|
Le système numérique le plus court est binaire. Elle est entièrement basée sur le formulaire de position numéros d'enregistrement. La principale caractéristique est le principe chiffres à deux chiffres lors de l'exécution d'une transition d'une certaine position à la suivante. Vous pouvez passer d'un système numérique à un autre à l'aide d'un programme spécial ou manuellement.
Reconnaissance historique
L'apparition du SS binaire dans l'histoire est associée au scientifique le mathématicien V.G. Leibniz. C'est lui qui a parlé pour la première fois des règles permettant d'effectuer des opérations avec des valeurs numériques de ce type. Mais au départ ce principe restait non réclamé. L’algorithme a reçu une reconnaissance et une application mondiales à l’aube de l’informatique.
Commodité et simplicité l'exécution d'opérations a conduit à la nécessité d'une étude plus détaillée de cette sous-section de l'arithmétique, devenue indispensable dans le développement de la technologie informatique avec logiciels. Pour la première fois, de tels mécanismes sont apparus sur les marchés allemand et français.
Attention! Un point précis sur la supériorité du système binaire par rapport au système décimal, précisément dans cette industrie, a été posé en 1946 et étayé dans un article de A. Bex, H. Goldstein et J. Von Neumann.
Conversion d'un nombre du système de nombres décimaux en binaire.
Caractéristiques de l'arithmétique binaire
Tous les CC binaires sont basés sur l'application de seulement deux personnages, qui correspondent très étroitement aux caractéristiques du circuit numérique. Chacun des symboles est responsable d'une action spécifique, qui implique souvent deux états :
- la présence ou l'absence d'un trou, par exemple une carte perforée ou un ruban de papier ;
- sur support magnétique est responsable de l'état d'aimantation ou de démagnétisation ;
- par niveau de signal, haut ou bas.
Dans la science dans laquelle SS est utilisé, une certaine terminologie a été introduite, son essence est la suivante :
- Peu - chiffre binaire, qui se compose de deux éléments qui ont une certaine signification. Placé à gauche est défini comme le senior et est prioritaire, et à droite se trouve le junior, qui est moins important.
- Un octet est une unité composée de huit bits.
De nombreux modules perçoivent et traitent les informations en portions ou en mots. Chaque mot a un poids différent et peut consister en 8, 16 ou 32 bits.
Règles de transfert d'un système à un autre
L’un des facteurs les plus importants en arithmétique automatique est transfert d'un SS à un autre. Par conséquent, prêtons attention aux algorithmes de base pour effectuer un processus qui montrera comment convertir un nombre en système binaire.
Conversion du système décimal en binaire
Tout d'abord, passons à la question de savoir comment convertir le système de nombres décimaux en systèmes de nombres binaires. Pour cela il y a règle de traduction des nombres décimaux au code binaire, ce qui implique opérations mathématiques.
Nécessite un nombre écrit sous forme décimale diviser par 2. Continuez à diviser jusqu'à ce qu'il ne reste plus de quotients. unité. Si un système de nombres binaires est requis, la traduction s'effectue comme suit :
186:2=93 (0 restant)
93:2=46 (reste 1)
46:2=23 (0 restant)
23:2=11 (reste 1)
11:2=5 (1 restant)
5:2=2 (reste 1)
Une fois le processus de division terminé, nous écrivons un dans le quotient et tous les restes séquentiellement dans l'ordre inverse de la division. Autrement dit, 18610=1111010. La règle de conversion des nombres décimaux en SS doit toujours être respectée.
Conversion d'un nombre du système décimal au système binaire.
Conversion de SS décimal en octal
Un processus similaire est suivi lors de la conversion du SS décimal en octal. On l'appelle aussi " règle de substitution" Si dans l'exemple précédent les données ont été divisées par 2, alors ici il faut diviser par 8. L'algorithme de conversion du nombre X10 en octal comprend les étapes suivantes :
- Le nombre X10 commence à être divisé par 8. On prend le quotient résultant pour la division suivante, et le reste s'écrit bit le moins significatif.
