Qu'est-ce qu'une combinaison linéaire de matrices. Dépendance linéaire et rang matriciel

A noter que les lignes et colonnes de la matrice peuvent être considérées comme des vecteurs arithmétiques de dimensions m Et n, respectivement. Ainsi, la matrice de taille peut être interprétée comme un ensemble m n-dimensionnel ou n m-vecteurs arithmétiques dimensionnels. Par analogie avec les vecteurs géométriques, nous introduisons les notions de dépendance linéaire et d'indépendance linéaire des lignes et des colonnes d'une matrice.

4.8.1. Définition. Doubler
appelé combinaison linéaire de chaînes avec des chances
, si tous les éléments de cette ligne ont l'égalité suivante :

,
.

4.8.2. Définition.

Cordes
sont appelés linéairement dépendant, s'il existe une combinaison linéaire non triviale d'entre eux égale à la ligne zéro, c'est-à-dire il y a des nombres qui ne sont pas tous égaux à zéro

,
.

4.8.3. Définition.

Cordes
sont appelés linéairement indépendant, si seulement leur combinaison linéaire triviale est égale à la ligne zéro, c'est-à-dire

,

4.8.4. Théorème. (Critère de dépendance linéaire des lignes de la matrice)

Pour que les lignes soient linéairement dépendantes, il faut et suffisant qu’au moins l’une d’entre elles soit une combinaison linéaire des autres.

Preuve:

Nécessité. Laissez les lignes
sont linéairement dépendants, alors il existe une combinaison linéaire non triviale d'entre eux égale à la ligne zéro :

.

Sans perte de généralité, supposons que le premier des coefficients de la combinaison linéaire soit non nul (sinon, les lignes peuvent être renumérotées). En divisant ce rapport par , nous obtenons

,

c'est-à-dire que la première ligne est une combinaison linéaire des autres.

Adéquation. Soit par exemple une des lignes , est une combinaison linéaire des autres, alors

c'est-à-dire qu'il existe une combinaison linéaire non triviale de chaînes
, égal à la chaîne zéro :

ce qui veut dire les lignes
sont linéairement dépendants, ce qui restait à prouver.

Commentaire.

Des définitions et des déclarations similaires peuvent être formulées pour les colonnes de la matrice.

§4.9. Rang matriciel.

4.9.1. Définition. Mineure commande matrices taille
appelé le déterminant de l'ordre avec des éléments situés à l'intersection de certains d'entre eux lignes et colonnes.

4.9.2. Définition. Ordre mineur non nul matrices taille
appelé basique mineure, si tous les mineurs de la matrice sont d'ordre
sont égaux à zéro.

Commentaire. Une matrice peut avoir plusieurs bases mineures. Bien évidemment, ils seront tous du même ordre. Il est également possible que la matrice taille
ordonnance mineure est différent de zéro, et les mineurs sont d'ordre
n'existe pas, c'est-à-dire
.

4.9.3. Définition. Les lignes (colonnes) qui forment la base mineure sont appelées basique lignes (colonnes).

4.9.4. Définition. Rang d'une matrice est appelé l'ordre de sa base mineure. Rang matriciel désigné par
ou
.

Commentaire.

A noter qu'en raison de l'égalité des lignes et des colonnes du déterminant, le rang de la matrice ne change pas lorsqu'elle est transposée.

4.9.5. Théorème. (Invariance du rang matriciel sous transformations élémentaires)

Le rang d'une matrice ne change pas lors de ses transformations élémentaires.

Aucune preuve.

4.9.6. Théorème. (À propos de la mineure de base).

Les lignes (colonnes) sous-jacentes sont linéairement indépendantes. N'importe quelle ligne (colonne) d'une matrice peut être représentée comme une combinaison linéaire de ses lignes (colonnes) de base.

Preuve:

Faisons la preuve pour les chaînes. La preuve de l'énoncé pour les colonnes peut être effectuée par analogie.

Soit le rang de la matrice tailles
est égal , UN
− mineure de base. Sans perte de généralité, on suppose que la base mineure est située dans le coin supérieur gauche (sinon, la matrice peut être réduite à cette forme à l'aide de transformations élémentaires) :

.

