Un nombre r est appelé rang de la matrice A si :
1) dans la matrice A il y a un mineur d'ordre r, différent de zéro ;
2) tous les mineurs d'ordre (r+1) et supérieurs, s'ils existent, sont égaux à zéro.
Sinon, le rang d'une matrice est l'ordre mineur le plus élevé autre que zéro.
Désignations : rangA, r A ou r.
De la définition, il résulte que r est un entier positif. Pour une matrice nulle, le rang est considéré comme nul.

Objet de la prestation. Le calculateur en ligne est conçu pour trouver rang matriciel. Dans ce cas, la solution est enregistrée au format Word et Excel. voir exemple de solution.

Instructions. Sélectionnez la dimension de la matrice, cliquez sur Suivant.

Sélectionnez la dimension de la matrice 3 4 5 6 7 × 3 4 5 6 7

Définition . Soit une matrice de rang r. Tout mineur d'une matrice différent de zéro et d'ordre r est appelé basique, et les lignes et colonnes de ses composants sont appelées lignes et colonnes de base.
Selon cette définition, une matrice A peut avoir plusieurs bases mineures.

Le rang de la matrice identité E est n (le nombre de lignes).

Exemple 1. Étant donné deux matrices, et leurs mineurs , . Lequel d’entre eux peut être considéré comme celui de base ?
Solution. Mineur M 1 =0, il ne peut donc servir de base à aucune des matrices. Mineur M 2 =-9≠0 et est d'ordre 2, ce qui signifie qu'il peut être pris comme base des matrices A ou / et B, à condition qu'elles aient des rangs égaux à 2. Puisque detB=0 (en tant que déterminant à deux colonnes proportionnelles), alors rangB=2 et M 2 peuvent être pris comme base mineure de la matrice B. Le rang de la matrice A est 3, du fait que detA=-27≠ 0 et, par conséquent, l'ordre de la base mineure de cette matrice doit être égal à 3, c'est-à-dire que M 2 n'est pas une base pour la matrice A. Notez que la matrice A a une seule base mineure, égale au déterminant de la matrice A.

Théorème (sur la base mineure). Toute ligne (colonne) d'une matrice est une combinaison linéaire de ses lignes (colonnes) de base.
Corollaires du théorème.

1. Chaque (r+1) matrice colonne (ligne) de rang r est linéairement dépendante.
2. Si le rang d'une matrice est inférieur au nombre de ses lignes (colonnes), alors ses lignes (colonnes) sont linéairement dépendantes. Si rangA est égal au nombre de ses lignes (colonnes), alors les lignes (colonnes) sont linéairement indépendantes.
3. Le déterminant d'une matrice A est égal à zéro si et seulement si ses lignes (colonnes) sont linéairement dépendantes.
4. Si vous ajoutez une autre ligne (colonne) à une ligne (colonne) d'une matrice, multipliée par un nombre autre que zéro, alors le rang de la matrice ne changera pas.
5. Si vous rayez une ligne (colonne) dans une matrice, qui est une combinaison linéaire d’autres lignes (colonnes), le rang de la matrice ne changera pas.
6. Le rang d'une matrice est égal au nombre maximum de ses lignes (colonnes) linéairement indépendantes.
7. Le nombre maximum de lignes linéairement indépendantes est le même que le nombre maximum de colonnes linéairement indépendantes.

Exemple 2. Trouver le rang d'une matrice .
Solution. A partir de la définition du rang de la matrice, on cherchera un mineur d'ordre le plus élevé, différent de zéro. Tout d’abord, transformons la matrice en une forme plus simple. Pour ce faire, multipliez la première ligne de la matrice par (-2) et ajoutez-la à la seconde, puis multipliez-la par (-1) et ajoutez-la à la troisième.

Donnons une matrice :

.

Sélectionnons dans cette matrice chaînes arbitraires et colonnes arbitraires
. Alors le déterminant ème ordre, composé d'éléments matriciels
, situé à l'intersection des lignes et des colonnes sélectionnées, est appelé un mineur matrice d'ordre
.

Définition 1.13. Rang matriciel
est le plus grand ordre non nul du mineur de cette matrice.

Pour calculer le rang d'une matrice, il faut considérer tous ses mineurs d'ordre le plus bas et, si au moins l'un d'eux est différent de zéro, procéder à la considération des mineurs d'ordre le plus élevé. Cette approche pour déterminer le rang d'une matrice est appelée la méthode limitrophe (ou méthode des mineurs limitrophes).

Problème 1.4. En utilisant la méthode des mineurs limitrophes, déterminer le rang de la matrice
.

.

Considérons par exemple les bordures de premier ordre :
. Nous passons ensuite à l’examen de certaines bordures de second ordre.

Par exemple,
.

Enfin, analysons les bordures de troisième ordre.

.

Donc l’ordre le plus élevé d’un mineur non nul est 2, donc
.

Lors de la résolution du problème 1.4, vous pouvez remarquer qu’un certain nombre de mineurs limitrophes du second ordre sont non nuls. À cet égard, le concept suivant s’applique.

