Interprétations économiques du vecteur Kuhn Tucker. Le concept de point de selle. Théorème de Kuhn-Tucker. Conditions plus faibles

Il existe tout un groupe de tâches (incluses dans les types de problèmes d'examen) associées au plan de coordonnées. Ce sont des tâches commençant par les plus élémentaires, qui sont résolues oralement (détermination de l'ordonnée ou de l'abscisse point donné, ou points d'une donnée symétrique et autres), se terminant par des tâches qui nécessitent des connaissances, une compréhension et de bonnes compétences de haute qualité (tâches liées à la pente d'une ligne).

Petit à petit, nous les considérerons tous. Dans cet article, nous commencerons par les bases. Ce tâches simples pour déterminer : l'abscisse et l'ordonnée d'un point, la longueur d'un segment, le milieu d'un segment, le sinus ou le cosinus de l'angle d'inclinaison d'une droite.La plupart des gens ne seront pas intéressés par ces tâches. Mais j'estime qu'il est nécessaire de les présenter.

Le fait est que tout le monde ne va pas à l’école. De nombreuses personnes passent l'examen d'État unifié 3 à 4 ans ou plus après l'obtention de leur diplôme, et se souviennent vaguement de l'abscisse et de l'ordonnée. Nous analyserons également d'autres tâches liées au plan de coordonnées, ne le manquez pas, abonnez-vous aux mises à jour du blog. Maintenant n un peu de théorie.

Construisons le point A sur le plan de coordonnées avec les coordonnées x=6, y=3.

On dit que l'abscisse du point A est égale à six, l'ordonnée du point A est égale à trois.

Pour faire simple, l’axe des bœufs est l’axe des abscisses, l’axe des y est l’axe des ordonnées.

C'est-à-dire que l'abscisse est un point sur l'axe des x dans lequel est projeté un point donné sur le plan de coordonnées ; L'ordonnée est le point sur l'axe y vers lequel le point spécifié est projeté.

Longueur d'un segment sur le plan de coordonnées

Formule pour déterminer la longueur d'un segment si les coordonnées de ses extrémités sont connues :

Comme vous pouvez le voir, la longueur du segment est la longueur de l'hypoténuse dans un triangle rectangle à pattes égales

X B - X A et U B - U A

* * *

Le milieu du segment. Ses coordonnées.

Formule pour trouver les coordonnées du milieu d'un segment :

Équation d'une droite passant par deux points donnés

La formule de l'équation d'une droite passant par deux points donnés a la forme :

où (x 1;y 1) et (x 2;y 2 ) coordonnées de points donnés.

En substituant les valeurs de coordonnées dans la formule, celle-ci se réduit à la forme :

y = kx + b, où k est la pente de la droite

Nous aurons besoin de ces informations pour résoudre un autre groupe de problèmes liés au plan de coordonnées. Il y aura un article à ce sujet, ne le manquez pas !

Que pouvez-vous ajouter d'autre ?

L'angle d'inclinaison d'une droite (ou d'un segment) est l'angle entre l'axe oX et cette droite, compris entre 0 et 180 degrés.

Considérons les tâches.

A partir du point (6;8), une perpendiculaire tombe sur l'axe des ordonnées. Trouvez l'ordonnée de la base de la perpendiculaire.

La base de la perpendiculaire abaissée sur l'axe des ordonnées aura les coordonnées (0;8). L'ordonnée est égale à huit.

Réponse : 8

Trouver la distance du point UN avec les coordonnées (6;8) en ordonnées.

La distance du point A à l'axe des ordonnées est égale à l'abscisse du point A.

Réponse : 6.

UN(6;8) par rapport à l'axe Bœuf.

Un point symétrique au point A par rapport à l'axe oX a les coordonnées (6;– 8).

L'ordonnée est égale à moins huit.

Réponse : – 8

Trouver l'ordonnée d'un point symétrique au point UN(6;8) par rapport à l’origine.

Un point symétrique au point A par rapport à l'origine a des coordonnées (– 6 ; – 8).

Son ordonnée est – 8.

Réponse : –8

Trouver l'abscisse du milieu du segment reliant les pointsÔ(0;0) et UN(6;8).

Afin de résoudre le problème, il est nécessaire de trouver les coordonnées du milieu du segment. Les coordonnées des extrémités de notre segment sont (0;0) et (6;8).

