Lignes linéairement indépendantes. Dépendance linéaire et indépendance linéaire des lignes et des colonnes d'une matrice. En utilisant la méthode des mineurs limitrophes, trouvez le rang de la matrice

Considérons une matrice A arbitraire, pas nécessairement carrée, de taille mxn.

Rang matriciel.

Le concept de rang matriciel est lié au concept dépendance linéaire(indépendance) des lignes (colonnes) de la matrice. Considérons ce concept pour les chaînes. Pour les colonnes - de même.

Notons les drains de la matrice A :

e 1 =(une 11,une 12,…,une 1n); e 2 =(une 21,une 22,…,une 2n);…, e m =(une m1,une m2,…,une mn)

e k =e s si a kj =a sj , j=1,2,…,n

Opérations arithmétiques sur les lignes de la matrice (addition, multiplication par un nombre) sont introduites des opérations effectuées élément par élément : λе k =(λа k1,λа k2,…,λа kn) ;

e k +е s =[(a k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(a kn +a sn)].

La ligne e s'appelle combinaison linéaire lignes e 1, e 2,…, e k, s'il est égal à la somme des produits de ces lignes par arbitraire nombres réels:

e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k

Les lignes e 1, e 2,…, em sont appelées linéairement dépendant, s'il existe des nombres réels λ 1 ,λ 2 ,…,λ m , non tous égaux à zéro, que la combinaison linéaire de ces chaînes est égale à la chaîne nulle : λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ moi m = 0 ,Où 0 =(0,0,…,0) (1)

Si une combinaison linéaire est égale à zéro si et seulement si tous les coefficients λ i sont égaux à zéro (λ 1 =λ 2 =...=λ m =0), alors les lignes e 1, e 2,..., je m'appelle linéairement indépendant.

Théorème 1. Pour que les chaînes e 1 , e 2 ,…, e m soient linéairement dépendantes, il est nécessaire et suffisant que l'une de ces chaînes soit une combinaison linéaire des chaînes restantes.

Preuve. Nécessité. Soit les chaînes e 1, e 2,…, e m linéairement dépendantes. Soit, pour être précis, (1) λ m ≠0, alors

Que. la chaîne e m est une combinaison linéaire des chaînes restantes. Etc.

Adéquation. Soit l'une des chaînes, par exemple e m, une combinaison linéaire des chaînes restantes. Alors il y aura des nombres tels que l'égalité soit vraie, qui peuvent être réécrits sous la forme

où au moins 1 des coefficients, (-1), n'est pas égal à zéro. Ceux. les lignes sont linéairement dépendantes. Etc.

Définition. Ordre mineur du kième la matrice A de taille mxn est appelée un déterminant d'ordre k avec des éléments se trouvant à l'intersection de k lignes et de k colonnes quelconques de la matrice A. (k≤min(m,n)). .

Exemple., mineurs de 1er ordre : =, =;

Mineurs de 2ème ordre : , 3ème ordre

Une matrice du 3ème ordre comporte 9 mineurs du 1er ordre, 9 mineurs du 2ème ordre et 1 mineur du 3ème ordre (le déterminant de cette matrice).

Définition. Rang de la matrice A appelé ordre le plus élevé mineurs non nuls de cette matrice. Désignation - rg A ou r(A).

Propriétés de rang matriciel.

1) le rang de la matrice A nxm ne dépasse pas la plus petite de ses dimensions, c'est-à-dire

r(UNE)≤min(m,n).

2) r(A)=0 lorsque tous les éléments de la matrice sont égaux à 0, c'est-à-dire A=0.

3) Pour matrice carrée Et nième ordre r(A)=n, quand A est non dégénéré.

(Le rang d'une matrice diagonale est égal au nombre de ses éléments diagonaux non nuls).

4) Si le rang d'une matrice est égal à r, alors la matrice a au moins un mineur d'ordre r, non égal à zéro, et tous les mineurs des commandes importantes sont égaux à zéro.

