Trouver le sens d'une expression : règles, exemples, solutions. Expressions numériques

Cet article parle des parenthèses en mathématiques et discute des types et des applications, des termes et des méthodes d'utilisation pour résoudre ou décrire du matériel. Enfin, des exemples similaires seront résolus avec des commentaires détaillés.

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Types de base de parenthèses, notation, terminologie

Pour résoudre des problèmes de mathématiques, trois types de parenthèses sont utilisés : () , , ( ) . Les parenthèses de ce type] et [, appelées contrecoups, ou< и >, c'est-à-dire sous la forme d'un coin. Leur utilisation est toujours par paire, c'est-à-dire qu'il y a une parenthèse ouvrante et fermante dans toute expression, alors cela a du sens. les parenthèses permettent de délimiter et de définir la séquence d'actions.

Une accolade impaire du type ( se trouve lors de la résolution de systèmes d'équations, qui désigne l'intersection d'ensembles donnés, et la parenthèse [ est utilisée lors de leur combinaison. Ensuite, nous examinerons leur application.

Parenthèses pour indiquer l'ordre dans lequel les actions sont effectuées

Le but principal des parenthèses est d’indiquer l’ordre des actions à effectuer. L'expression peut alors avoir une ou plusieurs paires de parenthèses. Selon la règle, l'action entre parenthèses est toujours effectuée en premier, suivie de la multiplication et de la division, puis de l'addition et de la soustraction.

Exemple 1

Regardons l'expression donnée à titre d'exemple. Si un exemple est donné comme 5 + 3 - 2, alors il est évident que les actions sont exécutées séquentiellement. Lorsque la même expression est écrite entre parenthèses, leur séquence change. Autrement dit, lorsque (5 + 3) - 2, la première action est effectuée entre parenthèses. Dans ce cas, il n'y aura aucun changement. Si l'expression est écrite sous la forme 5 + (3 - 2), alors les calculs entre parenthèses sont effectués en premier, suivis de l'addition avec le nombre 5. Dans ce cas, cela n’affectera pas la valeur d’origine.

Exemple 2

Regardons un exemple qui montrera comment changer la position des parenthèses peut modifier le résultat. Si l'expression 5 + 2 · 4 est donnée, il est clair que la multiplication est effectuée en premier, suivie de l'addition. Lorsque l'expression ressemble à (5 + 2) · 4, l'action entre parenthèses sera effectuée en premier, après quoi la multiplication sera effectuée. Les résultats de l’expression varient.

Les expressions peuvent contenir plusieurs paires de parenthèses, puis l'exécution des actions commence par la première. Dans une expression de la forme (4 + 5 · 2) − 0, 5 : (7 − 2) : (2 + 1 + 12) il est clair que les opérations entre parenthèses sont effectuées d'abord, puis la division et enfin la soustraction.

Il existe des exemples où il y a des parenthèses complexes imbriquées de la forme 4 6 - 3 + 8 : 2 et 5 (1 + (8 - 2 3 + 5) - 2)) - 4. Ensuite, l'exécution des actions commence par les parenthèses intérieures. Ensuite, des progrès sont réalisés vers l'extérieur.

Exemple 3

Si vous avez l'expression 4 · 6 - 3 + 8 : 2, alors évidemment les étapes entre parenthèses sont effectuées en premier. Cela signifie que vous devez soustraire 3 de 6, multiplier par 4 et ajouter 8. Enfin, divisez par 2. C'est le seul moyen d'obtenir la bonne réponse.

La lettre peut utiliser des parenthèses de différentes tailles. Ceci est fait pour des raisons de commodité et pour permettre de distinguer une paire d'une autre. Les supports extérieurs sont toujours plus grands que les supports intérieurs. Autrement dit, nous obtenons une expression de la forme 5 - 1 : 2 + 1 2 + 3 - 1 3 · 2 · 3 - 4. Il est rare de voir l'utilisation de parenthèses surlignées (2 + 2 · (2 ​​​​​​+ (5 · 4 − 4))) · (6 : 2 − 3 · 7) · (5 − 3) ou d'utiliser des crochets carrés, par exemple, [ 3 + 5 · ( 3 − 1) ] · 7 ou bouclé ( 5 + [ 7 − 12 : (8 − 5) : 3 ] + 7 − 2 ) : [ 3 + 5 + 6 : (5 − 2 − 1) ] .

Avant de procéder à la solution, il est important de déterminer correctement l'ordre des actions et de trier toutes les paires de parenthèses nécessaires. Pour ce faire, ajoutez différents types de supports ou changez leur couleur. Marquer une parenthèse avec une couleur différente est pratique pour la résolution, mais prend beaucoup de temps, c'est pourquoi, dans la pratique, les crochets ronds, bouclés et carrés sont le plus souvent utilisés.

Nombres négatifs entre parenthèses

S'il est nécessaire de représenter des nombres négatifs, utilisez des parenthèses dans l'expression. Une entrée telle que 5 + (− 3) + (− 2) · (− 1) , 5 + - 2 3 , 2 5 7 - 5 + - 6 7 3 · (- 2) · - 3 , 5 est destinée à ordonner les nombres négatifs dans une expression.

Les parenthèses ne sont pas utilisées pour un nombre négatif lorsqu'il apparaît au début d'une expression ou d'une fraction. Si nous avons un exemple de la forme − 5 4 + (− 4) : 2, alors il est évident que le signe moins avant 5 ne peut pas être mis entre parenthèses, mais pour 3 - 0, 4 - 2, 2 3 + 7 + 3 - 1 : 2 le chiffre 2, 2 est écrit au début, ce qui signifie que les parenthèses ne sont pas non plus nécessaires. Avec des parenthèses vous pouvez écrire l'expression (− 5) 4 + (− 4) : 2 ou 3 - 0, 4 - 2, 2 3 + 7 + 3 - 1 : 2. Une entrée entre parenthèses est considérée comme plus stricte.

Le signe moins peut être placé non seulement devant un nombre, mais également devant des variables, des puissances, des racines, des fractions, des fonctions, ils doivent alors être mis entre parenthèses. Ce sont des entrées telles que 5 · (− x) , 12 : (− 22) , 5 · - 3 + 7 - 1 + 7 : - x 2 + 1 3 , 4 3 4 - - x + 2 x - 1 , 2 · (- (3 + 2 · 4) , 5 · (- log 3 2) - (- 2 x 2 + 4) , sin x · (- cos 2 x) + 1

Parenthèses pour les expressions avec lesquelles les actions sont effectuées

L'utilisation de parenthèses est associée à l'indication dans l'expression des actions où il y a élévation à une puissance, prise d'une dérivée ou d'une fonction. Ils vous permettent d'organiser des expressions pour faciliter une résolution ultérieure.

Parenthèses dans les expressions avec puissances

Une expression avec un diplôme ne doit pas toujours être mise entre parenthèses, car le diplôme est en exposant. S'il existe une notation de la forme 2 x + 3, alors il est évident que x + 3 est un exposant. Lorsque le degré est écrit sous la forme du signe ^, le reste de l'expression doit être écrit avec l'ajout de parenthèses, c'est-à-dire 2 ^ (x + 3) . Si vous écrivez la même expression sans parenthèses, vous obtenez une expression complètement différente. Avec 2 ^ x + 3, la sortie est 2 x + 3.

La base du diplôme n’a pas besoin de parenthèses. L’entrée prend donc la forme 0 3, 5 x 2 + 5, y 0, 5. Si la base a un nombre fractionnaire, des parenthèses peuvent être utilisées. On obtient des expressions de la forme (0, 75) 2, 2 2 3 32 + 1, (3 x + 2 y) - 3, log 2 x - 2 - 1 2 x - 1.

Si l'expression de la base de la puissance n'est pas mise entre parenthèses, alors l'exposant peut s'appliquer à l'ensemble de l'expression, ce qui conduira à une décision incorrecte. Lorsqu'il existe une expression de la forme x 2 + y, et que - 2 est son degré, alors l'entrée prendra la forme (x 2 + y) - 2. Sans les parenthèses, l'expression deviendrait x 2 + y - 2 , ce qui est une expression complètement différente.

Si la base de la puissance est un logarithme ou une fonction trigonométrique avec un exposant entier, alors la notation devient sin, cos, t g, c t g, a r c sin, a r c cos, a r c t g, a r c c t g, log, ln ou l g. Lors de l'écriture d'une expression de la forme sin 2 x, a r c cos 3 y, ln 5 e et log 5 2 x on voit que les parenthèses devant les fonctions ne changent pas le sens de l'expression entière, c'est-à-dire qu'elles sont équivalentes. Nous obtenons des enregistrements de la forme (sin x) 2, (arc cos y) 3, (ln e) 5 et connectez-vous 5 x 2. Il est acceptable d'omettre les parenthèses.