Définition 1.14. Une base mineure d'une matrice est tout mineur non nul dont l'ordre est égal au rang de la matrice.

Théorème 1.2.(Théorème mineur de base). Les lignes de base (colonnes de base) sont linéairement indépendantes.

Notez que les lignes (colonnes) d’une matrice sont linéairement dépendantes si et seulement si au moins l’une d’entre elles peut être représentée comme une combinaison linéaire des autres.

Théorème 1.3. Le nombre de lignes de la matrice linéairement indépendantes est égal au nombre de colonnes de la matrice linéairement indépendantes et est égal au rang de la matrice.

Théorème 1.4.(Condition nécessaire et suffisante pour que le déterminant soit égal à zéro). Pour que le déterminant -ième commande était égal à zéro, il est nécessaire et suffisant que ses lignes (colonnes) soient linéairement dépendantes.

Calculer le rang d’une matrice en fonction de sa définition est trop fastidieux. Cela devient particulièrement important pour les matrices d’ordres élevés. A cet égard, en pratique, le rang d'une matrice est calculé sur la base de l'application des théorèmes 10.2 à 10.4, ainsi que de l'utilisation des notions d'équivalence matricielle et de transformations élémentaires.

Définition 1.15. Deux matrices
Et sont dits équivalents si leurs rangs sont égaux, c'est-à-dire
.

Si les matrices
Et sont équivalents, alors notez
 .

Théorème 1.5. Le rang de la matrice ne change pas du fait des transformations élémentaires.

Nous appellerons transformations matricielles élémentaires
l'une des opérations suivantes sur une matrice :

Remplacer les lignes par des colonnes et les colonnes par les lignes correspondantes ;

Réorganiser les lignes de la matrice ;

Rayer une ligne dont les éléments sont tous nuls ;

Multiplier une chaîne par un nombre autre que zéro ;

Ajouter aux éléments d'une ligne les éléments correspondants d'une autre ligne multipliés par le même nombre
.

Corollaire du théorème 1.5. Si matrice
obtenu à partir de la matrice en utilisant un nombre fini de transformations élémentaires, alors la matrice
Et sont équivalents.

Lors du calcul du rang d'une matrice, il convient de la réduire à une forme trapézoïdale en utilisant un nombre fini de transformations élémentaires.

Définition 1.16. Nous appellerons trapézoïdale une forme de représentation d'une matrice lorsque, dans le mineur limitrophe de l'ordre le plus élevé autre que zéro, tous les éléments situés en dessous des diagonales disparaissent. Par exemple:

.

Ici
, éléments matriciels
aller à zéro. Alors la forme de représentation d'une telle matrice sera trapézoïdale.

En règle générale, les matrices sont réduites à une forme trapézoïdale à l'aide de l'algorithme gaussien. L'idée de l'algorithme de Gauss est qu'en multipliant les éléments de la première ligne de la matrice par les facteurs correspondants, on obtient que tous les éléments de la première colonne situés en dessous de l'élément
, deviendrait nul. Ensuite, en multipliant les éléments de la deuxième colonne par les facteurs correspondants, on s'assure que tous les éléments de la deuxième colonne situés en dessous de l'élément
, deviendrait nul. Procédez ensuite de la même manière.

Problème 1.5. Déterminez le rang d’une matrice en la réduisant à une forme trapézoïdale.

.

Pour faciliter l'utilisation de l'algorithme gaussien, vous pouvez intervertir la première et la troisième lignes.








.

C'est évident qu'ici
. Cependant, pour donner au résultat une forme plus élégante, vous pouvez continuer à transformer les colonnes.










.

>>Rang matriciel

Rang matriciel

Déterminer le rang d'une matrice

Considérons une matrice rectangulaire. Si dans cette matrice on sélectionne arbitrairement k lignes et k colonnes, alors les éléments à l’intersection des lignes et colonnes sélectionnées forment une matrice carrée du kème ordre. Le déterminant de cette matrice s'appelle mineur du ème ordre matrice A. Évidemment, la matrice A a des mineurs de tout ordre allant de 1 au plus petit des nombres m et n. Parmi tous les mineurs non nuls de la matrice A, il existe au moins un mineur dont l'ordre est le plus grand. Le plus grand des ordres mineurs non nuls d'une matrice donnée est appelé rang matrices. Si le rang de la matrice A est r, cela signifie que la matrice A a un mineur d'ordre non nul r, mais tout mineur d'ordre supérieur à r, est égal à zéro. Le rang de la matrice A est noté r(A). Évidemment, la relation est vraie

Calculer le rang d'une matrice à l'aide de mineurs

Le rang de la matrice se trouve soit par la méthode des mineurs limitrophes, soit par la méthode des transformations élémentaires. Lors du calcul du rang d'une matrice à l'aide de la première méthode, vous devez passer des mineurs d'ordre inférieur aux mineurs d'ordre supérieur. Si un mineur D du kième ordre de la matrice A, différent de zéro, a déjà été trouvé, alors seuls les mineurs d'ordre (k+1) bordant le mineur D nécessitent un calcul, c'est-à-dire le contenant comme mineur. S’ils sont tous égaux à zéro, alors le rang de la matrice est k.

