Théorème local de Moivre-Laplace. 0 Et 1, alors la probabilité P t n que, cet événement A se produira m fois dans n essais indépendants avec suffisamment de grand nombre n, approximativement égal

- Fonction gaussienne Et

Plus la formule approximative (2.7), appelée formule locale Moivre-Laplace. Valeurs de probabilité approximatives R tpu donnés par la formule locale (2.7), en pratique ils sont utilisés comme des valeurs exactes pour prue environ deux douzaines ou plus, c'est-à-dire étant donné que prue > 20.

Pour simplifier les calculs associés à l'application de la formule (2.7), un tableau des valeurs de la fonction /(x) a été établi (tableau I, donné en annexes). Lors de l’utilisation de ce tableau, il est nécessaire de garder à l’esprit les propriétés évidentes de la fonction /(x) (2.8).

• 1. Fonction/(X) est même, c'est-à-dire /(-x) = /(x).
• 2. Fonction/(X) - décroissant de façon monotone pour les valeurs positives X, et à x -> co /(x) -» 0.
• (En pratique on peut supposer que déjà pour x > 4 /(x) « 0.)

[> Exemple 2.5. Dans certaines régions, sur 100 familles, 80 possèdent un réfrigérateur. Trouvez la probabilité que sur 400 familles, 300 possèdent un réfrigérateur.

Solution. La probabilité qu’une famille possède un réfrigérateur est p = 80/100 = 0,8. Parce que n= 100 est suffisamment grand (condition prue= = 100 0,8(1-0,8) = 64 > 20 satisfait), puis on applique la formule locale de Moivre-Laplace.

Tout d'abord, nous déterminons par la formule (2.9)

Alors d'après la formule (2.7)

(la valeur /(2,50) a été trouvée dans le tableau I des annexes). La très faible valeur de probabilité /300 400 ne doit pas faire de doute, car outre l'événement

« exactement 300 familles sur 400 ont un réfrigérateur », 400 autres événements sont possibles : « 0 sur 400 », « 1 sur 400 »,..., « 400 sur 400 » avec leurs propres probabilités. Ensemble, ces événements forment groupe complet, ce qui signifie que la somme de leurs probabilités est égale à un. ?

Supposons que dans les conditions de l'exemple 2.5, il soit nécessaire de trouver la probabilité que de 300 à 360 familles (inclus) disposent de réfrigérateurs. Dans ce cas, selon le théorème d'addition, la probabilité de l'événement souhaité

En principe, chaque terme peut être calculé à l'aide de la formule locale de Moivre-Laplace, mais grand nombre termes rend le calcul très lourd. Dans de tels cas, le théorème suivant est utilisé.

Théorème intégral de Moivre - Laplace. Si la probabilité p d’occurrence de l’événement A dans chaque essai est constante et différente de 0 Et 1, alors la probabilité est, que le nombre m d'occurrences de l'événement A dans n essais indépendants est compris entre a et b (compris), pour un nombre suffisamment grand, n est approximativement égal à

- fonction(ou intégrale de probabilité) Laplace",

(La preuve du théorème est donnée dans la section 6.5.)

La formule (2.10) s'appelle la formule intégrale de Moivre-Laplace. Plus p, plus cette formule est précise. Lorsque la condition est remplie prue >> La formule intégrale (2.10), comme la formule locale, donne généralement une erreur de calcul des probabilités satisfaisante pour la pratique.

La fonction Ф(дг) est tabulée (voir tableau II des annexes). Pour utiliser ce tableau, vous devez connaître les propriétés de la fonction Ф(х).

1. Fonction f(x) impair, ceux. Ф(-х) = -Ф(х).

? Devons-nous procéder à un changement variable ? = -G. Alors (k =

= -(12. Les limites d'intégration pour la variable 2 seront 0 et X. Nous obtenons

puisque la valeur intégrale définie ne dépend pas de la désignation de la variable d'intégration. ?

2. Fonction Ф(х)croissant de manière monotone, et en x ->+donc f(.g) -> 1 (en pratique, nous pouvons supposer que déjà à x> 4 Ф(х)~ 1).

Puisque la dérivée de l'intégrale par rapport à la limite supérieure de la variable est égale à fonction intégrandeà la valeur de la limite supérieure, g.s.

, et est toujours positif, alors Ф(х) augmente de façon monotone

sur toute la droite numérique.

