Μπορεί η κατάταξη ενός πίνακα να είναι μηδέν; Υπολογισμός της κατάταξης ενός πίνακα χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς

Ας δοθεί κάποια μήτρα:

.

Ας επιλέξουμε σε αυτόν τον πίνακα αυθαίρετες χορδές και αυθαίρετες στήλες
. Έπειτα η ορίζουσα ης τάξης, που αποτελείται από στοιχεία μήτρας
, που βρίσκεται στη διασταύρωση επιλεγμένων γραμμών και στηλών, ονομάζεται δευτερεύον μήτρα ης τάξης
.

Ορισμός 1.13.Κατάταξη μήτρας
είναι η μεγαλύτερη τάξη του μη μηδενικού ελάσσονος αυτού του πίνακα.

Για τον υπολογισμό της κατάταξης ενός πίνακα, θα πρέπει να ληφθούν υπόψη όλα τα ελάσσονα της χαμηλότερης τάξης και, εάν τουλάχιστον ένα από αυτά είναι διαφορετικό από το μηδέν, να προχωρήσουμε στην εξέταση των δευτερευόντων της υψηλότερης τάξης. Αυτή η προσέγγιση για τον προσδιορισμό της κατάταξης ενός πίνακα ονομάζεται μέθοδος οριοθέτησης (ή μέθοδος οριοθέτησης ανηλίκων).

Πρόβλημα 1.4.Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο οριοθέτησης ανηλίκων, προσδιορίστε την κατάταξη του πίνακα
.

.

Εξετάστε την πρώτης τάξης μπορντούρα, για παράδειγμα,
. Στη συνέχεια, προχωράμε στο να εξετάσουμε κάποια μπορντούρα δεύτερης τάξης.

Για παράδειγμα,
.

Τέλος, ας αναλύσουμε το περίγραμμα τρίτης τάξης.

.

Άρα η υψηλότερη τάξη ενός μη μηδενικού δευτερεύοντος είναι 2, επομένως
.

Κατά την επίλυση του Προβλήματος 1.4, μπορείτε να παρατηρήσετε ότι ένας αριθμός δευτερευουσών δευτερευουσών συνόρων είναι μη μηδενικός. Από αυτή την άποψη, ισχύει η ακόλουθη έννοια.

Ορισμός 1.14.Βασικό ελάσσονα ενός πίνακα είναι κάθε μη μηδενικό δευτερεύον του οποίου η σειρά είναι ίση με την κατάταξη του πίνακα.

Θεώρημα 1.2.(Θεώρημα ελάσσονος βάσης). Οι βασικές σειρές (στήλες βάσης) είναι γραμμικά ανεξάρτητες.

Σημειώστε ότι οι σειρές (στήλες) ενός πίνακα εξαρτώνται γραμμικά εάν και μόνο εάν τουλάχιστον μία από αυτές μπορεί να αναπαρασταθεί ως γραμμικός συνδυασμός των άλλων.

Θεώρημα 1.3.Ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων σειρών πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών μήτρας και είναι ίσος με την κατάταξη του πίνακα.

Θεώρημα 1.4.(Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη η ορίζουσα να είναι ίση με το μηδέν). Για την ορίζουσα -η σειρά ήταν ίσο με μηδέν, είναι απαραίτητο και αρκετό οι σειρές (στήλες) του να εξαρτώνται γραμμικά.

Ο υπολογισμός της κατάταξης ενός πίνακα με βάση τον ορισμό του είναι πολύ περίπλοκος. Αυτό γίνεται ιδιαίτερα σημαντικό για πίνακες υψηλών παραγγελιών. Από αυτή την άποψη, στην πράξη, η κατάταξη ενός πίνακα υπολογίζεται με βάση την εφαρμογή των Θεωρημάτων 10.2 - 10.4, καθώς και τη χρήση των εννοιών της ισοδυναμίας πίνακα και των στοιχειωδών μετασχηματισμών.

Ορισμός 1.15.Δύο πίνακες
Και ονομάζονται ισοδύναμα αν οι τάξεις τους είναι ίσες, δηλ.
.

Αν πίνακες
Και είναι ισοδύναμα, τότε σημειώστε
 .

Θεώρημα 1.5.Η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει λόγω στοιχειωδών μετασχηματισμών.

Θα ονομάσουμε μετασχηματισμούς στοιχειώδους πίνακα
οποιαδήποτε από τις ακόλουθες πράξεις σε έναν πίνακα:

Αντικατάσταση σειρών με στήλες και στηλών με αντίστοιχες σειρές.

Αναδιάταξη σειρών μήτρας.

Διασχίζοντας μια γραμμή της οποίας τα στοιχεία είναι όλα μηδέν.

