Le terme « métrique » est loin d'être le seul sens. Parlons-en en général, en nous concentrant sur le plus pertinent pour aujourd'hui - Yandex.Metrica.

Qu'est-ce qu'une métrique

Le concept a plusieurs interprétations dans les dictionnaires :

• forme abrégée du terme « tenseur métrique » ;
• une fonction conçue pour déterminer les distances dans l'espace métrique ;
• Métrique du logiciel - la valeur exprimée en nombre de toutes les propriétés d'un logiciel particulier ;
• en poésie : l'enseignement des Grecs anciens sur le rythme, la structure du discours poétique ;
• en solfège : une section spéciale consacrée à l'étude de la grandeur qui mesure diverses structures rythmiques - le mètre musical ;
• synonyme d'acte de naissance, de registre métrique, de livre de généalogie noble ;
• une valeur numérique qui influence le choix du cheminement des informations dans les réseaux informatiques.

"Metrica" ​​est également le nom du réseau russe d'hypermarchés de la construction, un livre du mathématicien Héron d'Alexandrie.

"Yandex.Metrica"

Aujourd'hui, le mot apparaît le plus souvent au nom de l'un des services Yandex. Dans cette optique, une « métrique » est un outil d’analyse Web largement utilisé dans le commerce électronique. Plus précisément, il fournit une analyse :

• audience du site ;
• comportement des visiteurs sur celui-ci ;
• conversion des revenus et des ressources ;
• sources de trafic ;
• la rapidité du site, ainsi que son accessibilité ;
• l'efficacité d'une campagne publicitaire particulière.

Rapports Yandex.Metrica

« Metrica » ​​est un service qui génère des rapports :

1. Image générale du trafic du site.
2. Répartition des visiteurs par (requêtes dans les moteurs de recherche, liens depuis les réseaux sociaux, publicité).
3. Caractéristiques démographiques des visiteurs du site.
4. Interaction des visiteurs avec des éléments individuels du site - clic sur des liens, téléchargement de contenu, visualisation de certaines pages.
5. Reproduire le parcours des actions des visiteurs, analyser le remplissage de certains formulaires.
6. Informations sur les logiciels et les appareils à partir desquels les vues ont été réalisées.
7. Sur les résultats de la vérification de la disponibilité d'une ressource par le système, sur sa charge.
8. Pour les marchés en ligne : informations détaillées sur toutes les commandes passées sur le site.

Toutes les options répertoriées sont gratuites. Metrica n'a qu'une seule fonction payante : « Appel ciblé ». Il s'agit de statistiques récapitulatives des appels de consommateurs potentiels qui ont pris connaissance du numéro d'un utilisateur spécifique à partir d'un certain nombre de sources externes.

La métrique est un concept qui définit une variété de phénomènes de la réalité. À la lumière des réalités modernes, beaucoup associent principalement le mot au service Yandex du même nom.

Vous ne pouvez pas gérer ce que vous ne pouvez pas mesurer. Cette phrase se retrouve dans de nombreux guides sur la gestion informatique, et d’ailleurs sur n’importe quelle gestion. Il est impossible de gérer la production sans instruments de mesure qui permettent de prendre les bonnes décisions en temps opportun et de répondre à une situation changeante. Le service informatique est la même production, comparable en complexité à une usine moyenne, et sa gestion nécessite des outils appropriés. Les métriques de processus sont des outils de gestion. L’efficacité avec laquelle un manager peut gérer une organisation dépend de la manière dont le système de métrique est construit.

Différence entre les mesures et les indicateurs

Avant d’aller plus loin, convenons des termes. Une métrique est un paramètre mesurable. Un indicateur est un paramètre mesurable pour atteindre un certain objectif. Une valeur cible et une tendance souhaitée doivent être définies pour l'indicateur.

Classification des métriques

Les activités de toute organisation informatique peuvent être divisées en trois segments

• Services
• Processus
• Infrastructure

Chacun de ces segments doit être géré et donc mesuré.

Métriques de service

Montre comment nos services sont fournis. Ces métriques correspondent aux paramètres de service convenus dans le SLA. C’est le changement de ces métriques que le client ressent en premier. Ils sont formulés dans des termes compréhensibles pour le client et doivent être en corrélation avec la perception subjective du client. Exemples de telles métriques : temps de génération du rapport, nombre de clients servis par unité de temps, etc. métriques dont l'organisation informatique est responsable envers le client. Il est évident que la signification des métriques de service dépend à la fois du fonctionnement des processus et de l'infrastructure. Des temps d'arrêt importants (métrique de service) peuvent être causés à la fois par une charge excessive sur le canal de communication (métrique technologique) et une vitesse insuffisante de résolution des incidents (métrique de processus).

Paramètres technologiques

Les mesures technologiques reflètent la santé de l’infrastructure. Ceux-ci incluent la charge actuelle sur les canaux de communication, l'espace disque libre, le nombre de pannes dans la baie de disques, etc. Le contrôle de ces métriques est le plus souvent confié aux systèmes de surveillance et de gestion des événements.

Métriques de processus et leur classification

Les métriques de processus montrent l'efficacité des processus internes d'une organisation informatique. Tout processus a une entrée et une sortie, de plus, le processus utilise des ressources et est soumis à des influences de contrôle.

Lors de la création d'un système de métriques, vous devez vous souvenir de ces quatre composants et mesurer chacun d'eux. Métriques d'entrée - mesurer la charge sur le processus. Par exemple, pour un processus de gestion des incidents, le nombre d'incidents est une mesure d'entrée. Il est important que pour un gestionnaire de processus, les métriques d'entrée soient un indicateur purement informatif ; elles ne peuvent pas être influencées, mais seulement des métriques de réaction, ou métriques de performance, montrent dans quelle mesure le processus atteint son objectif. ressources utilisées par le processus. Les contrôles métriques montrent à quel point le processus est contrôlable et à quel point les actions de contrôle sont efficaces. CobiT propose sa propre classification de métriques : indicateurs de performance, indicateurs de contrôlabilité. De plus, un modèle de maturité est proposé pour chaque processus. La décomposition des métriques en quatre composantes est comparable à la classification des métriques proposée dans CobiT. Les indicateurs de performance sont des mesures de résultats, les indicateurs de rationalité sont des mesures de ressources, la maturité des processus est une mesure de contrôlabilité. Il est évident que lors de la planification des valeurs cibles pour diverses mesures, elles doivent être équilibrées entre elles. Parce que le processus peut être très efficace et complètement irrationnel et vice versa. Par exemple, nous pouvons résoudre tous les incidents en une demi-heure, avec l'aide d'un millier de personnes, ou nous pouvons gérer une douzaine de personnes, mais résoudre les incidents en un mois.

Signaler les actions correctives

Les indicateurs ne sont pas intéressants en eux-mêmes ; ils sont nécessaires pour mettre en œuvre les influences de la direction sur le processus. Par conséquent, la responsabilité de la réalisation des indicateurs cibles doit être attribuée à la gestion du processus et aux employés affectés aux rôles dans le processus. Un système de reporting pour les indicateurs doit être construit. Il est important que des indicateurs appropriés soient présentés à chaque niveau de gestion. Il est peu probable que le directeur informatique soit intéressé à analyser les statistiques de pannes de l'une des baies de disques. Le système de reporting doit être structuré de telle manière qu'à chaque niveau, chaque manager contrôle et soit responsable de 3 à 9 indicateurs. De plus grandes quantités sont difficiles à contrôler en permanence.

Problèmes de motivation

Les indicateurs de performance des processus sont souvent utilisés pour fixer des objectifs personnels et motiver les employés. À première vue, c'est une décision logique et correcte. Cependant, une personne dont le salaire dépend du respect des valeurs cibles sera trop tentée de « modifier » les indicateurs en sa faveur. Une telle « modification » conduit à une violation du principe principal d'utilisation des indicateurs - objectivité et fiabilité, comme si un médecin posait un diagnostic et prescrivait un traitement sur la base d'informations incorrectes sur la température du patient. Comment éviter cela ? Il est possible de créer un service d'audit interne développé qui garantirait la pertinence des indicateurs. Mais souvent, les coûts liés au maintien d’un tel service sont injustifiés. Il n’y a pas de recette claire ici. Nous devons rechercher un équilibre raisonnable entre confiance et contrôle.

