UN) Séquence d'impulsions rectangulaire .

Figure 2. Séquence d'impulsions rectangulaires.

Ce signal est une fonction paire et il est pratique à utiliser forme sinus-cosinus Série de Fourier :

. (17)

La durée des impulsions et leur période de répétition sont incluses dans la formule résultante sous la forme d'un rapport appelé rapport cyclique de la séquence d'impulsions :.

. (18)

La valeur du terme constant de la série, en tenant compte correspond à :

.

La représentation d'une séquence d'impulsions rectangulaires sous forme de série de Fourier a la forme :

. (19)

Le graphique de la fonction a un motif de lobes. L'axe horizontal est gradué en nombres harmoniques et en fréquences.

Fig 3. Représentation d'une séquence d'impulsions rectangulaires

sous la forme d'une série de Fourier.

Largeur des pétales, mesuré en nombre d'harmoniques, est égal au rapport cyclique (à , on a , si ). Cela implique une propriété importante du spectre d'une séquence d'impulsions rectangulaires - dans celui-ci il n'y a pas d'harmoniques avec des nombres multiples du rapport cyclique . La distance de fréquence entre les harmoniques adjacentes est égale à la fréquence de répétition des impulsions. La largeur des lobes, mesurée en unités de fréquence, est égale à, c'est-à-dire est inversement proportionnelle à la durée du signal. Nous pouvons conclure : plus l'impulsion est courte, plus le spectre est large .

b) Signal de rampe .

Fig 4. Onde de rampe.

Un signal en dents de scie dans une période est décrit par une fonction linéaire

, . (20)

Ce signal est une fonction étrange, donc sa série de Fourier sous forme sinus-cosinus ne contient que des composantes sinusoïdales :

La série de Fourier du signal en dents de scie a la forme :

Pour les spectres des signaux rectangulaires et en dents de scie, il est caractéristique que les amplitudes des harmoniques avec des nombres croissants diminuer proportionnellement .

V) Séquence d'impulsions triangulaires .

La série de Fourier a la forme :

Figure 5. Séquence d'impulsions triangulaires.

Comme on peut le voir, contrairement à une séquence d'impulsions rectangulaires et en dents de scie, pour un signal périodique triangulaire les amplitudes des harmoniques diminuent proportionnellement à la puissance seconde des nombres harmoniques. Cela est dû au fait que le taux de dégradation du spectre dépend de degré de douceur du signal.

Conférence n°3. Transformée de Fourier.

Propriétés de la transformée de Fourier.

Notes d'introduction

Cette section examinera la représentation des signaux périodiques à l'aide de la série de Fourier. Les séries de Fourier sont à la base de la théorie de l'analyse spectrale car, comme nous le verrons plus tard, la transformée de Fourier d'un signal non périodique peut être obtenue en poussant la série de Fourier à la limite avec une période de répétition infinie. En conséquence, les propriétés de la série de Fourier sont également valables pour la transformée de Fourier des signaux non périodiques.

Nous considérerons les expressions de la série de Fourier sous forme trigonométrique et complexe, et prêterons également attention aux conditions de Dirichlet pour la convergence de la série de Fourier. De plus, nous nous attarderons en détail sur l'explication d'un concept tel que la fréquence négative du spectre du signal, qui pose souvent des difficultés lorsqu'on se familiarise avec la théorie de l'analyse spectrale.

Signal périodique. Série de Fourier trigonométrique

Soit un signal périodique de temps continu, qui se répète avec une période c, c'est-à-dire , où est un entier arbitraire.

A titre d'exemple, la figure 1 montre une séquence d'impulsions rectangulaires de durée c, répétées avec une période de c.

Figure 1. Séquence périodique

Impulsions rectangulaires

Au cours de l'analyse mathématique, on sait que le système de fonctions trigonométriques

avec plusieurs fréquences, où rad/s est un nombre entier, forme une base orthonormée pour la décomposition de signaux périodiques avec une période satisfaisant les conditions de Dirichlet.

