Calcul du décimal au binaire. Comptage ordinal dans divers systèmes numériques. Conversion de la partie fractionnaire d'un nombre du système numérique décimal vers un autre système numérique
Pour convertir rapidement des nombres du système numérique décimal au système binaire, vous devez avoir une bonne connaissance des nombres « 2 à la puissance ». Par exemple, 2 10 =1024, etc. Cela vous permettra de résoudre certains exemples de traduction littéralement en quelques secondes. L'une de ces tâches est Problème A1 de la démo USE 2012. Bien entendu, vous pouvez prendre un temps long et fastidieux pour diviser un nombre par « 2 ». Mais il vaut mieux décider différemment, ce qui permet de gagner un temps précieux sur l'examen.
La méthode est très simple. Son essence est la suivante : si le nombre qui doit être converti du système décimal est égal au nombre "2 à la puissance", alors ce nombre dans le système binaire contient un nombre de zéros égal à la puissance. On ajoute un « 1 » devant ces zéros.
- Convertissons le nombre 2 du système décimal. 2=2 1 . Par conséquent, dans le système binaire, un nombre contient 1 zéro. On met « 1 » devant et on obtient 10 2.
- Convertissons 4 du système décimal. 4=2 2 . Ainsi, dans le système binaire, un nombre contient 2 zéros. On met « 1 » devant et on obtient 100 2.
- Convertissons 8 du système décimal. 8=2 3 . Ainsi, dans le système binaire, un nombre contient 3 zéros. On met « 1 » devant et on obtient 1000 2.
De même pour les autres nombres "2 à la puissance".
Si le nombre à convertir est inférieur de 1 au nombre « 2 à la puissance », alors dans le système binaire, ce nombre est constitué uniquement d'unités dont le nombre est égal à la puissance.
- Convertissons 3 du système décimal. 3=2 2 -1. Ainsi, dans le système binaire, un nombre contient 2 uns. Nous obtenons 11 2.
- Convertissons 7 du système décimal. 7=2 3 -1. Ainsi, dans le système binaire, un nombre contient 3 uns. Nous obtenons 111 2.
Sur la figure, les carrés indiquent la représentation binaire du nombre et la couleur rose à gauche indique la représentation décimale.
La traduction est similaire pour les autres nombres « 2 puissance-1 ».
Il est clair que la traduction des nombres de 0 à 8 peut se faire rapidement soit par division, soit simplement connaître par cœur leur représentation dans le système binaire. J'ai donné ces exemples pour que vous compreniez le principe de cette méthode et que vous l'utilisiez pour traduire des « nombres plus impressionnants », par exemple pour traduire les nombres 127, 128, 255, 256, 511, 512, etc.
Vous pouvez rencontrer de tels problèmes lorsque vous devez convertir un nombre qui n'est pas égal au nombre « 2 à la puissance », mais qui s'en rapproche. Elle peut être supérieure ou inférieure à 2 puissance. La différence entre le nombre traduit et le nombre « 2 à la puissance » devrait être faible. Par exemple, jusqu'à 3. La représentation des nombres de 0 à 3 dans le système binaire doit simplement être connue sans traduction.
Si le nombre est supérieur à , résolvez comme ceci :
Nous convertissons d’abord le nombre « 2 à la puissance » dans le système binaire. Et puis on y ajoute la différence entre le nombre « 2 à la puissance » et le nombre en cours de traduction.
Par exemple, convertissons 19 du système décimal. Il est supérieur au nombre « 2 à la puissance » de 3.
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
3 10 =11 2 .
19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .
Si le nombre est inférieur au nombre « 2 à la puissance », alors il est plus pratique d'utiliser le nombre « 2 à la puissance-1 ». Nous le résolvons comme ceci :
Nous convertissons d’abord le nombre « 2 à la puissance 1 » dans le système binaire. Et puis nous soustrayons la différence entre le nombre « 2 puissance 1 » et le nombre à traduire.
Par exemple, convertissons 29 du système décimal. Il est supérieur au nombre « 2 puissance-1 » de 2. 29=31-2.