Πολλαπλασιασμός μιας συμβολοσειράς με έναν αριθμό διαφορετικό από το μηδέν.

Προσθέτοντας στα στοιχεία μιας γραμμής τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης γραμμής πολλαπλασιαζόμενα με τον ίδιο αριθμό
.

Συμπέρασμα του Θεωρήματος 1.5.Αν μήτρα
που λαμβάνεται από μήτρα χρησιμοποιώντας έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχειωδών μετασχηματισμών και στη συνέχεια τον πίνακα
Και είναι ισοδύναμα.

Κατά τον υπολογισμό της κατάταξης ενός πίνακα, θα πρέπει να μειωθεί σε τραπεζοειδή μορφή χρησιμοποιώντας έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχειωδών μετασχηματισμών.

Ορισμός 1.16.Θα ονομάσουμε τραπεζοειδές μια μορφή αναπαράστασης ενός πίνακα όταν, στην οριακή ελάσσονα της υψηλότερης τάξης εκτός του μηδενός, εξαφανίζονται όλα τα στοιχεία κάτω από τα διαγώνια. Για παράδειγμα:

.

Εδώ
, στοιχεία μήτρας
πάει στο μηδέν. Τότε η μορφή αναπαράστασης ενός τέτοιου πίνακα θα είναι τραπεζοειδής.

Κατά κανόνα, οι πίνακες μειώνονται σε τραπεζοειδές σχήμα χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο Gauss. Η ιδέα του αλγορίθμου Gauss είναι ότι, πολλαπλασιάζοντας τα στοιχεία της πρώτης σειράς του πίνακα με τους αντίστοιχους παράγοντες, επιτυγχάνεται ότι όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης βρίσκονται κάτω από το στοιχείο
, θα γύριζε στο μηδέν. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάζοντας τα στοιχεία της δεύτερης στήλης με τους αντίστοιχους συντελεστές, διασφαλίζουμε ότι όλα τα στοιχεία της δεύτερης στήλης βρίσκονται κάτω από το στοιχείο
, θα γύριζε στο μηδέν. Στη συνέχεια προχωρήστε με τον ίδιο τρόπο.

Πρόβλημα 1.5.Προσδιορίστε την κατάταξη μιας μήτρας μειώνοντάς την σε τραπεζοειδές σχήμα.

.

Για να διευκολύνετε τη χρήση του Gaussian αλγόριθμου, μπορείτε να ανταλλάξετε την πρώτη και την τρίτη γραμμή.








.

Είναι προφανές ότι εδώ
. Ωστόσο, για να φέρετε το αποτέλεσμα σε πιο κομψή μορφή, μπορείτε να συνεχίσετε να μεταμορφώνετε τις στήλες.










.

ΣτοιχειώδηςΟι ακόλουθοι μετασχηματισμοί πίνακα ονομάζονται:

1) μετάθεση οποιωνδήποτε δύο σειρών (ή στηλών),

2) πολλαπλασιάζοντας μια γραμμή (ή στήλη) με έναν μη μηδενικό αριθμό,

3) προσθέτοντας σε μια σειρά (ή στήλη) μια άλλη σειρά (ή στήλη), πολλαπλασιασμένη με έναν ορισμένο αριθμό.

Οι δύο πίνακες καλούνται ισοδύναμος, εάν ένα από αυτά λαμβάνεται από το άλλο χρησιμοποιώντας ένα πεπερασμένο σύνολο στοιχειωδών μετασχηματισμών.

Οι ισοδύναμοι πίνακες δεν είναι, γενικά, ίσοι, αλλά οι τάξεις τους είναι ίσες. Αν οι πίνακες Α και Β είναι ισοδύναμοι, τότε γράφεται ως εξής: A ~ B.

ΚανονικόςΈνας πίνακας είναι ένας πίνακας στον οποίο στην αρχή της κύριας διαγωνίου υπάρχουν πολλά στη σειρά (ο αριθμός των οποίων μπορεί να είναι μηδέν) και όλα τα άλλα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν, για παράδειγμα,

Χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς σειρών και στηλών, οποιοσδήποτε πίνακας μπορεί να αναχθεί σε κανονικό. Η κατάταξη ενός κανονικού πίνακα είναι ίση με τον αριθμό των μονάδων στην κύρια διαγώνιο του.

Παράδειγμα 2Βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα

Α=

και να το φέρει σε κανονική μορφή.

Λύση.Από τη δεύτερη γραμμή, αφαιρέστε την πρώτη και αναδιατάξτε αυτές τις γραμμές:

.