Les relations suivantes sont valables pour les rangs de la matrice :

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(UNE T UNE)=r(UNE);

5) r(AB)=r(A), si B est une matrice carrée non singulière.

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, où n est le nombre de colonnes de la matrice A ou de lignes de la matrice B.

Définition. Un mineur non nul d'ordre r(A) est appelé mineur de base. (La matrice A peut avoir plusieurs mineurs de base). Lignes et colonnes à l'intersection desquelles se trouvent mineur de base, sont appelés en conséquence chaînes de base Et colonnes de base.

Théorème 2 (sur la base mineure). Les lignes (colonnes) sous-jacentes sont linéairement indépendantes. Toute ligne (n'importe quelle colonne) de la matrice A est une combinaison linéaire des lignes de base (colonnes).

Preuve. (Pour les cordes). Si les lignes de base étaient linéairement dépendantes, alors selon le théorème (1) l'une de ces lignes serait une combinaison linéaire d'autres lignes de base, alors, sans changer la valeur du mineur de base, vous pouvez soustraire la combinaison linéaire indiquée de cette ligne et obtenez une ligne nulle, ce qui contredit le fait que la base mineure est différente de zéro. Que. les lignes de base sont linéairement indépendantes.

Montrons que toute ligne de la matrice A est une combinaison linéaire des lignes de base. Parce que avec des changements arbitraires de lignes (colonnes) le déterminant conserve la propriété d'être égal à zéro, alors, sans perte de généralité, on peut supposer que la base mineure est dans le coin supérieur gauche de la matrice

UNE =, ceux. situé sur les r premières lignes et les r premières colonnes. Soit 1£j£n, 1£i£m. Montrons que le déterminant de l'ordre (r+1)

Si j£r ou i£r, alors ce déterminant est égal à zéro, car il aura deux colonnes identiques ou deux lignes identiques.

Si j>r et i>r, alors ce déterminant est mineur du (r+1)ième ordre de la matrice A. Puisque Le rang de la matrice est égal à r, ce qui signifie que tout mineur d'ordre supérieur est égal à 0.

En le développant en fonction des éléments de la dernière colonne (ajoutée), on obtient

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, où le dernier complément algébrique A ij coïncide avec la base mineure M r et donc A ij = M r ≠0.

En divisant la dernière égalité par A ij, nous pouvons exprimer l'élément a ij sous la forme d'une combinaison linéaire : , où .

Fixons la valeur de i (i>r) et constatons que pour tout j (j=1,2,…,n) les éléments ième ligne e i sont exprimés linéairement à travers les éléments des droites e 1, e 2,…, e r, c'est-à-dire ième ligne est une combinaison linéaire des chaînes de base : . Etc.

Théorème 3. (condition nécessaire et suffisante pour que le déterminant soit égal à zéro). Pour que le déterminant d'ordre n D soit égal à zéro, il faut et suffisant que ses lignes (colonnes) soient linéairement dépendantes.

Preuve (p.40). Nécessité. Si le déterminant d'ordre n D est égal à zéro, alors la base mineure de sa matrice est d'ordre r

Ainsi, une ligne est une combinaison linéaire des autres. Alors, d’après le théorème 1, les lignes du déterminant sont linéairement dépendantes.

Adéquation. Si les lignes D sont linéairement dépendantes, alors d'après le théorème 1, une ligne A i est une combinaison linéaire des lignes restantes. En soustrayant la combinaison linéaire spécifiée de la chaîne A i sans changer la valeur de D, nous obtenons une chaîne nulle. Par conséquent, selon les propriétés des déterminants, D=0. etc.

Théorème 4. Lors des transformations élémentaires, le rang de la matrice ne change pas.

Preuve. Comme cela a été montré en considérant les propriétés des déterminants, lors de la transformation de matrices carrées, leurs déterminants soit ne changent pas, soit sont multipliés par un nombre non nul, soit changent de signe. Dans ce cas, l'ordre le plus élevé des mineurs non nuls de la matrice d'origine est conservé, c'est-à-dire le rang de la matrice ne change pas. Etc.

