Remarque 1

Si vous souhaitez convertir un nombre d'un système numérique à un autre, il est plus pratique de le convertir d'abord en système numérique décimal, puis de le convertir ensuite du système numérique décimal en tout autre système numérique.

Règles pour convertir les nombres de n'importe quel système numérique en décimal

Dans la technologie informatique qui utilise l’arithmétique automatique, la conversion des nombres d’un système numérique à un autre joue un rôle important. Ci-dessous, nous donnons les règles de base pour de telles transformations (traductions).

Lors de la conversion d'un nombre binaire en décimal, vous devez représenter le nombre binaire sous la forme polynôme, dont chaque élément est représenté comme le produit d'un chiffre d'un nombre et de la puissance correspondante du nombre de base, dans ce cas $2$, et vous devez ensuite calculer le polynôme selon les règles de l'arithmétique décimale :

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Figure 1. Tableau 1

Exemple 1

Convertissez le nombre $11110101_2$ au système numérique décimal.

Solution. En utilisant le tableau donné des puissances $1$ de la base $2$, nous représentons le nombre comme un polynôme :

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Pour convertir un nombre de système de nombres octaux en décimal, vous devez le représenter comme un polynôme, dont chaque élément est représenté comme le produit d'un chiffre du nombre et de la puissance correspondante du nombre de base, dans ce cas $8$, puis vous devez calculer le polynôme selon les règles de l'arithmétique décimale :

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Figure 2. Tableau 2

Exemple 2

Convertissez le nombre $75013_8$ au système numérique décimal.

Solution. En utilisant le tableau donné des puissances $2$ de la base $8$, nous représentons le nombre comme un polynôme :

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Pour convertir un nombre hexadécimal en décimal, vous devez le représenter sous forme de polynôme, dont chaque élément est représenté comme le produit d'un chiffre du nombre et de la puissance correspondante du nombre de base, dans ce cas $16$, puis vous devez calculer le polynôme selon les règles de l'arithmétique décimale :

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Figure 3. Tableau 3

Exemple 3

Convertissez le nombre $FFA2_(16)$ au système de nombres décimaux.

Solution. En utilisant le tableau donné des puissances $3$ de la base $8$, nous représentons le nombre comme un polynôme :

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Règles de conversion des nombres du système numérique décimal vers un autre

• Pour convertir un nombre du système numérique décimal au système binaire, il doit être divisé séquentiellement par 2 $ jusqu'à ce qu'il y ait un reste inférieur ou égal à 1 $. Un nombre dans le système binaire est représenté comme une séquence du dernier résultat de la division et des restes de la division dans l'ordre inverse.

Exemple 4

Convertissez le nombre $22_(10)$ en système de nombres binaires.

Solution:

Graphique 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Pour convertir un nombre du système décimal en octal, il doit être divisé séquentiellement par 8$ jusqu'à ce qu'il y ait un reste inférieur ou égal à 7$. Un nombre dans le système de numération octal est représenté comme une séquence de chiffres du résultat de la dernière division et les restes de la division dans l'ordre inverse.

Exemple 5

Convertissez le nombre $571_(10)$ en système numérique octal.

Solution:

Graphique 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Pour convertir un nombre du système numérique décimal au système hexadécimal, il faut le diviser successivement par 16$ jusqu'à ce qu'il y ait un reste inférieur ou égal à 15$. Un nombre dans le système hexadécimal est représenté comme une séquence de chiffres du résultat de la dernière division et du reste de la division dans l'ordre inverse.

Exemple 6

Convertissez le nombre $7467_(10)$ en système numérique hexadécimal.

Solution:

Graphique 6.

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Afin de traduire fraction correcte du système de nombres décimal au système de nombres non décimal, il est nécessaire de multiplier séquentiellement la partie fractionnaire du nombre à convertir par la base du système vers lequel il doit être converti. Dans le nouveau système, les fractions seront représentées comme des parties entières de produits, en commençant par la première.

Par exemple : $0,3125_((10))$ dans le système de nombres octaux ressemblera à $0,24_((8))$.

