Comment calculer le volume de la formule et des valeurs sonores. Son. Volume d'information du fichier son. Tâches de codage audio

Le sujet « Le trinôme carré et ses racines » est étudié dans le cours d'algèbre de 9e année. Comme toute autre leçon de mathématiques, une leçon sur ce sujet nécessite des outils et des méthodes pédagogiques particulières. La visibilité est nécessaire. Cela inclut cette leçon vidéo, spécialement conçue pour faciliter le travail de l’enseignant.

Cette leçon dure 6:36 minutes. Pendant ce temps, l'auteur parvient à révéler complètement le sujet. L'enseignant n'aura qu'à sélectionner des tâches sur le sujet pour renforcer la matière.

La leçon commence par montrer des exemples de polynômes à une variable. Ensuite, la définition de la racine du polynôme apparaît à l'écran. Cette définition est étayée par un exemple où il faut trouver les racines d'un polynôme. Après avoir résolu l'équation, l'auteur obtient les racines du polynôme.

Ce qui suit est une remarque selon laquelle les trinômes quadratiques incluent également les polynômes du deuxième degré dans lesquels le deuxième, le troisième ou les deux coefficients, à l'exception du premier, sont égaux à zéro. Cette information est étayée par un exemple où le coefficient libre est nul.

L'auteur explique ensuite comment trouver les racines d'un trinôme quadratique. Pour ce faire, vous devez résoudre une équation quadratique. Et l'auteur propose de vérifier cela à l'aide d'un exemple où un trinôme quadratique est donné. Il faut retrouver ses racines. La solution est basée sur la solution équation quadratique, obtenu à partir d'un trinôme quadratique donné. La solution est écrite à l’écran de manière détaillée, claire et compréhensible. Au cours de la décision cet exemple l'auteur se souvient comment résoudre une équation quadratique, écrit les formules et obtient le résultat. La réponse est enregistrée sur l'écran.

L’auteur a expliqué comment trouver les racines d’un trinôme carré à partir d’un exemple. Lorsque les élèves en comprennent l’essence, ils peuvent passer à d’autres points généraux, c'est ce que fait l'auteur. Par conséquent, il résume davantage tout ce qui précède. En termes généraux En langage mathématique, l'auteur écrit la règle pour trouver les racines d'un trinôme carré.

Ce qui suit est une remarque selon laquelle, dans certains problèmes, il est plus pratique d'écrire le trinôme quadratique un peu différemment. Cette entrée est affichée à l'écran. Autrement dit, il s'avère qu'à partir d'un trinôme carré, on peut extraire un binôme carré. Il est proposé de considérer une telle transformation avec un exemple. La solution à cet exemple est affichée à l'écran. Comme dans l’exemple précédent, la solution est construite en détail avec toutes les explications nécessaires. L'auteur considère ensuite un problème qui utilise les informations qui viennent d'être données. Ce problème géométrique pour preuve. La solution contient une illustration sous forme de dessin. La solution au problème est décrite en détail et clairement.

Ceci conclut la leçon. Mais l’enseignant peut sélectionner des tâches en fonction des capacités des élèves qui correspondront au sujet proposé.

Cette leçon vidéo peut être utilisée comme explication de nouveau matériel dans les cours d'algèbre. C'est parfait pour auto-apprentissageélèves pour la leçon.

Vous pouvez trouver la racine d’un trinôme carré en utilisant le discriminant. De plus, pour le polynôme réduit du deuxième degré, le théorème de Vieta, basé sur le rapport des coefficients, s’applique.