Si r(A)=r(B), alors A et B sont équivalent : A~B.

Théorème 5. A l'aide de transformations élémentaires, vous pouvez réduire la matrice à vue en escalier. La matrice s'appelle par étapes, s'il a la forme :

A=, où a ii ≠0, i=1,2,…,r ; r≤k.

La condition r≤k peut toujours être réalisée par transposition.

Théorème 6. Le rang d'une matrice échelonnée est égal au nombre de ses lignes non nulles .

Ceux. Le rang de la matrice de pas est égal à r, car il existe un mineur non nul d'ordre r :

Soit k lignes et k colonnes (k ≤ min(m; n)) sélectionnées aléatoirement dans une matrice A de dimensions (m; n). Les éléments matriciels situés à l'intersection des lignes et colonnes sélectionnées forment une matrice carrée d'ordre k dont le déterminant est appelé le mineur M kk d'ordre k y ou le kième mineur d'ordre de la matrice A.

Le rang d'une matrice est l'ordre maximum des r mineurs non nuls de la matrice A, et tout mineur d'ordre r non nul est une base mineure. Désignation : rang A = r. Si rang A = rang B et que les tailles des matrices A et B sont les mêmes, alors les matrices A et B sont dites équivalentes. Désignation : A ~ B.

Les principales méthodes de calcul du rang d'une matrice sont la méthode des mineurs limitrophes et la méthode des mineurs limitrophes.

Méthode mineure limite

L'essence de la méthode des mineurs limitrophes est la suivante. Supposons qu'un mineur d'ordre k, différent de zéro, ait déjà été trouvé dans la matrice. Ensuite, nous considérons ci-dessous uniquement les mineurs d'ordre k+1 qui contiennent (c'est-à-dire une bordure) un mineur d'ordre k différent de zéro. Si tous sont égaux à zéro, alors le rang de la matrice est égal à k, sinon parmi les mineurs limitrophes du (k+1)ème ordre il y en a un non nul et toute la procédure est répétée.

Indépendance linéaire des lignes (colonnes) d'une matrice

Le concept de rang matriciel est étroitement lié au concept d'indépendance linéaire de ses lignes (colonnes).

Lignes de la matrice :

sont appelés linéairement dépendants s'il existe des nombres λ 1, λ 2, λ k tels que l'égalité est vraie :

Les lignes de la matrice A sont dites linéairement indépendantes si l'égalité ci-dessus n'est possible que dans le cas où tous les nombres λ 1 = λ 2 = … = λ k = 0

La dépendance linéaire et l'indépendance des colonnes de la matrice A sont déterminées de la même manière.

Si une ligne (a l) de la matrice A (où (a l)=(a l1 , a l2 ,…, a ln)) peut être représentée comme

Le concept de combinaison linéaire de colonnes est défini de la même manière. Le théorème suivant sur la base mineure est valide.

Les lignes de base et les colonnes de base sont linéairement indépendantes. Toute ligne (ou colonne) de la matrice A est une combinaison linéaire des lignes (colonnes) de base, c'est-à-dire des lignes (colonnes) coupant la base mineure. Ainsi, le rang de la matrice A : rang A = k est égal au nombre maximum de lignes (colonnes) linéairement indépendantes de la matrice A.

Ceux. Le rang d'une matrice est la dimension de la plus grande matrice carrée au sein de la matrice dont le rang doit être déterminé, pour laquelle le déterminant n'est pas égal à zéro. Si la matrice d'origine n'est pas carrée, ou si elle est carrée mais que son déterminant est nul, alors pour les matrices carrées d'ordre inférieur, les lignes et les colonnes sont choisies arbitrairement.