Construire un système d'indicateurs informatiques

Les processus ne fonctionnent pas en vase clos. Chaque processus vise à atteindre un objectif spécifique, est connecté à d'autres processus et contribue à la fourniture de services. L'objectif de chaque processus doit être défini en fonction de l'aspect du service qu'il prend en charge. Ainsi, les principaux objectifs des services sont les paramètres enregistrés dans le SLA. Les objectifs des processus et les indicateurs qui les mesurent doivent être déterminés en décomposant ces paramètres. Par exemple, le SLA peut spécifier la disponibilité cible d'un service. Il est évident que la disponibilité du service est influencée par des indicateurs tels que le temps nécessaire pour résoudre les incidents, le nombre d'incidents, le succès des changements, etc. Les valeurs cibles de ces indicateurs doivent être déterminées à partir de la valeur cible de la disponibilité du service. Il est également clair que la signification de chacun de ces indicateurs n'est pas la même et peut varier en fonction des conditions. En fonction de la signification de chaque indicateur, il convient de lui attribuer une pondération appropriée. En le décomposant en plusieurs étapes, il est possible. construire un système d'objectifs et d'indicateurs de l'organisation. Un tel système fournit à la direction de l’organisation un outil de contrôle opérationnel et de diagnostic rapide, base de prise de décision tant au niveau opérationnel que tactique, voire stratégique.

Sur quelle base construire un système d’indicateurs ?

Par quoi devez-vous vous guider lors de la construction d'un système de mesure pour les processus informatiques ? Tout d'abord, bien sûr, CobiT. Cette méthodologie propose un modèle de processus composé de trente-quatre processus. On pense que toute activité au sein d’une organisation informatique peut être classée dans l’un de ces processus. Pour chaque processus, un ensemble d’indicateurs de performance et d’efficacité est fourni. Le problème est la description superficielle et générale des métriques. Lors de l'utilisation des recommandations CobiT, les méthodes de mesure des valeurs cibles et les algorithmes de calcul des indicateurs devront être pensés de manière indépendante. Quant à ITIL®, il est plus spécifique. Vous y trouverez une liste assez détaillée d'indicateurs pour chaque processus avec des moyens de les mesurer et les tendances souhaitées. Cependant, ITIL®, comme vous le savez, ne décrit pas tous les processus informatiques possibles. Par exemple, pour les indicateurs du processus de développement logiciel, vous devrez vous tourner vers d'autres sources. En matière de mesure des processus, il est impossible de ne pas aborder le Balanced Scorecard (BSC). Cet outil, initialement développé pour la gestion d'entreprise, peut être appliqué avec succès à un système de gestion informatique. Le postulat principal du BSC est que lors de la construction d'un système d'objectifs organisationnels, il est dangereux de permettre un biais dans un sens ou dans l'autre. Par exemple, accorder toute l'attention à l'efficacité financière, sans prêter attention à la fidélisation des clients ou à l'organisation des processus internes. Il en va de même pour l'informatique. Par exemple, un biais en faveur de l’aspect technologique des infrastructures peut conduire à une perturbation des processus internes ou à une détérioration des relations avec le client. Un biais dans l’aspect service est également néfaste. Ainsi, lors de la construction d'un système d'objectifs et de mesures informatiques, il est nécessaire de mettre en évidence plusieurs perspectives qui doivent faire l'objet d'une attention équilibrée. Par exemple, vous pouvez proposer les perspectives suivantes :

• Services
• Processus internes
• Infrastructure
• Finance
• Personnel.

Dans chaque cas spécifique, le poids des objectifs pour ces perspectives peut changer. Vous pouvez également utiliser un système de perspective différent.

Qu'est-ce qu'une métrique ? A quoi sert-il ? Est-ce un champ physique ?

La métrique de notre époque est étroitement liée à la théorie de la gravité, grâce aux travaux de Hilbert et Einstein ainsi que de Grossman. Cependant, il a été introduit en mathématiques bien avant cela. Si je ne me trompe pas, parmi les premiers à l’utiliser explicitement d’une manière ou d’une autre furent Riemann et Gauss. Nous essaierons d’abord de comprendre son rôle en géométrie et ensuite seulement nous verrons comment la métrique est devenue la structure principale du GTR, la Théorie Générale de la Relativité.

Il existe aujourd'hui une définition assez détaillée et claire des espaces métriques de forme assez générale :

Un espace métrique (« équipé d'une métrique ») en mathématiques est un espace dans lequel pour deux de ses points ordonnés (c'est-à-dire que l'un d'eux est appelé le premier et l'autre est appelé le second), un nombre réel est défini de telle sorte qu'il soit égal à zéro, si et seulement si, lorsque les points coïncident et que l'inégalité du « triangle » est satisfaite - pour trois points quelconques (x, y, z), ce nombre pour toute paire (x, y) est égal ou inférieur à la somme de ces nombres pour les deux autres paires, (x,z) et (y,z). Il résulte également de la définition que ce nombre est non négatif et ne change pas (la métrique est symétrique) lorsque l'ordre des points dans la paire change.

Comme d'habitude, dès que quelque chose est défini, cette définition est élargie et le nom est étendu à d'autres espaces similaires. C'est donc ici. Par exemple, strictement formellement, ne sera pas métrique selon la définition donnée ci-dessus, car en eux, le nombre « métrique », l'intervalle, peut être nul pour deux points différents, et son carré peut aussi être un nombre réel négatif. Cependant, ils sont inclus dans la famille des espaces métriques presque dès le début, simplement supprimer l'exigence correspondante dans la définition, élargir la définition.

De plus, la métrique peut également être déterminée non pas pour tous les points de l'espace, mais uniquement pour ceux infiniment proches (localement). De tels espaces sont appelés riemanniens et, dans la vie de tous les jours, ils sont également appelés métriques. De plus, Ce sont les espaces riemanniens qui ont rendu la métrique si célèbre et qui ont attiré l'attention des mathématiciens et des physiciens, et qui sont familières même à de nombreuses personnes peu liées à ces sciences..

En fin de compte, nous discuterons ici de la métrique en relation spécifiquement avec les espaces riemanniens, c'est-à-dire dans un sens local. Et même localement, manifestement indéfini.

La définition mathématique formelle et ses extensions sont le résultat de la compréhension et de la clarification du concept de métrique. Voyons d'où est né ce concept et à quelles propriétés du monde réel il était initialement associé.

Toute géométrie est issue de ces concepts initialement formalisés par Euclide. La métrique aussi. En géométrie euclidienne (pour plus de simplicité et de clarté, nous parlerons de géométrie bidimensionnelle, et donc de géométrie d'un plan) il y a la notion de distance entre deux points. Très souvent, même aujourd’hui, la métrique est appelée distance. Parce que pour le plan euclidien, la distance est une métrique, et une métrique est une distance. Et c’est exactement ainsi que cela a été conceptualisé au tout début. Bien que, comme je vais essayer de le montrer, cela ne s’applique au concept moderne de métrique que dans un sens très limité, avec de nombreuses réserves et conditions.

La distance sur le plan euclidien (sur une feuille de papier) semble être une chose extrêmement simple et évidente. En effet, à l’aide d’une règle, vous pouvez tracer une ligne droite entre deux points quelconques et mesurer sa longueur. Le nombre résultant sera la distance. En prenant le troisième point, vous pouvez dessiner un triangle et vous assurer que cette distance (pour deux points quelconques du plan) satisfait exactement à la définition ci-dessus. En fait, la définition a été copiée une à une à partir des propriétés de la distance euclidienne sur un plan. Et le mot « métrique » est initialement associé à la mesure (à l'aide d'un mètre), à ​​la « métrisation » d'un avion.

Pourquoi fallait-il mesurer les distances, pour réaliser cette métrisation même de l’avion ? Eh bien, chacun a probablement sa propre idée de la raison pour laquelle les distances sont mesurées dans la vraie vie. Et en géométrie, ils ont vraiment commencé à y réfléchir lorsqu'ils ont introduit les coordonnées afin de décrire chaque point du plan séparément et de manière unique par rapport aux autres. Le système de coordonnées sur l’avion sera clairement plus complexe que la simple distance entre deux points. Voici l'origine, et les axes de coordonnées, et les distances (comment s'en passer ?) de l'origine aux projections du point sur l'axe. Il semble clair pourquoi un système de coordonnées est nécessaire - il s'agit d'une grille continue de lignes perpendiculaires les unes aux autres (si les coordonnées sont cartésiennes), remplissant complètement le plan et résolvant ainsi le problème de l'adresse de n'importe quel point de celui-ci.

