Exemple de régression dans Excel. Equation de régression comment faire dans Excel. Solution utilisant un tableur Excel
3. Méthode d'accord
Soit l'équation f(x) = 0, où f(x) - fonction continue, ayant des dérivées du premier et du deuxième ordre dans l'intervalle (a, b). La racine est considérée comme séparée et se situe sur le segment.
L'idée de la méthode des accords est que sur un intervalle suffisamment petit l'arc de courbe y = f(x) peut être remplacé par une corde et le point d'intersection avec l'axe des abscisses peut être pris comme valeur approximative de la racine. Considérons le cas (Fig. 1) où les dérivées première et seconde ont les mêmes signes, c'est-à-dire f "(x)f ²(x) > 0. Alors l'équation de la corde passant par les points A0 et B a la forme
L'approximation racine x = x1 pour laquelle y = 0 est définie comme
.
De même, pour la corde passant par les points A1 et B, on calcule l'approximation suivante de la racine
.
DANS cas général La formule de la méthode des accords est la suivante :
. (2)
Si les dérivées première et seconde ont différents signes, c'est-à-dire
f "(x)f "(x)< 0,
alors toutes les approches vers la racine x* se font à partir du bord droit du segment, comme le montre la Fig. 2, et sont calculés par la formule :
. (3)
Le choix de la formule dans chaque cas particulier dépend du type de fonction f(x) et s'effectue selon la règle : la limite du segment d'isolement racine pour lequel le signe de la fonction coïncide avec le signe de la dérivée seconde est fixé. La formule (2) est utilisée dans le cas où f(b)f "(b) > 0. Si l'inégalité f(a)f "(a) > 0 est vraie, alors il est conseillé d'utiliser la formule (3).
Riz. 1 fig. 2
Riz. 3 Fig. 4
Le processus itératif de la méthode des accords se poursuit jusqu'à une racine approximative avec diplôme donné précision. Lors de l'estimation de l'erreur d'approximation, vous pouvez utiliser la relation suivante :
.
Alors la condition pour terminer les calculs s’écrit :
où e est l'erreur de calcul spécifiée. Il convient de noter que lors de la recherche d'une racine, la méthode des accords permet souvent une convergence plus rapide que la méthode de la bissection.
4. Méthode de Newton (tangentes)
Soit l'équation (1) avoir une racine sur l'intervalle, et f "(x) et f "(x) sont continus et conservent des signes constants sur tout l'intervalle.
La signification géométrique de la méthode de Newton est que l'arc de courbe y = f(x) est remplacé par une tangente. Pour ce faire, sélectionnez une première approximation de la racine x0 sur l'intervalle et tracez une tangente au point C0(x0, f(x0)) à la courbe y = f(x) jusqu'à ce qu'elle coupe l'axe des x (Fig. 3). L'équation tangente au point C0 a la forme
Ensuite, une tangente est tracée nouveau point C1(x1, f(x1)) et le point x2 de son intersection avec l'axe 0x est déterminé, etc. En général, la formule de la méthode tangente est la suivante :
À la suite des calculs, une séquence de valeurs approximatives x1, x2, ..., xi, ... est obtenue, dont chaque membre suivant est plus proche de la racine x* que le précédent. Le processus itératif s'arrête généralement lorsque la condition (4) est remplie.
L’approximation initiale x0 doit satisfaire la condition :
f(x0) f¢¢(x0) > 0. (6)
Sinon, la convergence de la méthode de Newton n'est pas garantie, puisque la tangente coupera l'axe des x en un point n'appartenant pas au segment. En pratique, l'une des limites de l'intervalle est généralement choisie comme première approximation de la racine x0, c'est-à-dire x0 = a ou x0 = b, pour lesquels le signe de la fonction coïncide avec le signe de la dérivée seconde.
La méthode de Newton donne grande vitesse convergence lors de la résolution d'équations pour lesquelles la valeur du module de la dérivée ½f ¢(x)½ près de la racine est suffisamment grande, c'est-à-dire le graphique de la fonction y = f(x) au voisinage de la racine a une grande pente. Si la courbe y = f(x) dans l'intervalle est presque horizontale, alors l'utilisation de la méthode tangente n'est pas recommandée.
Désavantage important La méthode considérée est la nécessité de calculer les dérivées de la fonction pour organiser le processus itératif. Si la valeur f ¢(x) change peu au cours de l'intervalle, alors pour simplifier les calculs, vous pouvez utiliser la formule
, (7)
ceux. il suffit de calculer la valeur dérivée une seule fois au point de départ. Géométriquement, cela signifie que les tangentes aux points Ci(xi, f(xi)), où i = 1, 2, ..., sont remplacées par des droites parallèles à la tangente tracée à la courbe y = f(x) au point initial C0(x0 , f(x0)), comme le montre la Fig. 4.