En plus des déterminants, le rang d'une matrice peut être calculé par le nombre de lignes ou de colonnes linéairement indépendantes de la matrice. Il est égal au nombre de lignes ou de colonnes linéairement indépendantes, le plus petit des deux étant retenu. Par exemple, si une matrice comporte 3 lignes linéairement indépendantes et 5 colonnes linéairement indépendantes, alors son rang est trois.

Exemples de recherche du rang d'une matrice

En utilisant la méthode des mineurs limitrophes, trouvez le rang de la matrice

Solution : mineur de deuxième ordre

le mineur limitrophe M 2 est également non nul. Toutefois, les deux mineurs sont du quatrième ordre, limitrophe de M 3 .

sont égaux à zéro. Le rang de la matrice A est donc 3, et la base mineure est par exemple la mineure M 3 présentée ci-dessus.

La méthode des transformations élémentaires repose sur le fait que les transformations élémentaires d'une matrice ne changent pas son rang. En utilisant ces transformations, vous pouvez amener la matrice à une forme où tous ses éléments, sauf a 11, a 22, ..., a rr (r ≤min (m, n)), sont égaux à zéro. Cela signifie évidemment que le rang A = r. Notez que si une matrice d'ordre n a la forme d'une matrice triangulaire supérieure, c'est-à-dire une matrice dans laquelle tous les éléments sous la diagonale principale sont égaux à zéro, alors sa définition est égale au produit des éléments sur la diagonale principale . Cette propriété peut être utilisée lors du calcul du rang d'une matrice par la méthode des transformations élémentaires : il faut les utiliser pour réduire la matrice à une matrice triangulaire puis, en sélectionnant le déterminant correspondant, on constate que le rang de la matrice est égal au nombre d'éléments de la diagonale principale différents de zéro.

A l'aide de la méthode des transformations élémentaires, trouver le rang de la matrice

Solution. Désignons la i-ème ligne de la matrice A par le symbole α i . Dans un premier temps, nous effectuerons des transformations élémentaires

Dans un deuxième temps, nous effectuons les transformations

En conséquence nous obtenons

Le concept de rang matriciel est étroitement lié au concept de dépendance linéaire (indépendance) de ses lignes ou colonnes. À l’avenir, nous présenterons le matériel pour les lignes ; pour les colonnes, la présentation est similaire.

Dans la matrice UN Notons ses lignes comme suit :

, , …. ,

On dit que deux lignes d’une matrice sont égales, si leurs éléments correspondants sont égaux : , si , .

Les opérations arithmétiques sur les lignes de la matrice (multiplication d'une ligne par un nombre, addition de lignes) sont présentées comme des opérations réalisées élément par élément :

Doubler e appelé une combinaison linéaire de chaînes..., matrice, si elle est égale à la somme des produits de ces lignes par des nombres réels arbitraires :

Les lignes de la matrice sont appelées linéairement dépendant, s'il y a des nombres qui ne sont pas simultanément égaux à zéro, de telle sorte qu'une combinaison linéaire de lignes matricielles soit égale à la ligne zéro :

, =(0,0,...,0). (3.3)

Théorème 3.3Les lignes d'une matrice sont linéairement dépendantes si au moins une ligne de la matrice est une combinaison linéaire des autres.

□ En effet, soit, pour être précis, dans la formule (3.3) , Alors

Ainsi, la ligne est une combinaison linéaire des lignes restantes. ■

Si une combinaison linéaire de lignes (3.3) est égale à zéro si et seulement si tous les coefficients sont égaux à zéro, alors les lignes sont dites linéairement indépendantes.

Théorème 3.4.(à propos du rang de la matrice) Le rang d'une matrice est égal au nombre maximum de ses lignes ou colonnes linéairement indépendantes à travers lesquelles toutes ses autres lignes (colonnes) sont exprimées linéairement.

□ Laissez la matrice UN la taille m n a un rang r(r minutes). Cela signifie qu'il existe un mineur non nul r-ième ordre. Tout mineur non nul r Le ème ordre sera appelé la base mineure.