31 10 =11111 2 .
2 10 =10 2 .
29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2
Si la différence entre le nombre à traduire et le nombre « 2 à la puissance » est supérieure à trois, vous pouvez alors diviser le nombre en ses composants, convertir chaque partie en système binaire et additionner.
Par exemple, convertissez le nombre 528 du système décimal. 528=512+16. Nous traduisons 512 et 16 séparément.
512=2 9
. 512 10 =1000000000
2 .
16=2 4
. 16 10 =10000
2 .
Ajoutons-le maintenant dans une colonne :
Vous pouvez saisir à la fois des nombres entiers, par exemple 34, et des nombres fractionnaires, par exemple 637,333. Pour les nombres fractionnaires, la précision de la traduction après la virgule décimale est indiquée.
Les éléments suivants sont également utilisés avec cette calculatrice :
Façons de représenter les nombres
Binaire nombres (binaires) - chaque chiffre signifie la valeur d'un bit (0 ou 1), le bit le plus significatif est toujours écrit à gauche, la lettre « b » est placée après le nombre. Pour faciliter la perception, les cahiers peuvent être séparés par des espaces. Par exemple, 1010 0101b.Hexadécimal nombres (hexadécimaux) - chaque tétrade est représentée par un symbole 0...9, A, B, ..., F. Cette représentation peut être désignée de différentes manières ici seul le symbole « h » est utilisé après le dernier hexadécimal ; chiffre. Par exemple, A5h. Dans les textes de programme, le même numéro peut être désigné par 0xA5 ou 0A5h, selon la syntaxe du langage de programmation. Un zéro (0) non significatif est ajouté à gauche du chiffre hexadécimal le plus significatif représenté par la lettre pour distinguer les nombres et les noms symboliques.
Décimal nombres (décimaux) - chaque octet (mot, double mot) est représenté par un nombre régulier et le signe de représentation décimale (la lettre « d ») est généralement omis. L'octet dans les exemples précédents a une valeur décimale de 165. Contrairement à la notation binaire et hexadécimale, la notation décimale est difficile à déterminer mentalement la valeur de chaque bit, ce qui est parfois nécessaire.
Octal nombres (octaux) - chaque triplet de bits (la division commence par le poids le moins significatif) est écrit sous la forme d'un nombre de 0 à 7, avec un « o » à la fin. Le même nombre s’écrirait 245o. Le système octal n'est pas pratique car l'octet ne peut pas être divisé de manière égale.
Algorithme de conversion de nombres d'un système numérique à un autre
La conversion des nombres décimaux entiers vers tout autre système numérique s'effectue en divisant le nombre par la base du nouveau système numérique jusqu'à ce que le reste reste un nombre inférieur à la base du nouveau système numérique. Le nouveau nombre s'écrit sous forme de restes de division, en commençant par le dernier.La conversion d'une fraction décimale régulière en un autre PSS s'effectue en multipliant uniquement la partie fractionnaire du nombre par la base du nouveau système numérique jusqu'à ce que tous les zéros restent dans la partie fractionnaire ou jusqu'à ce que la précision de traduction spécifiée soit atteinte. À la suite de chaque opération de multiplication, un chiffre d'un nouveau nombre est formé, en commençant par le plus élevé.
Une traduction incorrecte d'une fraction est effectuée selon les règles 1 et 2. Les parties entières et fractionnaires sont écrites ensemble, séparées par une virgule.
Exemple n°1. 
Conversion du système numérique de 2 à 8 à 16.
Ces systèmes sont des multiples de deux, la traduction s'effectue donc à l'aide d'une table de correspondance (voir ci-dessous).
Pour convertir un nombre du système de nombres binaires au système de nombres octal (hexadécimal), il est nécessaire de diviser le nombre binaire du point décimal à droite et à gauche en groupes de trois (quatre pour hexadécimal) chiffres, en complétant les groupes externes. avec des zéros si nécessaire. Chaque groupe est remplacé par le chiffre octal ou hexadécimal correspondant.