Instructions

• Les équations quadratiques sont un sujet assez étendu en algèbre scolaire. Côté gauche une telle équation est un polynôme du deuxième degré de la forme A x² + B x + C, c'est-à-dire une expression de trois monômes de différents degrés de x inconnu. Pour trouver la racine d'un trinôme carré, vous devez calculer la valeur de x à laquelle cette expression est égale à zéro.
• Pour résoudre une équation quadratique, vous devez trouver le discriminant. Sa formule est une conséquence de l'isolement du carré complet du polynôme et représente un certain rapport de ses coefficients : D = B² – 4 A C.
• Le discriminant peut prendre différentes significations, y compris être négatif. Et si collégiens peut dire avec soulagement qu'une telle équation n'a pas de racines, alors les lycéens sont déjà capables de les déterminer sur la base de la théorie nombres complexes. Il peut donc y avoir trois options : Discriminant – un nombre positif. Alors les racines de l’équation sont égales : x1 = (-B + √D)/2 A ; x2 = (-B - √D)/2A ;
  Le discriminant est passé à zéro. Théoriquement, dans ce cas, l'équation a également deux racines, mais en pratique elles sont identiques : x1 = x2 = -B/2 A ;
  Le discriminant est inférieur à zéro. Une certaine valeur i² = -1 est introduite dans le calcul, ce qui permet d'écrire solution globale: x1 = (-B + je √|D|)/2 UNE ; x2 = (-B - je √|D|)/2 UNE.
• La méthode discriminante est valable pour toute équation quadratique, mais il existe des situations où il est conseillé d'utiliser une méthode plus rapide, notamment pour les petits coefficients entiers. Cette méthode s'appelle le théorème de Vieta et consiste en une paire de relations entre les coefficients du trinôme réduit : x² + P x + Q
  x1 + x2 = -P ;
  x1 x2 = Q. Il ne reste plus qu'à trouver les racines.
• Il convient de noter que l’équation peut être réduite à une forme similaire. Pour ce faire, il faut diviser tous les termes du trinôme par le coefficient de puissance la plus élevée A : A x² + B x + C |A
  x² + B/A x + C/A
  x1 + x2 = -B/A ;
  x1 x2 = C/A.

L’étude de nombreux modèles physiques et géométriques conduit souvent à résoudre des problèmes de paramètres. Certaines universités incluent également des équations, des inégalités et leurs systèmes dans les épreuves d'examen, qui sont souvent très complexes et nécessitent une approche de solution non standard. À l'école, cette section, l'une des plus difficiles du cours d'algèbre scolaire, n'est prise en compte que dans quelques cours au choix ou par matières.
À mon avis, la méthode graphique fonctionnelle est pratique et d'une manière rapide résoudre des équations avec un paramètre.
Comme on le sait, en ce qui concerne les équations avec paramètres, il existe deux formulations du problème.

1. Résolvez l'équation (pour chaque valeur de paramètre, trouvez toutes les solutions de l'équation).
2. Trouver toutes les valeurs du paramètre pour chacune desquelles les solutions de l'équation satisfont conditions données.

Dans cet article, un problème du deuxième type est considéré et étudié en relation avec les racines d'un trinôme carré, dont la découverte se réduit à résoudre une équation quadratique.
L'auteur espère que ce travail aidera les enseignants à élaborer des cours et à préparer les étudiants à l'examen d'État unifié.

1. Qu'est-ce qu'un paramètre

Expression de la forme ah 2 + bx + c dans le cours d'algèbre scolaire, ils appellent le trinôme quadratique par rapport à X, Où une, b, c reçoivent des nombres réels, et, un=/= 0. Les valeurs de la variable x auxquelles l'expression devient nulle sont appelées racines du trinôme carré. Pour trouver les racines d’un trinôme quadratique, vous devez résoudre l’équation quadratique ah 2 + bх + c = 0.
Rappelons les équations de base du cours d'algèbre scolaire hache + b = 0;
aх2 + bх + c = 0. Lors de la recherche de leurs racines, les valeurs des variables une, b, c, inclus dans l’équation sont considérés comme fixes et donnés. Les variables elles-mêmes sont appelées paramètres. Puisqu'il n'y a pas de définition du paramètre dans les manuels scolaires, je propose de prendre comme base la version la plus simple suivante.

Définition.Un paramètre est une variable indépendante dont la valeur dans le problème est considérée comme donnée fixe ou arbitraire nombre réel, ou un nombre appartenant à un ensemble prédéterminé.

2. Types et méthodes de base pour résoudre les problèmes avec les paramètres

Parmi les tâches paramétrées, on peut distinguer les principaux types de tâches suivants.

1. Équations qui doivent être résolues soit pour n'importe quelle valeur d'un ou plusieurs paramètres, soit pour des valeurs de paramètres appartenant à un ensemble prédéterminé. Par exemple. Résoudre des équations : hache = 1, (un - 2)x = un 2 – 4.
2. Équations pour lesquelles vous devez déterminer le nombre de solutions en fonction de la valeur du paramètre (paramètres). Par exemple. À quelles valeurs de paramètres unéquation 4X 2 – 4hache + 1 = 0 a une seule racine ?
3. Équations pour lesquelles, pour les valeurs de paramètres requises, l'ensemble des solutions satisfait aux conditions spécifiées dans le domaine de définition.