Pour plus de précision, soit la base mineure premier ou coin mineur. Alors les lignes de la matrice sont linéairement indépendantes. Supposons le contraire, c'est-à-dire que l'une de ces chaînes, par exemple, est une combinaison linéaire des autres. Soustraire des éléments r- de la 1ère ligne, les éléments de la 1ère ligne, multipliés par , puis les éléments de la 2ème ligne, multipliés par , ... et les éléments ( r- 1) - ème lignes multipliées par . Basé sur la propriété 8, avec de telles transformations de la matrice, son déterminant D ne changera pas, mais puisque r- la ligne ne sera désormais composée que de zéros, alors D = 0 est une contradiction. Par conséquent, notre hypothèse selon laquelle les lignes de la matrice sont linéairement dépendantes est incorrecte.

Appelons les lignes basique. Montrons que toutes les lignes (r+1) de la matrice sont linéairement dépendantes, c'est-à-dire toute chaîne est exprimée en termes de chaînes de base.

Considérons une mineure (r +1) du premier ordre, qui s'obtient en complétant la mineure en question par des éléments d'une autre rangée je et colonne j. Ce mineur est nul puisque le rang de la matrice est r, donc tout mineur d'ordre supérieur est nul.

En le développant en fonction des éléments de la dernière colonne (ajoutée), on obtient

Où le module du dernier complément algébrique coïncide avec la base mineure D et donc différent de zéro, c'est-à-dire 0.

Laisser

Colonnes de la matrice de dimensions. Combinaison linéaire de colonnes matricielles appelée matrice de colonnes, avec des nombres réels ou complexes appelés coefficients de combinaison linéaire. Si dans une combinaison linéaire nous prenons tous les coefficients égaux à zéro, alors la combinaison linéaire est égale à la matrice colonne zéro.

Les colonnes de la matrice sont appelées linéairement indépendant , si leur combinaison linéaire est égale à zéro seulement lorsque tous les coefficients de la combinaison linéaire sont égaux à zéro. Les colonnes de la matrice sont appelées linéairement dépendant , s'il existe un ensemble de nombres parmi lesquels au moins un est différent de zéro, et que la combinaison linéaire de colonnes avec ces coefficients est égale à zéro

De même, les définitions de la dépendance linéaire et de l’indépendance linéaire des lignes de la matrice peuvent être données. Dans ce qui suit, tous les théorèmes sont formulés pour les colonnes de la matrice.

Théorème 5

S'il y a un zéro parmi les colonnes de la matrice, alors les colonnes de la matrice sont linéairement dépendantes.

Preuve. Considérons une combinaison linéaire dans laquelle tous les coefficients sont égaux à zéro pour toutes les colonnes non nulles et à un pour toutes les colonnes nulles. Il est égal à zéro et parmi les coefficients de la combinaison linéaire, il existe un coefficient non nul. Les colonnes de la matrice sont donc linéairement dépendantes.

Théorème 6

Si colonnes de la matrice sont linéairement dépendants, c'est tout les colonnes de la matrice sont linéairement dépendantes.

Preuve. Pour plus de précision, nous supposerons que les premières colonnes de la matrice linéairement dépendant. Alors, par définition d'une dépendance linéaire, il existe un ensemble de nombres parmi lesquels au moins un est non nul, et la combinaison linéaire des colonnes avec ces coefficients est égale à zéro

Faisons une combinaison linéaire de toutes les colonnes de la matrice, y compris les colonnes restantes avec des coefficients nuls

Mais . Par conséquent, toutes les colonnes de la matrice sont linéairement dépendantes.

Conséquence. Parmi les colonnes matricielles linéairement indépendantes, toutes sont linéairement indépendantes. (Cette affirmation peut être facilement prouvée par contradiction.)

Théorème 7

Pour que les colonnes d'une matrice soient linéairement dépendantes, il faut et suffisant qu'au moins une colonne de la matrice soit une combinaison linéaire des autres.

Preuve.