Les conditions de Dirichlet pour la convergence de la série de Fourier nécessitent qu'un signal périodique soit spécifié sur le segment et satisfasse aux conditions suivantes :

Par exemple, la fonction périodique ne satisfait pas aux conditions de Dirichlet car la fonction a des discontinuités du deuxième type et prend des valeurs infinies en , où est un entier arbitraire. Donc la fonction ne peut pas être représenté par une série de Fourier. Vous pouvez également donner un exemple de la fonction , qui est limité, mais ne satisfait pas non plus aux conditions de Dirichlet, car il possède un nombre infini de points extremum à mesure qu'il s'approche de zéro. Graphique d'une fonction illustré à la figure 2.

Figure 2. Graphique de fonction :

A - deux périodes de répétition ; b - à proximité

La figure 2a montre deux périodes de répétition de la fonction , et sur la figure 2b - la zone à proximité de . On peut voir qu'à mesure qu'elle se rapproche de zéro, la fréquence d'oscillation augmente infiniment, et une telle fonction ne peut pas être représentée par une série de Fourier, car elle n'est pas monotone par morceaux.

Il convient de noter qu'en pratique, il n'existe pas de signaux avec des valeurs de courant ou de tension infinies. Fonctions avec un nombre infini d'extrema de type ne se produisent pas non plus dans les problèmes appliqués. Tous les signaux périodiques réels satisfont aux conditions de Dirichlet et peuvent être représentés par une série de Fourier trigonométrique infinie de la forme :

Dans l'expression (2), le coefficient spécifie la composante constante du signal périodique.

En tous points où le signal est continu, la série de Fourier (2) converge vers les valeurs du signal donné, et aux points de discontinuité du premier type - vers la valeur moyenne, où et sont les limites à gauche et à droite du point de discontinuité, respectivement.

On sait également au cours de l'analyse mathématique que l'utilisation d'une série de Fourier tronquée, contenant uniquement les premiers termes au lieu d'une somme infinie, conduit à une représentation approximative du signal :

ce qui garantit un minimum de l’erreur quadratique moyenne. La figure 3 illustre l'approximation d'un train d'ondes carrées périodique et d'une onde en rampe périodique lors de l'utilisation de différents nombres de termes de série de Fourier.

Figure 3. approximation du signal à l'aide d'une série de Fourier tronquée :

A - impulsions rectangulaires ; b - signal en dents de scie

Série de Fourier sous forme complexe

Dans la section précédente, nous avons examiné la série trigonométrique de Fourier pour le développement d'un signal périodique arbitraire satisfaisant les conditions de Dirichlet. En utilisant la formule d'Euler, on peut montrer :
Puis la série trigonométrique de Fourier (2) prenant en compte (4) :

Ainsi, un signal périodique peut être représenté par la somme d'une composante constante et d'exponentielles complexes tournant à des fréquences avec des coefficients pour les fréquences positives et pour des exponentielles complexes tournant à des fréquences négatives.

Considérons les coefficients des exponentielles complexes tournant avec des fréquences positives :

Les expressions (6) et (7) coïncident de plus, la composante constante peut également s'écrire via une exponentielle complexe à fréquence nulle :

Ainsi, (5), en tenant compte de (6)-(8), peut être représenté comme une somme unique lorsqu'il est indexé de moins l'infini à l'infini :

L'expression (9) est une série de Fourier sous forme complexe. Les coefficients de la série de Fourier sous forme complexe sont liés aux coefficients de la série sous forme trigonométrique et sont déterminés pour les fréquences positives et négatives. L'indice dans la désignation de la fréquence indique le numéro de l'harmonique discrète, les indices négatifs correspondant aux fréquences négatives.

De l'expression (2) il résulte que pour un signal réel les coefficients de la série (2) sont également réels. Cependant, (9) associe un signal réel à un ensemble de coefficients conjugués complexes liés aux fréquences positives et négatives.

Quelques explications de la série de Fourier sous forme complexe

Dans la section précédente, nous avons fait le passage de la série de Fourier trigonométrique (2) à la série de Fourier sous forme complexe (9). En conséquence, au lieu de décomposer les signaux périodiques sur la base de fonctions trigonométriques réelles, nous avons obtenu une expansion sur la base d'exponentielles complexes, avec des coefficients complexes, et même des fréquences négatives sont apparues dans l'expansion ! Cette question étant souvent mal comprise, quelques éclaircissements s’imposent.

Premièrement, travailler avec des exposants complexes est dans la plupart des cas plus facile que travailler avec des fonctions trigonométriques. Par exemple, lors de la multiplication et de la division d'exposants complexes, il suffit d'ajouter (soustraire) les exposants, tandis que les formules de multiplication et de division des fonctions trigonométriques sont plus lourdes.