Il s'avère que la métrique est la distance et les coordonnées sont des distances. Y a-t-il une différence ? Coordonnées saisies. Pourquoi alors une métrique ? Il y a une différence, et elle est très significative. Le choix des systèmes de coordonnées implique une certaine liberté. Dans les systèmes cartésiens, nous utilisons des lignes droites comme axes. Mais on peut aussi utiliser des courbes ? Peut. Et toutes sortes de tortueuses aussi. Pouvons-nous mesurer la distance le long de telles lignes ? Certainement. Mesurer la distance, la longueur le long d'une ligne n'est pas liée au type de ligne dont il s'agit. Le chemin courbe a également une longueur et des bornes kilométriques peuvent y être placées. Mais la métrique dans l’espace euclidien n’est pas une distance arbitraire. C'est la longueur d'une droite reliant deux points. Direct. Qu'est-ce que c'est? Quelle ligne est droite et laquelle est courbe ? Dans les cours scolaires, les lignes droites sont un axiome. Nous les voyons et avons l'idée. Mais en géométrie générale, les lignes droites (c'est en soi un nom, une étiquette, rien de plus !) peuvent être définies comme des lignes spéciales parmi toutes les lignes possibles reliant deux points. À savoir, les plus courts ayant la longueur la plus courte. (Et dans certains cas, pour certains espaces mathématiques, au contraire, le plus long, ayant la plus grande longueur.) Il semblerait que nous ayons saisi la différence entre une métrique et une distance arbitraire entre deux points. Ce n’est pas le cas. Nous avons pris le mauvais chemin. Oui, c’est vrai, les lignes droites sont les plus courtes de l’espace euclidien. Mais la métrique ne se limite pas à la longueur du chemin le plus court. Non. C'est sa propriété secondaire. Dans l’espace euclidien, la métrique n’est pas seulement la distance entre deux points. La métrique est avant tout une image du théorème de Pythagore. Un théorème qui permet de calculer la distance entre deux points si l'on connaît leurs coordonnées et deux autres distances. De plus, elle est calculée de manière très spécifique, comme la racine carrée de la somme des carrés des distances de coordonnées. La métrique euclidienne n’est pas une forme linéaire de distances de coordonnées, mais une forme quadratique ! Seules les propriétés spécifiques du plan euclidien rendent si simple la connexion de la métrique avec les chemins les plus courts reliant les points. Les distances sont toujours des fonctions linéaires du déplacement le long du chemin. La métrique est une fonction quadratique de ces déplacements. Et c’est là que réside la différence fondamentale entre la métrique et la distance intuitivement comprise, en tant que fonction linéaire du déplacement à partir d’un point. De plus, pour nous en général, la distance est directement associée au déplacement lui-même.

Pourquoi, pourquoi diable la fonction de déplacement quadratique est-elle si importante ? Et a-t-elle vraiment le droit de s’appeler distance au sens plein du terme ? Ou s'agit-il d'une propriété plutôt spécifique du seul espace euclidien (enfin, ou d'une famille d'espaces proches de l'espace euclidien) ?

Faisons un petit pas de côté et parlons plus en détail des propriétés des unités de mesure. Demandons-nous : à quoi doivent ressembler les règles pour pouvoir dessiner une grille de coordonnées sur une feuille de papier ? Solide, résistant et immuable, dites-vous. Et pourquoi des « dirigeants » ? Un seul suffit ! C'est vrai, s'il peut être tourné à volonté dans le plan du papier et déplacé le long de celui-ci. Avez-vous remarqué le « si » ? Oui, nous avons la possibilité d'utiliser une telle règle par rapport à un avion. La règle est seule, le plan est seul, mais le plan nous permet de « fixer » notre règle à lui-même. Qu'en est-il d'une surface sphérique ? Quelle que soit la manière dont vous l’appliquez, tout dépasse de la surface. Je veux juste le plier, abandonner sa dureté et sa rigidité. Laissons de côté cette réflexion pour l'instant. Que voulons-nous de plus de la ligne ? La dureté et la rigidité impliquent en réalité autre chose, bien plus important pour nous lors de la prise de mesures : une garantie de l'invariabilité de la règle choisie. Nous voulons mesurer avec la même échelle. Pourquoi est-ce nécessaire ? Comment pourquoi ?! Pouvoir comparer les résultats de mesures partout dans l’avion. Quelle que soit la manière dont nous tournons la règle, quelle que soit la manière dont nous la déplaçons, certaines de ses propriétés, la longueur, doivent rester inchangées. La longueur est la distance entre deux points (en ligne droite) sur une règle. Très similaire à la métrique. Mais la métrique est introduite (ou existe) dans le plan, pour des points du plan, et qu'est-ce que la règle a à voir là-dedans ? Et malgré le fait que la métrique est précisément l'image de la longueur constante d'une règle abstraite poussée jusqu'à sa conclusion logique, arrachée à la règle la plus extérieure et affectée à chaque point du plan.

Bien que nos règles soient toujours des objets externes pour les distances qu'elles mesurent sur un plan, nous les considérons également comme des échelles internes appartenant au plan. Par conséquent, nous parlons d’une propriété générale des dirigeants externes et internes. Et cette propriété est l'une des deux principales - la grandeur, ce qui fait de l'échelle une unité de mesure (la deuxième propriété de l'échelle est la direction). Pour l'espace euclidien, cette propriété semble indépendante de la direction de la règle et de sa position (à partir d'un point de l'espace). Il existe deux manières d’exprimer cette indépendance. La première méthode, une vision passive des choses, parle de l'invariance d'une quantité, de sa similitude sous un choix arbitraire de coordonnées admissibles. La deuxième méthode, le regard actif, parle d'invariance sous translation et rotation, résultat d'une transition explicite d'un point à un autre. Ces méthodes ne sont pas équivalentes les unes aux autres. La première est simplement une formalisation de l’affirmation selon laquelle la quantité qui existe à un endroit (point) donné est la même quel que soit le point de vue. La seconde indique également que les valeurs des quantités en différents points sont les mêmes. Il s’agit évidemment d’une déclaration beaucoup plus forte.

Attardons-nous pour l'instant sur l'invariance de la valeur d'échelle pour un choix arbitraire de coordonnées. Oups ! Comment ça ? Pour attribuer des coordonnées à des points, vous devez déjà disposer d'échelles. Ceux. cette même ligne. Quelles sont les autres coordonnées ? D'autres lignes ? En fait, c'est exactement ça ! Mais! Le fait que dans le plan euclidien nous puissions faire pivoter notre règle à un point que nous souhaitons donne l’impression que les coordonnées peuvent être modifiées sans changer la règle. C'est une illusion, mais une illusion tellement agréable ! Comme nous y sommes habitués ! Nous disons toujours – un système de coordonnées pivoté. Et cette illusion est basée sur une certaine propriété postulée d'échelle dans le plan euclidien - l'invariance de sa « longueur » sous rotation arbitraire en un point, c'est-à-dire avec un changement arbitraire de la deuxième propriété d'échelle, la direction. Et cette propriété a lieu en tout point du plan euclidien. L'échelle a partout une « longueur » qui ne dépend pas du choix local des directions des axes de coordonnées. C'est un postulat pour l'espace euclidien. Et comment détermine-t-on cette longueur ? Dans un système de coordonnées dans lequel l'échelle sélectionnée est une unité de mesure le long d'un des axes, nous la définissons très simplement - c'est cette même unité. Et dans un système de coordonnées (rectangulaire), dans lequel l'échelle sélectionnée ne coïncide avec aucun des axes ? Utilisation du théorème de Pythagore. Les théorèmes sont des théorèmes, mais il y a ici une petite tromperie. En fait, ce théorème devrait remplacer certains des axiomes formulés par Euclide. Elle leur est équivalente. Et avec une généralisation plus poussée de la géométrie (pour des surfaces arbitraires, par exemple), ils s'appuient précisément sur la méthode de calcul de la longueur de l'échelle. En fait, cette méthode est reléguée à la catégorie des axiomes.

Répétons maintenant quelque chose qui sous-tend la géométrie, qui nous permet d'attribuer des coordonnées aux points du plan.

Nous parlons d'une unité de mesure, d'une échelle. L’échelle existe à tout moment. Il a une ampleur – une « longueur » et une direction. La longueur est invariante (ne change pas) lorsque la direction en un point change. En coordonnées rectangulaires dans l'espace euclidien, le carré de la longueur d'une échelle dirigée arbitrairement à partir d'un point est égal à la somme des carrés de ses projections sur l'axe. Cette quantité géométrique est aussi appelée vecteur. L'échelle est donc un vecteur. Et la « longueur » du vecteur est aussi appelée la norme. Bien. Mais où est la métrique ici ? UN métrique avec cette approche, il y a un moyen d'attribuer une norme à n'importe quel vecteur en chaque point, une méthode de calcul de cette norme pour une position arbitraire de ce vecteur par rapport aux vecteurs qui composent la base, point de référence(ceux qui déterminent les directions des axes de coordonnées à partir d'un point donné et ont par définition une norme unitaire, c'est-à-dire des unités de mesure). Il est très important que cette méthode soit définie pour chaque point de l'espace (plan dans ce cas). C'est donc une propriété de cet espace et de ses vecteurs internes, et non des objets extérieurs à l'espace.

Excusez-moi, mais déjà au tout début nous avons donné une définition des espaces métriques. Pourquoi une nouvelle définition ? Et est-ce que cela correspond à l'ancien ? Mais pourquoi. Nous avons indiqué ici comment exactement ce nombre réel est fixé et déterminé. A savoir, la distance entre les points est égale à la « longueur », la norme du vecteur reliant ces points (dans l'espace euclidien). Le fait qu'un vecteur ait une certaine norme, indépendante du point de vue sur lui (le choix du point de référence) est la définition d'un vecteur. La condition la plus importante, qui rend l'espace métrique, est l'exigence que des vecteurs avec une norme donnée existent en tout point de l'espace et dans toutes les directions. Et cette définition est tout à fait cohérente avec celle donnée au tout début. Est-il possible de définir différemment une métrique sur un certain espace ? En principe, c'est possible. Et même à bien des égards. Seulement, ce seront des classes d’espaces complètement différentes qui n’incluent pas l’espace euclidien, même à titre de cas particulier.