Nous calculons à l'aide de la formule :

Nous avons obtenu (3;4). L'abscisse est égale à trois.

Réponse : 3

*L'abscisse du milieu d'un segment peut être déterminée sans calcul à l'aide d'une formule en construisant ce segment sur un plan de coordonnées sur une feuille de papier dans un carré. Le milieu du segment sera facile à déterminer grâce aux cellules.

Trouver l'abscisse du milieu du segment reliant les points UN(6;8) et B(–2;2).

Afin de résoudre le problème, il est nécessaire de trouver les coordonnées du milieu du segment. Les coordonnées des extrémités de notre segment sont (–2;2) et (6;8).

Nous calculons à l'aide de la formule :

Nous avons obtenu (2;5). L'abscisse est égale à deux.

Réponse : 2

*L'abscisse du milieu d'un segment peut être déterminée sans calcul à l'aide d'une formule en construisant ce segment sur un plan de coordonnées sur une feuille de papier dans un carré.

Trouvez la longueur du segment reliant les points (0;0) et (6;8).

La longueur du segment aux coordonnées données de ses extrémités est calculée par la formule :

dans notre cas nous avons O(0;0) et A(6;8). Moyens,

*L'ordre des coordonnées n'a pas d'importance lors de la soustraction. Vous pouvez soustraire l'abscisse et l'ordonnée du point A de l'abscisse et de l'ordonnée du point O :

Réponse : 10

Trouver le cosinus de la pente du segment reliant les points Ô(0;0) et UN(6;8), avec axe x.

L'angle d'inclinaison d'un segment est l'angle entre ce segment et l'axe oX.

Du point A on abaisse une perpendiculaire à l'axe oX :

Autrement dit, l'angle d'inclinaison d'un segment est l'angleISCdans le triangle rectangle ABO.

Cosinus angle aigu dans un triangle rectangle est

rapport entre la jambe adjacente et l'hypoténuse

Il faut trouver l'hypoténuseOA.

D'après le théorème de Pythagore :Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des pattes.

Ainsi, le cosinus de l'angle de la pente est de 0,6

Réponse : 0,6

A partir du point (6;8) on dépose une perpendiculaire sur l'axe des abscisses. Trouver l'abscisse de la base de la perpendiculaire.

Une droite parallèle à l'axe des abscisses est tracée passant par le point (6;8). Trouver l'ordonnée de son point d'intersection avec l'axe OU.

Trouver la distance du point UN avec les coordonnées (6;8) à l'axe des abscisses.

Trouver la distance du point UN avec les coordonnées (6;8) à l'origine.

Il est possible de déterminer la longueur d'un segment de différentes manières. Pour savoir comment trouver la longueur d'un segment, il suffit d'avoir une règle ou de savoir formules spéciales pour le calcul.

Longueur d'un segment à l'aide d'une règle

Pour ce faire, nous appliquons une règle avec des divisions millimétriques au segment construit sur le plan, et le point de départ doit être aligné avec le zéro de l'échelle de la règle. Ensuite, vous devez marquer sur cette échelle l'emplacement du point final de ce segment. Le nombre de divisions entières résultant sera la longueur du segment, exprimée en cm et en mm.

Méthode des coordonnées planes

Si les coordonnées du segment (x1;y1) et (x2;y2) sont connues, alors sa longueur doit être calculée comme suit. Les coordonnées du premier point doivent être soustraites des coordonnées sur le plan du deuxième point. Le résultat devrait être deux nombres. Chacun de ces nombres doit être mis au carré, puis il faut trouver la somme de ces carrés. Du nombre obtenu, vous devez extraire racine carrée, qui sera la distance entre les points. Puisque ces points sont les extrémités du segment, alors valeur donnée et sera sa longueur.

Regardons un exemple de la façon de trouver la longueur d'un segment à l'aide de coordonnées. Il existe des coordonnées de deux points (-1;2) et (4;7). En trouvant la différence entre les coordonnées des points, on obtient valeurs suivantes: x = 5, y =5. Les nombres résultants seront les coordonnées du segment. Ensuite, nous mettons chaque nombre au carré et trouvons la somme des résultats, elle est égale à 50. Nous prenons la racine carrée de ce nombre. Le résultat est : 5 racines de 2. C’est la longueur du segment.