Exemple 1.Trouver le rang de la matrice en utilisant la méthode des mineurs limitrophes

.

Solution.Nous commençons par les mineurs de 1er ordre, c'est-à-dire parmi les éléments de la matrice A. Choisissons par exemple un mineur (élément) M 1 = 1, situé dans la première ligne et la première colonne. En limitant à l'aide de la deuxième ligne et de la troisième colonne, on obtient un mineur M 2 = différent de zéro. Passons-nous maintenant aux mineurs de 3ème ordre limitrophes de M2. Il n'y en a que deux (vous pouvez ajouter une deuxième ou une quatrième colonne). Calculons-les : = 0. Ainsi, tous les mineurs limitrophes du troisième ordre se sont révélés égaux à zéro. Le rang de la matrice A est deux.

Calculer le rang d'une matrice à l'aide de transformations élémentaires

ÉlémentaireLes transformations matricielles suivantes sont appelées :

1) permutation de deux lignes (ou colonnes),

2) multiplier une ligne (ou une colonne) par un nombre non nul,

3) ajouter à une ligne (ou colonne) une autre ligne (ou colonne), multipliée par un certain nombre.

Les deux matrices sont appelées équivalent, si l'un d'eux est obtenu à partir de l'autre en utilisant un ensemble fini de transformations élémentaires.

Les matrices équivalentes ne sont pas, en général, égales, mais leurs rangs sont égaux. Si les matrices A et B sont équivalentes, alors cela s'écrit : A~B.

CanoniqueUne matrice est une matrice dans laquelle au début de la diagonale principale il y en a plusieurs d'affilée (dont le nombre peut être nul), et tous les autres éléments sont égaux à zéro, par exemple,

.

Grâce à des transformations élémentaires de lignes et de colonnes, n'importe quelle matrice peut être réduite à canonique. Le rang d'une matrice canonique est égal au nombre de un sur sa diagonale principale.

Exemple 2Trouver le rang d'une matrice

UNE=

et lui donner une forme canonique.

Solution. De la deuxième ligne, soustrayez la première et réorganisez ces lignes :

.

Maintenant, des deuxième et troisième lignes, nous soustrayons la première, multipliée respectivement par 2 et 5 :

;

soustrayez la première de la troisième ligne ; on obtient une matrice

B = ,

qui est équivalente à la matrice A, puisqu'elle en est obtenue à l'aide d'un ensemble fini de transformations élémentaires. Évidemment, le rang de la matrice B est 2, et donc r(A)=2. La matrice B peut facilement être réduite à canonique. En soustrayant la première colonne, multipliée par les nombres appropriés, de toutes les colonnes suivantes, nous remettons à zéro tous les éléments de la première ligne, à l'exception du premier, et les éléments des lignes restantes ne changent pas. Ensuite, en soustrayant la deuxième colonne, multipliée par les nombres appropriés, de tous les suivants, nous remettons à zéro tous les éléments de la deuxième ligne, à l'exception de la seconde, et obtenons la matrice canonique :

.

Nous examinerons également une application pratique importante du sujet : étude d'un système d'équations linéaires pour la cohérence.

Quel est le rang d'une matrice ?

L'épigraphe humoristique de l'article contient une grande part de vérité. Nous associons généralement le mot « rang » à une sorte de hiérarchie, le plus souvent à une échelle de carrière. Plus une personne possède de connaissances, d'expérience, de capacités, de relations, etc. – plus sa position et son éventail d’opportunités sont élevés. En termes de jeunesse, le rang fait référence au degré général de « raideur ».

Et nos frères mathématiques vivent selon les mêmes principes. Prenons-en quelques-uns au hasard pour une promenade matrices nulles:

Pensons-y, si dans la matrice tous les zéros, alors de quel rang peut-on parler ? Tout le monde connaît l’expression informelle « zéro total ». Dans la société des matrices, tout est exactement pareil :

Rang de la matrice zéron'importe quelle taille est égale à zéro.

Note : La matrice zéro est désignée par la lettre grecque "thêta"

Afin de mieux comprendre le rang de la matrice, j'utiliserai ci-après du matériel pour aider géométrie analytique. Considérez zéro vecteur notre espace tridimensionnel, qui ne fixe pas de direction précise et est inutile pour construire base affine. D'un point de vue algébrique, les coordonnées de ce vecteur s'écrivent sous la forme matrice"un par trois" et logique (au sens géométrique indiqué) supposons que le rang de cette matrice est nul.

Voyons maintenant quelques-uns non nul vecteurs de colonne Et vecteurs de rangée:


Chaque instance possède au moins un élément non nul, et c'est quelque chose !