Faisons un changement de variable, alors les limites de l'intégration ne changent pas et

(puisque l'intégrale d'une fonction paire

Considérant que (Intégrale d'Euler - Poisson), nous obtenons

?

O Exemple 2.6. Sur la base des données de l'exemple 2.5, calculez la probabilité qu'entre 300 et 360 familles (inclus) sur 400 disposent d'un réfrigérateur.

Solution. On applique le théorème intégral de Moivre - Laplace (pr= 64 > 20). Tout d'abord, nous déterminons à l'aide des formules (2.12)

Maintenant, en utilisant la formule (2.10), en tenant compte des propriétés de Ф(.т), on obtient

(d'après le tableau II des annexes ?

Considérons un corollaire du théorème intégral de Moivre-Laplace. Conséquence. Si la probabilité p d’occurrence de l’événement A dans chaque essai est constante et différente de 0 et I, alors avec un nombre n d'essais indépendants suffisamment grand, la probabilité est que :

UN) le nombre m d'occurrences de l'événement A ne diffère pas du produit pr de plus de e > 0 (Par valeur absolue), ceux.

b) la fréquence de l'événement t/p A est dans les limites de a à p ( je vais l'allumer- énergiquement, c'est-à-dire

V) la fréquence de l'événement A ne diffère pas de plus de sa probabilité p UNE > 0 (en valeur absolue), c'est-à-dire

A) Inégalités |/?7-7?/?| équivaut à une double inégalité pr-e Par conséquent, selon la formule intégrale (2.10)

• b) Inégalités et équivaut à l'inégalité et quand a = pa Et b= /?r. Remplacement des quantités dans les formules (2.10), (2.12) UN Et b A l'aide des expressions obtenues, on obtient les formules à prouver (2.14) et (2.15).
• c) Inégalité mjn-р est équivalent à l'inégalité t-pr Substitution dans la formule (2.13) g = Ap, on obtient la formule (2.16) à prouver. ?

[> Exemple 2.7. Sur la base des données de l'exemple 2.5, calculez la probabilité que de 280 à 360 familles sur 400 disposent d'un réfrigérateur.

Solution. Calculer la probabilité P 400 (280 t pr = 320. Puis selon la formule (2.13)

[> Exemple 2.8. Selon les statistiques, en moyenne 87 % des nouveau-nés vivent jusqu'à 50 ans.

• 1. Trouvez la probabilité que sur 1 000 nouveau-nés, la proportion (fréquence) de ceux qui survivent jusqu'à 50 ans : a) soit comprise entre 0,9 et 0,95 ; b) ne différera pas de la probabilité de cet événement de plus de 0,04 (mais en valeur absolue).
• 2. Pour quel nombre de nouveau-nés avec une fiabilité de 0,95 la proportion de ceux qui survivent jusqu'à 50 ans sera comprise entre 0,86 et 0,88 ?

Solution. 1, a) Probabilité r qu'un nouveau-né vivra jusqu'à 50 ans est de 0,87. Parce que n= 1000 est grand (condition prd=1000 0,87 0,13 = = 113,1 > 20 satisfait), alors on utilise un corollaire du théorème intégral de Moivre-Laplace. Tout d'abord, nous déterminons par les formules (2.15)

Maintenant selon la formule (2.14)

1, b) Selon la formule (2.16)

Depuis l'inégalité équivaut à une inégalité

le résultat obtenu signifie qu'il est presque certain que de 0,83 à 0,91 nouveau-nés sur 1000 vivront jusqu'à 50 ans. ?

2. Par condition ou

D'après la formule (2.16) à A = 0,01

D'après le tableau II annexes F(G) = 0,95 à G = 1,96, donc,

où

ceux. condition (*) peut être garantie avec une augmentation significative du nombre de nouveau-nés envisagés pour n = 4345. ?

• La preuve du théorème est donnée dans la section 6.5. La signification probabiliste des quantités pr, prs( est établie au paragraphe 4.1 (voir note p. 130).
• La signification probabiliste de la valeur RF/n est établie au paragraphe 4.1.

MINISTÈRE DE L'ÉDUCATION DE LA FÉDÉRATION DE RUSSIE

UNIVERSITÉ D'ÉTAT DE MOSCOU

CONCEPTION ET TECHNOLOGIE

DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE

CM. RAZINOVA, V.G. SIDOROV

Détermination en physique moléculaire du coefficient de tension superficielle d'un liquide par la méthode d'élévation du liquide dans les capillaires

Lignes directrices pour les travaux de laboratoire n°23

Approuvé comme support pédagogique

Conseil de rédaction et d'édition du MGUDT

Conservateur de RIS Kozlov A.S.