Exemple n°2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
ici 001=1 ; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
Lors de la conversion au système hexadécimal, vous devez diviser le nombre en parties de quatre chiffres, en suivant les mêmes règles.
Exemple n°3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
ici 0010=2 ; 1011=B; 1010 = 12 ; 1011=13
La conversion des nombres de 2, 8 et 16 au système décimal s'effectue en divisant le nombre en nombres individuels et en le multipliant par la base du système (à partir de laquelle le nombre est traduit) élevée à la puissance correspondant à son numéro de série en le nombre en cours de conversion. Dans ce cas, les nombres sont numérotés à gauche de la virgule décimale (le premier nombre est numéroté 0) en croissant et à droite en décroissant (c'est-à-dire avec un signe négatif). Les résultats obtenus sont additionnés.
Exemple n°4.
Un exemple de conversion du système de nombres binaires au système de nombres décimaux.
1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Un exemple de conversion du système de nombres octal en décimal.
108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Un exemple de conversion du système numérique hexadécimal au système décimal.
- 108,5 16 = 1,16 2 +0,16 1 +8,16 0 + 5,16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10
- Encore une fois, nous répétons l'algorithme de conversion des nombres d'un système numérique à un autre PSS
- À partir du système de nombres décimaux :
- diviser le nombre par la base du système numérique en cours de traduction ;
- trouver le reste en divisant une partie entière d'un nombre ;
- notez tous les restes de la division dans l'ordre inverse ;
- Du système de nombres binaires
Pour convertir au système numérique décimal, il est nécessaire de trouver la somme des produits de base 2 par le degré de chiffre correspondant ; - Pour convertir un nombre en octal, vous devez diviser le nombre en triades.
Par exemple, 1000110 = 1 000 110 = 106 8
Le système est appelé positionnel
| Table de correspondance du système numérique : | Tableau de conversion vers le système numérique hexadécimal |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | SS binaire |
| 1011 | SS hexadécimal |
| 1100 | UN |
| 1101 | B |
| 1110 | C |
| 1111 | D |
E
Lorsqu’on met en place des réseaux de différentes tailles et qu’on fait des calculs au quotidien, on n’a pas besoin de créer ce genre d’aide-mémoire, tout se fait sur un réflexe inconditionnel. Mais lorsque vous fouillez très rarement dans les réseaux, vous ne vous souvenez pas toujours quel est le masque sous forme décimale pour le préfixe 21 ou quelle est l'adresse réseau pour le même préfixe. À cet égard, j'ai décidé d'écrire plusieurs petits articles-aide-mémoire sur la conversion des nombres en divers systèmes numériques, adresses réseau, masques, etc. Dans cette partie, nous parlerons de la conversion des nombres en différents systèmes numériques.
1. Systèmes numériques
Lorsque vous faites quelque chose lié aux réseaux informatiques et à l’informatique, vous rencontrerez de toute façon ce concept. Et en tant que professionnel de l'informatique intelligent, vous devez comprendre cela au moins un peu, même si dans la pratique vous l'utiliserez très rarement.
Regardons la traduction de chaque chiffre d'une adresse IP 98.251.16.138
dans les systèmes numériques suivants :
- Binaire
- Octal
- Décimal
- Hexadécimal
1.1 Décimal
Puisque les nombres sont écrits en décimal, nous ignorerons la conversion de décimal en décimal :)
1.1.1 Décimal → Binaire
Comme nous le savons, le système de nombres binaires est utilisé dans presque tous les ordinateurs modernes et dans de nombreux autres appareils informatiques. Le système est très simple : nous n’avons que 0 et 1.
Pour convertir un nombre avec une dîme sous forme binaire, vous devez utiliser la division modulo 2 (c'est-à-dire une division entière par 2), ce qui fait que nous aurons toujours un reste de 1 ou de 0. Dans ce cas, le résultat est écrit de droite à gauche. Un exemple remettra tout à sa place :
Figure 1.1 – Conversion de nombres du système décimal au système binaire
Figure 1.2 – Conversion de nombres du système décimal au système binaire
Je vais décrire la division du nombre 98. Nous divisons 98 par 2, nous avons donc 49 et le reste 0. Ensuite, nous continuons la division et divisons 49 par 2, nous avons donc 24 avec un reste 1. Et dans de la même manière, nous arrivons à 1 ou 0 en divisible. Ensuite, nous écrivons le résultat de droite à gauche.