Le rang de tout vecteur ligne non nul (vecteur colonne) est égal à un

Et en général - si dans la matrice tailles arbitraires il y a au moins un élément non nul, alors son rang pas moins unités.

Les vecteurs lignes algébriques et les vecteurs colonnes sont dans une certaine mesure abstraits, revenons donc à l'association géométrique. Non nul vecteur définit une direction très définie dans l'espace et convient à la construction base, donc le rang de la matrice sera considéré comme égal à un.

Informations théoriques : en algèbre linéaire, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel (défini à travers 8 axiomes), qui peut notamment représenter une ligne (ou colonne) ordonnée de nombres réels avec les opérations d'addition et de multiplication par un nombre réel défini pour eux. Des informations plus détaillées sur les vecteurs peuvent être trouvées dans l'article Transformations linéaires.

linéairement dépendant(exprimés les uns par les autres). D'un point de vue géométrique, la deuxième ligne contient les coordonnées du vecteur colinéaire , ce qui n'a pas du tout fait avancer les choses dans la construction base tridimensionnelle, étant en ce sens superflu. Ainsi, le rang de cette matrice est également égal à un.

Réécrivons les coordonnées des vecteurs en colonnes ( transposer la matrice):

Qu'est-ce qui a changé en termes de classement ? Rien. Les colonnes sont proportionnelles, ce qui signifie que le rang est égal à un. À propos, notez que les trois lignes sont également proportionnelles. Ils peuvent être identifiés grâce aux coordonnées trois vecteurs colinéaires du plan, dont seulement un utile pour construire une base "plate". Et cela est tout à fait cohérent avec notre sens géométrique du rang.

Une déclaration importante découle de l’exemple ci-dessus :

Le rang de la matrice en lignes est égal au rang de la matrice en colonnes. J'en ai déjà parlé un peu dans la leçon sur l'efficacité méthodes de calcul du déterminant.

Note : la dépendance linéaire des lignes implique une dépendance linéaire des colonnes (et vice versa). Mais pour gagner du temps, et par habitude, je parlerai presque toujours de dépendance linéaire des chaînes.

Continuons à entraîner notre animal de compagnie bien-aimé. Ajoutons les coordonnées d'un autre vecteur colinéaire à la matrice de la troisième ligne :

Nous a-t-il aidé à construire une base tridimensionnelle ? Bien sûr que non. Les trois vecteurs vont et viennent le long du même chemin et le rang de la matrice est égal à un. Vous pouvez prendre autant de vecteurs colinéaires que vous le souhaitez, disons 100, mettre leurs coordonnées dans une matrice « cent par trois », et le rang d'un tel gratte-ciel restera toujours un.

Faisons connaissance avec la matrice dont les lignes linéairement indépendant. Une paire de vecteurs non colinéaires convient pour construire une base tridimensionnelle. Le rang de cette matrice est de deux.

Quel est le rang de la matrice ? Les lignes ne semblent pas proportionnelles... donc, en théorie, elles sont au nombre de trois. Cependant, le rang de cette matrice est également de deux. J'ai ajouté les deux premières lignes et écrit le résultat en bas, c'est-à-dire exprimé linéairement de la troisième ligne aux deux premières. Géométriquement, les lignes de la matrice correspondent aux coordonnées de trois vecteurs coplanaires, et parmi ces trois il y a une paire de camarades non colinéaires.

Comme vous pouvez le voir, dépendance linéaire dans la matrice considérée n'est pas évident, et nous allons aujourd'hui apprendre à la faire ressortir au grand jour.

Je pense que beaucoup de gens peuvent deviner quel est le rang d'une matrice !

Considérons une matrice dont les lignes linéairement indépendant. Forme de vecteurs base affine, et le rang de cette matrice est trois.

Comme vous le savez, tout quatrième, cinquième ou dixième vecteur d'un espace tridimensionnel sera exprimé linéairement en termes de vecteurs de base. Par conséquent, si vous ajoutez un nombre quelconque de lignes à une matrice, alors son rang sera toujours égal à trois.

Un raisonnement similaire peut être effectué pour des matrices de plus grandes tailles (bien sûr, sans aucune signification géométrique).

Définition : Le rang d'une matrice est le nombre maximum de lignes linéairement indépendantes. Ou: Le rang d'une matrice est le nombre maximum de colonnes linéairement indépendantes. Oui, leur numéro est toujours le même.

De ce qui précède découle également une directive pratique importante : le rang de la matrice ne dépasse pas sa dimension minimale. Par exemple, dans la matrice quatre lignes et cinq colonnes. La dimension minimale est quatre, donc le rang de cette matrice ne dépassera certainement pas 4.

Désignations: dans la théorie et la pratique du monde, il n'existe pas de norme généralement acceptée pour désigner le rang d'une matrice : - comme on dit, un Anglais écrit une chose, un Allemand une autre ; Par conséquent, sur la base de la célèbre blague sur l’enfer américain et russe, désignons le rang de la matrice par un mot natif. Par exemple: . Et si la matrice est « sans nom », comme il y en a beaucoup, alors vous pouvez simplement écrire .