Par exemple, recherchez les valeurs des paramètres auxquelles les racines de l'équation ( un - 2)X 2 – 2hache + a + 3 = 0 positif.
Les principales manières de résoudre des problèmes avec un paramètre : analytique et graphique.

Analytique- c'est une méthode dite solution directe, répétant les procédures standard pour trouver la réponse à des problèmes sans paramètre. Regardons un exemple d'une telle tâche.

Tâche n°1

A quelles valeurs du paramètre a l'équation est-elle X 2 – 2hache + un 2 – 1 = 0 a deux racines différentes appartenant à l'intervalle (1 ; 5) ?

Solution

X 2 – 2hache + un 2 – 1 = 0.
Selon les conditions du problème, l’équation doit avoir deux racines différentes, et cela n’est possible qu’à la condition : D > 0.
On a : D = 4 un 2 – 2(UN 2 – 1) = 4. Comme on le voit, le discriminant ne dépend pas de a, donc l'équation a deux racines différentes pour toutes les valeurs du paramètre a. Trouvons les racines de l'équation : X 1 = UN + 1, X 2 = UN – 1
Les racines de l'équation doivent appartenir à l'intervalle (1 ; 5), c'est-à-dire
Alors, à 2 heures<UN < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

Réponse : 2<UN < 4.
Cette approche pour résoudre les problèmes du type considéré est possible et rationnelle dans les cas où le discriminant de l'équation quadratique est « bon », c'est-à-dire est le carré exact de n'importe quel nombre ou expression, ou les racines de l'équation peuvent être trouvées en utilisant le théorème inverse de Vieta. Ainsi, les racines ne représentent pas des expressions irrationnelles. Autrement, la résolution de problèmes de ce type implique des procédures assez complexes d’un point de vue technique. Et résoudre des inégalités irrationnelles nécessite de nouvelles connaissances de la part de l’étudiant.

Graphique- il s'agit d'une méthode dans laquelle des graphiques sont utilisés dans le plan de coordonnées (x; y) ou (x; a). La clarté et la beauté de cette méthode de solution aident à trouver un moyen rapide de résoudre le problème. Résolvons graphiquement le problème n°1.
Comme vous le savez grâce à un cours d'algèbre, les racines d'une équation quadratique (trinôme quadratique) sont les zéros de la fonction quadratique correspondante : Y = X 2 – 2Oh + UN 2 – 1. Le graphique de la fonction est une parabole, les branches sont dirigées vers le haut (le premier coefficient est 1). Un modèle géométrique répondant à toutes les exigences du problème ressemble à ceci.

Il ne reste plus qu'à « fixer » la parabole dans la position souhaitée en utilisant les conditions nécessaires.

1. Puisqu'une parabole a deux points d'intersection avec l'axe X, alors D > 0.
2. Le sommet de la parabole est entre les lignes verticales X= 1 et X= 5, donc l'abscisse du sommet de la parabole x o appartient à l'intervalle (1 ; 5), c'est-à-dire
   1 <XÔ< 5.
3. Nous remarquons que à(1) > 0, à(5) > 0.

Ainsi, en passant du modèle géométrique du problème au modèle analytique, on obtient un système d'inégalités.

Réponse : 2<UN < 4.

Comme le montre l'exemple, une méthode graphique pour résoudre des problèmes du type considéré est possible dans le cas où les racines sont « mauvaises », c'est-à-dire contenir un paramètre sous le signe radical (dans ce cas, le discriminant de l'équation n'est pas un carré parfait).
Dans la deuxième méthode de résolution, nous avons travaillé avec les coefficients de l'équation et l'étendue de la fonction à = X 2 – 2Oh + UN 2 – 1.
Cette méthode de solution ne peut pas être qualifiée de uniquement graphique, car ici, nous devons résoudre un système d’inégalités. Cette méthode est plutôt combinée : fonctionnelle et graphique. De ces deux méthodes, cette dernière est non seulement élégante, mais aussi la plus importante, puisqu'elle montre la relation entre tous les types de modèles mathématiques : une description verbale du problème, un modèle géométrique - un graphique d'un trinôme quadratique, un modèle analytique modèle - une description d'un modèle géométrique par un système d'inégalités.
Nous avons donc considéré un problème dans lequel les racines d'un trinôme quadratique satisfont des conditions données dans le domaine de définition pour les valeurs de paramètres souhaitées.