Pourquoi l’espace euclidien est-il spécial pour nous ? Eh bien, comment ça se passe ? À première vue, l’espace même dans lequel nous vivons possède précisément ces propriétés. Oui, à y regarder de plus près, ce n’est pas tout à fait ça. Mais il y a une différence entre « pas tout à fait comme ça » et « pas du tout comme ça » ?! Bien que l’ensemble des mots semble être le même. Ainsi notre espace-temps, s'il n'est pas euclidien, peut sous certaines conditions en être très proche. Par conséquent, il faut choisir dans la famille d’espaces dans laquelle existe l’espace euclidien. C'est ce que nous faisons. Mais qu’y a-t-il de si spécial dans l’espace euclidien qui s’exprime dans certaines propriétés de sa métrique ? Il existe de nombreuses propriétés, la plupart d'entre elles ont déjà été mentionnées ci-dessus. Je vais essayer de formuler cette fonctionnalité de manière assez compacte. L'espace euclidien est tel qu'il est possible de choisir des échelles (c'est-à-dire de saisir des coordonnées) pour qu'il soit entièrement rempli d'une grille de coordonnées rectangulaire. C'est peut-être à ce moment-là que la métrique en chaque point de l'espace est la même. Essentiellement, cela signifie que les échelles nécessaires à cela existent en chaque point de l’espace et qu’elles sont toutes identiques à une seule. Pour tout l'espace, une seule règle suffit, qui peut être déplacée vers n'importe quel point (au sens actif) sans changer ni sa grandeur ni sa direction.

Ci-dessus, j'ai posé la question de savoir pourquoi la métrique est une fonction quadratique du déplacement. Cela reste pour l’instant sans réponse. Nous y reviendrons certainement. Maintenant, prenez note pour l'avenir - la métrique de la famille d'espaces dont nous avons besoin est une quantité invariante sous transformations de coordonnées. Nous avons parlé jusqu'à présent des coordonnées cartésiennes, mais je soulignerai immédiatement ici que cela est vrai pour toutes les transformations de coordonnées autorisées en un point donné dans un espace donné. Une quantité qui est invariante (ne change pas) lors des transformations de coordonnées a un autre nom spécial en géométrie : scalaire. Regardez combien il y a de noms pour la même chose - constant, invariant, scalaire... Il y a peut-être autre chose, cela ne me vient pas immédiatement à l'esprit. Cela témoigne de l’importance du concept lui-même. Ainsi, une métrique est un scalaire dans un certain sens. Bien entendu, il existe d’autres scalaires en géométrie.

Pourquoi dans un « certain sens » ? Parce que la notion de métrique comprend deux points et non un ! Et le vecteur est connecté (défini) à un seul point. Il s'avère que je vous ai induit en erreur ? Non, je n'ai tout simplement pas dit tout ce qu'il fallait dire. Mais il faut dire que la métrique n'est pas la norme d'un vecteur arbitraire, mais seulement d'un vecteur de déplacement infinitésimal à partir d'un point donné dans une direction arbitraire. Lorsque cette norme ne dépend pas de la direction de déplacement à partir d'un point, alors sa valeur scalaire peut être considérée comme une propriété de ce seul point uniquement. En même temps, cela reste la règle pour calculer la norme pour tout autre vecteur. Comme ça.

Quelque chose ne va pas... Les normes sont différentes selon les vecteurs ! Et la métrique est scalaire, la valeur est la même. Contradiction!

Il n’y a aucune contradiction. Je l'ai dit clairement : la règle de calcul. Pour tous les vecteurs. Et la valeur spécifique elle-même, également appelée métrique, est calculée selon cette règle uniquement pour un seul vecteur, le déplacement. Notre langage est habitué aux libertés, aux omissions, aux abréviations... Nous avons donc l'habitude d'appeler à la fois un scalaire et la règle de son calcul une métrique. En fait, c'est presque la même chose. Presque, mais pas tout à fait. Il est toujours important de voir la différence entre une règle et le résultat obtenu avec son aide. Qu’est-ce qui est le plus important : la règle ou le résultat ? Curieusement, dans ce cas, la règle... Par conséquent, beaucoup plus souvent en géométrie et en physique, lorsqu'ils parlent de métrique, ils parlent de la règle. Seuls les mathématiciens très têtus préfèrent parler strictement du résultat. Et il y a des raisons à cela, mais nous en parlerons davantage ailleurs.

Je voudrais également noter que d'une manière plus habituelle de présentation, lorsque les concepts d'espaces vectoriels sont pris comme base, la métrique est introduite comme un produit scalaire par paire de tous les vecteurs de base et de référence. Dans ce cas, le produit scalaire des vecteurs doit être défini au préalable. Et dans le chemin que j'ai suivi ici, c'est la présence d'un tenseur métrique dans l'espace qui permet d'introduire et de définir le produit scalaire des vecteurs. Ici la métrique est primaire, sa présence permet d'introduire le produit scalaire comme une sorte d'invariant reliant deux vecteurs différents. Si un scalaire est calculé en utilisant une métrique pour le même vecteur, alors c'est simplement sa norme. Si ce scalaire est calculé pour deux vecteurs différents, alors c'est leur produit scalaire. Si c'est aussi la norme d'un vecteur infinitésimal, alors il est tout à fait acceptable de l'appeler simplement une métrique en un point donné.

Et que pouvons-nous dire de la métrique en règle générale ? Ici, nous devrons utiliser des formules. Notons x i les coordonnées le long de l'axe numéro i. Et le déplacement d'un point donné vers le point voisin dx i. Attention, les coordonnées ne sont pas un vecteur ! Et le déplacement n'est qu'un vecteur ! Dans une telle notation, la « distance » métrique entre un point donné et le point voisin, selon le théorème de Pythagore, sera calculée à l'aide de la formule

ds 2 = g ik dx je dx k

Sur la gauche, voici le carré de la « distance » métrique entre les points, dont la « coordonnée » (c'est-à-dire le long de chaque ligne de coordonnées individuelle) est spécifiée par le vecteur de déplacement dx i. À droite se trouve la somme des indices coïncidants de tous les produits par paires des composantes du vecteur déplacement avec les coefficients correspondants. Et leur tableau, la matrice de coefficients g ik, qui fixe la règle de calcul de la norme métrique, est appelé tenseur métrique. Et c’est ce tenseur que l’on appelle dans la plupart des cas la métrique. Le terme « » est ici extrêmement important. Et cela signifie que dans un autre système de coordonnées, la formule écrite ci-dessus sera la même, seul le tableau contiendra d'autres coefficients (dans le cas général), qui sont calculés de manière strictement définie à travers ceux-ci et les coefficients de conversion de coordonnées. L'espace euclidien se caractérise par le fait qu'en coordonnées cartésiennes la forme de ce tenseur est extrêmement simple et la même dans toutes les coordonnées cartésiennes. La matrice g ik ne contient que des uns sur la diagonale (pour i=k), et les nombres restants sont des zéros. Si des coordonnées non cartésiennes sont utilisées dans l'espace euclidien, la matrice n'y paraîtra pas si simple.

Nous avons donc écrit une règle qui détermine la « distance » métrique entre deux points dans l’espace euclidien. Cette règle est écrite pour deux points arbitrairement proches. Dans l'espace euclidien, c'est-à-dire dans celui dans lequel le tenseur métrique peut être diagonal avec des unités sur la diagonale dans un système de coordonnées en chaque point, il n'y a pas de différence fondamentale entre les vecteurs de déplacement finis et infinitésimaux. Mais on s'intéresse davantage au cas des espaces riemanniens (comme la surface d'une balle par exemple), où cette différence est significative. Ainsi, nous supposons que le tenseur métrique n'est généralement pas diagonal et change lorsqu'on se déplace d'un point à l'autre dans l'espace. Mais le résultat de son application, ds 2, reste en chaque point indépendant du choix de la direction de déplacement et du point lui-même. C'est une condition très stricte (moins stricte que la condition euclidienne) et c'est lorsqu'elle est remplie que l'espace est dit riemannien.

Vous avez peut-être remarqué que très souvent je mets les mots « longueur » et distance entre guillemets. C'est pourquoi je fais ça. Dans le cas de l’espace euclidien plan et tridimensionnel, la « distance » et la « longueur » métriques semblent être exactement les mêmes que les distances ordinaires mesurées avec des règles. De plus, ces concepts ont été introduits pour formaliser le travail avec les résultats de mesure. Pourquoi alors « semblent coïncider » ? C'est drôle, mais c'est exactement le cas lorsque des mathématiciens, avec l'eau sale (dont ils n'avaient pas besoin), ont jeté l'enfant hors du bain. Non, ils ont laissé quelque chose, mais ce qui restait a cessé d'être un enfant (distance). Ceci est facile à voir même en utilisant le plan euclidien comme exemple.