Montrons d’abord l’indépendance linéaire des lignes de base. Nous effectuerons la preuve par contradiction. Supposons que les lignes de base soient linéairement dépendantes. Ensuite, selon le théorème 4.8.4, l’une des chaînes peut être représentée comme une combinaison linéaire des chaînes de base restantes. Par conséquent, si nous soustrayons la combinaison linéaire spécifiée de cette ligne, nous obtenons une ligne nulle, ce qui signifie que le mineur
est égal à zéro, ce qui contredit la définition d'une base mineure. Ainsi, nous avons obtenu une contradiction ; donc l’indépendance linéaire des lignes de base a été prouvée.

Montrons maintenant que chaque ligne d'une matrice peut être représentée comme une combinaison linéaire de lignes de base. Si le numéro de ligne en question de 1 à r, alors, évidemment, il peut être représenté comme une combinaison linéaire avec un coefficient égal à 1 pour la ligne et zéro coefficient pour les lignes restantes. Montrons maintenant que si le numéro de ligne depuis
à
, il peut être représenté comme une combinaison linéaire de chaînes de base. Considérons la matrice mineure
, obtenu à partir de la base mineure
ajouter une ligne et une colonne arbitraire
:

Montrons que ce mineur
depuis
à
et pour tout numéro de colonne de 1 à .

En effet, si le numéro de colonne de 1 à r, alors nous avons un déterminant avec deux colonnes identiques, qui est évidemment égal à zéro. Si le numéro de colonne depuis r+1 à , et le numéro de ligne depuis
à
, Que
est un mineur de la matrice originale d'ordre supérieur à la base mineure, ce qui signifie qu'il est égal à zéro d'après la définition de base mineure. Ainsi, il a été prouvé que le mineur
est zéro pour tout numéro de ligne depuis
à
et pour tout numéro de colonne de 1 à . En le développant sur la dernière colonne, nous obtenons :

Ici
− les ajouts algébriques correspondants. Noter que
, puisque donc
est une mineure de base. Par conséquent, les éléments de la ligne k peut être représenté comme une combinaison linéaire des éléments correspondants des lignes de base avec des coefficients indépendants du numéro de colonne :

Ainsi, nous avons prouvé qu’une ligne arbitraire d’une matrice peut être représentée comme une combinaison linéaire de ses lignes de base. Le théorème a été prouvé.

Conférence 13

4.9.7. Théorème. (Sur le rang d'une matrice carrée non singulière)

Pour qu'une matrice carrée soit non singulière, il faut et suffisant que le rang de la matrice soit égal à la taille de cette matrice.

Preuve:

Nécessité. Soit la matrice carrée taille n est non dégénéré, alors
, donc le déterminant de la matrice est une base mineure, c'est-à-dire

Adéquation. Laisser
alors l'ordre de la base mineure est égal à la taille de la matrice, donc la base mineure est le déterminant de la matrice , c'est-à-dire
par définition d'un mineur de base.

Conséquence.

Pour qu’une matrice carrée soit non singulière, il faut et suffisant que ses lignes soient linéairement indépendantes.

Preuve:

Nécessité. Puisqu'une matrice carrée est non singulière, son rang est égal à la taille de la matrice
c'est-à-dire que le déterminant de la matrice est une base mineure. Donc, d'après le théorème 4.9.6 sur la base mineure, les lignes de la matrice sont linéairement indépendantes.

Adéquation. Puisque toutes les lignes de la matrice sont linéairement indépendantes, son rang n'est pas inférieur à la taille de la matrice, ce qui signifie
donc, d'après le théorème 4.9.7 précédent, la matrice est non dégénéré.

4.9.8. La méthode des mineurs limitrophes pour trouver le rang d'une matrice.

Notez qu’une partie de cette méthode a déjà été implicitement décrite dans la preuve du théorème mineur de base.

4.9.8.1. Définition. Mineure
appelé limitrophe par rapport au mineur
, s'il est obtenu d'un mineur
en ajoutant une nouvelle ligne et une nouvelle colonne à la matrice d'origine.

4.9.8.2. La procédure pour trouver le rang d'une matrice en utilisant la méthode des mineurs limitrophes.

On trouve tout mineur courant de la matrice différent de zéro.