Comment trouver le rang d’une matrice à l’aide de mineurs ?

Si notre grand-mère avait une cinquième colonne dans sa matrice, alors il faudrait calculer une autre mineure du 4ème ordre (« bleu », « framboise » + 5ème colonne).

Conclusion: l'ordre maximum d'un mineur non nul est de trois, ce qui signifie .

Peut-être que tout le monde n'a pas bien compris cette phrase : un mineur du 4ème ordre est égal à zéro, mais parmi les mineurs du 3ème ordre il y en avait un non nul - donc l'ordre maximum non nul mineur et est égal à trois.

La question se pose, pourquoi ne pas calculer immédiatement le déterminant ? Eh bien, premièrement, dans la plupart des tâches, la matrice n'est pas carrée, et deuxièmement, même si vous obtenez une valeur non nulle, la tâche sera très probablement rejetée, car elle implique généralement une solution standard « ascendante ». Et dans l'exemple considéré, le déterminant zéro du 4ème ordre permet d'affirmer que le rang de la matrice n'est que inférieur à quatre.

Je dois l'avouer, j'ai posé le problème que j'ai analysé moi-même afin de mieux expliquer la méthode de limitrophe des mineurs. En pratique, tout est plus simple :

Exemple 2

Trouver le rang d'une matrice en utilisant la méthode des mineurs de bord

La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.

Quand l’algorithme fonctionne-t-il le plus rapidement ? Revenons à la même matrice quatre par quatre. . Évidemment, la solution sera la plus courte en cas de « bon » mineurs de coin:

Et si, alors, sinon – .

La réflexion n'est pas du tout hypothétique - il existe de nombreux exemples où toute l'affaire se limite uniquement aux mineurs anguleux.

Cependant, dans certains cas, une autre méthode est plus efficace et préférable :

Comment trouver le rang d’une matrice par la méthode gaussienne ?

Ce paragraphe est destiné aux lecteurs qui connaissent déjà Méthode gaussienne et ont plus ou moins mis la main dessus.

D'un point de vue technique, la méthode n'est pas nouvelle :

1) à l'aide de transformations élémentaires, on réduit la matrice à une forme pas à pas ;

2) le rang de la matrice est égal au nombre de lignes.

Il est absolument clair que l'utilisation de la méthode gaussienne ne change pas le rang de la matrice, et l'essence ici est extrêmement simple : selon l'algorithme, lors des transformations élémentaires, toutes les lignes proportionnelles inutiles (linéairement dépendantes) sont identifiées et supprimées, ce qui donne un « résidu sec » - le nombre maximum de lignes linéairement indépendantes.

Transformons l'ancienne matrice familière avec les coordonnées de trois vecteurs colinéaires :

(1) La première ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par –2. La première ligne a été ajoutée à la troisième ligne.

(2) Les lignes zéro sont supprimées.

Il reste donc une ligne, donc . Inutile de dire que c'est beaucoup plus rapide que de calculer neuf mineurs zéro du 2ème ordre et de tirer ensuite une conclusion.

Je te rappelle qu'en soi matrice algébrique rien ne peut être changé, et les transformations sont effectuées uniquement pour déterminer le rang ! Au fait, revenons encore une fois à la question, pourquoi pas ? Matrice source contient des informations fondamentalement différentes des informations de la matrice et de la ligne. Dans certains modèles mathématiques (sans exagération), la différence entre un nombre peut être une question de vie ou de mort. ...Je me souviens des professeurs de mathématiques des écoles primaires et secondaires qui réduisaient sans pitié les notes de 1 à 2 points à la moindre inexactitude ou écart par rapport à l'algorithme. Et ce fut terriblement décevant quand, au lieu d'un « A » apparemment garanti, cela s'est avéré « bon », voire pire. La compréhension est venue beaucoup plus tard : comment pourrions-nous autrement confier les satellites, les ogives nucléaires et les centrales électriques aux humains ? Mais ne vous inquiétez pas, je ne travaille pas dans ces domaines =)

Passons à des tâches plus significatives, où, entre autres, nous nous familiariserons avec d'importantes techniques de calcul Méthode Gauss:

Exemple 3

Trouver le rang d'une matrice à l'aide de transformations élémentaires

Solution: une matrice « quatre par cinq » est donnée, ce qui signifie que son rang n'est certainement pas supérieur à 4.

Dans la première colonne, il n'y a pas de 1 ou de –1, des actions supplémentaires sont donc nécessaires pour obtenir au moins une unité. Tout au long de l'existence du site, la question m'a été posée à plusieurs reprises : « Est-il possible de réorganiser les colonnes lors de transformations élémentaires ? Ici, nous avons réorganisé la première et la deuxième colonnes, et tout va bien ! Dans la plupart des tâches où il est utilisé Méthode gaussienne, les colonnes peuvent en effet être réorganisées. MAIS PAS NÉCESSAIRE. Et le point n'est même pas dans la confusion possible avec les variables, le fait est que dans le cours classique des mathématiques supérieures, cette action n'est traditionnellement pas prise en compte, donc un tel clin d'œil sera considéré TRÈS de travers (ou même obligé de tout refaire).