Parenthèses dans les expressions avec racines

L'utilisation de parenthèses dans une expression radicale n'a aucun sens, puisque les expressions de la forme x + 1 et x + 1 sont équivalentes. Les parenthèses ne changeront pas la solution.

Parenthèses dans les expressions avec fonctions trigonométriques

S'il existe des expressions négatives pour des fonctions telles que sinus, cosinus, tangente, cotangente, arc sinus, arc cosinus, arc tangente, arc cotangente, alors des parenthèses doivent être utilisées. Cela vous permettra de déterminer correctement si une expression appartient à une fonction existante. Autrement dit, nous obtenons des enregistrements de la forme sin (− 5) , cos (x + 2) , a r c t g 1 x - 2 2 3 .

Lorsque vous écrivez sin, cos, t g, c t g, a r c sin, a r c cos, a r c t g et a r c t g, n'utilisez pas de parenthèses pour le nombre donné. Lorsqu'il y a une expression dans l'enregistrement, il est alors logique de les mettre. C'est-à-dire sin π 3, t g x + π 2, a r c sin x 2, a r c t g 3 3 avec racines et puissances, cos x 2 - 1, a r c t g 3 2, c t g x + 1 - 3 et expressions similaires.

Si l'expression contient plusieurs angles tels que x, 2 x, 3 x, etc., les parenthèses sont omises. Il est permis d'écrire sous la forme sin 2 x, c t g 7 x, cos 3 α. Pour éviter toute ambiguïté, des parenthèses peuvent être ajoutées à une expression. On obtient alors une notation de la forme sin (2 · x) : 2 au lieu de sin 2 · x: 2 .

Parenthèses dans les expressions avec logarithmes

Le plus souvent, toutes les expressions d'une fonction logarithmique sont mises entre parenthèses pour une solution plus correcte. Autrement dit, nous obtenons ln (e − 1 + e 1) , log 3 (x 2 + 3 · x + 7) , l g ((x + 1) · (x − 2)) . L'omission des parenthèses est autorisée lorsqu'il est clairement clair à quelle expression appartient le logarithme lui-même. S'il existe une fraction, une racine ou une fonction, vous pouvez écrire des expressions sous la forme log 2 x 5, l g x - 5, ln 5 · x - 5 3 - 5.

Supports à l'intérieur

Lorsqu'il y a des limites, utilisez des parenthèses pour représenter l'expression de la limite elle-même. Autrement dit, pour les sommes, les produits, les quotients ou les différences, il est d'usage d'écrire les expressions entre parenthèses. On obtient que lim n → 5 1 n + n - 2 et lim x → 0 x + 5 x - 3 x - 1 x + x + 1 : x + 2 x 2 + 3. L'omission des parenthèses est attendue lorsqu'il existe une fraction simple ou lorsqu'il est évident à quelle expression le signe fait référence. Par exemple, lim x → ∞ 1 x ou lim x → 0 (1 + x) 1 x.

Parenthèses et dérivées

Lorsque vous recherchez une dérivée, vous pouvez souvent utiliser des parenthèses. S'il existe une expression complexe, l'entrée entière est placée entre parenthèses. Par exemple, (x + 1) " ou sin x x - x + 1 .

Intégrandes entre parenthèses

Si vous devez intégrer une expression, vous devez l’écrire entre parenthèses. Alors l'exemple prendra la forme ∫ (x 2 + 3 x) d x , ∫ - 1 1 (sin 2 x - 3) d x , ∭ V (3 x y + z) d x d y d z .

Parenthèses séparant un argument de fonction

Lorsqu'une fonction est présente, les parenthèses sont le plus souvent utilisées pour l'indiquer. Lorsqu'on lui donne une fonction f avec une variable x, alors la notation prend la forme f (x) . S'il existe plusieurs arguments de fonction, alors une telle fonction prendra la forme F (x, y, z, t).

Parenthèses en décimales périodiques

L'utilisation d'un point est due à l'utilisation de parenthèses lors de l'écriture. Le point de la fraction décimale elle-même est mis entre parenthèses. Si on nous donne une fraction décimale de la forme 0, 232323... alors il est évident que nous mettons 2 et 3 entre parenthèses. L'entrée prend la forme 0, (23). Ceci est typique de toute notation d’une fraction périodique.

Parenthèses pour désigner les intervalles numériques

Afin de représenter les intervalles numériques, quatre types de parenthèses sont utilisés : () , (] , [) et . Les intervalles dans lesquels la fonction existe, c'est-à-dire a une solution, sont écrits entre parenthèses. Une parenthèse signifie que le numéro n'est pas inclus dans la zone de définition, un crochet signifie qu'il l'est. En présence de l'infini, il est d'usage de représenter une parenthèse.

Autrement dit, en décrivant les intervalles, nous obtenons que (0, 5) , [ − 0, 5, 12) , - 10 1 2 , - 5 2 3 , [ 5 , 700 ] , (− ∞ , − 4 ] , (− 3 , + ∞) , (− ∞ , + ∞) Toute la littérature n'utilise pas les parenthèses de la même manière. Il y a des cas où vous pouvez voir une notation de la forme ] 0, 1 [, ce qui signifie (0, 1) ou [ 0, 1 [, ce qui signifie [ 0 , 1) , et le sens de l'expression ne change pas.

Désignations des systèmes et ensembles d'équations et d'inégalités

Les systèmes d'équations et d'inéquations sont généralement écrits à l'aide d'une accolade de la forme ( . Cela signifie que toutes les inégalités ou équations sont unies par cette parenthèse. Regardons l'exemple d'utilisation d'une parenthèse. Un système d'équations de la forme x 2 - 1 = 0 x 2 + x - 2 = 0 ou inégalités à deux variables x 2 - y > 0 3 x + 2 y ≤ 3, cos x 1 2 x + π 3 = 0 2 x 2 - 4 ≥ 5 - un système composé de deux équations et d’une inégalité.

L'utilisation d'accolades fait référence à la représentation de l'intersection d'ensembles. Lors de la résolution d’un système avec une accolade, nous arrivons en fait à l’intersection des équations données. Le crochet est utilisé pour joindre.

Les équations et les inégalités sont désignées par [ parenthèses s'il est nécessaire de représenter un ensemble. On obtient alors des exemples de la forme (x - 1) (x + 7) = 0 x - 2 = 12 + x 2 - x + 3 et x > 2 x - 5 y = 7 2 x + 3 y ≥ 1

Vous pouvez trouver des expressions où il y a à la fois un système et un ensemble :

x ≥ 5 x< 3 x > 4 , 5

Accolade pour désigner une fonction par morceaux

Une fonction par morceaux est représentée à l'aide d'une seule accolade, où se trouvent des formules qui définissent la fonction, contenant les intervalles nécessaires. Regardons un exemple de formule contenant des intervalles comme x = x, x ≥ 0 - x, x< 0 , где имеется кусочная функция.

Parenthèses pour indiquer les coordonnées d'un point

Afin de représenter les points de coordonnées sous forme d'intervalles, utilisez des parenthèses. Ils peuvent être situés soit sur une ligne de coordonnées, soit dans un système de coordonnées rectangulaires ou un espace à n dimensions.

Lorsqu'une coordonnée s'écrit A (1), cela signifie que le point A a une coordonnée avec une valeur de 1, alors Q (x, y, z) dit que le point Q contient les coordonnées x, y, z.

Supports pour lister les éléments d'un ensemble

Les ensembles sont définis en listant les éléments inclus dans son domaine. Cela se fait à l'aide d'accolades, où les éléments eux-mêmes sont séparés par des virgules. L'entrée ressemble à ceci : A = (1, 2, 3, 4). On peut voir que l'ensemble est constitué des valeurs indiquées entre parenthèses.

Parenthèses et coordonnées vectorielles

Lorsque l'on considère des vecteurs dans un système de coordonnées, le concept de coordonnées vectorielles est utilisé. Autrement dit, lors de la désignation, ils utilisent des coordonnées écrites sous forme de liste entre parenthèses.

Les manuels proposent deux types de notation : a → 0 ; - 3 ou a → 0 ; - 3. Les deux entrées sont équivalentes et ont des valeurs de coordonnées 0, - 3. Lors de la représentation dans un espace tridimensionnel, une coordonnée supplémentaire est ajoutée. Ensuite, l'entrée ressemble à ceci : A B → 0, - 3, 2 3 ou A B → 0, - 3, 2 3.

La désignation des coordonnées peut être avec ou sans icône vectorielle sur le vecteur lui-même. Mais les coordonnées sont enregistrées séparées par des virgules sous forme d'énumération. L'entrée prend la forme a = (2, 4, − 2, 6, 1 2), où le vecteur est noté dans un espace à cinq dimensions. Moins fréquemment, vous pouvez voir la désignation d'un espace bidimensionnel sous la forme a = 3 - 7

Crochets pour indiquer les éléments de la matrice

L'utilisation fréquente des parenthèses est prévue dans les matrices. Tous les éléments sont fixés à l'aide de parenthèses de la forme A = 4 2 3 - 3 0 0 12.