Les travaux ont été examinés lors d'une réunion du Département de physique et recommandés pour publication.

Sidorov V.G., professeur agrégé doctorat

Réviseur : Assoc. Rode S.V., Ph.D.

R-23 Razinova S.M.Physique moléculaire.Détermination du coefficient de tension superficielle d'un liquide par la méthode de remontée du liquide dans les capillaires.: Instructions méthodologiques pour les travaux de laboratoire n° 23 / Razinova S.M., Sidorov V.G. - M. : IITs MGUDT, 2004 – 11 pages.

Lignes directrices pour la mise en œuvre travail de laboratoire Le n°23 sur le thème « Physique moléculaire. Détermination du coefficient de tension superficielle d'un liquide par la méthode d'élévation du liquide dans les capillaires » contient une section théorique consacrée aux manifestations des forces de tension superficielle, au mécanisme d'apparition d'une pression supplémentaire et calcul de sa valeur, phénomènes à la frontière liquide et solide, ainsi qu'une description du principe d'installation et de mesure, la procédure d'exécution des travaux, les questions de contrôle d'admission et de protection des travaux de laboratoire.

Destiné aux étudiants des spécialités : 06.08, 17.07, 21.02, 22.03, 25.06, 25.08, 25.09, 28.10, 28.11, 28.12, 33.02.

© Université d'État de Moscou

conception et technologie, 2004

Travail de laboratoire n°23.

“DÉTERMINATION DU COEFFICIENT DE TENSION SURFACE D'UN LIQUIDE PAR LA MÉTHODE DE MONTÉE DU LIQUIDE DANS LES CAPILLAIRES.

OBJECTIF DU TRAVAIL : familiarisation avec les fondements théoriques du phénomène de tension superficielle et détermination du coefficient de tension superficielle.

APPAREILS ET ACCESSOIRES : microscope de mesure, récipient avec de l'eau, deux capillaires, trépied avec support.

Introduction

1. Pression sous une surface d’eau courbe. La formule de Laplace.

L'une des manifestations des forces de tension superficielle est l'apparition d'une pression supplémentaire sous la surface courbe d'un liquide.

Considérons le mécanisme par lequel cette pression apparaît et calculons sa valeur.

Imaginons une surface sphérique courbe de rayon de courbure R et de centre de courbure au point O. Sélectionnons sur cette surface une section délimitée par un contour circulaire de rayon r (Fig. 1). Pour chaque segment de contour la force de tension superficielleF  i agira, dirigée tangentiellement à la surface perpendiculaire au segment de contour .

Une pression supplémentaire est créée en raison de la composante de force F  i, perpendiculaire à la surface transversale de rayon r avec une aire S= r 2.

.

La force de tension superficielle F peut être exprimée à partir de la définition du coefficient de tension superficielle comme F= = 2 r , alors

.

Puisque cos=r/R, alors

Si dans la formule (1) on substitue la valeur de courbure de surface H=1/R au lieu du rayon R, on obtient :

Laplace a prouvé que la formule (2) s'applique à une surface de n'importe quelle forme, si par H nous entendons la courbure moyenne de la surface au point auquel la pression supplémentaire est déterminée. En géométrie, il est prouvé qu'une quantité égale à

, (3)

reste constant pour toute paire de sections normales mutuellement perpendiculaires tracées à travers un point sur une surface arbitraire. Cette valeur est appelée courbure moyenne de la surface en un point donné. Les rayons R 1 et R 2 peuvent avoir différents signes selon l'endroit où se trouve le centre de courbure : si le centre de courbure se trouve sous la surface (Fig. 2, a), alors le rayon est positif, les composantes de la force de tension superficielle sont dirigées vers le bas et, par conséquent, la pression supplémentaire qui en résulte la force est également dirigée vers le bas ; si le centre de courbure se situe au-dessus de la surface (Fig. 2, b), alors le rayon est négatif, les composantes des forces de tension superficielle seront dirigées vers le haut et créeront une force de pression dirigée vers le haut. Dans le cas d'une surface plane (Fig. 2, c), il n'y a pas de pression supplémentaire (la force de traction tangente à la surface n'a pas de composante perpendiculaire à celle-ci).

Si on remplace (3) dans la formule (2), on obtient :

(4)

Cette formule s'appelle LES FORMULES DE LAPLACE, il permet de calculer la pression supplémentaire apparaissant sous une surface arbitrairement incurvée du liquide.