- Nous continuons à diviser jusqu'à obtenir le résultat du quotient égal zéro ou reste, qui dans sa valeur moins de huit. Dans ce cas, on écrit tous les restes sous la forme bits de poids faible.
Par exemple, vous devez convertir le nombre 160110 en octal.
1601:8=200 (1 restant)
200:8=25 (0 restant)
25:8=3 (reste 1)
On obtient donc : 161010=31018.
Convertir du décimal en octal.
Écrire un nombre décimal en hexadécimal
La conversion du SS décimal en hexadécimal s'effectue de la même manière en utilisant le système de substitution. Mais en plus des chiffres, ils utilisent aussi lettres de l'alphabet latin A, B, C, D, E, F. Où A désigne le reste 10 et F le reste 15. Le nombre décimal est divisé par 16. Par exemple, convertissez 10710 en hexadécimal :
107:16=6 (11 restants – remplacer B)
6 est inférieur à seize. On arrête de diviser et on écrit 10710 = 6B16.
Passer d'un autre système au binaire
La question suivante est de savoir comment convertir un nombre octal en binaire. La conversion de nombres de n’importe quel système en binaire est assez simple. Un assistant dans cette affaire est table pour les systèmes numériques.
Examinons l'un des sujets les plus importants de l'informatique : Dans les programmes scolaires, elle apparaît plutôt « modestement », probablement en raison du manque d’heures qui lui sont allouées. Connaissances sur ce sujet, notamment sur traduction de systèmes numériques, sont une condition préalable à la réussite de l'examen d'État unifié et à l'admission dans les universités des facultés concernées. Ci-dessous, nous discutons en détail de concepts tels que systèmes de numérotation positionnels et non positionnels, des exemples de ces systèmes numériques sont donnés, des règles sont présentées pour convertir des nombres décimaux entiers, des fractions décimales appropriées et des nombres décimaux mixtes vers tout autre système numérique, pour convertir des nombres de n'importe quel système numérique en décimal, pour convertir des systèmes numériques octaux et hexadécimaux en binaire. système de numérotation. Il y a beaucoup de problèmes sur ce sujet lors des examens. La capacité de les résoudre est l'une des exigences des candidats. Prochainement : Pour chaque sujet de la section, en plus du matériel théorique détaillé, presque toutes les options possibles seront présentées tâches pour l'auto-apprentissage. De plus, vous aurez la possibilité de télécharger gratuitement à partir d'un service d'hébergement de fichiers des solutions détaillées toutes faites à ces problèmes, illustrant différentes manières d'obtenir la bonne réponse.
systèmes de numérotation positionnelle.
Systèmes de numérotation non positionnels- les systèmes numériques dans lesquels la valeur quantitative d'un chiffre ne dépend pas de sa localisation dans le nombre.
Les systèmes numériques non positionnels incluent, par exemple, le romain, où au lieu de chiffres, il y a des lettres latines.
| je |
1 (un) |
| V |
5 (cinq) |
| X |
10 (dix) |
| L |
50 (cinquante) |
| C |
100 (cent) |
| D |
500 (cinq cents) |
| M |
1000 (mille) |
Ici, la lettre V représente 5 quel que soit son emplacement. Cependant, il convient de mentionner que bien que le système de numération romain soit un exemple classique de système de numération non positionnel, il n'est pas complètement non positionnel, car Le plus petit nombre devant le plus grand y est soustrait :
| IL |
49 (50-1=49)
|
| VI |
6 (5+1=6)
|
| XXI |
21 (10+10+1=21)
|
| MI |
1001 (1000+1=1001)
|
systèmes de numérotation positionnelle.
Systèmes de numérotation positionnelle- les systèmes numériques dans lesquels la valeur quantitative d'un chiffre dépend de sa localisation dans le nombre.
Par exemple, si nous parlons du système de nombres décimaux, alors dans le nombre 700, le nombre 7 signifie « sept cents », mais le même nombre dans le nombre 71 signifie « sept dizaines », et dans le nombre 7020 - « sept mille ». .
Chaque système de numérotation positionnelle a le sien base. Un nombre naturel supérieur ou égal à deux est choisi comme base. Il est égal au nombre de chiffres utilisés dans un système numérique donné.
