Méthode d'intégration par changement de variable. Méthode pour changer une variable en une intégrale indéfinie. Exemples de solutions. Intégration par parties

Parallélogramme. Signes d'un parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Théorème.

Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent et sont divisées en deux par le point d'intersection, alors le quadrilatère est un parallélogramme.

Preuve.

Soit ABCD le parallélogramme donné, O le point d'intersection des diagonales du parallélogramme donné.
Δ AOD = Δ COB selon le premier critère d'égalité des triangles (OD = OB, AO = OC selon les conditions du théorème, ∠ AOD = ∠ COB, comme angles verticaux). Par conséquent, ∠ OBC = ∠ ODA. Et ils sont internes en croix pour les droites AD et BC et sécantes BD. D’après le parallélisme des droites, les droites AD et BC sont parallèles. Nous prouvons également que AB et DC sont également parallèles. Par définition, ce quadrilatère est un parallélogramme. Le théorème a été prouvé.

Théorème.

Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et égaux, alors le quadrilatère est un parallélogramme.

Soit ABCD le quadrilatère donné. AD est parallèle à BC et AD = BC.
Alors Δ ADB = Δ CBD selon le premier signe d'égalité des triangles (∠ ADB = ∠ CBD, comme croisements internes compris entre les droites AD et BC et la sécante DB, AD = BC par condition, DB est générale).
Par conséquent, ∠ ABD = ∠ CDB, et ces angles sont des angles internes transversaux pour les droites AB et CD et la sécante DB. D’après le théorème du parallélisme, les droites AB et CD sont parallèles. Donc ABCD est un parallélogramme. Le théorème a été prouvé.

Théorème.

Si les angles opposés d’un quadrilatère sont égaux, le quadrilatère est un parallélogramme.

Preuve.

Soit un quadrilatère ABCD. ∠ DAB = ∠ BCD et ∠ ABC = ∠ CDA.

Dessinons la diagonale DB. La somme des angles d'un quadrilatère est égale à la somme des angles des triangles ABD et BCD. Puisque la somme des angles d’un triangle est de 180º,
∠ DAB + ∠ BCD + ∠ ABC + ∠ CDA.= 360º. Puisque les angles opposés dans un quadrilatère sont égaux, alors ∠ DAB + #8736 ABC = 180º et ∠ BCD + ∠ CDA = 180º.
Les angles BCD et CDA sont des angles intérieurs unilatéraux pour les droites AD et BC et sécantes DC, leur somme est égale à 180 º, donc, du corollaire du théorème sur le parallélisme des droites, les droites AD et BC sont parallèles. Il est également prouvé que AB || DC. Ainsi, le quadrilatère ABCD est par définition un parallélogramme. Le théorème a été prouvé.

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Objectif de la leçon : considérer les caractéristiques d'un parallélogramme et consolider les connaissances acquises dans le processus de résolution de problèmes.

Tâches :

• pédagogique: développer la capacité d'appliquer des fonctionnalités de parallélogramme pour résoudre des problèmes ;
• développement: développement de la pensée logique, de l'attention et des compétences travail indépendant, compétences en matière d'estime de soi ;
• pédagogique: nourrir l'intérêt pour le sujet, la capacité à travailler en équipe, une culture de la communication.

Type de cours : apprentissage de nouvelles matières, consolidation primaire.

Équipement: tableau blanc interactif, projecteur, fiches de tâches, présentation.

Progression de la leçon

1. Moment organisationnel.

U : Bonjour les gars ! Aujourd'hui, en classe, nous reparlerons des parallélogrammes. Nous devons accomplir de nombreuses tâches, prouver des théorèmes et apprendre à les appliquer pour résoudre des problèmes. La devise de notre leçon sera les mots de Le Carbusier : « Tout autour est géométrie ».

2. Actualisation des connaissances des étudiants.

Enquête théorique

Donner à certains élèves des devoirs individuels sur des cartes sur le sujet propriétés d'un parallélogramme(chacun choisit les tâches indépendamment sur la diapositive de présentation via un lien hypertexte, en pointant le pointeur de la souris sur le chiffre, mais pas sur le numéro), écoutez individuellement chaque répondant.

Avec le reste, prouvez les propriétés supplémentaires d'un parallélogramme. (Discutez d’abord de la preuve oralement, puis vérifiez-la avec le tableau blanc interactif).

1°. La bissectrice de l'angle d'un parallélogramme en coupe un triangle isocèle.

2°. Les bissectrices des angles adjacents d'un parallélogramme sont perpendiculaires et les bissectrices les angles opposés sont parallèles ou se trouvent sur la même ligne droite.

Après préparation, écoutez les preuves des propriétés supplémentaires d'un parallélogramme.