1.1.2 Décimal → Octal
Le système octal est un système de nombres entiers en base 8. C'est-à-dire tous les nombres qu'il contient sont représentés dans la plage de 0 à 7 et pour convertir à partir du système décimal, vous devez utiliser la division modulo 8.
Figure 1.3 – Conversion de nombres du système décimal au système octal
La division est similaire au système en 2 points.
1.1.3 Décimal → Hexadécimal
Le système hexadécimal a presque complètement remplacé le système octal. Il a une base de 16, mais utilise des chiffres décimaux de 0 à 9 + des lettres latines de A (chiffre 10) à F (chiffre 15). Vous le rencontrez chaque fois que vous vérifiez les paramètres de votre carte réseau - il s'agit de l'adresse MAC. Idem lorsque IPv6 est utilisé.
Figure 1.4 – Conversion de nombres décimaux en hexadécimaux
1.2 Binaire
Dans l’exemple précédent, nous avons converti tous les nombres décimaux en d’autres systèmes numériques, dont l’un est binaire. Convertissons maintenant chaque nombre sous forme binaire.
1.2.1 Binaire → Décimal
Pour convertir des nombres binaires en décimaux, vous devez connaître deux nuances. La première est que chaque zéro et un ont un facteur de 2 à la puissance n, dans lequel n augmente de droite à gauche d'exactement un. La seconde est qu'après avoir multiplié, tous les nombres doivent être additionnés et nous obtenons le nombre sous forme décimale. En conséquence, nous aurons une formule comme celle-ci :
D = (un n × p n-1) + (un n-1 × p n-2) + (un n-2 × p n-3) +…, (1.2.1)
Où,
D est le nombre décimal que nous recherchons ;
n– le nombre de caractères dans un nombre binaire ;
a – un nombre sous forme binaire à la nième position (c'est-à-dire le premier caractère, le deuxième, etc.) ;
p – coefficient égal à 2,8 ou 16 à la puissance n(selon le système de numérotation)
Par exemple, prenons le nombre 110102. On regarde la formule et on écrit :
- Le numéro est composé de 5 caractères ( n=5)
- p = 2 (puisque nous convertissons du binaire en décimal)
un 5 = 1, un 4 = 1, un 3 = 0, un 2 = 1, un 1 = 0
En conséquence nous avons :
D = (1 × 2 5-1) + (1 × 2 5-2) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-5) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10
Pour ceux qui ont l'habitude d'écrire de droite à gauche, le formulaire ressemblera à ceci :
D = (0 × 2 5-5) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-2) + (1 × 2 5-1) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10
Mais comme nous le savons, réorganiser les termes ne change pas la somme. Convertissons maintenant nos nombres sous forme décimale.
Figure 1.5 – Conversion de nombres du système binaire au système décimal
1.2.2 Binaire → Octal
Lors de la traduction, nous devons diviser le nombre binaire en groupes de trois caractères de droite à gauche. Si le dernier groupe n'est pas composé de trois caractères, alors on remplace simplement les bits manquants par des zéros. Par exemple:
10101001 = 0 10 101 001
1011100 = 00 1 011 100
Chaque groupe de bits est l'un des nombres octaux. Pour savoir lequel, vous devez utiliser la formule 1.2.1 écrite ci-dessus pour chaque groupe de bits. En conséquence, nous obtenons.
Figure 1.6 – Conversion de nombres du système binaire au système octal
1.2.3 Binaire → Hexadécimal
Ici, nous devons diviser le nombre binaire en groupes de quatre caractères de droite à gauche, puis ajouter des zéros aux bits manquants du groupe, comme décrit ci-dessus. Si le dernier groupe est constitué de zéros, ils doivent alors être ignorés.