Par exemple: - Binaire- système de numérotation positionnelle en base 2.
- Quaternaire- système de numérotation positionnelle en base 4.
- Quintuple- système de numérotation positionnelle en base 5.
- Octal- système de numérotation positionnelle en base 8.
- Hexadécimal- système de numérotation positionnelle en base 16.
Pour réussir à résoudre des problèmes sur le thème « Systèmes de nombres », l'étudiant doit connaître par cœur la correspondance des nombres binaires, décimaux, octaux et hexadécimaux jusqu'à 16 10 :
| 10 s/s
|
2 s/s
|
8 s/s
|
16 secondes
|
| 0
|
0
|
0
|
0
|
| 1
|
1
|
1
|
1
|
| 2
|
10
|
2
|
2
|
| 3
|
11
|
3
|
3
|
| 4
|
100
|
4
|
4
|
| 5
|
101
|
5
|
5
|
| 6
|
110
|
6
|
6
|
| 7
|
111
|
7
|
7
|
| 8
|
1000
|
10
|
8
|
| 9
|
1001
|
11
|
9
|
| 10
|
1010
|
12
|
UN |
| 11
|
1011
|
13
|
B |
| 12
|
1100
|
14
|
C |
| 13
|
1101
|
15
|
D |
| 14
|
1110
|
16
|
E |
| 15
|
1111
|
17
|
F |
| 16
|
10000
|
20
|
10
|
Il est utile de savoir comment les nombres sont obtenus dans ces systèmes numériques. Vous pouvez deviner qu'en octal, hexadécimal, ternaire et autres systèmes de numérotation positionnelle tout se passe de la même manière que le système décimal auquel nous sommes habitués :
Un est ajouté au numéro et un nouveau numéro est obtenu. Si la place des unités devient égale à la base du système numérique, on augmente le nombre de dizaines de 1, etc.
Cette « transition de soi » est ce qui effraie la plupart des étudiants. En fait, tout est assez simple. La transition se produit si le chiffre des unités devient égal à base numérique, nous augmentons le nombre de dizaines de 1. Beaucoup, se souvenant du bon vieux système décimal, sont instantanément confus au sujet des chiffres de cette transition, car les dizaines décimales et, par exemple, binaires sont des choses différentes.
À partir de là, les étudiants débrouillards développent « leurs propres méthodes » (étonnamment... fonctionnelles) en remplissant, par exemple, des tables de vérité dont les premières colonnes (valeurs variables) sont en fait remplies de nombres binaires par ordre croissant.
Par exemple, regardons comment obtenir des nombres système octal: On ajoute 1 au premier nombre (0), on obtient 1. Puis on ajoute 1 à 1, on obtient 2, etc. à 7. Si on ajoute un à 7, on obtient un nombre égal à la base du système numérique, c'est-à-dire 8. Ensuite, vous devez augmenter la position des dizaines d'une unité (nous obtenons la dizaine octale - 10). Viennent ensuite évidemment les nombres 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...
Règles de conversion d'un système numérique à un autre.
1 Conversion de nombres décimaux entiers vers tout autre système numérique.
Le nombre doit être divisé par nouvelle base du système de numérotation. Le premier reste de la division est le premier chiffre mineur du nouveau numéro. Si le quotient de la division est inférieur ou égal à la nouvelle base, alors il (le quotient) doit être à nouveau divisé par la nouvelle base. La division doit être poursuivie jusqu'à obtenir un quotient inférieur à la nouvelle base. Il s'agit du chiffre le plus élevé du nouveau nombre (vous devez vous rappeler que, par exemple, dans le système hexadécimal, après 9 il y a des lettres, c'est-à-dire que si le reste est 11, vous devez l'écrire sous la forme B).
Exemple ("division par coin") : Convertissons le nombre 173 10 au système numérique octal.