Dans ce cas, vous pouvez rencontrer un problème lorsqu'une fraction décimale finie peut correspondre à une fraction infinie (périodique) dans le système numérique non décimal. Dans ce cas, le nombre de chiffres de la fraction représentée dans le nouveau système dépendra de la précision requise. Il convient également de noter que les entiers restent des entiers et que les fractions propres restent des fractions dans n'importe quel système numérique.

Règles de conversion des nombres d'un système de numérotation binaire à un autre

• Pour convertir un nombre du système de numération binaire en octal, il doit être divisé en triades (triples de chiffres), en commençant par le chiffre le moins significatif, si nécessaire, en ajoutant des zéros à la triade principale, puis en remplaçant chaque triade par le chiffre octal correspondant. selon le tableau 4.

Figure 7. Tableau 4

Exemple 7

Convertissez le nombre $1001011_2$ en système numérique octal.

Solution. À l'aide du tableau 4, nous convertissons le nombre du système de nombres binaires en octal :

$001 001 011_2 = 113_8$

• Pour convertir un nombre du système de numérotation binaire en hexadécimal, il doit être divisé en tétrades (quatre chiffres), en commençant par le chiffre le moins significatif, si nécessaire, en ajoutant des zéros à la tétrade la plus significative, puis en remplaçant chaque tétrade par le chiffre octal correspondant. selon le tableau 4.

Pour convertir rapidement des nombres du système numérique décimal au système binaire, vous devez avoir une bonne connaissance des nombres « 2 à la puissance ». Par exemple, 2 10 =1024, etc. Cela vous permettra de résoudre certains exemples de traduction littéralement en quelques secondes. L'une de ces tâches est Problème A1 de la démo USE 2012. Bien entendu, vous pouvez prendre un temps long et fastidieux pour diviser un nombre par « 2 ». Mais il vaut mieux décider différemment, ce qui permet de gagner un temps précieux sur l'examen.

La méthode est très simple. Son essence est la suivante : si le nombre qui doit être converti du système décimal est égal au nombre "2 à la puissance", alors ce nombre dans le système binaire contient un nombre de zéros égal à la puissance. On ajoute un « 1 » devant ces zéros.

• Convertissons le nombre 2 du système décimal. 2=2 1 . Par conséquent, dans le système binaire, un nombre contient 1 zéro. On met « 1 » devant et on obtient 10 2.
• Convertissons 4 du système décimal. 4=2 2 . Ainsi, dans le système binaire, un nombre contient 2 zéros. On met « 1 » devant et on obtient 100 2.
• Convertissons 8 du système décimal. 8=2 3 . Ainsi, dans le système binaire, un nombre contient 3 zéros. On met « 1 » devant et on obtient 1000 2.

De même pour les autres nombres "2 à la puissance".

Si le nombre à convertir est inférieur de 1 au nombre « 2 à la puissance », alors dans le système binaire, ce nombre est constitué uniquement d'unités dont le nombre est égal à la puissance.

• Convertissons 3 du système décimal. 3=2 2 -1. Ainsi, dans le système binaire, un nombre contient 2 uns. Nous obtenons 11 2.
• Convertissons 7 du système décimal. 7=2 3 -1. Ainsi, dans le système binaire, un nombre contient 3 uns. Nous obtenons 111 2.

Sur la figure, les carrés indiquent la représentation binaire du nombre et la couleur rose à gauche indique la représentation décimale.

La traduction est similaire pour les autres nombres « 2 puissance-1 ».

Il est clair que la traduction des nombres de 0 à 8 peut se faire rapidement soit par division, soit simplement connaître par cœur leur représentation dans le système binaire. J'ai donné ces exemples pour que vous compreniez le principe de cette méthode et que vous l'utilisiez pour traduire des « nombres plus impressionnants », par exemple pour traduire les nombres 127, 128, 255, 256, 511, 512, etc.

Vous pouvez rencontrer de tels problèmes lorsque vous devez convertir un nombre qui n'est pas égal au nombre « 2 à la puissance », mais qui s'en rapproche. Elle peut être supérieure ou inférieure à 2 puissance. La différence entre le nombre traduit et le nombre « 2 à la puissance » devrait être faible. Par exemple, jusqu'à 3. La représentation des nombres de 0 à 3 dans le système binaire doit simplement être connue sans traduction.