Τώρα από τη δεύτερη και την τρίτη γραμμή αφαιρούμε την πρώτη, πολλαπλασιαζόμενη επί 2 και 5, αντίστοιχα:

;

αφαιρέστε την πρώτη από την τρίτη γραμμή. παίρνουμε μια μήτρα

Β = ,

ο οποίος είναι ισοδύναμος με τον πίνακα Α, αφού λαμβάνεται από αυτόν χρησιμοποιώντας ένα πεπερασμένο σύνολο στοιχειωδών μετασχηματισμών. Προφανώς, η κατάταξη του πίνακα Β είναι 2, και επομένως r(A)=2. Ο πίνακας Β μπορεί εύκολα να αναχθεί σε κανονικό. Αφαιρώντας την πρώτη στήλη, πολλαπλασιαζόμενη με κατάλληλους αριθμούς, από όλες τις επόμενες, μηδενίζουμε όλα τα στοιχεία της πρώτης σειράς, εκτός από την πρώτη, και τα στοιχεία των υπόλοιπων σειρών δεν αλλάζουν. Στη συνέχεια, αφαιρώντας τη δεύτερη στήλη, πολλαπλασιαζόμενη με κατάλληλους αριθμούς, από όλους τους επόμενους, μηδενίζουμε όλα τα στοιχεία της δεύτερης σειράς, εκτός από τη δεύτερη, και λαμβάνουμε τον κανονικό πίνακα:

.

Θεώρημα Kronecker - Capelli- κριτήριο συμβατότητας για σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων:

Προκειμένου ένα γραμμικό σύστημα να είναι συνεπές, είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα αυτού του συστήματος να είναι ίση με την κατάταξη του κύριου πίνακα του.

Απόδειξη (συνθήκες συμβατότητας συστήματος)

Ανάγκη

Αφήνω Σύστημαάρθρωση

Τότε υπάρχουν αριθμοί τέτοιοι που . Επομένως, η στήλη είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών του πίνακα. Από το γεγονός ότι η κατάταξη ενός πίνακα δεν θα αλλάξει εάν μια γραμμή (στήλη) διαγραφεί ή προστεθεί από το σύστημα των γραμμών (στήλων) του, που είναι ένας γραμμικός συνδυασμός άλλων σειρών (στήλων), προκύπτει ότι .

Αφήστε . Ας πάρουμε μερικά βασικά ελάσσονα στον πίνακα. Αφού, τότε θα είναι επίσης το βασικό ελάσσονα του πίνακα. Στη συνέχεια, σύμφωνα με το θεώρημα της βάσηςανήλικος

, η τελευταία στήλη του πίνακα θα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών βάσης, δηλαδή των στηλών του πίνακα. Επομένως, η στήλη των ελεύθερων όρων του συστήματος είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών του πίνακα.

Συνέπειες Αριθμός βασικών μεταβλητώνσυστήματα

ίσο με τη βαθμίδα του συστήματος. ΣύστημαΑρθρωση

θα οριστεί (η λύση του είναι μοναδική) εάν η κατάταξη του συστήματος είναι ίση με τον αριθμό όλων των μεταβλητών του.

Ομοιογενές σύστημα εξισώσεων15 . 2 Προσφορά

Ομοιογενές σύστημα εξισώσεων

είναι πάντα κοινή.Απόδειξη

. Για αυτό το σύστημα, το σύνολο των αριθμών , , , είναι μια λύση.

Ομοιογενές σύστημα εξισώσεων15 . 3 Σε αυτή την ενότητα θα χρησιμοποιήσουμε τον συμβολισμό μήτρας του συστήματος: .

είναι πάντα κοινή.Το άθροισμα των λύσεων σε ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι μια λύση σε αυτό το σύστημα. Μια λύση πολλαπλασιαζόμενη με έναν αριθμό είναι επίσης μια λύση.

. Αφήστε τα να λειτουργήσουν ως λύσεις στο σύστημα. Στη συνέχεια και. Αφήστε .

Επειτα

. Αφήστε τα να λειτουργήσουν ως λύσεις στο σύστημα. Στη συνέχεια και. Αφήστε .

Από τότε - η λύση.15 . 1 Έστω ένας αυθαίρετος αριθμός, . Επειτα

Συνέπεια

Αν ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών εξισώσεων έχει μη μηδενική λύση, τότε έχει άπειρες διαφορετικές λύσεις.15 . 5 Πράγματι, πολλαπλασιάζοντας μια μη μηδενική λύση με διάφορους αριθμούς, θα λάβουμε διαφορετικές λύσεις. Ορισμός Θα πούμε ότι οι λύσειςμορφή συστημάτων θεμελιώδες σύστημα λύσεων

Έστω A ένας πίνακας μεγεθών m\ φορές n και k ένας φυσικός αριθμός που δεν υπερβαίνει τα m και n: k\leqslant\min\(m;n\). Μικρή kth σειράΟ πίνακας A είναι ο προσδιοριστής ενός πίνακα k-ης τάξης που σχηματίζεται από τα στοιχεία στη τομή αυθαίρετα επιλεγμένων k σειρών και k στηλών του πίνακα A. Όταν δηλώνουμε δευτερεύοντες δείκτες, θα υποδεικνύουμε τους αριθμούς των επιλεγμένων σειρών ως ανώτερους δείκτες και τους αριθμούς των επιλεγμένων στηλών ως κατώτερους δείκτες, ταξινομώντας τους σε αύξουσα σειρά.