Nous calculons tous les mineurs qui le bordent.

S'ils sont tous égaux à zéro, alors le mineur actuel est de base un, et le rang de la matrice est égal à l'ordre du mineur actuel.

Si parmi les mineurs limitrophes il y en a au moins un non nul, alors il est considéré comme en cours et la procédure se poursuit.

En utilisant la méthode des mineurs limitrophes, on retrouve le rang de la matrice

.

Il est facile de spécifier le mineur de second ordre actuel non nul, par ex.

.

On calcule les mineurs qui le bordent :

Par conséquent, puisque tous les mineurs limitrophes du troisième ordre sont égaux à zéro, alors le mineur
est basique, c'est-à-dire

Commentaire. D'après l'exemple considéré, il est clair que la méthode demande beaucoup de main d'œuvre. Par conséquent, dans la pratique, la méthode des transformations élémentaires est beaucoup plus souvent utilisée, ce qui sera discuté ci-dessous.

4.9.9. Trouver le rang d'une matrice par la méthode des transformations élémentaires.

Sur la base du théorème 4.9.5, on peut affirmer que le rang de la matrice ne change pas sous les transformations élémentaires (c'est-à-dire que les rangs des matrices équivalentes sont égaux). Par conséquent, le rang de la matrice est égal au rang de la matrice échelonnée obtenue à partir de celle d'origine par des transformations élémentaires. Le rang d'une matrice à échelons est évidemment égal au nombre de ses lignes non nulles.

Déterminons le rang de la matrice

par la méthode des transformations élémentaires.

Présentons la matrice pour afficher la vue étape par étape :

Le nombre de lignes non nulles de la matrice d'échelon résultante est donc de trois,

4.9.10. Rang d'un système de vecteurs spatiaux linéaires.

Considérons le système de vecteurs
un espace linéaire . S'il est linéairement dépendant, alors un sous-système linéairement indépendant peut y être distingué.

4.9.10.1. Définition. Rang du système vectoriel
espace linéaire le nombre maximum de vecteurs linéairement indépendants de ce système est appelé. Rang du système vectoriel
noté comme
.

Commentaire. Si un système de vecteurs est linéairement indépendant, alors son rang est égal au nombre de vecteurs dans le système.

Formulons un théorème montrant le lien entre les notions de rang d'un système de vecteurs dans un espace linéaire et de rang d'une matrice.

4.9.10.2. Théorème. (Sur le rang d'un système de vecteurs dans l'espace linéaire)

Le rang d'un système de vecteurs dans un espace linéaire est égal au rang d'une matrice dont les colonnes ou les lignes sont les coordonnées des vecteurs dans une base de l'espace linéaire.

Aucune preuve.

Conséquence.

Pour qu'un système de vecteurs dans un espace linéaire soit linéairement indépendant, il faut et suffisant que le rang de la matrice, dont les colonnes ou lignes sont les coordonnées des vecteurs dans une certaine base, soit égal au nombre des vecteurs dans le système.

La preuve est évidente.

4.9.10.3. Théorème (Sur la dimension d'une coque linéaire).

Dimension des vecteurs de coque linéaires
espace linéaire égal au rang de ce système vectoriel :

Aucune preuve.

Laisser

Colonnes de la matrice de dimensions. Combinaison linéaire de colonnes matricielles appelée matrice de colonnes, avec des nombres réels ou complexes appelés coefficients de combinaison linéaire. Si dans une combinaison linéaire nous prenons tous les coefficients égaux à zéro, alors la combinaison linéaire est égale à la matrice colonne zéro.

Les colonnes de la matrice sont appelées linéairement indépendant , si leur combinaison linéaire est égale à zéro seulement lorsque tous les coefficients de la combinaison linéaire sont égaux à zéro. Les colonnes de la matrice sont appelées linéairement dépendant , s'il existe un ensemble de nombres parmi lesquels au moins un est différent de zéro, et que la combinaison linéaire de colonnes avec ces coefficients est égale à zéro

De même, des définitions de dépendance linéaire et d’indépendance linéaire des lignes de la matrice peuvent être données. Dans ce qui suit, tous les théorèmes sont formulés pour les colonnes de la matrice.