Le deuxième point concerne les chiffres. Lorsque vous prenez votre décision, il est utile d’utiliser la règle empirique suivante : les transformations élémentaires doivent, si possible, réduire les nombres matriciels. Après tout, il est beaucoup plus facile de travailler avec un, deux, trois que, par exemple, avec 23, 45 et 97. Et la première action vise non seulement à obtenir un dans la première colonne, mais aussi à éliminer les nombres. 7 et 11.

D'abord la solution complète, puis les commentaires :

(1) La première ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par –2. La première ligne a été ajoutée à la troisième ligne, multipliée par –3. Et au tas : la 1ère ligne a été ajoutée à la 4ème ligne, multipliée par -1.

(2) Les trois dernières lignes sont proportionnelles. Les 3ème et 4ème lignes ont été supprimées, la deuxième ligne a été déplacée à la première place.

(3) La première ligne a été ajoutée à la deuxième ligne, multipliée par –3.

La matrice réduite sous forme échelonnée comporte deux lignes.

Répondre:

C'est maintenant à votre tour de torturer la matrice quatre par quatre :

Exemple 4

Trouver le rang d'une matrice en utilisant la méthode gaussienne

je te rappelle que Méthode gaussienne n'implique pas une rigidité sans ambiguïté, et votre décision sera très probablement différente de la mienne. Un bref exemple de tâche à la fin de la leçon.

Quelle méthode dois-je utiliser pour trouver le rang d’une matrice ?

Dans la pratique, il n’est souvent pas indiqué quelle méthode doit être utilisée pour trouver le rang. Dans une telle situation, la condition doit être analysée - pour certaines matrices, il est plus rationnel de résoudre par mineurs, tandis que pour d'autres, il est beaucoup plus rentable d'appliquer des transformations élémentaires :

Exemple 5

Trouver le rang d'une matrice

Solution: la première méthode disparaît immédiatement =)

Un peu plus haut, j'ai conseillé de ne pas toucher aux colonnes de la matrice, mais quand il y a une colonne nulle, ou des colonnes proportionnelles/coïncidantes, alors ça vaut quand même la peine d'amputer :

(1) La cinquième colonne est nulle, supprimez-la de la matrice. Ainsi, le rang de la matrice n'est pas supérieur à quatre. La première ligne a été multipliée par –1. C'est une autre signature de la méthode Gauss, qui transforme l'action suivante en une promenade agréable :

(2) À toutes les lignes, à partir de la seconde, la première ligne a été ajoutée.

(3) La première ligne a été multipliée par –1, la troisième ligne a été divisée par 2, la quatrième ligne a été divisée par 3. La deuxième ligne a été ajoutée à la cinquième ligne, multipliée par –1.

(4) La troisième ligne a été ajoutée à la cinquième ligne, multipliée par –2.

(5) Les deux dernières lignes sont proportionnelles, la cinquième est supprimée.

Le résultat est 4 lignes.

Répondre:

Bâtiment standard de cinq étages pour étude indépendante :

Exemple 6

Trouver le rang d'une matrice

Une courte solution et une réponse à la fin de la leçon.

Il convient de noter que l'expression « rang matriciel » n'est pas si courante dans la pratique et que dans la plupart des problèmes, vous pouvez vous en passer complètement. Mais il y a une tâche où le concept en question est le personnage principal, et nous conclurons l'article en examinant cette application pratique :

Comment étudier la cohérence d'un système d'équations linéaires ?

Souvent, en plus de la solution systèmes d'équations linéaires selon la condition, il faut d'abord en examiner la compatibilité, c'est-à-dire prouver qu'une solution existe. Un rôle clé dans cette vérification est joué par Théorème de Kronecker-Capelli, que je formulerai sous la forme nécessaire :

Si rang matrices systèmeégal au rang système matriciel étendu, alors le système est cohérent, et si ce nombre coïncide avec le nombre d'inconnues, alors la solution est unique.

Ainsi, pour étudier la compatibilité du système, il est nécessaire de vérifier l'égalité , Où - matrice du système(rappelez-vous la terminologie de la leçon Méthode Gauss), UN - matrice du système étendu(soit une matrice avec des coefficients de variables + une colonne de termes libres).