110101011 = 000 1 1010 1011
1011100 = 0 101 1100
001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000
Chaque groupe de bits est l'un des nombres hexadécimaux. Nous utilisons la formule 1.2.1 pour chaque groupe de bits.
Figure 1.7 – Conversion de nombres binaires en hexadécimaux
1.3 Octal
Dans ce système, nous pouvons avoir des difficultés uniquement lors de la conversion en hexadécimal, puisque le reste de la traduction se déroule sans problème.
1.3.1 Octal → Binaire
Chaque nombre du système octal est un groupe de trois bits dans le système binaire, comme décrit ci-dessus. Pour traduire, nous devons utiliser un aide-mémoire :
Figure 1.8 – Spur pour convertir les nombres du système octal
À l'aide de cette tablette, nous convertirons nos nombres au système binaire.
Figure 1.9 – Conversion de nombres octaux en binaires
Je vais décrire un peu la conclusion. Notre premier nombre est 142, ce qui signifie qu'il y aura trois groupes de trois bits chacun. Nous utilisons l'éperon et voyons que le numéro 1 est 001, le numéro 4 est 100 et le numéro 2 est 010. En conséquence, nous avons le numéro 001100010.
1.3.2 Octal → Décimal
Ici, nous utilisons la formule 1.2.1 uniquement avec un coefficient de 8 (c'est-à-dire p=8). En conséquence nous avons
Figure 1.10 – Conversion de nombres du système octal au système décimal
- Le numéro est composé de 3 caractères ( n=3)
- p = 8 (puisque nous convertissons d'octal en décimal)
un 3 = 1, un 2 = 4, un 1 = 2
En conséquence nous avons :
D = (1 × 8 3-1) + (4 × 8 3-2) + (2 × 8 3-3) = 64 + 32 + 2 = 98 10
1.3.3 Octal → Hexadécimal
Comme cela a été écrit précédemment, pour traduire, il faut d'abord convertir les nombres en système binaire, puis du binaire en hexadécimal, en les divisant en groupes de 4 bits. Vous pouvez utiliser l'éperon suivant.
Figure 1.11 – Outil de conversion des nombres du système hexadécimal
Ce tableau vous aidera à convertir du binaire en hexadécimal. Maintenant, convertissons nos nombres.
Figure 1.12 – Conversion de nombres octaux en hexadécimaux
1.4 Hexadécimal
Ce système a le même problème lors de la conversion en octal. Mais nous en reparlerons plus tard.
1.4.1 Hex → Binaire
Chaque nombre en hexadécimal est un groupe de quatre bits en binaire, comme décrit ci-dessus. Pour traduire, on peut utiliser l’aide-mémoire situé ci-dessus. Par conséquent:
Figure 1.13 – Conversion de nombres hexadécimaux en binaires
Prenons le premier nombre - 62. En utilisant le tableau (Fig. 1.11), nous voyons que 6 est 0110, 2 est 0010, nous avons donc le nombre 01100010.
1.4.2 Hex → Décimal
Nous utilisons ici la formule 1.2.1 uniquement avec un coefficient de 16 (soit p=16). En conséquence nous avons
Figure 1.14 – Conversion de nombres hexadécimaux en décimaux
Prenons le premier chiffre. Basé sur la formule 1.2.1 :
- Le numéro est composé de 2 caractères ( n=2)
- p = 16 (puisque nous convertissons de l'hexadécimal en décimal)
un 2 = 6, un 1 = 2
En conséquence, nous avons.
D = (6 × 16 2-1) + (2 × 16 2-2) = 96 + 2 = 98 10
1.4.3 Hex → Octal
Pour convertir en système octal, vous devez d'abord convertir en binaire, puis le diviser en groupes de 3 bits et utiliser le tableau (Fig. 1.8). Par conséquent:
Figure 1.15 – Conversion de nombres hexadécimaux en octaux
Nous parlerons d'adresses IP, de masques et de réseaux.
