons la valeur de la fonction au point minimum :

Ainsi, on trouve le point extremum de la fonction : (3 ; 0), et c'est le point minimum.

Théorème (le deuxième signe suffisant de l'existence d'un extremum d'une fonction). Point critique Définition0 est le point extrême de la fonction x(Définition) si la dérivée seconde de la fonction à ce stade n'est pas égale à zéro ( x ""(Définition) ≠ 0 ), et si la dérivée seconde est supérieure à zéro ( x ""(Définition) > 0 ), alors le point maximum, et si la dérivée seconde est inférieure à zéro ( x ""(Définition) < 0 ), то точкой минимума.

Remarque 1. Si au moment Définition0 Si les dérivées première et seconde disparaissent, alors à ce stade, il est impossible de juger de la présence d’un extremum sur la base du deuxième critère suffisant. Dans ce cas, il faut utiliser le premier critère suffisant pour l’extremum d’une fonction.

Remarque 2. Le deuxième critère suffisant pour l'extremum d'une fonction n'est pas applicable même lorsque la dérivée première n'existe pas en un point stationnaire (alors la dérivée seconde n'existe pas non plus). Dans ce cas, vous devez également utiliser le premier signe suffisant d’un extremum d’une fonction.

Caractère local des extrema de la fonction

Des définitions ci-dessus, il s'ensuit que l'extremum d'une fonction est de nature locale - il s'agit de la valeur la plus grande et la plus petite de la fonction par rapport aux valeurs proches.

Disons que vous examinez vos revenus sur une période d'un an. Si en mai vous avez gagné 45 000 roubles, en avril 42 000 roubles et en juin 39 000 roubles, alors les gains de mai sont le maximum de la fonction de gains par rapport aux valeurs proches. Mais en octobre, vous avez gagné 71 000 roubles, en septembre 75 000 roubles et en novembre 74 000 roubles, donc les gains d'octobre sont le minimum de la fonction de gains par rapport aux valeurs proches. Et vous pouvez facilement constater que le maximum parmi les valeurs d'avril-mai-juin est inférieur au minimum de septembre-octobre-novembre.

D'une manière générale, sur un intervalle, une fonction peut avoir plusieurs extrema, et il peut s'avérer qu'un minimum de la fonction soit supérieur à n'importe quel maximum. Ainsi, pour la fonction illustrée dans la figure ci-dessus, .

Autrement dit, il ne faut pas penser que le maximum et le minimum d'une fonction sont respectivement ses valeurs les plus grandes et les plus petites sur l'ensemble du segment considéré. Au point maximum, la fonction a la plus grande valeur uniquement par rapport aux valeurs qu'elle a en tous points suffisamment proches du point maximum, et au point minimum, elle a la plus petite valeur uniquement par rapport à ces valeurs ​​​​qu'il soit en tous points suffisamment proche du point minimum.

Par conséquent, nous pouvons clarifier le concept ci-dessus de points extremum d'une fonction et appeler points minimum points minimum locaux et points maximum points maximum locaux.

Nous recherchons ensemble les extrema de la fonction

Exemple 3.

Solution : La fonction est définie et continue sur toute la droite numérique. Son dérivé existe également sur toute la droite numérique. Donc dans dans ce cas les points critiques sont uniquement ceux où, c'est-à-dire , d'où et . Points critiques et diviser tout le domaine de définition de la fonction en trois intervalles de monotonie : . Choisissons-en un parmi chacun d'eux point de contrôle et trouvez le signe de la dérivée à ce stade.

Pour l'intervalle, le point de contrôle peut être : find. En prenant un point dans l'intervalle, nous obtenons, et en prenant un point dans l'intervalle, nous avons. Donc, dans les intervalles et , et dans l'intervalle . D'après le premier critère suffisant pour un extremum, il n'y a pas d'extremum au point (puisque la dérivée conserve son signe dans l'intervalle), et au point la fonction a un minimum (puisque la dérivée change de signe de moins à plus en passant à travers ce point). Trouvons valeurs correspondantes fonctions : , un . Dans l'intervalle la fonction diminue, puisque dans cet intervalle , et dans l'intervalle elle augmente, puisque dans cet intervalle .

Pour clarifier la construction du graphe, on retrouve les points d'intersection de celui-ci avec les axes de coordonnées. Lorsque nous obtenons une équation dont les racines sont et , c'est-à-dire que deux points (0 ; 0) et (4 ; 0) du graphique de la fonction ont été trouvés. En utilisant toutes les informations reçues, nous construisons un graphique (voir le début de l'exemple).

Exemple 4. Trouvez les extrema de la fonction et construisez son graphique.

Le domaine de définition d'une fonction est la droite numérique entière, à l'exception du point, c'est-à-dire .

Pour raccourcir l'étude, on peut utiliser le fait que cette fonction est paire, puisque . Son graphique est donc symétrique par rapport à l’axe Oy et l'étude ne peut être réalisée que pour l'intervalle.

Trouver la dérivée et points critiques de la fonction :

1) ;

2) ,

mais la fonction souffre d'une discontinuité en ce point, elle ne peut donc pas être un point extremum.

Ainsi, la fonction donnée présente deux points critiques : et . Compte tenu de la parité de la fonction, nous vérifierons uniquement le point en utilisant le deuxième critère suffisant pour un extremum. Pour ce faire, on trouve la dérivée seconde et déterminons son signe en : on obtient . Puisque et , c'est le point minimum de la fonction, et .