ABCD -parallélogramme,

AE est la bissectrice de l’angle BAD.

Prouver : ABE est isocèle.

Preuve:

Puisque ABCD est un parallélogramme, donc BC || AD, puis angle EAD = angle BEA croisé aux droites parallèles BC et AD et sécante AE. AE est la bissectrice de l'angle BAD, ce qui signifie angle BAE = angle EAD, donc angle BAE = angle BEA.

En ABE, angle BAE = angle BEA, ce qui signifie que ABE est isocèle de base AE.

Questions directrices :

Formuler le signe d’un triangle isocèle.

Quels angles dans BAE peuvent être égaux ? Pourquoi?

ABCD -parallélogramme,

BE est la bissectrice de l'angle CBA,

AE est la bissectrice de l'angle BAD.

Questions directrices :

Quand les lignes AE et CK seront-elles parallèles ?

Les angles BEA et<3? Почему?

Dans quel cas AE et CK coïncideront-ils ?

Se préparer à étudier du nouveau matériel

Travail frontal avec la classe (oralement).

• Que signifient les mots « propriétés » et « caractère » ?
• Donnez des exemples.
• Quel est le théorème inverse ?

Le contraire de cette affirmation est-il toujours vrai ?

Donnez des exemples.

3. Explication du nouveau matériel.

• U. : Chaque objet a ses propres propriétés et caractéristiques. S'il vous plaît dites-moi en quoi les propriétés diffèrent des signes.
• Essayons de comprendre ce problème à l'aide d'un exemple simple. L'objet donné est l'automne. Nommer ses propriétés : Ses caractéristiques :

Quelles déclarations sont la propriété et l'attribut d'un objet les unes par rapport aux autres ? (réponse : inverse)

Quelles propriétés avons-nous déjà étudiées dans le cours de géométrie ?

Énoncez-les. (nommer quelques-uns)

Est-il possible de construire une véritable affirmation inverse pour n’importe quelle propriété ? (réponses différentes).

Vérifions cela sur les propriétés suivantes :

Conclure : est-il possible de construire une véritable affirmation inverse pour n’importe quelle propriété ? (non, pas pour personne)

Revenons maintenant à notre quadrilatère, rappelons ses propriétés et formulons leurs énoncés inverses, c'est-à-dire : .. (réponse - caractéristiques d'un parallélogramme). Ainsi, le sujet de la leçon d'aujourd'hui est : « Signes d'un parallélogramme ».

Alors, nommez les propriétés d’un parallélogramme.

Formulez des déclarations inverses aux propriétés. (les élèves formulent les signes, le professeur les corrige et les formule à nouveau)

Prouvons ces signes. Le premier signe est détaillé, le deuxième est bref, le troisième est seul à la maison.

4. Consolidation du matériel étudié.

Travaillez dans des cahiers d'exercices : résolvez le problème n°11 sur le tableau interactif, appelez un élève moins préparé au tableau.

• Solution au problème n°379 (écrire la solution sur le tableau interactif). A partir des sommets B et D du parallélogramme ABCD, dans lesquels AB BC et A sont aigus, les perpendiculaires BC et DM sont tracées à la droite AC. Montrer que le quadrilatère BMDK est un parallélogramme.
• Un parallélogramme a des côtés opposés égaux deux à deux ;
• Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux deux à deux ;
• Les diagonales d'un parallélogramme sont divisées en deux par le point d'intersection.

Parallélogramme - quadrilatère convexe

Démontrons d'abord le théorème selon lequel un parallélogramme est un quadrilatère convexe. Un polygone est convexe si quel que soit son côté prolongé jusqu'à une ligne droite, tous les autres côtés du polygone seront du même côté de cette ligne droite.

Soit un parallélogramme ABCD, dans lequel AB est le côté opposé de CD et BC est le côté opposé de AD. Alors de la définition d'un parallélogramme il résulte que AB || CD, C.-B. || ANNONCE.

Les segments parallèles n'ont pas de points communs et ne se croisent pas. Cela signifie que CD se trouve d’un côté de AB. Puisque le segment BC relie le point B du segment AB au point C du segment CD et que le segment AD relie les autres points AB et CD, les segments BC et AD se trouvent également du même côté de la ligne AB où se trouve CD. Ainsi, les trois côtés – CD, BC, AD – se trouvent du même côté de AB.

De même, il est prouvé que par rapport aux autres côtés du parallélogramme, les trois autres côtés se trouvent du même côté.

Les côtés et angles opposés sont égaux

L'une des propriétés d'un parallélogramme est que Dans un parallélogramme, les côtés opposés et les angles opposés sont égaux deux à deux. Par exemple, si un parallélogramme ABCD est donné, alors il a AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Ce théorème est prouvé comme suit.