Nécessité. Supposons que les colonnes de la matrice soient linéairement dépendantes, c'est-à-dire qu'il existe un ensemble de nombres parmi lesquels au moins un est différent de zéro, et la combinaison linéaire de colonnes avec ces coefficients est égale à zéro

Supposons avec certitude que . Autrement dit, la première colonne est une combinaison linéaire du reste.

Adéquation. Soit au moins une colonne de la matrice une combinaison linéaire des autres, par exemple , où sont des nombres.

Alors , c'est-à-dire que la combinaison linéaire de colonnes est égale à zéro, et parmi les nombres de la combinaison linéaire, au moins un (en ) est différent de zéro.

Soit le rang de la matrice . Tout mineur non nul d'ordre 1 est appelé basique . Les lignes et les colonnes à l'intersection desquelles se trouve une base mineure sont appelées basique .

Chaque ligne de la matrice A est notée e i = (a i 1 a i 2 …, a in) (par exemple,
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n), etc.). Chacun d'eux est une matrice de lignes qui peut être multipliée par un nombre ou ajoutée à une autre ligne selon les règles générales de travail avec les matrices.

Combinaison linéaire Les droites e l , e 2 ,...e k sont appelées la somme des produits de ces droites par des nombres réels arbitraires :
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k, où l l, l 2,..., l k sont des nombres arbitraires (coefficients d'une combinaison linéaire).

Les lignes de la matrice e l , e 2 ,...e m sont appelées linéairement dépendant, s'il y a des nombres l l , l 2 ,..., l m qui ne sont pas égaux à zéro en même temps, tels que la combinaison linéaire des lignes de la matrice est égale à la ligne zéro :
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, où 0 = (0 0...0).

Une relation linéaire entre les lignes d'une matrice signifie qu'au moins une ligne de la matrice est une combinaison linéaire des autres. En effet, pour plus de précision, soit le dernier coefficient l m ¹ 0. Ensuite, en divisant les deux côtés de l'égalité par l m, nous obtenons une expression pour la dernière ligne comme une combinaison linéaire des lignes restantes :
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .

Si une combinaison linéaire de lignes est égale à zéro si et seulement si tous les coefficients sont égaux à zéro, c'est-à-dire l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, alors les lignes sont appelées linéairement indépendant.

Théorème du rang matriciel. Le rang d'une matrice est égal au nombre maximum de ses lignes ou colonnes linéairement indépendantes à travers lesquelles toutes ses autres lignes ou colonnes peuvent être exprimées linéairement.

Démontrons ce théorème. Soit une matrice A de taille m x n de rang r (r(A) £ min (m; n)). Par conséquent, il existe un mineur non nul d’ordre r. Nous appellerons chacun de ces mineurs basique. Que ce soit mineur pour être clair

Les lignes de cette mineure s'appelleront aussi basique.

Montrons qu'alors les lignes de la matrice e l , e 2 ,...e r sont linéairement indépendantes. Supposons le contraire, c'est-à-dire une de ces lignes, par exemple la r-ième, est une combinaison linéaire des autres : e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Alors, si on soustrait la éléments de la r-ième rangée 1ère rangée multipliée par l l , éléments de la 2ème rangée multipliée par l 2 , etc., enfin, éléments de la (r-1)ième rangée multipliée par l r-1 , puis la r-ième la ligne deviendra nulle. Dans ce cas, selon les propriétés du déterminant, le déterminant ci-dessus ne doit pas changer et en même temps il doit être égal à zéro. Une contradiction est obtenue et l'indépendance linéaire des lignes est prouvée.

Nous prouvons maintenant que toutes les lignes (r+1) de la matrice sont linéairement dépendantes, c'est-à-dire n'importe quelle chaîne peut être exprimée en termes de chaînes de base.

Complétons le mineur précédemment considéré avec une ligne supplémentaire (i-ème) et une colonne supplémentaire (j-ème). En conséquence, nous obtenons un mineur d’ordre (r+1), qui par définition de rang est égal à zéro.