Permettez-moi de vous rappeler que la « distance » métrique ne dépend pas du choix de coordonnées cartésiennes (et pas seulement), par exemple sur une feuille de papier. Soit dans certaines coordonnées cette distance entre deux points sur l'axe des coordonnées soit égale à 10. Est-il possible d'indiquer d'autres coordonnées dans lesquelles la distance entre ces mêmes points sera égale à 1 ? Aucun problème. Tracez simplement comme une unité le long des mêmes axes une nouvelle unité égale aux 10 précédentes. L’espace euclidien a-t-il changé à cause de cela ? Quel est le problème? Mais le fait est que lorsque nous mesurons quelque chose, il ne suffit pas d’en connaître le nombre. Il faut également savoir quelles unités ont été utilisées pour obtenir ce nombre. Les mathématiques sous la forme familière à tout le monde aujourd'hui ne s'y intéressent pas. Elle ne s'occupe que des chiffres. Le choix des unités de mesure a été fait avant l’application des mathématiques et ne devrait plus changer ! Mais nos distances et longueurs sans échelles indiquées ne nous disent rien ! Les mathématiques s'en moquent. Lorsqu’il s’agit de « distance » métrique, son application formelle est indifférente au choix de l’échelle. Même des mètres, même des brasses. Seuls les chiffres comptent. C'est pour cela que j'ai mis des guillemets. Savez-vous quel effet secondaire cette approche a sur les mathématiques des espaces riemanniens ? Voici ce que c'est. Cela n’a aucun sens de considérer le changement d’échelle d’un point à l’autre. Seulement un changement de direction. Et ceci malgré le fait que changer d'échelle à l'aide de transformations de coordonnées dans une telle géométrie est une chose tout à fait ordinaire. Est-il possible d’inclure dans la géométrie une prise en compte cohérente des propriétés des échelles dans leur intégralité ? Peut. Seulement Pour ce faire, vous devrez supprimer de nombreuses conventions et apprendre à appeler les choses par leur nom propre. L’une des premières étapes consistera à réaliser qu’aucune mesure n’est essentiellement une distance et ne peut l’être. Cela a certainement une signification physique, et très importante en plus. Mais différent.

En physique, l'attention sur le rôle de la métrique a été attirée avec l'avènement des théories de la relativité - d'abord spéciale, puis générale, dans lesquelles la métrique est devenue la structure centrale de la théorie. La théorie de la relativité restreinte a été fondée sur le fait que la distance tridimensionnelle n'est pas un scalaire du point de vue d'un ensemble de systèmes de référence physiques inertiels se déplaçant les uns par rapport aux autres de manière uniforme et rectiligne. Une autre quantité s’est avérée être un scalaire, un invariant, appelé intervalle. Intervalle entre les événements. Et pour calculer sa valeur, il faut prendre en compte l'intervalle de temps entre ces événements. De plus, il s'est avéré que la règle de calcul de la métrique (et l'intervalle a immédiatement commencé à être considéré comme une métrique dans l'espace-temps unifié, l'espace des événements) est différente de la règle euclidienne habituelle dans l'espace tridimensionnel. Similaire, mais un peu différent. L'espace métrique correspondant à quatre dimensions introduit Herman Minkowski, a commencé à être appelé. C'est le travail de Minkowski qui a attiré l'attention des physiciens, dont Einstein, sur l'importance du concept de métrique en tant que grandeur physique, et pas seulement mathématique.

La théorie générale de la relativité a également pris en compte les systèmes de référence physiques accélérés les uns par rapport aux autres. Elle a ainsi pu donner une description des phénomènes gravitationnels à un nouveau niveau par rapport à la théorie de Newton. Et elle a pu y parvenir en donnant un sens au champ physique spécifiquement à la métrique - à la fois la valeur et la règle, le tenseur métrique. En même temps, il utilise la construction mathématique de l’espace riemannien comme image de l’espace-temps. Nous n'entrerons pas trop dans les détails de cette théorie. Entre autres choses, cette théorie affirme que le monde (espace-temps), dans lequel se trouvent des corps massifs, c'est-à-dire des corps qui s'attirent, a une métrique différente de la métrique euclidienne qui nous est si agréable. Toutes les déclarations ci-dessous sont équivalentes :

Déclaration physique. Les corps ponctuels ayant une masse sont attirés les uns vers les autres.

Dans l’espace-temps, où se trouvent des corps massifs, il est impossible d’introduire partout une grille rectangulaire rigide. Il n’existe aucun instrument de mesure permettant de le faire. Aussi petites soient-elles, les « cellules » de la grille résultante seront toujours des quadrangles courbes.

Vous pouvez choisir une échelle avec la même valeur (norme) pour tout l'espace-temps. Une telle échelle peut être déplacée d'un point à un autre et comparée à ce qui existe déjà. MAIS! Même si le déplacement est infinitésimal, les directions des échelles comparées ne coïncideront généralement pas. Plus la balance est forte, plus elle est proche du corps avec la masse et plus cette même masse est grande. Ce n'est que là où il n'y a pas de masses (mais voici une question pour vous : qu'en est-il des échelles elles-mêmes ?) que les directions coïncideront.

Dans la région de l'espace-temps contenant des corps massifs, il n'existe pas de système de coordonnées dans lequel le tenseur métrique en chaque point est représenté par une matrice nulle partout sauf pour la diagonale sur laquelle se trouvent les uns.

La différence entre la métrique et la métrique euclidienne est une manifestation de la présence d'un champ gravitationnel (champ gravitationnel). De plus, le champ du tenseur métrique est le champ gravitationnel.

De nombreuses autres déclarations similaires pourraient être citées, mais je voudrais maintenant attirer votre attention sur la dernière. Courbure. C'est quelque chose dont nous n'avons pas encore discuté. Qu’est-ce que cela a à voir avec les métriques ? Dans l’ensemble – aucun ! est un concept plus général que la métrique. Dans quel sens ?

La famille des espaces riemanniens, qui comprend également les espaces euclidiens, fait elle-même partie de la famille plus générale. Ces espaces, d'une manière générale, n'impliquent pas l'existence d'une quantité telle qu'une métrique pour chacune de ses paires de points. Mais leur propriété nécessaire est l'existence de deux autres structures liées l'une à l'autre : la connexion affine et la courbure. Et ce n’est que sous certaines conditions de courbure (ou de connectivité) qu’une métrique existe dans de tels espaces. Alors ces espaces sont appelés riemanniens. Tout espace riemannien a une connectivité et une courbure. Mais pas l’inverse.

Mais on ne peut pas non plus dire que la métrique est secondaire par rapport à la connectivité ou à la courbure. Non. L'existence d'une métrique est un énoncé de certaines propriétés de connectivité, et donc de courbure. Dans l’interprétation standard de la relativité générale, la métrique est considérée comme une structure plus importante qui forme la forme de la théorie. Et la connexion affine et la courbure s'avèrent secondaires, dérivées de la métrique. Cette interprétation a été formulée par Einstein, à une époque où les mathématiques n'avaient pas encore développé une compréhension suffisamment avancée et cohérente de la hiérarchie d'importance des structures qui déterminent les propriétés de la famille des espaces menant aux espaces euclidiens. Après la création de l'appareil GTR, principalement grâce aux travaux de Weyl et Schouten (pas seulement eux bien sûr), les mathématiques des espaces de connexion affine ont été développées. En réalité, ces travaux ont été stimulés par l’émergence de la Relativité Générale. Comme vous pouvez le constater, l’interprétation canonique de l’importance des structures dans la relativité générale ne coïncide pas avec la vision actuelle des mathématiques sur leurs relations. Cette interprétation canonique n’est rien d’autre que l’identification de certaines structures mathématiques avec des champs physiques. Leur donner une signification physique.

En relativité générale, il existe deux méthodes pour décrire l'espace-temps. Le premier d’entre eux est l’espace-temps lui-même en tant qu’espace d’événements. Les événements qui remplissent continuellement n’importe quelle région de l’espace-temps sont caractérisés à l’aide de quatre coordonnées. Par conséquent, les systèmes de coordonnées sont supposés être saisis. Le nom même de la théorie attire précisément l'attention sur ce point : les lois de la nature qui se déroulent dans un tel espace-temps doivent être formulées de manière identique par rapport à tout système de coordonnées admissible. Cette exigence est appelée principe de relativité générale. Notez que ce plan théorique ne dit encore rien sur la présence ou l'absence d'une métrique dans l'espace-temps, mais fournit déjà la base de l'existence d'une connexion affine dans celui-ci (avec la courbure et d'autres structures mathématiques dérivées). Naturellement, déjà à ce niveau, il est nécessaire de donner une signification physique aux objets mathématiques de la théorie. Le voici. Un point de l'espace-temps représente un événement caractérisé d'une part par sa position et son moment temporel, d'autre part par quatre coordonnées. Quelque chose d'étrange ? Ce n'est pas la même chose ? Mais non. En relativité générale, ce n'est pas la même chose. Les coordonnées de la forme la plus générale, admissibles en théorie, ne peuvent être interprétées comme des positions et des moments du temps. Cette possibilité n'est postulée que pour un groupe très limité de coordonnées - celles localement inertielles, qui n'existent qu'au voisinage de chaque point, mais pas dans toute la région couverte par le système de coordonnées général. C'est un autre postulat de la théorie. C'est un tel hybride. Je noterai que c'est là que se posent de nombreux problèmes de la relativité générale, mais je ne les traiterai pas maintenant.