Différencier et intégrer des exponentielles, même complexes, est également plus facile que les fonctions trigonométriques, qui changent constamment lorsqu'elles sont différenciées et intégrées (le sinus se transforme en cosinus et vice versa).

Si le signal est périodique et réel, alors la série trigonométrique de Fourier (2) semble plus claire, car tous les coefficients de dilatation , et restent réels. Cependant, on est souvent confronté à des signaux périodiques complexes (par exemple, lors de la modulation et de la démodulation, une représentation en quadrature de l'enveloppe complexe est utilisée). Dans ce cas, lors de l'utilisation de la série de Fourier trigonométrique, tous les coefficients et expansions (2) deviendront complexes, tandis que lors de l'utilisation de la série de Fourier sous forme complexe (9), les mêmes coefficients d'expansion seront utilisés pour les signaux d'entrée réels et complexes. .

Et enfin, il faut s'attarder sur l'explication des fréquences négatives apparues en (9). Cette question suscite souvent des malentendus. Dans la vie de tous les jours, nous ne rencontrons pas de fréquences négatives. Par exemple, nous ne réglons jamais notre radio sur une fréquence négative. Considérons l'analogie suivante avec la mécanique. Supposons qu'il y ait un pendule à ressort mécanique qui oscille librement avec une certaine fréquence. Un pendule peut-il osciller avec une fréquence négative ? Bien sûr que non. Tout comme il n’existe pas de stations de radio émettant à des fréquences négatives, la fréquence des oscillations d’un pendule ne peut pas être négative. Mais un pendule à ressort est un objet unidimensionnel (le pendule oscille le long d’une ligne droite).

On peut aussi donner une autre analogie avec la mécanique : une roue tournant avec une fréquence de . La roue, contrairement au pendule, tourne, c'est-à-dire un point à la surface de la roue se déplace dans un plan et n'oscille pas simplement le long d'une ligne droite. Par conséquent, pour spécifier de manière unique la rotation de la roue, le réglage de la vitesse de rotation ne suffit pas, car il faut également régler le sens de rotation. C’est précisément pourquoi nous pouvons utiliser le signe de fréquence.

Ainsi, si la roue tourne avec une fréquence rad/s dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, alors on considère que la roue tourne avec une fréquence positive, et si dans le sens des aiguilles d'une montre, alors la fréquence de rotation sera négative. Ainsi, pour une commande de rotation, une fréquence négative cesse d'être un non-sens et indique le sens de rotation.

Et maintenant, la chose la plus importante que nous devons comprendre. L'oscillation d'un objet unidimensionnel (par exemple, un pendule à ressort) peut être représentée comme la somme des rotations de deux vecteurs illustrés à la figure 4.

Figure 4. Oscillation d'un pendule à ressort

Comme la somme des rotations de deux vecteurs

sur le plan complexe

Le pendule oscille le long de l'axe réel du plan complexe avec une fréquence selon la loi harmonique. Le mouvement du pendule est représenté par un vecteur horizontal. Le vecteur supérieur tourne sur le plan complexe avec une fréquence positive (dans le sens inverse des aiguilles d'une montre) et le vecteur inférieur tourne avec une fréquence négative (dans le sens des aiguilles d'une montre). La figure 4 illustre clairement la relation bien connue du cours de trigonométrie :

Ainsi, la série de Fourier sous forme complexe (9) représente les signaux périodiques unidimensionnels comme une somme de vecteurs sur le plan complexe tournant avec des fréquences positives et négatives. Parallèlement, notons que dans le cas d'un signal réel, selon (9), les coefficients de dilatation pour les fréquences négatives sont complexes conjugués aux coefficients correspondants pour les fréquences positives. Dans le cas d'un signal complexe, cette propriété des coefficients ne tient pas du fait que et sont également complexes.

Spectre de signaux périodiques

La série de Fourier sous forme complexe est la décomposition d'un signal périodique en une somme d'exponentielles complexes tournant à des fréquences positives et négatives qui sont des multiples de rad/c avec des coefficients complexes correspondants qui déterminent le spectre du signal. Les coefficients complexes peuvent être représentés à l'aide de la formule d'Euler comme , où est le spectre d'amplitude, a est le spectre de phase.