Παράδειγμα 3.4.Γράψτε ανηλίκους διαφορετικών τάξεων του πίνακα

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

Λύση.Ο πίνακας Α έχει διαστάσεις 3\times4 . Έχει: 12 ανηλίκους 1ης τάξης, για παράδειγμα, ανήλικα M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 ανήλικοι 2ης τάξης, για παράδειγμα, M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 ανήλικοι τρίτης τάξης, για παράδειγμα,

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

Σε έναν πίνακα Α με διαστάσεις m\ φορές n, καλείται η ελάσσονα r-ης τάξης βασικός, αν είναι μη μηδενικό και όλα τα δευτερεύοντα της τάξης (r+1)-ro είναι ίσα με μηδέν ή δεν υπάρχουν καθόλου.

Κατάταξη μήτραςονομάζεται η τάξη του βασικού ελάσσονος. Δεν υπάρχει ελάσσονος βάσης σε μηδενικό πίνακα. Επομένως, η κατάταξη ενός μηδενικού πίνακα είναι, εξ ορισμού, ίση με μηδέν. Η κατάταξη του πίνακα Α συμβολίζεται με \όνομα χειριστή(rg)A.

Παράδειγμα 3.5.Βρείτε όλα τα βασικά ανήλικα και την κατάταξη μήτρας

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Λύση.Όλα τα δευτερεύοντα δευτερεύοντα στοιχεία τρίτης τάξης αυτού του πίνακα είναι ίσα με μηδέν, καθώς αυτοί οι ορίζοντες έχουν μηδενική τρίτη σειρά. Επομένως, μόνο ένα δευτερεύον δευτερεύον στοιχείο που βρίσκεται στις δύο πρώτες σειρές του πίνακα μπορεί να είναι βασικό. Περνώντας από 6 πιθανά ανήλικα, επιλέγουμε μη μηδενικά

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Καθένα από αυτά τα πέντε ανήλικα είναι ένα βασικό. Επομένως, η κατάταξη του πίνακα είναι 2.

Σημειώσεις 3.2

1. Αν σε έναν πίνακα όλα τα ελάσσονα της kth τάξης είναι ίσα με μηδέν, τότε τα δευτερεύοντα ανώτατης τάξης είναι επίσης ίσα με μηδέν. Πράγματι, επεκτείνοντας την ελάσσονα της τάξης (k+1)-ro σε οποιαδήποτε σειρά, λαμβάνουμε το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων αυτής της σειράς από τα δευτερεύοντα της kth τάξης, και είναι ίσα με μηδέν.

2. Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ίση με την υψηλότερη τάξη του μη μηδενικού δευτερεύοντος αυτού του πίνακα.

3. Εάν ένας τετράγωνος πίνακας είναι μη ενικός, τότε η κατάταξή του είναι ίση με τη σειρά του. Εάν ένας τετραγωνικός πίνακας είναι ενικός, τότε η κατάταξή του είναι μικρότερη από τη σειρά του.

4. Οι ονομασίες χρησιμοποιούνται και για την κατάταξη \όνομα χειριστή(Rg)A,~ \όνομα χειριστή(rang)A,~ \όνομα χειριστή(κατάταξη)A.

5. Κατάταξη μήτρας μπλοκορίζεται ως η κατάταξη ενός κανονικού (αριθμητικού) πίνακα, δηλ. ανεξάρτητα από τη δομή του μπλοκ του. Σε αυτήν την περίπτωση, η κατάταξη ενός πίνακα μπλοκ δεν είναι μικρότερη από τις τάξεις των μπλοκ του: \όνομα χειριστή(rg)(A\mid B)\geqslant\όνομα χειριστή(rg)AΑς τονίσουμε σε αυτό \όνομα χειριστή(rg)(A\mid B)\geqslant\όνομα χειριστή(rg)B, αφού όλα τα δευτερεύοντα του πίνακα A (ή B ) είναι επίσης ελάσσονα του πίνακα μπλοκ (A\mid B) .

Θεωρήματα με βάση το ελάσσονα και την κατάταξη του πίνακα

Ας εξετάσουμε τα κύρια θεωρήματα που εκφράζουν τις ιδιότητες της γραμμικής εξάρτησης και της γραμμικής ανεξαρτησίας των στηλών (γραμμών) ενός πίνακα.