En conclusion, il convient de noter que tout ce qui précède est vrai dans le cas où l’approximation initiale x0 est choisie suffisamment proche de la vraie racine x* de l’équation. Cependant, cela n’est pas toujours facile à réaliser. Par conséquent, la méthode de Newton est souvent utilisée au stade final de la résolution d'équations après l'exécution d'un algorithme convergent fiable, par exemple la méthode de bissection.
5. Méthode d'itération simple
Pour appliquer cette méthode pour résoudre l’équation (1), il est nécessaire de la transformer sous la forme . Ensuite, l'approximation initiale est sélectionnée et x1 est calculé, puis x2, etc. :
x1 = j(x0); x2 = j(x1); ... ; xk = j(xk-1); ...
non linéaire équation algébrique racine
La séquence résultante converge vers la racine lors de l'exécution conditions suivantes:
1) la fonction j(x) est dérivable sur l'intervalle.
2) en tout point de cet intervalle j¢(x) satisfait l'inégalité :
0 £ q 1 £. (8)
Dans de telles conditions, le taux de convergence est linéaire et des itérations doivent être effectuées jusqu'à ce que la condition devienne vraie :
.
Critère de type
ne peut être utilisé qu'à 0 £ q £ ½. Sinon, les itérations se terminent prématurément, sans atteindre la précision spécifiée. Si le calcul de q est difficile, alors vous pouvez utiliser un critère de fin de la forme
; 
.
Possible diverses manières transformer l'équation (1) sous la forme . Il faut en choisir un qui satisfait à la condition (8), qui génère un processus itératif convergent, comme le montre par exemple la Fig. 5, 6. Sinon, notamment lorsque ½j¢(x)½>1, le processus d'itération diverge et ne permet pas d'obtenir de solution (Fig. 7).
Riz. 5
Riz. 6
Riz. 7
Conclusion
Le problème de l'amélioration de la qualité des calculs équations non linéaires en utilisant diverses méthodes, comment l'écart entre le souhaité et le réel existe et continuera d'exister dans le futur. Sa solution sera facilitée par le développement informatique, qui consiste à la fois à améliorer les méthodes d'organisation processus d'information, et leur mise en œuvre à l'aide d'outils spécifiques - environnements et langages de programmation.
Liste des sources utilisées
1. Alekseev V.E., Vaulin A.S., Petrova G.B. - L'informatique et la programmation. Atelier de programmation : Manuel pratique/ -M. : Supérieur. école , 1991. - 400 p.
2. Abramov S.A., Zima E.V. - Début de la programmation en Pascal. - M. : Nauka, 1987. -112 p.
3. Technologie informatique et programmation : Proc. pour la technologie. universités/ A.V. Petrov, V.E. Alekseev, A.S. Vaulin et autres - M. : Supérieur. école, 1990 - 479 p.
4. Gusev V.A., Mordkovitch A.G. - Mathématiques : Référence. matériaux : Livre. pour les étudiants. - 2e éd. - M. : Éducation, 1990. - 416 p.
Le point de la solution approchée, c'est-à-dire Les approximations successives (4) sont construites selon les formules : , (9) où est l'approximation initiale de solution exacte. 4.5 Méthode Seidel basée sur une équation linéarisée La formule itérative pour construire une solution approximative de l'équation non linéaire (2) basée sur l'équation linéarisée (7) a la forme : 4.6 Méthode de descente la plus raide Méthodes...
Objet de la prestation. Le service est conçu pour trouver les racines des équations f(x) dans mode en ligne méthode d'accordInstructions. Entrez l'expression F(x) , cliquez sur Suivant. La solution obtenue est stockée dans Fichier Word. Également créé modèle de solution dans Excel. Vous trouverez ci-dessous une instruction vidéo.
Règles de saisie d'une fonction
Exemples≡x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡x+(x-1)^(2/3)
Considérons davantage manière rapide trouver la racine de l'intervalle, en supposant que f(a)f(b)<0.
f''(x)>0 f''(x)<0
f(b)f''(b)>0 f(a)f''(a)>0 
Fig.1a Fig. 1b
Regardons la figure 1a. Traçons une corde passant par les points A et B. Équation d'accord 
.