Étant donné que les signaux périodiques sont disposés en rangée uniquement sur une grille de fréquence fixe, le spectre des signaux périodiques est linéaire (discret).

Figure 5. Spectre d'une séquence périodique

Impulsions rectangulaires :

A - spectre d'amplitude ; spectre de phase b

La figure 5 montre un exemple du spectre d'amplitude et de phase d'une séquence périodique d'impulsions rectangulaires (voir figure 1) en c, de durée d'impulsion c et d'amplitude d'impulsion B.

Le spectre d'amplitude du signal réel d'origine est symétrique par rapport à la fréquence nulle et le spectre de phase est antisymétrique. Parallèlement, on constate que les valeurs du spectre de phase et correspondent au même point du plan complexe.

Nous pouvons conclure que tous les coefficients de dilatation du signal réduit sont purement réels, et le spectre de phase correspond à des coefficients négatifs.

Veuillez noter que la dimension du spectre d'amplitude coïncide avec la dimension du signal. S'il décrit l'évolution de la tension au fil du temps, mesurée en volts, alors les amplitudes des harmoniques du spectre auront également la dimension des volts.

Conclusions

Cette section traite de la représentation des signaux périodiques à l'aide de la série de Fourier. Des expressions pour la série de Fourier sous des formes trigonométriques et complexes sont données. Nous avons accordé une attention particulière aux conditions de Dirichlet pour la convergence de la série de Fourier et donné des exemples de fonctions pour lesquelles la série de Fourier diverge.

Nous nous sommes attardés en détail sur l'expression de la série de Fourier sous forme complexe et avons montré que les signaux périodiques, à la fois réels et complexes, sont représentés par une série d'exponentielles complexes de fréquences positives et négatives. Dans ce cas, les coefficients de dilatation sont également complexes et caractérisent le spectre d'amplitude et de phase du signal périodique.

Dans la section suivante, nous examinerons plus en détail les propriétés des spectres des signaux périodiques.

Implémentation logicielle dans la bibliothèque DSPL

Dötsch, G. Un guide pour l'application pratique de la transformée de Laplace. Moscou, Nauka, 1965, 288 p.

Exemples d'expansion des séries de Fourier.

UN) Séquence d'impulsions rectangulaire .

Figure 2. Séquence d'impulsions rectangulaires.

Ce signal est une fonction paire et il est pratique à utiliser forme sinus-cosinus Série de Fourier :

. (17)

La durée des impulsions et leur période de répétition sont incluses dans la formule résultante sous la forme d'un rapport, généralement appelé rapport cyclique de la séquence d'impulsions :.

. (18)

La valeur du terme constant de la série, en tenant compte correspond à :

.

La représentation d'une séquence d'impulsions rectangulaires sous forme de série de Fourier a la forme :

. (19)

Le graphique de la fonction a un motif de lobes.
Publié sur réf.rf
L'axe horizontal est gradué en nombres harmoniques et en fréquences.

Fig 3. Représentation d'une séquence d'impulsions rectangulaires

sous la forme d'une série de Fourier.

Largeur des pétales, mesuré en nombre d'harmoniques, est égal au rapport cyclique (à , on a , dans le cas ). Cela implique une propriété importante du spectre d'une séquence d'impulsions rectangulaires - dans celui-ci il n'y a pas d'harmoniques avec des nombres multiples du rapport cyclique . La distance de fréquence entre les harmoniques adjacentes est égale à la fréquence de répétition des impulsions. La largeur des lobes, mesurée en unités de fréquence, est , ᴛ.ᴇ. est inversement proportionnelle à la durée du signal. Nous pouvons conclure : plus l'impulsion est courte, plus le spectre est large .

b) Signal de rampe .

Fig 4. Onde de rampe.

Un signal en dents de scie dans une période est décrit par une fonction linéaire

, . (20)

Ce signal est une fonction étrange, et donc sa série de Fourier sous forme sinus-cosinus ne contient que des composantes sinusoïdales :

La série de Fourier du signal en dents de scie a la forme :

Il est important de noter que pour les spectres des signaux rectangulaires et en dents de scie, il est caractéristique que les amplitudes des harmoniques avec des nombres croissants diminuer proportionnellement .

V) Séquence d'impulsions triangulaires .