Déterminer le rang d'une matrice

Considérons une matrice \(A\) de type \((m,n)\). Soit, pour être précis, \(m \leq n\). Prenons \(m\) lignes et choisissons \(m\) colonnes de la matrice \(A\), à l'intersection de ces lignes et colonnes on obtient une matrice carrée d'ordre \(m\), dont le déterminant s'appelle ordonnance mineure \(m\) matrices \(A\). Si cette mineure est différente de 0, on l'appelle mineur de base et ils disent que le rang de la matrice \(A\) est égal à \(m\). Si ce déterminant est égal à 0, alors d'autres colonnes \(m\) sont choisies ; à leur intersection se trouvent des éléments qui forment un autre mineur d'ordre \(m\). Si le mineur est 0, on continue la procédure. Si parmi tous les mineurs possibles d'ordre \(m\) il n'y a pas de valeurs différentes de zéro, on sélectionne \(m-1\) des lignes et des colonnes de la matrice \(A\), à leur intersection une matrice carrée d'ordre \(m- 1\) apparaît, son déterminant est appelé mineur d'ordre \(m-1\) de la matrice originale. En poursuivant la procédure, nous recherchons un mineur non nul, en parcourant tous les mineurs possibles, en abaissant leur ordre.

Définition.

Le mineur non nul d’une matrice donnée d’ordre le plus élevé est appelé mineur de base de la matrice originale, son ordre est appelé rang les matrices \(A\), lignes et colonnes, à l'intersection desquelles se trouve une base mineure, sont appelées lignes et colonnes de base. Le rang d'une matrice est noté \(rang(A)\).

De cette définition découlent des propriétés simples du rang d'une matrice : c'est un entier, et le rang d'une matrice non nulle satisfait les inégalités : \(1 \leq Rank(A) \leq \min(m,n)\ ).

Comment le rang de la matrice changera-t-il si une ligne est supprimée ? Ajouter une ligne ?

Vérifier la réponse

1) Le rang peut diminuer de 1.

2) Le rang peut augmenter de 1.

Dépendance linéaire et indépendance linéaire des colonnes de la matrice

Soit \(A\) une matrice de type \((m,n)\). Considérons les colonnes de la matrice \(A\) - ce sont des colonnes de \(m\) nombres chacune. Notons-les \(A_1,A_2,...,A_n\). Soit \(c_1,c_2,...,c_n\) quelques nombres.

Définition.

La colonne \[ D=c_1A_1+c_2A_2+...+c_nA_n = \sum _(m=1)^nc_mA_m \] est appelée une combinaison linéaire de colonnes \(A_1,A_2,...,A_n\), de nombres \( c_1,c_2 ,...,c_n\) sont appelés les coefficients de cette combinaison linéaire.

Définition.

Soit \(p\) colonnes \(A_1, A_2, ..., A_p\). S'il existe des nombres \(c_1,c_2,...,c_p\) tels que

1. tous ces nombres ne sont pas égaux à zéro,

2. la combinaison linéaire \(c_1A_1+c_2A_2+...+c_pA_p =\sum _(m=1)^pc_mA_m\) est égale à une colonne nulle (c'est à dire une colonne dont tous les éléments sont des zéros), alors on dit que les colonnes \( A_1, A_2, ..., A_p\) sont linéairement dépendants. Si pour un ensemble de colonnes donné, de tels nombres \(c_1,c_2,...,c_n\) n'existent pas, les colonnes sont dites linéairement indépendantes.

Exemple. Considérez 2 colonnes

\[ A_1=\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right), A_2=\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right), \] alors pour tout nombre \(c_1,c_2\) nous avons : \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right) + c_2\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right)=\left(\begin(array)(c) c_1 \\ c_2 \end(array) \right). \]

Cette combinaison linéaire est égale à la colonne zéro si et seulement si les deux nombres \(c_1,c_2\) sont égaux à zéro. Ces colonnes sont donc linéairement indépendantes.

Déclaration. Pour que les colonnes soient linéairement dépendantes, il faut et suffisant que l’une d’elles soit une combinaison linéaire des autres.

Soit les colonnes \(A_1,A_2,...,A_m\) linéairement dépendantes, c'est-à-dire pour certaines constantes \(\lambda _1, \lambda _2,...,\lambda _m\), qui ne sont pas toutes égales à 0, ce qui suit est vrai : \[ \sum _(k=1)^m\lambda _kA_k=0 \ ] (sur le côté droit se trouve la colonne zéro). Soit, par exemple, \(\lambda _1 \neq 0\). Alors \[ A_1=\sum _(k=2)^mc_kA_k, \quad c_k=-\lambda _k/\lambda _1, \quad \quad (15) \] c'est-à-dire la première colonne est une combinaison linéaire des autres.

Le théorème mineur de base

Théorème.

Pour toute matrice \(A\) non nulle, ce qui suit est vrai :

1. Les colonnes de base sont linéairement indépendantes.

2. Toute colonne matricielle est une combinaison linéaire de ses colonnes de base.

(Il en va de même pour les chaînes).