Ainsi, 173 10 =255 8
2 Conversion de fractions décimales régulières vers tout autre système numérique.
Le nombre doit être multiplié par la nouvelle base du système de numérotation. Le chiffre devenu partie entière est le chiffre le plus élevé de la partie fractionnaire du nouveau nombre. pour obtenir le chiffre suivant, la partie fractionnaire du produit résultant doit à nouveau être multipliée par une nouvelle base du système numérique jusqu'à ce que la transition vers la partie entière se produise. Nous continuons la multiplication jusqu'à ce que la partie fractionnaire devienne nulle, ou jusqu'à ce que nous atteignions la précision spécifiée dans le problème (« ... calculer avec une précision de, par exemple, deux décimales »).
Exemple : Convertissons le nombre 0,65625 10 en système numérique octal.
|
2.3. Conversion de nombres d'un système numérique à un autre
2.3.1. Conversion d'entiers d'un système numérique à un autre
Il est possible de formuler un algorithme de conversion d'entiers à partir d'un système de base p
dans un système avec une base q
:
1. Exprimez la base du nouveau système de numérotation avec les numéros du système de numérotation d'origine et effectuez toutes les actions ultérieures dans le système de numérotation d'origine.
2. Divisez systématiquement le nombre donné et les quotients entiers résultants par la base du nouveau système numérique jusqu'à ce que nous obtenions un quotient plus petit que le diviseur.
3. Les restes résultants, qui sont des chiffres du nombre dans le nouveau système numérique, sont mis en conformité avec l'alphabet du nouveau système numérique.
4. Composez un nombre dans le nouveau système numérique, en l'écrivant en commençant par le dernier reste.
Exemple 2.12. Convertissez le nombre décimal 173 10 en système de nombres octaux :
On obtient : 173 10 =255 8
Exemple 2.13. Convertissez le nombre décimal 173 10 en système numérique hexadécimal :
On obtient : 173 10 =AD 16.
Exemple 2.14. Convertissez le nombre décimal 11 10 en système de nombres binaires. Il est plus pratique de décrire la séquence d'actions discutée ci-dessus (algorithme de traduction) comme suit :
On obtient : 11 10 =1011 2.
Exemple 2.15. Parfois, il est plus pratique d’écrire l’algorithme de traduction sous forme de tableau. Convertissons le nombre décimal 363 10 en nombre binaire.
On obtient : 363 10 =101101011 2
2.3.2. Conversion de nombres fractionnaires d'un système numérique à un autre
Il est possible de formuler un algorithme pour convertir une fraction propre avec une base p
en une fraction avec une base q :
1. Exprimez la base du nouveau système de numérotation avec les numéros du système de numérotation d'origine et effectuez toutes les actions ultérieures dans le système de numérotation d'origine.
2. Multipliez systématiquement les nombres donnés et les parties fractionnaires des produits résultantes par la base du nouveau système jusqu'à ce que la partie fractionnaire du produit devienne égale à zéro ou que la précision requise de la représentation des nombres soit atteinte.
3. Les parties entières résultantes des produits, qui sont les chiffres du numéro dans le nouveau système de numérotation, doivent être mises en conformité avec l'alphabet du nouveau système de numérotation.
4. Composez la partie fractionnaire d'un nombre dans le nouveau système numérique, en commençant par la partie entière du premier produit.
Exemple 2.17. Convertissez le nombre 0,65625 10 en système numérique octal.
On obtient : 0,65625 10 =0,52 8
Exemple 2.17. Convertissez le nombre 0,65625 10 en système numérique hexadécimal.
On obtient : 0,65625 10 =0,A8 1
Exemple 2.18. Convertissez la fraction décimale 0,5625 10 en système de nombres binaires.
On obtient : 0,5625 10 =0,1001 2
Exemple 2.19. Convertissez la fraction décimale 0,7 10 en système de nombres binaires.
Évidemment, ce processus peut se poursuivre indéfiniment, donnant de plus en plus de nouveaux signes à l'image de l'équivalent binaire du nombre 0,7 10. Ainsi, en quatre étapes, nous obtenons le nombre 0,1011 2, et en sept étapes le nombre 0,1011001 2, qui est une représentation plus précise du nombre 0,7 10 dans le système de nombres binaires, etc. Un tel processus sans fin se termine à une étape donnée, lorsqu'on estime que l'exactitude requise de la représentation des nombres a été obtenue.