Il est moins courant de voir l’utilisation de crochets.
La matrice prend alors la forme A = 4 2 3 - 3 0 0 12.

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La fonction principale des parenthèses est de modifier l'ordre des actions lors du calcul des valeurs. Par exemple, dans l'expression numérique \(5·3+7\) la multiplication sera calculée en premier, puis l'addition : \(5·3+7 =15+7=22\). Mais dans l'expression \(5·(3+7)\) l'addition entre parenthèses sera calculée en premier, et ensuite seulement la multiplication : \(5·(3+7)=5·10=50\).

Exemple. Développez la parenthèse : \(-(4m+3)\).
Solution : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Exemple. Ouvrez la parenthèse et donnez des termes similaires \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Solution : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Exemple. Développez les parenthèses \(5(3-x)\).
Solution : Dans la parenthèse nous avons \(3\) et \(-x\), et avant la parenthèse il y a un cinq. Cela signifie que chaque membre de la parenthèse est multiplié par \(5\) - je vous rappelle que Le signe de multiplication entre un nombre et une parenthèse n'est pas écrit en mathématiques pour réduire la taille des entrées.

Exemple. Développez les parenthèses \(-2(-3x+5)\).
Solution : Comme dans l'exemple précédent, les \(-3x\) et \(5\) entre parenthèses sont multipliés par \(-2\).

Exemple. Simplifiez l'expression : \(5(x+y)-2(x-y)\).
Solution : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Reste à considérer la dernière situation.

En multipliant parenthèse par parenthèse, chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde :

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Exemple. Développez les parenthèses \((2-x)(3x-1)\).
Solution : Nous avons un produit de parenthèses et il peut être développé immédiatement en utilisant la formule ci-dessus. Mais pour ne pas nous tromper, procédons étape par étape.
Étape 1. Supprimez la première parenthèse - multipliez chacun de ses termes par la deuxième parenthèse :

Étape 2. Développez les produits des parenthèses et du facteur comme décrit ci-dessus :
- Tout d'abord...

Puis la seconde.

Étape 3. Maintenant, nous multiplions et présentons des termes similaires :

Il n’est pas nécessaire de décrire toutes les transformations avec autant de détails ; vous pouvez les multiplier immédiatement. Mais si vous apprenez simplement à ouvrir des parenthèses et à écrire en détail, il y aura moins de risques de faire des erreurs.

Note à toute la section. En fait, vous n'avez pas besoin de vous souvenir des quatre règles, vous n'avez besoin de vous en souvenir qu'une seule, celle-ci : \(c(a-b)=ca-cb\) . Pourquoi? Parce que si vous en remplacez un au lieu de c, vous obtenez la règle \((a-b)=a-b\) . Et si nous substituons moins un, nous obtenons la règle \(-(a-b)=-a+b\) . Eh bien, si vous remplacez c par une autre parenthèse, vous pouvez obtenir la dernière règle.

Parenthèse dans une parenthèse

Parfois, dans la pratique, des problèmes surviennent avec des parenthèses imbriquées dans d’autres parenthèses. Voici un exemple d'une telle tâche : simplifiez l'expression \(7x+2(5-(3x+y))\).

Pour résoudre avec succès de telles tâches, vous avez besoin de :
- comprendre soigneusement l'imbrication des parenthèses - laquelle se trouve dans laquelle ;
- ouvrir les crochets séquentiellement, en commençant par exemple par le plus intérieur.

Il est important lors de l'ouverture de l'un des supports ne touche pas au reste de l'expression, je le réécris tel quel.
Regardons la tâche écrite ci-dessus à titre d'exemple.

Exemple. Ouvrez les parenthèses et donnez des termes similaires \(7x+2(5-(3x+y))\).
Solution:

Exemple. Ouvrez les parenthèses et donnez des termes similaires \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Solution :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Il y a ici une triple imbrication de parenthèses. Commençons par le plus intérieur (surligné en vert). Il y a un plus devant le support, donc il se détache simplement.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Vous devez maintenant ouvrir le deuxième support, celui intermédiaire. Mais avant cela, nous allons simplifier l’expression des termes fantomatiques dans cette deuxième parenthèse.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Maintenant, nous ouvrons le deuxième support (surligné en bleu). Avant la parenthèse se trouve un facteur - donc chaque terme de la parenthèse est multiplié par celui-ci.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Et ouvrez le dernier support. Il y a un signe moins devant le support, donc tous les signes sont inversés.

Développer des parenthèses est une compétence de base en mathématiques. Sans cette compétence, il est impossible d’obtenir une note supérieure à C en 8e et 9e années. Par conséquent, je vous recommande de bien comprendre ce sujet.

Cet article explique comment trouver les valeurs d'expressions mathématiques. Commençons par des expressions numériques simples, puis considérons les cas à mesure que leur complexité augmente. À la fin, nous présentons une expression contenant des symboles de lettres, des parenthèses, des racines, des symboles mathématiques spéciaux, des degrés, des fonctions, etc. Conformément à la tradition, nous fournirons à l’ensemble de la théorie des exemples abondants et détaillés.

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Comment trouver la valeur d'une expression numérique ?

Les expressions numériques, entre autres choses, aident à décrire l’état d’un problème en langage mathématique. En général, les expressions mathématiques peuvent être soit très simples, constituées d'une paire de nombres et de symboles arithmétiques, soit très complexes, contenant des fonctions, des puissances, des racines, des parenthèses, etc. Dans le cadre d’une tâche, il est souvent nécessaire de trouver le sens d’une expression particulière. Comment procéder sera discuté ci-dessous.

Les cas les plus simples

Ce sont des cas où l’expression ne contient que des nombres et des opérations arithmétiques. Pour réussir à trouver les valeurs de telles expressions, vous aurez besoin de connaître l'ordre d'exécution des opérations arithmétiques sans parenthèses, ainsi que la capacité d'effectuer des opérations avec différents nombres.

Si l'expression ne contient que des nombres et des signes arithmétiques " + " , " · " , " - " , " ÷ " , alors les actions sont effectuées de gauche à droite dans l'ordre suivant : d'abord multiplication et division, puis addition et soustraction. Donnons des exemples.

Exemple 1 : la valeur d'une expression numérique

Laissez-vous devoir trouver les valeurs de l'expression 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Faisons d'abord la multiplication et la division. On obtient :

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Maintenant, nous effectuons la soustraction et obtenons le résultat final :

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Exemple 2 : la valeur d'une expression numérique

Calculons : 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Nous effectuons d’abord la conversion, la division et la multiplication de fractions :

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Faisons maintenant quelques additions et soustractions. Regroupons les fractions et ramenons-les à un dénominateur commun :

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

La valeur requise a été trouvée.

Expressions avec parenthèses

Si une expression contient des parenthèses, elles définissent l'ordre des opérations dans cette expression. Les actions entre parenthèses sont réalisées en premier, puis toutes les autres. Montrons cela avec un exemple.

Exemple 3 : la valeur d'une expression numérique

Trouvons la valeur de l'expression 0,5 · (0,76 - 0,06).

L'expression contient des parenthèses, nous effectuons donc d'abord l'opération de soustraction entre parenthèses, et ensuite seulement la multiplication.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

La signification des expressions contenant des parenthèses entre parenthèses se trouve selon le même principe.

Exemple 4 : La valeur d'une expression numérique

Calculons la valeur 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.

Nous effectuerons des actions en commençant par les parenthèses les plus intérieures et en passant aux parenthèses extérieures.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Lors de la recherche de la signification des expressions entre parenthèses, l'essentiel est de suivre la séquence d'actions.

Expressions avec des racines

Les expressions mathématiques dont nous devons trouver les valeurs peuvent contenir des signes racine. De plus, l'expression elle-même peut être sous le signe racine. Que faire dans ce cas ? Vous devez d'abord trouver la valeur de l'expression sous la racine, puis extraire la racine du nombre obtenu. Si possible, il est préférable de supprimer les racines des expressions numériques et de les remplacer par des valeurs numériques.

Exemple 5 : La valeur d'une expression numérique

Calculons la valeur de l'expression avec les racines - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Tout d’abord, nous calculons les expressions radicales.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Vous pouvez maintenant calculer la valeur de l’expression entière.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Souvent, trouver le sens d’une expression avec des racines nécessite souvent d’abord de transformer l’expression originale. Expliquons cela avec un autre exemple.

Exemple 6 : La valeur d'une expression numérique

Combien font 3 + 1 3 - 1 - 1

Comme vous pouvez le constater, nous n'avons pas la possibilité de remplacer la racine par une valeur exacte, ce qui complique le processus de comptage. Cependant, dans ce cas, vous pouvez appliquer la formule de multiplication abrégée.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Ainsi:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Expressions avec pouvoirs

Si une expression contient des puissances, leurs valeurs doivent être calculées avant de procéder à toutes les autres actions. Il arrive que l'exposant ou la base du degré lui-même soient des expressions. Dans ce cas, la valeur de ces expressions est d'abord calculée, puis la valeur du diplôme.