La série de Fourier a la forme :

Figure 5. Séquence d'impulsions triangulaires.

Comme on peut le voir, contrairement à une séquence d'impulsions rectangulaires et en dents de scie, pour un signal périodique triangulaire les amplitudes des harmoniques diminuent proportionnellement à la puissance seconde des nombres harmoniques. Cela est dû au fait que le taux de dégradation du spectre dépend de degré de douceur du signal.

Conférence n°3. Transformée de Fourier.

Propriétés de la transformée de Fourier.

Exemples d'expansion des séries de Fourier. - concept et types. Classification et caractéristiques de la catégorie « Exemples d'expansion des séries de Fourier ». 2017, 2018.

TRAVAUX DE LABORATOIRE N°1

EXTENSION DES SIGNAUX EN SÉRIE DE FOURIER

Objectif de la tâche

Familiarisez-vous avec des exemples de décomposition de signaux en séries de Fourier et mettez en pratique la décomposition de différents types de signaux dans le système MatLab.

Énoncé du problème

Effectuer des extensions de signaux de différents types en séries de Fourier. Les signaux suivants sont sujets à décomposition : une séquence d'impulsions rectangulaires, une onde carrée, un signal en dents de scie et une séquence d'impulsions triangulaires.

Pour chaque option et chaque type de signal les paramètres suivants sont spécifiés :

pour une séquence d'impulsions rectangulaires – amplitude, période de répétition et durée d'impulsion ;

pour un méandre, un signal en dents de scie et une séquence d'impulsions triangulaires – l'amplitude et la période de répétition des impulsions.

Pour tous types de signaux, le nombre d'harmoniques non nuls est précisé.

Composez des programmes dans le système MatLab et créez des graphiques.

Énoncé du problème.

Code de programme pour décomposer une séquence d'impulsions rectangulaires, une onde carrée, un signal en dents de scie et une séquence d'impulsions triangulaires.

Les résultats de l'exécution du programme sont des graphiques des étapes intermédiaires de sommation.

Lignes directrices

série de Fourier

Les signaux périodiques peuvent être étendus en une série de Fourier. De plus, elles se présentent comme une somme de fonctions harmoniques ou d'exponentielles complexes dont les fréquences forment une progression arithmétique.

La série de Fourier peut être utilisée pour représenter non seulement des signaux périodiques, mais également des signaux de durée finie. Dans ce cas, un intervalle de temps est spécifié pour lequel la série de Fourier est construite, et à d'autres moments, le signal est considéré comme égal à zéro. Pour calculer les coefficients d'une série, cette approche signifie en réalité la continuation périodique du signal au-delà des limites de l'intervalle considéré.

Forme sinus-cosinus

Dans cette version, la série de Fourier a la forme suivante :

Ici
– fréquence circulaire correspondant à la période de répétition du signal égale à . Les fréquences incluses dans la formule en sont des multiples
sont appelés harmoniques, les harmoniques sont numérotées selon l'index ; fréquence
appelé -ème harmonique du signal. Coefficients de série Et sont calculés à l'aide des formules :

,

.

Constante calculé à l'aide de la formule générale de . Ce terme représente lui-même la valeur moyenne du signal sur la période :

.

Si
est une fonction paire, alors tout sera égal à zéro et seuls les termes cosinus seront présents dans la formule de la série de Fourier. Si
est une fonction impaire, les coefficients cosinus seront égaux à zéro, au contraire et seuls les termes sinusoïdaux resteront dans la formule.

SÉQUENCE D'IMPULSIONS RECTANGULAIRE

Une séquence d'impulsions rectangulaires d'amplitude , durée et période de redoublement .

Riz. 1 Séquence périodique d'impulsions rectangulaires

Ce signal est une fonction paire, donc pour le représenter, il est plus pratique d'utiliser la forme sinus-cosinus de la série de Fourier - elle ne contiendra que des termes cosinus , égal

.

Le rapport entre la période et la durée de l'impulsion est appelé rapport cyclique de la séquence d'impulsions et désigné par la lettre :
.

Représentation d'une séquence d'impulsions rectangulaires sous forme de série de Fourier :

.

Les amplitudes des termes harmoniques de la série dépendent du numéro harmonique.