2.3.3. Traduction de nombres arbitraires
Traduction de nombres arbitraires, c'est-à-dire les nombres contenant un entier et une partie fractionnaire s'effectuent en deux étapes. La partie entière est traduite séparément et la partie fractionnaire séparément. Dans l'enregistrement final du nombre obtenu, la partie entière est séparée de la partie fractionnaire par une virgule (point).
Exemple 2.20. Convertissez le nombre 17,25 10 au système de nombres binaires.
On obtient : 17,25 10 =1001,01 2
Exemple 2.21. Convertissez le nombre 124,25 10 en système octal.
On obtient : 124,25 10 =174,2 8
2.3.4. Conversion de nombres de base 2 en base 2 n et vice versa
Traduction d'entiers. Si la base du système numérique q-aire est une puissance de 2, alors la conversion des nombres du système numérique q-aire vers le système numérique 2-aire et inversement peut être effectuée selon des règles plus simples. Pour écrire un nombre entier binaire dans le système numérique de base q=2 n, vous avez besoin de :
1. Divisez le nombre binaire de droite à gauche en groupes de n chiffres chacun.
2. Si le dernier groupe de gauche comporte moins de n chiffres, il doit alors être complété à gauche par des zéros jusqu'au nombre de chiffres requis.
Exemple 2.22. Le nombre 101100001000110010 2 sera converti au système numérique octal.
On divise le nombre de droite à gauche en triades et sous chacune d'elles on écrit le chiffre octal correspondant :
On obtient la représentation octale du nombre original : 541062 8.
Exemple 2.23. Le nombre 1000000000111110000111 2 sera converti au système numérique hexadécimal.
On divise le nombre de droite à gauche en tétrades et sous chacune d'elles on écrit le chiffre hexadécimal correspondant :
On obtient la représentation hexadécimale du nombre d'origine : 200F87 16.
Conversion de nombres fractionnaires. Pour écrire un nombre binaire fractionnaire dans un système numérique de base q=2 n, vous avez besoin de :
1. Divisez le nombre binaire de gauche à droite en groupes de n chiffres chacun.
2. Si le dernier groupe de droite comporte moins de n chiffres, il doit alors être complété à droite par des zéros jusqu'au nombre de chiffres requis.
3. Considérez chaque groupe comme un nombre binaire de n bits et écrivez-le avec le chiffre correspondant dans le système numérique avec la base q=2 n.
Exemple 2.24. Le nombre 0,10110001 2 sera converti en système numérique octal.
On divise le nombre de gauche à droite en triades et sous chacune d'elles on écrit le chiffre octal correspondant :
On obtient la représentation octale du nombre original : 0,542 8 .
Exemple 2.25. Le nombre 0,100000000011 2 sera converti au système numérique hexadécimal. Nous divisons le nombre de gauche à droite en tétrades et sous chacune d'elles écrivons le chiffre hexadécimal correspondant :
On obtient la représentation hexadécimale du nombre original : 0,803 16
Traduction de nombres arbitraires. Afin d'écrire un nombre binaire arbitraire dans le système numérique avec la base q=2 n, vous avez besoin de :
1. Divisez la partie entière d'un nombre binaire donné de droite à gauche et la partie fractionnaire de gauche à droite en groupes de n chiffres chacun.
2. Si les derniers groupes de gauche et/ou de droite comportent moins de n chiffres, alors ils doivent être complétés à gauche et/ou à droite par des zéros jusqu'au nombre de chiffres requis ;
3. Considérez chaque groupe comme un nombre binaire à n bits et écrivez-le avec le chiffre correspondant dans le système numérique avec la base q = 2 n
Exemple 2.26. Convertissons le nombre 111100101.0111 2 au système numérique octal.
Nous divisons les parties entières et fractionnaires du nombre en triades et sous chacune d'elles écrivons le chiffre octal correspondant :
On obtient la représentation octale du nombre original : 745.34 8 .
Exemple 2.27. Le nombre 11101001000,11010010 2 sera converti au système numérique hexadécimal.