Si le nombre est supérieur à , résolvez comme ceci :

Nous convertissons d’abord le nombre « 2 à la puissance » dans le système binaire. Et puis on y ajoute la différence entre le nombre « 2 à la puissance » et le nombre en cours de traduction.

Par exemple, convertissons 19 du système décimal. Il est supérieur au nombre « 2 à la puissance » de 3.

16=2 4 . 16 10 =10000 2 .

3 10 =11 2 .

19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .

Si le nombre est inférieur au nombre « 2 à la puissance », alors il est plus pratique d'utiliser le nombre « 2 à la puissance-1 ». Nous le résolvons comme ceci :

Nous convertissons d’abord le nombre « 2 à la puissance 1 » dans le système binaire. Et puis nous soustrayons la différence entre le nombre « 2 puissance 1 » et le nombre à traduire.

Par exemple, convertissons 29 du système décimal. Il est supérieur au nombre « 2 puissance-1 » de 2. 29=31-2.

31 10 =11111 2 .

2 10 =10 2 .

29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2

Si la différence entre le nombre à traduire et le nombre « 2 à la puissance » est supérieure à trois, vous pouvez alors diviser le nombre en ses composants, convertir chaque partie en système binaire et additionner.

Par exemple, convertissez le nombre 528 du système décimal. 528=512+16. Nous traduisons 512 et 16 séparément.
512=2 9 . 512 10 =1000000000 2 .
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
Ajoutons-le maintenant dans une colonne :

Instructions

Vidéo sur le sujet

Dans le système de comptage que nous utilisons quotidiennement, il y a dix chiffres – de zéro à neuf. C'est pourquoi on l'appelle décimal. Cependant, dans les calculs techniques, notamment ceux liés aux ordinateurs, d'autres systèmes, spécifiquement binaire et hexadécimal. Il faut donc pouvoir traduire Nombres d'un systèmes compter à un autre.

Vous aurez besoin

• - un morceau de papier ;
• - un crayon ou un stylo ;
• - calculatrice.

Instructions

Le système binaire est le plus simple. Il n'a que deux chiffres : zéro et un. Chaque chiffre du binaire Nombres, en partant de la fin, correspond à une puissance de deux. Deux dans est égal à un, dans le premier - deux, dans le deuxième - quatre, dans le troisième - huit, et ainsi de suite.

Supposons que l'on vous donne le nombre binaire 1010110. Les unités qu'il contient occupent les deuxième, troisième, cinquième et septième places. Par conséquent, dans le système décimal, ce nombre est 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.

Problème inverse - décimal Nombres système. Disons que vous avez le nombre 57. Pour l'obtenir, vous devez diviser séquentiellement le nombre par 2 et écrire le reste. Le nombre binaire sera construit de la fin au début.
La première étape vous donnera le dernier chiffre : 57/2 = 28 (reste 1).
Ensuite, vous obtenez le deuxième à partir de la fin : 28/2 = 14 (reste 0).
Autres étapes : 14/2 = 7 (reste 0) ;
7/2 = 3 (reste 1) ;
3/2 = 1 (reste 1) ;
1/2 = 0 (reste 1).
C'est la dernière étape car le résultat de la division est nul. En conséquence, vous obtenez le nombre binaire 111001.
Vérifiez votre réponse : 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.

Le second, utilisé en informatique, est hexadécimal. Il ne comporte pas dix, mais seize chiffres. Pour éviter de nouvelles conventions, les dix premiers chiffres de l'hexadécimal systèmes sont désignés par des nombres ordinaires, et les six autres - par des lettres latines : A, B, C, D, E, F. Ils correspondent à la notation décimale Nombres m de 10 à 15. Pour éviter toute confusion, le nombre écrit en hexadécimal est précédé du signe # ou des symboles 0x.

Pour créer un nombre en hexadécimal systèmes, vous devez multiplier chacun de ses chiffres par la puissance correspondante de seize et additionner les résultats. Par exemple, le nombre #11A en notation décimale est 10*(16^0) + 1*(16^1) + 1*(16^2) = 10 + 16 + 256 = 282.

Conversion inverse du nombre décimal systèmes en hexadécimal se fait en utilisant la même méthode de restes qu'en binaire. Par exemple, prenons le nombre 10000. En le divisant systématiquement par 16 et en notant les restes, vous obtenez :
10000/16 = 625 (reste 0).
625/16 = 39 (reste 1).
39/16 = 2 (reste 7).
2/16 = 0 (reste 2).
Le résultat du calcul sera le nombre hexadécimal #2710.
Vérifiez votre réponse : #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.