Méthode des coordonnées dans l'espace

Pour ce faire, vous devez réfléchir à la manière de trouver la longueur d’un vecteur. C'est ce qui sera un segment dans l'espace euclidien. On la trouve presque de la même manière que la longueur d'un segment sur un plan. Le vecteur est construit dans différents plans. Comment trouver la longueur d'un vecteur ?

1. Trouvez les coordonnées du vecteur ; pour ce faire, vous devez soustraire les coordonnées de son point de départ des coordonnées de son point final.
2. Après cela, vous devez mettre au carré chaque coordonnée vectorielle.
3. Ensuite, nous additionnons les carrés des coordonnées.
4. Pour trouver la longueur d’un vecteur, il faut prendre la racine carrée de la somme des carrés des coordonnées.

Regardons l'algorithme de calcul à l'aide d'un exemple. Il faut trouver les coordonnées du vecteur AB. Les points A et B ont les coordonnées suivantes : A (1;6;3) et B (3;-1;7). Le début du vecteur se situe au point A, la fin est située au point B. Ainsi, pour trouver ses coordonnées, il faut soustraire les coordonnées du point A des coordonnées du point B : (3 - 1 ; -1 - 6;7 - 3) = (2;- 7:4).

Maintenant, nous mettons chaque coordonnée au carré et les ajoutons : 4+49+16=69. Finalement, prend la racine carrée de numéro donné. C'est difficile à extraire, on écrit donc le résultat de cette façon : la longueur du vecteur est égale à la racine de 69.

S'il n'est pas important pour vous de calculer vous-même la longueur des segments et des vecteurs, mais que vous avez juste besoin du résultat, vous pouvez utiliser une calculatrice en ligne, par exemple celle-ci.

Maintenant, après avoir étudié ces méthodes et examiné les exemples présentés, vous pouvez facilement trouver la longueur d'un segment dans n'importe quel problème.

Par segment appelez une partie d'une ligne droite composée de tous les points de cette ligne situés entre ces deux points - ils sont appelés les extrémités du segment.

Regardons le premier exemple. Supposons qu'un certain segment soit défini par deux points dans le plan de coordonnées. DANS dans ce cas on peut trouver sa longueur en appliquant le théorème de Pythagore.

Ainsi, dans le système de coordonnées, nous dessinons un segment avec les coordonnées données de ses extrémités(x1 ; y1) Et (x2; y2) . Sur l'axe X Et Oui Tracez des perpendiculaires à partir des extrémités du segment. Marquons en rouge les segments qui sont des projections du segment d'origine sur l'axe des coordonnées. Après cela, nous transférons les segments de projection parallèlement aux extrémités des segments. On obtient un triangle (rectangulaire). L'hypoténuse de ce triangle sera le segment AB lui-même, et ses jambes sont les projections transférées.

Calculons la longueur de ces projections. Donc sur l'axe Oui la longueur de projection est y2-y1 , et sur l'axe X la longueur de projection est x2-x1 . Appliquons le théorème de Pythagore : |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . Dans ce cas |AB| est la longueur du segment.

Si vous utilisez ce diagramme pour calculer la longueur d’un segment, vous n’avez même pas besoin de construire un segment. Calculons maintenant la longueur du segment avec les coordonnées (1;3) Et (2;5) . En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient : |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . Cela signifie que la longueur de notre segment est égale à 5:1/2 .

Considérons la prochaine façon trouver la longueur d'un segment. Pour ce faire, nous devons connaître les coordonnées de deux points dans un système. Considérons cette possibilité, en utilisant un système de coordonnées cartésiennes bidimensionnelles.

Ainsi, dans un système de coordonnées bidimensionnel, les coordonnées des points extrêmes du segment sont données. Si nous traçons des lignes droites passant par ces points, elles doivent être perpendiculaires à l'axe des coordonnées, nous obtenons alors un triangle rectangle. Le segment d'origine sera l'hypoténuse du triangle résultant. Les jambes d'un triangle forment des segments, leur longueur est égale à la projection de l'hypoténuse sur les axes de coordonnées. Sur la base du théorème de Pythagore, nous concluons : pour trouver la longueur d'un segment donné, il faut trouver les longueurs des projections sur deux axes de coordonnées.

Trouvons les longueurs de projection (X et Y) le segment d'origine sur les axes de coordonnées. Nous les calculons en trouvant la différence entre les coordonnées des points le long d'un axe distinct : X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .

Calculer la longueur du segment UN , pour cela on trouve la racine carrée :

A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Si notre segment est situé entre des points dont les coordonnées 2;4 Et 4;1 , alors sa longueur est égale à √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .

Si vous touchez une feuille de cahier avec un crayon bien taillé, il restera une trace qui donne une idée du point. (Fig. 3).

Marquons deux points A et B sur une feuille de papier. Ces points peuvent être reliés par différentes lignes (Fig. 4). Comment relier les points A et B avec la ligne la plus courte ? Cela peut être fait à l'aide d'une règle (Fig. 5). La ligne résultante s'appelle segment.

Point et ligne - exemples formes géométriques.

Les points A et B sont appelés extrémités du segment.

Il existe un seul segment dont les extrémités sont les points A et B. Par conséquent, un segment est désigné en écrivant les points qui sont ses extrémités. Par exemple, le segment de la figure 5 est désigné de deux manières : AB ou BA. Lire : « segment AB » ou « segment BA ».

La figure 6 montre trois segments. La longueur du segment AB est de 1 cm. Il rentre exactement trois fois dans le segment MN, et exactement 4 fois dans le segment EF. Disons que longueur des segments MN est égal à 3 cm et la longueur du segment EF est de 4 cm.

Il est également d'usage de dire : « le segment MN est égal à 3 cm », « le segment EF est égal à 4 cm ». Ils écrivent : MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Nous avons mesuré les longueurs des segments MN et EF segment unique, dont la longueur est de 1 cm. Pour mesurer des segments, vous pouvez en choisir d'autres. unités de longueur, par exemple : 1 mm, 1 dm, 1 km. Sur la figure 7, la longueur du segment est de 17 mm. Elle est mesurée par un seul segment dont la longueur est de 1 mm, à l'aide d'une règle graduée. De plus, à l'aide d'une règle, vous pouvez construire (dessiner) un segment d'une longueur donnée (voir Fig. 7).

Du tout, mesurer un segment signifie compter combien de segments unitaires y tiennent.

La longueur d'un segment a la propriété suivante.

Si vous marquez le point C sur le segment AB, alors la longueur du segment AB est égale à la somme des longueurs des segments AC et CB(Fig. 8).

Écrivez : AB = AC + CB.

La figure 9 montre deux segments AB et CD. Ces segments coïncideront lorsqu'ils seront superposés.

Deux segments sont dits égaux s'ils coïncident lorsqu'ils sont superposés.

Les segments AB et CD sont donc égaux. Ils écrivent : AB = CD.

Les segments égaux ont des longueurs égales.

De deux segments inégaux, nous considérerons celui qui a la plus grande longueur comme étant le plus grand. Par exemple, sur la figure 6, le segment EF est plus grand que le segment MN.

La longueur du segment AB est appelée distance entre les points A et B.

Si plusieurs segments sont disposés comme le montre la figure 10, vous obtiendrez figure géométrique qui s'appelle ligne brisée. Notez que tous les segments de la figure 11 ne forment pas une ligne brisée. Les segments sont considérés comme formant une ligne brisée si la fin du premier segment coïncide avec la fin du deuxième, et l'autre extrémité du deuxième segment avec la fin du troisième, etc.

Points A, B, C, D, E - sommets d'une ligne brisée ABCDE, points A et E − extrémités de la polyligne, et les segments AB, BC, CD, DE sont ses links(voir fig. 10).

Longueur de ligne appeler la somme des longueurs de tous ses liens.

La figure 12 montre deux lignes brisées dont les extrémités coïncident. De telles lignes brisées sont appelées fermé.

Exemple 1 . Le segment BC est 3 cm plus petit que le segment AB dont la longueur est de 8 cm (Fig. 13). Trouvez la longueur du segment AC.

Solution. On a : BC = 8 − 3 = 5 (cm).

En utilisant la propriété de la longueur d’un segment, on peut écrire AC = AB + BC. D'où AC = 8 + 5 = 13 (cm).

Réponse : 13 cm.

Exemple 2 . On sait que MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (Fig. 14). Trouvez la longueur du segment NK.

Solution. On a : MN = MP − NP.

Donc MN = 50 − 32 = 18 (cm).

On a : NK = MK − MN.

Donc NK = 24 − 18 = 6 (cm).

Réponse : 6 cm.