Nous divisons les parties entières et fractionnaires du nombre en cahiers et sous chacun d'eux écrivons le chiffre hexadécimal correspondant :
On obtient la représentation hexadécimale du nombre original : 748,D2 16.
Conversion de nombres à partir de systèmes numériques avec base q=2n en binaire. Afin de convertir un nombre arbitraire écrit dans le système numérique avec la base q=2 n dans le système numérique binaire, vous devez remplacer chaque chiffre de ce nombre par son équivalent à n chiffres dans le système numérique binaire.
Exemple 2.28.Convertissons le nombre hexadécimal 4AC35 16 en système de nombres binaires.
Selon l'algorithme :
On obtient : 1001010110000110101 2 .
Tâches pour un achèvement indépendant (Réponses)
2.38. Remplissez le tableau dans chaque ligne duquel le même entier doit être écrit dans des systèmes numériques différents.
|
Binaire
|
Octal
|
Décimal
|
Hexadécimal
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.39. Remplissez le tableau dans chaque ligne duquel le même nombre fractionnaire doit être écrit dans différents systèmes numériques.
|
Binaire
|
Octal
|
Décimal
|
Hexadécimal
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2h40. Remplissez le tableau, dans chaque ligne duquel le même nombre arbitraire (le nombre peut contenir à la fois un nombre entier et une partie fractionnaire) doit être écrit dans différents systèmes numériques.
|
Binaire
|
Octal
|
Décimal
|
Hexadécimal
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59.B
|
|
Le résultat a déjà été reçu !
Systèmes numériques
Il existe des systèmes de numérotation positionnels et non positionnels. Le système numérique arabe, que nous utilisons dans la vie quotidienne, est positionnel, mais pas le système numérique romain. Dans les systèmes de numérotation positionnelle, la position d'un nombre détermine de manière unique sa grandeur. Considérons cela en utilisant l'exemple du nombre 6372 dans le système numérique décimal. Numérotons ce nombre de droite à gauche en partant de zéro :
Alors le nombre 6372 peut être représenté comme suit :
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Le nombre 10 détermine le système numérique (dans ce cas, c'est 10). Les valeurs de la position d'un nombre donné sont prises comme puissances.
Considérons le nombre décimal réel 1287,923. Numérotons-le à partir de zéro, en positionnant le nombre à partir de la virgule décimale vers la gauche et la droite :
Alors le nombre 1287.923 peut être représenté comme :
1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10-3.
En général, la formule peut être représentée comme suit :
C n s n + C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
où C n est un entier en position n, D -k - nombre fractionnaire en position (-k), s- système de numérotation.
Quelques mots sur les systèmes numériques. Un nombre dans le système numérique décimal se compose de plusieurs chiffres (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), dans le système numérique octal, il se compose de plusieurs chiffres. (0,1, 2,3,4,5,6,7), dans le système de numérotation binaire - à partir d'un ensemble de chiffres (0,1), dans le système de numérotation hexadécimal - à partir d'un ensemble de chiffres (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), où A,B,C,D,E,F correspondent aux nombres 10,11, 12,13,14,15. Dans le tableau Tab.1, les nombres sont présentés dans différents systèmes numériques.
| Tableau 1 |
|---|
| Notation |
| 10
|
2
|
8
|
16
|
| 0
|
0
|
0
|
0
|
| 1
|
1
|
1
|
1
|
| 2
|
10
|
2
|
2
|
| 3
|
11
|
3
|
3
|
| 4
|
100
|
4
|
4
|
| 5
|
101
|
5
|
5
|
| 6
|
110
|
6
|
6
|
| 7
|
111
|
7
|
7
|
| 8
|
1000
|
10
|
8
|
| 9
|
1001
|
11
|
9
|
| 10
|
1010
|
12
|
UN |
| 11
|
1011
|
13
|
B |
| 12
|
1100
|
14
|
C |
| 13
|
1101
|
15
|
D |
| 14
|
1110
|
16
|
E |
15
|
1111
|
17
|
F |
Conversion de nombres d'un système numérique à un autre
Pour convertir des nombres d'un système numérique à un autre, le moyen le plus simple consiste d'abord à convertir le nombre au système numérique décimal, puis à convertir le système numérique décimal au système numérique requis.