Un parallélogramme est un quadrilatère. Cela signifie qu'il a deux diagonales. Puisqu’un parallélogramme est un quadrilatère convexe, chacun d’eux le divise en deux triangles. Dans le parallélogramme ABCD, considérons les triangles ABC et ADC obtenus en traçant la diagonale AC.

Ces triangles ont un côté en commun : AC. L'angle BCA est égal à l'angle CAD, tout comme le sont les angles verticaux lorsque BC et AD sont parallèles. Les angles BAC et ACD sont également égaux aux angles verticaux lorsque AB et CD sont parallèles. Par conséquent, ∆ABC = ∆ADC à deux angles et au côté qui les sépare.

Dans ces triangles, le côté AB correspond au côté CD et le côté BC correspond à AD. Donc AB = CD et BC = AD.

L'angle B correspond à l'angle D, c'est-à-dire ∠B = ∠D. L'angle A d'un parallélogramme est la somme de deux angles - ∠BAC et ∠CAD. L'angle C est égal à ∠BCA et ∠ACD. Puisque les paires d’angles sont égales entre elles, alors ∠A = ∠C.

Ainsi, il est prouvé que dans un parallélogramme, les côtés et les angles opposés sont égaux.

Les diagonales sont divisées en deux

Puisqu’un parallélogramme est un quadrilatère convexe, il a deux diagonales qui se coupent. Soit le parallélogramme ABCD, ses diagonales AC et BD se coupent au point E. Considérons les triangles ABE et CDE qu'ils forment.

Ces triangles ont des côtés AB et CD égaux aux côtés opposés d'un parallélogramme. L'angle ABE est égal à l'angle CDE car il est transversal aux droites parallèles AB et CD. Pour la même raison, ∠BAE = ∠DCE. Cela signifie ∆ABE = ∆CDE à deux angles et le côté entre eux.

Vous pouvez également remarquer que les angles AEB et CED sont verticaux et donc également égaux entre eux.

Puisque les triangles ABE et CDE sont égaux, alors tous leurs éléments correspondants sont égaux. Le côté AE du premier triangle correspond au côté CE du second, ce qui signifie AE = CE. De même BE = DE. Chaque paire de segments égaux constitue une diagonale d'un parallélogramme. Il est ainsi prouvé que Les diagonales d'un parallélogramme sont divisées en deux par leur point d'intersection.

Sign-ki pa-ral-le-lo-gram-ma

1. Définition et propriétés de base d'un parallélogramme

Commençons par rappeler la définition de para-ral-le-lo-gram.

Définition. Parallélogramme- what-you-rekh-gon-nick, qui a tous les deux pro-ti-faux côtés parallèles (voir Fig. .1).

Riz. 1. Pa-ral-le-lo-gramme

Souvenons-nous propriétés de base du pa-ral-le-lo-gram-ma:

Afin de pouvoir utiliser toutes ces propriétés, vous devez être sûr que le fi-gu-ra, à propos de quelqu'un -roy en question, - par-ral-le-lo-gram. Pour ce faire, il est nécessaire de connaître des faits tels que les signes de pa-ral-le-lo-gram-ma. Nous examinons les deux premiers d’entre eux cette année.

2. Le premier signe d'un parallélogramme

Théorème. Le premier signe de pa-ral-le-lo-gram-ma. Si dans un four à quatre charbons, les deux côtés opposés sont égaux et parallèles, alors ce surnom à quatre charbons - parallélogramme. .

Riz. 2. Le premier signe de pa-ral-le-lo-gram-ma

Preuve. Nous avons mis le dia-go-nal dans le quatre-reh-coal-ni-ke (voir Fig. 2), elle l'a divisé en deux tri-coal-ni-ka. Écrivons ce que nous savons sur ces triangles :

selon le premier signe de l'égalité des triangles.

De l'égalité des triangles indiqués, il résulte que, par le signe du parallélisme des lignes droites lors du croisement, ch-nii leur s-ku-shchi. Nous avons ça :

Fais-ka-za-mais.

3. Deuxième signe d'un parallélogramme

Théorème. Le deuxième signe est pa-ral-le-lo-gram-ma. Si dans un quatre coins tous les deux côtés opposés sont égaux, alors ce quatre coins est parallélogramme. .

Riz. 3. Le deuxième signe de pa-ral-le-lo-gram-ma

Preuve. Nous mettons le dia-go-nal dans le quatre coin (voir Fig. 3), il le divise en deux triangles. Écrivons ce que nous savons sur ces triangles, en nous basant sur la forme de la théorie :

selon le troisième signe de l'égalité des triangles.