Théorème 5

S'il y a un zéro parmi les colonnes de la matrice, alors les colonnes de la matrice sont linéairement dépendantes.

Preuve. Considérons une combinaison linéaire dans laquelle tous les coefficients sont égaux à zéro pour toutes les colonnes non nulles et à un pour toutes les colonnes nulles. Il est égal à zéro et parmi les coefficients de la combinaison linéaire, il existe un coefficient non nul. Les colonnes de la matrice sont donc linéairement dépendantes.

Théorème 6

Si colonnes de la matrice sont linéairement dépendants, c'est tout les colonnes de la matrice sont linéairement dépendantes.

Preuve. Pour plus de précision, nous supposerons que les premières colonnes de la matrice linéairement dépendant. Alors, par définition de la dépendance linéaire, il existe un ensemble de nombres parmi lesquels au moins un est différent de zéro, et la combinaison linéaire des colonnes avec ces coefficients est égale à zéro.

Faisons une combinaison linéaire de toutes les colonnes de la matrice, y compris les colonnes restantes avec des coefficients nuls

Mais . Par conséquent, toutes les colonnes de la matrice sont linéairement dépendantes.

Conséquence. Parmi les colonnes matricielles linéairement indépendantes, toutes sont linéairement indépendantes. (Cette affirmation peut être facilement prouvée par contradiction.)

Théorème 7

Pour que les colonnes d'une matrice soient linéairement dépendantes, il faut et suffisant qu'au moins une colonne de la matrice soit une combinaison linéaire des autres.

Preuve.

Nécessité. Supposons que les colonnes de la matrice soient linéairement dépendantes, c'est-à-dire qu'il existe un ensemble de nombres parmi lesquels au moins un est différent de zéro, et la combinaison linéaire de colonnes avec ces coefficients est égale à zéro

Supposons avec certitude que . Autrement dit, la première colonne est une combinaison linéaire du reste.

Adéquation. Soit au moins une colonne de la matrice une combinaison linéaire des autres, par exemple , où sont des nombres.

Alors , c'est-à-dire que la combinaison linéaire de colonnes est égale à zéro, et parmi les nombres de la combinaison linéaire, au moins un (en ) est différent de zéro.

Soit le rang de la matrice . Tout mineur non nul du ème ordre est appelé basique . Les lignes et les colonnes à l'intersection desquelles se trouve une base mineure sont appelées basique .

Matrice– un tableau rectangulaire de nombres arbitraires disposés dans un certain ordre, de taille m*n (lignes par colonnes). Les éléments de la matrice sont désignés où i est le numéro de ligne, aj est le numéro de colonne.

Ajout (soustraction) les matrices sont définies uniquement pour les matrices unidimensionnelles. La somme (différence) des matrices est une matrice dont les éléments sont respectivement la somme (différence) des éléments des matrices d'origine.

Multiplication (division)par numéro– multiplication (division) de chaque élément de la matrice par ce nombre.

La multiplication matricielle est définie uniquement pour les matrices dont le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde.

Multiplication matricielle– matrice dont les éléments sont donnés par les formules :

Transposition matricielle– une telle matrice B dont les lignes (colonnes) sont les colonnes (lignes) de la matrice originale A. Désigné

Matrice inverse

Équations matricielles– les équations de la forme A*X=B sont un produit de matrices, la réponse à cette équation est la matrice X, qui se trouve en utilisant les règles :

1. Dépendance linéaire et indépendance des colonnes (lignes) de la matrice. Critère de dépendance linéaire, conditions suffisantes pour une dépendance linéaire des colonnes (lignes) de la matrice.

Le système de lignes (colonnes) s'appelle linéairement indépendant, si la combinaison linéaire est triviale (l'égalité n'est valable que pour a1...n=0), où A1...n sont des colonnes (lignes), aa1...n sont des coefficients de dilatation.

Critère: pour qu'un système de vecteurs soit linéairement dépendant, il faut et suffisant qu'au moins un des vecteurs du système soit exprimé linéairement à travers les vecteurs restants du système.