Le deuxième plan de la théorie peut être considéré comme la partie de ses postulats, qui introduit en considération le phénomène physique dans l'espace-temps - la gravité, l'attraction mutuelle de corps massifs. On avance que ce phénomène physique peut être, sous certaines conditions, détruit par un simple choix d'un référentiel approprié, à savoir un référentiel localement inertiel. Pour tous les corps qui ont la même accélération (chute libre) en raison de la présence dans une petite région du champ gravitationnel d'un corps massif distant, ce champ n'est pas observable dans un certain référentiel. Formellement, les postulats s'arrêtent là, mais en fait l'équation principale de la théorie, qui introduit la métrique en considération, se réfère également aux postulats, à la fois comme énoncé mathématique et comme énoncé physique. Même si je ne vais pas entrer dans les détails de l'équation (du système d'équations, en fait), il est quand même utile de l'avoir sous les yeux :

R ik = -с (T ik – 1/2 T g ik)

Ici à gauche se trouve ce qu'on appelle le tenseur de Ricci, une certaine convolution (combinaison de composants constitutifs) du tenseur de courbure complet. On peut à juste titre aussi l'appeler courbure. À droite, une construction du tenseur énergie-impulsion (une grandeur purement physique en relativité générale, singulière pour les corps massifs et externe à l'espace-temps, qui est simplement un porteur d'énergie-impulsion dans cette théorie) et une métrique, qui est supposé exister. De plus, cette métrique, en tant que quantité scalaire produite par le tenseur métrique, est la même pour tous les points de la région. Il existe également une constante dimensionnelle c, proportionnelle à la constante gravitationnelle. À partir de cette équation, il est clair que, dans l’ensemble, la courbure est comparée à l’énergie-impulsion et à la métrique. La signification physique est attribuée à la métrique en Relativité Générale après avoir obtenu une solution à ces équations. Puisque dans cette solution les coefficients métriques sont linéairement liés au potentiel du champ gravitationnel (calculé à travers lui), la signification des potentiels de ce champ est attribuée au tenseur métrique. Avec cette approche, la courbure devrait avoir une signification similaire. Et la connexion affine est interprétée comme une intensité de champ. Cette interprétation est incorrecte, son erreur est associée au paradoxe mentionné ci-dessus dans l'interprétation des coordonnées. Naturellement, cela ne passe pas inaperçu pour la théorie et se manifeste dans un certain nombre de problèmes bien connus (non-localisabilité de l'énergie du champ gravitationnel, interprétation des singularités), qui ne se posent tout simplement pas lorsqu'on donne aux grandeurs géométriques la valeur physique correcte. signification. Tout cela est discuté plus en détail dans le livre « ».

Cependant, même en relativité générale, la métrique, en plus du sens qui lui est artificiellement imposé, a inévitablement une autre signification physique. Rappelons ce qui caractérise la métrique dans le cas de l'espace euclidien ? Une chose très importante pour les mesures dans l’espace-temps est la possibilité d’introduire dans cet espace une grille de coordonnées rectangulaires rigides qui remplit uniformément toute la zone. Cette grille est appelée référentiel inertiel en physique. Un tel système de référence (système de coordonnées) correspond à une et une seule forme standard du tenseur métrique. Dans les systèmes de référence qui se déplacent arbitrairement par rapport au système inertiel, la forme du tenseur métrique est différente de celle standard. D'un point de vue physique, le rôle de la « grille de référence » est assez transparent. Si vous disposez d'un corps de référence rigide dont chaque point est équipé de la même horloge existant dans le temps, alors il met simplement en œuvre une telle grille. Pour l’espace vide, nous inventons simplement un tel corps de référence, en lui fournissant (l’espace) exactement la même métrique. Dans cette compréhension, le tenseur métrique, différent du tenseur euclidien standard, dit que le système de référence (coordonnées) est construit à l'aide d'un corps non rigide, et peut-être que l'horloge fonctionne également différemment en ses points. Qu'est-ce que je veux dire par là ? Et quoi le tenseur métrique est une image mathématique de certaines des propriétés les plus importantes du système de référence pour nous. Les propriétés qui caractérisent absolument la structure du système de référence lui-même nous permettent de déterminer à quel point il est « bon », à quel point il est différent de l'idéal – le référentiel inertiel. GTR utilise donc le tenseur métrique précisément comme une telle image. Comment une image d'instruments de mesure répartis dans une zone de référence, changeant éventuellement d'orientation de point en point, mais ayant partout la même norme, commune à tous les vecteurs de référence. La métrique, considérée comme scalaire, est cette norme, la grandeur de l'échelle. La métrique en tant que tenseur nous permet de considérer le mouvement relatif arbitraire les uns par rapport aux autres de toutes les échelles qui composent le corps de référence. Et la Relativité Générale décrit une situation où dans l'espace-temps il est possible d'avoir un tel corps de référence, réel ou imaginaire.

Cette vision des métriques est certainement correcte. De plus, il est également productif, car il attire immédiatement l’attention sur les accords restants du GTR. En effet, nous avons autorisé l'utilisation de cadres de référence dans lesquels les échelles en différents points peuvent être orientées différemment (dans un monde à quatre dimensions, l'orientation inclut également le mouvement). Et nous exigeons toujours qu'une caractéristique absolue de l'échelle, sa norme (intervalle) reste la même. Par conséquent, l’affirmation de la Relativité Générale selon laquelle elle prend en considération tous les systèmes de référence possibles est excessive. Ce n'est pas si général, la relativité dans cette théorie.

© Gavryusev V.G.
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Dans cet article, je souhaite examiner certaines des mesures d’assurance qualité les plus importantes à mon avis. Il s'agira de tels indicateurs, coefficients et indicateurs qui vous permettront de dresser un portrait global de ce qui se passe sur le projet en termes de qualité et de déterminer les étapes pour l'améliorer. Les mesures couvriront 5 domaines différents : les exigences, la qualité des logiciels, l'efficacité de l'équipe de test, la qualité du travail d'assurance qualité et les commentaires. Il est important de mesurer et de suivre les indicateurs simultanément dans différentes sections du processus de développement logiciel afin de détecter les problèmes courants et fondamentaux et d'être en mesure de configurer et d'optimiser l'ensemble du processus.

Groupe 1 - Exigences pour le logiciel en cours de développement

Ce groupe de mesures nous permettra d'évaluer dans quelle mesure nous avons élaboré les exigences (user story) du logiciel, d'identifier les vulnérabilités et les fonctionnalités logicielles les plus complexes et potentiellement problématiques, et de comprendre où un contrôle spécial est requis :

1. Exigences de couverture des tests

En d’autres termes, il s’agit du nombre de tests par exigence.

Objectif métrique : identifier les faiblesses dans la couverture des tests et mettre en évidence les risques.

• Bien entendu, cette métrique ne fonctionnera que si les exigences sont bien décomposées et plus ou moins équivalentes. Bien sûr, cela n'est pas toujours possible, mais si vous pouvez rendre les exigences suffisamment atomiques, alors cette métrique montrera l'écart de la couverture de chaque exigence par rapport au niveau moyen. Plus la valeur diffère de 1, moins/plus de tests sont écrits pour une exigence que d'habitude.
• La chose la plus importante à laquelle il faut prêter attention sont les exigences pour lesquelles le coefficient sera égal ou proche de 0. Pour celles-ci, il faut penser à ajouter des tests.
• Si les exigences ne sont pas atomiques, cette métrique garantira uniquement qu'il y a au moins 1 test pour chaque exigence. Pour cela, le coefficient doit toujours être supérieur à 1.

2. Degré d’interdépendance des exigences

La métrique est calculée comme le nombre moyen de connexions de chaque exigence avec d’autres exigences.

Objectif métrique : fournir une base pour évaluer le calendrier des tests et prendre en compte les risques possibles. Connaissant le degré d'influence mutuelle des exigences les unes sur les autres, vous pouvez, par exemple, prévoir du temps et des cas supplémentaires pour des tests de bout en bout, travailler sur des contrôles de régression, envisager l'intégration, etc.