Exemple 7 : La valeur d'une expression numérique

Trouvons la valeur de l'expression 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Commençons à calculer dans l'ordre.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Il ne reste plus qu'à effectuer l'opération d'addition et découvrir le sens de l'expression :

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Il est aussi souvent conseillé de simplifier une expression en utilisant les propriétés d’un diplôme.

Exemple 8 : La valeur d'une expression numérique

Calculons la valeur de l'expression suivante : 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Les exposants sont encore une fois tels que leurs valeurs numériques exactes ne peuvent pas être obtenues. Simplifions l'expression originale pour trouver sa valeur.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Expressions avec des fractions

Si une expression contient des fractions, lors du calcul d'une telle expression, toutes les fractions qu'elle contient doivent être représentées comme des fractions ordinaires et leurs valeurs​​calculées.

Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction contiennent des expressions, les valeurs de ces expressions sont d'abord calculées et la valeur finale de la fraction elle-même est écrite. Les opérations arithmétiques sont effectuées dans l'ordre standard. Regardons l'exemple de solution.

Exemple 9 : La valeur d'une expression numérique

Trouvons la valeur de l'expression contenant des fractions : 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Comme vous pouvez le voir, il y a trois fractions dans l’expression originale. Calculons d'abord leurs valeurs.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Réécrivons notre expression et calculons sa valeur :

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Souvent, pour trouver le sens des expressions, il est pratique de réduire les fractions. Il existe une règle tacite : avant de trouver sa valeur, il est préférable de simplifier au maximum toute expression, en réduisant tous les calculs aux cas les plus simples.

Exemple 10 : La valeur d'une expression numérique

Calculons l'expression 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Nous ne pouvons pas extraire complètement la racine de cinq, mais nous pouvons simplifier l’expression originale grâce à des transformations.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

L'expression originale prend la forme :

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Calculons la valeur de cette expression :

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Expressions avec logarithmes

Lorsque des logarithmes sont présents dans une expression, leur valeur est calculée depuis le début, si possible. Par exemple, dans l'expression log 2 4 + 2 · 4, vous pouvez immédiatement noter la valeur de ce logarithme au lieu du log 2 4, puis effectuer toutes les actions. On obtient : log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Des expressions numériques peuvent également être trouvées sous le signe du logarithme lui-même et à sa base. Dans ce cas, la première chose à faire est de trouver leur signification. Prenons l'expression log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Nous avons:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

S'il est impossible de calculer la valeur exacte du logarithme, simplifier l'expression permet de trouver sa valeur.

Exemple 11 : La valeur d'une expression numérique

Trouvons la valeur de l'expression log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

journal 2 journal 2 256 = journal 2 8 = 3 .

Par la propriété des logarithmes :

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

En utilisant à nouveau les propriétés des logarithmes, pour la dernière fraction de l'expression, nous obtenons :

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Vous pouvez maintenant procéder au calcul de la valeur de l'expression d'origine.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Expressions avec fonctions trigonométriques

Il arrive que l'expression contienne les fonctions trigonométriques sinus, cosinus, tangente et cotangente, ainsi que leurs fonctions inverses. La valeur est calculée avant que toutes les autres opérations arithmétiques ne soient effectuées. Sinon, l'expression est simplifiée.

Exemple 12 : La valeur d'une expression numérique

Trouvez la valeur de l'expression : t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Tout d'abord, nous calculons les valeurs des fonctions trigonométriques incluses dans l'expression.

péché - 5 π 2 = - 1

Nous substituons les valeurs dans l'expression et calculons sa valeur :

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

La valeur de l'expression a été trouvée.

Souvent, pour trouver la valeur d’une expression avec des fonctions trigonométriques, il faut d’abord la convertir. Expliquons avec un exemple.

Exemple 13 : La valeur d'une expression numérique

Nous devons trouver la valeur de l'expression cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Pour la conversion nous utiliserons les formules trigonométriques du cosinus de l'angle double et du cosinus de la somme.

cos 2 π 8 - péché 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - péché 5 π 36 péché π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0.

Cas général d'une expression numérique

De manière générale, une expression trigonométrique peut contenir tous les éléments décrits ci-dessus : parenthèses, puissances, racines, logarithmes, fonctions. Formulons une règle générale pour trouver la signification de telles expressions.

Comment trouver la valeur d'une expression

1. Racines, puissances, logarithmes, etc. sont remplacés par leurs valeurs.
2. Les actions entre parenthèses sont exécutées.
3. Les actions restantes sont effectuées dans l'ordre de gauche à droite. D'abord - multiplication et division, puis - addition et soustraction.

Regardons un exemple.

Exemple 14 : La valeur d'une expression numérique

Calculons la valeur de l'expression - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

L'expression est assez complexe et lourde. Ce n'est pas par hasard que nous avons choisi un tel exemple, après avoir essayé d'y intégrer tous les cas décrits ci-dessus. Comment trouver le sens d’une telle expression ?

On sait que lors du calcul de la valeur d'une forme fractionnaire complexe, les valeurs du numérateur et du dénominateur de la fraction sont d'abord trouvées séparément, respectivement. Nous allons transformer et simplifier séquentiellement cette expression.

Tout d'abord, calculons la valeur de l'expression radicale 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Pour ce faire, vous devez trouver la valeur du sinus et l'expression qui est l'argument de la fonction trigonométrique.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Vous pouvez maintenant connaître la valeur du sinus :

péché π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = péché π 6 + 2 π = péché π 6 = 1 2.

On calcule la valeur de l'expression radicale :

2 péché π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · péché π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Avec le dénominateur de la fraction tout est plus simple :

Nous pouvons maintenant écrire la valeur de la fraction entière :

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

En tenant compte de cela, nous écrivons l'expression entière :

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Résultat final :

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Dans ce cas, nous avons pu calculer les valeurs exactes des racines, des logarithmes, des sinus, etc. Si cela n’est pas possible, vous pouvez essayer de vous en débarrasser grâce à des transformations mathématiques.

Calculer les valeurs d'expression à l'aide de méthodes rationnelles

Les valeurs numériques doivent être calculées de manière cohérente et précise. Ce processus peut être rationalisé et accéléré en utilisant diverses propriétés des opérations avec les nombres. Par exemple, on sait qu'un produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro. Compte tenu de cette propriété, on peut immédiatement dire que l'expression 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 est égale à zéro. Dans le même temps, il n'est pas du tout nécessaire d'effectuer les actions dans l'ordre décrit dans l'article ci-dessus.

Il est également pratique d'utiliser la propriété de soustraire des nombres égaux. Sans effectuer aucune action, vous pouvez ordonner que la valeur de l'expression 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 soit également nulle.

Une autre technique permettant d’accélérer le processus consiste à utiliser des transformations d’identité telles que le regroupement de termes et de facteurs et la mise entre parenthèses du facteur commun. Une approche rationnelle pour calculer des expressions avec des fractions consiste à réduire les mêmes expressions au numérateur et au dénominateur.

Par exemple, prenons l'expression 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Sans effectuer les opérations entre parenthèses, mais en réduisant la fraction, on peut dire que la valeur de l'expression est 1 3 .

Trouver les valeurs des expressions avec des variables

La valeur d'une expression littérale et d'une expression avec des variables est trouvée pour des valeurs spécifiques données de lettres et de variables.

Trouver les valeurs des expressions avec des variables

Pour trouver la valeur d'une expression littérale et d'une expression avec des variables, vous devez remplacer les valeurs données des lettres et des variables dans l'expression d'origine, puis calculer la valeur de l'expression numérique résultante.

Exemple 15 : Valeur d'une expression avec des variables

Calculez la valeur de l'expression 0, 5 x - y étant donné x = 2, 4 et y = 5.

Nous substituons les valeurs des variables dans l'expression et calculons :

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

Parfois, vous pouvez transformer une expression de manière à obtenir sa valeur quelles que soient les valeurs des lettres et des variables qu'elle contient. Pour ce faire, vous devez vous débarrasser des lettres et des variables dans l'expression, si possible, en utilisant des transformations identiques, des propriétés d'opérations arithmétiques et toutes les autres méthodes possibles.

Par exemple, l'expression x + 3 - x a évidemment la valeur 3, et pour calculer cette valeur il n'est pas nécessaire de connaître la valeur de la variable x. La valeur de cette expression est égale à trois pour toutes les valeurs de la variable x parmi sa plage de valeurs admissibles.

Un autre exemple. La valeur de l'expression x x est égale à un pour tous les x positifs.

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Ainsi, si une expression numérique est composée de nombres et des signes +, −, · et :, alors dans l'ordre de gauche à droite vous devez d'abord effectuer la multiplication et la division, puis l'addition et la soustraction, ce qui vous permettra de trouver le valeur souhaitée de l’expression.