2. Phénomènes à l’interface entre liquide et solide. Lorsqu'un liquide et un solide entrent en contact avec un solide, il faut prendre en compte à la fois les forces d'interaction entre les molécules du liquide et les forces d'interaction entre les molécules du liquide et du solide. Si les forces d’adhésion d’un liquide et d’un corps solide sont supérieures aux forces d’adhésion des particules liquides, le liquide est appelé MOUILLAGE étant donné un corps solide, si vice versa, alors le liquide sera NON MOUILLABLE

c'est le corps. Un même corps peut être mouillé par un liquide et ne pas être mouillé par un autre. Par exemple, le verre est mouillé par l’eau et non par le mercure. Voyons comment le liquide mouillant se comporte près des parois du récipient (Fig. 3, a). Considérons la sphère d'action moléculaire de la surface liquide la plus proche de la paroi de la molécule. Cette molécule sera soumise aux forces F 1 - provenant des molécules du corps solide et F 2 - provenant des molécules du liquide. Puisque pour un liquide mouillant F 1 F 2, la résultante F sera dirigée profondément dans le liquide, perpendiculairement à sa surface, donc la surface du liquide près de la paroi n'est pas horizontale, mais se courbe vers le haut. Dans le cas d'un liquide non mouillant, par analogie, la surface du liquide près des parois se courbe vers le haut (Fig. 3, b). Donc,

la surface du liquide libre près des parois est courbe. Dans le cas du mouillage, cet angle (Fig. 3, a), si, parle alors d'un mouillage complet du corps solide par le liquide. En cas de non-mouillage, l'angle du bord est obtus : (Fig. 3, b), si, alors on parle de non-mouillage complet.

La figure 4, a montre la vue d'une goutte de liquide mouillant sur une surface horizontale, la figure 4, b - la vue d'une goutte de liquide qui ne mouille pas la surface.

3. Capillarité. Si un tuyau large est immergé dans un liquide, alors conformément à la Fig. 3, la surface du liquide près des parois se pliera. Ces types de surfaces courbes sont appelés ménisques.

Si le tube est suffisamment étroit, alors la surface du ménisque prendra une forme sphérique, ou la plus proche, et le rayon de courbure de la surface du liquide sera du même ordre que le rayon du tube. La courbure résultante de la surface du liquide va provoquer l’apparition d’une pression supplémentaire dont l’ampleur est déterminée dans le cas le plus général par la formule de Laplace (4). La pression supplémentaire qui en résulte en cas de mouillage entraînera à la montée du liquide dans un tube étroit jusqu'à une certaine hauteur (Fig. 5, a), et en cas de non-mouillage - à son abaissement(Fig.5, b).

Considérons ce phénomène en détail.

Si, par exemple, le liquide dans le tube est mouillé, alors la pression supplémentaire du liquide sous la surface du ménisque sera dirigée vers le haut (Fig. 2, b) et sa valeur conformément à (1) sera égale à

où  est le coefficient de tension superficielle, R est le rayon de courbure de la surface du liquide (comme mentionné ci-dessus, la surface du liquide dans un tube étroit peut être considérée comme faisant partie d'une sphère de rayon R).

Puisque dans le récipient dans lequel le tube est descendu, sous une surface plane la pression supplémentaire est nulle, le liquide dans le tube s'élève jusqu'à une hauteur telle que la pression hydrostatique de la colonne de liquide équilibre la pression supplémentaire de Laplace p. La pression hydrostatique créée par une colonne de liquide de hauteur h est égale à gh, où  est la densité du liquide, g est l'accélération gravitationnelle, alors la condition d'équilibre prendra la forme :

D'après la figure (5), il est clair que, où  est l'angle de contact de mouillage, alors à partir de la formule (5), on peut trouver la relation entre la hauteur h du liquide s'élevant le long d'un tube étroit et le rayon du tube r.

D'après (6), il ressort clairement que plus la hauteur de la montée dans un tube étroit est grande, plus son rayon est petit, donc la montée des liquides est particulièrement perceptible dans les tubes étroits. De tels tubes sont appelés CAPILLAIRES, et le phénomène même d'élévation ou d'abaissement des liquides qu'ils contiennent est CAPILLARITÉ.

Sur la base de la théorie énoncée, il est possible de déterminer expérimentalement le coefficient de tension superficielle d'un liquide.