Au point x=x 1 , y=0, on obtient ainsi la première approximation de la racine 
. (3.8)
Vérification des conditions
(une) f(x 1)f(b)<0,
(b) f(x1)f(a)<0.
Si la condition (a) est satisfaite, alors dans la formule (3.8) on remplace le point a par x 1, on obtient
.
En poursuivant ce processus, on obtient pour la nième approximation 
. (3.9)
Ici, la fin a est mobile, c'est-à-dire f(x i)f(b)<0. Аналогичная ситуация на рис 2а.
Considérons le cas où la fin a est fixe.
f''(x)<0 f’’(x)>0
f(b)f’’(b)<0 f(a)f’’(a)<0
Fig.2a Fig.2b
Sur la figure 1b, 2b f(x i)f(a) est exécuté<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x 1 (см. (3.8)). Здесь выполняется f(x 1)f(a)<0. Затем вводим b 1 =x 1 (в формуле (3.8) точку b заменяем на x 1), получим
.
En continuant le processus, nous arrivons à la formule 
. (3.10)
Arrêter le processus
|x n – x n-1 |<ε; ξ≈x n
Riz. 3
Sur la figure 3, f''(x) change de signe, les deux extrémités seront donc mobiles.
Avant d'aborder la question de la convergence du processus itératif de la méthode des accords, introduisons la notion de fonction convexe.
Définition. Une fonction continue est dite convexe (concave) si pour deux points quelconques x 1 ,x 2 satisfaisant a≤x 1
f(αx 1 + (1-α)x 2) ≥ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - concave
Pour une fonction convexe f’’(x)≥0.
Pour une fonction concave f’’(x)≤0
Théorème 3. Si la fonction f(x) est convexe (concave) sur le segment , alors sur n'importe quel segment 
le graphique de la fonction f(x) n'est pas plus haut (ni plus bas) que la corde passant par les points du graphique d'abscisses x 1 et x 2.
Preuve:
Considérons une fonction convexe. L'équation de la corde : passant par x 1 et x 2 a la forme : 
.
Considérons le point c= αx 1 + (1-α)x 2 , où aО
En revanche, par définition d'une fonction convexe on a f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf 1 + (1-α)f 2 ; donc f(c) ≤ g(c) etc. 
Pour une fonction concave, la preuve est similaire.
Nous considérerons la preuve de la convergence du processus itératif pour le cas d'une fonction convexe (concave).
Théorème 4. Soit une fonction continue f(x) deux fois différentiable et soit f(a)f(b)<0, а f’(x) и f’’(x) сохраняют свои знаки на (см. рис 1а,1б и рис 2а,2б). Тогда итерационный процесс метода хорд сходится к корню ξ с любой наперед заданной точностью ε.
Preuve: Considérons par exemple le cas f(a)f’’(a)<0 (см рис 1а и 2а). Из формулы (9) следует, что x n >x n -1 puisque (b-x n -1)>0, et f n -1 /(f b -f n -1)<0. Это справедливо для любого n, то есть получаем возрастающую последовательность чисел
a≤x 0
. (3.11)
Nous avons
(3.12)
(c'est-à-dire que la valeur de la fonction y(x) au point x n sur la corde coïncide avec f(ξ)).
Puisque , alors de (3.12) il résulte
ou
. (3.13)
Pour la fig. 1a, donc
ou
veut dire que, etc. (voir (3.11)).
Pour la figure 2a. Par conséquent, de (3.12) on obtient
Moyens
parce que 
etc.
Preuve similaire pour les figures 1b et 2b. Ainsi, nous avons prouvé que la suite des nombres est convergente.
a≤x 0
La convergence de la méthode des accords est linéaire avec le coefficient 
.
, (3.14)
où m 1 =min|f’(x)|, M 1 =max|f’(x)|.
Cela découle des formules suivantes. Considérons le cas d'une extrémité fixe b et f(b)>0.
On a de (3.9) 
. D'ici 
. Compte tenu de cela, nous pouvons écrire 
ou 
.
Remplacer (ξ-x n -1) au dénominateur du membre de droite par (b-x n -1) et prendre en compte que (ξ-x n -1)< (b-x n -1), получим 
, ce qui devait être prouvé (voir inégalité (3.14)).
La preuve de convergence pour le cas de la figure 3 (f''(x) change de signe ; dans le cas général, f' et f'' peuvent changer de signe) est plus complexe et n'est pas donnée ici.
Dans les problèmes, déterminez le nombre de racines réelles de l'équation f(x) = 0, séparez ces racines et, à l'aide de la méthode des cordes et des tangentes, trouvez leurs valeurs approximatives avec une précision de 0,001.