Θεώρημα 3.1 με βάση το δευτερεύον.Σε έναν αυθαίρετο πίνακα Α, κάθε στήλη (σειρά) είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών (γραμμών) στις οποίες βρίσκεται το βασικό ελάσσονα.

Πράγματι, χωρίς απώλεια γενικότητας, υποθέτουμε ότι σε έναν πίνακα Α μεγέθους m\ φορές n το βασικό ελάσσονα βρίσκεται στις πρώτες r σειρές και στις πρώτες r στήλες. Εξετάστε την ορίζουσα

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

που προκύπτει με την αντιστοίχιση των αντίστοιχων στοιχείων της ης σειράς και της kης στήλης στο βασικό μινόρε του πίνακα Α. Σημειώστε ότι για οποιαδήποτε 1\leqslant s\leqslant mκαι αυτή η ορίζουσα ισούται με μηδέν. Αν s\leqslant r ή k\leqslant r , τότε η ορίζουσα D περιέχει δύο ίδιες γραμμές ή δύο ίδιες στήλες. Αν s>r και k>r, τότε η ορίζουσα D είναι ίση με μηδέν, αφού είναι δευτερεύουσα τάξης (r+l)-ro. Επεκτείνοντας την ορίζουσα κατά μήκος της τελευταίας γραμμής, παίρνουμε

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

όπου D_(r+1\,j) είναι τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων της τελευταίας σειράς. Σημειώστε ότι D_(r+1\,r+1)\ne0 αφού πρόκειται για δευτερεύουσα βάση. Να γιατί

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Οπου \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

εκείνοι. kth στήλη (για οποιαδήποτε 1\leqslant k\leqslant n) είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών του βασικού ελάσσονος, το οποίο έπρεπε να αποδείξουμε.

Το θεώρημα ελάσσονος βάσης χρησιμεύει για να αποδείξει τα ακόλουθα σημαντικά θεωρήματα.

Προϋπόθεση για την ορίζουσα να είναι μηδέν

Θεώρημα 3.2 (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για να είναι η ορίζουσα μηδέν).Για να είναι μια ορίζουσα ίση με το μηδέν, είναι απαραίτητο και αρκετό μια από τις στήλες της (μία από τις σειρές της) να είναι γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων στηλών (γραμμών).

Πράγματι, η αναγκαιότητα προκύπτει από το θεώρημα ελάσσονος βάσης. Αν η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα τάξης n είναι ίση με μηδέν, τότε η κατάταξή του είναι μικρότερη από n, δηλ. τουλάχιστον μία στήλη δεν περιλαμβάνεται στη βασική ελάσσονα. Τότε αυτή η επιλεγμένη στήλη, από το Θεώρημα 3.1, είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών στις οποίες βρίσκεται το βασικό ελάσσονα. Προσθέτοντας, εάν χρειάζεται, σε αυτόν τον συνδυασμό και άλλες στήλες με μηδενικούς συντελεστές, προκύπτει ότι η επιλεγμένη στήλη είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων στηλών του πίνακα. Η επάρκεια προκύπτει από τις ιδιότητες της ορίζουσας. Αν, για παράδειγμα, η τελευταία στήλη A_n της ορίζουσας \det(A_1~A_2~\cdots~A_n)εκφράζεται γραμμικά μέσα από τα υπόλοιπα

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

στη συνέχεια προσθέτοντας στη στήλη A_n A_1 πολλαπλασιασμένη με (-\lambda_1), στη συνέχεια στη στήλη A_2 πολλαπλασιασμένη με (-\lambda_2) κ.λπ. στήλη A_(n-1) πολλαπλασιαζόμενη επί (-\λάμδα_(n-1)) παίρνουμε την ορίζουσα \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o)με μηδενική στήλη ίση με μηδέν (ιδιότητα 2 της ορίζουσας).

Αμετάβλητη κατάταξη πίνακα κάτω από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς

Θεώρημα 3.3 (για την αναλλοίωτη κατάταξη κάτω από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς). Κατά τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς των στηλών (γραμμών) ενός πίνακα, η κατάταξή του δεν αλλάζει.