Y a-t-il des difficultés ou des malentendus lors de la conversion de nombres binaires en hexadécimaux ? Inscrivez-vous avec moi à des cours particuliers d'informatique et de TIC. Dans nos cours particuliers, mes élèves et moi analysons non seulement la partie théorique, mais résolvons également un nombre colossal d'exercices thématiques différents.
Vous devez savoir ce qu'est un système de nombres binaires ou binaires
Avant de réfléchir à la façon de convertir un nombre de 2 en 16, vous devez avoir une bonne compréhension de ce que sont les nombres dans le système numérique binaire. Permettez-moi de vous rappeler que l'alphabet du système de nombres binaires se compose de deux éléments valides - 0 Et 1 . Cela signifie qu'absolument tout nombre écrit en binaire sera constitué d'un ensemble de zéros et de uns. Voici des exemples de nombres écrits en représentation binaire : 10010, 100, 111101010110, 1000001.
Vous devez savoir quel est le système de nombres hexadécimaux
Nous avons compris le système binaire, rappelé les points de base, parlons maintenant du système hexadécimal. L'alphabet du système numérique hexadécimal se compose de seize caractères différents : 10 chiffres arabes (de 0 à 9) et 6 premières lettres latines majuscules (de « A » à « F »). Cela signifie qu'absolument tout nombre écrit en hexadécimal sera composé de caractères de l'alphabet ci-dessus. Voici des exemples de nombres écrits en notation hexadécimale :
| 810A | FCDF | 198303 | 100FFF0 |
Parlons de l'algorithme pour convertir un nombre de 2 en système de nombres hexadécimaux
Nous devrons certainement considérer la table de codage Tetrad. Sans utiliser ce tableau, il sera assez difficile de convertir rapidement les nombres du système 2 au système 16.
Le but de la table de codage Tetrad est de faire correspondre de manière unique les symboles du système de numérotation binaire et du système de numérotation hexadécimal.
La table Tetrad a la structure suivante :
Tableau tétrade |
|||||||
0000 - 0 | 0001 - 1 | 0010 - 2 | 0011 - 3 | 0100 - 4 | 0101 - 5 | 0110 - 6 | 0111 - 7 |
1000 - 8 | 1001 - 9 | 1010 - SS binaire | 1011 - SS hexadécimal | 1100 - UN | 1101 - B | 1110 - C | 1111 - D |
Disons que nous devons convertir le nombre 101011111001010 2 en hexadécimal. Tout d'abord, il faut diviser le code binaire source en groupes de quatre bits, et, ce qui est très important, la division doit commencer de droite à gauche.
101 . 0111 . 1100 . 1010
Après fractionnement, nous avons reçu quatre groupes : 101, 0111, 1100 et 1010. Le segment le plus à gauche, c'est-à-dire le segment 101, nécessite une attention particulière. Comme vous pouvez le constater, sa longueur est de 3 chiffres, et il faut que sa longueur soit égale. à quatre, nous compléterons donc ce segment en tête de zéro :
101 -> 0 101.
Dites-moi, sur quelle base ajoute-t-on un 0 à gauche du nombre ? Le fait est que l’ajout de zéros insignifiants n’a aucun effet sur la valeur du nombre d’origine. Par conséquent, nous avons parfaitement le droit d'ajouter non seulement un zéro à gauche d'un nombre binaire, mais en principe n'importe quel nombre de zéros et d'obtenir un nombre de la longueur requise.
Au stade final de la conversion, il est nécessaire de convertir chacun des groupes binaires résultants en la valeur correspondante selon la table de codage Tetrad.
| 0101 -> 5 | 0111 -> 7 | 1100 -> UN | 1010 -> SS binaire |
101011111001010 2 = 57CA 16
Et maintenant je vous propose de vous familiariser avec la solution multimédia, qui montre comment elle est convertie d'un état binaire à un état hexadécimal :
Brèves conclusions
Dans ce court article, nous avons abordé le sujet « Systèmes numériques : comment convertir de 2 à 16" Si vous avez des questions ou des malentendus, n'hésitez pas à appeler et à vous inscrire à mes cours particuliers d'informatique et de programmation. Je vous proposerai de résoudre des dizaines d'exercices similaires et il ne vous restera plus une seule question. En général, les systèmes numériques constituent un sujet extrêmement important qui constitue la base utilisée tout au long du cours.