Donnons quelques exemples pour clarifier.

Exemple.

Calculez la valeur de l'expression 14−2·15:6−3.

Solution.

Pour trouver la valeur d'une expression, vous devez effectuer toutes les actions qui y sont spécifiées conformément à l'ordre accepté pour effectuer ces actions. Tout d'abord, dans l'ordre de gauche à droite, nous effectuons la multiplication et la division, nous obtenons 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Maintenant, nous effectuons également les actions restantes dans l'ordre de gauche à droite : 14−5−3=9−3=6. C'est ainsi que nous avons trouvé la valeur de l'expression originale, elle est égale à 6.

Répondre:

14−2·15 :6−3=6.

Exemple.

Trouvez le sens de l’expression.

Solution.

Dans cet exemple, nous devons d'abord faire la multiplication 2·(−7) et la division avec la multiplication dans l'expression . En nous rappelant comment , nous trouvons 2·(−7)=−14. Et d'abord effectuer les actions dans l'expression , après quoi , et exécutez : .

Nous substituons les valeurs obtenues dans l'expression originale : .

Mais que se passe-t-il s'il y a une expression numérique sous le signe racine ? Pour obtenir la valeur d'une telle racine, vous devez d'abord trouver la valeur de l'expression radicale, en respectant l'ordre accepté pour effectuer les actions. Par exemple, .

Dans les expressions numériques, les racines doivent être perçues comme des nombres, et il est conseillé de remplacer immédiatement les racines par leurs valeurs, puis de trouver la valeur de l'expression résultante sans racines, en effectuant les actions dans l'ordre accepté.

Exemple.

Trouvez le sens de l'expression avec les racines.

Solution.

Trouvons d'abord la valeur de la racine . Pour ce faire, dans un premier temps, on calcule la valeur de l'expression radicale, on a −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. Et deuxièmement, on trouve la valeur de la racine.

Calculons maintenant la valeur de la deuxième racine à partir de l'expression originale : .

Enfin, on peut retrouver le sens de l'expression originale en remplaçant les racines par leurs valeurs : .

Répondre:

Bien souvent, pour trouver le sens d’une expression avec des racines, il faut d’abord la transformer. Montrons la solution de l'exemple.

Exemple.

Quel est le sens de l'expression .

Solution.

Nous ne pouvons pas remplacer la racine de trois par sa valeur exacte, ce qui nous empêche de calculer la valeur de cette expression de la manière décrite ci-dessus. Cependant, nous pouvons calculer la valeur de cette expression en effectuant des transformations simples. En vigueur formule de différence carrée: . En prenant en compte, on obtient . Ainsi, la valeur de l’expression originale est 1.

Répondre:

.

Avec des diplômes

Si la base et l'exposant sont des nombres, leur valeur est calculée en déterminant le degré, par exemple 3 2 =3·3=9 ou 8 −1 =1/8. Il existe également des entrées dans lesquelles la base et/ou l'exposant sont des expressions. Dans ces cas, vous devez trouver la valeur de l'expression dans la base, la valeur de l'expression dans l'exposant, puis calculer la valeur du degré lui-même.

Exemple.

Trouver la valeur d'une expression avec des puissances de la forme 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.

Solution.

Dans l'expression originale, il y a deux puissances 2 3·4−10 et (1−1/2) 3,5−2·1/4. Leurs valeurs doivent être calculées avant d'effectuer d'autres actions.

Commençons par la puissance 2 3·4−10. Son indicateur contient une expression numérique, calculons sa valeur : 3·4−10=12−10=2. Vous pouvez maintenant trouver la valeur du degré lui-même : 2 3·4−10 =2 2 =4.

La base et l'exposant (1−1/2) 3,5−2 1/4 contiennent des expressions ; on calcule leurs valeurs afin de trouver ensuite la valeur de l'exposant. Nous avons (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Nous revenons maintenant à l'expression d'origine, remplaçons les degrés par leurs valeurs et trouvons la valeur de l'expression dont nous avons besoin : 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Répondre:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6.

Il convient de noter qu'il existe des cas plus courants où il est conseillé de procéder à une enquête préliminaire. simplification de l'expression avec pouvoirsà la base.

Exemple.

Trouver le sens de l'expression .

Solution.

À en juger par les exposants dans cette expression, il ne sera pas possible d'obtenir les valeurs exactes des exposants. Essayons de simplifier l'expression originale, cela aidera peut-être à trouver son sens. Nous avons

Répondre:

.

Les puissances dans les expressions vont souvent de pair avec les logarithmes, mais nous parlerons de trouver le sens des expressions avec des logarithmes dans l'un des.

Trouver la valeur d'une expression avec des fractions

Les expressions numériques peuvent contenir des fractions dans leur notation. Lorsque vous avez besoin de trouver la valeur d'une telle expression, les fractions autres que les fractions doivent être remplacées par leurs valeurs avant de passer au reste des étapes.

Le numérateur et le dénominateur des fractions (qui sont différents des fractions ordinaires) peuvent contenir à la fois des nombres et des expressions. Pour calculer la valeur d'une telle fraction, vous devez calculer la valeur de l'expression au numérateur, calculer la valeur de l'expression au dénominateur, puis calculer la valeur de la fraction elle-même. Cet ordre s'explique par le fait que la fraction a/b, où a et b sont des expressions, représente essentiellement un quotient de la forme (a):(b), puisque .

Regardons l'exemple de solution.

Exemple.

Trouver le sens d'une expression avec des fractions .

Solution.

Il y a trois fractions dans l'expression numérique originale Et . Pour trouver la valeur de l’expression originale, nous devons d’abord remplacer ces fractions par leurs valeurs. Faisons ça.

Le numérateur et le dénominateur d'une fraction contiennent des nombres. Pour trouver la valeur d'une telle fraction, remplacez la barre de fraction par un signe de division et effectuez cette action : .

Au numérateur de la fraction il y a une expression 7−2·3, sa valeur est facile à trouver : 7−2·3=7−6=1. Ainsi, . Vous pouvez procéder à la recherche de la valeur de la troisième fraction.

La troisième fraction du numérateur et du dénominateur contient des expressions numériques. Vous devez donc d'abord calculer leurs valeurs, ce qui vous permettra de trouver la valeur de la fraction elle-même. Nous avons .

Il reste à substituer les valeurs trouvées dans l'expression d'origine et à effectuer les actions restantes : .

Répondre:

.

Souvent, pour trouver les valeurs d'expressions avec des fractions, vous devez effectuer simplifier des expressions fractionnaires, basé sur l'exécution d'opérations avec des fractions et la réduction de fractions.

Exemple.

Trouver le sens de l'expression .

Solution.

La racine de cinq ne peut pas être extraite complètement, donc pour trouver la valeur de l’expression originale, simplifions-la d’abord. Pour ça débarrassons-nous de l'irrationalité au dénominateur première fraction : . Après cela, l'expression originale prendra la forme . Après avoir soustrait les fractions, les racines disparaîtront, ce qui permettra de retrouver la valeur de l'expression initialement donnée : .

Répondre:

.

Avec des logarithmes

Si une expression numérique contient et s'il est possible de s'en débarrasser, cela est fait avant d'effectuer d'autres actions. Par exemple, lors de la recherche de la valeur de l'expression log 2 4+2·3, le logarithme log 2 4 est remplacé par sa valeur 2, après quoi les actions restantes sont effectuées dans l'ordre habituel, c'est-à-dire log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

Lorsqu'il existe des expressions numériques sous le signe du logarithme et/ou à sa base, on trouve d'abord leurs valeurs, après quoi la valeur du logarithme est calculée. Par exemple, considérons une expression avec un logarithme de la forme . A la base du logarithme et sous son signe se trouvent des expressions numériques ; on retrouve leurs valeurs : . Nous trouvons maintenant le logarithme, après quoi nous complétons les calculs : .

Si les logarithmes ne sont pas calculés avec précision, alors simplification préliminaire à l'aide de . Dans ce cas, vous devez avoir une bonne maîtrise du contenu de l'article. conversion d'expressions logarithmiques.

Exemple.

Trouver la valeur d'une expression avec des logarithmes .

Solution.

Commençons par calculer log 2 (log 2 256) . Puisque 256=2 8, alors log 2 256=8, donc, log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Les logarithmes log 6 2 et log 6 3 peuvent être regroupés. La somme des logarithmes log 6 2+log 6 3 est égale au logarithme du produit log 6 (2 3), donc, log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Regardons maintenant la fraction. Pour commencer, nous réécrirons la base du logarithme au dénominateur sous la forme d'une fraction ordinaire en 1/5, après quoi nous utiliserons les propriétés des logarithmes, ce qui nous permettra d'obtenir la valeur de la fraction :
.

Il ne reste plus qu'à substituer les résultats obtenus dans l'expression originale et finir de trouver sa valeur :

Répondre:

Comment trouver la valeur d’une expression trigonométrique ?