• La valeur de cette métrique sera comprise entre 0 et 1. 1 signifie que chaque exigence est liée à chacune et 0 signifie qu'il n'y a aucune relation.
• Il est difficile d'introduire des restrictions sur les valeurs de ce coefficient ; cela dépend beaucoup des spécificités de la fonctionnalité, de l'architecture et des technologies. Cependant, d'après ma propre expérience, je peux dire que c'est bien lorsque le degré de connectivité ne dépasse pas 0,2-0,3. Dans le cas contraire, une modification dans le cadre d'une des exigences entraînera un enchaînement de modifications, et donc d'éventuelles erreurs, dans une partie significative du produit.

3. Facteur de stabilité des exigences

Objectif métrique : montre combien d'exigences déjà implémentées doivent être refaites d'une version à l'autre lors du développement de nouvelles fonctionnalités.

• Bien entendu, il n'existe pas de fonctionnalités complètement isolées, mais le nombre de nouvelles exigences doit prévaloir sur celles qui changent, et le coefficient doit être de préférence inférieur à 0,5. Dans ce cas, nous introduisons 2 fois plus de nouvelles fonctionnalités que nous ne retravaillons celles existantes.
• Si le coefficient est supérieur à 0,5, surtout s'il est supérieur à 1, cela signifie très probablement que nous avons déjà fait quelque chose qui s'est avéré inutile. L'équipe ne se concentre pas sur la création de nouvelles valeurs commerciales, mais sur la refonte des fonctionnalités précédemment publiées.
• La métrique donne également une idée de la facilité avec laquelle les fonctionnalités du système peuvent être mises à l’échelle et de nouvelles fonctionnalités ajoutées.

Groupe 2 - Qualité du produit en cours de développement

Comme son nom l'indique, ce groupe de métriques démontre la qualité du logiciel, ainsi que la qualité du développement lui-même.

1. Densité des défauts

Le pourcentage de défauts par module individuel lors d'une itération ou d'une version est calculé.

Objectif métrique : mettez en évidence quelle partie du logiciel est la plus problématique. Ces informations aideront à évaluer et à planifier le travail avec ce module, ainsi qu'à analyser les risques.

• Les raisons d'un grand nombre de défauts dans un module spécifique (coefficient supérieur à 0,3) peuvent être différentes : mauvaises exigences de qualité, qualifications des développeurs, complexité technique, etc. Dans tous les cas, cette métrique attirera immédiatement notre attention sur la zone problématique.

2. Coefficient de régression

Objectif métrique : montrer où vont les efforts de l’équipe : sommes-nous davantage impliqués dans la création et le débogage de nouvelles fonctionnalités ou sommes-nous obligés de mettre à jour les parties existantes du logiciel la plupart du temps ?

• Plus le coefficient est proche de 0, moins d'erreurs ont été introduites dans la fonctionnalité existante lors de la mise en œuvre de nouvelles exigences. Si la valeur est supérieure à 0,5, nous passons alors plus de la moitié du temps à restaurer les fonctions logicielles qui fonctionnaient auparavant.

3. Taux de défauts réouverts

Objectif métrique :évaluer la qualité du développement et de la correction des défauts, ainsi que la complexité du produit ou du module individuel

• Cette métrique peut être calculée pour l’ensemble du logiciel, un module individuel ou une fonctionnalité. Plus la valeur résultante est proche de 0, moins les anciennes erreurs se répètent au cours du développement.
• Si le coefficient s'avère supérieur à 0,2-0,3, cela peut indiquer soit la complexité technique du module et ses exigences hautement associées, soit une architecture maladroite, soit que le correctif précédent a été mal conçu.

4. Coût moyen de réparation d'un défaut

Le rapport entre le montant des coûts engagés par l'équipe lorsqu'elle travaille avec tous les défauts (par exemple, dans le cadre d'une version) par rapport au nombre total de défauts.

Objectif métrique : montrent combien il nous coûte cher de détecter et de corriger chaque défaut. Cela permettra de calculer les bénéfices de la réduction du nombre d'erreurs commises et d'évaluer la faisabilité des techniques appropriées.

• Bien sûr, il n'y a pas de valeurs correctes ici ; tout sera déterminé par les spécificités d'une situation particulière ;

5. Nombre de défauts dans le code d'un développeur spécifique

Objectif métrique : mettre en évidence d'éventuelles difficultés au sein de l'équipe de développement, quels spécialistes manquent d'expérience, de connaissances ou de temps et ont besoin d'aide.

• Si, par exemple, 50 % de tous les défauts sont causés par 1 développeur et qu'il y en a 5 dans l'équipe, alors il y a clairement un problème. Cela ne veut pas dire que ce programmateur ne fonctionne pas bien, mais cela signale qu'il est impératif de comprendre les raisons de cette situation.
• La métrique, entre autres choses, peut être un indicateur d’un module/fonctionnel/système particulièrement difficile à développer et à prendre en charge.

Groupe 3 – Capacité et efficacité de l’équipe d’assurance qualité

L’objectif principal de ce groupe de métriques est d’exprimer en chiffres ce dont l’équipe de test est capable. Ces indicateurs peuvent être calculés et comparés régulièrement, les tendances peuvent être analysées et on peut observer comment le travail de l’équipe est affecté par certains changements.

1. Vélocité de l'équipe d'assurance qualité

Il est calculé comme le rapport des story points (ou exigences, ou user stories) implémentés sur plusieurs, par exemple 4 à 5 itérations (Sprint) par rapport au nombre d'itérations sélectionnées.

Objectif métrique : exprimer numériquement les capacités et la rapidité du travail de l'équipe pour une planification plus approfondie de l'étendue des travaux et une analyse des tendances de développement

• La métrique vous permet de surveiller la vitesse du travail d'assurance qualité et d'observer quels processus internes ou influences externes sur l'équipe peuvent affecter cette vitesse.

2. Durée de vie moyenne des défauts

Durée totale pendant laquelle les défauts détectés dans une itération ou une version étaient ouverts à la somme des défauts.

Objectif métrique : montrez combien de temps il faut en moyenne pour travailler avec un défaut : l'enregistrer, le corriger et le reproduire. Cet indicateur vous permettra d'estimer le temps nécessaire aux tests et de mettre en évidence les domaines du logiciel avec lesquels surviennent les plus grandes difficultés.

• En règle générale, la durée de vie d'un défaut correspond à la durée totale depuis sa création (statut Créé) jusqu'à sa fermeture (Fermé), moins tous les reports et mises en attente possibles. Tout outil de suivi de bogues vous permet de calculer et de télécharger ces informations pour un sprint ou une version distincte.
• De plus, la durée de vie moyenne d'un défaut peut être calculée pour différents modules et fonctions logicielles, ou, plus intéressant encore, séparément pour chacun des testeurs et développeurs de l'équipe. Cela vous donne la possibilité d'identifier des modules particulièrement complexes ou un maillon faible dans l'équipe logicielle.

Groupe 4 - Qualité du travail de l'équipe de tests

Le but de cet ensemble de mesures est d'évaluer dans quelle mesure les testeurs accomplissent leurs tâches et de déterminer le niveau de compétences et de maturité de l'équipe d'assurance qualité. Disposant d'un tel ensemble d'indicateurs, vous pouvez comparer l'équipe avec elle-même à différents moments ou avec d'autres groupes de test externes.

1. Efficacité des tests et des cas de tests

Objectif métrique : montrent combien d'erreurs en moyenne nos cas peuvent détecter. Cette métrique reflète la qualité de la conception du test et permet de surveiller la tendance de son évolution.

• Il est préférable de calculer cette métrique pour tous les ensembles de tests : pour des groupes distincts de tests fonctionnels, un ensemble de régression, des tests de fumée, etc.
• Cet indicateur de « létalité » des tests permet de suivre l'efficacité de chacun des kits, son évolution dans le temps et de les compléter par des tests « frais ».

2. Taux d'erreurs manquées par production

Nombre d'erreurs découvertes après la sortie \ nombre total d'erreurs dans le logiciel découvertes lors des tests et après la sortie

Objectif métrique : démontrer la qualité des tests et l'efficacité de la détection des erreurs - quelle proportion de défauts a été filtrée et quelle proportion a été mise en production.

• Le pourcentage acceptable d’erreurs manquées lors de la production dépendra bien entendu de nombreux facteurs. Cependant, si le coefficient est >0,1, c'est mauvais. Cela signifie qu'un défaut sur dix n'a pas été détecté lors des tests et a entraîné des problèmes dans le logiciel déjà distribué aux utilisateurs.

3. Temps de travail réel de l'équipe QA

Le rapport entre le temps consacré par l'équipe directement aux activités d'assurance qualité et le nombre total d'heures.

Objectif métrique : premièrement, pour augmenter la précision de la planification, et deuxièmement, pour surveiller et gérer les performances d'une équipe particulière.

• Les activités cibles comprennent l'analyse, la conception, les évaluations, les tests, les réunions de travail et bien plus encore. Les effets secondaires possibles sont des temps d'arrêt dus à des bloqueurs, des problèmes de communication, l'indisponibilité des ressources, etc.
• Naturellement, ce coefficient ne sera jamais égal à 1. La pratique montre que pour des équipes efficaces, il peut être de 0,5 à 0,6.