Soit, pour être précis, \((m,n)\) le type de matrice \(A\), \(rang(A)=r \leq n\) et la base mineure est située dans le premier \(r \) matrices de lignes et de colonnes \(A\). Soit \(s\) un nombre compris entre 1 et \(m\), \(k\) un nombre compris entre 1 et \(n\). Considérons une mineure de la forme suivante : \[ D=\left| \begin(array)(ccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & a_(1s) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2r) & a_(2s) \\ \dots &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(r1) & a_(r2) & \ldots & a_(rr) & a_(rs) \\ a_(k1) & a_(k2) & \ldots & a_(kr) & a_(ks) \\ \end(array) \right| , \] c'est-à-dire Nous avons attribué la \(s-\)ème colonne et la \(k-\)ème ligne à la base mineure. Par définition du rang d'une matrice, ce déterminant est égal à zéro (si on choisit \(s\leq r\) ou \(k \leq r\), alors ce mineur a 2 colonnes identiques ou 2 lignes identiques, si \(s>r\) et \(k>r\) - par définition du rang, un mineur de taille supérieure à \(r\) devient nul). Développons ce déterminant le long de la dernière ligne, nous obtenons : \[ a_(k1)A_(k1)+a_(k2)A_(k2)+....+a_(kr)A_(kr)+a_(ks) A_(ks )=0. \quad \quad(16) \]

Ici, les nombres \(A_(kp)\) sont les compléments algébriques des éléments de la rangée du bas \(D\). Leurs valeurs ne dépendent pas de \(k\), car sont formés à l’aide d’éléments des premières lignes \(r\). Dans ce cas, la valeur \(A_(ks)\) est un mineur basique, différent de 0. Notons \(A_(k1)=c_1,A_(k2)=c_2,...,A_(ks) =c_s \neq 0 \). Réécrivons (16) dans une nouvelle notation : \[ c_1a_(k1)+c_2a_(k2)+...+c_ra_(kr)+c_sa_(ks)=0, \] ou, en divisant par \(c_s\), \[ a_(ks)=\lambda_1a_(k1)+\lambda_2a_(k2)+...+\lambda_ra_(kr), \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] Cette égalité est valable pour toute valeur de \(k\), donc \[ a_(1s)=\lambda_1a_(11)+\lambda_2a_(12)+...+\lambda_ra_(1r), \] \[ a_ (2s)=\lambda_1a_(21)+\lambda_2a_(22)+...+\lambda_ra_(2r), \] \[ ................... .. .................................... \] \[ a_(ms)=\lambda_1a_( m1) +\lambda_2a_(m2)+...+\lambda_ra_(mr). \] Ainsi, la \(s-\)ème colonne est une combinaison linéaire des premières \(r\) colonnes. Le théorème a été prouvé.

Commentaire.

Du théorème mineur de base, il s'ensuit que le rang d'une matrice est égal au nombre de ses colonnes linéairement indépendantes (qui est égal au nombre de lignes linéairement indépendantes).

Corollaire 1.

Si le déterminant est zéro, alors sa colonne est une combinaison linéaire des autres colonnes.

Corollaire 2.

Si le rang d'une matrice est inférieur au nombre de colonnes, alors les colonnes de la matrice sont linéairement dépendantes.

Calculer le rang d'une matrice et trouver la base mineure

Certaines transformations matricielles ne changent pas son rang. De telles transformations peuvent être qualifiées d'élémentaires. Les faits correspondants peuvent être facilement vérifiés en utilisant les propriétés des déterminants et en déterminant le rang d'une matrice.

1. Réarrangement des colonnes.

2. Multiplier les éléments de n'importe quelle colonne par un facteur non nul.

3. Ajout de n'importe quelle autre colonne à une colonne, multipliée par un nombre arbitraire.

4. Rayer la colonne zéro.

Il en va de même pour les chaînes.

En utilisant ces transformations, la matrice peut être transformée en la forme dite « trapézoïdale » - une matrice avec seulement des zéros sous la diagonale principale. Pour une matrice « trapézoïdale », le rang est le nombre d'éléments non nuls sur la diagonale principale, et la base mineure est la mineure dont la diagonale coïncide avec l'ensemble des éléments non nuls sur la diagonale principale de la matrice transformée.

Exemple. Considérons la matrice

\[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(array) \right).

Ici, nous suivons séquentiellement les étapes suivantes : 1) réorganiser la deuxième ligne vers le haut, 2) soustraire la première ligne du reste avec un facteur approprié, 3) soustraire la deuxième ligne de la troisième 4 fois, ajouter la deuxième ligne au quatrième, 4) rayez les lignes zéro - la troisième et la quatrième . Notre matrice finale a acquis la forme souhaitée : il y a des nombres non nuls sur la diagonale principale, et des zéros sous la diagonale principale. Après cela, la procédure s'arrête et le nombre d'éléments non nuls sur la diagonale principale est égal au rang de la matrice. Le mineur de base correspond aux deux premières lignes et aux deux premières colonnes. A leur intersection se trouve une matrice d'ordre 2 avec un déterminant non nul. En même temps, en remontant la chaîne des transformations, on peut retracer d'où vient telle ou telle ligne (telle ou telle colonne) de la matrice finale, c'est-à-dire déterminer les lignes et les colonnes de base dans la matrice d'origine. Dans ce cas, les deux premières lignes et les deux premières colonnes forment la base mineure.