État suffisant:

1. Déterminants matriciels et leurs propriétés

Déterminant matriciel (déterminant) est un nombre qui, pour une matrice carrée A, peut être calculé à partir des éléments de la matrice à l'aide de la formule :

, où est le mineur supplémentaire de l'élément

Propriétés:

1. Matrice inverse, algorithme de calcul de la matrice inverse.

Matrice inverse– une telle matrice carrée X, qui, avec une matrice carrée A du même ordre, satisfait à la condition : où E est la matrice identité du même ordre que A. Toute matrice carrée dont le déterminant n'est pas égal à zéro a 1 matrice inverse. Trouvé par la méthode des transformations élémentaires et par la formule :

Le concept de rang matriciel. Le théorème sur la base mineure. Critère pour que le déterminant d'une matrice soit égal à zéro.

Transformations élémentaires de matrices. Calculs de classement par la méthode des transformations élémentaires. Calcul de la matrice inverse par la méthode des transformations élémentaires.

Rang matriciel – un mineur d'ordre r différent de zéro, de telle sorte que tous les mineurs d'ordre r+1 et supérieur sont égaux à zéro ou n'existent pas.

Le théorème mineur de base - Dans une matrice arbitraire A, chaque colonne (ligne) est une combinaison linéaire des colonnes (lignes) dans lesquelles se trouve la base mineure.

Preuve: Supposons que la base mineure d'une matrice A de dimensions m*n soit située dans les r premières lignes et les r premières colonnes. Considérons le déterminant, qui est obtenu en affectant les éléments correspondants de la ième ligne et de la kième colonne à la base mineure de la matrice A.

Notez que pour tout u ce déterminant est égal à zéro. Si ou, alors le déterminant D contient deux lignes identiques ou deux colonnes identiques. Si tel est le cas, alors le déterminant D est égal à zéro, puisqu’il est mineur d’ordre (r+λ)-ro. En développant le déterminant le long de la dernière ligne, on obtient :, où sont les compléments algébriques des éléments de la dernière ligne. Notez que puisqu’il s’agit d’une mineure de base. Par conséquent, où En écrivant la dernière égalité pour, on obtient , c'est-à-dire La kème colonne (pour tout) est une combinaison linéaire des colonnes de la base mineure, ce que nous devions prouver.

Critère detA=0– Un déterminant est égal à zéro si et seulement si ses lignes (colonnes) sont linéairement dépendantes.

Transformations élémentaires:

1) multiplier une chaîne par un nombre autre que zéro ;

2) ajouter aux éléments d'une ligne les éléments d'une autre ligne ;

3) réarrangement des cordes ;

4) rayer l'une des lignes (colonnes) identiques ;

5) transposition ;

Calcul du classement – Du théorème mineur de base, il s'ensuit que le rang de la matrice A est égal au nombre maximum de lignes linéairement indépendantes (colonnes dans la matrice), donc la tâche des transformations élémentaires est de trouver toutes les lignes (colonnes) linéairement indépendantes.

Calcul de la matrice inverse- Les transformations peuvent être mises en œuvre en multipliant par la matrice A une matrice T, qui est le produit des matrices élémentaires correspondantes : TA = E.

Cette équation signifie que la matrice de transformation T est l'inverse de la matrice . Alors donc,

Soit k lignes et k colonnes (k ≤ min(m; n)) sélectionnées aléatoirement dans une matrice A de dimensions (m; n). Les éléments matriciels situés à l'intersection des lignes et colonnes sélectionnées forment une matrice carrée d'ordre k dont le déterminant est appelé le mineur M kk d'ordre k y ou le kième mineur d'ordre de la matrice A.

Le rang d'une matrice est l'ordre maximum des r mineurs non nuls de la matrice A, et tout mineur d'ordre r non nul est une base mineure. Désignation : rang A = r. Si rang A = rang B et que les tailles des matrices A et B sont les mêmes, alors les matrices A et B sont dites équivalentes. Désignation : A ~ B.

Les principales méthodes de calcul du rang d'une matrice sont la méthode des mineurs limitrophes et la méthode des mineurs limitrophes.