4. Précision de l'estimation du temps par domaine\types\types de travail

Objectif métrique : permet l’utilisation d’un facteur de correction pour les évaluations ultérieures.

• Le degré de précision de l'évaluation peut être déterminé pour l'ensemble de l'équipe ou pour des testeurs individuels, pour l'ensemble du système ou pour des modules logiciels individuels.

5. Part des défauts non confirmés (rejetés)

Objectif métrique : montrer combien de défauts ont été créés « sans rien faire ».

• Si le pourcentage de défauts rejetés dépasse 20 %, l'équipe peut alors connaître une désynchronisation dans la compréhension de ce qui est un défaut et de ce qui ne l'est pas.

Groupe 5 - Commentaires et satisfaction des utilisateurs

Et enfin, un groupe de mesures montrant comment le produit a été accepté par les utilisateurs finaux et dans quelle mesure il a répondu à leurs attentes. Mais les commentaires sur les logiciels ne sont pas les seuls à être importants : une autre tâche importante de ce groupe de métriques est de montrer si les utilisateurs sont satisfaits du processus d'interaction avec l'équipe informatique en général et avec l'assurance qualité en particulier.

1. Satisfaction des utilisateurs à l'égard des services informatiques

Enquête régulière sur la satisfaction des utilisateurs vis-à-vis des services informatiques avec scoring.

Objectif métrique : montrer si les utilisateurs font confiance à l'équipe informatique, s'ils comprennent comment et pourquoi son travail est organisé et dans quelle mesure ce travail répond aux attentes.

• La métrique peut servir d'indicateur qu'il est nécessaire de se concentrer sur l'optimisation du processus ou de le rendre plus clair et plus transparent pour les utilisateurs.
• L'indicateur de satisfaction peut être calculé à partir des résultats d'une enquête suite à la diffusion. Nous collectons toutes les notes et calculons la note moyenne. Ce score peut ensuite être recalculé une fois que des modifications ont été apportées au processus.

2. Satisfaction des utilisateurs avec le produit

Enquête régulière auprès des utilisateurs sur leur satisfaction à l'égard du produit.

Objectif métrique : déterminer dans quelle mesure le produit en cours de développement répond aux attentes des utilisateurs, si nous allons dans la bonne direction, si nous déterminons correctement l'importance des fonctionnalités et choisissons les options de solution.

• Pour calculer cette métrique, nous menons également une enquête auprès des utilisateurs et calculons le score moyen. En calculant cet indicateur de manière régulière (par exemple après chaque sortie), vous pouvez suivre l'évolution de la satisfaction des utilisateurs.

3. Engagement des parties prenantes

Nombre d'initiatives et de propositions visant à améliorer le processus et le produit reçues au cours de l'itération (version) de la part des parties prenantes

Objectif métrique : déterminer le degré de participation des parties prenantes externes aux travaux sur le produit. Ayant une telle mesure en main, vous pouvez naviguer là où vous avez besoin d’obtenir des commentaires afin qu’un jour vous ne soyez pas confronté au mépris et à la haine, aux problèmes et aux malentendus.

Chaque startup a des indicateurs à atteindre. Mais les mesures ne représentent que la moitié de l’histoire. La clé est d’atteindre une véritable croissance, ce qui, selon Paul Graham, célèbre expert en investissement et co-fondateur de Y Combinator, est une tâche incroyablement polyvalente. Malheureusement, de nombreuses entreprises, grandes et petites, ne suivent pas du tout leurs progrès. Choisir une ligne directrice claire et la suivre constitue l’un des aspects les plus importants d’un développement commercial réussi.

Par exemple, Shopify (qui, soit dit en passant, a récemment été introduit en bourse et valorisé à un milliard de dollars) utilise pour cela des tactiques si simples qu'il est surprenant que d'autres entreprises ne suivent pas son exemple. Chaque semaine, ils : a) envoient un e-mail aux membres de l'équipe pour suivre les indicateurs clés et b) organisent une réunion pour discuter des résultats. C'est tout.

Cependant, derrière ces actions simples se cache toute une philosophie sur la façon de gérer une entreprise, sur la manière de répartir les droits et les responsabilités au sein de l'équipe afin de la fédérer pour atteindre l'objectif. Le PDG de Shopify, Tobi Lutke, l'appelle « le moteur d'une entreprise à croissance rapide et de plusieurs millions de dollars ».

Sélection des indicateurs clés

Les outils d'optimisation modernes vous permettent de surveiller et d'ajuster littéralement des centaines d'indicateurs différents. Et de nombreux analystes commerciaux collectent beaucoup de données, les analysent et les transforment en tableaux, tableaux et graphiques. C'est une erreur courante. Sans ligne directrice claire, vous dispersez vos efforts et perdez du temps, y compris sur des mesures sans importance, voire inutiles. Et le temps joue toujours contre vous dans une entreprise SaaS.

En vous concentrant sur une seule mesure, vous donnez à votre équipe un objectif unique à atteindre. L'essentiel est de choisir la bonne métrique, puis tout le reste se mettra en place.

Quelle devrait être cette mesure correcte ?

Il doit refléter votre objectif principal et vos efforts pour l'atteindre, et également comporter un intervalle de mesure optimal.

1. Choisir une stratégie

Cela peut sembler une étape simple, mais choisir une direction implique souvent de faire des compromis. Par exemple, si vous décidez de vous appuyer sur la fidélisation de la clientèle, vous serez obligé de « ralentir » pour attirer de nouveaux leads, et vice versa. Le choix d’une stratégie nécessite donc une approche très équilibrée.

En règle générale, dans les premiers stades de développement, les propriétaires d'entreprise se concentrent sur la croissance (nombre d'utilisateurs actifs ou revenu mensuel - MRR, Monthly Recurring Revenue).

Plus tard, l'accent reste mis sur la croissance, mais vous pouvez commencer à accorder davantage d'attention à l'augmentation de la valeur à vie du client (LTV, Lifetime Value), ainsi qu'au suivi (MRR Churn). Cependant, en règle générale, ces aspects relèvent de la responsabilité de divisions spécifiques de l'entreprise, il est donc beaucoup plus difficile de rallier toute l'équipe autour d'eux.

2. Fixer un objectif

Vous avez donc décidé sur quel indicateur spécifique vous vous concentrerez. La deuxième étape consiste à fixer des objectifs spécifiques et mesurables. Par exemple, au début d'une startup, il peut s'agir d'une croissance de 5 à 7 % par semaine, tandis qu'à des stades ultérieurs, il serait plus raisonnable de fixer la barre à 3 % par mois. L'important ici est de maintenir un équilibre : pour véritablement inspirer l'équipe, l'objectif doit être suffisamment ambitieux, mais en même temps réalisable.

3. Sélection de l'intervalle de mesure

Tout comme dans le cas de la définition d'objectifs, l'intervalle de mesure variera en fonction du stade de développement du projet. Au début, il est plus logique de suivre les indicateurs clés de manière hebdomadaire, puis de passer progressivement à des mesures mensuelles, voire trimestrielles. La seule chose qui devrait rester constante, ce sont des délais clairs pour la préparation des rapports. Cela discipline l'équipe et vous permet de collecter des informations précises, qui vous permettront plus tard d'évaluer rétrospectivement le développement de l'entreprise.

L’établissement de lignes directrices n’est que le début de la bataille. Ensuite, vous devez vous assurer que chaque personne de l'entreprise les suit et que toutes ses actions visent à atteindre l'objectif, sans instructions supplémentaires de la direction. Et les rapports quotidiens envoyés aux employés par courrier électronique peuvent y contribuer.

Chaque employé qui a un impact sur votre objectif doit recevoir des informations à jour sur la manière dont l'entreprise progresse vers l'objectif. Cela vous permet de mieux ressentir votre impact sur la progression. Cela est particulièrement vrai pour les spécialistes des ventes et les autres membres de l'équipe qui sont « en première ligne », apportant la principale contribution à la promotion.

Une étude récente réalisée par ProfitWell auprès des clients SaaS a révélé que les entreprises qui partageaient des informations sur leur croissance financière avec leur équipe ont connu une croissance 34 % plus rapide que celles qui ne l'ont pas fait.

La croissance elle-même (par exemple, la croissance du MRR, du revenu mensuel) comprend de nombreuses composantes - une augmentation du nombre de nouveaux clients, une augmentation du revenu par client, une transition vers des plans tarifaires plus chers, une réduction des refus, etc. Dans le même temps, les informations sur votre métrique principale servent en quelque sorte de boussole aux membres de l’équipe, qui indiquent si chacun d’entre eux avance dans la bonne direction.

Cependant, les campagnes par e-mail seules ne suffisent pas. Inévitablement, des questions se posent et nécessitent une discussion et une planification animées. Les réunions hebdomadaires vous aideront à toujours être au courant des événements et à avoir un plan d'actions coordonnées pour la période à venir.