Conversion de nombres de n'importe quel système numérique vers le système numérique décimal
À l'aide de la formule (1), vous pouvez convertir des nombres de n'importe quel système numérique en système numérique décimal.
Exemple 1.
Convertissez le nombre 1011101.001 du système de nombres binaires (SS) en SS décimal. Solution:
1
·2 6 +0 ·2 5 + 1
·2 4 + 1
·2 3 + 1
·2 2 + 0
·2 1 + 1
·2 0 + 0
·2 -1 + 0
·2 -2 + 1
·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Exemple2.
Convertissez le nombre 1011101.001 du système de nombres octal (SS) en SS décimal. Solution:
Exemple 3
. Convertissez le nombre AB572.CDF du système numérique hexadécimal en SS décimal. Solution:
Ici UN-remplacé par 10, B- à 11 heures, C- à 12 heures, F- à 15 heures.
Conversion de nombres du système numérique décimal vers un autre système numérique
Pour convertir des nombres du système numérique décimal vers un autre système numérique, vous devez convertir séparément la partie entière du nombre et la partie fractionnaire du nombre.
La partie entière d'un nombre est convertie du SS décimal en un autre système numérique en divisant séquentiellement la partie entière du nombre par la base du système numérique (pour le SS binaire - par 2, pour le SS 8-aire - par 8, pour 16 -ary SS - par 16, etc. ) jusqu'à l'obtention d'un résidu entier, inférieur à la base CC.
Exemple 4
. Convertissons le nombre 159 de SS décimal en SS binaire :
| 159
|
2
|
|
|
|
|
|
|
| 158
|
79
|
2
|
|
|
|
|
|
| 1
|
78
|
39
|
2
|
|
|
|
|
|
|
1
|
38
|
19
|
2
|
|
|
|
|
|
|
1
|
18
|
9
|
2
|
|
|
|
|
|
|
1
|
8
|
4
|
2
|
|
|
|
|
|
|
1
|
4
|
2
|
2
|
|
|
|
|
|
|
0
|
2
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
|
Comme on peut le voir sur la Fig. 1, le nombre 159 divisé par 2 donne le quotient 79 et le reste 1. De plus, le nombre 79 divisé par 2 donne le quotient 39 et le reste 1, etc. De ce fait, en construisant un nombre à partir des restes de division (de droite à gauche), on obtient un nombre en SS binaire : 10011111
. On peut donc écrire :
159 10 =10011111 2 .
Exemple 5
. Convertissons le nombre 615 de SS décimal en SS octal.
| 615
|
8
|
|
|
| 608
|
76
|
8
|
|
| 7
|
72
|
9
|
8
|
|
|
4
|
8
|
1
|
|
|
|
1
|
|
Lors de la conversion d'un nombre décimal SS en octal SS, vous devez diviser séquentiellement le nombre par 8 jusqu'à ce que vous obteniez un reste entier inférieur à 8. En conséquence, en construisant un nombre à partir des restes de division (de droite à gauche), nous obtenons un nombre en SS octal : 1147
(Voir Fig. 2). On peut donc écrire :
615 10 =1147 8 .
Exemple 6
. Convertissons le nombre 19673 du système numérique décimal en SS hexadécimal.
| 19673
|
16
|
|
|
| 19664
|
1229
|
16
|
|
| 9
|
1216
|
76
|
16
|
|
|
13
|
64
|
4
|
|
|
|
12
|
|
Comme le montre la figure 3, en divisant successivement le nombre 19673 par 16, les restes sont 4, 12, 13, 9. Dans le système numérique hexadécimal, le nombre 12 correspond à C, le nombre 13 à D. Par conséquent, notre Le nombre hexadécimal est 4CD9.
Pour convertir des fractions décimales régulières (un nombre réel avec une partie entière nulle) en un système numérique de base s, il est nécessaire de multiplier séquentiellement ce nombre par s jusqu'à ce que la partie fractionnaire soit un zéro pur, ou que nous obtenions le nombre de chiffres requis. Si la multiplication donne un nombre avec une partie entière différente de zéro, alors cette partie entière n'est pas prise en compte (elles sont incluses séquentiellement dans le résultat).