MÉANDRE

Un cas particulier du signal précédent est méandre– une séquence d'impulsions rectangulaires avec un rapport cyclique égal à deux, lorsque les durées des impulsions et les intervalles entre elles deviennent égaux (Fig. 2).

Riz. 2 Méandre

À
, nous obtenons

Ici m est un entier arbitraire.

Lorsqu'ils sont développés dans une série de Fourier, même les composants seront absents.

SIGNAL DE RAMPE

Au sein de la période, elle est décrite par une fonction linéaire :

Riz. 3. Signal de rampe

Ce signal est une fonction étrange, donc sa série de Fourier sous forme sinus-cosinus ne contiendra que des termes sinus :

.

La série de Fourier elle-même pour un signal en dents de scie ressemble à ceci :

SÉQUENCE D'IMPULSIONS TRIANGULAIRE

Figure 4. Séquence d'impulsions triangulaires

Le signal est une fonction paire, il y aura donc des composantes cosinus.

Calculons les coefficients de la série de Fourier :

La série de Fourier elle-même a la forme suivante :

Comme vous pouvez le constater, contrairement aux séquences d'impulsions rectangulaires et en dents de scie, pour un signal périodique triangulaire, les amplitudes harmoniques diminuent proportionnellement à la puissance seconde des nombres harmoniques. .

Code de programme pour méandre

N = 8 ; % nombre d'harmoniques non nulles

t= -1:0,01:1 ; Vecteur % temps

UNE= 1 ; % d'amplitude

T= 1 ; % période

nh= (1:N)*2-1 ; % nombre d'harmoniques non nulles

harmoniques = cos(2*pi*nh"*t/T);

Am= 2/pi./nh; % d'amplitude harmonique

Am(2:2:fin) = -Am(2:2:fin); % d'alternance de caractères

s1 = harmoniques .* repmat(Am", 1, length(t));

% chaînes - sommes partielles d'harmoniques

pour k=1:N, subplot(4, 2, k), plot(t, s2(k,:)), fin

R.
résultat du programme

Commentaires :repmat– création d'une matrice de blocs ou d'un tableau de blocs multidimensionnels à partir de blocs identiques repmat(Am", 1,length(t)) – la matrice se compose de 1 bloc verticalement et de blocs length(t) horizontalement, chaque bloc est une matrice Am".

Somme cumulée– calcul de sommes partielles d'éléments.

Sous-intrigue (Lignes, Cols, N) – commande pour afficher plusieurs graphiques. La fenêtre graphique est divisée en cellules sous forme de matrice avec Lignes– des lignes, Cols– les colonnes, et N– la cellule devient actuelle.

Possibilités

№ option	Paramètres pour les signaux
	–amplitude du signal	–période de répétition du signal	–durée du signal	–nombre d'harmoniques non nuls

Parmi les différents systèmes de fonctions orthogonales pouvant servir de base à la représentation des signaux radio, les fonctions harmoniques (sinus et cosinus) occupent une place exceptionnelle. L'importance des signaux harmoniques pour l'ingénierie radio est due à un certain nombre de raisons.

En particulier:

1. Les signaux harmoniques sont invariants par rapport aux transformations effectuées par des circuits électriques linéaires stationnaires. Si un tel circuit est excité par une source d'oscillations harmoniques, alors le signal à la sortie du circuit reste harmonique avec la même fréquence, ne différant du signal d'entrée qu'en amplitude et en phase initiale.

2. La technique de génération de signaux harmoniques est relativement simple.

Si un signal est présenté comme une somme d'oscillations harmoniques de différentes fréquences, alors on dit qu'une décomposition spectrale de ce signal a été effectuée. Les composantes harmoniques individuelles d’un signal forment son spectre.

2.1. Signaux périodiques et séries de Fourier

Un modèle mathématique d'un processus qui se répète dans le temps est un signal périodique ayant la propriété suivante :

Ici T est la période du signal.

La tâche est de trouver la décomposition spectrale d'un tel signal.

Série de Fourier.

Fixons-nous sur l'intervalle de temps considéré au Chap. I est une base orthonormée formée de fonctions harmoniques à fréquences multiples ;

Toute fonction issue de cette base satisfait à la condition de périodicité (2.1). Ainsi, en effectuant une décomposition orthogonale du signal sur cette base, c'est-à-dire en calculant les coefficients

on obtient la décomposition spectrale

valable sur toute l'infinité de l'axe du temps.