Lorsqu'une expression numérique contient ou, etc., leurs valeurs sont calculées avant d'effectuer d'autres actions. S'il existe des expressions numériques sous le signe des fonctions trigonométriques, leurs valeurs sont d'abord calculées, après quoi les valeurs des fonctions trigonométriques sont trouvées.

Exemple.

Trouver le sens de l'expression .

Solution.

En passant à l'article, nous obtenons et cosπ=−1 . On substitue ces valeurs dans l'expression originale, elle prend la forme . Pour trouver sa valeur, vous devez d'abord effectuer une exponentiation, puis terminer les calculs : .

Répondre:

.

Il est à noter que le calcul des valeurs d'expressions avec sinus, cosinus, etc. nécessite souvent un préalable convertir une expression trigonométrique.

Exemple.

Quelle est la valeur de l'expression trigonométrique .

Solution.

Transformons l'expression originale en utilisant , dans ce cas nous aurons besoin de la formule du cosinus de l'angle double et de la formule du cosinus de la somme :

Les transformations que nous avons effectuées nous ont aidé à trouver le sens de l'expression.

Répondre:

.

Cas général

En général, une expression numérique peut contenir des racines, des puissances, des fractions, certaines fonctions et des parenthèses. Trouver les valeurs de telles expressions consiste à effectuer les actions suivantes :

• premières racines, puissances, fractions, etc. sont remplacés par leurs valeurs,
• d'autres actions entre parenthèses,
• et dans l'ordre de gauche à droite, les opérations restantes sont effectuées - multiplication et division, suivies de l'addition et de la soustraction.

Les actions répertoriées sont effectuées jusqu'à l'obtention du résultat final.

Exemple.

Trouver le sens de l'expression .

Solution.

La forme de cette expression est assez complexe. Dans cette expression, nous voyons des fractions, des racines, des puissances, des sinus et des logarithmes. Comment trouver sa valeur ?

En parcourant l'enregistrement de gauche à droite, on retrouve une fraction du formulaire . Nous savons que lorsque nous travaillons avec des fractions complexes, nous devons calculer séparément la valeur du numérateur, séparément le dénominateur, et enfin trouver la valeur de la fraction.

Au numérateur on a la racine de la forme . Pour déterminer sa valeur, vous devez d'abord calculer la valeur de l'expression radicale . Il y a un sinus ici. On ne peut trouver sa valeur qu'après avoir calculé la valeur de l'expression . Nous pouvons faire cela : . Alors d'où et d'où .

Le dénominateur est simple : .

Ainsi, .

Après avoir remplacé ce résultat dans l'expression originale, il prendra la forme . L'expression résultante contient le degré . Pour trouver sa valeur, il faut d’abord trouver la valeur de l’indicateur, on a .

Donc, .

Répondre:

.

S'il n'est pas possible de calculer les valeurs exactes des racines, des puissances, etc., vous pouvez alors essayer de vous en débarrasser en utilisant certaines transformations, puis revenir au calcul de la valeur selon le schéma spécifié.

Façons rationnelles de calculer les valeurs des expressions

Le calcul des valeurs d'expressions numériques nécessite cohérence et précision. Oui, il est nécessaire de respecter la séquence d'actions enregistrée dans les paragraphes précédents, mais il n'est pas nécessaire de le faire aveuglément et mécaniquement. Ce que nous entendons par là, c’est qu’il est souvent possible de rationaliser le processus de recherche du sens d’une expression. Par exemple, certaines propriétés des opérations avec des nombres peuvent accélérer et simplifier considérablement la recherche de la valeur d'une expression.

Par exemple, on connaît cette propriété de multiplication : si l’un des facteurs du produit est égal à zéro, alors la valeur du produit est égale à zéro. En utilisant cette propriété, on peut immédiatement dire que la valeur de l'expression 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) est égal à zéro. Si l’on suivait l’ordre standard des opérations, il faudrait d’abord calculer les valeurs des expressions encombrantes entre parenthèses, ce qui prendrait beaucoup de temps, et le résultat serait toujours nul.

Il est également pratique d'utiliser la propriété de soustraire des nombres égaux : si vous soustrayez un nombre égal d'un nombre, le résultat est zéro. Cette propriété peut être considérée de manière plus large : la différence entre deux expressions numériques identiques est nulle. Par exemple, sans calculer la valeur des expressions entre parenthèses, vous pouvez trouver la valeur de l'expression (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), il est égal à zéro, puisque l'expression originale est la différence d'expressions identiques.

Les transformations d'identité peuvent faciliter le calcul rationnel des valeurs d'expression. Par exemple, regrouper des termes et des facteurs peut être utile ; mettre le facteur commun entre parenthèses n’est pas moins souvent utilisé. Ainsi la valeur de l'expression 53·5+53·7−53·11+5 se trouve très facilement après avoir retiré le facteur 53 entre parenthèses : 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Un calcul direct prendrait beaucoup plus de temps.

Pour conclure ce point, prêtons attention à une approche rationnelle du calcul des valeurs des expressions avec des fractions - les facteurs identiques au numérateur et au dénominateur de la fraction sont annulés. Par exemple, réduire les mêmes expressions au numérateur et au dénominateur d'une fraction permet de retrouver immédiatement sa valeur, qui est égale à 1/2.

Trouver la valeur d'une expression littérale et d'une expression avec des variables

La valeur d'une expression littérale et d'une expression avec des variables est trouvée pour des valeurs spécifiques données de lettres et de variables. Autrement dit, nous parlons de trouver la valeur d'une expression littérale pour des valeurs de lettres données, ou de trouver la valeur d'une expression avec des variables pour des valeurs de variables sélectionnées.

Règle trouver la valeur d'une expression littérale ou d'une expression avec des variables pour des valeurs données de lettres ou des valeurs sélectionnées de variables est la suivante : vous devez remplacer les valeurs données de lettres ou de variables dans l'expression d'origine et calculer la valeur de l'expression numérique résultante ; c'est la valeur souhaitée.

Exemple.

Calculez la valeur de l'expression 0,5·x−y à x=2,4 et y=5.

Solution.

Pour trouver la valeur requise de l'expression, vous devez d'abord remplacer les valeurs données des variables dans l'expression d'origine, puis effectuer les étapes suivantes : 0,5·2,4−5=1,2−5=−3,8.

Répondre:

−3,8 .

Pour terminer, effectuer parfois des conversions sur des expressions littérales et variables donnera leurs valeurs, quelles que soient les valeurs des lettres et des variables. Par exemple, l’expression x+3−x peut être simplifiée, après quoi elle prendra la forme 3. De là, nous pouvons conclure que la valeur de l'expression x+3−x est égale à 3 pour toute valeur de la variable x parmi sa plage de valeurs admissibles (APV). Autre exemple : la valeur de l'expression est égale à 1 pour toutes les valeurs positives de x, donc la plage des valeurs admissibles de la variable x dans l'expression originale est l'ensemble des nombres positifs, et dans cette plage l'égalité tient.

Références.

• Mathématiques: manuel pour la 5ème année. enseignement général institutions / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21e éd., effacé. - M. : Mnémosyne, 2007. - 280 pp. : ill. ISBN5-346-00699-0.
• Mathématiques. 6e année : pédagogique. pour l'enseignement général institutions / [N. Ya. Vilenkin et autres]. - 22e éd., rév. - M. : Mnémosyne, 2008. - 288 p. : ill. ISBN978-5-346-00897-2.
• Algèbre: manuel pour la 7ème année enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 17e éd. - M. : Éducation, 2008. - 240 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019315-3.
• Algèbre: manuel pour la 8ème année. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019243-9.
• Algèbre: 9e année : pédagogique. pour l'enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2009. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-021134-5.
• Algèbre et le début de l'analyse : Proc. pour les classes 10-11. enseignement général institutions / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn et autres ; Éd. A. N. Kolmogorov - 14e éd. - M. : Éducation, 2004. - 384 pp. : ill.

L'expansion des parenthèses est un type de transformation d'expression. Dans cette section, nous décrirons les règles d'ouverture des parenthèses et examinerons également les exemples de problèmes les plus courants.

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Qu’est-ce que les parenthèses ouvrantes ?

Les parenthèses sont utilisées pour indiquer l'ordre dans lequel les actions sont effectuées dans les expressions numériques, littérales et variables. Il est pratique de passer d’une expression avec parenthèses à une expression identiquement égale sans parenthèses. Par exemple, remplacez l'expression 2 · (3 + 4) par une expression de la forme 2 3 + 2 4 sans parenthèses. Cette technique est appelée ouverture des parenthèses.

Définition 1

L'expansion des parenthèses fait référence à des techniques permettant de se débarrasser des parenthèses et est généralement considérée en relation avec des expressions pouvant contenir :

• les signes « + » ou « - » avant les parenthèses contenant des sommes ou des différences ;
• le produit d'un nombre, d'une lettre ou de plusieurs lettres et d'une somme ou d'une différence, placé entre parenthèses.