Méthode mineure limite

L'essence de la méthode des mineurs limitrophes est la suivante. Supposons qu'un mineur d'ordre k, différent de zéro, ait déjà été trouvé dans la matrice. Ensuite, nous considérons ci-dessous uniquement les mineurs d'ordre k+1 qui contiennent (c'est-à-dire une bordure) un mineur d'ordre k différent de zéro. Si tous sont égaux à zéro, alors le rang de la matrice est égal à k, sinon parmi les mineurs limitrophes du (k+1)ème ordre il y en a un non nul et toute la procédure est répétée.

Indépendance linéaire des lignes (colonnes) d'une matrice

Le concept de rang matriciel est étroitement lié au concept d'indépendance linéaire de ses lignes (colonnes).

sont appelés linéairement dépendants s'il existe des nombres λ 1, λ 2, λ k tels que l'égalité est vraie :

Les lignes de la matrice A sont dites linéairement indépendantes si l'égalité ci-dessus n'est possible que dans le cas où tous les nombres λ 1 = λ 2 = … = λ k = 0

La dépendance linéaire et l'indépendance des colonnes de la matrice A sont déterminées de la même manière.

Si une ligne (a l) de la matrice A (où (a l)=(a l1 , a l2 ,…, a ln)) peut être représentée comme

Le concept de combinaison linéaire de colonnes est défini de la même manière. Le théorème suivant sur la base mineure est valide.

Les lignes de base et les colonnes de base sont linéairement indépendantes. Toute ligne (ou colonne) de la matrice A est une combinaison linéaire des lignes (colonnes) de base, c'est-à-dire des lignes (colonnes) coupant la base mineure. Ainsi, le rang de la matrice A : rang A = k est égal au nombre maximum de lignes (colonnes) linéairement indépendantes de la matrice A.

Ceux. Le rang d'une matrice est la dimension de la plus grande matrice carrée de la matrice dont le rang doit être déterminé, pour laquelle le déterminant n'est pas égal à zéro. Si la matrice d'origine n'est pas carrée, ou si elle est carrée mais que son déterminant est nul, alors pour les matrices carrées d'ordre inférieur, les lignes et les colonnes sont choisies arbitrairement.

En plus des déterminants, le rang d'une matrice peut être calculé par le nombre de lignes ou de colonnes linéairement indépendantes de la matrice. Il est égal au nombre de lignes ou de colonnes linéairement indépendantes, le plus petit des deux étant retenu. Par exemple, si une matrice comporte 3 lignes linéairement indépendantes et 5 colonnes linéairement indépendantes, alors son rang est trois.

Exemples de recherche du rang d'une matrice

En utilisant la méthode des mineurs limitrophes, trouvez le rang de la matrice

Solution : mineur de deuxième ordre

le mineur limitrophe M 2 est également non nul. Toutefois, les deux mineurs sont du quatrième ordre, limitrophe de M 3 .

sont égaux à zéro. Le rang de la matrice A est donc 3, et la base mineure est par exemple la mineure M 3 présentée ci-dessus.

La méthode des transformations élémentaires repose sur le fait que les transformations élémentaires d'une matrice ne changent pas son rang. En utilisant ces transformations, vous pouvez amener la matrice à une forme où tous ses éléments, sauf a 11, a 22, ..., a rr (r ≤min (m, n)), sont égaux à zéro. Cela signifie évidemment que le rang A = r. Notez que si une matrice d'ordre n a la forme d'une matrice triangulaire supérieure, c'est-à-dire une matrice dans laquelle tous les éléments sous la diagonale principale sont égaux à zéro, alors sa définition est égale au produit des éléments sur la diagonale principale . Cette propriété peut être utilisée lors du calcul du rang d'une matrice par la méthode des transformations élémentaires : il faut les utiliser pour réduire la matrice à une matrice triangulaire puis, en sélectionnant le déterminant correspondant, on constate que le rang de la matrice est égal au nombre d'éléments de la diagonale principale différents de zéro.