Une série de la forme (2.4) est appelée série de Fourier d'un signal donné. Introduisons la fréquence fondamentale de la séquence qui forme le signal périodique. En calculant les coefficients de dilatation à l'aide de la formule (2.3), nous écrivons la série de Fourier pour un signal périodique

avec des chances

(2.6)

Ainsi, dans le cas général, un signal périodique contient une composante constante indépendante du temps et un ensemble infini d'oscillations harmoniques, appelées harmoniques dont les fréquences sont des multiples de la fréquence fondamentale de la séquence.

Chaque harmonique peut être décrite par son amplitude et sa phase initiale. Pour ce faire, les coefficients de la série de Fourier doivent être écrits sous la forme.

En substituant ces expressions dans (2.5), nous obtenons une autre forme équivalente de la série de Fourier :

ce qui s'avère parfois plus pratique.

Diagramme spectral d'un signal périodique.

C'est ce qu'on appelle communément une représentation graphique des coefficients de la série de Fourier pour un signal spécifique. Il existe des diagrammes spectraux d'amplitude et de phase (Fig. 2.1).

Ici, l'axe horizontal représente les fréquences harmoniques sur une certaine échelle, et l'axe vertical représente leurs amplitudes et phases initiales.

Riz. 2.1. Diagrammes spectraux d'un signal périodique : a - amplitude ; phase b

Ils s'intéressent particulièrement au diagramme d'amplitude, qui permet de juger du pourcentage de certaines harmoniques dans le spectre d'un signal périodique.

Étudions quelques exemples spécifiques.

Exemple 2.1. Série de Fourier d'une séquence périodique d'impulsions vidéo rectangulaires avec des paramètres connus, même par rapport au point t = 0.

En ingénierie radio, le rapport est appelé rapport cyclique de la séquence. En utilisant les formules (2.6) on trouve

Il est pratique d’écrire la formule finale de la série de Fourier sous la forme

Sur la fig. La figure 2.2 montre les diagrammes d'amplitude de la séquence considérée dans deux cas extrêmes.

Il est important de noter qu’une séquence d’impulsions courtes qui se succèdent présente assez rarement une composition spectrale riche.

Riz. 2.2. Spectre d'amplitude d'une séquence périodique d'impulsions vidéo rectangulaires : a - avec un rapport cyclique important ; b - avec un faible cycle de service

Exemple 2.2. Série de Fourier d'une séquence périodique d'impulsions formée par un signal harmonique de la forme limité au niveau (on suppose que ).

Introduisons un paramètre spécial - l'angle de coupure, déterminé à partir de la relation où

Conformément à cela, la valeur est égale à la durée d'une impulsion, exprimée en mesure angulaire :

L'enregistrement analytique de l'impulsion générant la séquence considérée a la forme

Composante de séquence constante

Facteur d'amplitude du premier harmonique

De même, les amplitudes des composantes harmoniques sont calculées à

Les résultats obtenus s'écrivent généralement ainsi :

où fonctionne ce qu'on appelle Berg :

Les graphiques de certaines fonctions de Berg sont présentés sur la Fig. 2.3.

Riz. 2.3. Graphiques des premières fonctions de Berg

Forme complexe de la série de Fourier.

La décomposition spectrale d'un signal périodique peut également être effectuée de manière quelque peu ionique, en utilisant un système de fonctions de base constitué d'exponentielles avec des exposants imaginaires :

Il est facile de voir que les fonctions de ce système sont périodiques de période orthonormée à l'intervalle de temps puisque

La série de Fourier d'un signal périodique arbitraire prend dans ce cas la forme

avec des chances

Généralement, la forme de notation suivante est utilisée :

L'expression (2.11) est une série de Fourier sous forme complexe.

Le spectre du signal, conformément à la formule (2.11), contient des composantes sur le demi-axe de fréquence négatif, et . Dans la série (2.11), les termes avec des fréquences positives et négatives sont combinés par paires, par exemple : et les sommes de vecteurs sont construites - dans le sens de l'augmentation de l'angle de phase, tandis que les vecteurs tournent dans le sens opposé. La fin du vecteur résultant à chaque instant détermine la valeur actuelle du signal.

Cette interprétation visuelle de la décomposition spectrale d'un signal périodique sera utilisée dans le paragraphe suivant.