Quelles autres conditions possibles les racines d’un trinôme quadratique peuvent-elles satisfaire pour les valeurs de paramètres souhaitées ?

Sujet de la leçon: "Trinôme carré et ses racines."

Objectif de la leçon: initier les étudiants au concept de trinôme carré et à ses racines, améliorer leurs compétences dans la résolution de tâches permettant d'isoler le carré d'un binôme d'un trinôme carré.

La leçon comprend quatre étapes principales:

Contrôle des connaissances

Explication du nouveau matériel

Consolidation reproductive.

Renforcement de la formation.

Réflexion.

Étape 1. Contrôle des connaissances.

L'enseignant réalise une dictée mathématique « en copie conforme » à partir de la matière du cycle précédent. Pour la dictée, des fiches de deux couleurs sont utilisées : bleue pour 1 option, rouge pour 2 options.

Parmi les modèles analytiques de fonctions donnés, sélectionnez uniquement les modèles quadratiques.

Option 1. y=ax+4, y=45-4x, y=x²+4x-5, y=x³+x²-1.

Option 2. y=8x-b, y=13+2x, y= -x²+4x, y=-x³+4x²-1.

Esquissez des fonctions quadratiques. Est-il possible de déterminer de manière unique la position d'une fonction quadratique sur le plan de coordonnées. Essayez de justifier votre réponse.

Résolvez des équations quadratiques.

Option 1. a) x² +11x-12=0

B) x² +11x =0

Option 2. a) x² -9x+20=0

B) x² -9 x =0

4. Sans résoudre l’équation, découvrez si elle a des racines.

Option 1. A) x² + x +12=0

Option 2. A) x² + x - 12=0

L'enseignant vérifie les réponses reçues des deux premiers binômes. Les réponses incorrectes reçues sont discutées avec toute la classe.

Étape 2. Créons un cluster. Quelles associations avez-vous lorsque vous considérez le trinôme quadratique ?

Création d'un cluster.

Réponses possibles :

le trinôme quadratique est utilisé pour considérer le carré. fonctions ;

vous pouvez trouver les zéros du carré. fonctions

À l’aide de la valeur discriminante, estimez le nombre de racines.

Décrire des processus réels, etc.

Explication du nouveau matériel.

Paragraphe 2. clause 3 pp. 19-22.

Les expressions sont considérées et la définition d'un trinôme quadratique et la racine d'un polynôme sont données (lors de la discussion des expressions discutées précédemment)

La définition de la racine d'un polynôme est formulée.

La définition d'un trinôme quadratique est formulée.

Des exemples de résolution d'un trinôme sont analysés :

Trouvez les racines d'un trinôme quadratique.

Isolons le binôme carré du trinôme carré.

3x²-36x+140=0.

Un schéma de la base approximative de l'action est établi.

Algorithme pour séparer un binôme d'un trinôme carré.

1. Déterminer la valeur numérique du coefficient carré dominant trinôme.

2. Effectuer identique et 2. Transformer l'expression,

transformations équivalentes à l'aide de formules

(mettre entre parenthèses le facteur commun ; le carré de la somme et de la différence.

convertir l'expression entre parenthèses

en le construisant jusqu'à la formule du carré de la somme

ou différence)

a²+2ab+b²= (a+c)² a²-2ab+b²= (a-c)²

Étape 3. Résoudre des tâches typiques du manuel (n° 60 a, c ; 61 a, 64 a, c) Elles sont réalisées au tableau et commentées.

Étape 4. Travail indépendant sur 2 options (n° 60a, b ; 65 a, b). Les élèves vérifient les exemples de solutions au tableau.

Devoir : P.3 (apprendre la théorie, n°56, 61g, 64g)

Réflexion. L'enseignant donne la tâche : évaluer vos progrès à chaque étape du cours à l'aide d'un dessin et le remettre au professeur. (la tâche est réalisée sur des feuilles séparées, un échantillon est fourni).

Échantillon:

En utilisant l'ordre des éléments de l'image, déterminez à quelle étape de la leçon votre ignorance a prévalu. Surlignez cette étape en rouge.