Regardons ce qui précède avec des exemples.
Exemple 7
. Convertissons le nombre 0,214 du système numérique décimal en SS binaire.
|
|
|
0.214
|
|
|
x |
2
|
| 0
|
|
0.428
|
|
|
x |
2
|
| 0
|
|
0.856
|
|
|
x |
2
|
| 1
|
|
0.712
|
|
|
x |
2
|
| 1
|
|
0.424
|
|
|
x |
2
|
| 0
|
|
0.848
|
|
|
x |
2
|
| 1
|
|
0.696
|
|
|
x |
2
|
| 1
|
|
0.392
|
Comme le montre la figure 4, le nombre 0,214 est multiplié séquentiellement par 2. Si le résultat de la multiplication est un nombre avec une partie entière autre que zéro, alors la partie entière est écrite séparément (à gauche du nombre), et le nombre est écrit avec une partie entière nulle. Si la multiplication donne un nombre avec une partie entière nulle, alors un zéro est écrit à sa gauche. Le processus de multiplication se poursuit jusqu'à ce que la partie fractionnaire atteigne un zéro pur ou que nous obtenions le nombre de chiffres requis. En écrivant les nombres en gras (Fig. 4) de haut en bas, nous obtenons le nombre requis dans le système de nombres binaires : 0. 0011011
.
On peut donc écrire :
0.214 10 =0.0011011 2 .
Exemple 8
. Convertissons le nombre 0,125 du système numérique décimal en SS binaire.
|
|
|
0.125
|
|
|
x |
2
|
| 0
|
|
0.25
|
|
|
x |
2
|
| 0
|
|
0.5
|
|
|
x |
2
|
| 1
|
|
0.0
|
Pour convertir le nombre 0,125 de SS décimal en binaire, ce nombre est multiplié séquentiellement par 2. Dans la troisième étape, le résultat est 0. Par conséquent, le résultat suivant est obtenu :
0.125 10 =0.001 2 .
Exemple 9
. Convertissons le nombre 0,214 du système numérique décimal en SS hexadécimal.
|
|
|
0.214
|
|
|
x |
16
|
| 3
|
|
0.424
|
|
|
x |
16
|
| 6
|
|
0.784
|
|
|
x |
16
|
| 12
|
|
0.544
|
|
|
x |
16
|
| 8
|
|
0.704
|
|
|
x |
16
|
| 11
|
|
0.264
|
|
|
x |
16
|
| 4
|
|
0.224
|
En suivant les exemples 4 et 5, on obtient les nombres 3, 6, 12, 8, 11, 4. Mais en hexadécimal SS, les nombres 12 et 11 correspondent aux nombres C et B. On a donc :
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Exemple 10
. Convertissons le nombre 0,512 du système numérique décimal en SS octal.
|
|
|
0.512
|
|
|
x |
8
|
| 4
|
|
0.096
|
|
|
x |
8
|
| 0
|
|
0.768
|
|
|
x |
8
|
| 6
|
|
0.144
|
|
|
x |
8
|
| 1
|
|
0.152
|
|
|
x |
8
|
| 1
|
|
0.216
|
|
|
x |
8
|
| 1
|
|
0.728
|
Reçu:
0.512 10 =0.406111 8 .
Exemple 11
. Convertissons le nombre 159,125 du système numérique décimal en SS binaire. Pour ce faire, on traduit séparément la partie entière du nombre (Exemple 4) et la partie fractionnaire du nombre (Exemple 8). En combinant davantage ces résultats, nous obtenons :
159.125 10 =10011111.001 2 .
Exemple 12
. Convertissons le nombre 19673.214 du système numérique décimal en SS hexadécimal. Pour ce faire, on traduit séparément la partie entière du nombre (Exemple 6) et la partie fractionnaire du nombre (Exemple 9). De plus, en combinant ces résultats, nous obtenons.
Signaler une faute de frappe
Texte qui sera envoyé à nos rédacteurs :