Ceux qui passent l'examen d'État unifié et plus encore...
Il est étrange que dans les écoles, pendant les cours d'informatique, ils montrent généralement aux étudiants la manière la plus complexe et la plus peu pratique de convertir des nombres d'un système à un autre. Cette méthode consiste à diviser séquentiellement le nombre original par la base et à collecter les restes de la division dans l'ordre inverse.
Par exemple, vous devez convertir le nombre 810 10 en binaire :
Nous écrivons le résultat dans l'ordre inverse de bas en haut. Il s'avère que 81010 = 11001010102
Si vous devez convertir des nombres assez grands en système binaire, l'échelle de division prend la taille d'un bâtiment à plusieurs étages. Et comment pouvez-vous collecter tous les uns et tous les zéros sans en manquer un seul ?
Le programme d'examen d'État unifié en informatique comprend plusieurs tâches liées à la conversion des nombres d'un système à un autre. Il s'agit généralement d'une conversion entre les systèmes octal et hexadécimal et binaire. Il s'agit des sections A1, B11. Mais il existe également des problèmes avec d’autres systèmes de numérotation, comme dans la section B7.
Pour commencer, rappelons deux tableaux qu’il serait bon de connaître par cœur pour ceux qui choisissent l’informatique comme futur métier.
Tableau des puissances du numéro 2 :
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Il s'obtient facilement en multipliant le nombre précédent par 2. Ainsi, si vous ne vous souvenez pas de tous ces nombres, il n'est pas difficile d'obtenir le reste dans votre esprit à partir de ceux dont vous vous souvenez.
Tableau des nombres binaires de 0 à 15 avec représentation hexadécimale :
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | SS binaire | SS hexadécimal | UN | B | C | D |
Les valeurs manquantes sont également faciles à calculer en ajoutant 1 aux valeurs connues.
Conversion entière
Commençons donc par convertir directement vers le système binaire. Prenons le même numéro 810 10. Nous devons décomposer ce nombre en termes égaux à des puissances de deux.
- Nous recherchons la puissance de deux la plus proche de 810 et ne la dépassant pas. C'est 2 9 = 512.
- Soustrayez 512 de 810, nous obtenons 298.
- Répétez les étapes 1 et 2 jusqu'à ce qu'il ne reste plus de 1 ou de 0.
- Nous l'avons obtenu comme ceci : 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1.
Méthode 1: Disposez 1 selon les chiffres des indicateurs des termes. Dans notre exemple, ce sont 9, 8, 5, 3 et 1. Les places restantes contiendront des zéros. Nous avons donc la représentation binaire du nombre 810 10 = 1100101010 2. Les unités sont placées aux 9ème, 8ème, 5ème, 3ème et 1ère places, en comptant de droite à gauche à partir de zéro.
Méthode 2: Écrivons les termes sous forme de puissances de deux l'une sous l'autre, en commençant par le plus grand.
810 =
Additionnons maintenant ces étapes, comme plier un éventail : 1100101010.
C'est ça. Dans le même temps, le problème « combien d'unités y a-t-il dans la notation binaire du nombre 810 ? » est également simplement résolu.
La réponse est autant qu’il y a de termes (puissances de deux) dans cette représentation. 810 en possède 5.
Maintenant, l'exemple est plus simple.
Convertissons le nombre 63 au système numérique 5-aire. La puissance la plus proche de 5 à 63 est 25 (carré 5). Un cube (125) sera déjà beaucoup. Autrement dit, 63 se situe entre le carré de 5 et le cube. Ensuite, nous sélectionnerons le coefficient pour 5 2. C'est 2.
On obtient 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5.