Πράγματι, ας είναι. Ας υποθέσουμε ότι ως αποτέλεσμα ενός στοιχειώδους μετασχηματισμού των στηλών του πίνακα Α λάβαμε τον πίνακα Α". Εάν πραγματοποιήθηκε μετασχηματισμός τύπου Ι (μετάθεση δύο στηλών), τότε οποιοδήποτε δευτερεύον (r+l)-ro της τάξης του πίνακα Α" είναι είτε ίσο με το αντίστοιχο δευτερεύον (r+l )-ro της τάξης του πίνακα Α, είτε διαφέρει από αυτόν ως προς το πρόσημο (ιδιότητα 3 της ορίζουσας). Εάν πραγματοποιήθηκε μετασχηματισμός τύπου II (πολλαπλασιάζοντας τη στήλη με τον αριθμό \λάμδα\ne0 ), τότε οποιαδήποτε δευτερεύουσα (r+l)-ro της τάξης του πίνακα A" είναι είτε ίση με την αντίστοιχη ελάσσονα (r+l) -ro της τάξης του πίνακα A ή διαφορετικός από αυτόν παράγοντας \λάμδα\ne0 (ιδιότητα 6 της ορίζουσας εάν πραγματοποιήθηκε μετασχηματισμός τύπου III (προσθήκη σε μια στήλη άλλη στήλη πολλαπλασιαζόμενη με τον αριθμό \Λάμδα). ελάσσονα της (r+1) ης τάξης του πίνακα Α" είναι είτε ίση με την αντίστοιχη δευτερεύουσα. (r+1)-η τάξη του πίνακα Α (ιδιότητα 9 της ορίζουσας), είτε είναι ίση με το άθροισμα των δύο δευτερεύουσες (r+l)-ro της τάξης του πίνακα Α (ιδιότητα 8 της ορίζουσας). Επομένως, κάτω από έναν στοιχειώδη μετασχηματισμό οποιουδήποτε τύπου, όλα τα δευτερεύοντα (r+l)-ro της τάξης του πίνακα A" είναι ίσα με μηδέν, αφού όλα τα δευτερεύοντα (r+l)-ro της τάξης του πίνακα A είναι ίση με μηδέν, έχει αποδειχθεί ότι κάτω από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς στηλών ο πίνακας κατάταξης δεν μπορεί να αυξηθεί, δεδομένου ότι οι μετασχηματισμοί αντίστροφοι προς τους στοιχειώδεις είναι στοιχειώδεις, η κατάταξη του πίνακα δεν μπορεί να μειωθεί κάτω από τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς των στηλών, δηλ. απέδειξε ότι η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει υπό στοιχειώδεις μετασχηματισμούς των σειρών.

Συμπέρασμα 1. Εάν μια σειρά (στήλη) ενός πίνακα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των άλλων σειρών του (στήλες), τότε αυτή η σειρά (στήλη) μπορεί να διαγραφεί από τον πίνακα χωρίς να αλλάξει η κατάταξή του.

Πράγματι, μια τέτοια συμβολοσειρά μπορεί να μηδενιστεί χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς και μια μηδενική συμβολοσειρά δεν μπορεί να συμπεριληφθεί στη βασική ελάσσονα.

Συμπέρασμα 2. Εάν ο πίνακας μειωθεί στην απλούστερη μορφή (1.7), τότε

\όνομα χειριστή(rg)A=\όνομα χειριστή(rg)\Λάμδα=r\,.

Πράγματι, ο πίνακας της απλούστερης μορφής (1.7) έχει ελάσσονα βάσης της τάξης r.

Συμπέρασμα 3. Κάθε μη ενικός τετραγωνικός πίνακας είναι στοιχειώδης, με άλλα λόγια, οποιοσδήποτε μη ενικός τετραγωνικός πίνακας είναι ισοδύναμος με έναν πίνακα ταυτότητας της ίδιας τάξης.

Πράγματι, αν το Α είναι ένας μη ενικός τετραγωνικός πίνακας νης τάξης, τότε \όνομα χειριστή(rg)A=n(βλ. παράγραφο 3 των σχολίων 3.2). Επομένως, φέρνοντας τον πίνακα A στην απλούστερη μορφή (1.7) με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, λαμβάνουμε τον πίνακα ταυτότητας \Lambda=E_n , αφού \όνομα χειριστή(rg)A=\όνομα χειριστή(rg)\Λάμδα=n(βλ. Συμπέρασμα 2). Επομένως, ο πίνακας Α είναι ισοδύναμος με τον πίνακα ταυτότητας E_n και μπορεί να ληφθεί από αυτόν ως αποτέλεσμα ενός πεπερασμένου αριθμού στοιχειωδών μετασχηματισμών. Αυτό σημαίνει ότι ο πίνακας Α είναι στοιχειώδης.

Θεώρημα 3.4 (σχετικά με την κατάταξη του πίνακα). Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ίση με τον μέγιστο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων σειρών αυτού του πίνακα.