Pour avoir une image plus complète du graphe d’une fonction, découvrons son comportement aux limites du domaine de définition :

(ici le symbole indique le désir Définitionà zéro en partant de la droite, et Définition reste positif; signifie de la même manière aspiration Définitionà zéro en partant de la gauche, et Définition reste négatif). Ainsi, si , alors . Ensuite, nous trouvons

,

ceux. si , alors .

Le graphique d'une fonction n'a pas de points d'intersection avec les axes. L'image est au début de l'exemple.

Nous continuons à rechercher ensemble les extrema de la fonction

Exemple 8. Trouvez les extrema de la fonction.

Solution. Trouvons le domaine de définition de la fonction. Puisque l’inégalité doit être satisfaite, on obtient de .

Trouvons la dérivée première de la fonction :

Trouvons les points critiques de la fonction.

>>Extrême

Extremum de la fonction

Définition de extremum

Fonction y = f(x) est appelé croissant (décroissant) dans un certain intervalle, si pour x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

Si la fonction différentiable y = f (x) augmente (diminue) sur un intervalle, alors sa dérivée sur cet intervalle f " (x)> 0

(f"(x)< 0).

Point Définition Ô appelé point maximum local (minimum) fonction f (x) s'il existe un voisinage du point xo, pour tous les points dont l'inégalité f (x) est vraie≤ f (x o ) (f (x )≥ f (x o )).

Les points maximum et minimum sont appelés points extrêmes, et les valeurs de la fonction en ces points sont ses extrêmes.

Points extrêmes

Conditions préalables extrême . Si le point Définition Ô est le point extremum de la fonction f(x), alors soit f " (x o ) = 0, ou f(x o ) n’existe pas. De tels points sont appelés critique, et la fonction elle-même est définie au point critique. Parmi ses points critiques, il faut chercher les extrema d’une fonction.

La première condition suffisante. Laisser Définition Ô - point critique. Si f" (x ) lors du passage par un point Définition Ô change le signe plus en moins, puis au point xo la fonction a un maximum, sinon elle a un minimum. Si, en passant par le point critique, la dérivée ne change pas de signe, alors au point Définition Ô il n'y a pas d'extrême.

Deuxième condition suffisante. Soit la fonction f(x)
f" (x ) à proximité du point Définition Ô et la dérivée seconde au point lui-même xo. Si f"(xo) = 0, >0 ( <0), то точка xo est le point minimum (maximum) local de la fonction f (x). Si =0, alors vous devez soit utiliser la première condition suffisante, soit impliquer des conditions plus élevées.

Sur un segment, la fonction y = f (x) peut atteindre sa valeur minimale ou maximale soit aux points critiques, soit aux extrémités du segment.

Exemple 3.22.

Solution. Parce que f " (

Problèmes de recherche de l'extremum d'une fonction

Exemple 3.23. un

Solution. Définition Et oui oui
0 ≤ x≤
> 0, et quand x >a /4S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение fonctions kv. unités).

Exemple 3.24. p ≈

Solution. p p
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Exemple 3.22.Trouvez les extrema de la fonction f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Solution. Parce que f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​​​-2)(x - 3), alors les points critiques de la fonction x 1 = 2 et x 2 = 3. Les extrema ne peuvent être qu'à ces points. Puisque en passant par le point x 1 = 2 la dérivée change de signe de plus à moins, alors à ce stade la fonction a un maximum. En passant par le point x 2 = 3, la dérivée change de signe de moins à plus, donc au point x 2 = 3 la fonction a un minimum. Après avoir calculé les valeurs de fonction aux points
x 1 = 2 et x 2 = 3, on retrouve les extrema de la fonction : maximum f (2) = 14 et minimum f (3) = 13.

Exemple 3.23.Il est nécessaire de construire une zone rectangulaire près du mur de pierre de manière à ce qu'elle soit clôturée sur trois côtés avec un treillis métallique et que le quatrième côté soit adjacent au mur. Pour cela il y a un mètres linéaires de maille. À quel rapport hauteur/largeur le site aura-t-il la plus grande superficie ?

Solution.Désignons les côtés de la plate-forme par Définition Et oui. La superficie du site est S = xy. Laisser oui- c'est la longueur du côté adjacent au mur. Alors, par condition, l'égalité 2x + y = a doit être satisfaite. Donc y = a - 2x et S = x (a - 2x), où
0 ≤ x≤ a /2 (la longueur et la largeur de la zone ne peuvent pas être négatives). S " = a - 4x, a - 4x = 0 à x = a/4, d'où
y = une - 2 × une/4 = une/2. Parce que x = a /4 est le seul point critique ; vérifions si le signe de la dérivée change en passant par ce point. À x a /4 S"> 0, et quand x >a /4S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение fonctions S(une/4) = une/4(une - une/2) = une 2 /8 (kv. unités). Puisque S est continu et que ses valeurs aux extrémités S(0) et S(a /2) sont égales à zéro, alors la valeur trouvée sera valeur la plus élevée fonctions. Ainsi, le rapport hauteur/largeur le plus favorable du site dans les conditions données du problème est y = 2x.

Exemple 3.24.Il est nécessaire de fabriquer un réservoir cylindrique fermé d'une capacité de V=16 p ≈ 50 m3. Quelles doivent être les dimensions du réservoir (rayon R et hauteur H) pour que le moins de matière soit utilisé pour sa fabrication ?

Solution.La surface totale du cylindre est S = 2 p R(R+H). On connaît le volume du cylindre V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2. Donc S(R) = 2 p (R2 +16/R). On trouve la dérivée de cette fonction :
S"(R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2). S" (R) = 0 à R 3 = 8, donc,
R = 2, H = 16/4 = 4.