Et enfin, des traductions très simples entre les systèmes 8 et hexadécimaux. Comme leur base est une puissance de deux, la traduction se fait automatiquement, simplement en remplaçant les nombres par leur représentation binaire. Pour le système octal, chaque chiffre est remplacé par trois chiffres binaires, et pour le système hexadécimal, par quatre. Dans ce cas, tous les zéros non significatifs sont requis, à l'exception du chiffre le plus significatif.
Convertissons le nombre 547 8 en binaire.
| 547 8 = | 101 | 100 | 111 |
| 5 | 4 | 7 |
Un de plus, par exemple 7D6A 16.
| 7D6A16 = | (0)111 | 1101 | 0110 | 1010 |
| 7 | D | 6 | UN |
Convertissons le nombre 7368 au système hexadécimal. Commençons par écrire les nombres en triplets, puis divisons-les en quadruples à partir de la fin : 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16. Convertissons le nombre C25 16 en système octal. Tout d’abord, nous écrivons les nombres par quatre, puis nous les divisons en trois à partir de la fin : C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8. Voyons maintenant la reconversion en décimal. Ce n'est pas difficile, l'essentiel est de ne pas se tromper dans les calculs. Nous développons le nombre en un polynôme avec les puissances de la base et leurs coefficients. Ensuite, nous multiplions et ajoutons le tout. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .
Conversion de nombres négatifs
Ici, vous devez tenir compte du fait que le nombre sera présenté sous forme de code complément à deux. Pour convertir un nombre en code supplémentaire, vous devez connaître la taille finale du nombre, c'est-à-dire dans quoi nous voulons l'insérer - en un octet, en deux octets, en quatre. Le chiffre le plus significatif d'un nombre signifie le signe. S’il y a 0, alors le nombre est positif, s’il y a 1, alors il est négatif. A gauche, le numéro est complété par un chiffre signe. Nous ne considérons pas les nombres non signés ; ils sont toujours positifs et le bit le plus significatif est utilisé comme information.
Pour convertir un nombre négatif en complément binaire, vous devez convertir un nombre positif en binaire, puis changer les zéros en uns et les uns en zéros. Ajoutez ensuite 1 au résultat.
Alors, convertissons le nombre -79 en système binaire. Le numéro nous prendra un octet.
On convertit 79 au système binaire, 79 = 1001111. On ajoute des zéros à gauche à la taille de l'octet, 8 bits, on obtient 01001111. On change 1 en 0 et 0 en 1. On obtient 10110000. On ajoute 1 à le résultat, nous obtenons la réponse 10110001. En cours de route, nous répondons à la question de l'examen d'État unifié « combien d'unités y a-t-il dans la représentation binaire du nombre -79 ? La réponse est 4.
L'ajout de 1 à l'inverse d'un nombre élimine la différence entre les représentations +0 = 00000000 et -0 = 11111111. Dans le code complément à deux, elles seront écrites de la même manière que 00000000.
Conversion de nombres fractionnaires
Les nombres fractionnaires sont convertis de la manière inverse de la division des nombres entiers par la base, que nous avons examinée au tout début. Autrement dit, en utilisant la multiplication séquentielle par une nouvelle base avec la collection de parties entières. Les parties entières obtenues lors de la multiplication sont collectées, mais ne participent pas aux opérations suivantes. Seules les fractions sont multipliées. Si le nombre d'origine est supérieur à 1, les parties entières et fractionnaires sont traduites séparément puis collées ensemble.
Convertissons le nombre 0,6752 au système binaire.
| 0 | ,6752 |
| *2 | |
| 1 | ,3504 |
| *2 | |
| 0 | ,7008 |
| *2 | |
| 1 | ,4016 |
| *2 | |
| 0 | ,8032 |
| *2 | |
| 1 | ,6064 |
| *2 | |
| 1 | ,2128 |
Le processus peut être poursuivi pendant une longue période jusqu'à ce que nous obtenions tous les zéros dans la partie fractionnaire ou que la précision requise soit atteinte. Arrêtons-nous au 6ème signe pour l'instant.
Il s'avère que 0,6752 = 0,101011.
Si le nombre était 5,6752, alors en binaire ce sera 101,101011.