De l'égalité des triangles, il résulte que, par le signe des lignes parallèles, lorsqu'elles se coupent s-ku-shchey. Mangeons :

par-ral-le-lo-gram par définition. Q.E.D.

Fais-ka-za-mais.

4. Un exemple d'utilisation de la première fonctionnalité de parallélogramme

Regardons l'exemple d'utilisation des signes de pa-ral-le-lo-gram.

Exemple 1. Dans le renflement, il n'y a pas de charbons Trouvez : a) les coins des charbons ; b) cent-ro-puits.

Solution. Illustration Fig. 4.

pa-ral-le-lo-gram selon le premier signe de pa-ral-le-lo-gram-ma.

UN. par la propriété d'un par-ral-le-lo-gramme sur les pro-ti-faux angles, par la propriété d'un par-ral-le-lo-gramme sur la somme des angles, lorsqu'il est couché d'un côté.

B. par la nature de l'égalité des côtés pro-faux.

signe re-tiy pa-ral-le-lo-gram-ma

5. Révision : Définition et propriétés d'un parallélogramme

Souvenons-nous de cela parallélogramme- il s'agit d'un coin de quatre carrés, qui a des faux côtés pro-ti-par paires. Autrement dit, si - par-ral-le-lo-gram, alors (voir fig. 1).

Le parallèle-le-lo-gramme a un certain nombre de propriétés : pro-ti-faux angles sont égaux (), pro-ti-faux angles -nous sommes égaux ( ). De plus, le dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram-ma au point de re-se-che-niya est divisé selon la somme des angles, at-le- poussant vers n'importe quel côté pa-ral-le-lo-gram-ma, égal, etc.

Mais pour profiter de toutes ces propriétés, il faut être absolument sûr que le ri-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram. À cette fin, il existe des signes de par-ral-le-lo-gram : c'est-à-dire des faits à partir desquels on peut tirer une conclusion à valeur unique, que ce que-vous-rekh-coal-nick est un par-ral- le-lo-gram-maman. Dans la leçon précédente, nous avons déjà examiné deux signes. Nous examinons maintenant la troisième fois.

6. Le troisième signe d'un parallélogramme et sa preuve

Si dans un quatre charbons il y a un dia-go-on au point de re-se-che-niya ils font-by-lams, alors le quatre-you Roh-coal-nick donné est un pa-ral-le -lo-gram-maman.

Donné:

Qu'est-ce-que-tu-re-charbon-nick; ; .

Prouver:

Parallélogramme.

Preuve:

Pour prouver ce fait, il faut montrer le parallélisme des parties au par-le-lo-gram. Et le parallélisme des droites apparaît le plus souvent par l'égalité des angles internes croisés à ces angles droits. Voici donc la méthode suivante pour obtenir le troisième signe de par-ral -le-lo-gram-ma : par l'égalité des triangles .

Voyons comment ces triangles sont égaux. En effet, de la condition il résulte : . De plus, puisque les angles sont verticaux, ils sont égaux. C'est-à-dire:

(premier signe d'égalitétri-charbon-ni-cov- le long de deux côtés et l'angle entre eux).

De l'égalité des triangles : (puisque les angles transversaux internes au niveau de ces lignes droites et séparateurs sont égaux). De plus, de l’égalité des triangles il résulte que . Cela signifie que nous comprenons que dans quatre charbons, deux cents sont égaux et parallèles. D'après le premier signe, pa-ral-le-lo-gram-ma : - pa-ral-le-lo-gram.

Fais-ka-za-mais.

7. Exemple de problème sur le troisième signe d'un parallélogramme et généralisation

Regardons l'exemple d'utilisation du troisième signe du pa-ral-le-lo-gram.

Exemple 1

Donné:

- parallélogramme; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (voir Fig. 2).

Prouver:- pa-ral-le-lo-gramme.

Preuve:

Cela signifie que dans les quatre charbons-no-dia-go-on-que ce soit au point de re-se-che-niya, ils font-by-lam. Par le troisième signe de pa-ral-le-lo-gram, il en résulte que - pa-ral-le-lo-gram.

Fais-ka-za-mais.

Si vous analysez le troisième signe de pa-ral-le-lo-gram, alors vous remarquerez que ce signe est avec-vet- a la propriété d'un par-ral-le-lo-gram. Autrement dit, le fait que le dia-go-na-li de-la-xia n'est pas seulement une propriété du par-le-lo-gram, et son distinctif, kha-rak-te-ri-sti-che- propriété, par laquelle il peut être distingué de l'ensemble what-you-rekh-coal-ni-cov.

SOURCE

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif