Maximisation des profits par programmation linéaire dans Excel. Résoudre un problème de transport à l'aide de l'outil de recherche de solutions. problème d'optimisation Excel de programmation linéaire

09.03.2019

Dispersion variable aléatoire est une mesure de la répartition des valeurs de cette quantité. Une faible variance signifie que les valeurs sont regroupées à proximité. Une grande dispersion indique une forte dispersion des valeurs. La notion de variance d'une variable aléatoire est utilisée en statistique. Par exemple, si vous comparez la variance de deux valeurs (par exemple entre des patients de sexe masculin et féminin), vous pouvez tester la signification d'une variable. La dispersion est également utilisée lors de la construction modèles statistiques, car une faible variance peut être le signe que vous surajustez les valeurs.

Mesures

Calcul de la variance de l'échantillon

Enregistrez les exemples de valeurs. Dans la plupart des cas, les statisticiens n’ont accès qu’à des échantillons de populations spécifiques. Par exemple, en règle générale, les statisticiens n'analysent pas le coût d'entretien de la totalité de toutes les voitures en Russie - ils analysent un échantillon aléatoire de plusieurs milliers de voitures. Un tel échantillon aidera à déterminer le coût moyen d'une voiture, mais, très probablement, la valeur résultante sera loin d'être la valeur réelle.
- Par exemple, analysons le nombre de petits pains vendus dans un café sur 6 jours, pris dans un ordre aléatoire. L'échantillon ressemble à ceci : 17, 15, 23, 7, 9, 13. Il s'agit d'un échantillon, pas d'une population, car nous ne disposons pas de données sur les petits pains vendus pour chaque jour d'ouverture du café.
- Si vous recevez une population plutôt qu’un échantillon de valeurs, passez à la section suivante.
Écrivez une formule pour calculer la variance de l’échantillon. La dispersion est une mesure de la propagation des valeurs d'une certaine quantité. Plus la valeur de variance est proche de zéro, plus les valeurs sont regroupées. Lorsque vous travaillez avec un échantillon de valeurs, utilisez la formule suivante pour calculer la variance :
- s 2 (\displaystyle s^(2)) = ∑[(x je (\ displaystyle x_ (i))-x̅) 2 (\style d'affichage ^(2))] / (n-1)
- s 2 (\displaystyle s^(2))– c’est la dispersion. La dispersion est mesurée en unités carrées mesures.
- x je (\ displaystyle x_ (i))– chaque valeur de l'échantillon.
- x je (\ displaystyle x_ (i)) vous devez soustraire x̅, le mettre au carré, puis ajouter les résultats.
- x̅ – moyenne de l’échantillon (moyenne de l’échantillon).
- n – nombre de valeurs dans l'échantillon.
Calculez la moyenne de l’échantillon. Il est noté x̅. La moyenne de l'échantillon est calculée comme une simple moyenne arithmétique : additionnez toutes les valeurs de l'échantillon, puis divisez le résultat par le nombre de valeurs de l'échantillon.
- Dans notre exemple, additionnez les valeurs de l'échantillon : 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
  Divisez maintenant le résultat par le nombre de valeurs dans l'échantillon (dans notre exemple il y en a 6) : 84 ÷ 6 = 14.
  Moyenne de l'échantillon x̅ = 14.
- La moyenne de l'échantillon est la valeur centrale autour de laquelle les valeurs de l'échantillon sont distribuées. Si les valeurs de l'échantillon se regroupent autour de la moyenne de l'échantillon, alors la variance est faible ; sinon, la variance est grande.
Soustrayez la moyenne de l’échantillon de chaque valeur de l’échantillon. Calculons maintenant la différence x je (\ displaystyle x_ (i))- x̅, où x je (\ displaystyle x_ (i))– chaque valeur de l'échantillon. Chaque résultat obtenu indique le degré d'écart d'une valeur particulière par rapport à la moyenne de l'échantillon, c'est-à-dire la distance entre cette valeur et la moyenne de l'échantillon.
- Dans notre exemple :
  x 1 (\style d'affichage x_(1))- x = 17 - 14 = 3
  x 2 (\style d'affichage x_(2))- x = 15 - 14 = 1
  x 3 (\style d'affichage x_(3))- x = 23 - 14 = 9
  x 4 (\style d'affichage x_(4))- x̅ = 7 - 14 = -7
  x 5 (\style d'affichage x_(5))- x̅ = 9 - 14 = -5
  x 6 (\style d'affichage x_(6))- x̅ = 13 - 14 = -1
- L'exactitude des résultats obtenus est facile à vérifier, puisque leur somme doit être égale à zéro. Ceci est lié à la définition de la moyenne, puisque les valeurs négatives (distances de la moyenne aux valeurs plus petites) sont complètement compensées par des valeurs positives (distances de la moyenne aux valeurs plus grandes).
Comme indiqué ci-dessus, la somme des différences x je (\ displaystyle x_ (i))- x̅ doit être égal à zéro. Cela signifie que la variance moyenne est toujours nulle, ce qui ne donne aucune idée de la répartition des valeurs d'une certaine quantité. Pour résoudre ce problème, mettez au carré chaque différence x je (\ displaystyle x_ (i))- x̅. Vous obtiendrez ainsi uniquement des nombres positifs, dont la somme ne sera jamais égale à 0.
- Dans notre exemple :
  (x 1 (\style d'affichage x_(1))-x̅) 2 = 3 2 = 9 (\displaystyle ^(2)=3^(2)=9)
  (x 2 (\displaystyle (x_(2))-x̅) 2 = 1 2 = 1 (\displaystyle ^(2)=1^(2)=1)
  9 2 = 81
  (-7) 2 = 49
  (-5) 2 = 25
  (-1) 2 = 1
- Vous avez trouvé le carré de la différence - x̅) 2 (\style d'affichage ^(2)) pour chaque valeur de l’échantillon.
Calculez la somme des carrés des différences. Autrement dit, trouvez la partie de la formule qui s'écrit comme ceci : ∑[( x je (\ displaystyle x_ (i))-x̅) 2 (\style d'affichage ^(2))]. Ici, le signe Σ signifie la somme des carrés des différences pour chaque valeur x je (\ displaystyle x_ (i)) dans l'échantillon. Vous avez déjà trouvé les carrés des différences (x je (\displaystyle (x_(i))-x̅) 2 (\style d'affichage ^(2)) pour chaque valeur x je (\ displaystyle x_ (i)) dans l'échantillon ; maintenant, ajoutez simplement ces carrés.
- Dans notre exemple : 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .
Divisez le résultat par n - 1, où n est le nombre de valeurs dans l'échantillon. Il y a quelque temps, pour calculer la variance d’un échantillon, les statisticiens divisaient simplement le résultat par n ; dans ce cas, vous obtiendrez la moyenne de la variance au carré, ce qui est idéal pour décrire la variance d'un échantillon donné. Mais rappelez-vous que tout échantillon ne représente qu’une petite partie de la population de valeurs. Si vous prenez un autre échantillon et effectuez les mêmes calculs, vous obtiendrez un résultat différent. Il s'avère que diviser par n - 1 (plutôt que par n) donne une estimation plus précise de la variance de la population, ce qui vous intéresse. La division par n – 1 est devenue courante, elle est donc incluse dans la formule de calcul de la variance de l’échantillon.
- Dans notre exemple, l'échantillon comprend 6 valeurs, soit n = 6.
  Variance de l'échantillon = s 2 = 166 6 − 1 = (\displaystyle s^(2)=(\frac (166)(6-1))=) 33,2
La différence entre la variance et l'écart type. Notez que la formule contient un exposant, la dispersion est donc mesurée en unités carrées de la valeur analysée. Parfois, une telle ampleur est assez difficile à exploiter ; dans de tels cas, utilisez l’écart type, qui est égal à la racine carrée de la variance. C'est pourquoi la variance de l'échantillon est notée s 2 (\displaystyle s^(2)), et l'écart type de l'échantillon est le suivant s (style d'affichage s).
- Dans notre exemple, l'écart type de l'échantillon est : s = √33,2 = 5,76.
Calcul de la variance de la population
1. Analysez un ensemble de valeurs. L'ensemble comprend toutes les valeurs de la quantité considérée. Par exemple, si vous étudiez l'âge des résidents Région de Léningrad, alors la population comprend l'âge de tous les résidents de cette zone. Lorsque vous travaillez avec une population, il est recommandé de créer un tableau et d'y saisir les valeurs de la population. Prenons l'exemple suivant :
  - Dans une certaine pièce, il y a 6 aquariums. Chaque aquarium contient le nombre de poissons suivant :
    x 1 = 5 (\displaystyle x_(1)=5)
    x 2 = 5 (\displaystyle x_(2)=5)
    x 3 = 8 (\displaystyle x_(3)=8)
    x 4 = 12 (\displaystyle x_(4)=12)
    x 5 = 15 (\displaystyle x_(5)=15)
    x 6 = 18 (\displaystyle x_(6)=18)
2. Écrivez une formule pour calculer la variance de la population. Puisque la totalité comprend toutes les valeurs d'une certaine quantité, la formule ci-dessous permet d'obtenir valeur exacte les écarts de population. Pour distinguer la variance de la population de la variance de l'échantillon (qui n'est qu'une estimation), les statisticiens utilisent diverses variables :
  - σ 2 (\style d'affichage ^(2)) = (∑(x je (\ displaystyle x_ (i)) - μ) 2 (\style d'affichage ^(2)))/n
  - σ 2 (\style d'affichage ^(2))– la dispersion de la population (lire « sigma au carré »). La dispersion est mesurée en unités carrées.
  - x je (\ displaystyle x_ (i))– chaque valeur dans son intégralité.
  - Σ – signe somme. Autrement dit, à partir de chaque valeur x je (\ displaystyle x_ (i)) vous devez soustraire μ, le mettre au carré, puis ajouter les résultats.
  - μ – moyenne de la population.
  - n – nombre de valeurs dans la population.
3. Calculez la moyenne de la population. Lorsque l’on travaille avec une population, sa moyenne est notée μ (mu). La moyenne de la population est calculée comme une moyenne arithmétique simple : additionnez toutes les valeurs de la population, puis divisez le résultat par le nombre de valeurs de la population.
  - Gardez à l’esprit que les moyennes ne sont pas toujours calculées comme moyenne arithmétique.
  - Dans notre exemple, la moyenne de la population : μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 (\displaystyle (\frac (5+5+8+12+15+18)(6))) = 10,5
4. Soustrayez la moyenne de la population de chaque valeur de la population. Plus la valeur de la différence est proche de zéro, plus signification spécifiqueà la moyenne de la population. Trouvez la différence entre chaque valeur de la population et sa moyenne, et vous aurez une première idée de la distribution des valeurs.
  - Dans notre exemple :
    x 1 (\style d'affichage x_(1))- µ = 5 - 10,5 = -5,5
    x 2 (\style d'affichage x_(2))- µ = 5 - 10,5 = -5,5
    x 3 (\style d'affichage x_(3))- µ = 8 - 10,5 = -2,5
    x 4 (\style d'affichage x_(4))- µ = 12 - 10,5 = 1,5
    x 5 (\style d'affichage x_(5))- µ = 15 - 10,5 = 4,5
    x 6 (\style d'affichage x_(6))- µ = 18 - 10,5 = 7,5
5. Mettez au carré chaque résultat obtenu. Les valeurs de différence seront à la fois positives et négatives ; Si ces valeurs sont tracées sur une droite numérique, elles se situeront à droite et à gauche de la moyenne de la population. Cela ne convient pas au calcul de la variance, car les valeurs positives et positives nombres négatifs se compenser. Mettez donc au carré chaque différence pour obtenir des nombres exclusivement positifs.
  - Dans notre exemple :
    (x je (\ displaystyle x_ (i)) - μ) 2 (\style d'affichage ^(2)) pour chaque valeur de population (de i = 1 à i = 6) :
    (-5,5)2 (\style d'affichage ^(2)) = 30,25
    (-5,5)2 (\style d'affichage ^(2)), Où x n (\style d'affichage x_(n))– la dernière valeur de la population.
  - Pour calculer la valeur moyenne des résultats obtenus, il faut trouver leur somme et la diviser par n :(( x 1 (\style d'affichage x_(1)) - μ) 2 (\style d'affichage ^(2)) + (x 2 (\style d'affichage x_(2)) - μ) 2 (\style d'affichage ^(2)) + ... + (x n (\style d'affichage x_(n)) - μ) 2 (\style d'affichage ^(2)))/n
  - Écrivons maintenant l'explication ci-dessus en utilisant des variables : (∑( x je (\ displaystyle x_ (i)) - μ) 2 (\style d'affichage ^(2))) / n et obtenez une formule pour calculer la variance de la population.

Cette page décrit exemple standard en trouvant la variance, vous pouvez également examiner d'autres problèmes pour la trouver

Exemple 1. Détermination du groupe, de la moyenne du groupe, de l'intergroupe et de la variance totale

Exemple 2. Recherche de la variance et du coefficient de variation dans un tableau de regroupement

Exemple 3. Trouver la variance dans une série discrète

Exemple 4. Les données suivantes sont disponibles pour un groupe de 20 étudiants par correspondance. Il est nécessaire de construire une série d'intervalles de distribution de la caractéristique, de calculer la valeur moyenne de la caractéristique et d'étudier sa dispersion

Construisons un regroupement d'intervalles. Déterminons la plage de l'intervalle à l'aide de la formule :

où X max– valeur maximale fonction de regroupement ;
X min – valeur minimale de la caractéristique de regroupement ;
n – nombre d'intervalles :

Nous acceptons n=5. Le pas est : h = (192 - 159)/ 5 = 6,6

Créons un regroupement d'intervalles

Pour d'autres calculs, nous construirons un tableau auxiliaire :

X"i – le milieu de l'intervalle. (par exemple, le milieu de l'intervalle 159 – 165,6 = 162,3)

Nous déterminons la taille moyenne des élèves à l'aide de la formule de moyenne arithmétique pondérée :

Déterminons la variance à l'aide de la formule :

La formule peut être transformée comme ceci :

De cette formule il résulte que la variance est égale à la différence entre la moyenne des carrés des options et le carré et la moyenne.

Dispersion dans les séries de variationsà intervalles égaux en utilisant la méthode des moments peut être calculé de la manière suivante lors de l'utilisation de la deuxième propriété de dispersion (en divisant toutes les options par la valeur de l'intervalle). Détermination de l'écart, calculé par la méthode des moments, par la formule suivante moins exigeant en main d'œuvre :

où i est la valeur de l'intervalle ;
A est un zéro conventionnel, pour lequel il convient d'utiliser le milieu d'un intervalle qui a fréquence la plus élevée;
m1 est le carré du moment du premier ordre ;
m2 - moment du deuxième ordre

Variance des traits alternatifs (si dans une population statistique une caractéristique change de telle manière qu'il n'y a que deux options mutuellement exclusives, alors cette variabilité est appelée alternative) peut être calculée à l'aide de la formule :

En substituant q = 1- p dans cette formule de dispersion, nous obtenons :

Types de variance

Écart total mesure la variation d’une caractéristique dans l’ensemble de la population sous l’influence de tous les facteurs qui provoquent cette variation. Elle est égale au carré moyen des écarts des valeurs individuelles d'une caractéristique x par rapport à la valeur moyenne globale de x et peut être définie comme variance simple ou variance pondérée.

Variation au sein du groupe caractérise la variation aléatoire, c'est-à-dire partie de la variation qui est due à l'influence de facteurs non pris en compte et ne dépend pas de l'attribut facteur qui constitue la base du groupe. Une telle dispersion est égale au carré moyen des écarts des valeurs individuelles de l'attribut au sein du groupe X par rapport à la moyenne arithmétique du groupe et peut être calculée comme une dispersion simple ou comme une dispersion pondérée.

Ainsi, mesures de variance au sein du groupe variation d'un trait au sein d'un groupe et est déterminé par la formule :

où xi est la moyenne du groupe ;
ni est le nombre d'unités dans le groupe.

Par exemple, les variances intra-groupe qui doivent être déterminées dans le problème de l'étude de l'influence des qualifications des travailleurs sur le niveau de productivité du travail dans un atelier montrent des variations de production dans chaque groupe causées par tous les facteurs possibles ( état techniqueéquipements, disponibilité des outils et du matériel, âge des travailleurs, intensité du travail, etc.), à l'exception des différences de catégorie de qualification (au sein d'un groupe, tous les travailleurs ont les mêmes qualifications).

En plus d'étudier la variation d'une caractéristique dans l'ensemble de la population, il est souvent nécessaire de retracer les changements quantitatifs de la caractéristique à travers les groupes dans lesquels la population est divisée, ainsi qu'entre les groupes. Cette étude de variation est réalisée par le calcul et l'analyse différents typesécarts.
Il existe des écarts totaux, intergroupes et intragroupes.
Variance totale σ 2 mesure la variation d'un trait dans l'ensemble de la population sous l'influence de tous les facteurs qui ont provoqué cette variation.

La variance intergroupe (δ) caractérise la variation systématique, c'est-à-dire différences dans la valeur du trait étudié qui surviennent sous l'influence du trait facteur qui constitue la base du groupe. Il est calculé à l'aide de la formule :
.

Variance intra-groupe (σ) reflète une variation aléatoire, c'est-à-dire une partie de la variation qui se produit sous l'influence de facteurs non pris en compte et ne dépend pas de l'attribut facteur qui constitue la base du groupe. Il est calculé par la formule :
.

Moyenne des écarts intra-groupe: .

Il existe une loi reliant 3 types de dispersion. La variance totale est égale à la somme de la moyenne des variances intra-groupe et inter-groupe : .
Ce rapport est appelé règle d'ajout d'écarts.

Un indicateur largement utilisé en analyse est la proportion de variance entre les groupes dans la variance totale. Ça s'appelle coefficient de détermination empirique (η 2) : .
La racine carrée du coefficient de détermination empirique s'appelle rapport de corrélation empirique (η):
.
Il caractérise l'influence de la caractéristique qui constitue la base du groupe sur la variation de la caractéristique résultante. Le rapport de corrélation empirique varie de 0 à 1.
Montrons-le utilisation pratique en utilisant l’exemple suivant (tableau 1).

Exemple n°1. Tableau 1 - Productivité du travail de deux groupes de travailleurs dans l'un des ateliers de l'OBNL "Cyclone"

Calculons les moyennes et variances globales et de groupe :

Les données initiales permettant de calculer la moyenne de la variance intragroupe et intergroupe sont présentées dans le tableau. 2.
Tableau 2
Calcul et δ 2 pour deux groupes de travailleurs.

Groupes de travailleurs	Nombre de travailleurs, de personnes	Moyenne, enfants/équipe	Dispersion
Formation technique complétée	5	95	42,0
Ceux qui n’ont pas suivi de formation technique	5	81	231,2
Tous les travailleurs	10	88	185,6

Calculons les indicateurs. Moyenne des écarts intra-groupe :

.
Variation intergroupe

Écart total :
Ainsi, le rapport de corrélation empirique : .

Parallèlement à la variation des caractéristiques quantitatives, une variation des caractéristiques qualitatives peut également être observée. Cette étude de variation est réalisée en calculant les types suivants dispersions :

La dispersion intra-groupe de la part est déterminée par la formule

Où n je– nombre d'unités dans des groupes séparés.
La part de la caractéristique étudiée dans l'ensemble de la population, qui est déterminée par la formule :
Les trois types de variance sont liés les uns aux autres comme suit :

Cette relation de variances est appelée théorème d'addition des variances de la part des traits.