C’est ainsi que nous avons l’habitude d’envisager le processus d’ouverture des parenthèses dans le programme scolaire. Cependant, personne ne nous empêche d’envisager cette action de manière plus large. On peut appeler parenthèse ouvrir la transition d'une expression qui contient des nombres négatifs entre parenthèses à une expression qui n'a pas de parenthèses. Par exemple, on peut passer de 5 + (− 3) − (− 7) à 5 − 3 + 7. En fait, c’est aussi une ouverture de parenthèses.

De la même manière, on peut remplacer le produit d'expressions entre parenthèses de la forme (a + b) · (c + d) par la somme a · c + a · d + b · c + b · d. Cette technique ne contredit pas non plus le sens des parenthèses ouvrantes.

Voici un autre exemple. Nous pouvons supposer que n'importe quelle expression peut être utilisée à la place des nombres et des variables dans les expressions. Par exemple, l'expression x 2 · 1 a - x + sin (b) correspondra à une expression sans parenthèses de la forme x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b).

Un autre point mérite une attention particulière, qui concerne les particularités de l'enregistrement des décisions lors de l'ouverture des parenthèses. On peut écrire l'expression initiale entre parenthèses et le résultat obtenu après ouverture des parenthèses comme une égalité. Par exemple, après avoir développé les parenthèses au lieu de l'expression 3 − (5 − 7) nous obtenons l'expression 3 − 5 + 7 . Nous pouvons écrire ces deux expressions sous la forme de l’égalité 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7.

Réaliser des actions avec des expressions lourdes peut nécessiter l’enregistrement de résultats intermédiaires. La solution aura alors la forme d’une chaîne d’égalités. Par exemple, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 ou 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Règles d'ouverture des parenthèses, exemples

Commençons par examiner les règles d'ouverture des parenthèses.

Pour les nombres simples entre parenthèses

Les nombres négatifs entre parenthèses se retrouvent souvent dans les expressions. Par exemple, (− 4) et 3 + (− 4) . Les nombres positifs entre parenthèses ont également leur place.

Formulons une règle pour ouvrir des parenthèses contenant des nombres positifs uniques. Supposons que a soit un nombre positif. On peut alors remplacer (a) par a, + (a) par + a, - (a) par – a. Si au lieu de a nous prenons un nombre spécifique, alors selon la règle : le nombre (5) s'écrira comme 5 , l'expression 3 + (5) sans parenthèses prendra la forme 3 + 5 , puisque + (5) est remplacé par + 5 , et l'expression 3 + (− 5) est équivalente à l'expression 3 − 5 , parce que + (− 5) est remplacé par − 5 .

Les nombres positifs sont généralement écrits sans parenthèses, car les parenthèses ne sont pas nécessaires dans ce cas.

Considérons maintenant la règle d'ouverture des parenthèses contenant un seul nombre négatif. + (− une) nous remplaçons par − un, − (− a) est remplacé par + a. Si l'expression commence par un nombre négatif (− une), qui est écrit entre parenthèses, alors les parenthèses sont omises et à la place (− une) restes − un.

Voici quelques exemples : (− 5) peut s'écrire − 5, (− 3) + 0, 5 devient − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) devient 4 − 3 , et − (− 4) − (− 3) après ouverture des parenthèses prend la forme 4 + 3, puisque − (− 4) et − (− 3) est remplacé par + 4 et + 3 .

Il faut comprendre que l'expression 3 · (− 5) ne peut pas s'écrire 3 · − 5. Ceci sera discuté dans les paragraphes suivants.

Voyons sur quoi sont basées les règles d'ouverture des parenthèses.

Selon la règle, la différence a − b est égale à a + (− b) . Sur la base des propriétés des actions avec des nombres, nous pouvons créer une chaîne d'égalités (une + (− b)) + b = une + ((− b) + b) = une + 0 = une ce qui sera juste. Cette chaîne d'égalités, en vertu du sens de la soustraction, prouve que l'expression a + (− b) est la différence une - b.

Sur la base des propriétés des nombres opposés et des règles de soustraction des nombres négatifs, nous pouvons affirmer que − (− a) = a, a − (− b) = a + b.

Il existe des expressions composées d’un nombre, de signes moins et de plusieurs paires de parenthèses. L'utilisation des règles ci-dessus vous permet de vous débarrasser séquentiellement des parenthèses, en passant des parenthèses intérieures aux parenthèses extérieures ou dans la direction opposée. Un exemple d’une telle expression serait − (− ((− (5)))) . Ouvrons les parenthèses, en passant de l'intérieur vers l'extérieur : − (− ((− (− 5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Cet exemple peut également être analysé dans le sens inverse : − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Sous un et b peuvent être compris non seulement comme des nombres, mais aussi comme des expressions numériques ou alphabétiques arbitraires précédées d'un signe "+" qui ne sont ni des sommes ni des différences. Dans tous ces cas, vous pouvez appliquer les règles de la même manière que nous l’avons fait pour les nombres simples entre parenthèses.

Par exemple, après avoir ouvert les parenthèses, l'expression − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2 : z) prendra la forme 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2 : z . Comment avons-nous fait ? Nous savons que − (− 2 x) vaut + 2 x, et puisque cette expression vient en premier, alors + 2 x peut s'écrire 2 x, − (x2) = −x2, + (− 1 x) = − 1 x et − (2 x y 2 : z) = − 2 x y 2 : z.

En produits de deux nombres

Commençons par la règle d'ouverture des parenthèses dans le produit de deux nombres.

Supposons que un et b sont deux nombres positifs. Dans ce cas, le produit de deux nombres négatifs − un et − b de la forme (− a) · (− b) nous pouvons remplacer par (a · b) , et les produits de deux nombres de signes opposés de la forme (− a) · b et a · (− b) peut être remplacé par (− un b). Multiplier un moins par un moins donne un plus, et multiplier un moins par un plus, comme multiplier un plus par un moins donne un moins.

L'exactitude de la première partie de la règle écrite est confirmée par la règle de multiplication des nombres négatifs. Pour confirmer la deuxième partie de la règle, nous pouvons utiliser les règles de multiplication des nombres de signes différents.

Regardons quelques exemples.

Exemple 1

Considérons un algorithme d'ouverture de parenthèses dans le produit de deux nombres négatifs - 4 3 5 et - 2, de la forme (- 2) · - 4 3 5. Pour ce faire, remplacez l'expression originale par 2 · 4 3 5 . Ouvrons les parenthèses et obtenons 2 · 4 3 5 .

Et si l'on prend le quotient des nombres négatifs (− 4) : (− 2), alors l'entrée après ouverture des parenthèses ressemblera à 4 : 2

Au lieu de nombres négatifs − un et − b peut être n'importe quelle expression précédée d'un signe moins qui n'est ni une somme ni une différence. Il peut s'agir par exemple de produits, de quotients, de fractions, de puissances, de racines, de logarithmes, de fonctions trigonométriques, etc.

Ouvrons les parenthèses dans l'expression - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . D'après la règle, on peut faire les transformations suivantes : - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.

Expression (− 3) 2 peut être converti en l'expression (− 3 2) . Après cela, vous pouvez étendre les parenthèses : − 3 2.

2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5

La division de nombres par des signes différents peut également nécessiter un développement préalable des parenthèses : (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 et 2 3 4 : (- 3, 5) = - 2 3 4 : 3, 5 = - 2 3 4 : 3, 5.

La règle peut être utilisée pour effectuer des multiplications et des divisions d'expressions avec des signes différents. Donnons deux exemples.

1 x + 1 : x - 3 = - 1 x + 1 : x - 3 = - 1 x + 1 : x - 3

péché (x) (- x 2) = (- péché (x) x 2) = - péché (x) x 2

En produits de trois nombres ou plus

Passons aux produits et aux quotients, qui contiennent un plus grand nombre de nombres. Pour ouvrir les parenthèses, la règle suivante s’appliquera ici. S’il existe un nombre pair de nombres négatifs, vous pouvez omettre les parenthèses et remplacer les nombres par leurs opposés. Après cela, vous devez mettre l'expression résultante entre de nouvelles parenthèses. S’il y a un nombre impair de nombres négatifs, omettez les parenthèses et remplacez les nombres par leurs opposés. Après cela, l'expression résultante doit être placée entre de nouvelles parenthèses et un signe moins doit être placé devant elle.

Exemple 2

Par exemple, prenons l'expression 5 · (− 3) · (− 2) , qui est le produit de trois nombres. Il existe deux nombres négatifs, nous pouvons donc écrire l’expression sous la forme (5 · 3 · 2) puis enfin ouvrez les parenthèses, obtenant l'expression 5 · 3 · 2.