Στην πραγματικότητα, ας \όνομα χειριστή(rg)A=r. Τότε ο πίνακας Α έχει r γραμμικά ανεξάρτητες σειρές. Αυτές είναι οι γραμμές στις οποίες βρίσκεται η βασική ελάσσονα. Εάν ήταν γραμμικά εξαρτώμενα, τότε αυτό το δευτερεύον θα ήταν ίσο με μηδέν από το Θεώρημα 3.2, και η κατάταξη του πίνακα A δεν θα ήταν ίση με r. Ας δείξουμε ότι το r είναι ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων σειρών, δηλ. οποιεσδήποτε σειρές p εξαρτώνται γραμμικά για p>r. Πράγματι, σχηματίζουμε τον πίνακα B από αυτές τις σειρές p. Εφόσον ο πίνακας Β είναι μέρος του πίνακα Α, τότε \όνομα χειριστή(rg)B\leqslant \όνομα χειριστή(rg)A=r

Αυτό σημαίνει ότι τουλάχιστον μία σειρά του πίνακα Β δεν περιλαμβάνεται στη βασική ελάσσονα αυτού του πίνακα. Τότε, με το θεώρημα ελάσσονος βάσης, ισούται με έναν γραμμικό συνδυασμό των σειρών στις οποίες βρίσκεται το ελάσσονα βάσης. Επομένως, οι σειρές του πίνακα Β εξαρτώνται γραμμικά. Έτσι, ο πίνακας Α έχει το πολύ r γραμμικά ανεξάρτητες σειρές.

Συμπέρασμα 1. Ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων σειρών σε έναν πίνακα είναι ίσος με τον μέγιστο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων στηλών:

\όνομα χειριστή(rg)A=\όνομα χειριστή(rg)A^T.

Αυτή η δήλωση προκύπτει από το Θεώρημα 3.4 εάν την εφαρμόσουμε στις σειρές ενός μετατιθέμενου πίνακα και λάβουμε υπόψη ότι οι δευτερεύουσες δεν αλλάζουν κατά τη μεταφορά (ιδιότητα 1 της ορίζουσας).

Συμπέρασμα 2. Κατά τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς των σειρών ενός πίνακα, διατηρείται η γραμμική εξάρτηση (ή γραμμική ανεξαρτησία) οποιουδήποτε συστήματος στηλών αυτού του πίνακα.

Στην πραγματικότητα, ας επιλέξουμε οποιεσδήποτε k στήλες ενός δεδομένου πίνακα A και ας συνθέσουμε τον πίνακα B από αυτές. Ας υποθέσουμε ότι ως αποτέλεσμα στοιχειωδών μετασχηματισμών των σειρών του πίνακα Α, προέκυψε ο πίνακας Α" και ως αποτέλεσμα των ίδιων μετασχηματισμών των σειρών του πίνακα Β, προέκυψε ο πίνακας Β". Με το Θεώρημα 3.3 \όνομα χειριστή(rg)B"=\όνομα χειριστή(rg)B. Επομένως, εάν οι στήλες του πίνακα Β ήταν γραμμικά ανεξάρτητες, π.χ. k=\όνομα χειριστή(rg)B(βλ. Συμπέρασμα 1), τότε οι στήλες του πίνακα Β" είναι επίσης γραμμικά ανεξάρτητες, αφού k=\όνομα χειριστή(rg)B". Αν οι στήλες του πίνακα Β ήταν γραμμικά εξαρτημένες (k>\όνομα χειριστή(rg)B), τότε οι στήλες του πίνακα Β" εξαρτώνται επίσης γραμμικά (k>\όνομα χειριστή(rg)B"). Συνεπώς, για οποιεσδήποτε στήλες του πίνακα Α, η γραμμική εξάρτηση ή η γραμμική ανεξαρτησία διατηρείται κάτω από μετασχηματισμούς στοιχειωδών σειρών.

Σημειώσεις 3.3

1. Σύμφωνα με το Συμπέρασμα 1 του Θεωρήματος 3.4, η ιδιότητα των στηλών που υποδεικνύεται στο Συμπέρασμα 2 ισχύει επίσης για οποιοδήποτε σύστημα σειρών πινάκων εάν εκτελούνται στοιχειώδεις μετασχηματισμοί μόνο στις στήλες του.

2. Το συμπέρασμα 3 του Θεωρήματος 3.3 μπορεί να βελτιωθεί ως εξής: οποιοσδήποτε μη ενικός τετραγωνικός πίνακας, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς μόνο των γραμμών του (ή μόνο των στηλών του), μπορεί να αναχθεί σε έναν πίνακα ταυτότητας της ίδιας τάξης.