Cependant, cette caractéristique à elle seule ne suffit pas pour étudier une variable aléatoire. Imaginons deux tireurs tirant sur une cible. L’un tire avec précision et frappe près du centre, tandis que l’autre... ne fait que s’amuser et ne vise même pas. Mais ce qui est drôle c'est qu'il moyenne le résultat sera exactement le même que celui du premier tir ! Cette situation est classiquement illustrée par les variables aléatoires suivantes :

L'espérance mathématique du « tireur d'élite » est cependant égale à , pour la « personne intéressante » : - elle est également nulle !

Il est donc nécessaire de quantifier dans quelle mesure dispersé puces (valeurs variables aléatoires) par rapport au centre de la cible (attente mathématique). Bien diffusion traduit du latin n'est autre que dispersion .

Voyons comment cette caractéristique numérique est déterminée à l'aide d'un des exemples de la 1ère partie de la leçon :

Nous y avons trouvé une espérance mathématique décevante pour ce jeu, et nous devons maintenant calculer sa variance, qui désigné parà travers .

Voyons dans quelle mesure les gains/pertes sont « dispersés » par rapport à la valeur moyenne. Évidemment, pour cela, nous devons calculer différences entre valeurs de variables aléatoires et elle espérance mathématique:

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

Il semble maintenant que vous deviez résumer les résultats, mais cette voie ne convient pas - car les fluctuations vers la gauche s'annuleront avec les fluctuations vers la droite. Ainsi, par exemple, un tireur « amateur » (exemple ci-dessus) les différences seront , et une fois ajoutés, ils donneront zéro, nous n'obtiendrons donc aucune estimation de la dispersion de son tir.

Pour contourner ce problème, vous pouvez envisager modules différences, mais raisons techniques L’approche s’est enracinée lorsqu’ils sont carrés. Il est plus pratique de formuler la solution dans un tableau :

Et ici, il faut calculer moyenne pondérée la valeur des carrés des écarts. Et QU'est-ce que c'est ? C'est le leur espérance mathématique, qui est une mesure de diffusion :

– définitionécarts. De la définition, il ressort immédiatement que la variance ne peut pas être négative– à noter pour la pratique !

Rappelons comment trouver la valeur attendue. Multipliez les différences au carré par les probabilités correspondantes (suite du tableau):
– au sens figuré, il s’agit de « force de traction »,
et résumer les résultats :

Ne pensez-vous pas que par rapport aux gains, le résultat s'est avéré trop important ? C'est vrai - nous l'avons mis au carré, et pour revenir à la dimension de notre jeu, nous devons extraire racine carrée. Cette valeur appelé écart type et est désigné lettre grecque"sigma":

Cette valeur est parfois appelée écart type .

Quelle est sa signification ? Si nous nous écartons de l’espérance mathématique à gauche et à droite de l’écart type :

– alors les valeurs les plus probables de la variable aléatoire seront « concentrées » sur cet intervalle. Ce que nous observons réellement :

Or, il se trouve que lorsqu’on analyse la diffusion, on opère presque toujours avec la notion de dispersion. Voyons ce que cela signifie par rapport aux jeux. Si dans le cas des flèches on parle de « précision » des coups par rapport au centre de la cible, alors ici la dispersion caractérise deux choses :

Premièrement, il est évident qu’à mesure que les mises augmentent, la dispersion augmente également. Ainsi, par exemple, si nous augmentons 10 fois, alors l'espérance mathématique augmentera 10 fois et la variance augmentera 100 fois. (puisqu'il s'agit d'une quantité quadratique). Mais notez que les règles du jeu elles-mêmes n’ont pas changé ! Seuls les taux ont changé, en gros, avant on pariait 10 roubles, maintenant c'est 100.

Deuxièmement, plus point intéressant c'est que la variance caractérise le style de jeu. Fixez mentalement les paris du jeu à un certain niveau, et voyons ce que c'est :

Un jeu à faible variance est un jeu prudent. Le joueur a tendance à choisir les schémas les plus fiables, dans lesquels il ne perd/gagne pas trop à la fois. Par exemple, le système rouge/noir à la roulette (voir exemple 4 de l'article Variables aléatoires) .

Jeu à haute variance. On l'appelle souvent dispersif jeu. Il s'agit d'un style de jeu aventureux ou agressif, dans lequel le joueur choisit des schémas « d'adrénaline ». Rappelons-nous au moins "Martingale", dans lequel les sommes en jeu sont des ordres de grandeur supérieurs au jeu « tranquille » du point précédent.

La situation au poker est révélatrice : il existe ce qu'on appelle serré les joueurs qui ont tendance à être prudents et « fragiles » quant à leurs fonds de jeu (financer). Sans surprise, leur bankroll ne fluctue pas de manière significative (faible variance). Au contraire, si un joueur a une variance élevée, alors il est un agresseur. Il prend souvent des risques, fait des paris importants et peut soit faire sauter une énorme banque, soit perdre en mille morceaux.

La même chose se produit sur le Forex, et ainsi de suite – il existe de nombreux exemples.

De plus, dans tous les cas, peu importe que le jeu se joue pour quelques centimes ou pour des milliers de dollars. Chaque niveau a ses joueurs à faible et haute dispersion. Eh bien, on s'en souvient, le gain moyen est « responsable » espérance mathématique.

Vous avez probablement remarqué que trouver des écarts est un processus long et minutieux. Mais les mathématiques sont généreuses :

Formule pour trouver la variance

Cette formule est dérivé directement de la définition de la variance, et nous l’utilisons immédiatement. Je vais copier le signe avec notre jeu ci-dessus :

et l'espérance mathématique trouvée.

Calculons la variance de la deuxième manière. Tout d'abord, trouvons l'espérance mathématique - le carré de la variable aléatoire. Par détermination de l'espérance mathématique:

DANS dans ce cas:

Ainsi, d'après la formule :

Comme on dit, ressentez la différence. Et en pratique, bien sûr, il vaut mieux utiliser la formule (sauf si la condition l'exige autrement).

Nous maîtrisons la technique de résolution et de conception :

Exemple 6

Trouvez son espérance mathématique, sa variance et son écart type.

Cette tâche se retrouve partout et, en règle générale, n'a aucune signification significative.
Vous pouvez imaginer plusieurs ampoules avec des chiffres qui s'allument dans une maison de fous avec certaines probabilités :)

Solution: Il est pratique de résumer les calculs de base dans un tableau. Tout d’abord, nous écrivons les données initiales dans les deux premières lignes. Ensuite on calcule les produits, puis et enfin les sommes dans la colonne de droite :

En fait, presque tout est prêt. La troisième ligne montre une espérance mathématique toute faite : .

Nous calculons la variance à l'aide de la formule :

Et enfin, l'écart type :
– Personnellement, j’arrondis généralement à 2 décimales.

Tous les calculs peuvent être effectués sur une calculatrice, ou mieux encore - dans Excel :

Il est difficile de se tromper ici :)

Répondre:

Ceux qui le souhaitent peuvent se simplifier encore plus la vie et profiter de mon calculatrice (démo), ce qui non seulement résoudra instantanément cette tâche, mais construira également graphiques thématiques (nous y arriverons bientôt). Le programme peut être télécharger depuis la bibliothèque– si vous en avez téléchargé au moins un matériel pédagogique, ou obtenez une autre façon. Merci de soutenir le projet !

Quelques tâches pour décision indépendante:

Exemple 7

Calculez la variance de la variable aléatoire dans l'exemple précédent par définition.

Et un exemple similaire :

Exemple 8

Une variable aléatoire discrète est spécifiée par sa loi de distribution :

Oui, les valeurs des variables aléatoires peuvent être assez importantes (exemple de vrai travail) , et ici, si possible, utilisez Excel. Comme d'ailleurs dans l'exemple 7, c'est plus rapide, plus fiable et plus agréable.

Solutions et réponses en bas de page.

A la fin de la 2ème partie de la leçon, nous examinerons encore un tâche typique, on pourrait même dire, un petit rébus :

Exemple 9

Une variable aléatoire discrète ne peut prendre que deux valeurs : et , et . La probabilité, l'espérance mathématique et la variance sont connues.

Solution: Commençons par une probabilité inconnue. Puisqu’une variable aléatoire ne peut prendre que deux valeurs, la somme des probabilités des événements correspondants est :

et depuis, alors.

Il ne reste plus qu'à trouver..., c'est facile à dire :) Mais bon, c'est parti. Par définition de l'espérance mathématique :
– remplacer les quantités connues :

– et rien de plus ne peut être extrait de cette équation, sauf que vous pouvez la réécrire dans le sens habituel :

ou:

À PROPOS d'autres actions, je pense que vous pouvez deviner. Composons et résolvons le système :

Décimales- c'est, bien sûr, honte totale; multipliez les deux équations par 10 :

et divisez par 2 :

C'est mieux. A partir de la 1ère équation on exprime :
(c'est le moyen le plus simple)– remplacer dans la 2ème équation :

Nous construisons quadrillé et faire des simplifications :

Multiplier par :

Le résultat est équation quadratique, on trouve son discriminant :
- Super!

et nous obtenons deux solutions :

1) si , Que ;

2) si , Que .

La première paire de valeurs satisfait la condition. Avec une forte probabilité, tout est correct, mais écrivons néanmoins la loi de distribution :

et effectuer une vérification, à savoir trouver l'attente :

La théorie des probabilités est une branche particulière des mathématiques étudiée uniquement par les étudiants des établissements d'enseignement supérieur. Vous aimez les calculs et les formules ? N'êtes-vous pas effrayé par la perspective de vous familiariser avec la distribution normale, l'entropie d'ensemble, l'espérance mathématique et la dispersion d'une variable aléatoire discrète ? Alors ce sujet vous intéressera beaucoup. Jetons un coup d'œil à quelques-uns des plus importants notions de base cette branche de la science.