Transfert Nombresà partir de l'hexadécimal systèmes Il est beaucoup plus facile de convertir en binaire. Le nombre 16 est un deux : 16 = 2^4. Par conséquent, chaque chiffre hexadécimal peut être écrit sous la forme d’un nombre binaire à quatre chiffres. Si vous avez moins de quatre chiffres dans un nombre binaire, ajoutez des zéros non significatifs.
Par exemple, #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110.
Vérifiez la réponse : les deux Nombres en notation décimale, ils sont égaux à 8062.

Pour traduire, vous devez diviser le nombre binaire en groupes de quatre chiffres, en commençant par la fin, et remplacer chacun de ces groupes par un chiffre hexadécimal.
Par exemple, 11000110101001 devient (0011)(0001)(1010)(1001), ce qui en notation hexadécimale est #31A9. L'exactitude de la réponse est confirmée par conversion en notation décimale : les deux Nombres sont égaux à 12713.

Astuce 5 : Comment convertir un nombre en binaire

En raison de son utilisation limitée de symboles, le système binaire est le plus pratique pour une utilisation dans les ordinateurs et autres appareils numériques. Il n'y a que deux symboles : 1 et 0, donc ceci système utilisé dans le fonctionnement des registres.

Instructions

Le binaire est positionnel, c'est-à-dire La position de chaque chiffre dans un nombre correspond à un certain chiffre, qui est égal à deux à la puissance appropriée. Le degré commence à zéro et augmente à mesure que vous vous déplacez de droite à gauche. Par exemple, nombre 101 est égal à 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5.

Les systèmes octal, hexadécimal et décimal sont également largement utilisés parmi les systèmes positionnels. Et si pour les deux premières la deuxième méthode est plus applicable, alors pour la traduction des deux, elles sont applicables.

Considérez un nombre décimal comme binaire système par division séquentielle par 2. Pour convertir un nombre décimal nombre 25 V

Examinons l'un des sujets les plus importants de l'informatique : Dans les programmes scolaires, elle apparaît plutôt « modestement », probablement en raison du manque d’heures qui lui sont allouées. Connaissances sur ce sujet, notamment sur traduction de systèmes numériques, sont une condition préalable à la réussite de l'examen d'État unifié et à l'admission dans les universités des facultés concernées. Ci-dessous, nous discutons en détail de concepts tels que systèmes de numérotation positionnels et non positionnels, des exemples de ces systèmes numériques sont donnés, des règles sont présentées pour convertir des nombres décimaux entiers, des fractions décimales appropriées et des nombres décimaux mixtes vers tout autre système numérique, pour convertir des nombres de n'importe quel système numérique en décimal, pour convertir des systèmes numériques octaux et hexadécimaux en binaire. système de numérotation. Il y a beaucoup de problèmes sur ce sujet lors des examens. La capacité de les résoudre est l'une des exigences des candidats. Prochainement : Pour chaque sujet de la section, en plus du matériel théorique détaillé, presque toutes les options possibles seront présentées tâches pour l'auto-apprentissage. De plus, vous aurez la possibilité de télécharger gratuitement à partir d'un service d'hébergement de fichiers des solutions détaillées toutes faites à ces problèmes, illustrant différentes manières d'obtenir la bonne réponse.

systèmes de numérotation positionnelle.

Systèmes de numérotation non positionnels- les systèmes numériques dans lesquels la valeur quantitative d'un chiffre ne dépend pas de sa localisation dans le nombre.

Les systèmes numériques non positionnels incluent, par exemple, le romain, où au lieu de chiffres, il y a des lettres latines.

Ici, la lettre V représente 5 quel que soit son emplacement. Cependant, il convient de mentionner que bien que le système de numération romain soit un exemple classique de système de numération non positionnel, il n'est pas complètement non positionnel, car Le plus petit nombre devant le plus grand y est soustrait :

systèmes de numérotation positionnelle.

Systèmes de numérotation positionnelle- les systèmes numériques dans lesquels la valeur quantitative d'un chiffre dépend de sa localisation dans le nombre.