Dans le produit (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4 : (− 1, 25) : (− 1) cinq nombres sont négatifs. donc (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4 : (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3 : 2 · 4 : 1, 25 : 1) . Ayant enfin ouvert les parenthèses, on obtient −2,5 3:2 4:1,25:1.

La règle ci-dessus peut être justifiée comme suit. Premièrement, nous pouvons réécrire de telles expressions sous forme de produit, en remplaçant la division par la multiplication par le nombre réciproque. Nous représentons chaque nombre négatif comme le produit d'un nombre multiplicateur et - 1 ou - 1 est remplacé par (− 1) une.

En utilisant la propriété commutative de multiplication, nous échangeons les facteurs et transférons tous les facteurs égaux à − 1 , au début de l'expression. Le produit d'un nombre pair moins un est égal à 1 et le produit d'un nombre impair est égal à − 1 , ce qui nous permet d'utiliser le signe moins.

Si nous n'utilisions pas la règle, alors la chaîne d'actions pour ouvrir les parenthèses dans l'expression - 2 3 : (- 2) · 4 : - 6 7 ressemblerait à ceci :

2 3 : (- 2) 4 : - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

La règle ci-dessus peut être utilisée lors de l'ouverture de parenthèses dans des expressions qui représentent des produits et des quotients avec un signe moins qui ne sont ni des sommes ni des différences. Prenons par exemple l'expression

x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3 : 2 .

Il peut être réduit à l'expression sans parenthèses x 2 · x : 1 x · x - 3 : 2.

Parenthèses extensibles précédées d'un signe +

Considérons une règle qui peut être appliquée pour développer les parenthèses précédées d'un signe plus, et le « contenu » de ces parenthèses n'est ni multiplié ni divisé par un nombre ou une expression.

Selon la règle, les parenthèses, ainsi que le signe qui les précède, sont omis, tandis que les signes de tous les termes entre parenthèses sont conservés. S'il n'y a pas de signe avant le premier terme entre parenthèses, alors vous devez mettre un signe plus.

Exemple 3

Par exemple, nous donnons l'expression (12 − 3 , 5) − 7 . En omettant les parenthèses, on garde les signes des termes entre parenthèses et on met un signe plus devant le premier terme. L'entrée ressemblera à (12 − 3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7. Dans l’exemple donné, il n’est pas nécessaire de placer un signe devant le premier terme, puisque + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7.

Exemple 4

Regardons un autre exemple. Prenons l'expression x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x et effectuons les actions avec elle x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 une - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Voici un autre exemple d'extension de parenthèses :

Exemple 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2

Comment les parenthèses précédées d’un signe moins sont-elles développées ?

Considérons les cas où il y a un signe moins devant les parenthèses et qui ne sont multipliés (ou divisés) par aucun nombre ou expression. Selon la règle d'ouverture des parenthèses précédées d'un signe « - », les parenthèses avec le signe « - » sont omises et les signes de tous les termes à l'intérieur des parenthèses sont inversés.

Exemple 6

Par exemple:

1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2

Les expressions avec des variables peuvent être converties en utilisant la même règle :

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

nous obtenons x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .

Parenthèses ouvrantes lors de la multiplication d'un nombre par une parenthèse, expressions par une parenthèse

Ici, nous examinerons les cas où vous devez développer des parenthèses multipliées ou divisées par un nombre ou une expression. Formules de la forme (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) ou b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), Où une 1 , une 2 , … , une n et b sont des nombres ou des expressions.

Exemple 7

Par exemple, développons les parenthèses dans l'expression (3-7) 2. D'après la règle, on peut effectuer les transformations suivantes : (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . On obtient 3 · 2 − 7 · 2 .

En ouvrant les parenthèses dans l'expression 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, on obtient 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

Multiplier une parenthèse par parenthèse

Considérons le produit de deux parenthèses de la forme (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Cela nous aidera à obtenir une règle pour ouvrir les parenthèses lors de la multiplication par parenthèse.

Afin de résoudre l'exemple donné, nous notons l'expression (b 1 + b 2) comme B. Cela nous permettra d'utiliser la règle de multiplication d'une parenthèse par une expression. Nous obtenons (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. En effectuant un remplacement inversé b par (b 1 + b 2), appliquez à nouveau la règle de multiplication d'une expression par une parenthèse : a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

Grâce à un certain nombre de techniques simples, on peut arriver à la somme des produits de chacun des termes de la première tranche par chacun des termes de la deuxième tranche. La règle peut être étendue à n’importe quel nombre de termes entre parenthèses.

Formulons les règles de multiplication parenthèses par parenthèses : pour multiplier deux sommes ensemble, il faut multiplier chacun des termes de la première somme par chacun des termes de la deuxième somme et additionner les résultats.

La formule ressemblera à :

(une 1 + une 2 + . . . + une m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = une 1 b 1 + une 1 b 2 + . . . + une 1 b n + + une 2 b 1 + une 2 b 2 + . . . + une 2 b n + + . . . + + une m b 1 + une m b 1 + . . . un m b n

Développons les parenthèses dans l'expression (1 + x) · (x 2 + x + 6) C'est le produit de deux sommes. Écrivons la solution : (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

Il convient de mentionner séparément les cas où il y a un signe moins entre parenthèses avec des signes plus. Par exemple, prenons l'expression (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Tout d'abord, présentons les expressions entre parenthèses sous forme de sommes : (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Nous pouvons maintenant appliquer la règle : (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))

Ouvrons les parenthèses : 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Expansion des parenthèses dans les produits de plusieurs parenthèses et expressions

S'il y a trois expressions ou plus entre parenthèses dans une expression, les parenthèses doivent être ouvertes séquentiellement. Vous devez commencer la transformation en mettant les deux premiers facteurs entre parenthèses. À l’intérieur de ces parenthèses, nous pouvons effectuer des transformations selon les règles évoquées ci-dessus. Par exemple, les parenthèses dans l'expression (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .

L'expression contient trois facteurs à la fois (2 + 4) , 3 et (5 + 7 8) . Nous ouvrirons les parenthèses séquentiellement. Plaçons les deux premiers facteurs dans une autre parenthèse, que nous mettrons en rouge pour plus de clarté : (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

Conformément à la règle de multiplication d'une parenthèse par un nombre, on peut effectuer les actions suivantes : ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .

Multiplier parenthèse par parenthèse : (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

Support en nature

Les degrés dont les bases sont des expressions écrites entre parenthèses, avec des exposants naturels peuvent être considérés comme le produit de plusieurs parenthèses. De plus, selon les règles des deux paragraphes précédents, ils peuvent être écrits sans ces parenthèses.

Considérez le processus de transformation de l'expression (une + b + c) 2 . Il peut s'écrire comme le produit de deux parenthèses (une + b + c) · (une + b + c). Multiplions parenthèse par parenthèse et obtenons a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.

Regardons un autre exemple :

Exemple 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2

Division des parenthèses par nombre et des parenthèses par parenthèses

Pour diviser une parenthèse par un nombre, il faut que tous les termes entre parenthèses soient divisés par le nombre. Par exemple, (x 2 - x) : 4 = x 2 : 4 - x : 4 .

La division peut d'abord être remplacée par une multiplication, après quoi vous pouvez utiliser la règle appropriée pour ouvrir les parenthèses dans un produit. La même règle s'applique lors de la division d'une parenthèse par une parenthèse.

Par exemple, nous devons ouvrir les parenthèses dans l'expression (x + 2) : 2 3 . Pour ce faire, remplacez d'abord la division en multipliant par le nombre réciproque (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3. Multipliez la parenthèse par le nombre (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .

Voici un autre exemple de division par parenthèses :

Exemple 9

1 x + x + 1 : (x + 2) .

Remplaçons la division par la multiplication : 1 x + x + 1 · 1 x + 2.

Faisons la multiplication : 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Ordre des parenthèses d'ouverture

Considérons maintenant l’ordre d’application des règles évoquées ci-dessus dans les expressions générales, c’est-à-dire dans des expressions qui contiennent des sommes avec des différences, des produits avec des quotients, des parenthèses au degré naturel.

Procédure:

• la première étape consiste à élever les supports à une puissance naturelle ;
• dans un deuxième temps, l'ouverture des parenthèses en travaux et quotients est réalisée ;
• La dernière étape consiste à ouvrir les parenthèses dans les sommes et les différences.

Considérons l'ordre des actions en utilisant l'exemple de l'expression (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Transformons à partir des expressions 3 · (− 2) : (− 4) et 6 · (− 7) , qui devraient prendre la forme (3 2:4) et (− 6 · 7) . En remplaçant les résultats obtenus dans l'expression originale, nous obtenons : (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2 : 4) − (-6 · 7). Ouvrez les parenthèses : − 5 + 3 · 2 : 4 + 6 · 7.

Lorsqu'il s'agit d'expressions contenant des parenthèses entre parenthèses, il est pratique d'effectuer des transformations en travaillant de l'intérieur vers l'extérieur.

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