Rappelons les bases

Même si tu te souviens le plus notions simples théorie des probabilités, ne négligez pas les premiers paragraphes de l’article. Le fait est que sans une compréhension claire des bases, vous ne pourrez pas travailler avec les formules décrites ci-dessous.

Donc il se passe des choses événement aléatoire, une sorte d'expérience. Grâce aux actions que nous entreprenons, nous pouvons obtenir plusieurs résultats – certains d’entre eux se produisent plus souvent, d’autres moins souvent. La probabilité d'un événement est le rapport entre le nombre de résultats d'un type réellement obtenus et le nombre total de résultats possibles. Ce n'est qu'en connaissant la définition classique de ce concept que vous pouvez commencer à étudier l'espérance mathématique et la dispersion de variables aléatoires continues.

Moyenne arithmétique

De retour à l’école, pendant les cours de mathématiques, vous avez commencé à travailler avec la moyenne arithmétique. Ce concept est largement utilisé en théorie des probabilités et ne peut donc être ignoré. L'essentiel pour nous est à l'heure actuelle c'est que nous le rencontrerons dans les formules d'espérance mathématique et de dispersion d'une variable aléatoire.

Nous avons une suite de nombres et voulons trouver la moyenne arithmétique. Tout ce qui nous est demandé est de résumer tout ce qui est disponible et de diviser par le nombre d'éléments de la séquence. Ayons des nombres de 1 à 9. La somme des éléments sera égale à 45, et nous diviserons cette valeur par 9. Réponse : - 5.

Dispersion

Parlant langage scientifique, la dispersion est le carré moyen des écarts des valeurs caractéristiques obtenues par rapport à la moyenne arithmétique. Il est désigné par une lettre latine majuscule D. Que faut-il pour le calculer ? Pour chaque élément de la séquence, nous calculons la différence entre le nombre existant et la moyenne arithmétique et la mettons au carré. Il y aura exactement autant de valeurs qu'il peut y avoir de résultats pour l'événement que nous envisageons. Ensuite, nous résumons tout ce qui a été reçu et divisons par le nombre d'éléments de la séquence. Si nous avons cinq résultats possibles, divisez par cinq.

La dispersion a également des propriétés dont il faut se souvenir afin d'être utilisées lors de la résolution de problèmes. Par exemple, lorsqu'une variable aléatoire augmente de X fois, la variance augmente de X fois au carré (c'est-à-dire X*X). Il n'est jamais inférieur à zéro et ne dépend pas d'un déplacement des valeurs vers le haut ou vers le bas de quantités égales. De plus, pour les essais indépendants, la variance de la somme est égale à la somme des variances.

Nous devons maintenant absolument considérer des exemples de variance d’une variable aléatoire discrète et l’espérance mathématique.

Disons que nous avons mené 21 expériences et obtenu 7 résultats différents. Nous avons observé chacun d’eux respectivement 1, 2, 2, 3, 4, 4 et 5 fois. A quoi sera égale la variance ?

Tout d'abord, calculons la moyenne arithmétique : la somme des éléments, bien sûr, est de 21. Divisez-la par 7, vous obtenez 3. Soustrayez maintenant 3 de chaque nombre de la séquence d'origine, mettez chaque valeur au carré et additionnez les résultats. Le résultat est 12. Il ne reste plus qu’à diviser le nombre par le nombre d’éléments, et, semble-t-il, c’est tout. Mais il y a un piège ! Discutons-en.

Dépendance au nombre d'expériences

Il s'avère que lors du calcul de la variance, le dénominateur peut contenir l'un des deux nombres suivants : soit N, soit N-1. Ici, N est le nombre d'expériences réalisées ou le nombre d'éléments dans la séquence (ce qui est essentiellement la même chose). De quoi cela dépend ?

Si le nombre de tests se mesure en centaines, alors il faut mettre N au dénominateur. Si en unités, alors N-1. Les scientifiques ont décidé de tracer la frontière de manière assez symbolique : elle passe aujourd'hui par le nombre 30. Si nous avons mené moins de 30 expériences, alors nous diviserons le montant par N-1, et si plus, alors par N.

Tâche

Revenons à notre exemple de résolution du problème de la variance et de l'espérance mathématique. Nous avons obtenu un nombre intermédiaire 12, qu'il fallait diviser par N ou N-1. Puisque nous avons mené 21 expériences, soit moins de 30, nous choisirons la deuxième option. La réponse est donc : la variance est de 12 / 2 = 2.

Attente

Passons au deuxième concept, que nous devons considérer dans cet article. L'espérance mathématique est le résultat de l'addition de tous les résultats possibles multipliés par les probabilités correspondantes. Il est important de comprendre que la valeur obtenue, ainsi que le résultat du calcul de la variance, ne sont obtenus qu'une seule fois pour toute la tâche, quel que soit le nombre de résultats pris en compte.