Par exemple, si nous parlons du système de nombres décimaux, alors dans le nombre 700, le nombre 7 signifie « sept cents », mais le même nombre dans le nombre 71 signifie « sept dizaines », et dans le nombre 7020 - « sept mille ». .

Chaque système de numérotation positionnelle a le sien base. Un nombre naturel supérieur ou égal à deux est choisi comme base. Il est égal au nombre de chiffres utilisés dans un système numérique donné.

Par exemple:
• Binaire- système de numérotation positionnelle en base 2.
• Quaternaire- système de numérotation positionnelle en base 4.
• Quintuple- système de numérotation positionnelle en base 5.
• Octal- système de numérotation positionnelle en base 8.
• Hexadécimal- système de numérotation positionnelle en base 16.

Pour réussir à résoudre des problèmes sur le thème « Systèmes de nombres », l'étudiant doit connaître par cœur la correspondance des nombres binaires, décimaux, octaux et hexadécimaux jusqu'à 16 10 :

Il est utile de savoir comment les nombres sont obtenus dans ces systèmes numériques. Vous pouvez deviner qu'en octal, hexadécimal, ternaire et autres systèmes de numérotation positionnelle tout se passe de la même manière que le système décimal auquel nous sommes habitués :

Un est ajouté au numéro et un nouveau numéro est obtenu. Si la place des unités devient égale à la base du système numérique, on augmente le nombre de dizaines de 1, etc.

Cette « transition de soi » est ce qui effraie la plupart des étudiants. En fait, tout est assez simple. La transition se produit si le chiffre des unités devient égal à base numérique, nous augmentons le nombre de dizaines de 1. Beaucoup, se souvenant du bon vieux système décimal, sont instantanément confus au sujet des chiffres de cette transition, car les dizaines décimales et, par exemple, binaires sont des choses différentes.

À partir de là, les étudiants débrouillards développent « leurs propres méthodes » (étonnamment... fonctionnelles) en remplissant, par exemple, des tables de vérité dont les premières colonnes (valeurs variables) sont en fait remplies de nombres binaires par ordre croissant.

Par exemple, regardons comment obtenir des nombres système octal: On ajoute 1 au premier nombre (0), on obtient 1. Puis on ajoute 1 à 1, on obtient 2, etc. à 7. Si on ajoute un à 7, on obtient un nombre égal à la base du système numérique, c'est-à-dire 8. Ensuite, vous devez augmenter la position des dizaines d'une unité (nous obtenons la dizaine octale - 10). Viennent ensuite évidemment les nombres 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...

Règles de conversion d'un système numérique à un autre.

1 Conversion de nombres décimaux entiers vers tout autre système numérique.

Le nombre doit être divisé par nouvelle base du système de numérotation. Le premier reste de la division est le premier chiffre mineur du nouveau numéro. Si le quotient de la division est inférieur ou égal à la nouvelle base, alors il (le quotient) doit être à nouveau divisé par la nouvelle base. La division doit être poursuivie jusqu'à obtenir un quotient inférieur à la nouvelle base. Il s'agit du chiffre le plus élevé du nouveau nombre (vous devez vous rappeler que, par exemple, dans le système hexadécimal, après 9 il y a des lettres, c'est-à-dire que si le reste est 11, vous devez l'écrire sous la forme B).

Exemple ("division par coin") : Convertissons le nombre 173 10 au système numérique octal.

Ainsi, 173 10 =255 8

2 Conversion de fractions décimales régulières vers tout autre système numérique.

Le nombre doit être multiplié par la nouvelle base du système de numérotation. Le chiffre devenu partie entière est le chiffre le plus élevé de la partie fractionnaire du nouveau nombre. pour obtenir le chiffre suivant, la partie fractionnaire du produit résultant doit à nouveau être multipliée par une nouvelle base du système numérique jusqu'à ce que la transition vers la partie entière se produise. Nous continuons la multiplication jusqu'à ce que la partie fractionnaire devienne nulle, ou jusqu'à ce que nous atteignions la précision spécifiée dans le problème (« ... calculer avec une précision de, par exemple, deux décimales »).

Exemple : Convertissons le nombre 0,65625 10 en système numérique octal.