A l'aide de la méthode des transformations élémentaires, trouver le rang de la matrice

Solution. Désignons la i-ème ligne de la matrice A par le symbole α i . Dans un premier temps, nous effectuerons des transformations élémentaires

Dans un deuxième temps, nous effectuons les transformations

Un système de vecteurs du même ordre est dit linéairement dépendant si un vecteur nul peut être obtenu à partir de ces vecteurs grâce à une combinaison linéaire appropriée. (Il n'est pas permis que tous les coefficients d'une combinaison linéaire soient égaux à zéro, car cela serait trivial.) Sinon, les vecteurs sont appelés linéairement indépendants. Par exemple, les trois vecteurs suivants :

sont linéairement dépendants, car cela est facile à vérifier. Dans le cas d'une dépendance linéaire, n'importe quel vecteur peut toujours être exprimé par une combinaison linéaire d'autres vecteurs. Dans notre exemple : soit ou soit Ceci est facile à vérifier avec les calculs appropriés. Cela conduit à la définition suivante : un vecteur est linéairement indépendant des autres vecteurs s'il ne peut être représenté comme une combinaison linéaire de ces vecteurs.

Considérons un système de vecteurs sans préciser s'il est linéairement dépendant ou linéairement indépendant. Pour chaque système constitué de vecteurs colonnes a, il est possible d'identifier le nombre maximum possible de vecteurs linéairement indépendants. Ce nombre, désigné par la lettre , est le rang de ce système vectoriel. Puisque chaque matrice peut être considérée comme un système de vecteurs colonnes, le rang d'une matrice est défini comme le nombre maximum de vecteurs colonnes linéairement indépendants qu'elle contient. Les vecteurs lignes sont également utilisés pour déterminer le rang d'une matrice. Les deux méthodes donnent le même résultat pour la même matrice, et ne peuvent excéder le plus petit de ou. Le rang d'une matrice carrée d'ordre va de 0 à . Si tous les vecteurs sont nuls, alors le rang d'une telle matrice est nul. Si tous les vecteurs sont linéairement indépendants les uns des autres, alors le rang de la matrice est égal. Si nous formons une matrice à partir des vecteurs ci-dessus, alors le rang de cette matrice est 2 Puisque deux vecteurs peuvent être réduits à un tiers par une combinaison linéaire, alors le rang est inférieur à 3.

Mais nous pouvons nous assurer que deux de leurs vecteurs sont linéairement indépendants, d’où le rang

Une matrice carrée est dite singulière si ses vecteurs colonnes ou vecteurs lignes sont linéairement dépendants. Le déterminant d'une telle matrice est égal à zéro et sa matrice inverse n'existe pas, comme indiqué ci-dessus. Ces conclusions sont équivalentes les unes aux autres. De ce fait, une matrice carrée est dite non singulière, ou non singulière, si ses vecteurs colonnes ou vecteurs lignes sont indépendants les uns des autres. Le déterminant d'une telle matrice n'est pas égal à zéro et sa matrice inverse existe (comparer avec p. 43)

Le rang de la matrice a une interprétation géométrique assez évidente. Si le rang de la matrice est égal à , alors l'espace à dimensions est dit couvert par des vecteurs. Si le rang est alors les vecteurs se trouvent dans un sous-espace dimensionnel qui les inclut tous. Ainsi, le rang de la matrice correspond à la dimension minimale requise de l'espace « qui contient tous les vecteurs » ; un sous-espace -dimensionnel dans un espace -dimensionnel est appelé un hyperplan -dimensionnel. Le rang de la matrice correspond à la plus petite dimension de l'hyperplan dans laquelle se trouvent encore tous les vecteurs.

Orthogonalité. Deux vecteurs a et b sont dits orthogonaux entre eux si leur produit scalaire est égal à zéro. Si la matrice d'ordre a l'égalité où D est une matrice diagonale, alors les vecteurs colonnes de la matrice A sont orthogonaux par paires. Si ces vecteurs colonnes sont normalisés, c'est-à-dire réduits à une longueur égale à 1, alors l'égalité se produit et on parle de vecteurs orthonormés. Si B est une matrice carrée et que l’égalité est vraie, alors la matrice B est dite orthogonale. Dans ce cas, il résulte de la formule (1.22) que la matrice orthogonale est toujours non singulière. Par conséquent, de l’orthogonalité de la matrice découle l’indépendance linéaire de ses vecteurs lignes ou vecteurs colonnes. L’affirmation inverse n’est pas vraie : l’indépendance linéaire d’un système de vecteurs n’implique pas l’orthogonalité deux à deux de ces vecteurs.