La formule de l'espérance mathématique est assez simple : on prend le résultat, on le multiplie par sa probabilité, on ajoute la même chose pour le deuxième, le troisième résultat, etc. Tout ce qui touche à ce concept n'est pas difficile à calculer. Par exemple, la somme des valeurs attendues est égale à la valeur attendue de la somme. Il en va de même pour le travail. Tel opérations simples Toutes les quantités de la théorie des probabilités ne vous permettent pas de le faire. Prenons le problème et calculons la signification de deux concepts que nous avons étudiés à la fois. De plus, nous avons été distraits par la théorie : il est temps de pratiquer.

Un autre exemple

Nous avons mené 50 essais et obtenu 10 types de résultats – des nombres de 0 à 9 – apparaissant dans différents pourcentages. Il s'agit respectivement de : 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Rappelons que pour obtenir des probabilités, il faut diviser les valeurs en pourcentage par 100. Ainsi, on obtient 0,02 ; 0,1, etc. Présentons un exemple de résolution du problème de la variance d'une variable aléatoire et de l'espérance mathématique.

On calcule la moyenne arithmétique en utilisant la formule dont on se souvient de l'école primaire : 50/10 = 5.

Convertissons maintenant les probabilités en nombre de résultats « en morceaux » pour faciliter le décompte. Nous obtenons 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 et 9. De chaque valeur obtenue, nous soustrayons la moyenne arithmétique, après quoi nous mettons au carré chacun des résultats obtenus. Voyez comment procéder en utilisant le premier élément comme exemple : 1 - 5 = (-4). Suivant : (-4) * (-4) = 16. Pour les autres valeurs, effectuez ces opérations vous-même. Si vous avez tout fait correctement, après les avoir tous additionnés, vous obtiendrez 90.

Continuons à calculer la variance et la valeur attendue en divisant 90 par N. Pourquoi choisissons-nous N plutôt que N-1 ? Correct, car le nombre d'expériences réalisées dépasse 30. Donc : 90/10 = 9. Nous avons obtenu la variance. Si vous obtenez un numéro différent, ne désespérez pas. Très probablement, vous avez commis une simple erreur dans les calculs. Vérifiez ce que vous avez écrit et tout se mettra probablement en place.

Enfin, rappelez-vous la formule de l’espérance mathématique. Nous ne donnerons pas tous les calculs, nous rédigerons uniquement une réponse que vous pourrez vérifier après avoir effectué toutes les procédures requises. La valeur attendue sera de 5,48. Rappelons seulement comment réaliser les opérations, en prenant comme exemple les premiers éléments : 0*0.02 + 1*0.1... et ainsi de suite. Comme vous pouvez le constater, nous multiplions simplement la valeur du résultat par sa probabilité.

Déviation

Un autre concept étroitement lié à la dispersion et à l’espérance mathématique est l’écart type. Il est désigné soit en lettres latines sd, ou « sigma » grec minuscule. Cette notion montre à quel point les valeurs s'écartent en moyenne de la caractéristique centrale. Pour trouver sa valeur, vous devez calculer la racine carrée de la variance.

Si vous tracez distribution normale et que vous souhaitez voir l'écart carré directement dessus, cela peut se faire en plusieurs étapes. Prenez la moitié de l'image à gauche ou à droite du mode (valeur centrale), tracez une perpendiculaire à l'axe horizontal pour que les aires des figures résultantes soient égales. La taille du segment entre le milieu de la distribution et la projection résultante sur l'axe horizontal représentera l'écart type.

Logiciel

Comme le montrent les descriptions des formules et les exemples présentés, les calculs de variance et d'espérance mathématique ne sont pas les plus procédure simple d'un point de vue arithmétique. Afin de ne pas perdre de temps, il est judicieux d'utiliser le programme utilisé dans l'enseignement supérieur établissements d'enseignement- ça s'appelle "R". Il possède des fonctions qui vous permettent de calculer les valeurs de nombreux concepts issus des statistiques et de la théorie des probabilités.

Par exemple, vous spécifiez un vecteur de valeurs. Cela se fait comme suit : vecteur<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

En conclusion

La dispersion et l'espérance mathématique sont sans lesquelles il est difficile de calculer quoi que ce soit dans le futur. Dans le cours principal des cours universitaires, ils sont abordés dès les premiers mois d'étude du sujet. C’est précisément à cause du manque de compréhension de ces concepts simples et de l’incapacité de les calculer que de nombreux étudiants commencent immédiatement à prendre du retard dans le programme et reçoivent plus tard de mauvaises notes à la fin de la session, ce qui les prive de bourses.

Entraînez-vous pendant au moins une semaine, une demi-heure par jour, en résolvant des tâches similaires à celles présentées dans cet article. Ensuite, sur n'importe quel test de théorie des probabilités, vous serez en mesure de gérer les exemples sans astuces ni aide-mémoire superflus.