Στην πραγματικότητα, χρησιμοποιώντας μόνο στοιχειώδεις μετασχηματισμούς σειρών, οποιοσδήποτε πίνακας Α μπορεί να αναχθεί στην απλοποιημένη μορφή \Λάμδα (Εικ. 1.5) (βλ. Θεώρημα 1.1). Δεδομένου ότι ο πίνακας A είναι μη ενικός (\det(A)\ne0), οι στήλες του είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Αυτό σημαίνει ότι οι στήλες του πίνακα \Λάμδα είναι επίσης γραμμικά ανεξάρτητες (Συνέπεια 2 του Θεωρήματος 3.4). Επομένως, η απλοποιημένη μορφή \Λάμδα ενός μη ενικού πίνακα Α συμπίπτει με την απλούστερη μορφή του (Εικ. 1.6) και είναι ο πίνακας ταυτότητας \Λάμδα=Ε (βλ. Συμπέρασμα 3 του Θεωρήματος 3.3). Έτσι, μετασχηματίζοντας μόνο τις σειρές ενός μη μοναδικού πίνακα, μπορεί να αναχθεί στον πίνακα ταυτότητας. Παρόμοιος συλλογισμός ισχύει για στοιχειώδεις μετασχηματισμούς των στηλών ενός μη ενικού πίνακα.

Κατάταξη προϊόντος και άθροισμα πινάκων

Θεώρημα 3.5 (για την κατάταξη του γινομένου των πινάκων). Η κατάταξη του γινομένου των πινάκων δεν υπερβαίνει την κατάταξη των παραγόντων:

\όνομα χειριστή(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\όνομα χειριστή(rg)A,\όνομα χειριστή(rg)B\).

Πράγματι, έστω ότι οι πίνακες Α και Β έχουν μεγέθη m\ φορές p και p\ φορές n . Ας αντιστοιχίσουμε στον πίνακα Α τον πίνακα C=AB\colon\,(A\mid C). Φυσικά αυτό \όνομα χειριστή(rg)C\leqslant\όνομα χειριστή(rg)(A\mid C), αφού το C είναι μέρος του πίνακα (A\mid C) (βλ. παράγραφο 5 των παρατηρήσεων 3.2). Σημειώστε ότι κάθε στήλη C_j, σύμφωνα με την πράξη πολλαπλασιασμού του πίνακα, είναι ένας γραμμικός συνδυασμός στηλών A_1,A_2,\ldots,A_pμήτρες A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

Μια τέτοια στήλη μπορεί να διαγραφεί από τον πίνακα (A\mid C) χωρίς να αλλάξει η κατάταξή της (Συνέπεια 1 του Θεωρήματος 3.3). Διασχίζοντας όλες τις στήλες του πίνακα C, παίρνουμε: \όνομα χειριστή(rg)(A\mid C)=\όνομα χειριστή(rg)A. Από εδώ, \όνομα χειριστή(rg)C\leqslant\όνομα χειριστή(rg)(A\mid C)=\όνομα χειριστή(rg)A. Ομοίως, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η προϋπόθεση ικανοποιείται ταυτόχρονα \όνομα χειριστή(rg)C\leqslant\όνομα χειριστή(rg)B, και βγάλτε ένα συμπέρασμα σχετικά με την εγκυρότητα του θεωρήματος.

Συνέπεια. Αν Ο Α είναι λοιπόν ένας μη ενικός τετραγωνικός πίνακαςΑς τονίσουμε σε αυτό \όνομα χειριστή(rg)(AB)= \όνομα χειριστή(rg)B, δηλ. η κατάταξη ενός πίνακα δεν αλλάζει όταν πολλαπλασιάζεται από αριστερά ή δεξιά με έναν μη ενικό τετράγωνο πίνακα.

Θεώρημα 3.6 για την κατάταξη των αθροισμάτων πινάκων. Η κατάταξη του αθροίσματος των πινάκων δεν υπερβαίνει το άθροισμα των βαθμών των όρων:

\όνομα χειριστή(rg)(A+B)\leqslant \όνομα χειριστή(rg)A+\όνομα χειριστή(rg)B.

Πράγματι, ας δημιουργήσουμε μια μήτρα (A+B\mid A\mid B). Σημειώστε ότι κάθε στήλη του πίνακα A+B είναι ένας γραμμικός συνδυασμός στηλών των πινάκων Α και Β. Να γιατί \όνομα χειριστή(rg)(A+B\mid A\mid B)= \όνομα χειριστή(rg)(A\mid B). Λαμβάνοντας υπόψη ότι ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών στον πίνακα (A\mid B) δεν υπερβαίνει \όνομα χειριστή(rg)A+\όνομα χειριστή(rg)B,ένα \όνομα χειριστή(rg)(A+B)\leqslant \όνομα χειριστή(rg)(A+B\mid A\mid B)(βλ. ενότητα 5 των Παρατηρήσεων 3.2), λαμβάνουμε την ανισότητα που αποδεικνύεται.